Свойства арккосинус – Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства

Содержание

2) Понятие арксинуса и арккосинуса числа. Примеры. И 3 вопрос Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – основные сведения.

1)Понятие степени. Свойства степеней. Примеры.

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,…}

Определем понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

  • По определению: .

  • Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя: 

  • Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .

Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себяраз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Если показателем степени является целое положительное число:

n > 0

Возведение в нулевую степень:

a ≠ 0

Если показателем степени является целое отрицательное число:

, a ≠ 0

Прим: выражение не определено, в случаеn ≤ 0. Если n > 0, то 

Пример 1.

Степень с рациональным показателем

Если:

Тогда:

Пример 2.

Свойства степеней

Произведение степеней

Деление степеней

Возведение степени в степень

Пример 3.

Корень

Арифметический квадратный корень

Уравнение имеет два решения:x=2 и x=-2. Это числа, квадрат которых равен 4.

Рассмотрим уравнение . Нарисуем график функциии увидим, что и у этого уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.

Но в данному случае решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того, чтобы записать эти иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число, квадрат которого равен,a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.

Корень из квадрата

Например, 

. А решения уравнениясоответственнои

Кубический корень

Кубический корень из числа — это число, куб которого равен. Кубический корень определен для всех. Его можно извлечь из любого числа:

.

Корень n-ой степени

Корень -й степени из числа— это число,-я степень которого равна.

Если — чётно.

  • Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.

  • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнемn-ой степени из aи обозначается 

Если — нечётно.

Пример 4.

Задача, обратная нахождению значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла, подразумевает нахождение угла по известным значениям тригонометрических функций. Она приводит к понятиям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

В этой статье мы дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, введем принятые обозначения, а также приведем примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. В заключение обговорим некоторые тонкости, касающиеся этой темы, и покажем, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс связаны с единичной окружностью.

Навигация по странице.

  • Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

  • Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

  • Примеры.

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности.

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа

Дадим определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Определение.

Арксинус числа a из интервала от −1 до 1 включительно – это такой угол, лежащий в пределах от −π/2 до π/2 (от −90 до 90 градусов) включительно, синус которого равен a.

Определение.

Арккосинусом числа a−1≤a≤1, называется такой угол из отрезка [0, π] (от нуля до180 градусов включительно), косинус которого равен a.

Определение.

Арктангенсом числа aa – любое действительное число, называется угол из интервала(−π/2, π/2) (от −90 до 90 градусов не включительно), тангенс которого равен a.

Определение.

Арккотангенс числа aa – любое действительное число, — это такой угол из интервала(0, π) (от нуля до 

90 градусов не включительно), котангенс которого равен a.

Из приведенных определений видно, что арксинус и арккосинус числа определены для чисел, лежащих в интервале [−1, 1], для остальных чисел арксинус и арккосинус не определяются. Например, не определены arcsin 2, арксинус пяти, арксинус минус корня из трех, арккосинус семи целых двух третьих и арккосинус минус пи, так как числа 25не лежат в интервале от−1 до 1.

В свою очередь определения арктангенса и арккотангенса даются для любых действительных чисел a. То есть, имеют смысл и арктангенс нуля, и арктангенс −500,2, и арккотангенс миллиарда, и арккотангенс −π/3, как и арктангенс, и арккотангенс любого другого действительного числа.

Также стоит отметить, что при условиях, указанных для числа 

a в определениях, арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс существуют, причем они определены однозначно, то есть, для данного числа a имеют единственное значение.

К началу страницы

Обозначения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для записи арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса приняты следующиеобозначения: arcsinarccosarctg и arcctg. То есть, арксинус числа a можно записать какarcsin a, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа a запишутся соответственно как arccos a,arctg a и arcctg a.

Также можно встретить обозначения arctan и arccot, они являются другой формой обозначения арктангенса и арккотангенса, принятой в англоязычной литературе. Мы же арктангенс и арккотангенс будем обозначать как 

arctg и arcctg.

В свете введенных обозначений, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа запишутся как:

  • arcsin a, где −1≤a≤1, есть угол α, если sinα=a и −π/2≤α≤π/2;

  • arccos a, где −1≤a≤1, есть угол α, если cosα=a и 0≤α≤π;

  • arctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если tgα=a и −π/2≤α≤π/2;

  • arcctg a, где a – любое действительное число, есть угол α, если ctgα=a и 0≤α≤π.

К началу страницы

Примеры

Самое время привести примеры арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

Начнем с примеров арксинуса. Угол π/3 является арксинусом числа , это действительно так, так как числопринадлежит интервалу от−1 до 1, угол π/3 лежит в пределах от −π/2до π/2 и . Приведем еще несколько примеров арксинуса числа:arcsin(−1)=−π/2,arcsin(0,5)=π/6.

А вот π/10 не является арксинусом 1/2, так как sin(π/10)≠1/2. Еще пример: не смотря на то, что синус 270 градусов равен −1, угол 270 градусов не является арксинусом минус единицы, так как 270 градусов не является углом в пределах от −90 до 90 градусов. Более того, угол 270градусов вообще не может быть арксинусом какого-либо числа, так как арксинус числа должен лежать в пределах от −90 до 90 градусов.

Для полноты картины осталось привести примеры арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Например, угол 0 радиан является арккосинусом единицы (так как выполняются все условия из определения арккосинуса: число 1 лежит в отрезке от −1 до 1, угол нуль радиан лежит в пределах от нуля до пи включительно и cos0=1), угол π/2 есть арккосинус нуля. По определению арктангенса числа arctg(−1)=−π/4 и арктангенс корня из трех равен 60 градусам (π/3 рад). А из определения арккотангенса можно заключить, чтоarcctg0=π/2, так как π/2 лежит в открытом интервале от 0 до пи и ctg(π/2)=0.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа или угла?

В первом пункте данной статьи мы дали определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Таким образом, мы говорим именно об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа, а не угла.

Для себя нужно четко разграничить, что существует синус, косинус, тангенс и котангенс УГЛА, их значениями являются числа, и обратно: существует арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс ЧИСЛА, их значениями являются углы.

К началу страницы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс на единичной окружности

Чтобы получить наглядное представление об арксинусе, арккосинусе, арктангенсе и арккотангенсе числа a, взглянем на них с позиций геометрии. Это несложно сделать, если знать про линии синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

arcsin aarccos aarctg a и arcctg a можно связать с дугами единичной окружности, стягивающими углы, соответствующие значениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a.

Для примера получим дугу, соответствующую арксинусу числа a. Для этого на линии синусов отметим точку, отвечающую числу a, после чего из нее проведем луч, параллельно и в положительном направлении оси абсцисс. Этот луч будет пересекать единичную окружность в некоторой точке. Дуга единичной окружности от этой точки до начальной точки с координатами(1, 0) и будет отвечать арксинусу числа a.

По схожим принципам можно получить дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a. На рисунке ниже синими линиями показаны дуги, отвечающие арккосинусу, арктангенсу и арккотангенсу числа a.

4) Показатели функции, ее свойства и график.

В практике часто используются функции y=2x,y=10x,y=(12)x,y=(0,1)x и т. д., т. е. функция вида y=ax, где a — заданное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

 

Функция, заданная формулой y=ax(где a>0,a≠1), называется показательной функцией с основанием a.

  

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения — множество R действительных чисел.

2. Область значений — множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства  

axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

  Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1

 

 

2) для случая 0<a<1 

 

 

Логарифм и его свойства. Примеры

Логарифмом числа по основанию() называется такое число, что, то есть записииравносильны. Логарифм имеет смысл, если.

Если немного перефразировать — Логарифм числа по основаниюопределяется как показатель степени, в которую надо возвести число, чтобы получить число(Логарифм существует только у положительных чисел).

Логарифм в переводе с греческого буквально означает «число, изменяющее отношение».

Специальные обозначения:

  • Натуральный логарифм — логарифм по основанию, гдечисло Эйлера.

  • Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Свойства логарифмов:

1°    основное логарифмическое тождество.

2°    

3°    

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    

8°    

9°    — переход к новому основанию.

Вычислить , если

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ. 

studfile.net

Арксинус. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На этом уроке мы познакомимся с понятием арксинуса. Рассмотрим подробно функции у = sint на периоде и сформулируем прямую и обратную задачу для этой функции. Дадим определение для арксинуса как ответа для тригонометрического уравнения sint = a. Покажем нахождение арксинуса на числовой окружности. Докажем важное свойство арксинуса – равенство арксинуса от а и от минус а. Далее рассмотрим типовые задачи на вычисление арксинуса и другие задачи с использованием его свойств. А также докажем формулу, связывающую арксинус и арккосинус. 

Уважаемые пользователи, на 13 минуте на доске в условии появляется описка. В примере б) вместо -0,8 следует писать -0,6. В ближайшее время видео будет исправлено. 

Тема: Тригонометрические уравнения

Урок: Арксинус

Мы знаем, что такое арккосинус, и можем решать уравнения вида  Познакомимся с понятием арксинус.

Подробно рассмотрим построение графика функции

Отмечаем на оси x аргументы, кратные  Значения функции для этих аргументов являются табличными и хорошо нам известны. Строим график по полученным точкам (рис. 1).

Мы выбрали промежуток  т.к. на нем функция принимает все свои значения от  до . Также на данном промежутке функция  монотонно возрастает. Это значит, что и прямая, и обратная задачи имеют единственное решение.

Задали значение функции – получили единственное значение аргумента из промежутка . Например, значение  достигается только при  значение   достигается только при

Зададим произвольное  (рис. 2). Оно достигается при единственном значении аргумента  называется арксинусом

Арксинус – это такой угол из заданного отрезка , синус которого равен

Определение: Если  то арксинус  это такое число  из отрезка , синус которого равен

Покажем на графике (рис. 3).

Например:

Нахождение арксинуса – это решение обратной задачи для исходной функции: по значению синуса найти соответствующее значение аргумента. Это можно сделать не только на графике, но и на числовой окружности.

Арксинусы располагаются на дуге  (рис. 4).

Рисунок наглядно показывает, что, например:

Отметим важное свойство арксинуса:

Покажем это на числовой окружности. Отметим на оси y числа  (рис. 5).

Числу  соответствует дуга  числу  – дуга  Эти дуги равны по величине, но противоположны по знаку, значит, их сумма равна нулю.

Например:

Рассмотрим типовые вычислительные задачи.

Задача 1. Вычислить:

Решение:

Значения арксинусов можно определять по графику (рис. 1).

Ответ:

Задача 2. Сравнить

Решение:

На отрезке  значение 0,9 достигается при единственном значении аргумента, это  Значение 0,1 также достигается при единственном значении аргумента, это  На отрезке  функция монотонно возрастает (рис. 6).

Задача 3. Вычислить:

a) 

b) 

Решение:

При решении подобных задач используется следующий приём:

1. Арксинус обозначается за

2. Расписывается определение арксинуса.

a)

Укажем еще один способ решения той же задачи.

По условию нам дан угол в прямоугольном треугольнике, и его синус равен   т.е. гипотенузу можно обозначить  противолежащий катет   (рис. 7).

Легко найти прилежащий катет, он равен  получаем египетский треугольник.

Теперь можем найти косинус угла

Ответ:

b) 

Эту задачу также можно решить с помощью прямоугольного треугольника (рис. 8).

Ответ:

Задача 4: Доказать тождество:

Проиллюстрируем тождество на числовой окружности (рис. 9).

На линии косинусов отметим число  проведём перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку  В полученном прямоугольном треугольнике катет равен  гипотенуза равна 1.

Такое же значение  отложим на линии синусов. Проведем перпендикуляр до пересечения с окружностью, получим точку  В этом прямоугольном треугольнике катет также равен  гипотенуза равна 1.

Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство углов:

 а значит

Доказательство:

Пусть

Следует доказать:

Определим промежутки, которым принадлежат углы

Оба угла принадлежат промежутку, на котором   монотонно убывает, поэтому из равенства косинусов будет следовать равенство аргументов.

Вычислим

Тождество доказано.

interneturok.ru

Вывод формул обратных тригонометрических функций

Основные формулы

Вывод формул для обратных тригонометрических функций прост, но требует контроля за значениями аргументов прямых функций. Это связано с тем, что тригонометрические функции периодичны и, поэтому, обратные к ним функции многозначны. Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями подразумевают их главные значения. Для определения главного значения, область определения тригонометрической функции сужают до интервала, на котором она монотонна и непрерывна. Вывод формул для обратных тригонометрических функций основывается на формулах тригонометрических функций и свойствах обратных функций как таковых. Свойства обратных функций можно разбить на две группы.

В первую группу входят формулы, справедливые на всей области определения обратных функций:
sin(arcsin x) = x    
cos(arccos x) = x    
tg(arctg x) = x      (–∞ < x < +∞)
ctg(arcctg x) = x    (–∞ < x < +∞)

Во вторую группу входят формулы, справедливые только на множестве значений обратных функций.
arcsin(sin x) = x     при
arccos(cos x) = x     при
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при

Если переменная x не попадает в указанный выше интервал, то ее следует привести к нему, применяя формулы тригонометрических функций (далее n — целое):
sin x = sin(–x–π);     sin x = sin(π–x);     sin x = sin(x+2πn);
cos x = cos(–x);     cos x = cos(2π–x);     cos x = cos(x+2πn);
tg x = tg(x+πn);     ctg x = ctg(x+πn)

Например, если известно, что то
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π — x )) = π — x .

Легко убедиться, что при   π – x   попадает в нужный интервал. Для этого умножим на –1:   и прибавим π:     или   Все правильно.

Обратные функции отрицательного аргумента

Применяя указанные выше формулы и свойства тригонометрических функций, получаем формулы обратных функций отрицательного аргумента.

arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x

Поскольку   то умножив на –1, имеем:   или  
Аргумент синуса попадает в допустимый интервал области значений арксинуса. Поэтому формула верна.

Аналогично для остальных функций.
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x

arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x

Выражение арксинуса через арккосинус и арктангенса через арккотангенс

Выразим арксинус через арккосинус.

Формула справедлива при Эти неравенства выполняются, поскольку

Чтобы убедиться в этом, умножим неравенства на –1: и прибавим π/2: или Все правильно.

Итак,  

Аналогично выражаем арктангенс через арккотангенс.

Выражение арксинуса через арктангенс, арккосинуса через арккотангенс и наоборот

Поступаем аналогичным способом.

Формулы суммы и разности

Аналогичным способом, получим формулу суммы арксинусов.

Установим пределы применимости формулы. Чтобы не иметь дела с громоздкими выражениями, введем обозначения: X = arcsin x,   Y = arcsin y. Формула применима при
. Далее замечаем, что, поскольку arcsin(–x) = – arcsin x,   arcsin(–y) = – arcsin y,       то при разных знаках у x и y, X и Y также разного знака и поэтому неравенства     выполняются. Условие различных знаков у x и y можно написать одним неравенством: .   То есть при     формула справедлива.

Теперь рассмотрим случай x > 0 и y > 0, или X > 0 и Y > 0. Тогда условие применимости формулы заключается в выполнении неравенства: .   Поскольку косинус монотонно убывает при значениях аргумента в интервале от 0, до π, то возьмем косинус от левой и правой части этого неравенства и преобразуем выражение:
;
;
;
.
Поскольку   и   ;   то входящие сюда косинусы не отрицательные. Обе части неравенства положительные. Возводим их в квадрат и преобразуем косинусы через синусы:
;
.
Подставляем   sin X = sin arcsin x = x:
;
;
;
.

Итак, полученная формула справедлива при     или .

Теперь рассмотрим случай   x > 0, y > 0   и   x2 + y2 > 1. Здесь аргумент синуса принимает значения:   .   Его нужно привести к интервалу области значения арксинуса   :

.

Итак,

при и.

Заменив x и y на – x и – y, имеем

при и.
Выполняем преобразования:

при и.
Или

при и.

Итак, мы получили следующие выражения для суммы арксинусов:

при или ;

при и ;

при и .

Аналогичным способом получаются остальные формулы:


при или ;

при и ;

при и ;


при ;

при ;


при ;

при ;


при ;

при ;

при ;


при ;

при ;

при .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Определения и свойства обратных тригонометрических функций

by Колпаков А.Н. on 15 сентября 2010

Обратные тригонометрические функции:


область значений арксинуса
Определение:
Арксинусом числа а называется угол из отрезка \left [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ] , синус которого равен числу а.

Свойство арксинуса от отрицательного угла :

arcsin(-a)=-arcsin(a)

область значений арккосинуса
Определение:
Аркосинусом числа а называется угол из отрезка \left [ 0;\pi \right ] , косинус которого равен числу а.

Свойство арккосинуса от отрицательного угла :

arccos(-a)=\pi -arccos(a)

Область значений арктангенса. Рисунок репетитора
Определение:
Арктангенсом числа а называется угол из интервала \left (-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ) , тангенс которого равен числу а.

Свойство арктангенса от отрицательного угла :

arctg(-a)=-arctg(a)

область значений арккотангенса

Определение:
Арккотангенсом числа а называется угол из интервала (0;\pi) , котангенс которого равен числу а.

Свойство арккотангенса от отрицательного угла :

arcctg(-a)=\pi -arcctg(a)

Дополнительные свойства обратных тригонометричесикх функций:

Sin (arcsin(a)) = a, если Sin (arcsin(a)) = a;

Cos (arccos(a)) = a, если Sin (arcsin(a)) = a;

tg (arctg(a)) = a, если a \in R ;

ctg (arcctg(a)) = a, если a \in R ;

arcsin(sinx)=x , если x \in \left [ - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ] ;

arccos(cosx)=x , если x \in [0;\pi] ;

arctg(tg)=x , если x \in \left ( - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ) ;

arcctg(ctgx)=x , если x \in (0;\pi)

sin(arccos(a))=cos(arcsin(a))=\sqrt{1-a^2} , если a \in [-1;1]

Cos (arctg(a))=Sin(arcctg(a))=\sqrt{\dfrac{1}{1+a^2}} , если a \in (-\infty;+\infty)

Справочные материалы по обратным тригонометрическим функциям предназначены для учащихся 10-11 классов, школьных преподавателей и репетиторов по математике. Рекомендуется использовать материалы на уроках по тригонометрии и подготовке к ЕГЭ по математике.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Метки: Справочник репетитора, Тригонометрия, Ученикам

ankolpakov.ru

Выражение через логарифм обратных тригонометрических функций

Формулы обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции выражаются через натуральные логарифмы следующим образом:



Здесь стоит подчеркнуть, что все эти функции многозначны и обозначают всю совокупность значений в целом. Везде подразумевается, что квадратный корень имеет два знака: «+» и «–», а логарифм имеет бесконечное множество значений, отличающихся на 2πin, где n — целое. То есть, например, под арксинусом имеется в виду вся совокупность значений:
.
Такое правило распространяется на все многозначные функции комплексного переменного и их названия начинаются с большой буквы. Названия с маленькой буквы означают однозначную ветвь функции, заданной на определенной области Римановой поверхности.

Ниже приводится вывод этих формул.

Арксинус

Пусть   f = arcsin z.

Чтобы выразить arcsin z через элементарные функции, решаем уравнение:

Выразим sin f   через комплексные переменные:

Умножим на 2 i eif


Решаем квадратное уравнение

Логарифмируем


Умножаем на -i

Главная ветвь арксинуса

На рисунке изображена главная ветвь арксинуса. Остальные ветви получились бы, если продлить перевернутую синусоиду вверх и вниз.

Далее следует разобраться со знаком &pm;. С точки зрения комплексных переменных, квадратный корень всегда имеет два значения, различающихся знаком плюс и минус. Поэтому корень всегда подразумевает неоднозначность. Выберем такой знак, чтобы формула была справедлива для главного значения арксинуса. То есть для действительных значения арксинуса f = arcsin z должны находится в интервале

Рассмотрим знак +. Положим z = 0.

То есть знак + соответствует главному значению арксинуса, которое имеет множество значений при

Если мы возьмем знак , то

То есть знак соответствует ветви арксинуса, которая имеет множество значений при

Остальные ветви получаются вследствие многозначности логарифма. Выразим выражение под знаком логарифма через модуль r и аргумент φ:

где n — целое. Тогда

То есть многозначность логарифма дает ветви, которые отстоят друг от друга на величину 2π, что соответствует периоду синуса.

Итак,

Арккосинус

Выполняем аналогичные вычисления для арккосинуса. Пусть   f = arccos z.

Рассмотрим уравнение:

Умножим на 2 eif



Логарифмируем


Главная ветвь арккосинуса

На рисунке изображена главная ветвь арккосинуса. Остальные ветви получились бы, если продлить перевернутую синусоиду вверх и вниз.

Если взять знак +, то при z = 0 имеем:

Знак + соответствует главному значению арккосинуса, которое имеет множество значений при

Если бы мы взяли знак , то

То есть знак соответствует ветви арккосинуса, которая имеет множество значений при .

Итак,

Арктангенс

Для арктангенса, пусть   f = Arctg z.

Рассмотрим уравнение:

Умножим числитель и знаменатель на eif и выполняем преобразования




Логарифмируем:
;
.

Рассмотрим действительные z. Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

Комплексная функция w=(1+iz)/(1-iz)

Комплексная функция при действительных z.

При . Это соответствует главному значению арктангенса, .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда
.

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

Главная ветвь арктангенса

На рисунке изображена главная ветвь арктангенса. Остальные ветви расположены периодически вверх и вниз по вертикальной оси.

Все это соответствует главному значению арктангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z, даст нам главное значение арктангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арктангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Арккотангенс

Пусть   f = arcctg z.

Рассмотрим уравнение:
или

Это уравнение такое, как для тангенса, только нужно заменить z на :
;
.

Также рассмотрим действительные z. Представим комплексную функцию под знаком логарифма в алгебраической форме:
,
где .

Комплексная функция w=(iz-1)/(iz+1)

Комплексная функция при действительных z.

При . Это соответствует главному значению арккотангенса, .

При . При этом аргумент функции убывает от до : . Тогда .

При . При этом аргумент функции возрастает от до : . Тогда .

Главная ветвь арккотангенса

На рисунке изображена главная ветвь арккотангенса. Остальные ветви расположены периодически вверх и вниз по вертикальной оси.

Все это соответствует главному значению арккотангенса, у которого
;
.

Итак,
.
Мы можем образовать листы Римановой поверхности, подчинив их условию:
.
Тогда лист с , при действительных z, даст нам главное значение арккотангенса. На остальных листах к функции w добавится множитель , что приведет к увеличению значения арккотангенса на . Эти значения соответствуют другим ветвям арктангенса.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

1cov-edu.ru

Обратные тригонометрические функции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Unknown-2-150x150

Обратные тригонометрические функции (аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

 

Функция арксинус


Арксинусом числа a\;(arcsin\:a), где a\;(arcsin\:a) называется такое значение угла x, для которого sin \:x=a,\;-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}

arcsin-opredelenie, определение арксинуса

Пример 1.

Найти arcsin\frac{1}{2}

Решение:

Отмечаем на оси синусов \frac{1}{2}, проводим горизонталь:

нахождение арксинуса

Получили две серии точек на круге.

Значения синусов в них – \frac{1}{2}.

Нам подходит лишь одна единственная точка, что входит в отрезок [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}], то есть точка \frac{\pi}{6}.

Ответ: \frac{\pi}{6}.

Пример 2.

Найти arcsin(-\frac{\sqrt2}{2})

Решение:

нахождение арксинуса

Обратите внимание, положение точки \frac{11\pi}{6} на круге совпадает с положением точки -\frac{\pi}{6}, однако мы берем  точку -\frac{\pi}{6}, так как по определению арксинус принадлежит [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].

Ответ: -\frac{\pi}{6}.

Функция арккосинус

 

Арккосинусом числа a\;(arccos\:a), где a\;(arcsin\:a)  называется такое значение угла x, для которого cos \:x=a,\;0\leq x\leq\pi

определение арккосинуса

Пример. 

Найти arccos\:-(\frac{\sqrt3}{2}).

Решение: 

Отмечаем на оси косинусов значение -\frac{\sqrt3}{2}, проводим вертикаль:

arccccc

Выходим на две серии точек круга (значения косинусов в них – -\frac{\sqrt3}{2}), но берем лишь ту, что из [0;\pi], а именно \frac{5\pi}{6}.

Ответ: \frac{5\pi}{6}.

Функция арктангенс

 

Арктангенсом числа a\;(arctg\:a), где a\in R называется такое значение угла x, для которого tg \:x=a,\;-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}

определение арктангенса

Пример.

Найти arctg\:1.

Решение:

арктангенс 1

Ответ:  \frac{\pi}{4}.

Функция арккотангенс

 

Арккотангенсом числа a\;(arcctg\:a), a\in R   называется такое значение угла x, для которого ctg \:x=a,\;0<x<\pi

определение арккотангенса

Пример.

Найти arctg\:\sqrt3

нахождение арккотангенса

Ответ: \frac{\pi}{6}.

 

egemaximum.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о