Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например уравнение  или неравенство  с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Поясним на простейших примерах.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра  решить уравнение относительно .

Пусть , тогда имеем простейшее линейное уравнение:

В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра а (

)

Рассмотрим два случая. При  мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:

Ответ: при  решений нет, при

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.

Пример 2 – решить неравенство с параметром:

Если а – конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:

у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:

Ответ: при  решений нет; при  

; при  

Пример 3 – решить уравнение с параметром:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:

При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к.

, а с другой стороны не равен пяти, т. к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, кроме того получаем выражение , а такого выражения не существует.

Когда , противоречий не возникает

Ответ: при  решений нет, при

Пример 4 – решить уравнение с параметром:

Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:

Ответ: при  ; при   

Решим иррациональное неравенство с параметром.

Пример 5 – решить неравенство с параметром:

Исследуем данное неравенство.

х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х  — все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если  меньше нуля и корень существует, то неравенство выполняется. Если , любой неотрицательный х удовлетворяет неравенству. Если же  больше нуля, имеем право возвести в квадрат:

Ответ: при  ; при  

Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части: , область определения данной функции

. Рассекаем полученную кривую семейством прямых  и находим точки пересечения.

По рисунку очевидно, что когда  , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.

Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения , поэтому решением неравенства является

Очевидно, что ответ совпадает с ответом при решении аналитическим способом.

 

Пример 6 – решить уравнение с параметром:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.

Рассматриваем два варианта – либо , но корень при этом должен существовать, либо , в таком случае а – любое число:

Ответ: при  ; при

Итак, мы рассмотрели решение различных простых задач, в которых присутствует параметр. Далее рассмотрим задачи, в которых присутствуют линейные функции и параметр.

  

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Параметры (Источник).

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10-11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 132, 137, 138 ст. 282-283;

2. Решить уравнение с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Разработка практических заданий на тему «Показательные уравнения и неравенства, система линейных уравнений»

Практические задания на тему «Показательные уравнения и неравенства, система линейных уравнений»

2.Решить неравенство:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

3.Решить систему уравнений:

1) 2)

3) 4)

4. Решить уравнение:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5. 1)Из пары чисел (−2; 1), (2; −1), (1; 2) выберите решение системы линейных уравнений

2) Из пары чисел (−2; 1), (−1; 2), (1; 2) выберите решение системы линейных уравнений

6) a)Графическим способом решите систему линейных уравнений

б) Графическим способом решите систему линейных уравнений

в) Решите систему уравнений способом подстановки.

г) Решите систему уравнений способом подстановки.

д) Систему уравнений решите способом сложения.

ж) Систему уравнений решите способом сложения.

7) Решите систему уравнений:

Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему: 10 класс. Алгебра. Показательные уравнения и неравенства. Самостоятельная работа

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока алгебры в 11 классе «От показательных уравнений к показательным неравенствам»

Данную презентацю можно использовать в качестве сопровождения при объяснении темы «Показательные неравенства»….

11 класс, алгебра. «Показательные уравнения»

Конспект урока математики по системе развивающего обучения Л.В. Занков…

Конспект по алгебре «Показательные уравнения и неравенства»

Основные методы решения уравнений и неравеств 10 класс…

Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Презентация на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ» является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр…

самостоятельная работа по теме Показательные уравнения и неравенства

материал для проверки знаний обучающихся по теме Показательные уравнения и неравенства  составлен по заданиям ЕГЭ в 4 вариантах…

Проверочная работа по теме « Показательная функция, показательные уравнения и неравенства » 11 класс

Проверочная работа по теме « Показательная функция, показательные уравнения и неравенства » для учащихся 11 класса составлена в двух вариантах и содержит по 8 заданий. Работа может быть ис…

Контрольная работа по алгебре в 10 классе по теме «Логарифмы. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства».

Работа содержит логарифмические выражения , логарифмические и показательные уравнения и неравенства , систему неравенств , уравнение с параметром….

План-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему: Обобщающий урок по теме «Решение показательных уравнений и неравенств»

Тема урока: Решение показательных уравнений и неравенств.

Цели урока:

1. Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся, связанные с решением показательных уравнений и неравенств.
2. Повторить основные способы решения показательных уравнений и неравенств.
3. Воспитывать способность следовать нормам поведения.
4. Показать возможности применения ПК на уроках математики.

Технические средства и оформление: ПК, тестовая оболочка, мультимедийная презентация, карточки для учащихся.

План урока:

1. Оргмомент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение теоретического материала.
4. Устная работа.
5. Самостоятельная тестовая работа.
6. Устная работа.
7. Дифференцированная работа:

1. тестирование с помощью ПК;
2. работа по карточкам;
3. работа с учебником.

8. Устная работа.
9. Подведение итогов урока.
10. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент: проверка готовности класса к уроку, проверка отсутствующих.

2. Проверка домашнего задания. Из домашнего задания на доске разбираются задания, вызвавшие у учеников затруднения при их выполнении дома.

3. Повторение теоретического материала. 

Учитель: А сейчас вспомним основные вопросы, связанные с решением показательных уравнений и неравенств:

1. Какие уравнения (неравенства) называются показательными?
2. Какие основные способы решения показательных уравнений вы знаете?
3. На что необходимо обратить внимание при решении показательных неравенств?
4. Каким способом можно решить

А) уравнение вида        ;

Б) неравенство вида             ?

4. Устная работа. 

Учитель: Давайте устно решим уравнения и неравенства.

1.Решить уравнения:

2.Решить неравенства:

3. Найти область определения функции:

5. Самостоятельная тестовая работа. Проводится самостоятельная тестовая работа по двум вариантам (на 7 минут)

Результаты своей работы учащиеся сдают учителю для дальнейшей проверки.

6. Устная работа.

Учитель: Давайте рассмотрим несколько показательных уравнений, сводящихся к алгебраическим, и выполним следующее задание:

При помощи указанной замены переменной данное показательное уравнение привели к алгебраическому. Вставьте пропущенные коэффициенты.

1) 3*22х +4*2х – 5 = 0, t =2х;        3) 72х+2 + 3*7х+1= 53, t = 7 х;

         t2 +         t – 5 = 0.                             t2 +        t – 53 = 0.

2) 3*5х+2 + 2*5х+1=77, t = 5х;        4) 3*36х + 4*6х+1 – 8 = 0, t = 6х;

           t = 77.                                               t2 +        t – 8 = 0.

VII. Дифференцированная работа учащихся:

Пять учащихся садятся за ПК выполнять тесты, трое учащихся получают карточки для самостоятельной работы на местах, один учащийся получает карточку с заданием для решения у доски. С остальными учащимися работаем по учебнику, выполняем у доски № 261(3) и № 264(3).

Карточки для работы на местах:

Карточка № 1

№ 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 3х+2+3х+1+3х=39.

А) [-2; 0]

Б) [2; 4]

В) (4; 9]

Г) (0; 2)

№ 2. Решить неравенство: 32x-1>272 .

А) (1,5; +&)

Б) (-&; 1,5)

В) (-&; 3,5)

Г) (3,5; +&)

№ 3. Решить уравнение:

Карточка № 2

№ 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

1) 37х+6=27.                                  2) 3х-½ * 3х+1 =1

   А) (-4; -1)                                       А) [-4; -2]    

   Б) (-1; 0)                                         Б) (-2; -1)

   В) (0; 1]                                          В) [-1; 0)

   Г) (1; 4)                                          Г) (1; 2)

 

№ 2. Найдите область определения функции: .

А) [2/3; +)

Б) [1,5; +)

В) (-; 2/3]

Г) (2/3; +)

Карточка № 3

№ 1. Найдите сумму корней уравнения:

А) -2

Б) 0

В) 1

Г) 2

№ 2. Решите неравенство:

А) (-; -6]

Б) (-; -12]

В) [-6; +)

Г) (-; -1.5)

№ 3. Решите уравнение: 9х-3х-6=0

А) 1

Б) 3 и -2

В) -2

Г) 1/3

Карточка для работы у доски

Решить уравнение: 42|x|-3 – 3 . 4|x|-2 – 1=0.

Учитель: Скажите, пожалуйста, как можно решить систему уравнений

                                   у – 3=|x – 2|,

                                   y=2x-1 ?

После обсуждения у доски выполняется следующее задание:

Пусть (х0 ; у0) – решения системы     у – 3=|x – 2|   Найдите сумму х0 + у0.

                                                              y=2x-1 .

VIII. Устная работа.

1) Определите знак корня уравнения:

                   а) (1/5)х = 10;

                   б) 0,4х = 0,1;

                   в) 2,1х = 4;

                   г) 0,6х = 3.

2)Найдите ошибку в решении уравнения:

9. Подведение итогов урока.

Учитель: Итак, что мы повторили с вами на сегодняшнем уроке?

Ученики отвечают на вопросы:

— повторили основные способы решения показательных уравнений и неравенств;

— рассмотрели примеры на каждый способ решения.

Выставление оценок за урок.

10. Задание на дом:     Стр. 86 «Проверь себя!»

Задания

Ответы

Вариант I

Вариант II

а

б

в

г

1) 9-1*3х=81

2) 2х+2х+2=20

1) 4-1*2х=8

2) 3х+2-3х=24

6

-1

2

2

5

-2

1

1

1) (1/5)х <25

2) (tg /3)х-1 <9-0,5

1)(1/3)х >9

2) (cos /3)х-0.5 >√2

(-;-2)

(-1;+)

(-2;0)

(-;-1)

(-2;+)

(0;+)

(0;2)

(-;0)

22х+1-5*2х+2=0

32х+1-10*3х+3=0

1 и –1

0 и 1

0 и -1

2 и 3

Решите уравнения:

Решите неравенство:

Решите уравнение: