Система уравнений сложением: Способ сложения — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 3.1k. Опубликовано

Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:

1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;

2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;

3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.

Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).

Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.

Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24.  Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.

 

Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.

 

Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.

Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.

Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.

 

Ответ: (3; -5).

 

Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:

Сложим эти равенства почленно.

Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):

Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.

 

Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.

Ответ: (-2; 1).

Сделаем коэффициенты при переменной у противоположными числами. Для этого все члены 1-го уравнения умножим на 5, а все члены 2-го уравнения на 2.

Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.

· 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.

Ответ: (4; -3).

Решение систем уравнений: способ сложения + примеры

 

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 – некоторые вещественные числа.

 Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения. 

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Ответ: (6, 14)

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Решение систем уравнений: способ подстановки + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью систем уравнений: общая схема решения

Системы уравнений. Способы решения систем уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Сначала найдём, чему равен  x  в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное  x,  в правую часть:

x - 4y = 2;

x = 2 + 4y.

Так как  x,  на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x - 2y = 16;
3(2 + 4y) - 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен  y.  Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) - 2y = 16;
6 + 12y - 2y = 16;
6 + 10y = 16;
10y = 16 - 6;
10y = 10;
 y = 10 : 10;
 y = 1.

Мы определили что  y = 1.  Теперь, для нахождения численного значения  x,  подставим значение  y  в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен  x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу.

Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен  y  (можно сделать и наоборот — найти, чему равен  x):

x - 4y = 23x - 2y = 16
-4y = 2 - x-2y = 16 - 3x
y = (2 - x) : - 4      y = (16 - 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение  x:

2 - x · (-4) = 16 - 3x · (-4)
-4-2
2 - x = 32 - 6x
-x + 6x = 32 - 2
5x = 30
x = 30 : 5
x = 6

Теперь подставляем значение  x  в первое или второе уравнение системы и находим значение  y:

x - 4y = 23x - 2y = 16
6 - 4y = 23 · 6 - 2y = 16
-4y = 2 - 6      -2y = 16 - 18
-4y = -4-2y = -2
 y = 1 y = 1

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

Рассмотрим систему:

 x - 4y = 2
3x - 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном

y, умножив все члены второго уравнения на -2:

(3x - 2y) · -2 = 16 · -2

-6x + 4y = -32

Получим:

 x - 4y = 2
-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+x  -  4y = 2
 -6x + 4y = -32
 -5x         = -30

Находим значение  x  (x = 6).   Теперь, подставив значение  x  в любое уравнение системы, найдём  y = 1.

Если уравнять коэффициенты у  x,  то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном  x,  умножив все члены первого уравнения на  3:

(x - 4y) · 3 = 2 · 3

3x - 12y = 6

Получим:

 3x - 12y = 6
3x - 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

-3x  -  12y = 6
  3x  -   2y = 16
          -10y = -10

Находим значение  y  (y = 1).  Теперь, подставив значение  y  в любое уравнение системы, найдём  x = 6:

3x - 2y = 16
3x - 2 · 1 = 16
3x - 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18 : 3
x = 6

Ответ:  x = 6,  y = 1.

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Вопросы занятия:

·  показать еще один способ решения систем линейных уравнений – способ сложения.

Материал урока

Мы с вами уже познакомились с двумя способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными, а именно, с графическим способом и способом подстановки.

На этом уроке мы познакомимся с ещё одним способом решения систем линейных уравнений, который называют способом сложения.

Рассмотрим следующую систему

Обратите внимание, что в уравнениях системы коэффициенты при переменной игрек – противоположные числа. Сложим почленно левые и правые части уравнений

Приведём подобные слагаемые в обеих частях получившегося уравнения

Видим, что получили уравнение с одной переменной.

Затем, чтобы найти значение переменной игрек, мы подставим х = 3 в любое уравнение системы, например, в первое. Снова получили уравнение с одной переменной у. Решим его.

Убедиться в этом вы можете, подставив эти значения в каждое уравнение системы.

Пример.

Пример.

Пример.

Можем сделать вывод: чтобы решить систему линейных уравнений способом сложения, надо:

1)  умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2)  сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

3)  решить получившееся уравнение с одной переменной;

4)  найти соответствующее значение второй переменной.

При этом следует помнить, что если коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами, то решение системы сразу начинают с почленного сложения уравнений.

9 класс. Алгебра. Системы уравнений. - Решение систем уравнений методом сложения.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.

 

 

Тема: Си­сте­мы урав­не­ний

Урок: Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния 

Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре ли­ней­ных си­стем.

При­мер 1. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Если мы сло­жим эти два урав­не­ния, то y вза­им­но уни­что­жат­ся, и оста­нет­ся урав­не­ние от­но­си­тель­но x.

Если же вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, вза­им­но уни­что­жат­ся x, и мы по­лу­чим урав­не­ние от­но­си­тель­но y. В этом и за­клю­ча­ет­ся смысл ме­то­да ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния.

  

Ответ: 

Мы ре­ши­ли си­сте­му и вспом­ни­ли метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. По­вто­рим его суть: мы можем скла­ды­вать и вы­чи­тать урав­не­ния, но при этом необ­хо­ди­мо обес­пе­чить, чтобы по­лу­чи­лось урав­не­ние толь­ко с одним неиз­вест­ным.

При­мер 2. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Член  при­сут­ству­ет в обоих урав­не­ни­ях, по­это­му удо­бен метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое.

 

 

Ответ: (2; -1).

Таким об­ра­зом, про­ана­ли­зи­ро­вав си­сте­му урав­не­ний, можно уви­деть, что она удоб­на для ме­то­да ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, и при­ме­нить его.

Рас­смот­рим еще одну ли­ней­ную си­сте­му.

При­мер 3. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Мы хотим из­ба­вить­ся от y, но в двух урав­не­ни­ях ко­эф­фи­ци­ен­ты при y раз­ные. Урав­ня­ем их, для этого умно­жим пер­вое урав­не­ние на 3, вто­рое – на 4.

 

Ответ: 

При­мер 4. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Урав­ня­ем ко­эф­фи­ци­ен­ты при x

 

Можно сде­лать иначе – урав­нять ко­эф­фи­ци­ен­ты при y.

 

Ответ: 

Мы ре­ши­ли си­сте­му, два­жды при­ме­нив метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния при­ме­ним и при ре­ше­нии нели­ней­ных си­стем.

При­мер 5. Ре­шить си­сте­му  

Ре­ше­ние:

Сло­жим эти урав­не­ния, и мы из­ба­вим­ся от y.

  

Эту же си­сте­му можно ре­шить, два­жды при­ме­нив метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Сло­жим и вы­чтем из од­но­го урав­не­ния дру­гое.

 

Ответ:

При­мер 6. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

 

 

Ответ:

При­мер 7. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Ме­то­дом ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния из­ба­вим­ся от члена xy. Умно­жим пер­вое урав­не­ние на .

 

 

 

Пер­вое урав­не­ние оста­ет­ся без из­ме­не­ний, вме­сто вто­ро­го за­пи­сы­ва­ем ал­геб­ра­и­че­скую сумму.

 

Далее при­ме­ня­ем метод под­ста­нов­ки.

Ответ:

При­мер 8. Ре­шить си­сте­му 

Ре­ше­ние:

Умно­жим вто­рое урав­не­ние на 2, чтобы вы­де­лить пол­ный квад­рат.

 

Наша за­да­ча све­лась к ре­ше­нию че­ты­рех про­стей­ших си­стем.

 

 

 

 

Ответ: 

Источник видео: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/metod-algebraicheskogo-slozheniya-2?konspekt&chapter_id=26

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=JMxiXlG_FzM

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

Решение систем уравнений сложением онлайн. Видеоурок «Метод алгебраического сложения

ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»

Центр дистанционного образования

Урок алгебры в 7 классе

Тема урока: Метод алгебраического сложения.

      1. Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.

Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.

Задачи урока:

Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его. Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.

Форма работы: индивидуальная

Этапы урока:

1) Организационный этап.

организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.

2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.

Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.

3. Изучение нового материала.

1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;

2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;

3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.

http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.

5. Закрепление изученного материала

Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке

6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.

Ход урока (работа в электронном документе Google):

1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.

Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?

Время

Вспомним основные понятия по теме:

Перед нами система двух уравнений.

Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.

Методом подстановки

Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?

Потому что это - уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.

Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.

3. Мы приступаем к решению следующей системы:

Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.

Такого уравнения нет.

Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?

Найти новый метод.

Попытаемся сформулировать цель урока.

Научиться решать системы новым методом.

Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?

знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания

Приступим к выведению нового метода.

Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.

Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.

Сложить уравнения.

Что значит сложить уравнения?

По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.

Попробуем. Работаем вместе со мной.

13x+14x+17y-17y=43+11

Получили линейное уравнение с одной переменной.

Решили систему уравнений?

Решение системы - пара чисел.

Как найти у?

Найденное значение х подставить в уравнение системы.

Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?

Значит найденное значение х можно подставить в...

любое уравнение системы.

Мы познакомились с новым методом - методом алгебраического сложения.

Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.

Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.

Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.

Рассмотрим задачу:

В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19

4х - число ног у овец

2у - число ног у кур

Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46

Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.

Проблема! Коэффициенты перед х и у - не равные и не противоположные! Что же делать?

Рассмотрим ещё один пример!

Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.

4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html

5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.

Дополнительные задания:

6.

Рефлексия.

Я за свою работу на уроке ставлю оценку - …

6. Использованные ресурсы-интернет:

сервисы Google для образования

Учитель математики Соколова Н. Н.


Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y. Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.

Тема: Системы уравнений

Урок: Метод алгебраического сложения

1. Метод алгебраического сложения на примере линейных систем

Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.

Пример 1. Решить систему

Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.

Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.

Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.

2. Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов

Пример 2. Решить систему

Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе.

Ответ: (2; -1).

Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.

Рассмотрим еще одну линейную систему.

3. Решение нелинейных систем

Пример 3. Решить систему

Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе - на 4.

Пример 4. Решить систему

Уравняем коэффициенты при x

Можно сделать иначе - уравнять коэффициенты при y.

Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.

Пример 5. Решить систему

Сложим эти уравнения, и мы избавимся от y.

Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.

Пример 6. Решить систему

Ответ:

Пример 7. Решить систему

Методом алгебраического сложения избавимся от члена xy. Умножим первое уравнение на .

Первое уравнение остается без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Умножим второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.

Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.

4. Заключение

Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College. ru по математике.

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 - 127.

Нужно скачать поурочный план по теме » Метод алгебраического сложения ?

Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.

В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.

Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например

Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.

Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.

Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.

Пример 1. Решите систему уравнений

Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.

Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:

2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.

Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.

Ответ: (4; 3)

Пример 2 . Решить систему уравнений

Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим

Будьте внимательны при сложении уравнений

Тогда у = - 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим

4х + 3(-2) = - 4. Решаем это уравнение 4х = - 4 + 6, 4х = 2, х = ½.

Ответ: (1/2; - 2)

Пример 3. Решите систему уравнений

Умножим первое уравнение на (-2)

Решаем систему

получаем 0 = - 13.

Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).

Ответ: решений нет.

Пример 4. Решите систему уравнений

Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,

давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.

Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.

Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.

Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Решение систем уравнений методом алгебраического сложения | План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему:

Открытый урок по алгебре в 7б классе. «Где есть желание, найдется путь».

Тема: Решение систем линейных уравнений методом  алгебраического сложения.

Слайд 1

Цели урока:

  1. Образовательные:
  • Систематизировать знания о различных способах решения системы двух линейных уравнений.
  •  Совершенствовать навык решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения;
  1. Развивающие:
  • развитие математической речи учащихся;
  • умения анализировать, сравнивать, сопоставлять;
  • развитие внимания, наблюдательности, памяти;
  • развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала;
  1. Воспитательные:
  • формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность;
  • выработать умение анализировать проделанную работу и адекватно её оценивать.

1.Организационная часть

Здраствуйте, все участники образовательного процесса! Я хочу всем пожелать с пользой провести  предстоящий урок алгебры. Ребята, на прошлом занятии мы начали изучение темы « Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения». А на этом уроке мы продолжим эту тему. Попробуйте формулировать цель сегодняшнего урока.

             Ученики формулируют цель урока. Слайд 2.

Давайте настроимся на урок и проведём небольшую разминку.

  1.   Устная работа (3 мин.)
  1. Упростите выражения

а)  5а+а;   б) -7х+7х;  в) 4у-8у;  г) -3в+3в;   д) 2с+9

     2. Согласны ли вы с решением  следующего уравнения

3х - 5 = 7х - 3,

3х- 7х = -3- 5,

     -4х = -8,

        х =2.        Ответ: х =2. ?                       (-0,5)

3 На листе было записано решение линейных уравнений, но со временем оно исчезло. Восстановите её.

а) 3х =                     б) 5х =                       в)   х =                г) 5х =  

   х = -11.                     х = 0.                         х = 14.                х = -9.

3.Проверка домашнего задания (8 мин)

2 ученика у доски показывают решения

№ 13.6 а)

 х+ у=4        *5     5х + 5у=20

 4х- 5у=7              4х- 5у =7

                              9х=27

                              х=3

Подставим  х=3 в уравнение(1)

3+у=4

у=1

Ответ (3;1)

№13.8 а)

3х+7у=46     *3           9х+21у=138

4х-3у=12       *7          28х-21у=84

                                         37х=222

                                         х=6

Подставим  х=6 в уравнение (2)

4*6-3у=12

-3у=12-24

-3у=-12

у=4

Ответ (6;4)

Пока ученики готовят решения  мы с вами повторим прошлый материал

Фронтальный опрос (6мин.)

1. Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

2. Суть графического метода

3. Сколько решений может иметь система уравнений?

Слайд

а)  б)  в)

4. Алгоритм метода подстановки.

слайд

5.Алгоритм метода сложения.

слайд

6.Зависит ли ответ системы уравнений от выбора метода?

Проверка решения на доске.

4.Тест (10мин)

  1. вариант

А1. Выразить х через у х+3у=6
а)х=6-3у
б)х=-6-3у
в) х=6+3у

А2.  Если графики прямых параллельны, то система имеет решение:
   а) единственное
  б) много решений
 в) не имеет решений

А3. Для решения системы уравнений  3х+5у=3

                                                                      2х+5у=7

методом алгебраического сложения лучше

а) сложить уравнения
б) вычитать из одного уравнения другое

В1. Решением системы уравнений    х - 2у =1

                                                         у - х= 1    является пара 
а) (3;-2)
б) (-3; -2),
в) (-2; -3)

В2. Результат сложения уравнений х+5у =7, 3х-2у=4 равен
а) 4х-3у =11
б) 4х+7у 11
в) 4х+3у =11

С. Запишите для системы уравнений   х+4у=6

                                                                              3х-2у=4

равносильную систему, у которой противоположные коэффициенты при переменной Х

2 вариант

А1. Выразить х через у х-2у= 8
а)  х=8-2у,
б ) х=-8-2у,
в)  х=8+2у

А2. Если графики прямых совпадают, то система имеет решение:
   а) единственное
  б) много решений
 в) не имеет решений

А3. Для решения системы уравнений  3х + 5у = 3

                                                                      2х - 5у = 7

методом алгебраического сложения лучше

а) сложить уравнения
б) вычитать из одного уравнения другое

В1. Решением системы уравнений    х + 4у = 6

                                                        3х – 2у = 4    является пара 
а) (-2;1)
б) (2; 1),
в) (1; 2)

В2. Результат сложения уравнений 3х + 7у = 2, х - 2у = 1 равен
а) 4х+5у =3
б) 4х+9у=3
в) 4х-5у =3

С. Запишите для системы уравнений   5х+7у=4

                                                                               х-2у=3

равносильную систему, у которой противоположные коэффициенты при переменной Х

Ответы записать в бланке ответов

Бланк ответов

№ задания

Ответ

Правильность (+или -)

Балл

А1      (2 балла)

А2    (2балла)

А3    (2балла)

В1    (3 балла)

В2    (3 балла)

С   (4балла)

Система уравнений

(1-5 баллов)

ИТОГ

Взаимопроверка. Учащиеся меняются бланками ответов. Проверяющие заполняют 3и4 колонки.( Слайд с правильными ответами)

  1. Физкультминутка (1мин)

1)Игра «Великаны и карлики».

Если согласны с утверждением, то встаем и два раза хлопаем, если нет, то сидя мотаем головой  и топаем ногами.(упражнение для мышц шеи)

1.Уравнение 8ху+2у=12 является линейным уравнением с двумя переменными

2.График функции у =-2х проходит через начало координат.

3. Функция  у= 2х-5 является возрастающей.

Решением  системы уравнений являются х=6 и у=4. Значит система уравнений имеет два решения.

2) А теперь все встаём и показываем возрастаюшую прямую иповторяем 4 раза.

3)Показываем убывающую прямую и повторяем ещё 4 раза.

4) Пересекающиеся прямые и повторяем ещё 4 раза.

Вдох, выдох. Садимся на свои места и с продуктивно продолжим работу.

5.Работа у доски.(5мин)

№13.9 г)

4х-3у=12   *3

3х-4у=30    *(-4)

                     12х-9у=36

                -12х+16у=-120

12х-12х-9у+16у=36-120

7у=-84

у=-12

Подставим у=-12 в ур-е (1) 4х-3*(-12)=12

                                                4х=12-36

                                                  х=-24/4

                                                   х=-6

Ответ (-6;-12)

  1. Работа в группах. (6 мин)

Учащиеся группируются группы по 4 человека.

I группа -№13.9 а)            II группа -№13.9 б)                  III группа -№13.9 в)

4х+5у=1            *5

5х+7у=5            *-4

3х-5у=25            *4

4х-3у=37             *-3

7х+5у=-5            *-5

5х+3у=1              *7

20х+25у=5

-20х-28у=-20

25у-28у=5-20

-3у=-15

у=5

4х+5*5=1

4х=1-25

х=-24/4

х=-6

Ответ (-6;5)

12х-20у=100

-12х+9у=-111

-20у+9у=100-111

-11у=-11

  у=1

3х-5*1=25

3х=25+5

х=30/3

х=10

Ответ (10;1)

-35х-25у=25

35х+21у=7

-25у+21у=25+7

-4у=32

у=-8

5х+3*(-8)=1

5х=1+24

х=25/5

х=5

Ответ (5;-8)

Узнать кто автор известных оперетт. Вовремя работы в группах звучит музыка.

Слайд.

6.Решить у доски №13.10а),б,)в). 3 ученика у доски.1вариант а), 2вариант-б) 3вариант-в)

Ответы: а) (-3;-2)     б) (35;-46),  в)  (5;1)

7.Рефлексия

Учитель монотонным голосом предлагает отдохнуть учащимся.

Закройте глаза.

 Расслабьтесь. Поводите глазами вверх, вниз, влево, вправо.

Откройте глаза.

Потянитесь как маленькие котята.

Улыбнитесь друг другу.

И с хорошим настроением продолжим работу.

8.Самостоятельная работа (5мин)  решить на бланке ответов

1 вариант

4х+7у=90

-6х+5у=20

2 вариант

9х+8у=-2

4х+5у=-11

3 вариант

-3х+10у=0,1

4х-15у=2,7

Ответ (5;10)

Ответ(6;-7)

Ответ(-5,7; -1,7)

Проверяют ответы. Решение проверяет учитель(собирает работы)

9.Домашнее задание №13.7(а,б), по желанию  либо №13.10(г), либо №13.11(а)-

10. Итог урока.

Вы активно поработали на уроке, приятно было с вами работать. Что сегодня на уроке вам понравилось? Мы достигли цели урока?

За работу у доски отметки:

За групповую работу отметки

За тест и самостоятельную работу отметки узнаем на следующем уроке.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот ответил с ухмылкой, что целый день возил эти проклятые камни.  

У второго мудрец спросил: «А что ты делал  целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».

А  третий улыбнулся, лицо его  просияло: «А я принимал участие в строительстве Храма!»

Ребята, каждый для себя оцените свою работу.

Спасибо всем за работу!

Решение путем сложения / исключения

Системы линейных уравнений:
Решение сложением / Ликвидация
(стр. 5 из 7)

Разделы: определения, решение с помощью построения графиков, подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

Метод сложения решения систем уравнений также называют методом исключения.Этот метод похож на метод, который вы, вероятно, изучили для решения простых уравнений.

Если бы у вас было уравнение « x + 6 = 11», вы бы написали «–6» под каждой стороной уравнения, а затем «сложили», чтобы получить « x = 5» в качестве решение.

Вы проделаете нечто подобное с методом сложения.

  • Решите следующую систему, используя сложение.
  • Обратите внимание, что если я добавлю, и аннулируется.Я нарисую полоску "равно" под системой, и складываем:

    Теперь я могу разделить решить для x = 5, а затем решить, используя любое из исходных уравнений, чтобы найти значение y . Первое уравнение имеет меньшие числа, поэтому я верну его обратно:

      2 (5) + y = 9
      10 + и = 9
      y = –1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (5, –1) .

Неважно, какое уравнение вы используете для обратной обработки; в любом случае вы получите один и тот же ответ. Если Я использовал второе уравнение, и получил бы:

... это тот же результат как прежде.

  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Обратите внимание, что термины x аннулировались бы, если бы только у них были противоположные знаки.Я могу создать это отмены путем умножения любого из уравнений на –1, а затем добавляю как обычно. Неважно, какое уравнение я выберу, при условии, что я буду осторожен, чтобы умножить –1 на все уравнение. (Это означает, что обе стороны "равно" знак!)

    второй умножу уравнение.

    "–1 R 2 " Обозначение над стрелкой означает, что я умножил строку 2 на –1.Теперь я могу решить уравнение «–5 y = –25», чтобы получить y = 5. Обратное решение в первое уравнение, я получаю:

      x - 2 (5) = –9
      x - 10 = –9
      x = 1

      Тогда решение равно ( x , y ) = (1, 5) .

Очень распространенное искушение - записать решение в виде "(первое число, которое я нашел, второе номер, который я нашел) ". Однако иногда, как в этом случае, вы обнаруживаете значение y сначала, а затем значение x во-вторых, и, конечно же, в пунктах x -значение на первом месте. Так что будьте осторожны и пишите координаты своих решений. правильно.Авторские права © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены


  • Решите следующие проблемы система с использованием сложения.
  • Здесь ничего не отменяется, но Я могу умножить, чтобы создать отмену. Я могу умножить первое уравнение на 4, и это создаст условия и . отменить.

    Решив это, я получу, что x = 2. Я воспользуюсь первым уравнение для обратного решения, потому что коэффициенты меньше.

      2 (2) - y = 9
      4 - y = 9
      - y = 5
      y = –5

      Решение: ( x , y ) = (2, –5) .

  • Решите следующие проблемы. система с использованием сложения.
  • Хм ... ничего не отменяет. Но я могу умножить, чтобы создать отмену. В этом случае ни одна из переменных это очевидный выбор для отмены. Я могу умножить, чтобы преобразовать x -термов до 12 x 's или условия y к 24 y 's.Так как я ленив и 12 меньше 24, Я произведу умножение, чтобы отменить условия x . (Я бы получил тот же ответ в конце, если бы установил y -terms отменить. Дело не в том, что я делаю это «правильно»; это был только мой выбор. Вы могли бы сделать другой выбор, и это быть столь же правильным.)

    умножу первый ряд по 3 и второй ряд по 4; тогда я добавлю и решу.


    Решая, я получаю, что y = 5. Ни одно из уравнений выглядит особенно лучше, чем другой для обратного решения, поэтому я переверну монету и используйте первое уравнение.

    Не забудьте поставить координату x . сначала в решении я получаю:


Обычно при решении «по добавлению», вам нужно будет создать отмену.Предупреждение: Самая распространенная ошибка - это забывать о умножении на всем протяжении уравнение, умноженное на обе стороны знака "равно". Быть осторожно с этим.

  • Решите следующие проблемы используя дополнение.
  • Думаю, умножу второе уравнение на 2; это, по крайней мере, избавит от десятичного знака.

    Ой! Этот результат не правда! Итак, это противоречивая система (две параллельные линии) без каких-либо решение (без точки пересечения).

  • Решите следующие проблемы используя дополнение.
  • думаю будет проще всего отменить условия и , поэтому я умножу вторую строку на –3.

    Ну да, но ...? я уже знал, что ноль равен нулю. Итак, это зависимая система, и, решая для " y =" решение это:

(Ваш текст может отформатировать ответьте как "( s , 4 с - 2) ", или что-то типа того.)


Помните разницу: глупый ответ (например, "0 = –2 "в предыдущем проблема) означает противоречивую систему без решения; бесполезный ответ (например, "0 = 0 "выше) означает зависимая система, в которой вся линия является решением.

В некоторых книгах используется только " x " и « и » для своих переменных, но многие используют дополнительные переменные. Когда ты пишешь решение для точки x , y , вы знаете, что координата x идет первым и координата y идет вторым. Когда вы имеете дело с другими переменными, предполагайте (если только явно указано иное), что эти переменные записываются в алфавитном порядке заказывать. Например, если переменные в данной системе равны a и b , точка решения будет ( a , b ); это не будет быть ( b , a ).Если иначе указано, переменные записываются в алфавитном порядке.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений: решение сложением / исключением». Пурпурная математика . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/systlin5.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения

Третий метод решения систем линейных уравнений - это метод сложения .В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю. Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.

Как: решить систему уравнений методом сложения.

  1. Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
  2. Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные. Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
  3. Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
  4. Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите для второй переменной.
  5. Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.

Пример 4: Решение системы методом сложения

Решите данную систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {array} {l} x + 2y = -1 \ hfill \\ -x + y = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент при [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту при [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1. Мы можем добавить два уравнения к исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.

[латекс] \ frac {\ begin {array} {l} \ hfill \\ x + 2y = -1 \ hfill \\ -x + y = 3 \ hfill \ end {array}} {\ text {} \ text {} \ text {} \ text {} \ text {} 3y = 2} [/ latex]

Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} 3y = 2 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} -x + y = 3 \ hfill \\ \ text {} -x + \ frac {2} {3} = 3 \ hfill \\ \ text {} -x = 3- \ frac {2} {3} \ hfill \\ \ text {} -x = \ frac {7} {3} \ hfill \\ \ text {} x = - \ frac {7} {3 } \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение этой системы - [латекс] \ left (- \ frac {7} {3}, \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].

Проверьте решение в первом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {llll} \ text {} x + 2y = -1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {} \ left (- \ frac {7} {3 } \ right) +2 \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {} - \ frac {7} {3} + \ frac {4} {3} = \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {} - \ frac {3} {3} = \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text { } -1 = -1 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ решения

Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.См. Рисунок 5, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.

Рисунок 5

Пример 5: Использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения

Решите данную систему уравнений методом сложения .

[латекс] \ begin {array} {l} 3x + 5y = -11 \ hfill \\ \ hfill \\ x - 2y = 11 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что в первом уравнении есть [latex] 3x [/ latex], а во втором уравнении - [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], элементы x прибавятся к нулю.

[латекс] \ begin {array} {llll} \ text {} x - 2y = 11 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ -3 \ left (x - 2y \ right) = - 3 \ left (11 \ right) \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} -3. \ Hfill \\ \ text {} -3x + 6y = -33 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {Используйте свойство дистрибутива}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

А теперь добавим их.

[латекс] \ begin {array} \ \ hfill 3x + 5y = −11 \\ \ hfill −3x + 6y = −33 \\ \ text {_____________} \\ \ hfill 11y = −44 \\ \ hfill y = −4 \ end {массив} [/ латекс]

На последнем этапе мы подставляем [latex] y = -4 [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {c} 3x + 5y = -11 \\ 3x + 5 \ left (-4 \ right) = - 11 \\ 3x - 20 = -11 \\ 3x = 9 \\ x = 3 \ end {array} [/ latex]

Наше решение - упорядоченная пара [латекс] \ left (3, -4 \ right) [/ latex].Проверьте решение в исходном втором уравнении.

[латекс] \ begin {array} {llll} \ text {} x - 2y = 11 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ left (3 \ right) -2 \ left (-4 \ right ) = 3 + 8 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = 11 \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ text {True} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Рисунок 6

Попробовать 4

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {array} {c} 2x - 7y = 2 \\ 3x + y = -20 \ end {array} [/ latex]

Решение

Пример 6: Использование метода сложения, когда требуется умножение обоих уравнений

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {array} {c} 2x + 3y = -16 \\ 5x - 10y = 30 \ end {array} [/ latex]

Решение

Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое - [латекс] 5x [/ латекс]. Наименьшее общее кратное - [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} -5 \ left (2x + 3y \ right) = - 5 \ left (-16 \ right) \ hfill \\ \ text {} -10x - 15y = 80 \ hfill \\ \ text {} 2 \ left (5x - 10y \ right) = 2 \ left (30 \ right) \ hfill \\ \ text {} 10x - 20y = 60 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Затем мы складываем два уравнения.

[латекс] \ begin {array} \ −10x − 15y = 80 \\ 10x − 20y = 60 \\ \ text {______________} \\ \ text {} −35y = 140 \\ y = −4 \ end {массив } [/ латекс]

Подставьте [латекс] y = -4 [/ latex] в исходное первое уравнение.

[латекс] \ begin {массив} {c} 2x + 3 \ left (-4 \ right) = - 16 \\ 2x - 12 = -16 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \ end {массив } [/ латекс]

Решение: [латекс] \ left (-2, -4 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill \ text {} 5x - 10y = 30 \\ \ hfill 5 \ left (-2 \ right) -10 \ left (-4 \ right) = 30 \\ \ hfill \ text {} -10 + 40 = 30 \\ \ hfill \ text {} 30 = 30 \ end {array} [/ latex]

Рисунок 7

Пример 7: Использование метода сложения в системах уравнений, содержащих дроби

Решите данную систему уравнений с двумя переменными сложением.

[латекс] \ begin {array} {l} \ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} = 3 \ hfill \\ \ frac {x} {2} - \ frac {y} { 4} = \ text {} 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение

Сначала очистите каждое уравнение от дробей, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

[латекс] \ begin {array} {l} 6 \ left (\ frac {x} {3} + \ frac {y} {6} \ right) = 6 \ left (3 \ right) \ hfill \\ \ текст {} 2x + y = 18 \ hfill \\ 4 \ left (\ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} \ right) = 4 \ left (1 \ right) \ hfill \\ \ текст {} 2x-y = 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь умножьте второе уравнение на [latex] -1 [/ latex], чтобы мы могли исключить переменную x .

[латекс] \ begin {array} {l} -1 \ left (2x-y \ right) = - 1 \ left (4 \ right) \ hfill \\ \ text {} -2x + y = -4 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Сложите два уравнения, чтобы исключить переменную x , и решите полученное уравнение.

[латекс] \ begin {array} \ \ hfill 2x + y = 18 \\ \ hfill − 2x + y = −4 \\ \ text {_____________} \\ \ hfill 2y = 14 \\ \ hfill y = 7 \ конец {array} [/ latex]

Подставьте [латекс] y = 7 [/ латекс] в первое уравнение.

[латекс] \ begin {array} {l} 2x + \ left (7 \ right) = 18 \ hfill \\ \ text {} 2x = 11 \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {11} {2 } \ hfill \\ \ text {} = 7.5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение: [латекс] \ left (\ frac {11} {2}, 7 \ right) [/ latex]. Проверьте это в другом уравнении.

[латекс] \ begin {array} {c} \ frac {x} {2} - \ frac {y} {4} = 1 \\ \ frac {\ frac {11} {2}} {2} - \ frac {7} {4} = 1 \\ \ frac {11} {4} - \ frac {7} {4} = 1 \\ \ frac {4} {4} = 1 \ end {array} [/ latex ]

Попробовать 5

Решите систему уравнений сложением.

[латекс] \ begin {array} {c} 2x + 3y = 8 \\ 3x + 5y = 10 \ end {array} [/ latex]

Решение

Метод сложения

- Джеймс Бреннан

Метод сложения

Вся проблема с решением системы уравнений состоит в том, что вы не можете решить уравнение, в котором есть два неизвестных.Вам нужно уравнение только с одной переменной, чтобы вы могли изолировать переменную с одной стороны уравнения. Оба метода, которые мы рассмотрим, представляют собой методы исключения одной из переменных, чтобы дать вам уравнение только с одним неизвестным, которое вы затем можете решить обычными методами.

Первым методом решения систем линейных уравнений является метод сложения, в котором два уравнения складываются вместе, чтобы исключить одну из переменных.

Добавление уравнений означает, что мы складываем вместе левые части двух уравнений и складываем правые части.Это законно из-за принципа сложения, который гласит, что мы можем добавить одинаковую сумму к обеим сторонам
уравнения. Поскольку левая и правая части любого уравнения равны друг другу, мы действительно добавляем одинаковую сумму к обеим сторонам уравнения.

Рассмотрим этот простой пример:

Пример:

Если мы сложим эти уравнения вместе, члены, содержащие y , в сумме дадут ноль (2 y плюс –2 y ), и мы получим

или

5 x = 5
x = 1

Однако мы еще не закончили - мы знаем x , но еще не знаем x .Мы можем решить для y , подставив теперь известное значение x в любое из наших исходных уравнений. Это приведет к уравнению, которое можно решить для y :

.

Теперь, когда мы знаем и x , и y , мы можем сказать, что решением системы является пара (1, 1/2).

Этот последний пример было легко увидеть из-за удачного присутствия как положительного, так и отрицательного 2 y . Не всегда так везет.Рассмотрим

Пример:

Сейчас нет ничего более очевидного, но мы все еще можем кое-что сделать. Если мы умножим первое уравнение на –3, мы получим

(не забудьте умножить каждый член уравнения на обе стороны от знака равенства). Теперь, если мы сложим их вместе, члены, содержащие x , отменит:

или

Как и в предыдущем примере, теперь, когда мы знаем y , мы можем решить x , подставив любое исходное уравнение.Первое уравнение кажется наиболее простым для решения для x , поэтому мы будем использовать его:

Итак, точка решения (–4, 7/2).

Теперь рассмотрим еще менее очевидный пример:

Пример:

Здесь нет ничего особенно привлекательного в том, чтобы идти после x или y . В любом случае оба уравнения необходимо умножить на некоторый коэффициент, чтобы получить общий коэффициент. Это очень похоже на ситуацию, с которой вы сталкиваетесь, пытаясь найти наименьший общий знаменатель для сложения дробей, за исключением того, что здесь мы называем это наименьшим общим кратным (НОК). Как правило, проще всего исключить переменную с наименьшим НОК. В данном случае это будет y , потому что НОК 2 и 3 равно 6. Если бы мы хотели исключить x , нам пришлось бы использовать НОК 10 (5 умножить на 2). Итак, мы решили превратить коэффициенты и в плюс и минус 6.Для этого первое уравнение нужно умножить на 3, а второе уравнение на 2:

или

Теперь сложение этих двух вместе удалит члены, содержащие y :

или

х = 2

Нам все еще нужно подставить это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти y :

Таким образом, решение - это точка (2, 2).

Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) - Mathplanet

Другой способ решения линейной системы - использовать метод исключения. В методе исключения вы либо складываете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.

Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы добавляете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.


Пример

$$ \ begin {matrix} 3y + 2x = 6 \\ 5y-2x = 10 \ end {matrix} $$

Мы можем исключить переменную x, добавив два уравнения.

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ \ underline {+ \: 5y-2x = 10} $$

$$ = 8лет \: \: \: \: \; \; \; \; = 16 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \: y \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; = 2 \ end {matrix} $$

Теперь значение y можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение x

$$ 3y + 2x = 6 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + 2x = 6 $$

$$ 6 + 2x = 6 $$

$$ x = 0 $$

Решение линейной системы есть (0, 2).

Чтобы избежать ошибок, перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые члены и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.

Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете непосредственно начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных путем сложения. или вычитание.

Пример

$$ \ begin {matrix} 3x + y = 9 \\ 5x + 4y = 22 \ end {matrix} $$

Начните с умножения первого уравнения на -4 так, чтобы коэффициенты y были противоположны

$$ \ color {зеленый} {-4 \} \ cdot \ left (3x + y \ right) = 9 \ cdot {\ color {green} {-4} $$

$$ 5x + 4y = 22 $$

$$ - 12x-4y = -36 $$

$$ \ underline {+ 5x + 4y = 22} $$

$$ = - 7x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = -14 $$

$$ \ begin {matrix} \: \: \; \: \: x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 \ end {matrix} $$

Подставьте x в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение y

$$ 3x + y = 9 $$

$$ 3 \ cdot {\ color {зеленый} 2} + y = 9 $$

$$ 6 + y = 9 $$

$$ y = 3 $$

Решение линейной системы: (2, 3)


Видеоурок

Решите линейную систему методом исключения

$$ \ left \ {\ begin {matrix} 2y - 4x = 2 \\ y = -x + 4 \ end {matrix} \ right $$

Решайте системы уравнений методом исключения - элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите систему уравнений методом исключения
  • Решите приложения систем уравнений методом исключения
  • Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки.Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a , b , c и d ,

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме.Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

и складываются с нулем, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.

Давайте попробуем еще один:

На этот раз мы не видим переменную, которую можно было бы немедленно удалить, если мы добавим уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на −2, мы сделаем коэффициенты при x противоположными. Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на −2.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет удалено, когда мы сложим эти два уравнения.

Сложите уравнения самостоятельно - результат должен быть −3 y = −6. И это кажется несложным, не так ли? Вот как бы это выглядело.

Сделаем еще один:

Не похоже, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, умножая одно из уравнений на константу, если мы не используем дроби. Поэтому вместо этого нам придется умножить оба уравнения на константу.

Мы можем сделать коэффициенты x противоположными, если умножим первое уравнение на 3, а второе на −4, так что мы получим 12 x и −12 x .

Это дает нам два новых уравнения:

Когда мы складываем эти уравнения,

исключаются значения x , и остается −29 y = 58.

Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем. Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную. И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

Как решить систему уравнений методом исключения

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Шаги перечислены ниже для удобства.

Как решить систему уравнений методом исключения.

  1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
  2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
    • Решите, какую переменную исключить.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
  3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Сначала мы приведем пример, в котором мы можем сразу исключить одну переменную.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

На (Рисунок) мы сможем сделать коэффициенты одной переменной противоположными, умножив одно уравнение на константу.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Решите систему устранением.

Решение

В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на константу, чтобы получить противоположности.

Какие еще константы мы могли бы выбрать для исключения одной из переменных? Будет ли решение таким же?

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на его ЖК-дисплей.

Решите систему устранением.

Решение

В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на его ЖК-дисплей, чтобы очистить дроби.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

В разделе «Решение систем уравнений с помощью графического представления» мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения. Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

Решите систему устранением.

Решение

Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, заметили ли вы, что эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Решите систему устранением.

бесконечно много решений

Решите систему устранением.

бесконечно много решений

Решите систему устранением.

Решение

Уравнения имеют стандартную форму.
Умножьте второе уравнение на 3, чтобы исключить переменную.
Упростить и добавить.

Это утверждение неверно. Уравнения несовместимы, поэтому их графики будут параллельными линиями.

В системе нет решения.

Решите систему устранением.

Решите систему устранением.

Практика ведет к совершенству

Решите систему уравнений методом исключения

В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.

бесконечно много решений

бесконечно много решений

бесконечно много решений

непоследовательно, нет решения

непоследовательно, нет решения

Решение приложений систем уравнений методом исключения

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 65. Их разница равна 25. Найдите числа.

Цифры 20 и 45.

Сумма двух чисел равна 37. Их разница равна 9. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −27. Их разница -59. Найдите числа.

Цифры 16 и −43.

Сумма двух чисел равна -45. Их разница -89. Найдите числа.

Андреа покупает новые рубашки и свитера.Она может купить 3 рубашки и 2 свитера за 114 фунтов стерлингов или 2 рубашки и 4 свитера за 164 евро. Сколько стоит рубашка? Сколько стоит свитер?

Рубашка стоит 16 фунтов, свитер - 33 евро.

Питер покупает канцелярские товары. Он может купить 3 пакета бумаги и 4 степлера за 40 фунтов стерлингов или 5 пакетов бумаги и 6 степлеров за 62 фунта стерлингов. Сколько стоит пачка бумаги? Сколько стоит степлер?

Общее количество натрия в 2 хот-догах и 3 стаканах творога составляет 4720 мг.Общее количество натрия в 5 хот-догах и 2 стаканах творога составляет 6300 мг. Сколько натрия в хот-доге? Сколько натрия в стакане творога?

В хот-доге 860 мг. В стакане творога 1000 мг.

Общее количество калорий в 2 хот-догах и 3 чашках творога составляет 960 калорий. Общее количество калорий в 5 хот-догах и 2 стаканах творога составляет 1190 калорий. Сколько калорий в хот-доге? Сколько калорий в стакане творога?

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем подстановки или исключения.



ⓐ выбывание ⓑ замена





ⓐ замена ⓑ выбывание



Повседневная математика

Джози хочет приготовить 10 фунтов трейловой смеси из орехов и изюма, и она хочет, чтобы общая стоимость трейловой смеси составила 54 фунта стерлингов. Орехи стоят 6 фунтов за фунт, а изюм - 3 фунта за фунт. Решите систему, чтобы найти количество фунтов орехов и количество фунтов изюма, которое ей следует использовать.

Письменные упражнения

Решите систему

ⓐ путем замены
ⓑ путем построения графика
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

  1. ⓐ (8, 2)

  2. ⓒ Ответы будут разными.

Решите систему

ⓐ путем замены
ⓑ путем построения графика
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

Если у вас есть два разных уравнения с одинаковыми двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Существует три распространенных метода решения: сложение / вычитание, подстановка и построение графика.

Метод сложения / вычитания

Этот метод также известен как метод исключения.

Чтобы использовать метод сложения / вычитания, выполните следующие действия:

  1. Умножьте одно или оба уравнения на некоторое число (а), чтобы число перед одной из букв (неизвестных) в каждом уравнении было одинаковым или прямо противоположным.

  2. Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.

  3. Решите оставшееся неизвестное.

  4. Решите для другого неизвестного, вставив значение неизвестного, найденного в одно из исходных уравнений.

Пример 1

Решите относительно x и y .

При добавлении уравнений исключаются термины и .

Теперь добавление 5 для x в первое уравнение дает следующее:

Ответ: x = 5, y = 2

Заменяя каждое x на 5 и каждое y на 2 в исходных уравнениях, вы можете увидеть, что каждое уравнение станет истинным.

В примере и пример , существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение истинным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете однозначных ответов или вообще не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения / вычитания.

Пример 2

Решите относительно x и y.

Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь перед и стоит 3 в каждом уравнении.

Уравнения можно вычесть, исключив члены и .

Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

Ответ: x = 5, y = 3

Конечно, если число перед буквой уже одно и то же в каждом уравнении, вам не нужно изменять ни одно уравнение. Просто сложите или вычтите.

Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3.

Пример 3

Найдите a и b .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

Теперь, если вы вычтете одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.

Это утверждение всегда верно .

Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. Фактически, любая замена a и b , которая делает одно из уравнений истинным, также делает истинным другое уравнение.Например, если a = –6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.

[3 (- 6) + 4 (5) = 2 И 6 (- 6) + 8 (5) = 4]

В действительности мы имеем только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.

Пример 4

Решите относительно x и y .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание на то, что происходит.

Теперь, если вы вычтете нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение никогда не соответствует действительности . Когда это происходит, система уравнений не имеет решения.

В примерах 1–4 только одно уравнение было умножено на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение необходимо умножить на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.

Решите относительно x и y .

Обратите внимание, что не существует простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед x или y , чтобы они стали одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:

  1. Выберите букву, которую нужно удалить.

  2. Используйте две цифры слева от этой буквы. Найдите наименьшее общее кратное этого значения как желаемое число перед каждой буквой.

  3. Определите, на какое значение необходимо умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.

Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .

Теперь вычтите второе уравнение из первого, чтобы получить следующее:

На этом этапе вы можете либо заменить y на и решить для x (метод 1, который следует далее), либо начать с исходных двух уравнений и исключить y , чтобы решить для x (метод 2, который следует).

Метод 1

Используя верхнее уравнение: замените y на и решите относительно x .

Метод 2

Исключаем y и решаем относительно x .

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее уравнение на 2.

Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить и .

Решение: x = 1 и.

Метод замещения

Иногда систему проще решить с помощью метода подстановки . Этот метод включает замену одного уравнения в другое.

Пример 6

Решите относительно x и y.

Из первого уравнения замените ( y + 8) на x во втором уравнении.

( y + 8) + 3 y = 48

Теперь решите для г. Упростите, объединив и .

Теперь вставьте значение y , 10, в одно из исходных уравнений.

Ответ: y = 10, x = 18

Проверьте решение.

Пример 7

Решите для x и y , используя метод подстановки.

Сначала найдите уравнение, в котором перед буквой стоит цифра «1» или «- 1». Решите эту букву с точки зрения другой буквы.

Затем действуйте как в примере 6.

В этом примере в нижнем уравнении перед и стоит «1».

Решите относительно и , используя x .

Замените 4 x -17 на y в верхнем уравнении, а затем решите относительно x .

Замените x на 4 в уравнении y - 4 x = –17 и решите относительно y .

Решение: x = 4, y = –1.

Проверить решение:

Метод построения графика

Другой метод решения уравнений - это построения каждого уравнения на координатном графике. Координаты перекрестка будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно просмотрите статьи по координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.

Пример 8

Решите систему, построив график.

Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. (Хотя для определения прямой необходимы только две точки, поиск третьей точки - хороший способ проверки.) Ниже приведены таблицы значений x и y :

Теперь изобразите две линии на координатной плоскости, как показано на рисунке 1.

Точка пересечения двух линий (4, 0) - это решение системы.

Если линии параллельны, они не пересекаются, и, следовательно, для этой системы нет решения.

Рисунок 1. График из линий x = 4 + y и x - 3 y = 4, указывающих решение.

Пример 9

Решите систему, построив график.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.

3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4

Ниже приведены таблицы значений x и y .См. Рисунок 2.

х

л

0

2

- 1

4

х

л

0

2

- 1

4

Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению.Эти уравнения представляют собой одну и ту же линию.

Следовательно, решение не единственное. Решение - это все точки на линии.

Следовательно, решением является любое уравнение линии, поскольку они оба представляют одну и ту же линию.

Это похоже на пример когда это было сделано с использованием метода сложения / вычитания.

Рисунок 2. График из линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4, указывающих решение.

Пример 10

Решите систему, построив график.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. Следующие таблицы значений x и y :

х

л

0

1

2

4

–2

х

л

0

2

2

4

-1

Обратите внимание на то, что на рисунке 3 два графика параллельны.Они никогда не встретятся. Следовательно, у этой системы уравнений нет решения.

Для этой системы уравнений не существует решения.

Это похоже на пример выполняется методом сложения / вычитания.

Рисунок 3. График из линий 3 x + 4 y = 4 и 6 x + 8 y = 16, указывающих решение.

5.3: Решение систем уравнений методом исключения

Мы решили системы линейных уравнений с помощью построения графиков и подстановки.Построение графиков хорошо работает, когда переменные коэффициенты малы, а решение имеет целочисленные значения. Подстановка работает хорошо, когда мы можем легко решить одно уравнение для одной из переменных и не иметь слишком много дробей в результирующем выражении.

Третий метод решения систем линейных уравнений называется методом исключения. Когда мы решали систему с помощью подстановки, мы начинали с двух уравнений и двух переменных и сводили ее к одному уравнению с одной переменной. То же самое мы сделаем и с методом исключения, но у нас будет другой способ добиться этого.

Решите систему уравнений методом исключения

Метод исключения основан на добавочном свойстве равенства. Свойство сложения равенства говорит, что когда вы добавляете одинаковую величину к обеим сторонам уравнения, вы все равно получаете равенство. Мы расширим свойство сложения равенства, чтобы сказать, что когда вы добавляете равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты равны.

Для любых выражений a , b , c и d ,

\ [\ begin {array} {lc} \ text {if} & a = b \\ \ text {and} & c = d \\ \ text {then} & a + c = b + d \ end {array} \]

Чтобы решить систему уравнений методом исключения, мы начнем с обоих уравнений в стандартной форме.Затем мы решаем, какую переменную будет легче всего устранить. Как мы решаем? Мы хотим, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, чтобы мы могли сложить уравнения и исключить эту переменную.

Обратите внимание, как это работает, когда мы складываем эти два уравнения вместе:

\ [\ begin {array} {l} 3x + y = 5 \\ \ underline {2x-y = 0} \\ 5x \ quad \ quad = 5 \ end {array} \]

и складываются с нулем, и мы получаем одно уравнение с одной переменной.

Давайте попробуем еще один:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} {x + 4 y = 2} \\ {2 x + 5 y = -2} \ end {array} \ right.\]

На этот раз мы не видим переменную, которую можно было бы немедленно удалить, если мы добавим уравнения.

Но если мы умножим первое уравнение на −2, мы сделаем коэффициенты при x противоположными. Мы должны умножить каждый член в обеих частях уравнения на −2.

Теперь мы видим, что коэффициенты членов x противоположны, поэтому x будет удалено, когда мы сложим эти два уравнения.

Сложите уравнения самостоятельно - результат должен быть −3 y = −6.И это кажется несложным, не так ли? Вот как бы это выглядело.

Сделаем еще один:

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} {4 x-3 y = 10} \\ {3 x + 5 y = -7} \ end {array} \ right. \]

Не похоже, чтобы коэффициенты одной переменной были противоположными, умножая одно из уравнений на константу, если мы не используем дроби. Поэтому вместо этого нам придется умножить оба уравнения на константу.

Мы можем сделать коэффициенты x противоположными, если умножим первое уравнение на 3, а второе на −4, так что мы получим 12 x и −12 x .

Это дает нам два новых уравнения:

\ [\ left \ {\ begin {выровнено} 12 x-9 y & = 30 \\ - 12 x-20 y & = 28 \ end {align} \ right. \]

Когда мы складываем эти уравнения,

\ [\ [\ left \ {\ begin {array} {r} {12 x-9 y = 30} \\ {\ underline {-12 x-20 y = 28}} \\\ end {array} \ вправо. \\\ quad \ qquad {-29 y = 58} \] \]

исключаются элементы x , и остается −29 y = 58.

Как только мы получаем уравнение с одной переменной, мы его решаем.Затем мы подставляем это значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти оставшуюся переменную. И, как всегда, мы проверяем наш ответ, чтобы убедиться, что он является решением обоих исходных уравнений.

Теперь мы увидим, как использовать исключение для решения той же системы уравнений, которую мы решили с помощью построения графиков и подстановки.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {3 x + y = 5} \\ {2 x-3 y = 7} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(2, -1)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {4 x + y = -5} \\ {-2 x-2 y = -2} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(-2,3)

Шаги перечислены ниже для удобства.

КАК РЕШИТЬ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ПУТЕМ ИСКЛЮЧЕНИЯ.

  1. Запишите оба уравнения в стандартной форме. Если какие-либо коэффициенты являются дробными, очистите их.
  2. Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
    • Решите, какую переменную исключить.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположными.
  3. Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную.
  4. Найдите оставшуюся переменную.
  5. Подставьте решение из шага 4 в одно из исходных уравнений. Затем найдите другую переменную.
  6. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  7. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Сначала мы приведем пример, в котором мы можем сразу исключить одну переменную.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {x + y = 10} \\ {x-y = 12} \ end {array} \ right. \)

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {2 x + y = 5} \\ {x-y = 4} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(3, -1)

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {x + y = 3} \\ {-2 x-y = -1} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(-2,5)

В упражнении \ (\ PageIndex {7} \) мы сможем сделать коэффициенты одной переменной противоположными, умножив одно уравнение на константу.

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {3 x-2 y = -2} \\ {5 x-6 y = 10} \ end {array} \ right. \)

Ответ

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {4 x-3 y = 1} \\ {5 x-9 y = -4} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(1,1)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Решите систему методом исключения. \ (\ Left \ {\ begin {array} {l} {3 x + 2 y = 2} \\ {6 x + 5 y = 8} \ end {array} \ right. \ )

Ответ

(-2,4)

Теперь мы рассмотрим пример, в котором нам нужно умножить оба уравнения на константы, чтобы сделать коэффициенты одной переменной противоположными.

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {4 x-3 y = 9} \\ {7 x + 2 y = -6} \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере мы не можем умножить одно уравнение на любую константу, чтобы получить противоположные коэффициенты. Поэтому мы стратегически умножим оба уравнения на константу, чтобы получить противоположности.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {3 x-4 y = -9} \\ {5 x + 3 y = 14} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(1,3)

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {7 x + 8 y = 4} \\ {3 x-5 y = 27} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(4, −3)

Когда система уравнений содержит дроби, мы сначала очистим дроби, умножив каждое уравнение на его ЖК-дисплей.

Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {x + \ frac {1} {2} y = 6} \\ {\ frac {3} {2} x + \ frac {2} {3} y = \ frac {17} {2}} \ end {array} \ right. \)

Ответ

В этом примере в обоих уравнениях есть дроби. Нашим первым шагом будет умножение каждого уравнения на его ЖК-дисплей, чтобы очистить дроби.

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {\ frac {1} {3} x- \ frac {1} {2} y = 1} \\ {\ frac {3} {4} xy = \ frac {5} {2}} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(6,2)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {x + \ frac {3} {5} y = - \ frac {1} {5}} \\ {- \ frac {1} {2} x- \ frac {2} {3} y = \ frac {5} {6}} \ end {array} \ right. \)

Ответ

(1, −2)

В разделе «Решение систем уравнений с помощью построения графиков» мы увидели, что не все системы линейных уравнений имеют единственную упорядоченную пару в качестве решения.Когда два уравнения действительно представляли собой одну и ту же линию, решений было бесконечно много. Мы назвали это последовательной системой. Когда два уравнения описывали параллельные линии, решения не было. Мы назвали это несовместимой системой.

Упражнение \ (\ PageIndex {16} \)

Решите систему методом исключения. \ (\ Left \ {\ begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \\ {y = 3- \ frac {3} {4} x} \ end { array} \ right. \)

Ответ

\ (\ begin {array} {ll} & \ left \ {\ begin {выровнено} 3 x + 4 y & = 12 \\ y & = 3- \ frac {3} {4} x \ end {выровнено} \верно.\\\\\ text {Запишите второе уравнение в стандартной форме.} & \ left \ {\ begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \\ {\ frac {3} {4} x + y = 3} \ end {array} \ right. \\ \\ \ text {Очистите дроби, умножив второе уравнение на 4.} & \ left \ {\ begin {align} 3 x + 4 y & = 12 \ \ 4 \ left (\ frac {3} {4} x + y \ right) & = 4 (3) \ end {align} \ right. \\\\ \ text {Упростить.} & \ left \ {\ begin {array} {l} {3 x + 4 y = 12} \\ {3 x + 4 y = 12} \ end {array} \ right . \\\\ \ text {Чтобы исключить переменную, мы умножаем второе уравнение на -1.} & \ left \ {\ begin {array} {c} {3 x + 4 y = 12} \\ \ underline {- 3 x-4 y = -12} \ end {array} \ right.\\ & \ qquad \ qquad \ quad 0 = 0 \\ \ text {Упростить и добавить.} \ end {array} \)

Это верное заявление. Уравнения непротиворечивы, но зависимы. Их графики будут одной линией. У системы бесконечно много решений.

После того, как мы очистили дроби во втором уравнении, заметили ли вы, что эти два уравнения совпадают? Это означает, что у нас есть совпадающие линии.

Упражнение \ (\ PageIndex {17} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {5 x-3 y = 15} \\ {y = -5 + \ frac {5} {3} x} \ end {array} \ right. \ )

Ответ

бесконечно много решений

Упражнение \ (\ PageIndex {18} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {x + 2 y = 6} \\ {y = - \ frac {1} {2} x + 3} \ end {array} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений

Упражнение \ (\ PageIndex {19} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {- 6 x + 15 y = 10} \\ {2 x-5 y = -5} \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ (\ begin {array} {ll} \ text {Уравнения в стандартной форме.} & \ Left \ {\ begin {align} -6 x + 15 y & = 10 \\ 2 x-5 y & = -5 \ end {align} \ right. \\\\ \ text {Умножьте второе уравнение на 3, чтобы исключить переменную.} & \ Left \ {\ begin {array} {l} {- 6 x + 15 y = 10} \\ {3 (2 x-5 y) = 3 (-5)} \ end {array} \ right. \\\\ \ text {Упростить и добавить.} & \ Left \ {\ begin {align} {-6 x + 15 y = 10} \\ \ underline {6 x-15 y = -15} \ end {align} \ right.\\ & \ qquad \ qquad \ quad0 \ neq 5 \ end {array} \)

Это утверждение неверно. Уравнения несовместимы, поэтому их графики будут параллельными линиями.

В системе нет решения.

Упражнение \ (\ PageIndex {20} \)

Решите систему устранением. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} {- 3 x + 2 y = 8} \\ {9 x-6 y = 13} \ end {array} \ right. \)

Ответ

нет решения

Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

Решите систему устранением.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} {7 x-3 y = -2} \\ {-14 x + 6 y = 8} \ end {array} \ right. \)

Ответ

нет решения

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск