Степень натуральных показателей – Степень с натуральным показателем

Что такое степень с натуральным показателем (В.А. Тарасов)

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Что такое степень с натуральным показателем

Откуда появилась степень.

Выражение а+а+а в математике можно заменить на а+а+а=3а.

Выражение а+а+а+а+а можно представить в виде а+а+а+а+а=5а.

То есть, если в выражении n одинаковых слагаемых, каждое из которых а, то его можно кратко записать na.  

А умножение , можно кратко записать так: а3, читается: а в кубе или третья степень числа а.

 – а в пятой степени или пятая степень числа

а.

А если в выражение n одинаковых сомножителей, каждый из которых а, то мы будем писать:

 = ann-ная степень числа а.

Определение. Степенью aназывается произведение n одинаковых сомножителей,  , где n— натуральное число n={2,3,…..}; а – любое число.

Терминология: an

 а – основание степени,

n – показатель степени,

an– степень, или а в n-ой степени, или

n-ая степень числа а.

Пример 1: Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

1. – это по определению 4 в кубе или третья степень числа 4, 4— основание степени, 3— показатель степени. Результат:

 

Ответ: 64

2. – по определению, это x в четвертой степени, x – основание степени, 4 – показатель степени. Дальше вычислять нельзя, потому что x нужно присвоить конкретное значение.

Ответ

3.  

Это в пятой степени,  – это основание степени, 5 – показатель степени, он показывает сколько раз основание умножается на себя. Замечание: от переменных мест сомножителей произведение не меняется, запишем это выражение по-другому:

 

Значит, выражение .

Ответ: .

4. – это в кубе, 3 – это показатель степени, – основание степени.

Ответ

5.  

 – вторая степень числа 13 ,  – вторая степень числа 5.

Ответ: 4225

6.

 – третья степень числа

2,  – вторая степень числа 3.

Ответ: 72

В степени an может отдельно меняться показатель степени или основание степени.

Пример 2: Вычислить , если

a) n=2

b) n=3

c) n=4

Решение:

a)  так как стоит четная степень, минус пропадает.

b)

c) – так как стоит четная степень, минус пропадает.

Ответ: a) 25; b)-125; c)625;

В этом примере менялся показатель степени, а основание не менялось. Рассмотрим пример, когда меняется основание.

Пример 3: Вычислить: b4, где

a) b=1

b) b=-3

c) b=

d) b=

Ответ:

a)

b)

c)

Вспомним, что натуральные числа — это 1,2,3 и так далее.

n={1,2,3,…..}

По нашему определению:

an = ,                                (1)

n={2,3,…..}

Нужно еще одно определение для случая n=1. Что же такое а1?

a1=a                                                   (2)

Пример.

()1=)

(-2)1=-2

31=3.

Итак, теперь мы знаем, что такое an, ,где n={1,2,3,…..} – любое натуральное число.

Рассмотрим геометрические задачи, в которых участвуют степени.

Задача: вычислить площадь квадрата, сторона которого равна

а, где

a) а=3 см

b) а=7 см

c) а=1,5 см

Замечание. Если у нас есть квадрат со стороной а, то его площадь равна а2 или вторая степень числа а.

S=a2

Ответ:

S=32=9 см2

S=72=49 см2

S=1,52=2,25 см2

Итак, геометрическая задача потребовала от нас знание степени.

И в заключение, несколько примеров на вычисление. Задач много, но ключ к решению – первое и второе определение.

Вычислить:

a)   

Как видим, вычисления могут быть разные, но ключ к решению одинаковый.

b) Вычислить при а=1 следующее выражение:

а2=12=1

а3=13=1

При а=-1 будет чуть посложнее:

а2=(-1)2=1

а3=(-13)=-1

а4=(-1)4=1

и т.д. -1 будет мерцать то 1, то -1 в зависимости от того четный или нечетный показатель.

Итак, наша задача была рассмотреть, что такое степень с натуральным показателем. Мы рассмотрели 2 основных определения (1) и (2), выучили терминологию аn, где n – это показатель степени, а – основание степени, n – натуральное число, а – любое число. Затем мы выполнили ряд задач. Далее мы будем изучать свойства степени с натуральным показателем.

 

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьная математика (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Записать произведение в виде степени, назвать основание и показатель степени, вычислить, если возможно.

а)  

б) 

в)

2. Вычислить (-2)n, если

а) n=2 б) n=3 в) n=4

3. Вычислить: а5, где

а) а=1

б) а=-2

в) а=

4. Вычислить площадь квадрата, сторона которого равна а/2, где

а) а=6 см

б) а=8 дм

в) а=3 м

interneturok.ru

1.1.2 Степень с натуральным показателем

Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Лекция: Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.

 

Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.

а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096». 

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

Например:

15 + 6 *2 = 39

В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

22 = 4,

затем полученный результат умножить на 6, то есть

4 * 6 = 24,

затем

24 + 15 = 39.

Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

6400000 м = 6,4 * 106 м,

а масса Земли, например, записывается следующим образом:

6 * 1024 кг.

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

an * am = an+m

Например:

5* 54 = 56.

2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

an / am = an-m 

Например,

5* 52 = 52.

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(an )m = an*m

Например,

(5)2 = 58.

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)m = am * bm

Например,

(5 * 8 )2 = 52 * 82.

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)m = am / bm

6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а1 = а

Например,

51 = 5.

7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а0 = 1

Например,

70 = 1.


cknow.ru

1.1.2 Степень с натуральным показателем

Видеоурок 1: Свойства степени с натуральным показателем

Видеоурок 2: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Лекция: Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем

Под степенью некоторого числа «а» с некоторым показателем «n» понимают произведение числа «а» само на себя «n» раз.

 

Когда говорят о степени с натуральным показателем, это означает, что число «n» должно быть целым и не отрицательным.

а — основание степени, которое показывает, какое число следует умножать само на себя, 

n — показатель степени — он говорит, сколько раз основание нужно умножить само на себя.

Например:

84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В данном случае под основанием степени понимают число «8», показателем степени считается число «4», под значением степени понимается число «4096». 

Самой большой и распространенной ошибкой при подсчете степени является умножение показателя на основание — ЭТО НЕ ВЕРНО!

Когда речь идет о степени с натуральным показателем, имеется в виду, что только показатель степени (n) должен быть натуральным числом. 

В качестве основания можно брать любые числа с числовой прямой.

Например,

(-0,1)3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическое действие, которое совершается над основанием и показателем степени, называется возведение в степень. 

Сложение \ вычитание — математические действия первой ступени, умножение \ деление — действие второй ступени, возведение степени — это математическое действие третьей ступени, то есть одной из высших. 

Данная иерархия математических действий определяет порядок при расчете. Если данное действие встречается в задачах среди двух предыдущих, то оно делается в первую очередь.

Например:

15 + 6 *2 = 39

В данном примере необходимо сначала возвести 2 в степень, то есть

22 = 4,

затем полученный результат умножить на 6, то есть

4 * 6 = 24,

затем

24 + 15 = 39.

Степень с натуральным показателем используется не только для конкретных вычислений, но и для удобства записи больших чисел. В данном случае еще используется понятие «стандартный вид числа». Данная запись подразумевает умножение некоторого числа от 1 до 9 на основание степени равное 10 с некоторым показателем степени.

Например, для записи радиуса Земли в стандартном виде используют следующую запись:

6400000 м = 6,4 * 106 м,

а масса Земли, например, записывается следующим образом:

6 * 1024 кг.

Свойства степени

Для удобства решений примеров со степенями необходимо знать основные их свойства:

1. Если Вам необходимо умножить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели сложить.

an * am = an+m

Например:

5* 54 = 56.

2. Если необходимо разделить две степени, которые имеют одинаковые основания, то в таком случае основание необходимо оставить без изменения, а показатели вычесть. Обратите внимани, для действий со степенями с натуральным показателем показатель степени делимого должен быть больше показателя степени делителя. В противном случае, частным данного действия будет число с отрицательным показателем степени.

an / am = an-m 

Например,

5* 52 = 52.

3. Если необходимо возвести одну степень в другую, основанием результата останется то же число, а показатели степени перемножаются.

(an )m = an*m

Например,

(5)2 = 58.

4. Если в некоторую степень необходимо возвести произведение произвольных чисел, то можно воспользоваться неким распределительным законом, при котором получим произведение различных оснований в одной и той же степени.

(a * b)m = am * bm

Например,

(5 * 8 )2 = 52 * 82.

5. Аналогичное свойство можно применять для деления степеней, иначе говоря, для возведения обыкновенной двоби в степень.

(a / b)m = am / bm

6. Любое число, которое возводится в показатель степени, равный единице, равно первоначальному числу.

а1 = а

Например,

51 = 5.

7. При возведении любого числа в степень с показателем ноль, результатом данного вычисления всегда будет единица.

а0 = 1

Например,

70 = 1.


cknow.ru

Свойства степени с натуральным показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Умножение степеней

Сложность: лёгкое

1
2. Степень в степени

Сложность: лёгкое

1
3. Возведение степени в степень (буквы)

Сложность: лёгкое

2
4. Степень в степени (основание)

Сложность: лёгкое

2
5. Степень в степени (показатель степени)

Сложность: лёгкое

2
6. Произведение трёх степеней

Сложность: лёгкое

2
7. Произведение степеней (основание — бином)

Сложность: лёгкое

1
8. Частное трёх степеней

Сложность: лёгкое

2
9. Произведение степеней с одинаковыми основаниями (буквы)

Сложность: лёгкое

3
10. Произведение двух степеней (числа)

Сложность: лёгкое

2
11. Частное двух степеней (отрицательное основание)

Сложность: лёгкое

2
12. Возведение степени в степень (числа)

Сложность: лёгкое

2
13. Частное двух степеней (дробь)

Сложность: лёгкое

3
14. Частное двух степеней (отрицательные смешанные числа)

Сложность: лёгкое

1
15. Произведение степеней с одним основанием (числа)

Сложность: среднее

3
16. Произведение отрицательных и противоположных степеней

Сложность: среднее

5
17. Уравнение (частное степеней, целые числа)

Сложность: среднее

3
18. Дробь (буквы)

Сложность: среднее

2
19. Произведение степени и степени в степени

Сложность: среднее

2
20. Деление и умножение степеней

Сложность: среднее

3
21. Произведение двух дробей

Сложность: среднее

2
22. Произведение степеней в степени

Сложность: среднее

3
23. Частное степени в степени и степени

Сложность: среднее

2
24. Умножение и деление степеней

Сложность: среднее

1
25. Вычисление выражения со степенями

Сложность: среднее

1

www.yaklass.ru

Что такое степень с натуральным показателем

1. Произведение в виде степени (положительные числа) 1 вид — рецептивный лёгкое 3,5 Б. Запись произведения в виде степени по определению.
2. Основание и показатель степени (числа) 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Определение основания и показателя степени.
3. Степень бинома 1 вид — рецептивный лёгкое 1,5 Б. Запись произведения биномов в виде степени.
4. Основание и показатель степени (бином) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Определение основания и показателя степени.
5. Произведение одинаковых множителей (одночлен) 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Представление степени в виде произведения одинаковых множителей.
6. Произведение одинаковых множителей (бином) 1 вид — рецептивный лёгкое 1 Б. Представление степени в виде произведения одинаковых множителей.
7. Степень числа (показатель степени — n) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление степени.
8. Степень числа (основание) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление степени.
9. Значение степени (обыкновенная дробь) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление степени по известному основанию и показателю.
10. Площадь квадрата 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление площади квадрата.
11. Квадрат числа (минус перед числом) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление значения выражения.
12. Числовые неравенства, сравнение 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Сравнение, поставить правильный знак неравенства, строгие неравенства.
13. Возведение в степень десятичных дробей 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Возведение в степень.
14. Возведение в степень целых чисел 2 вид — интерпретация лёгкое 1 Б. Возведение в квадрат и куб целых чисел, минус в степень не возводится.
15. Возведение в степень дробей (смешанных чисел) 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Возведение в степень дробей (смешанных чисел).
16. Произведение степеней и простых чисел 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Представление числа в виде произведения степеней и простых чисел.
17. Произведение (целые числа) 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление значения выражения.
18. Частное (чётная степень) 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление значения числового выражения.
19. Дробь 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление значения выражения.
20. Разность произведений 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление числового значения выражения.
21. Сумма произведений 2 вид — интерпретация среднее 5 Б. Вычисление значения выражения.
22. Уравнение 3 вид — анализ среднее 5 Б. Решение уравнения.
23. Убывание (возрастание) степеней 3 вид — анализ среднее 4 Б. Расположение чисел в порядке убывания (возрастания).

www.yaklass.ru

Степень числа. Степень с натуральным показателем

Правило чтения и записи степеней с натуральным показателем

Краткую запись произведения одинаковых сомножителей очень удобно использовать, — длинная строка описания математических действий сокращается до записи нескольких шагов:

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 — основание степени,

5 — показатель степени,

1419857 — значение степени.

Степень с нулевым показателем равна 1, при условии, что a \neq 0:

a^0=1.

Например: 2^0=1

Когда нужно записать большое число обычно используют степень числа 10.

Например, один из самых древних динозавров на Земле жил около 280 млн. лет назад. Его возраст записывается следующим образом: 2,8 \cdot 10^8.

Каждое число большее 10 можно записать в виде a \cdot 10^n, при условии, что 1 < a < 10 и n является положительным целым числом. Такую запись называют стандартным видом числа.

Примеры таких чисел: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Можно говорить как и «a в n-ой степени», так и «n-ая степень числа a» и «a в степени n».

4^5 — «четыре в степени 5 » или «4 в пятой степени» или также можно сказать «пятая степень числа 4»

В данном примере 4 — основание степени, 5 — показатель степени.

Приведем теперь пример с дробями и отрицательными числами. Для избежания путаницы принято записывать основания, отличные от натуральных чисел, в скобках:

(7,38)^2, \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 и др.

Заметьте также разницу:

(-5)^6 — означает степень отрицательного числа −5 с натуральным показателем 6.

-5^6 — соответствует числу противоположному 5^6.

Свойства степеней с натуральным показателем

Основное свойство степени

a^n \cdot a^k = a^{n+k}

Основание остается прежним, а складываются показатели степеней.

Например: 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5

Свойство частного степеней с одинаковыми основаниями

a^n : a^k=a^{n-k}, если n > k.

Показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.

Данное ограничение n > k вводится для того, чтобы не выходить за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при n > k показатель степени a^{n-k} будет являться натуральным числом, иначе он будет либо отрицательным числом (k < n), либо нулем (k-n).

Например: 2^3 : 2^2 = 2^{3-2}=2^1

Свойство возведения степени в степень

(a^n)^k=a^{nk}

Основание остается прежним, перемножаются лишь показатели степеней.

Например: (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6}=2^{18}

Свойство возведения в степень произведения

В степень n возводится каждый множитель.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Например: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Свойство возведения в степень дроби

\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b} \right) ^n, b \neq 0

В степень возводится и числитель и знаменатель дроби. \left(\frac{2}{5} \right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

academyege.ru

Что такое степень с натуральным показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Произведение в виде степени (положительные числа)

Сложность: лёгкое

3,5
2. Основание и показатель степени (числа)

Сложность: лёгкое

3
3. Степень бинома

Сложность: лёгкое

1,5
4. Основание и показатель степени (бином)

Сложность: лёгкое

2
5. Произведение одинаковых множителей (одночлен)

Сложность: лёгкое

1
6. Произведение одинаковых множителей (бином)

Сложность: лёгкое

1
7. Степень числа (показатель степени — n)

Сложность: лёгкое

2
8. Степень числа (основание)

Сложность: лёгкое

2
9. Значение степени (обыкновенная дробь)

Сложность: лёгкое

2
10. Площадь квадрата

Сложность: лёгкое

2
11. Квадрат числа (минус перед числом)

Сложность: лёгкое

2
12. Числовые неравенства, сравнение

Сложность: лёгкое

1
13. Возведение в степень десятичных дробей

Сложность: лёгкое

1
14. Возведение в степень целых чисел

Сложность: лёгкое

1
15. Возведение в степень дробей (смешанных чисел)

Сложность: среднее

2
16. Произведение степеней и простых чисел

Сложность: среднее

3
17. Произведение (целые числа)

Сложность: среднее

3
18. Частное (чётная степень)

Сложность: среднее

3
19. Дробь

Сложность: среднее

3
20. Разность произведений

Сложность: среднее

4
21. Сумма произведений

Сложность: среднее

5
22. Уравнение

Сложность: среднее

5
23. Убывание (возрастание) степеней

Сложность: среднее

4

www.yaklass.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о