Степень уравнения | Математика

Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.

Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:

• раскрыть скобки,
• освободить уравнение от дробных членов,
• перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
• сделать приведение подобных членов.

После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:

Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.

Примеры:

10 — x = 2  — уравнение первой степени с одним неизвестным;

x² + 7x = 16  — уравнение второй степени с одним неизвестным;

x³ = 8  — уравнение третьей степени с одним неизвестным.

Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.

Для примера возьмём уравнение

3x²y + xy + 25 = 0.

Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):

3x²y¹ + x¹y¹ + 25¹ = 0.

Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:

3x²y¹  — сумма показателей равна  2 + 1 = 3;

x¹y¹  — сумма показателей равна  1 + 1 = 2.

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Примеры:

2xy — x = 25  — уравнение второй степени с двумя неизвестным,

xy² — 2xy + 8y = 0  — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Урок 45. уравнения первой степени с двумя неизвестными — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 45

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.

• Корень уравнения.

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами. Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x² + z² = 7x² + z² = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Определение.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

2 – (–1) = 3

3 = 3

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

2 · 2 – 4 = 0

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Свойство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Выразим y через x:

y = 2x – 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Решим задачу.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

3x + 2y = 15. Выразим y через x:

далее воспользуемся методом перебора: при

x = 1, y = 6. При x = 2,

при x = 3,y = 3

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Решение.

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

y = 2x – 7,

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

y = 6 – 7 = –1,

при x = 4 получаем:

y = 8 – 7 = 1,

при x = –4 получаем:

y = –8 – 7 = –15.

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 4, = 1.

Ответ: x = 4, = 1.

Задание 2.

Решите уравнение: x – 2y = 5

Решение:

Выразим переменную x через переменную y:

x = 5 + 2y

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 7, y = 1

Ответ: x = 7, y = 1.

Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

Примеры решения простейших показательных уравнений через преобразование правых частей

Решите уравнения:

а) 7^x=1

б)

в)

г)

а) Очевидно, 7^x=1 – это простейшее показательное уравнение, в его левой части находится степень положительного и отличного от единицы числа 7 с показателем x, а в правой – число 1.

Известно, что если правая часть простейшего показательного уравнения является положительным числом, то уравнение имеет единственный корень. В нашем случае справа находится число 1, оно положительное, следовательно, решаемое уравнение 7^x=1 имеет единственный корень. Давайте найдем его.

Чтобы найти корень простейшего показательного уравнения, надо число в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения. То есть, нам нужно число 1 представить в виде степени с основанием 7. Это довольно просто: 1=7⁰ (при необходимости в статье «степень числа» найдите часть, в которой дается определение степени с нулевым показателем). Представление 1=7

0 позволяет от исходного уравнения 7^x=1 перейти к уравнению 7^x=7⁰. Замена числа 1 степенью 7⁰ является равносильным преобразованием уравнения, поэтому, исходное уравнение 7^x=1 и полученное 7^x=7⁰ — равносильные уравнения.

Итак, остается решить уравнение 7^x=7⁰, его решение будет решением исходного уравнения. Единственный корень уравнения 7^x=7⁰ очевиден: x=0. Для убедительности стоит сослаться на хорошо известное свойство степеней: две степени с одинаковыми положительными и отличными от единиц основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Если приведенные рассуждения и простые преобразования проводить в уме, то решение примет следующий краткий вид:
7^x=1,
7^x=7⁰,
x=0.

Покажем решение этого уравнения еще двумя способами.

Начинать решение уравнения 7^x=1 можно так же как в предыдущем случае: переходить к уравнению 7^x=7⁰. То есть, фактически действовать по методу решения уравнений через преобразования. А дальше привлекать метод освобождения от внешней функции и на его основе от уравнения 7^x=7⁰ переходить к равенству x=0. Краткое решение будет выглядеть также, просто за ним стоят другие рассуждения.

Для решения уравнения 7^x=1 подходит и метод логарифмирования:
7^x=1,
log₇7^x=log₇1
x=0.

б) Что за уравнение нам нужно решить? В левой части уравнения находится степень с положительным и отличным от единицы основанием и переменной x в показателе, в правой части – числовое выражение. Это указывает на то, что мы имеем дело с простейшим показательным уравнением.

Как известно, решение любого простейшего показательного уравнения следует начинать с выяснения, какое число находится в его правой части: отрицательное, нуль или положительное. В нашем случае, очевидно, что числовому выражению из правой части, то есть, выражению , отвечает положительное число. Из этого следует, что заданное уравнение имеет единственный корень. Переходим к его нахождению.

Известно, что для определения корня простейшего показательного уравнения нужно в первую очередь числовое выражение в правой части представить в виде степени с основанием, равным основанию степени из левой части уравнения. Значит, нам нужно выражение представить в виде степени с основанием, равным основанию степени 2^x, то есть, в виде степени числа 2. Справиться с этой задачей позволяют несложные преобразования (при необходимости смотрите преобразование выражений с корнями): . Это нам дает возможность перейти от исходного уравнения к равносильному уравнению . Остается сослаться на свойство степеней, утверждающее, что две степени с одинаковыми положительными и отличными от единицы основаниями равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, и записать ответ: .

Запишем решение кратко:

Решение запишется абсолютно также, если заданное простейшее показательное уравнение начинать решать через преобразования, а продолжать по методу освобождения от внешней функции.

Уравнение можно решить и методом логарифмирования:

в) Уравнение решается аналогично. Выражение из правой части можно представить в виде степени с основанием 1/3 следующим образом:

Это позволяет от исходного уравнения перейти к уравнению , откуда очевиден корень , который является единственным.

Метод логарифмирования дает такой же результат при примерно таком же объеме работы.

г) Для решения простейшего показательного уравнения главное увидеть, что . Это действительно так:

Равенство нам нужно для того, чтобы представить выражение в правой части решаемого уравнения в виде степени с основанием, равным основанию степени в левой части уравнения:

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда находим x=−2. Это единственный корень.

Об уравнениях высших степеней / Хабр

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами.2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Заключение

В этой статье я рассмотрел только кубические и биквадратные уравнения. Однако рассмотренная теорема Безу (и схема Горнера) могут быть задействованы и для решения уравнений 5, 6, 7 и других степеней, даже несмотря на ограниченность их применения.

Уравнение шестой степени — алгебраическое уравнение, имеющее максимальную степень 6. В общем виде может быть записано следующим образом: a x 6 + b x 5 + c x 4 +

Пользователи также искали:

решение уравнений высших степеней онлайн, решение уравнений высших степеней, уравнение 6 степени онлайн, уравнения 6 степени примеры, уравнения высших степеней 8 класс, уравнения высших степеней и методы их решения, степени, высших, степеней, уравнения, уравнений, решение, класс, уравнение, примеры, онлайн, Уравнение, шестой, уравнения степени примеры, пятой, пример, методы, решения, Уравнение шестой степени, уравнение степени онлайн, решение уравнений высших степеней, уравнение пятой степени пример, уравнения высших степеней и методы их решения, уравнения высших степеней 8 класс, решение уравнений 4 степени 9 класс, решение уравнений высших степеней онлайн, уравнения 6 степени примеры, уравнение 6 степени онлайн, уравнения высших степеней класс, решение уравнений степени класс, уравнение шестой степени,

Дети и учеба — Информационный портал

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · (a n) n — 1 · x + a 0 · (a n) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x — x 1) (x — x 2) · P n — 2 (x) = 0 .Здесь P n — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m (x) = 0 . Здесь P n — m (x) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (х — 1) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:

Получаем, что

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Пример 2

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0 .

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В итоге получим (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин…

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, — Россия это наша Родина. Родина-мать. За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью — это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

**

…А с уравнениями (я этого и не знал) положение таково. Как найти корни квадратного уравнения догадались ещё в древнем Египте .

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков , о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелевская премия (Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой »).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков . Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков — это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ — это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

Как найти степень многочлена

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Какова степень полиномиальной функции?

Степень в полиномиальной функции — это наибольший показатель этого уравнения, который определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество раз, когда функция пересекает ось x при построении графика.

Каждое уравнение содержит от одного до нескольких членов, разделенных числами или переменными с разными показателями степени. Например, уравнение y = 3 x ¹³ + 5 x ³ имеет два члена, 3x ¹³ и 5x ³ , а степень полинома равна 13, так как это наибольшее значение. степень любого члена в уравнении.

В некоторых случаях полиномиальное уравнение необходимо упростить до определения степени, если уравнение не имеет стандартной формы.Затем эти степени можно использовать для определения типа функции, которую представляют эти уравнения: линейной, квадратичной, кубической, квартичной и т.п.

Наименования полиномиальных степеней

Обнаружение того, какую степень полинома представляет каждая функция, поможет математикам определить, с каким типом функции он или она имеет дело, поскольку каждое имя степени приводит к разной форме на графике, начиная с особого случая полинома с нулевой степенью. Остальные степени следующие:

• Степень 0: ненулевая константа
• Степень 1: линейная функция
• Степень 2: квадратичная
• Степень 3: кубическая
• Степень 4: четвертичная или биквадратная
• Степень 5: квинтик
• Степень 6: секстическая или шестая
• Степень 7: сепсис или гепатит

Степень полинома выше Степени 7 не была названа должным образом из-за редкости их использования, но Степень 8 может быть обозначена как октическая, Степень 9 как ноническая, а Степень 10 как децитическая.

Присвоение имен полиномиальным степеням поможет студентам и учителям определить количество решений уравнения, а также научиться распознавать, как они работают на графике.

Почему это важно?

Степень функции определяет наибольшее количество решений, которые может иметь функция, и наибольшее количество случаев, когда функция пересекает ось x. В результате иногда степень может быть равна 0, что означает, что уравнение не имеет решений или каких-либо экземпляров графика, пересекающего ось x.

В этих случаях степень многочлена остается неопределенной или указывается как отрицательное число, такое как отрицательная единица или отрицательная бесконечность, чтобы выразить значение нуля. Это значение часто называют нулевым многочленом.

В следующих трех примерах можно увидеть, как эти степени полинома определяются на основе членов уравнения:

• y = x (Степень: 1; только одно решение)
• y = x ² (Степень: 2; два возможных решения)
• y = x ³ (Степень: 3; три возможных решения)

Значение этих степеней важно понимать при попытке назвать, вычислить и построить график этих функций в алгебре.Например, если уравнение содержит два возможных решения, каждый будет знать, что график этой функции должен будет дважды пересечь ось x, чтобы он был точным. И наоборот, если мы можем увидеть график и сколько раз пересекается ось x, мы можем легко определить тип функции, с которой мы работаем.

Алгебра — Многочлены

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Многочлены

В этом разделе мы начнем рассматривать полиномы. m} \).3} + 3x — 11y & \ hspace {0,5 дюйма} & {\ mbox {степень: 14}} \ end {align *} \]

В полиномах такого типа не каждый член должен содержать в себе как \ (x \), так и \ (y \), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не нужно иметь никаких терминов, которые содержат как \ (x \), так и \ (y \). Кроме того, степень полинома может быть получена из членов, содержащих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, четырех переменных или любого количества переменных, которое нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно избавиться от некоторой терминологии. Моном — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем время от времени использовать эти термины, так что вы, вероятно, должны хотя бы немного с ними ознакомиться.

Теперь нам нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Обратите внимание, что мы не учли деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Прежде чем фактически начать это обсуждение, мы должны вспомнить закон распределения. Это будет многократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \ right) \]

В этом случае скобки не требуются, поскольку мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы сложить два полинома, все, что мы делаем, — это , объединяем аналогичные термины . 2} + x + 1 \).2} + x — 3} \ right) \]

На этот раз скобки вокруг второго члена обязательны. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это поставим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго многочлена. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножение «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2} \ end {align *} \]

Это очень распространенные ошибки, которые студенты часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

Решение кубических уравнений — методы и примеры

Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

В этой статье обсуждается, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и факторизация по группировке.

Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax ⁿ + bx ^n-1 + cx ^n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены.Примеры полиномов: 3x + 1, x ² + 5xy — ax — 2ay, 6x ² + 3x + 2x + 1 и т. Д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax ³ + bx ² + cx ¹ + d. И кубическое уравнение имеет вид ax ³ + bx ² + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

Как решать кубические уравнения?

Традиционный способ решения кубического уравнения — свести его к квадратному уравнению, а затем решить его либо факторизацией, либо квадратной формулой.

Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два действительных корня , кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x ² + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете его в стандартную форму и запишете это как, 3x ³ + x ² — 3х — 2 = 0.Тогда вы сможете решить эту проблему любым подходящим способом.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

Пример 1

Определите корни кубического уравнения 2x ³ + 3x ² — 11x — 6 = 0

Решение

Поскольку d = 6, тогда возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

Следовательно, x = 2 — первый корень.

Остальные корни уравнения можно получить, используя метод синтетического деления.
= (x — 2) (ax ² + bx + c)
= (x — 2) (2x ² + bx + 3)
= (x — 2) (2x ² + 7x + 3 )
= (x — 2) (2x + 1) (x +3)

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

Пример 2

Найдите корни кубического уравнения x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

x ³ — 6x ² + 11x — 6

(x — 1) — один из факторов.

Разделив x ³ — 6x ² + 11x — 6 на (x — 1),

⟹ (x — 1) (x ² — 5x + 6) = 0

⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

Пример 3

Решить x ³ — 2x ² — x + 2

Решение

Факторизуйте уравнение.

x ³ — 2x ² — x + 2 = x ² (x — 2) — (x — 2)

= (x ² — 1) (x — 2)

= (x + 1) (x — 1) (x — 2)

x = 1, -1 и 2.

Пример 4

Решите кубическое уравнение x ³ — 23x ² + 142x — 120

Решение

Сначала разложите полином на множители.

x ³ — 23x ² + 142x — 120 = (x — 1) (x ² — 22x + 120)

Но x ² — 22x + 120 = x ² — 12x — 10x + 120

= x (x — 12) — 10 (x — 12)
= (x — 12) (x — 10)

Следовательно, x ³ — 23x ² + 142x — 120 = ( x — 1) (x — 10) (x — 12)

Приравнять каждый множитель к нулю.

x — 1 = 0

x = 1

x — 10 = 10

x — 12 = 0

x = 12

Корни уравнения: x = 1, 10 и 12.

Пример 5

Решите кубическое уравнение x ³ — 6 x ² + 11x — 6 = 0.

Решение

Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель константы 6 ;

let x = 2

Разделим полином на x-2 до

(x ² — 4x + 3) = 0.

Теперь решите квадратное уравнение (x ² — 4x + 3) = 0, чтобы получить x = 1 или x = 3

Следовательно, решениями являются x = 2, x = 1 и x = 3.

Пример 6

Решите кубическое уравнение x ³ — 7x ² + 4x + 12 = 0

Решение

Пусть f (x) = x ³ — 7x ² + 4x + 12

Поскольку d = 12, возможные значения — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

Итак, (x + 1) является множителем функции.

x ³ — 7x ² + 4x + 12
= (x + 1) (x ² — 8x + 12)
= (x + 1) (x — 2) (x — 6)

Следовательно, x = –1, 2, 6

Пример 7

Решите следующее кубическое уравнение:

x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Решение

x ³ + 3x ² + x + 3
= (x ³ + 3x ² ) + (x + 3)
= x ² (x + 3) + 1 (x + 3 )
= (x + 3) (x ² + 1)

Следовательно, x = -1, 1-3.

Пример 8

Решить x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0

Решение

Разложить на множители

x ³ — 6x ² + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x = 1, x = 2 и x = 3

Пример 9

Решить x ³ — 4x ² — 9x + 36 = 0

Решение

Разложить каждый набор два срока.

x ² (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

(x ² — 9) (x — 4) = 0

Теперь разложите разность двух квадратов на множители

(x + 3) (x — 3) (x — 4) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

x = −3, 3 или 4

Пример 10

Решите уравнение 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = 0

Решение

Divide 3x ³ −16x ² + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x ² — 1x — 9x + 3

= x (3x — 1) — 3 (3x — 1)

= (x — 3) ( 3x — 1)

Следовательно, 3x ³ −16x ² + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

x = 2, 3 и 1/3

Пример 11

Найдите корни 3x ³ — 3x ² — 90x = 0

Решение

множитель 3x

3x ³ — 3x ² — 90x ⟹3x (x ² — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x ² — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3x (x — 6) (x + 5)

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

x = 0, 6, -5

Решение кубических уравнений с использованием графического метода

Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

Пример 12

Найдите корни x ³ + 5x ² + 2x — 8 = 0 графически.

Решение

Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

f (x) = x ³ + 5x ² + 2x — 8

. График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

На графике решения следующие:

x = 1, x = -2 & x = -4.

Практические вопросы

Решите следующие кубические уравнения:

1. x ³ — 4x ² — 6x + 5 = 0
2. 2x ³ — 3x ² — 4x — 35 = 0
3. x ³ — 3x ² — x + 1 = 0
4. x ³ + 3x ² — 6x — 8 = 0
5. x ³ + 4x ² + 7x + 6 = 0
6. 2x ³ + 9x ² + 3x — 4 = 0
7. x ³ + 9x ² + 26x + 24 = 0
8. x ³ — 6x ² — 6x — 7 = 0
9. x ³ — 7x — 6 = 0
10. x ³ — 5x ² — 2x + 24 = 0
11. 2x ³ + 3x ² + 8x + 12 = 0
12. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
13. 4x ³ + x ² — 4x — 1 = 0
14. 5x ³ — 2x ² + 5x — 2 = 0
15. 4x ^{3 900 35 — 3x 2 + 20x — 15 = 0}
16. 3x ³ + 2x ² — 12x — 8 = 0
17. x ³ + 8 = 0
18. 2x ³ — x ² + 2x — 1 = 0
19. 3x ³ — 6x ² + 2x — 4 = 0
20. 3x ³ + 5x ² — 3x — 5 = 0

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени.2 + bx + c = 0`. Постоянная a называется квадратичным коэффициентом, и она не может быть равна нулю (иначе это будет линейное уравнение). Константа b обозначается как линейный коэффициент. Наконец, константа c известна как постоянный коэффициент или независимый член. Если уравнение второй степени не имеет констант «b» или «c», оно называется неполным квадратным уравнением, иначе оно будет полным уравнением.

Почему это уравнение так важно?

Его график представляет собой параболу и описывает движение баскетбольного мяча в корзину.Но вы можете спросить: насколько важен этот расчет? Видимо это неважно. Однако вместо того, чтобы думать о баскетбольном мяче, если мы думаем о траектории пули из пушки, пока она не достигнет поля противника, это все меняет. Что касается последнего примера, важно, чтобы вам удалось точно рассчитать место, где пуля нанесет урон, чтобы не тратить зря снаряды или, что еще хуже, поразить наших союзников.

И как вы решите этот расчет?

Расчет места попадания пули в землю производится путем изучения нулей функции, которые также называют корнями уравнения.2 — 4ac)) / (2a) `

Что делать, если мне не нужно рассчитывать траекторию выстрелов из пушки?

Студентам часто трудно понять полезность того, что они изучают. Один из наиболее часто задаваемых вопросов в классе: для чего это нужно? Это справедливый вопрос, на который, к сожалению, многие учителя не затрудняются ответить. Помимо этого примера, квадратное уравнение имеет множество других приложений в нескольких областях, таких как физика, инженерия, экономика и так далее.Если мы посмотрим на крыши наших домов, мы заметим, что многие из них имеют антенны-тарелки. Эти антенны были построены на основе важного свойства этих функций, которое позволяет электромагнитным волнам, собранным антенной, отражаться в простую точку, где находится приемник, и это является фокусом цифровой антенны.

Ознакомьтесь с нашим Списком вопросов, чтобы узнать немного больше о самых разных темах, связанных с математикой. Если у вас есть подходящий (математический) вопрос, ответ на который нелегко найти, отправьте нам электронное письмо с вопросом на странице «Контакты».Будем рады ответить. Если вы обнаружите какие-либо ошибки в наших ответах, не стесняйтесь обращаться к нам!

Как пошагово решать уравнения второй степени. Решенные упражнения.

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам узнать , как решить все уравнения второй степени , как полные, так и неполные. Уравнения второй степени также известны как квадратные уравнения.

Полные уравнения второй степени

В общем, уравнений второй степени — это те уравнения, в которых x в одном из членов увеличивается до 2.

Они могут быть полными или неполными уравнениями второй степени, в зависимости от того, имеют ли все они свои члены или нет. Здесь я собираюсь сосредоточиться на объяснении полного уравнения второй степени.

Что такое полные уравнения второй степени?

полных уравнений второй степени или квадратных уравнений представлены следующим образом:

Где a, b и c — константы уравнения:

• — это число, которое всегда стоит перед x в квадрате
• b — это число, которое всегда идет перед x
• c — это номер без неизвестного

То есть, полные уравнения второй степени — это те, у которых конечная точка x повышена до 2, член с x повышен до 1 (или просто x).Если какой-либо из этих членов отсутствует, мы будем говорить о неполных уравнениях второй степени, которые решаются с помощью другой процедуры.

Как уравнения второй степени, они имеют 2 решения. Помните, что степень уравнения равна количеству решений.

Как решить полные уравнения второй степени

Идентификация констант в уравнении второй степени

Первым шагом в решении полных уравнений второй степени является правильное определение констант.Как мы уже говорили, константы — это числа, стоящие перед x в квадрате, x и членом, не передающим x.

Рассмотрим пример:

В данном случае перед x в квадрате ничего нет, поэтому a = 1.

Перед x стоит 5, поэтому b = 5.

И член, который не несет x, равен 4, поэтому c = 4.

Помните, что когда перед неизвестными ничего нет, это потому, что они умножены на 1, или, другими словами, это означает, что впереди стоит 1.

Давайте посмотрим на другой пример:

Теперь, если мы заметили, уравнение немного отличается, но это является причиной многих ошибок, если мы не будем осторожны. Посмотрим, почему:

В общем виде знаков не меньше:

Следовательно, мы должны преобразовать наше уравнение так, чтобы оно было таким же, как и общая форма полных уравнений второй степени:

Теперь у нас это так же, где знак минус не появляется, а затем получается a, b и c, как в первом случае:

Когда у нас будет больше практики, мы будем определять константы напрямую, без необходимости преобразовывать наше уравнение, но для начала это очень хороший способ избежать ошибок.

Общая формула полных уравнений второй степени

После определения констант необходимо применить следующую формулу для решения полных уравнений второй степени:

Давайте посмотрим, как он используется, решив предыдущие примеры.

У нас есть первое уравнение второй степени, в котором мы определили константы:

Теперь нам нужно заменить значение каждой записи в общей формуле:

А теперь работаем внутри корня с учетом иерархии операций:

На этом этапе мы должны разрешить знак + с одной стороны и знак — с другой:

Тогда два решения будут -1 и -4.Если бы у нас был случай, когда дроби были неточными, их пришлось бы упростить.

Будьте осторожны со знаками меньше констант.

Есть частные случаи, когда результат корня отрицательный, или его решения неточны, или результат корня неточен.

Решение уравнений второй степени

Уравнения второй степени с корневыми решениями

Решения уравнения второй степени не обязательно должны быть двумя разными целыми числами.В некоторых случаях они могут иметь двойное или два сложных решения.

Часто, когда решения не являются полными, вы начинаете сомневаться, правильное ли ваше решение или нет.

А теперь давайте посмотрим, какими могут быть решения уравнения второй степени.

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в руте нет полного решения. Как правило, его оставляют в виде корня, чтобы не приходилось работать с десятичными знаками, хотя, если мы решаем проблему и требуется точный результат, у нас не будет другого выбора, кроме как решить квадратный корень с калькулятором.

Например, у нас есть следующее уравнение второй степени:

Не обязательно оставлять его в корневой форме, но удобнее оставлять так, поэтому вам не нужно перетаскивать десятичные дроби. Результат может быть дан с десятичными знаками и будет таким же правильным. Это то же самое, что и с дробями, которые, если результат неточный, он остается в виде дроби.

Когда мы решаем уравнение второй степени и результат корня или дискриминанта равен 0, говорят, что у нас есть двойное решение, так как одно и то же решение будет повторяться дважды.Посмотрим, как действовать в этом случае:

Поскольку мы априори не знаем, какими будут решения, мы решаем уравнение, как любое другое:

Когда мы дойдем до этой части разрешения, мы увидим, что корневой результат равен 0.

Серьезная ошибка — оставить только 1 решение. Никогда не делайте этого, потому что вы будете напрямую отстранены. В этих случаях вы работаете с 0:

.

Он разрешается в соответствии с обычной процедурой, хотя кажется очевидным добавить и вычесть 0, но это хороший способ найти 2 решения.

Другой способ указать решения — это довести общую формулу до конца, прийти к решению, но указать в письменной форме, что это двоякое решение.

Уравнения второй степени с комплексными решениями

Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в общей формуле дискриминант или корневой результат отрицательный.

Если вы еще не изучили комплексные числа, когда вы получите отрицательный корень, вы должны поставить следующее:

Реального решения нет

Это предложение эквивалентно утверждению, что в наборе действительных чисел нет решения (решение находится в наборе комплексных чисел).

Давайте посмотрим на это на примере:

Другими словами, как только мы видим корень с отрицательным содержанием, мы прямо указываем, что настоящего решения нет, и все. Важно не забыть настоящее слово, потому что, если вы просто укажете «нет решения», оно будет неверным, потому что у него есть решение, но не в наборе действительных чисел.

С другой стороны, если вы уже изучили комплексные числа, вы должны разработать уравнение, пока не найдете комплексные решения.То есть вы должны заменить корень -1 на число i:

Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам научиться решать неполные уравнения второй степени.

Что такое неполные уравнения второй степени?

Давайте вспомним общую форму полного уравнения второй степени:

Неполные уравнения второй степени — это те уравнения, в которых отсутствуют константы b или c или даже оба, т.е. е. равно 0.У нас трое парней:

Когда b = 0:

Когда c = 0:

Когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим, как решается каждый из них.

Как решить неполные уравнения второй степени

Бесконечные неполные уравнения второй степени с x (b = 0)

Мы сталкиваемся с уравнением этого типа, когда в уравнении второй степени отсутствует член с x или, другими словами, когда b = 0:

Например:

Чтобы решить неполные уравнения второй степени этого типа, мы сначала очищаем x², как если бы это было уравнение первой степени:

Оказавшись здесь, мы должны переместить квадрат на другую сторону равенства в качестве корня, а затем получить положительное и отрицательное решение:

Чьи решения — 2 и -2.

Вот и все, вот так. Если в другом уравнении корень не дает точных значений, каждый результат остается как корень с соответствующим знаком перед ним.

Неполные уравнения второй степени без числа (c = 0)

Неполные уравнения второй степени без числа (или без независимого члена) — это те уравнения, в которых c = 0 в общем виде и, следовательно, имеют следующий вид:

Например:

Первым шагом в решении этого типа неполных уравнений является построение общего множителя, поскольку x повторяется в обоих членах.

Теперь мы должны рассмотреть следующее:

Cuando una multiplicación de dos factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los 2 factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0.

Например:

2.0 = 0 (это ясно)

х. 0 = 0 (x может быть любым значением, но при умножении на 0 результат равен 0)

а. b = 0 (результат здесь 0, поэтому либо a = 0, либо b = 0, но мы не знаем, какой из них)

Продолжаем наше уравнение.У нас есть случай, похожий на. b = 0: у нас есть два множителя (x и (x-3), результат которых равен 0, поэтому один из двух должен быть равен 0, но мы не знаем, какой из них.

Следовательно, у нас есть два пути: x = 0 или x-3 = 0. В первом случае мы получаем непосредственно первое решение, а во втором случае нам нужно сделать еще один шаг, а именно очистить x:

.

Решения: x = 0 и x = 33

Вы должны быть очень осторожны с отрицательными знаками при поиске точек соприкосновения.

Неполные уравнения второй степени только с x² (b = 0 и c = 0)

Это самый простой тип из всех, что почти решается напрямую.Неполные уравнения второй степени этого типа — это те, в которых есть только член x², или, другими словами, когда b = 0 и c = 0:

Давайте посмотрим на пример:

Как и в случае неполных уравнений второй степени с c = 0, мы должны очистить x²:

Но особенность этого случая в том, что мы всегда будем достигать x² = 0.