Системы показательных уравнений и неравенств

Известные вам способы решения алгебраических уравнений (подстановка, сложение, введение новых переменных) применяются и к решению систем, содержащих показательную функцию. Давайте рассмотрим решение систем показательных уравнений и неравенств на примерах.

Задание 1. Решите систему уравнений.

Решение.

Ответ: решением исходной системы уравнений является упорядоченная пара чисел .

Задание 2. Решите систему уравнений.

Решение.

Не забудем записать ответ: решением нашей исходной системы являются упорядоченные пары чисел .

Задание 3. Решите систему уравнений.

Решение.

Запишем ответ: решением исходной системы уравнений является упорядоченная пара чисел .  

Задание 4. Решите систему неравенств.

Решение.

Ответ: решением исходной системы неравенств является промежуток  

Задание 5. Решите систему неравенств.

Решение.

Ответ: решением исходной системы неравенств является объединение

.

«Системы показательных уравнений и неравенств»

Системы показательных

уравнений и неравенств

Блиц-опрос

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения функции y= 0,4 x ?

3. Какова область определения показательной функции?

4. Какова область значения функции y= 0,4 x ?

5. При каком условии показательная функция является возрастающей?

6. При каком условии показательная функция является убывающей?

7. Возрастает или убывает показательная функция y= 4 x ?

8. Имеет ли решение уравнение 0,4 x =10 ?

9. Имеет ли решение уравнение 0,4 x =-0,4 ?

Математический диктант

Если ответ правильный то «+»; если неверный то «-».

Математический диктант

Напишите метод решения показательного уравнения:

• Приведение к одному основанию;
• Вынесение общего множителя за скобки;
• Замена переменного (приведение к квадратному).

Ответы

1. + 6. В

2. — 7. А

3. — 8. С

4. — 9. В

5. + 10. В

Критерии

Оценка «5»  ставится: нет ошибок и исправлений

Оценка  «4» ставится: 1-2 ошибки

Оценка  «3» ставится: 3-4 ошибки

Оценка  «2» ставится: 5 и более ошибок.

Тема урока:

«Системы показательных уравнений и неравенств»

Цель урока:

Обобщить и закрепить знания о способах решения показательных уравнений и неравенств, содержащихся в системах уравнений и неравенств на основе свойств показательной функции.

Способы решения систем уравнений:

• Способ подстановки.
• Способ сложения.
• Графический способ.
• Способ введения новых переменных.

Способ подстановки:

• берется любое из данных уравнений и выражается y через x;
• затем y подставляется в уравнение системы, откуда и находится переменная x;
• после этого легко вычисляется переменная y.

Способ сложения:

необходимо умножать одно или оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении вместе обоих одна из переменных «исчезла».

Графический способ:

оба уравнения системы изображается на координатной плоскости и находится точка их пересечения.

Ответ: (1,2)

Способ введения новых переменных:

мы делаем замену каких-либо выражений для упрощения системы, а потом применяем один из выше указанных способов.

Системы уравнений, состоящие из показательных уравнений, называются системой показательных уравнений . Cистемы неравенств, состоящие из показательных неравенств, называются системой показательных неравенств.

Пример 1:

Решить систему уравнений:

Решение :

Пример 2:

Решить систему уравнений:

Решение :

Ответ: (0,1).

Пример 3:

Решить систему неравенств:

Решение :

Ответ: (3;+  ).

Приобретать знания – храбрость

Приумножать их – мудрость

А умело применять – великое искусство

Задачи для решения на уроке:

• № 240(4), №242(2), №244 (1).
• (Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы)

Рефлексия:

• сегодня я узнал(а)…
• было трудно…
• я понял(а), что…
• я научил(а)ся…
• я смог(ла)…
• было интересно узнать, что…
• меня удивило…
• мне захотелось…

Домашнее задание:

(1) §6, п.1,2, §1,2, §10, (2), §4, №40(2,4), §7, №66(5,7)

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. – Москва, 2012.

Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – Москва, 2011.

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств. Теория

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 2. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.

Теория

Конспект урока

На предыдущем уроке мы уже обсуждали важный факт, касающийся показательной функции, а именно то, что она монотонна на всей области определения. То есть, при основании  показательная функция монотонно возрастает (с увеличением переменной увеличиваются и значения функции), а при основании  монотонно убывает (с увеличением переменной значения функции уменьшаются).

Этот факт нам наглядно подтвердили и графики показательной функции для обоих вариантов значения основания.

Это свойство очень помогло нам при решении показательных уравнений, так как из него следовало следующее утверждение: .

Оказывается, пользуясь этим свойством можно вывести и правило для решения показательных неравенств.

Рассмотрим два случая.

1)                      . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно возрастает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (мы говорили, что значение функции тем больше, чем больше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

2)                      . В этом случае, как мы уже говорили, показательная функция монотонно убывает. Поэтому неравенство  будет выполнено для всех  (мы говорили, что значение функции тем больше, чем меньше значение переменной, значит, чтобы значение функции было больше, чем , необходимо, чтобы переменная .

Таким образом, можно сформулировать общую схему решения показательных неравенств:

1)                      Свести к простейшему показательному неравенству: .

2)                      Решить полученное неравенство по следующему правилу:

То есть, если основание больше 1, то мы сохраняем знак неравенства, а если основание меньше 1, то меняем знак неравенства на противоположный.

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример № 1.

 (знак неравенства не меняется, так как основание 2>1).

Пример № 2.

  (знак неравенства меняется на противоположный, так как основание 0<0,5<1).

 

Стоит отметить, что основные виды показательных неравенств совпадают с основными видами показательных уравнений. Однако решение неравенств, традиционно, несколько сложнее, так как требует, в частности, отслеживания значения основания.

Основные виды показательных неравенств:

1)   Простейшие ().

2)   Сводящиеся к простейшим с помощью использования свойств степени ().

3)   С вынесением общей степени ().

4)   Сводящиеся к квадратным ().

5)    Однородные ().

Системы показательных уравнений можно разделить на несколько типов. 

1)      Самые простые – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которая решается любым из удобных методов.

Пример такой системы: .

2)      Ещё один важный тип систем показательных уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены.

Пример такой системы: .

3)      Также существуют системы показательных уравнений, которые решаются различными методами. К ним относятся, к примеру, такие системы: .

Более подробно о решении систем показательных уравнений мы поговорим в практической части урока.

Системы показательных неравенств преимущественно решаются стандартным методом.  

Каждое из неравенств решается по отдельности (методы решения показательных неравенств мы подробнее обсудим в практической части урока), а затем находится пересечение полученных множеств решений каждого из неравенств.

Пример системы показательных неравенств: .

На этом уроке мы с вами изучили метод решения простейших показательных неравенств, рассмотрели основные виды показательных неравенств, систем показательных уравнений и неравенств.

В практической части урока мы подробно разберём основные методы решения показательных неравенств, а также систем показательных уравнений и неравенств.

 

Вставка 1. Решение системы неравенств

 

Давайте вспомним – как же решать системы неравенств. Речь пойдёт не о специфических системах (показательных, иррациональных или каких-то других), а о последнем шаге решения таких примеров.

Напомним, что подавляющее большинство таких систем разбиваются на решение нескольких отдельных неравенств. В результате получается несколько различных множеств решений каждого из неравенств. Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение полученных множеств.

Об этой части решения мы и поговорим.

Если у вас есть определённая практика и «набита рука» на решение подобных задач, то найти пересечение числовых множеств можно и «в уме». Однако, если уверенности в правильности выводов нет или множества получаются слишком громоздкими, то лучше воспользоваться проверенным средством – изображением этих множеств на числовой прямой.

 

Давайте вспомним, как это делается, на простых примерах.

 

Пример № 1. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой. Для этого вспомним основные правила:

1)      Если неравенство строгое (<,>), то соответствующая точка на числовой прямой «выкалывается», а если нестрогое (), то нет.

2)      Если знак неравенства «меньше» или «меньше или равно» (<,), то штрихуется промежуток слева от точки, а если «больше» или «больше или равно» (>,), то – справа.

3)      Решение каждого из неравенств штрихуется по-разному, чтобы впоследствии можно было найти пересечение и выписать окончательный ответ.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

Ответ:.

 

Пример № 2. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

Ответ:.

 

Пример № 3. Найти решение системы неравенств: .

Решение: изобразим решение каждого из неравенств на числовой прямой.

Для данной системы неравенств решение будет выглядеть так:

 

Ответ: решений нет.

 

Пример № 4. Найти решение системы: .

Решение: изобразим каждое из множеств на числовой прямой.

Для данной системы пересечение множеств будет следующим:

Ответ:.

 

Полезные ссылки:

1) Алгебра 11 класс: «Показательная функция, ее свойства и простейшие показательные неравенства» 

2) Алгебра 11 класс: «Показательные неравенства» 

3) Алгебра 11 класс: «Показательные неравенства. Более сложные случаи» 

4) Алгебра 11 класс: «Показательно-степенные неравенства» 

Теоретический опрос с одним письменным заданием 10 класс на тему «Системы показательных уравнений и неравенств»

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения функции y=0,5^x?

3. Какова область определения показательной функции?

4. Какова область значения функции y=0,5^x?

5. Какими свойствами может обладать функция?

6. При каком условии показательная функция является возрастающей?

7. При каком условии показательная функция является убывающей?

8. Возрастает или убывает показательная функция

9. Какое уравнение называется показательным?

Диагностика уровня формирования практических навыков.

10 задание записать решение в тетрадях. (7 мин)

10. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства

2³ < 2^х ;3^х < 81 ; 3^х < 3⁴

11. Решите уравнение: 3^x = 1

12. Вычислить 7,8⁰; 9,8⁰

13. Указать способ решения показательных уравнений и решить его:

1. Какая функция называется показательной?

2. Какова область определения функции y=0,5^x?

3. Какова область определения показательной функции?

4. Какова область значения функции y=0,5^x?

5. Какими свойствами может обладать функция?

6. При каком условии показательная функция является возрастающей?

7. При каком условии показательная функция является убывающей?

8. Возрастает или убывает показательная функция

9. Какое уравнение называется показательным?

Диагностика уровня формирования практических навыков.

10 задание записать решение в тетрадях. (7 мин)

10. Зная свойства возрастающей и убывающей показательной функции, решите неравенства

2³ < 2^х ;3^х < 81 ; 3^х < 3⁴

11. Решите уравнение: 3^x = 1

12. Вычислить 7,8⁰; 9,8⁰

13. Указать способ решения показательных уравнений и решить его:

Урок. Решение показательных уравнений и неравенств. 10 класс

Урок по теме

«Решение показательных уравнений и неравенств»

(подготовка к контрольной работе)

Цели:

— закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств и уравнений;

— выработка умений систематизировать изученный материал, выделять общие и отличительные признаки;

— развитие навыков самоконтроля;

— формирование умений работать самостоятельно, принимать решения и делать вывод;

— осознание социальной, практической и личной значимости материала по теме.

Методы и приёмы: частично- поисковый, самостоятельного решения, проблемный, беседа, диалог, ИКТ.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в парах.

Технологии: дифференцированного обучения, коммуникативного общения, здоровьесберегающие, развивающее обучение, кейс-технология, как основа.

Ход урока

2. Мотивация учебной деятельности

Эпиграфом нашего урока будут слова М. В. Ломоносова «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения»

2

3. Постановка целей

На слайде перечислены последовательно изученные темы по главе «Показательная функция». Учитывая, что сегодня заключительный урок, давайте определим, что предстоит сделать сегодня на уроке (возможные ответы: решать показательные уравнения и неравенства, повторять методы решения показательных уравнений и неравенств, готовиться к контрольной работе и т.п.)

Кейс

1. Показательная функция. График. Свойства.

2. Простейшие показательные уравнения.

3. Виды и методы решения показательных уравнений.

4. Показательные неравенства.

5. Показательная функция в жизни человека.

3

Итак, тема урока «Решение показательных уравнений и неравенств».

4

4. Актуализация знаний

а) Повторение

Какая функция называется показательной?

Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5^x, 4) у = x³.

5

Сформулируйте основные свойства показательной функции.

Верно ли утверждение?

— функция y =2^x убывающая

— функция y = (0,3)^x возрастающая

— функция y = (0,9)^-x возрастающая

— график показательной функции проходит через точку с координатой (0;1)

6

Устная работа

Какое уравнение называется показательным?

х = 5

х = 4

х = -2

х = -2

х = 0

х = 0

решений нет

х – любое

решений нет

7

Устная работа

Для чего необходимо знать свойства возрастания и убывания функции?

8	б) Определение метода решения показательного уравнения У вас на столах листы. Подпишите их. Мы изучили с вами достаточно подробно несколько аналитических методов решения показательных уравнений, в том числе и те, которых нет в ваших учебниках. Назовите их. Перед вами 10 уравнений на слайде и на ваших листочках. Задание: внести в таблицу метод решения уравнения и номер уравнения, который можно решить с помощью данного метода. х=1
10		Уравнение смешанного типа. Решаются с помощью формул рационализации	х=2 х=-5

9

Проверка правильности заполнения таблицы

выключаем проектор	5. Решение показательных уравнений А.Эйнштейн говорил: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. И решать их нужно правильно» Работа на доске и в тетрадях. Отложите листочки. В тетрадях запишите число, «Классная работа». На доске и в тетрадях решаем уравнения №1, 4, 6 и 9*(для тех, кто справится с работой раньше. Формулы для решения данного уравнения вы найдете в маршрутных листах) № 1 х=3 № 4 х=0 № 6 х=1
	Страничка ЕГЭ №15 (задание с развернутым ответом, №15) Ответ: х≠0
10	6. Дифференцированная самостоятельная работа Я предлагаю вам выполнить самостоятельно работу в тетрадях, выбрав тот уровень, который соответствует вашему усвоению материала. Кто закончит раньше, решите уравнение 8 на дополнительную оценку. г) ()

Собрать тетради с самостоятельной работой.

своя презентация

7. Применение показательной функции в физике

8. Домашнее задание

В начале урока мы определяли методы решения уравнений. Эти уравнения предлагаю вам решить дома (они будут в эл. дневнике), если выполнение вызовет затруднение, то до следующего урока можно будет получить консультацию по решению. Для интересующихся математикой: во вложении познакомлю вас более детально с формулами рационализации, с конкретными решениями примеров с использованием данных формул и подберу примеры для их отработки.

11

11. Итог урока. Рефлексия

Сегодняшний урок я хочу закончить небольшим упражнением, которое придумал доктор Медицинских наук, доктор философии Кембриджского университета Эдвард де Боне. Называется это упражнение «Плюс- минус — интересно». Такую же таблицу мы предложим заполнить гостям, присутствующим на нашем уроке. Подписывать работы не нужно.

Плюс – что понравилось на уроке, что было понятно.

Минус — что не понравилось, что было непонятно.

Интересно – любопытные факты, виды работ, вызвавшие ваш интерес.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Ф.И. ученика _____________________________________________

«Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения» (М.В.Ломоносов)

1. Кейс

1. Показательная функция. График. Свойства.

2. Простейшие показательные уравнения.

3. Виды и методы решения показательных уравнений.

4. Показательные неравенства.

5. Показательная функция в жизни человека.

2. Определение метода решения показательного уравнения

*Метод рационализации

*Решить уравнение:

;

б)

Страничка ЕГЭ

№15 (задание с развернутым ответом, №15):

Дифференцированная самостоятельная работа

а)

а) —

б) = 1

б)

б)

в)

в)

в)

г)

*Доказать, что уравнение

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рефлексия.

Практика.

Показательная функция в физике.

Рефлексия.

Рефлексия.

Практика.

Показательная функция в физике.

Рефлексия.

Рефлексия.

Практика.

Показательная функция в физике.

Рефлексия.

Методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме: Урок по алгебре «Системы показательных уравнений и неравенств»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

план урока по алгебре и началам анализа. показательные уравнение и неравенства

посмотрите…

конспект урока по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств». алгебра 11 класс

Используется дифференцированный метод обучения….

Обобщающий урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств»

Разработка открытогоурока в 10 классе с целью актуализации опорных знаний при решении показательных уравнений и неравенств. При этом проверка усвоения темы идёт на обязательном уровне. Учащиеся демонс…

Урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств». 11 класс.

Данная разработка содержит  конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств» для 11 класса, общеобразовательной школы , а также презен…

Решение показательных уравнений и неравенств. Урок алгебры в 11 классе.

Отработка этого материала необходима, так как ежегодно в заданиях ЕГЭ встречается эта тема….

Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Презентация на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ» является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр…

Методические рекомендации к урокам алгебры и начал анализа в 10 классе по теме: «Решение показательных уравнений и неравенств»

Материал содержит обобщение основных способов решения показательных уравнений и неравенств…

Тест. Системы показательных уравнений и неравенств

© 2018, ООО КОМПЭДУ, http://compedu.ru При поддержке проекта http://videouroki.net

Будьте внимательны! У Вас есть 20 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Решите систему уравнений 2x·3y=24,2y·3x=54. Укажите чему равна сумма ее решений х + у.

Варианты ответов

Вопрос 2

Найдите произведение ху, если (х;у) — решение системы xy=9,324y=2×2.

Варианты ответов

Вопрос 3

Найдите сумму значений х и у, являющихся решениями системы 22x+1-2x·3y+1+9y=3,4x+2x+1·3y+8·9y=16.

Варианты ответов

Вопрос 4

Решите систему неравенств 4x-5·2x+4≤0,12×2+1>14. 

Варианты ответов

• [0;1)
• [0;2]
• (-1;1)
• (-1;2]

Вопрос 5

Решите систему неравенств 3·19x-4·13x+1>0,2×2-3x≤16. Укажите из каких промежутков состоит множество её решений.

Варианты ответов

• [-1;0)
• (1;4]

• 1;+∞

• -∞;0

Вопрос 6

Решите систему уравнений: 32x-y-23x-y=6536,xy-x+y=118. Укажите её решения.

Варианты ответов

• (-10;-12)
• (12;10)
• (120;2)
• (2;120)

Вопрос 7

Решите систему уравнений 2x+y3+2x+y6=6,x2+5y2=6xy. Укажите её решения.

Варианты ответов

Вопрос 8

Найдите сумму значений х и у, являющихся решениями системы 2x+y4+2x+y2=6,2x+2y=17.

Вопрос 9

Найдите сумму значений х и у, являющихся решениями системы xx+y=y12,yx+y=x3.

Вопрос 10

Найдите сумму значений х и у, являющихся решениями системы 2x+y2=y-x,3x+3=28·3y.