Собственные интегралы – .

Виды интегралов

Неопределенный и определенный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных некоторой функции :

   

Например.

Подробнее про неопределенные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определённый интеграл от функции на отрезке – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

   

Например.

Подробнее про определенные интегралы читайте по ссылке.

Собственный и несобственный интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Собственный интеграл – это определенный интеграл, для которого ограниченной является как подынтегральная функция, так и область интегрирования.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Несобственный интеграл – определенный интеграл, для которого неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе.

Например.

Пусть функция определена на полуоси и интегрируема на любом отрезке . Предел интеграла при называется

несобственным интегралом первого рода функции от a до и обозначается :

   

Например.

Подробнее про несобственные интегралы читайте по ссылке.

Сходящийся и расходящийся интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например.

В противном случае несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если предел конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Кратным или многократным интегралом называется множество интегралов, взятых от переменных:

   

Например.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Например. , где

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если на кривой определены функции и , то криволинейным интегралом второго рода называется интеграл вида .

Например. , где

Подробнее про криволинейные интегралы читайте по ссылке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Поверхностным интегралом первого рода от функции по некоторой поверхности называется интеграл .

Например. , где − часть плоскости , лежащая в первом октанте.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Поверхностным интегралом второго рода по фиксированной стороне двусторонней поверхности называется интеграл вида .

Например. , где − часть внутренней поверхности эллипсоида

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Для функции , непрерывной на отрезке функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Например.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра .

Например.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

собственный интеграл — ПриМат

$\Box$ Рассмотрим производную заданной функции по определению
$${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }.$$

Тогда для доказательства теоремы нам необходимо убедиться в равенстве
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\quad \left( 1 \right).$$

Для дальнейшей работы проанализируем отношение
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }.$$

Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении*
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx },\quad { \theta }_{ x }\in \left( 0,1 \right).$$

Вернемся к отношению находящемуся под знаком предела формулы $(1)$:
$$\frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } =$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx }-\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx }.$$

Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$:
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$$ $$=\left| \Delta y \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\Rightarrow \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

Принимая во внимание тот факт, что ${ \theta }_{ x } \in \left( 0,1 \right)$, автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
$$\left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$
Тогда можем записать
$$\left| \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right| =$$ $$=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx } \right| \le$$ $$\le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| dx } \le \left( b-a \right) \frac { \varepsilon }{ b-a } =\varepsilon.$$

Отсюда следуя определению предела функции по Коши
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ={ J }^{ \prime }\left( y \right). \blacksquare$$

[свернуть]

ib.mazurok.com

Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства — ПриМат

$\Box$ Рассмотрим производную заданной функции по определению
$${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }.$$

Тогда для доказательства теоремы нам необходимо убедиться в равенстве
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\quad \left( 1 \right).$$

Для дальнейшей работы проанализируем отношение
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }.$$

Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении*
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx },\quad { \theta }_{ x }\in \left( 0,1 \right).$$

Вернемся к отношению находящемуся под знаком предела формулы $(1)$:
$$\frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } =$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx }-\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx }.$$

Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$:
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$$ $$=\left| \Delta y \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\Rightarrow \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

Принимая во внимание тот факт, что ${ \theta }_{ x } \in \left( 0,1 \right)$, автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
$$\left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$
Тогда можем записать
$$\left| \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right| =$$ $$=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx } \right| \le$$ $$\le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| dx } \le \left( b-a \right) \frac { \varepsilon }{ b-a } =\varepsilon.$$

Отсюда следуя определению предела функции по Коши
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ={ J }^{ \prime }\left( y \right). \blacksquare$$

[свернуть]

ib.mazurok.com

Собственные интегралы. Признаки сходимости. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов

  1.  Собственные интегралы, зависящие от параметра [2,5]

Пусть в прямоугольнике  определена функция , интегрируемая по  на сегменте  при любом фиксированном . В этом случае на  определена функция , называемая интегралом, зависящим от параметра .

Теорема 1. Если  непрерывна в прямоугольнике , то функция :

1) непрерывна на сегменте ;

2) интегрируема на сегменте  и справедливо равенство

.     

41) Рассмотрим приращение . Для доказательства непрерывности функции  необходимо доказать, что  при . Так как функция  непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем. Следовательно,

.

Откуда по теореме о среднем получаем, что .

2) Так как функция  непрерывна на сегменте , то она интегрируема на этом сегменте, т.е. существует двойной интеграл . Следовательно, повторные интегралы (фигурирующих в соотношении ) равны, что доказывает справедливость формулы 3

Теорема 2. Если функция  и ее частная производная  непрерывны в прямоугольнике , то функция  непрерывно дифференцируема на сегменте  и ее производная  может быть вычислена по правилу Лейбница .

4Рассмотрим вспомогательную функцию . Так как  непрерывна в прямоугольнике , то по предыдущей теореме  непрерывна на

 и интеграл от функции  может быть найден по формуле .

, .

Следовательно, . Производная от интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции существует и равна значению этой функции в точке , поэтому

.3


Общий случай. Если при любом фиксированном  из сегмента

 функция  интегрируема по  на сегменте , то на сегменте  определена функция

                          ,

представляющая собой интеграл, зависящий от параметра, у которого пределы интегрирования также зависят от параметра.

Теорема 3. Пусть функция  непрерывна на прямоугольнике , а функции  и  непрерывны на сегменте

. Тогда функция  непрерывна на сегменте .

4Пусть  – фиксировано. Представим  в следующей форме

.          

Так как  – интеграл, зависящий от параметра , с постоянными пределами интегрирования и с непрерывной подынтегральной функцией, то в силу теоремы 1 этот интеграл является непрерывной функцией от  и поэтому при

 стремится к .

Для интегралов  и  справедливы следующие оценки (теорема о среднем):

,        ,

где . Так как функции  и  непрерывны на сегменте , то при   и

, а значит и интегралы ,  также стремятся к 0. Таким образом, предел правой части при  существует и равен . Следовательно, функция  непрерывна в любой точке  сегмента .3

Следствие. Если , , то

.

Теорема 4. Пусть функция  и ее производная  непрерывны в прямоугольнике . Пусть далее функции  и  дифференцируемы на сегменте . Тогда функция  дифференцируема на сегменте , причем

.            

4Пусть  – фиксировано. Представим

 в виде .

 – интеграл, зависящий от параметра , с постоянными пределами интегрирования и с непрерывной подынтегральной функцией, поэтому, в силу теоремы 2, функция  дифференцируема на сегменте  и .

По определению производной для функции  получим .

По формуле среднего значения . Из непрерывности функции

 следует, что ; а из и дифференцируемости функции  следует, что . Поэтому

.

Аналогично доказывается, что . Так как  произвольная точка сегмента , то можно утверждать, что функция  дифференцируема на сегменте  и ее производная может быть вычислена по формуле .3

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

  2.  Несобственные интегралы от ограниченных функций,
зависящие от параметра

Пусть в полуполосе  задана функция , интегрируемая по  в несобственном смысле на полупрямой  при любом фиксированном  из сегмента . При этих условиях на сегменте  определена функция , называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра . При этом говорят, что интеграл сходится на сегменте .

Несобственный интеграл называется равномерно сходящимся по параметру  на сегменте , если он сходится на сегменте  и если  можно указать такое , зависящее только от , что   и  выполняется неравенство .

  2.1.  Признаки сходимости

Теорема 5 (критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл равномерно сходился по параметру  на сегменте , необходимо и достаточно, чтобы  можно было указать число , зависящее только от  и такое, что   и :

.

Следствие. Несобственный интеграл ,  сходится равномерно на сегменте , если

Теорема 6 (признак Вейерштрасса). Пусть функция  определена в полуполосе  и для каждого  из сегмента  интегрируема по  на любом сегменте . Пусть далее для всех точек полуполосы  выполняется неравенство , т.е.  равномерно ограничена на . Тогда из сходимости интеграла  вытекает равномерная сходимость по  на сегменте  интеграла .

4Так как , то . Из сходимости  следует (по критерию Коши) равномерная сходимость интеграла .3

Следствие. Пусть функция , определенная в полуполосе , ограничена в этой полуполосе и при каждом  интегрируема по  на любом сегменте . Тогда, если сходится интеграл , то сходится равномерно по  на сегменте  интеграл .

Теорема 7. (Признаки Дирихле и Абеля).

Теорема 8 (Признак Дини). Пусть функция  непрерывна и неотрицательна в полуполосе , и пусть для каждого  сходится несобственный интеграл . Пусть далее функция  непрерывна на сегменте . Тогда интеграл  сходится  равномерно по  на этом сегменте.

Замечания.

1. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля являются достаточными.

2. Для доказательства неравномерной сходимости обычно используют критерий Коши и его следствие.

3. Признак Вейерштрасса дает абсолютную сходимость. А признаки Дирихле и Абеля обычно используют при доказательстве условной сходимости.

vunivere.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *