Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей: правила, примеры, решения

В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.

Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.

На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.

То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.

Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей.  Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Определение 1

Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.

Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0,5 = 0,50 = 0,500 = …. Или: 130,000 = 130,00 = 130,0 = 130. По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа — значит умножить или разделить на 10 ч

zaochnik.com

Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби  и  и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби  числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь   больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

---

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

 

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

---

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби  и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби  и  к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей  и  это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем .  Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

---

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем 

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример 

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби  . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

---

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби   и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь

А это значит, что и уменьшаемое меньше, чем вычитаемое

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его, когда изучим отрицательные числа.

---

Пример 4. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь нужно сравнить дроби    и  . У дроби  числитель больше, чем у дроби . Значит дробь  больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сначала мы получили ответ . Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ .

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?

Используй кнопку ниже

Навигация по записям

spacemath.xyz

Сравнение чисел

Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.

Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так:  -12 < -8.

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.

На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное  число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.

Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.

Сравнение обыкновенных дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм сравнения обыкновенных дробей

1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.

2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.

2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).

Например, сравним десятичные дроби:

57,3 и 57,321

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

2) Сравнивать начинаем слева направо:

целые с целыми: 57 = 57;

десятые с десятыми: 3 = 3;

сотые с сотыми: 0 < 2.

Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:

57,300 < 57,321

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Сравнение десятичных дробей

Какое из чисел больше: 5,3 или 4,988? Конечно, первое число больше второго. И это понятно, ведь целая часть первой дроби, число 5, больше целой части второй дроби, числа 4.

Из двух десятичных дробей броьше та, у которой целая часть больше.

А как сравнивать дроби с равными целыми частями? В этом случае вначале сравнивают десятые. Например, 11,23 > 11,19, так как 2 > 1. Если же десятые оказались равными, то сравнивают сотые. Например, 2,84 < 2,86, так как 4 < 6. В случае равенства сотых сравнивают тысячные и т. д.

Такой способ сравнения десятичных дробей называют поразрядным.

Напомним, что натуральные числа мы тоже сравнивали поразрядно.

Заметим, что в приведенных примерах мы сравнили десятичные дроби с равными целыми частями и с одинаковым количеством цифр после запятой.

А как сравнивать десятичные дроби с равными целыми частями, но с различным количеством цифр после запятой? Например, какая из дробей больше: 5,4 или 5,40?

Сравним отрезки длиной 5,4 м и 5,40 м. Имеем:

$5,4 м = 5\frac{4}{10}$

м = 5 м 4 дм = 540 см;

$5,40 м = 5\frac{40}{100}$

м = 5 м 40 см = 540 см.

Получается, что 5,4 = 5,40. Рассуждая аналогично, можно показать, что, например, 0,3 = 0,30 = 0,300.

Эти примеры иллюстрирут следующие свойства.

Если к десятичной дроби справа пиписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной.

Значение дроби, оканчивающиеся нулями, не изменится, если последние нули в ее записи отбросить.

Сравним дроби 3,2 и 3,198.

Поскольку 3,2 = 3,200, а 3,200 > 3,198, то 3,2 > 3,198.

Этот пример иллюстрирует следующее парвило.

Чтобы сравнить две десятичные дроби с равными целыми частями и различным количеством цифр после запятой, надо с помощью приписывания нулей справа уравнять количество цифр в дробных частях, после чего сравнить полученные дроби поразрядно.

Пример. Напишите несколько чисел, каждое из которых больше 2,35, но меньше 2,36.

Решение. Имеем: 2,35 = 2,350; 2,36 = 2,360. Следовательно, числами, удовлетворяющими условию, будут , например: 2,351; 2,352; 2,353.

Учитывая, что 2,35 = 2,3500 и  2,36 = 2,3600, можем указать и другие числа, удовлетворяющие условию задачи. Например: 2,3501; 2,3576; 2,3598 и т.д.

reshalka.com

Сравнение обыкновенных дробей | Математика

Сравнить две дроби – значит определить, какая из дробей больше, какая меньше или установить, что дроби равны.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями

Чтобы сравнить дроби, у которых разные числители и знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. После этого их сравнивают по правилу сравнения дробей, у которых одинаковые знаменатели.

Пример. Сравните дроби:    и  .

Решение:

Приводим данные дроби к общему знаменателю:

Теперь сравниваем их по правилу сравнения дробей, у которых одинаковые знаменатели. Так как  , значит  .

Приведём ещё один способ сравнения дробей с разными знаменателями и числителями. Рассмотрим сначала числовой пример.

Пример. Сравним дроби    и  .

Решение:

Приводим данные дроби к общему знаменателю:

Решая данный пример можно заметить, что, после приведения дробей к общему знаменателю, задача сравнения свелась фактически к сравнению произведений  2 · 7  и  4 · 3. Так как  2 · 7 = 14, а  4 · 3 = 12, то  2 · 7 > 4 · 3. Значит,  .

Теперь решим эту же задачу в общем виде, используя буквенную запись.

Таким образом мы получили следующее правило сравнения обыкновенных дробей:

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, можно числитель одной дроби умножить на знаменатель другой и полученные произведения сравнить.

Это правило называется перекрёстным правилом сравнения дробей.

Сравнение дроби с натуральным числом

Любая правильная дробь меньше любого натурального числа.

Пример.

Сравнение неправильной дроби с натуральным числом сводится к сравнению двух дробей.

Чтобы сравнить неправильную дробь с натуральным числом, нужно натуральное число представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1, затем их можно сравнить одним из двух способов: используя перекрёстное правило, либо привести дроби к общему знаменателю. После этого их сравнивают по правилу сравнения дробей, у которых одинаковые знаменатели.

Пример. Сравните дробь    с числом 5.

Решение:

Представим число 5 в виде дроби со знаменателем 1:

Приводим дроби к общему знаменателю:

Сравниваем числители, так как  11 < 15, то  , значит,  .

Равенство дробей

Две обыкновенные дроби считаются равными, если равны их числители и знаменатели или, если они выражают одну и ту же часть единицы.

Пример.

О сайте:	конспекты по математике, русскому языку и химии
Связь:	[email protected]
Новое на сайте | © 2018 – 2019

izamorfix.ru

Урок «Сравнение десятичных дробей»

Цель урока:

• создать условия для вывода правила сравнения десятичных дробей и умения его применять;
• повторить запись обыкновенных дробей в виде десятичных, округление десятичных дробей;
• развивать логическое мышление, способность к обобщению, исследовательские умения, речь.

Ход урока

— Ребята давайте вспомним, чем мы занимались с вами на предыдущих уроках?

Ответ: изучали десятичные дроби, записывали обыкновенные дроби в виде десятичных и наоборот, округляли десятичные дроби.

— А чем бы вы хотели сегодня заниматься?

(Ученики отвечают.)

— А вот все-таки чем мы будем на уроке заниматься, вы узнаете через несколько минут. Откройте тетради, запишите дату. К доске пойдет ученик, который будет работать с обратной стороны доски. Я буду предлагать вам задания, которые вы выполняете устно. Ответы записываете в тетрадь в строчку через точку с запятой. Ученик у доски записывает в столбик.

— Я читаю задания, которые заранее записаны на доске:

1. Запишите в виде десятичных дробей
2. Запишите короче десятичную дробь (замените десятичную дробь ей равной) 04,37500.
3. Запишите десятичную дробь, если дано разложение десятичной дроби по разрядам 5 + 0,4 + 0,07 + 0,005.
4. Округлите десятичные дроби до тысячных: 6,5746; 7,67502.

— Проверим. У кого другие ответы? Вспомнить правила.

Получили: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

— Установите закономерность и продолжите полученный ряд еще на 2 числа. Проверим.

8,775; 9,875

— Возьмите расшифровку и под каждым числом (отвечающий у доски ставит букву рядом с числом) поставьте соответствующую букву. Прочитайте слово.

Расшифровка:

3,275 – а

6,575 – е

1,075 – с

5,475 – н

2,175 – р

7,675 – н

4,375 – в

9,875 – е

8,775 – и

— Итак, чем мы будем заниматься на уроке?

Ответ: сравнением.

— Сравнением! Хорошо, я, например, сейчас начну сравнивать свои руки, 2 учебника, 3 линейки. А вы что хотите сравнивать?

Ответ: десятичные дроби.

— Какую тему урока запишем?

Я записываю тему урока на доске, а ученики в тетради: «Сравнение десятичных дробей».

Задание: сравните числа (на доске записаны)

18,625 и 5,784		15,200 и 15,200
3,0251 и 21,02		7,65 и 7,8
23,0521 и 0,0521		0,089 и 0,0081

— Сначала открываем левую часть. Целые части разные. Делаем вывод о сравнении десятичных дробей с разными целыми частями. Открываем правую часть. Целые части – одинаковые числа. Как сравнить?

Предложение: записать десятичные дроби в виде обыкновенных дробей и сравнить.

— Записать сравнение обыкновенных дробей. Если каждую десятичную дробь переводить в обыкновенную и сравнивать 2 дроби, то это займет много времени. Может мы выведем правило сравнения? (Ученики предлагают.) Я выписала правило сравнения десятичных дробей, которое предлагает автор. Давайте сравним.

На листе бумаги напечатаны 2 правила:

1. Если целые части десятичных дробей различны, то та дробь больше, у которой больше целая часть.
2. Если целые части десятичных дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой больше первый из несовпавших разрядов после запятой.

— Мы с вами сделали открытие. И это открытие – правило сравнения десятичных дробей. Оно у нас совпало с правилом, которое предложил автор учебника.

— Я вот обратила внимание, что в правилах говорится какая из 2 дробей больше. А вы можете мне сказать какая из 2 десятичных дробей меньше.

Выполнить в тетради № 785(1, 2) на стр. 172. Задание записано на доске. Ученики комментируют, а учитель ставит знаки.

Задание: сравните

0,3 и 0,8

0,90 и 0,9

5,6 и 3,6

2,99 и 13,1

0,759 и 0,76

3,4208 и 3,4028

— Итак, что мы научились сегодня делать? Давайте себя проверим. Работа на листочках с копиркой.

Ученики сравнивают десятичные дроби, ставя знаки >, <, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Самостоятельная работа.

(Проверка – ответы на обратной стороне доски.)

Сравните

1,21 и 1,2

3,34 и 3,4

8,6 и 8,37

3,5601 и 4,48

85,113 и 85,13

148,05 и 14,805

6,44806 и 6,44863

35,601 и 35,6010

Первый, кто сделает – получает задание (выполняет с обратной стороны доски) № 786(1, 2):

Найдите закономерность и запишите следующее в последовательности число. В каких последовательностях числа расположены в порядке возрастания, в каких в порядке убывания?

Ответ:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – убывает
2. 0,1 ; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – возрастает.

— После того, как последний ученик сдаст работу – проверить.

Учащиеся сравнивают свои ответы.

— Те, кто все сделал правильно поставит себе отметку “5”, кто допустил 1-2 ошибки –“4”, 3 ошибки – “3”. Выяснить в каких сравнениях допущены ошибки, на какое правило.

— Записать домашнее задание: № 813, № 814 (п. 4 стр. 171). Прокомментировать. Если будет время – выполнить № 786(1, 3), № 793(а).

Итог урока.

1. Что вы ребята научились делать на уроке?
2. Вам понравилось или не понравилось?
3. Какие были затруднения?

— Возьмите листочки и заполните их, указав степень вашего усвоения материала:

• усвоен полностью, могу выполнять;
• усвоен полностью, но затрудняюсь в применении;
• усвоен частично;
• не усвоен.

— Спасибо за урок.

urok.1sept.ru

Сравнение неправильных дробей правила и примеры

Неправильные дроби сравниваем по тем же правилам, что и обыкновенные дроби или правильные дроби. Рассмотрим подробно эти правила.

Сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями.

Есть несколько правил сравнения неправильных дробей с одинаковыми знаменателями:

1. Если у неправильных дробей положительные числители, то та дробь больше у которой числитель больше.
2. Если у неправильных дробей отрицательные числители, то та дробь больше у которой числитель меньше.
3. Если у неправильных дробей разные знаки, то та дробь больше которая имеет знак “+”.

Рассмотрим пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями: а) \(\frac{20}{13}\) и \(\frac{15}{13}\) б) \(\frac{-161}{57}\) и \(\frac{-98}{57}\) г) \(\frac{17}{3}\) и \(\frac{-11}{3}\)

Решение:
а) Раз у дробей \(\frac{20}{13}\) и \(\frac{15}{13}\) одинаковые знаменатели переходим к сравнению числителей 20>15,

\(\frac{20}{13}>\frac{15}{13}\)

б) Так как знаменатели у дробей \(\frac{-161}{57}\) и \(\frac{-98}{57}\) одинаковые  сравниваем отрицательные числители. Тот отрицательный числитель больше, который по модулю меньше.
|-161|=161
|-98|=98 меньше по модулю, значит это число ближе к нулю на числовой прямой чем -161, поэтому
-161<-98

\(\frac{-161}{57}

г) Сравнивать дроби с разными знаками \(\frac{17}{3}\) и \(\frac{-11}{3}\) очень просто, та дробь больше которая имеет знак “+”.

\(\frac{17}{3}>\frac{-11}{3}\)

Сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями.

Запомнить:

1. Если числители у неправильных дробей одинаковы и положительны, то та дробь больше у которой знаменатель меньше.
2. Если у неправильной дроби числители отрицательные, то та дробь больше у которой знаменатель больше.

Пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями: а) \(\frac{21}{9}\) и \(\frac{21}{10}\) б) \(\frac{-15}{3}\) и \(\frac{-15}{4}\)

Решение:
а) У неправильных дробей с одинаковыми положительными числителями \(\frac{21}{9}\) и \(\frac{21}{10}\), та дробь больше, где знаменатель меньше 9<10.

\(\frac{21}{9}>\frac{21}{10}\)

б) У неправильных дробей с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac{-15}{3}\) и \(\frac{-15}{4}\), та дробь больше где знаменатель больше 3<4.

\(\frac{-15}{3}

Сравнение неправильных дробей с разными знаменателями.

Правила сравнения неправильных дробей с разными знаменателями:

1. Привести к общему знаменателю.
2. Переходим к пункту сравнения неправильных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример:
Сравните неправильные дроби с разными знаменателями: а) \(\frac{15}{8}\) и \(\frac{11}{6}\) б) \(\frac{-103}{30}\) и \(\frac{-43}{15}\) г) \(\frac{47}{5}\) и \(\frac{41}{5}\)

Решение:
а) Приведем дроби \(\frac{15}{8}\) и \(\frac{11}{6}\) к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 24.

\(\begin{align}
&\frac{15}{8}=\frac{15 \times 3}{8 \times 3}=\frac{45}{24} \\\\
&\frac{11}{6}=\frac{11 \times 4}{6 \times 4}=\frac{44}{24} \\\\
\end{align}\)

Сравниваем полученные числители 45>44, следовательно,

\(\begin{align}
&\frac{45}{24}>\frac{44}{24} \\\\
&\frac{15}{8}>\frac{11}{6} \\\\
\end{align}\)

б) Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{-103}{30}\) и \(\frac{-43}{15}\) . Общий знаменатель равен 30.

\(\frac{-43}{15}=\frac{-43 \times 2}{15 \times 2}=\frac{-86}{30}\)

Сравниваем числители -103<-86

\(\begin{align}
&\frac{-103}{30}
&\frac{-103}{30}
\end{align}\)

г) Сравниваем числители дробей \(\frac{47}{5}\) и \(\frac{41}{5}\), потому что знаменатель у дробей общий.

\(\frac{47}{5}>\frac{41}{5}\)

Сравнение неправильной дроби с правильной дробью.

Правила сравнения неправильной дроби с правильной дробью:

1. Если неправильная дробь положительна, то она всегда будет больше правильной положительной дроби.
2. Если неправильная дробь отрицательна, то она всегда будет меньше правильной отрицательной дроби.

Пример:
Сравните правильную дробь и неправильную дробь: а) \(\frac{14}{13}\) и \(\frac{13}{14}\) б) \(-\frac{27}{6}\) и \(-\frac{17}{18}\)

Решение:
а) Правильная и неправильная дробь положительны, поэтому неправильная дробь больше правильной дроби.

\(\frac{14}{13}>\frac{13}{14}\)

б) Правильная и неправильная дробь отрицательны, поэтому неправильная дробь меньше правильной дроби.

\(-\frac{27}{6}

Сравнение неправильных дробей с нулем.

Правила сравнения неправильной дроби с нулем:

1. Если неправильная дробь положительна, то она больше нуля.
2. Если неправильная дробь отрицательна, то она меньше нуля.

Пример:
Сравните неправильную дробь с нулем: а) \(\frac{19}{7}\) и 0 б) 0 и \(-\frac{4}{3}\)

Решение:
а) Неправильная дробь \(\frac{19}{7}\) положительна, поэтому \(\frac{19}{7}>0\)

б) Неправильная дробь \(-\frac{4}{3}\) отрицательна, поэтому \(0<-\frac{4}{3}\)

Сравнение неправильных дробей с единицей.

Правила сравнения неправильной дроби с единицей:

1. Если неправильная дробь положительна, то она больше или равна единице.
2. Если неправильная дробь отрицательна, то она меньше или равна минус единице.

Пример:
Сравните неправильную дробь с единицей: а) \(\frac{10}{3}\) и 1 б) -1 и \(\frac{-3}{3}\)

Решение:
а) Неправильная положительная дробь не равная единице всегда больше 1.

\(\frac{10}{3}>1\)

б) Дробь \(\frac{-3}{3}= -1\), поэтому

\(-1=\frac{-3}{3}\)

Равные неправильные дроби.

Правило равных неправильных дробей:

Неправильные дроби равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:

\(\frac{-7}{4}=\frac{-7}{4}\)

tutomath.ru