Среднее гармоническое — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равно среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
ru.wikipedia.org
Среднее гармоническое Википедия
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства[ | ]
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
ru-wiki.ru
Среднее гармоническое — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]Видео по теме
Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
wiki2.red
Гармоническое среднее Википедия
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства[ | ]
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
ru-wiki.ru
Среднее гармоническое — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
wikipedia.green
Среднее гармоническое — Gpedia, Your Encyclopedia
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1] Диаметры заполненных аквамариновым цветом кругов, называемых кругами-близнецами[en], одинаковые и равны среднему гармоническому радиусов полуокружностей, построенных на отрезках AB и BC как на диаметрах.Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равно среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
www.gpedia.com
Среднее гармоническое — Википедия. Что такое Среднее гармоническое
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
wiki.sc
wiki2.red
Гармоническое среднее Википедия
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства[ | ]
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
ru-wiki.ru
Среднее гармоническое — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
wikipedia.green
Среднее гармоническое — Gpedia, Your Encyclopedia
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1] Диаметры заполненных аквамариновым цветом кругов, называемых кругами-близнецами[en], одинаковые и равны среднему гармоническому радиусов полуокружностей, построенных на отрезках AB и BC как на диаметрах.Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равно среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
www.gpedia.com
Среднее гармоническое — Википедия. Что такое Среднее гармоническое
Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что
- nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.
Можно получить явную формулу для среднего гармонического:
- H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},
т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.
Свойства
- Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
- Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
- Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
- H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
- A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
- H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
- где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
- G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
- A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
- S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.
Взвешенное среднее гармоническое
Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число
- H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.
Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.
У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]Приложения и примеры
В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.
Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).
Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).
Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.
Примечания
См. также
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource
wiki.sc