Контрольная точка 6. Представьте преподавателю результаты работы

Приложение 9.

6. Проверка работы учащихся.

Учащиеся демонстрируют подготовленные файлы выполненной работы.

7. Подведение итогов урока.

Научились строить графики сложных функций, получили практические навыки работы с большими таблицами.

Подводятся итоги урока, выставляются оценки с аргументацией (используются контрольные точки). Постановка задач для следующего урока.

8. Домашнее задание.

Повторить материал по теме “Построение графиков в электронных таблицах”.

Индивидуальный проект на тему «Построение сложных тригонометрических графиков»

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»

На тему: «Построение сложных тригонометрических графиков»

Выполнила студентка группы ДУ-61, обучающаяся по специальности

«Документационное обеспечение управления и архивоведение »

Куренкова Надежда Алексеевна

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: « » 2017г.

Дата защиты: « » 2017г.

Георгиевск 2017г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций.

Задачи:

• проанализировать литературу по проблеме исследования;

• раскрыть сущность методов построения графиков сложных тригонометрических функций;

• подобрать и разработать творческие задания, способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого построению графиков сложных тригонометрических функций в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Основной целью написания данного проекта является представление общих методов построения графиков сложных тригонометрических функций.

Содержание

Введение

1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

2. Графики функций: у=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx.

3. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

4.Заключение

5.Список источников

Введение

Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире. Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина”, в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 году. Сам термин “функция” впервые встречается в рукописи немецкого математика и философа Г.Лейбница. Леонард Эйлер ввёл принятые сейчас обозначения для функций. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С ним связаны имена Н.И.Лобачевского, Л.Дирихле, Г. Кантора. Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие папоротника изучает наука биология. Функции помогают описывать процессы механического движения тел небесных и земных. С помощью них учёные рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем. Наряду с другими функциями тригонометрические занимают важное место. Тригонометрия возникла из практических нужд человека. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер. Почему летом жарко? Многие считают, что летом жарче, так как Земля находится ближе всего к солнцу, но это не так. Орбита Земля – это почти круг, в центре которого находится солнце, и расстояние от Земли меняется незначительно из месяца в месяц. Всё дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Зимой солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом солнце приближается к зениту, лучи его падают почти отвесно. Поток солнечной энергии одинаков во все времена. Он зависит от угла падения лучей. Меняется угол падения и меняется доля солнечной энергии. Зависимость солнечной энергии от угла падения лучей и выражает график y = sinx.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры за 10 класс. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание. Все выше сказанное и обуславливает актуальность выбора темы для данной работы.

1. Определение синуса и косинуса

Синус, одна из тригонометрических функций, обозначение sin. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе. Инд. математики синус обозначали словом «джива» (букв. — тетива лука). Арабы переделали этот термин в «джиба», который в дальнейшем превратился в «джайо» — обиходное слово арабского языка, означающее изгиб, пазуха, складка одежды, что соответствует латинскому слову sinus.

Косинус (новолат. cosinus, сокращение от complementi sinus — синус дополнения), одна из тригонометрических функций; обозначение cos. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе.

Тангенс (от лат. tangens — касающийся), одна из тригонометрических функций; обозначение tg. Т. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к катету, прилежащему к этому углу.

Котангенс (новолат. cotangens, сокращение от complementi tangens — тангенс дополнения), одна из тригонометрических функций, обозначение ctg. К. острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к противолежащему катету.

• Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

• Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

• Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету)

• Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

2. Графики функций: у=sinx, y=cosx, y=tgx и y=ctgx

3. Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции. При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Выяснить, является ли функция четной (нечетной).

3. Выяснить, является ли функция периодической.

4. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.

5. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.

6. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.

7. Найти промежутки монотонности функции.

8. Определить экстремумы функции.

9. Вычислить вторую производную f(x)

10. Определить точки перегиба.

11. Найти промежутки выпуклости функции.

12. Найти асимптоты графика.

13. Найти значения функции в нескольких контрольных точках.

14. Построить эскиз графика функции.

Примеры

1. y=

ОДЗ: sin x ≠ 0

x ≠ πk;

y===

y=2 cos x │sin x│

a) Если sin x˃0, то y=2 cos x │sin x│

( 2πk < x < π+2πk ) y = sin 2x

T==π

b) Если sin x˂0, то y=-2cos x * sin x

( π+2πk ˂ x ˂ 2π+2πk ) y=-sin 2x

2. y=

ОДЗ: cos x ≠0

x≠;

y= =˃ y=;

a) Если cos x˃0, то y=;

( — y= cos x

b) Если cos x˂0, то y=-cos x

(

3. y= на [0;π]

ОДЗ: 2x ≠

x≠ k=0,1,2,3,4

y= ;

а) Если sin 2x˂0, то y= -=-sin2x

2πk ˂2x˂ π+2πk

б) Если sin 2x˂0, то y= sin2x

π+2πk ˂2x˂ 2π+2πk

4. y= на []

y=

ОДЗ: ctg 2x≠1

2x ≠ πk

x≠ k=0,1

2x ≠

x ≠ k=0,1,2,-1,-2

5. y=

=│cos 2x│*tg 2x=

a) Если cos 2x˂0, то y=-sin 2x

—

b) Если cos 2x˂0, то y=-sin 2x

Заключение

Таким образом, цель нашей работы –представить способы построения графиков сложных тригонометрических функций — выполнена.

В данном проекте дано определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, представлены способы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы построения графиков сложных тригонометрических функций. В работе представлены методы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы.

1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г. Мордкович и др.] – 10-е издание- Москва: Мнемозина, 2009.

2. www. wikipedia.org

Выступление на НПК по теме «Построение графиков сложных функций»

Исследовательская работа по теме:

«Построение графиков сложных функций»

Выполнила:

Ганиева Айгуль Азатовна

9 б класс

МБОУ СОШ №3

Руководитель: Гайнутдинова

Ольга Николаевна

Проблемный вопрос:

Как можно построить графики сложных функций?

Цели и задачи

• Овладеть умением представлять сложную функцию в виде композиции двух функций

• Освоить приём построения эскиза графика функции без применения производной

• Показать возможность использования схемы построения графиков сложных функций вида y=f(φ(x))

• изучить области, в которых применяется функция и её свойства

Введение

Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения.

Построение графика сложной функции вида y = f(φ(x)) без использования производной можно осуществлять элементарными способами по некоторой схеме.

Все указанные операции можно проводить непосредственно над графиками основных элементарных функций (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами), поскольку эти графики известны. Как правило, график функции y = f(φ(x)) трудно, а порой и просто невозможно построить, используя общую схему исследования функции.

Формула для задания сложной функции

y=f(g(x)) –

– сложная функция

g(x) – внутренняя функция

Пример.

g(x) = х² — 4 – внутренняя функция

f(t) = – внешняя функция

f(t) – внешняя функция

Мы предположили, что функциональные зависимости существуют во всех сферах жизни человека. Сейчас мы попытаемся это доказать.

Основная часть

Схема построения графика сложной функции

Построение графиков функций вида

Построение графиков функций вида

Построение графиков функций вида

Схема построения графика сложной функции у = f(φ(x))

• Найти область определения исследуемой сложной функции, а также граничные значения функции.

• Построить график внешней и внутренней функции.

• Построить график функции у₁ = φ(х). Отметить на этом графике характерные точки, т. е. нули и точки разрыва, найти граничные точки, одну — две промежуточные точки;

• Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек.

• Нанести полученные точки и предельные значения на рисунок, помещённый под графиком функции у₁ = φ(х) так, чтобы у₁ была продолжением оси у.

• Соединить полученные точки сплошной линией в тех промежутках, в которых функция непрерывна, и учесть (если она имеется) симметрию графика относительно точки или прямой.

Построение графиков функций вида

Сначала надо построить график линейной функции (внутренней функции)

Найти точки пересечения графика с осью x и y.

Затем в той системе координат надо построить график внешней функции, используя точки пересечения первого графика.

Построение графиков функций вида

Применение функций в точных науках

• Графики зависимости физических величин,

• параболоиды,

• отображение звуковых волн с помощью периодической функции

Периодическая функция

F(x)=F(x±nT) 

Звук, колебания за просторами Земли.

Фазы звуковой волны

Для описания относительных временных свойств двух звуковых волн (или разных частей одной волны) вводится понятие фазы звуковой волны.

Графики пословиц

«Посев хуже недосева», «Каши маслом не испортишь»,

«Чем дальше в лес, тем больше дров», «Горяч на почине, да скоро остыл»

Дни солнцестояния

• С помощью графика мы можем увидеть, что точки, где график, похожий на график синуса, пересекает ось времени соответствуют 23 сентября и 21 марта 

Основные результаты

• Для построения графика функции любой сложности необходимо знать и применять свойства элементарных функций (область определения, нули функции, четность и нечетность, периодичность и т. д.).

• График сложной функции y = f(φ(x)) можно построить с помощью упрощенной схемы, если использовать операции над графиками (понимая под этим выполнение операций над соответствующими координатами).

• Я надеюсь, что мои исследования убедили Вас в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом.

• Эта работа может быть предложена в качестве развивающего компонента на уроках алгебры (демонстрация презентации при изучении темы «Исследование функции» и в рамках предметной недели).

Рене Декарта сказал:

“Прямая – есть кратчайшее расстояние между двумя точками”.

И следуя этому правилу, я призываю вас в своем развитии по восходящей линии, не страшась усталости, не обходя трудностей, идти по прямой от точки не знания к точке знания.

Список ресурсов:

• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988

• Гурский И. П. Графики сложных функций

• Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на основе свойства монотонности. Журнал «Математика в школе»

• Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1972

• Костюкова Н.К. Научно-исследовательская работа учащихся. – М.: Математика в школе №5, 1999

• Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа — Пресс, 1997

• Рывкин А.А. Справочник по математике – М.: Высшая школа, 1987

• Факультативный курс по математике — М.: Просвещение, 1991

• http://mathem.by.ru/index.html