Практика. Стереометрия. Решение задач. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Задача 1. Доказать, что число ребер любой призмы делится на .

Доказательство.

Рассмотрим произвольную -угольную призму (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Каждое основание – это -угольник, соответственно, у нас есть  ребер сверху и  снизу. Также у нас есть еще боковые ребра, их тоже  штук. Таким образом, всего у -угольной призмы

 ребер, т. е. их количество делится на :

Доказано.

Задача 2. На трех ребрах параллелепипеда даны точки ,  и  (см. рис. 2). Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Сначала поговорим о том, что такое сечение. Если очень постараться, то палку колбасы можно считать цилиндром. Если разрезать ее, то получим срез. При разрезе параллельно плоскости основания – круг, при более привычном разрезе «наискосок» – овал (или, если использовать более строгий математический термин, эллипс) (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Вот этот срез и является сечением цилиндра соответствующей плоскостью. Естественно, сечение может быть не только у цилиндра, но и у других тел.

Построить сечение – найти все линии, по которым плоскость сечения пересекается с телом, и определить вид и границы фигуры, которая будет являться сечением. Чаще всего такие задачи мы будем решать для куба или параллелепипеда.

В данной задаче необходимо представить, как плоскость, проходящая через точки ,  и  разрезает параллелепипед, и изобразить полученный срез.

Т. к. точки  и  лежат на одной грани, то соединим их отрезком. По отрезку

 будет разрезана эта грань. Аналогично построим отрезок  – это разрез задней грани (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Запоминаем: если две точки сечения лежат на одной грани – проводим через них отрезок и получаем линию сечения всей грани.

Точка  принадлежит не только левой грани, но и передней. По ней тоже пойдет разрез. Ближняя к нам и дальняя от нас грани параллельны. Следовательно, разрезы на них будут параллельны друг другу. Тогда проводим в ближней грани отрезок из точки

. Он пересек нижнее ребро в точке  (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Запоминаем: если есть сечение грани и точка на параллельной грани, то проводим через нее сечение параллельно имеющемуся. Т. е. у параллельных граней сечения всегда параллельны.

Аналогично в правом боковом ребре проводим отрезок через  параллельно

. Получим отрезок  (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и  лежат в одной плоскости, следовательно, их можно соединить. Полученный многоугольник и есть требуемое сечение (см. рис. 7).

Рис.7. Иллюстрация к задаче 2

Понятно, что если бы секущая плоскость была расположена иначе, то и сечение могло оказаться другое. Изменим положение точек, задающих секущую плоскость.

Точки  и  лежат на одной грани – соединяем. Аналогично  и  тоже на одной грани – соединяем (см. рис. 8). Мы получили сечения двух граней. На параллельных гранях точек у нас нет. Мы не можем применить ни одно из двух рассмотренных правил.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 2

Но нам необязательно иметь точку на самой грани, достаточно, чтобы она была в плоскости грани. Попробуем получить точку сечения в плоскости нижней грани.

Продолжим отрезок  и нижнее ребро левой грани до пересечения. Они пересекутся, т. к. лежат в одной плоскости – плоскости левой грани. Точка  лежит в плоскости нижней грани. При этом она принадлежит и плоскости сечения (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 2

Через точку

 мы можем провести сечение плоскости нижнего основания параллельно сечению верхнего основания, т. е. отрезку . Получим сечение нижнего основания и две новые точки  и  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и

 лежат в одной плоскости – соединяем (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2

Через точку  в правой грани проводим сечение параллельно (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и  лежат в одной грани – соединяем (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 2

Ломаная замкнулась, значит, сечение построено (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 2

Метод построения, который мы использовали, называется методом следов.

Задача 3. Ребро куба равно . Найти диагональ куба.

Решение

Изобразим куб. Все его ребра равны . Построим диагональ нижней грани  и диагональ самого куба  (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 3

Диагональ нижней грани найдем по теореме Пифагора:

Диагональ куба  является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами  и  (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 3

Найдем ее тоже по теореме Пифагора:

Ответ:.

Расширим эту задачу и решим ее для произвольного прямоугольного параллелепипеда.

 

Задача 4. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны ,  и . Найти длину диагонали (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Понятно, что решается она аналогично задаче с кубом. Диагональ нижней грани по теореме Пифагора:

Диагональ параллелепипеда снова по теореме Пифагора (см. рис. 18):

Геометрия, 10 класс: уроки, тесты, задания

Аксиомы стереометрии

1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Параллельность прямых и плоскостей

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми

3. Параллельность плоскостей

4. Тетраэдр и параллелепипед

Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Многогранники

1. Понятие многогранника. Призма

2. Пирамида

3. Правильные многогранники

Векторы в пространстве

1. Понятие вектора в пространстве

2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

3. Компланарные векторы

Презентация по геометрии «Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии»

Инфоурок › Математика ›Презентации›Презентация по геометрии «Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии»

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Преподаватель математики ГОБУ СПО ВО «БИТ» Соседова Ольга Сергеевна

2 слайд Описание слайда:

Содержание Что такое стереометрия? Возникновение и развитие стереометрии Основные фигуры в пространстве Обозначение точек и примеры их моделей Обозначение прямых Примеры моделей прямых Обозначение плоскостей и примеры их моделей Что еще изучает стереометрия? Окружающие нас предметы и геометрические тела Изображение геометрических тел на чертежах Практическое (прикладное) значение стереометрии Аксиомы стереометрии Следствия из аксиом стереометрии Закрепление Используемая литература

3 слайд Описание слайда:

Что такое стереометрия? Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. к содержанию

4 слайд Описание слайда:

Возникновение и развитие стереометрии. Развитие стереометрии началось значительно позднее планиметрии. Стереометрия развивалась из наблюдений и решений вопросов, которые возникали в процессе практической деятельности человека. к содержанию

5 слайд Описание слайда:

Уже первобытный человек, занявшись земледелием, делал попытки оценивать, хотя бы в грубых чертах, размер собранного им урожая по массам хлеба, сложенного в кучи, копны или скирды. Строитель даже самых древних примитивных построек должен был как-то учитывать материал, которым он располагал, и и уметь подсчитать, сколько материала потребуется для возведения той или иной постройки. к содержанию

6 слайд Описание слайда:

Каменотесное дело у древних египтян и халдеев требовало знакомства с метрическими свойствами хотя бы простейших геометрических тел. Потребность земледелия, мореплавания, ориентировки во времени толкали людей к астрономическим наблюдениям, а последние – к изучению свойств сферы и её частей, а следовательно и законов взаимного расположения плоскостей и линий в пространстве. к содержанию

7 слайд Описание слайда:

Основные фигуры в пространстве. Точка Прямая Плоскость –геометрическая фигура, простирающаяся неограниченно во все стороны к содержанию

8 слайд Описание слайда:

Обозначение точек и примеры их моделей. Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, … Примерами моделей точек являются: атомы и молекулы планеты в масштабах вселенной А В С к содержанию

9 слайд Описание слайда:

Обозначение прямых. Прямые обозначаются: строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k,… двумя заглавными латинскими буквами AB, CD … а A B к содержанию

10 слайд Описание слайда:

Примеры моделей прямых. Примерами моделей прямых могут служить: инверсионные следы самолетов рельсы к содержанию

11 слайд Описание слайда:

Обозначение плоскостей и примеры их моделей. Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ,… Примерами моделей плоскостей могут служить: поверхность воды поверхность стола α β к содержанию

12 слайд Описание слайда:

Что еще изучает стереометрия? На ряду с точкой, прямой и плоскостью стереометрия изучает геометрические тела и их поверхности. к содержанию

13 слайд Описание слайда:

Окружающие нас предметы дают представления о геометрических телах. А изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем сведения о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. к содержанию кристаллы- многогранники жестяная банка — цилиндр мяч — шар упаковка для конфет — конус

14 слайд Описание слайда:

Изображения геометрических тел на чертежах. Изображением пространственной фигуры служит её проекция на ту или иную плоскость. Невидимые части фигуры изображаются штриховыми линиями. к содержанию

15 слайд Описание слайда:

Практическое (прикладное) значение стереометрии. Геометрические тела являются вымышленными объектами Изучая свойства геометрических фигур, мы получаем представления о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т.д.) Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении и других областях науки и техники к содержанию

16 слайд Описание слайда:

Аксиомы стереометрии. Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия. к содержанию

17 слайд Описание слайда:

Аксиомы стереометрии. А В С А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна. α к содержанию

18 слайд Описание слайда:

Аксиомы стереометрии. α А В А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую. к содержанию

19 слайд Описание слайда:

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой α β А а к содержанию

20 слайд Описание слайда:

Следствия из аксиом. Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. а М α Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна. β а b N к содержанию

21 слайд Описание слайда:

Закрепление. D C B A E P 1.Назовите плоскости, в которых лежат прямые: а) PE; б) DB; в) AB; г) EC. к содержанию

22 слайд Описание слайда:

Закрепление. D C B A E P 2. Назовите точку пересечения прямой СE с плоскостью ADB. 3. Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости: а) ABC и DCB; б) ABD и CDA; к содержанию

23 слайд Описание слайда:

Используемая литература Геометрия. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 21-е изд. – М.: Просвещение, 2012.- 255 с.: ил. Геометрия: методическое пособие для высших педагогических заведений и преподавателей средней школы: ч. 2 Стереометрия/ под ред. Проф. И.К. Андронова. к содержанию

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики

Курс повышения квалификации

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Данная презентация призвана формировать основные понятия стереометрии и показать значимость стереометрических знаний.

 Работа содержит сведения о зарождении и развитии стереометрии, а также о прикладном значении этого раздела геометрии в настоящее время. В презентации рассмотрены основные фигуры в пространстве, приведены примеры моделей точек, прямых и плоскостей. Показано, как связаны воображаемые геометрические объекты с реальными предметами. Даны краткие сведения о изображении геометрических тел на чертежах.

 

 Также в презентации рассмотрены аксиомы стереометрии и следствия из них. Представлены задачи на применение полученных знаний для решения геометрических задач.

Общая информация

Номер материала: 480866

Похожие материалы

Оставьте свой комментарий

Геометрия для 10 класса | Интернет — шпаргалка

1. Аксиомы стереометрии

1.1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

1.2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

 1.3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

2. Некоторые следствия из аксиом.

2.1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

2.2 Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только  одна.

3. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

3.1 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3.2 Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

3.3 Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3.4 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

3.5 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3.6 Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

4. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

4.1 Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

4.2 Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

4.3 Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой, и притом только одна.

4.4 Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

5. Параллельность плоскостей.

5.1 Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

5.2 Если две пересекающиеся прямые одной        плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

6. Перпендикулярность прямой и плоскости.

6.1 Если одна из двух параллелельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

6.2 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

6.3 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

6.4 Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

6.5 Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

6.6 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

7. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

7.1 Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

7.2 Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекции на плоскость.

8. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

8.1 Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

8.2 Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90⁰.

8.3 Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8.4 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трёх измерений.

8.5 Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360⁰.

9. Теорема Эйлера.

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и вершин больше числа рёбер на 2.

10. Призма

10.1 Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

11. Пространственная теорема Пифагора.

Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра – прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площади остальных граней.

12. Пирамида

12.1 Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

12.2 Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

13. Вектор

13.1 Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.

13.2 Для любых трёх точек A, B и C имеет место равенство

13.3

13.4

13.5 Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор длина которого равна причём векторы и сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0. Произведением нулевого вектора на число считается нулевой вектор.

13.6

13.7

13.8

13.9 Любой вектора можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14. Координаты точки и координаты вектора

14.1 Любой вектор можно представить в виде причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

14.2 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

14.3 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

14.4 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число.

14.5 Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

14.6 Расстояние между точками вычисляется по формуле

15. Скалярное произведение векторов.

15.1 Скалярным произведением двух векторов является произведение их длин на косинус угла между ними.

15.2 Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

15.3 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

15.4

15.5

15.6

15.7

16. Движения

16.1 Движение пространства – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками.

16.2 Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку  относительно оси a.

16.3 Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M₁.

16.4 Параллельным переносом на вектор  называется отображение пространства на себя, при котором любая точка M переходит в такую точку M₁, что .

16.5 Центральным подобием с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка M переходит в точку M₁, что

17. Цилиндр и конус.

17.1 Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁, называется цилиндром.

17.2 Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

17.3 Площадь цилиндра находится по формуле

17.4 Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

17.5 Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

17.6 Площадь полной поверхности конуса находится по формуле

17.7 Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

18. Сфера

18.1 Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

18.2 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

18.3 Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

18.4 Площадь сферы вычисляется по формуле

18.5 Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и прямой, перпендикулярен к этой прямой

18.6 Если радиус сферы перпендикулярен к прямой, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта прямая является касательной к сфере.

18.7 Отрезки касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Геометрия на ЕГЭ по математике. Что нужно знать?

Геометрия на профильном ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю.

Геометрия на профильном ЕГЭ — это три в части 1 (сюда входит и планиметрия, и стереометрия), а также задача 14 (стереометрия) и для многих недосягаемая  16 (геометрия) из второй части. Как же научиться их решать?

Начнем с планиметрии. Прежде всего, выучите основные формулы геометрии.

На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части 1.

Для решения задач по геометрии из части 2 нужна более серьезная подготовка.

Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Программа по геометрии.

1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения).

2. Построение треугольника: практические задания.
а) Три стороны треугольника равны  и  сантиметров соответственно. Постройте треугольник с помощью циркуля и линейки.
б) В треугольнике угол  равен  градусов, сторона  равна двум,  равна . Постройте треугольник .
в) В треугольнике сторона  равна , угол  равен , угол  равен . Постройте треугольник .

3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку;
б) биссектрису угла.

5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства.

6. Теорема о сумме углов треугольника.

7. Внешний угол треугольника.

8. Постройте в одном и том же треугольнике
а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника.
б) три биссектрисы.
в) три медианы.

9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике.

10. Средняя линия треугольника и ее свойства.

11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

12. Определения синуса, косинуса и тангенса
— для острого угла прямоугольного треугольника
— для произвольного угла.

13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника.

14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма.

15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат).

16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции.

17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников.

18. Площадь треугольника. Формулы    и  .

19. Теоремы синусов и косинусов.

20. Чему равно отношение площадей подобных фигур.

21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?)

22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?)

23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора.

24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания.

25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними.

26. Теоремы о вписанных углах.

27. Теорема о пересекающихся хордах.

28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки.

29. Теорема о секущей и касательной.

30. Дан треугольник . Постройте
а) окружность, вписанную в данный треугольник
б) окружность, описанную вокруг данного треугольника.
Где находятся центры этих окружностей?

31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона).

32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника?

Программа по стереометрии

Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части 1, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные задачи из части 2 профильного ЕГЭ.

Решая на ЕГЭ задачи по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет:

«Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас».