Степени задания по математике – Упражнения по алгебре «Степень числа»

Содержание

Самостоятельная работа «Степень числа», 5 класс

Просмотр
содержимого документа

                                                                        Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант I

  1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) три в четвертой степени;

б) восемь в квадрате.

 

  1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

  1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

                                                                         

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант II

  1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) два в пятой степени;

б) пять в кубе.

 

  1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

  1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

 

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант I

  1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) три в четвертой степени;

б) восемь в квадрате.

 

  1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

  1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

 

Самостоятельная работа по теме: «Степень числа»

Вариант II

  1. Запишите выражение и найдите его значение:

а) два в пятой степени;

б) пять в кубе.

 

  1. Запишите число, которое представлено в виде суммы разрядных слагаемых:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

  1. Какой показатель надо вписать вместо звездочки, чтобы получилось верное равенство:

 

  1. Найдите значение выражения:

 

 

mega-talant.com

Решение примеров со степенями

Решение Преобразуем, степени в числителе по свойству , а степени из знаменателя поднимем в числитель, при этом они изменят знак:

   

Далее воспользуемся тем фактом, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются

   

Используя свойства степеней: и , получим:

   

   

ru.solverbook.com

Самостоятельная работа по математике 5 класс «степень числа. Квадрат и куб числа».

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 1

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 25;

б) : ;

в);

г)(13 – 11)⁵.

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 2

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 30;

б) : ;

в);

г)(14 – 12)⁶.

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 1

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 25;

б) : ;

в);

г)(13 – 11)⁵.

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 2

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 30;

б) : ;

в);

г)(14 – 12)⁶.

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 1

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 25;

б) : ;

в);

г)(13 – 11)⁵.

Самостоятельная работа « Степень числа»

Вариант 2

1.Найдизначение:

; ; ;.

2.Найди значение выражений:

а) – 30;

б) : ;

в);

г)(14 – 12)⁶.

multiurok.ru

Задание №2 ЕГЭ по математике базовый уровень


Операции со степенями


Описание задания

Во задании №2 ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания работы со степенными выражениями.

Тематика заданий: операции со степенями

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦◊◊

Примерное время выполнения: 3 мин.

Теория к заданию №2

Правила обращения со степенями можно представить следующим образом:

степени

Кроме этого, следует напомнить об операциях с дробями:

операции с дробями

Теперь можно перейти к разбору типовых вариантов! 🙂


Разбор типовых вариантов заданий №2 ЕГЭ по математике базового уровня


Во всех заданиях, аналогично первому заданию, нам необходимо найти значение выражения.


Вариант 2МБ1
image001Алгоритм выполнения:
  1. Представить число с отрицательным показателем в виде правильной дроби.
  2. Выполнить первое умножение.
  3. Представить степени чисел в виде простых чисел, заменив степени их умножением.
  4. Выполнить умножение.
  5. Выполнить сложение.
Решение:

Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.

То есть: 10-1 = 1/101 = 1/10

Выполним первое умножение, то есть умножение целого числа на правильную дробь. Для этого числитель дроби умножим на целое число, а знаменатель оставим без изменения.

9 · 1/10 = (9 · 1)/10 = 9/10

Первая степень числа всегда есть само число.

101 = 10

Вторая степень числа – это число умноженное само на себя.

102 = 10 · 10 = 100

Вычислим значение выражения, учитывая, чтоimage002

получим:

image003

Ответ: 560,9


Вариант 2МБ2

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Представить первую степень числа в виде целого числа.
  2. Представить отрицательные степени чисел в виде правильных дробей.
  3. Выполнить умножение целых чисел.
  4. Выполнить умножение целых чисел на правильные дроби.
  5. Выполнить сложение.
Решение:

Первая степень числа всегда есть само число. (101 = 10)

Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.

То есть:

10-1 = 1/101 = 1/10

10-2 = 1/102 = 1/(10 · 10) = 1/100

Выполним умножение целых чисел.

3 · 101 = 3 · 10 = 30

Выполним умножение целых чисел на правильные дроби.

4 · 10-2 = 4 · 1/100 = (4 ·1)/100 = 4/100

2 · 10-1 = 2 · 1/10 = (2 · 1)/10 = 2/10

Вычислим значение выражения, учитывая, что

image002

получим:

image003

Ответ: 30,24


Вариант 2МБ3

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Представить степени чисел в виде умножения и вычислить значение степеней чисел.
  2. Выполнить умножение.
  3. Выполнить сложение.
Решение:

Представим степени чисел в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

23 = 2 · 2 · 2 = 8

Выполним умножение:

4 · 24 = 4 · 16 = 64

3 · 23 = 3 · 8 = 24

Вычислим значение выражения:

image002

Ответ: 88


Вариант 2МБ4

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
  2. Вынести общий множитель за скобку.
  3. Выполнить действие в скобках.
  4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
  5. Выполнить умножение.
Решение:

Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.

44 = 4 · 43

Вынесем общий множитель за скобку

3 · 43 + 2 · 44 = 43 · (3 + 2 · 4)

Выполним действие в скобках.

(3 + 2 · 4) = (3 + 8) = 11

Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

43 = 4 · 4 · 4 = 64

Вычислим значение выражения, учитывая, что

image002

 image003

получим:

image004

Ответ: 704


Вариант 2МБ5

image001

Алгоритм выполнения:
  1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
  2. Вынести общий множитель за скобку.
  3. Выполнить действие в скобках.
  4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
  5. Выполнить умножение.
Решение:

Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.

53 = 5 · 52

Вынесем общий множитель за скобку

2 · 53 + 3 · 52 = 52 · (2 · 5 + 3)

Выполним действие в скобках.

(2 · 5 + 3) = (10 + 3) = 13

Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

52 = 5 · 5 = 25

Вычислим значение выражения, учитывая, что

 image002 , а  image003

получим:

image004

Выполняем умножение в столбик, имеем:

image004

Ответ: 325


Вариант 2МБ6

Задание №2 ЕГЭ по математике

Решение:

В данном задании удобней привести значения к более привычному виду, а именно записать числа в числителе и знаменателе в стандартном виде:

Задание №2 ЕГЭ по математике

После этого можно выполнить деление 24 на 6, в результате получим 4.

Десять в четвертой степени при делении на десять в третьей степени даст десять в первой, или просто десять, поэтому мы получим:

4 • 10 = 40

Ответ: 40


Вариант 2МБ6

Задание №2 ЕГЭ по математике

Решение:

В данном случае мы должны заметить, что число 6 в знаменателе раскладывается на множители 2 и 3 в степени 5:

Задание №2 ЕГЭ по математике

После этого можно выполнить сокращения степеней у двойки: 6-5=1, у тройки: 8-5=3.

Задание №2 ЕГЭ по математике

Теперь возводим 3 в куб и умножаем на 2, получая 54.

Ответ: 54


Вариант 2МБ6

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\1.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем к числителю св-во степеней х)уху. Получаем 3–6.
  2. Применяем к дроби св-во степеней ax/ay=ax–y.
  3. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

(3–3)2 /3–8 = 3–6 /3–8= 3–6–(–8)) = 3–6+8 = 32 = 9

Ответ: 9


Вариант 2МБ7

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\2.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Используем для степени в числителе (149) св-во (аb)х=ax·bx. 14 разложим на произведение 2 и 7. Получим произведение степеней с основаниями 2 и 7.
  2. Преобразуем выражение в 2 дроби, каждая из которых будет содержать степени с одинаковыми основаниями.
  3. Применяем к дробям св-во степеней ax/ay=ax–y.
  4. Находим полученное произведение.
Решение:

149 / 27·7= (2·7)9 / 27·7= 29·79 / 27 78 = 29–7·79–8 = 22·71 = 4·7 = 28

Ответ: 28


Вариант 2МБ8

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\3.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Выносим за скобки общий множитель 52=25.
  2. Выполняем в скобках умножение чисел 2 и 5. Получаем 10.
  3. Выполняем в скобках сложение 10 и 3. Получаем 13.
  4. Выполняем умножение общего множителя 25 и 13.
Решение:

2·53+3·52 = 52·(2·5+3) = 25·(10+3) = 25·13 = 325

Ответ: 325


Вариант 2МБ9

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\4.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Возводим в квадрат (–1). Получим 1, поскольку происходит возведение в четную степень.
  2. Возводим (–1) в 5-ю степень. Получим –1, т.к. происходит возведение в нечетную степень.
  3. Выполняем действия умножения.
  4. Получаем разность двух чисел. Находим ее.
Решение:

6·(–1)2+4·(–1)5 = 6·1+4·(–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Ответ: 2


Вариант 2МБ10

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\5.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем множители 103 и 102 в целые числа.
  2. Находим произведения путем переноса десят.запятой вправо на соответствующее число знаков.
  3. Находим результирующую сумму.
Решение:

9,4·103+2,2·102 = 9,4·1000+2,2·100 = 9400+220 = 9620

Ответ: 9620


Вариант 2МБ11

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\6.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем 102 в целое число и выполняем умножение в числителе путем переноса деся.запятой.
  2. Преобразуем 10–2 в десят.дробь и выполняем умножение в знаменателе путем переноса десят.запятой влево.
  3. Домножаем числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десят.запятой в знаменателе.
  4. Находим результат путем деления числителя дроби на ее знаменатель.
Решение:

1,6·102 / 4·10–2 = 1,6·100 / 4·0,01 = 160/ 0,04 = 160·100 / 0,04·100 =  16000 / 4 = 4000

Ответ: 40000


Вариант 2МБ12

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\7.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Применяем к дроби св-ва степеней aay=ax+y и ax/ay=ax–y.
  2. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

3–10·35 / 3–7 = 3–10+5  /3–7 = 3–5 / 3–7 = 3–5–(–7)) = 3–5+7 = 32 = 9

Ответ: 9


Вариант 2МБ13

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\8.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Представляем выражение в знаменателе как степень с основанием 8. Далее применяем св-во степеней х)уху, получаем 812.
  2. Применяем к дроби св-во степеней ax/ay=ax–y.
Решение:

813 /646 =813 / (82)=813 /812 = 813–12 = 81 = 8

Ответ: 8


Вариант 2МБ14

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\9.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем степени в числителе дроби и в делителе (число 92) так, чтобы получились степени с основанием 3.
  2. Используем св-во степеней х)уху для преобразованных степеней.
  3. Используем св-во степеней ax/ay=ax–y.
  4. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

274 /36 : 9=(33)4 / 36 : (32)2 = 312/36 : 34 = 312–6–4 = 32 = 9

Ответ: 9


Вариант 2МБ15

C:\Users\Ксенья\Desktop\матме\10.jpg

Алгоритм выполнения
  1. Возводим каждый из множителей в соответствующую степень. Получим соответственно: 0,01, 1000, 4.
  2. Перемножаем 0,01 и 1000 путем переноса десят.запятой вправо на 3 знака. Получим 10.
  3. Умножаем 10 на 4.
Решение:

(0,1)2·103·22 = 0,01·1000·4 = 10·4 = 40

Ответ: 40

image_pdfСкачать PDFimage_printРаспечатать

spadilo.ru

Тест по математике на тему «Действия со степениями»

Данную карточку можно использовать при отработке темы «Действия со степенями». Выполняя задания, учащиеся проговаривают правила и одновременно выполняют задания

— возведение степени в степень;

— умножение степеней;

— деление степеней.

Можно организовать групповую форму работы (сильный учащийся- слабый), индивидуальное выполнение учащимся с элементами самопроверки или проверяет учитель.

Также можно использовать при подготовке к Г(И)А выпускников 9 класса или со слабоуспевающими учащимися.

КАРТОЧКА ЗАДАНИЕ по теме «Действия со степенями»

Найдите значение выражения: hello_html_44b5db1d.gif

Образец решения:

Числитель – это выражение, записанное над чертой. В числителе степень c-4 возводят в степень (–6). При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают, При умножении двух отрицательных чисел надо: 1. Поставить знак «+» 2. Перемножить модули этих чисел.

При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается без изменения, а показатели степеней складывают:

hello_html_m19b8c83a.gif

 При делении степеней с одинаковым основанием основание остается без изменения, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя:

hello_html_4bdcfb90.gif

т.е. hello_html_m481219aa.gif

hello_html_m3c68bfed.gifhello_html_629aceee.gif

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАЛЬКУЛЯТОРА ИЛИ ДРУГОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКОЙ ЗАПРЕЩЕНО !!!

№ 156933 hello_html_44b5db1d.gif

№ 156943 hello_html_2477a8d7.gif

№ 156953 hello_html_m723b7f60.gif

№ 156963 hello_html_m119f8414.gif

№ 156973 hello_html_516a8a2b.gif

№ 156983 hello_html_m7e3a753f.gif

№ 156993 hello_html_m3fae8167.gif

№ 157003 hello_html_3fc604f3.gif

№ 157013 hello_html_m2c5dbafc.gif

№ 157023 hello_html_m6f1ebcd3.gif

№ 157033 hello_html_5ea52759.gif

№ 157043 hello_html_m5c895e00.gif

№ 157053 hello_html_6883e198.gif

№ 157063 hello_html_753eea18.gif

№ 157073 hello_html_3803059.gif

№ 156935 hello_html_m1c74e86b.gif

№ 156945 hello_html_33541b70.gif

№ 156955 hello_html_m44223131.gif

№ 156965 hello_html_m40848ecc.gif

№ 156975 hello_html_m90d4d50.gif

№ 156985 hello_html_ma26f107.gif

№ 156995 hello_html_7f0642c1.gif

№ 157005 hello_html_m4a8df583.gif

№ 157015 hello_html_m446d98e9.gif

№ 157025 hello_html_m1d61d0b.gif

№ 157035 hello_html_m65ce2b0a.gif

№ 157045 hello_html_m120c69e0.gif

№ 157055 hello_html_373f1f1d.gif

№ 157065 hello_html_23db86e5.gif

№ 157075 hello_html_371ed006.gif

№ 156937 hello_html_19ba447.gif

№ 156947 hello_html_77dc7d8e.gif

№ 156957 hello_html_674beb3e.gif

№ 156967 hello_html_m5d99fcae.gif

№ 156977 hello_html_mcb97756.gif

№ 156987 hello_html_586eef27.gif

№ 156997 hello_html_m2c420eb5.gif

№ 157007 hello_html_5f59c0cc.gif

№ 157017 hello_html_719b0098.gif

№ 157027 hello_html_m6e500f55.gif

№ 157037 hello_html_285a0167.gif

№ 157047 hello_html_6431600a.gif

№ 157057 hello_html_m24c027d2.gif

№ 157067 hello_html_m2c5c4556.gif

№ 157077 hello_html_3f573a62.gif

№ 156939 hello_html_326ad048.gif

№ 156949 hello_html_m5c945393.gif

№ 156959 hello_html_3b2f12d0.gif

№ 156969 hello_html_m1f6f7011.gif

№ 156979 hello_html_38a015e5.gif

№ 156989 hello_html_5578c702.gif

№ 156999 hello_html_m3f43a65c.gif

№ 157009 hello_html_m4c1273d2.gif

№ 157019 hello_html_m5ae69eaf.gif

№ 157029 hello_html_m745458a.gif

№ 157039 hello_html_m14acb592.gif

№ 157049 hello_html_m6f6821c.gif

№ 157059 hello_html_m24ba3257.gif

№ 157069 hello_html_m3d9fdc65.gif

№ 157079 hello_html_5baee92c.gif

№ 156941 hello_html_m6ab1ec09.gif

№ 156951 hello_html_m68c3b6b2.gif

№ 156961 hello_html_248c3949.gif

№ 156971 hello_html_m3c3fbf6a.gif

№ 156981 hello_html_3387b50b.gif

№ 156991 hello_html_7320c945.gif

№ 157001 hello_html_bc6d682.gif

№ 157011 hello_html_m59984c24.gif

№ 157021 hello_html_m53f0b2a.gif

№ 157031 hello_html_8822fdd.gif

№ 157041 hello_html_812b3.gif

№ 157051 hello_html_74312ab0.gif

№ 157061 hello_html_m4e55e649.gif

№ 157071 hello_html_5467f4ca.gif

№ 157081 hello_html_6620256.gif

infourok.ru

Задания по профильной математике ЕГЭ с разбором решений

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут). 

Минимальный порог — 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. 

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

  • часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
  • часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова.pngПанова Светлана Анатольевна, учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:  

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».


Задание № 1 — проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня — 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м  холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1)    Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 — 172 = 5 (куб м)

2)    Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.




Задание № 2 —является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований — это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами  и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Задание №  2 проверяет умение читать диаграммы.

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Панова.png

Решение: 

1)    340 · 1000 = 340000 (руб) — бизнесмен потратил 7 апреля при покупке 1000 акций.

2)    1000 · 3/4 = 750 (акций) — составляют  3/4 от всех купленных акций.

3)    330 · 750 = 247500 (руб) — бизнесмен получил 10 апреля после продажи 750 акций.

4)    1000 – 750 = 250 (акций) — остались после продажи 750 акций 10 апреля.

5)    310 · 250 = 77500 (руб) — бизнесмен получил 13 апреля после продажи 250 акций.

6)    247500 + 77500 = 325000 (руб) — бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7)    340000 – 325000 = 15000 (руб) — потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.


Чтобы продолжить чтение, авторизуйтесь на сайте.

rosuchebnik.ru

ТОГИС задача «Степень числа»

Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно – 122, конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 122 взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, – не сложно.

Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:

482 + 492 + 502 + 512 + 522 = 5·502 + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.

Усложним:

842 + 872 + 902 + 932 + 962 = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

  Ряд Рачинского

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел

10,  11,  12,  13,  14

более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x2 + (х + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2.

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x2 – 10x – 11 = 0,

откуда

х1 = 11, x2 = –1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10,  11,  12,  13,  14

и ряд

–2,  –1,  0,  1,  2.

В самом деле,

(–2)2 +(–1)2 + 02 = 12 + 22.

 

Закончить я хотела бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье « О квадратах двузначных чисел и не только о них…»

 Когда-то, в году примерно 1962-м, наша «математичка», Любовь Иосифовна Драбкина, дала эту задачу и нам, 7-классникам. 

Я тогда очень увлекался только что появившимся КВН-ом. Болел за команду подмосковного города Фрязино. «Фрязинцы» отличались особым умением применять логический «экспресс-анализ» для решения любой задачи, «вытягивания» самого каверзного вопроса. 

Быстро посчитать в уме я не мог. Однако, применив «фрязинский» метод, я прикинул, ответ должен выражаться целым числом. Иначе — это уже не «устный счет»! Этим числом не могла быть единица – даже если бы в числителе стояли одинаковые 5 сотен, ответ получался явно больше. С другой стороны, и до числа «3» он явно де дотягивал. 

– Два!!! – выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы. 

– Да, действительно два, – подтвердил Леня. 

– Как Вы считали? – спросила Любовь Иосифовна. 

– Я никак не считал. Интуиция – ответил я под хохот всего класса. 

– Если не считал – ответ не считается – «скаламбурила» Любовь Иосифовна. Леня, а ты тоже не считал? 

– Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню – 730. Делим на 365 – получаем 2. 

– Молодец! Но на будущее запомните – в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции… 

Методический комментарий

Данная задача межпредметная и может применяться на уроках алгебры, истории, рисования. Поставленные в задаче вопросы позволят значительно расширить и углубить знания учащихся о нахождении степени числа, развить быстроту устного счета, используя ряды Рачинского.

Навыки устного счёта помогают стать учащимся внимательными, рефлексивными, закалять характер и волю к отличным результатам. Путь, к решению жизненных проблем, начинается в школе – в работе над собой. А математика, как известно, приводит ум в порядок.

Данная задача может быть использована при изучении материала 7 класса, а также на этапе итогового повторения курса математики в 8-9 классах общеобразовательной школы.

Список литературы

1. Персональный сайт Гузеева В.В. [Электронный ресурс]. – 2014. – Режим доступа: http://www.gouzeev.ru/.

2. Сайт «ТОГИС-клуб» [Электронный ресурс]. – 2014. – Режим доступа: http://www.togisklub.ru/.

3. Сухарева, И. А. Опыт ТОГИС-шагов в начальной школе «Дарина» [Текст] / И. А. Сухарева, Е. В. Тимофеева // Педагогические технологии. — 2011. — № 3. — С. 101-103.

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о