Свойства функции ctg x: Функция y = ctgx и её свойства — урок. Алгебра, 10 класс.

Posted on by alexxlab

Содержание

Свойства функций у = tgx и y = ctgx и их графики

1. Свойства функций у = tgx и y = ctgx и их графики

pptcloud.ru

2. y = tgx

П
x
Пk , k Z , является
Функция y = tgx определена при
2
нечетной и периодической с периодом П.
Покажем, что на промежутке функция y = tgx возратает.
Покажем, что на промежутке функция y = tgx возрастает.
Пусть 0≤x1
sin x1 sin x 2
т.е. cos x1 cos x2 . По условию 0≤x1
свойствам фунции у=sin x имеем 0≤ sin x1
свойствам функции у=cos x имеем cos x1> cos x2>0, откуда
1
1
0
и 1 1 получим sin x1 sin x2
cos x1
cos x 2
cos x1
cos x 2
Построим график на промежутке [0;П/2) и отразим
его симметрично отосительно начала
координат, получим график этой функции на
интервале (-П/2;П/2)
у
3
1
1
3
х
0
П/6
П/4
П/3
П/2
П
2
При
функция у = tgx не определена. Если
х
приближается к 1, а cos, оставаясь
положительным, стремится к нулю. При этом
sin x
tgx возрастает и поэтому график
дробь cos
x
функции y = tgx приближается к вертикальной
прямой х=П/2. Аналогично при отрицательных
значениях х, больших — П/2 и приближающихся
к — П/2 , график функции y = tgx приближается к
вертикальной прямой х=-П/2, т.е. прямые х=П/2
и х=-П/2 являются вертикальными
асимптотами графика функции.
х

5. Построение графика функции у=tg x на всей бласти определения:

Функция у=tg x периодичская с периодом П, следовательно график этой функции получается
на интрвале от (-П/2;П/2) сдвигами вдоль оси абсцисс на Пk, где k Z

6. Основные свойства функции y=tgx

1) Область
определения – множество всех
действительных чисел х н н
2
2)Множество значений R всех действительных
чисел.
3)Периодическая с периодам
4)Нечетная.
5)Функция принимает значение, равно 0, при
н н
Положительные значения на
н
Отрицательные
Возрастающая
(
(
2
2
интервале ( н;
н; н), н
н;
2
н), н
2
н )

8. Задача 1: Найти все корни уравнения tg x=2 принадлежащие отрезку [-П;3П/2]

Построим графики функций у=2 и у= tg x. Эти графики
пересекаются в 3-х точках, абсциссы которых х1, х2, х3
являются корнями уравнения tg x=2. На интервале (-П/2;П/2)
уравнение имеет корень х1=arctg2. т.к. функция у=tg х
периодическая с периодом П, то х2= arctg2 + П, х3= arctg2 – П.
Ответ: х1=arctg2, х2= arctg2 + П, х3= arctg2 – П.

9. Задача 2: Найти все решения неравенства tg x≤2, принадлежащие отрезку [-П;3П/2]

Построим графики функций у=2 и у= tg x. Из графика видно, что
график функции у=tg х лежит не выше прямой у=2 на
промежутках [-П;х3], (-П/2;х1] и (П/2;х2].
Ответ: х [-П;-П+ arctg2], х (-П/2; arctg2], х (П/2; П+ arctg2]

10. Сравнить числа:

tg П/5 и tg П/7
tg П/5 > tg П/7
tg (-П/5) и tg (-П/7)
tg (-П/5) > tg (-П/7)
tg 7П/8 и tg 8П/9
tg 7П/8
tg 2 и tg 3
tg 2
tg (-7П/8) и tg (-8П/9)
tg (-7П/8) > tg (-8П/9)
tg 1 и tg 1,5
tg 1

11. Свойства функции у=tgx и у=ctgx

12. у=ctgx

• Для построения графика функции у=ctgx
воспользуемся тождеством ctgx=-tg(x+п/2).Из
этого тождества следует, что для построения
графика ctg необходимо сдвинуть график tg
на п/2 влево вдоль оси 0x и отразить
полученную кривую относительно оси
0х.Графики tg и ctg состоят из бесконечного
множества одинаковых периодически
повторяющихся ветвей.

13. Основные свойства функции у=ctgx


Область определениямножество всех действительных
чисел ; z
Множество значениймножество R всех
действительных чисел
Функция у=ctgx периодическая с
периодом Т=П
Функция у=ctgx нечетная
Функция у=ctgx принимает 2 ; z
значения, равные нулю при
-положительные
на
значения
; ; z
интервалах 2
-отрицательные
значения
на
; ; z
2
интервалах
Функция у=ctgx является
; ; z
убывающей на каждом
интервале

14. График функции у=ctgx

Тригонометрические функции тангенс и котангенс tg и ctg. Свойства. Основные формулы, формулы кратных и половинных аргументов, сложения, преобразования суммы в произведение, преобразования произведения в сумму
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Тригонометрические функции тангенс и котангенс tg и ctg. Свойства. Основные формулы, формулы кратных и половинных аргументов, сложения, преобразования суммы в произведение, преобразования произведения в сумму

Поделиться:   

Тригонометрические функции тангенс и котангенс tg и ctg. Свойства. Основные формулы,


формулы кратных и половинных аргументов, сложения, преобразования суммы в произведение,
преобразования произведения в сумму.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”

МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна.

Конспект урока по алгебре в 10-м классе по теме:

«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”.

Цели: 1. Изучить свойства функций y = tgx, y = ctgx; выработать у учащихся умения изображать схематически и читать графики этих функций. Сформировать прочные навыки в умении решать графически уравнения, выполнять преобразования графиков.

  1. Оргмомент. Сообщение темы, целей и задач урока. Приглашение к сотрудничеству.

  2. Актуализация знаний. Устная работа.

1.Вычислите:

2.Докажите, что число  является периодом для функции .

3.Докажите, что функция нечётная. Доказательство: .

4.Прочитайте по графику функцию.

D(f) = [ -2; 5]. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция возрастает на промежутках [ -2; -1], [2; 5], убывает на промежутке [ -1; 2]. Функция ограничена снизу и сверху. Функция непрерывна на всей области определения. E(f) = [ -4; 5].

  1. Изучение нового материала. Начинаем со свойств функции y = tgx. Свойство 1. Какова область определения функции y = tgx? (Все действительные числа, кроме чисел вида

Свойство 2. Функция периодическая с периодом , т.к.

Свойство 3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу основных значений:

x

0

/6

/4

/3

tgx

0

1

Построим график функции в первой четверти:

Используя свойства функции, строим полностью график функции y = tgx.

Свойство 4. Функция возрастает на всём интервале вида:

График функции y = tgx называют тангенсоидой, а ветвь на промежутке называют главной ветвью.

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида

Свойство 8. E(f) = ( — ; + ).

Рассмотрим пример: решите уравнение . Решим это уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и .

Пример 2. Построить график функции

Составим план построения: 1) Построим главную тангенсоиду.

2) Отобразим эту ветвь симметрично относительно оси х. 3) Сдвинем полученную ветвь на /2 влево. 4) зная одну ветвь, построим весь график.

Т.к. , то построен график функции

По графику полученной функции описать её свойства. Как быстро это сделать? (Большинство свойств у функций y = tgx и совпадают).

Свойство 1. D(f) – все действительные числа, кроме чисел вида x = k.

Свойство 2. Функция периодическая с периодом .

Свойство 3. Функция нечётная.

Свойство 4. Функция убывает на всём интервале вида:

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида:

Свойство 8. E(f) = ( — ; + ).

График функции так же называется тангенсоидой.

  1. Закрепление изученного материала. № 254,255,257,258 – устно. № 261в, 262в – письменно.

  2. Итог урока.

— С какими функциями мы сегодня с вами познакомились?

— Что можно сказать о них?

— Какими похожими свойствами они обладают? В чём различие?

— Как называются графики этих функций?

  1. Домашнее задание. §15 № 256(а), 259(а), 261(а), 262(а).

Функция y = ctg x

Просмотр содержимого документа
«Функция y = ctg x»

Дата: 03.04.2020.

Тема: ФУНКЦИЯ y = ctg x

Цели: рассмотреть свойства функции котангенс и построить её график; закрепить новые знания в ходе решения задач.

Ход урока

  1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Вспомните самостоятельно теорию, которая была изучена нами на прошлых уроках для функций y=sin x, у=соs x и y = tg x. Ответьте устно на вопросы.

  1. Что называется областью определения функции? Каковы они для изученных функций?

  2. Что называется множеством значений функции? Каковы они для изученных функций?

  3. Как называются графики изученных ранее функций?

  4. Что называется котангенсом угла α?

  1. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

Откройте свои тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Далее выполняем построение графика функции у=ctg x и переписываем её свойства.

Давайте подумаем, как построить график функции у=ctg x? Вспомним формулу взаимосвязи

Т.е. график функции у=ctg x можно получить из графика функции y = tg x с помощью применения элементарных преобразований. Вспомним график функции y = tg x. К нему необходимо применить такие преобразования: смещение графика по оси Ох и отображение его симметрично относительно оси ОХ.

Применив эти преобразования, получим график для функции у=ctg x

Перечислим основные свойства функции у = ctg x:

1. Область определения — множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = πk, к ∈ Z.

2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = -y(x)), и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Функция убывает на промежутках вида (πk; π + πk), к ∈ Z.

4. Функция не ограничена.

5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.

6. Функция непрерывная.

7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).

8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + πk) = у(x).

9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = πk.

10. Точки пе­ре­се­че­ния с осью Оx: 

Точки пе­ре­се­че­ния с осью Оy от­сут­ству­ют.

11. Опре­де­лим ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства:

  1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пользуясь свойствами функции y = сtg x, выполните письменно №10.28, №10.31.

  1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА. РЕФЛЕКСИЯ

Какие свойства функции y = сtg x запомнили?

Домашнее задание: теория, №10.32.

Тригонометрические функции

Предположим, что на нашей координатной плоскости есть некий отрезок ОА, который называется начальным радиусом и лежит на оси абсцисс. В результате поворотов радиуса ОА получается радиус ОВ.

Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к радиусу. Синус обозначается sin α.

Косинусом угла α называют отношение абсциссы точки В к радиусу и обозначают cos α.

Тангенс угла α – это отношение ординаты точки В к ее абсциссе. Тангенс угла записывается так: tg α.

Отношение абсциссы точки В к ее ординате называется котангенсом угла α и записывается как ctg α.

Тригонометрическими называются функции у = sin x, у = cos x, у = tg x, у = ctg x.

Как и ранее рассматриваемые функции, тригонометрические функции могут быть четными и нечетными:

cos (-x) = cos x

sin (-x) = -sin x

tg (-x) = -tg x

ctg (-x) = -сtg x.

Исходя из данных равенств, получаем, что функции у = sin x, у = tg x, у = ctg x являются нечетными, а функция у = cos x – четной.

Рассмотрим графики и свойства этих функций.

Функция у = sin x обладает набором следующих характеристик:

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция периодическая; основной период – 2n.

Чтобы построить график функции, нужно выбрать отрезок, например, [0; n] и построить график на нем. Затем симметрично «достроить» график относительно начала координат, воспользовавшись периодичностью функции. График функции у = sin x называется синусоидой.

Свойства функции у = cos x во многом повторяют свойства функции у = sin x. Итак, у = cos x:

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок [-1; 1].

3. Функция периодическая; основной период – 2n.

График функции у = cos x – это косинусоида. Этот график похож на синусоиду, но отличается тем, что он симметричен не относительно начала координат, а относительно оси y, т.е. оси ординат.

Функция у = tg x отличается от предыдущих функций следующими свойствами:

1. Область определения: х ≠ n/2 + πk, где k € Z.

2. Область значений – вся числовая прямая.

3. Функция периодическая; основной период — n.

4. Функция нечетная.

Для того чтобы построить график функции у = tg x, нужно:

1. Выбрать несколько «опорных» точек : (0; 0), (n/4; 1) и др.

2. Построить график функции на промежутке [0; n/2).

3. На основании нечетностью функции построить график на интервале (-π/2; π/2).

4. На основании периодичности функции «достроить» график на всей области определения.

График рассматриваемой функции называется тангенсоидой.

Функция у = ctg x обладает следующими свойствами:

1. Область определения: х ≠ nk, где k € Z.

2. Область значений – вся числовая прямая.

3. Функция периодическая; основной период – n.

4. Функция нечетная.

Чтобы построить график функции у = ctg x, необходимо:

1. Воспользоваться тождеством ctg x = -tg (x = n/2).

2. Сдвинуть тангенсоиду влево по оси абсцисс на расстояние n/2.

3. Полученную кривую отобразить симметрично относительно оси х.

Построенный график и будет нашей котангенсоидой.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Раздел 4.6: Графики других тригонометрических функций

Результаты обучения

  • Проанализируйте график y = tan x и y = cot x.
  • График изменения y = tan x и y = cot x.
  • Определите формулу функции по касательному графику или графику котангенса.
  • Проанализируйте графики y = sec x и y = csc x.
  • График изменения y = sec x и y = csc x.
  • Определите формулу функции по секущему или косекансу графика.

Анализ графика y = tan x и его вариаций

Мы начнем с графика функции касательной , вычерчивая точки, как мы это делали для функций синуса и косинуса. Напомним, что

[латекс] \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} [/ латекс]

Период касательной функции равен π , потому что график повторяется на интервалах kπ , где k — постоянная. Если построить график касательной функции на [latex] — \ dfrac {\ pi} {2} \ text {to} \ dfrac {\ pi} {2} [/ latex], мы можем увидеть поведение графика на одном полном цикл.Если мы посмотрим на любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

Мы можем определить, является ли тангенс четной или нечетной функцией, используя определение тангенса.

[латекс] \ begin {align} \ tan (−x) & = \ frac {\ sin (−x)} {\ cos (−x)} && \ text {Определение касательной.} \\ & = \ frac {- \ sin x} {\ cos x} && \ text {Синус — нечетная функция, косинус — четный.} \\ & = — \ frac {\ sin x} {\ cos x} && \ text {Частное от нечетная и четная функции являются нечетными.} \\ & = — \ tan x && \ text {Определение касательной.} \ End {align} [/ latex]

Следовательно, тангенс — нечетная функция. Мы можем дополнительно проанализировать графическое поведение касательной функции, посмотрев значения для некоторых специальных углов, как указано в таблице ниже.

x [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ pi} {3} [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ pi} {4} [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] 0 [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {4} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {3} [/ латекс] [латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]
желто-коричневый ( x ) undefined [латекс] — \ sqrt {3} [/ латекс] –1 [латекс] — \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 0 [латекс] \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} [/ латекс] 1 [латекс] \ sqrt {3} [/ латекс] undefined

Эти точки помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как график ведет себя там, где он не определен.Если мы более внимательно рассмотрим значения, когда [latex] \ frac {\ pi} {3} x <1,57, как показано в таблице ниже.

x 1,3 1,5 1,55 1,56
желто-коричневый x 3.6 14,1 48,1 92,6

По мере приближения x к [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] выходные данные функции становятся все больше и больше. Поскольку [latex] y = \ tan x [/ latex] является нечетной функцией, мы видим соответствующую таблицу отрицательных значений в таблице ниже.

x -1,3 -1,5 -1,55 -1,56
желто-коричневый x −3.6 −14,1 −48,1 −92,6

Мы видим, что по мере приближения x к [latex] — \ dfrac {\ pi} {2} [/ latex] выходные данные становятся все меньше и меньше. Помните, что есть некоторые значения x , для которых cos x = 0. Например, [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex] и [ латекс] \ cos \ left (\ frac {3 \ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex]. При этих значениях касательная функция не определена, поэтому график [latex] y = \ tan x [/ latex] имеет разрывы в [latex] x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex] и [латекс] \ frac {3 \ pi} {2} [/ латекс].При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты. На рисунке 1 представлен график [латекс] y = \ tan x [/ latex]. Касательная положительна от 0 до [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] и от π до [latex] \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex], соответствующих квадрантам I и III единичного круга.

Рисунок 1. График касательной функции

Графические вариации

y = tan x

Как и функции синуса и косинуса, функция тангенса может быть описана общим уравнением.

[латекс] y = A \ tan (Bx) [/ латекс]

Мы можем идентифицировать горизонтальные и вертикальные растяжения и сжатия, используя значения A и B. Горизонтальное растяжение обычно можно определить по периоду графика. В случае касательных графиков часто бывает необходимо определить вертикальное растяжение, используя точку на графике.

Поскольку нет максимальных или минимальных значений касательной функции, термин амплитуда не может быть интерпретирован так же, как для функций синуса и косинуса.Вместо этого мы будем использовать фразу , коэффициент растяжения / сжатия , когда будем ссылаться на константу A.

A Общее примечание: особенности графика

y = A tan ( Bx )
  • Коэффициент растяжения | A | .
  • Период [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен состоит из действительных чисел x , где [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {2 | B |} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex] такое, что k — целое число.
  • Диапазон: [латекс] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex].
  • Асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {\ pi} {2 | B |} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • [латекс] y = A \ tan (Bx) [/ latex] — нечетная функция.

Построение графика одного периода растянутой или сжатой касательной функции

Мы можем использовать то, что мы знаем о свойствах функции касательной , чтобы быстро нарисовать график любой растянутой и / или сжатой касательной функции вида [латекс] f (x) = A \ tan (Bx) [/ latex ].Мы сосредотачиваемся на одном периоде функции, включая начало координат, потому что периодическое свойство позволяет нам расширить график до остальной области области функции, если мы хотим. Тогда наша ограниченная область — это интервал [latex] (- \ frac {P} {2}, \ frac {P} {2}) [/ latex], а график имеет вертикальные асимптоты в [latex] \ pm \ frac {P } {2} [/ latex], где [latex] P = \ frac {\ pi} {B} [/ latex]. На [latex] (- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2}) [/ latex] график поднимется из левой асимптоты в [latex] x = — \ dfrac { \ pi} {2} [/ latex], пересекает начало координат и продолжает увеличиваться по мере приближения к правой асимптоте в [latex] x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex].Чтобы функция приближалась к асимптотам с правильной скоростью, нам также необходимо установить вертикальный масштаб, фактически оценив функцию по крайней мере для одной точки, через которую будет проходить график. Например, мы можем использовать

[латекс] f \ left (\ frac {P} {4} \ right) = A \ tan \ left (B \ frac {P} {4} \ right) = A \ tan \ left (B \ frac {\ pi} {4B} \ right) = A [/ latex]

, потому что [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 [/ latex].

Как сделать: для функции [latex] f (x) = A \ tan (Bx) [/ latex] построить график с одним периодом.

  1. Определите коэффициент растяжения | A |.
  2. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  3. Нарисуйте вертикальные асимптоты в точках [latex] x = — \ dfrac {P} {2} [/ latex] и [latex] x = \ frac {P} {2} [/ latex].
  4. Для A > 0 график приближается к левой асимптоте при отрицательных выходных значениях и к правой асимптоте при положительных выходных значениях (обратная для A <0).
  5. Постройте контрольные точки в [latex] \ left (\ frac {P} {4}, A \ right) [/ latex] (0, 0) и ([latex] — \ dfrac {P} {4} [/ латекс], — A), и проведите график через эти точки.

Пример 1: Построение сжатой касательной

Нарисуйте график одного периода функции [latex] y = 0,5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) [/ latex].

Показать решение

Сначала мы идентифицируем A и B.

Рисунок 2

Поскольку [латекс] A = 0,5 [/ латекс] и [латекс] B = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], мы можем найти коэффициент растяжения / сжатия и период. Период равен [latex] \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = 2 [/ latex], поэтому асимптоты находятся в [latex] x = \ pm 1 [/ latex].За четверть периода от начала координат имеем

[латекс] \ begin {align} f (0,5) & = 0,5 \ tan \ left (\ frac {0,5 \ pi} {2} \ right) \\ & = 0,5 \ tan (\ frac {\ pi} {4 }) \\ & = 0.5 \ end {align} [/ latex]

Это означает, что кривая должна проходить через точки (0,5,0,5), (0,0) и (-0,5, -0,5). Единственная точка перегиба находится в начале координат. На рисунке показан график одного периода функции.

Рисунок 3

Попробуйте

Нарисуйте график [латекс] f (x) = 3 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} x \ right) [/ latex].

Показать решение

Построение одного периода сдвинутой касательной функции

Теперь, когда мы можем построить график касательной функции , которая растягивается или сжимается, мы добавим вертикальный и / или горизонтальный (или фазовый) сдвиг. В этом случае мы добавляем C и D к общей форме касательной функции.

[латекс] f (x) = A \ tan (Bx-C) + D [/ латекс]

График преобразованной касательной функции отличается от базовой тангенциальной функции tan x несколькими способами:

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ tan \ left (Bx − C \ right) + D [/ latex]

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {\ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ tan (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что это частное от нечетных и четных функций (синуса и косинуса соответственно).

Как сделать: для функции [latex] y = A \ tan (Bx − C) + D [/ latex] нарисуйте график одного периода.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ tan (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия , | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Идентифицируйте C и определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Изобразите график [латекс] y = A \ tan (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх на D .
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 2: Построение графика одного периода функции смещенного касания

Изобразите один период функции [latex] y = −2 \ tan (\ pi x + \ pi) −1 [/ latex].

Показать решение

Шаг 1. Функция уже записана в виде [латекс] y = A \ tan (Bx − C) + D [/ latex].

Шаг 2. [латекс] A = -2 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения составляет [латекс] | A | = 2 [/ латекс].

Шаг 3. [latex] B = \ pi [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} = \ frac {\ pi} {\ pi} = 1 [/ латекс].

Шаг 4. [latex] C = — \ pi [/ latex], поэтому сдвиг фазы равен [latex] \ dfrac {C} {B} = \ dfrac {- \ pi} {\ pi} = — 1 [/латекс].

Шаг 5–7. Асимптоты находятся в [latex] x = — \ frac {3} {2} [/ latex] и [latex] x = — \ frac {1} {2} [/ latex], а три рекомендуемые контрольные точки: ( −1.25, 1), (−1, −1) и (−0,75, −3). График показан на рисунке 4.

Рисунок 4

Анализ решения

Обратите внимание, что это убывающая функция, потому что A <0.

Попробуйте

Как изменился бы график в примере 2, если бы мы сделали A = 2 вместо −2?

Показать решение

Это будет отражаться через линию [латекс] y = -1 [/ латекс], становясь функцией увеличения.

Как: по графику касательной функции определить горизонтальные и вертикальные отрезки.

  1. Найдите период P на основе расстояния между последовательными вертикальными асимптотами или интерцепциями x .
  2. Запишите [латекс] f (x) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {P} x \ right) [/ latex].
  3. Определите удобную точку ( x , f ( x )) на данном графике и используйте ее для определения A .

Пример 3: Определение графика растянутой касательной

Найдите формулу для функции, изображенной на рисунке 5.

Рисунок 5

Показать решение

График имеет форму касательной функции.

Шаг 1. Один цикл простирается от –4 до 4, поэтому период составляет [латекс] P = 8 [/ латекс]. Поскольку [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex], мы имеем [latex] B = \ frac {\ pi} {P} = \ frac {\ pi} {8} [/ латекс].

Шаг 2. Уравнение должно иметь вид [latex] \ text {form} f (x) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x \ right) [/ latex].

Шаг 3. Чтобы найти вертикальное растяжение A , воспользуемся точкой (2,2).

[латекс] 2 = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} \ times2 \ right) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

Потому что [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 [/ latex], A = 2.

Эта функция будет иметь формулу [латекс] f (x) = 2 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x \ right) [/ latex].

Попробуйте

Найдите формулу функции на рисунке 6.

Рисунок 6

Показать решение

[латекс] g (x) = 4 \ tan (2x) [/ латекс]

Использование графиков тригонометрических функций для решения реальных задач

Многие реальные сценарии представляют периодические функции и могут быть смоделированы тригонометрическими функциями.В качестве примера вернемся к сценарию из начала раздела. Вы когда-нибудь наблюдали луч, образованный вращающимся светом на полицейской машине, и задавались вопросом о движении самого светового луча по стене? Периодическое поведение расстояния, на которое светит свет, как функция времени, очевидно, но как определить расстояние? Мы можем использовать касательную функцию.

Пример 4: Использование тригонометрических функций для решения реальных сценариев

Предположим, что функция [latex] y = 5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} t \ right) [/ latex] отмечает расстояние в движении светового луча от верха полицейской машины через стена, где t — время в секундах, а y — расстояние в футах от точки на стене прямо напротив полицейской машины.

  1. Найдите и интерпретируйте коэффициент и период растяжения.
  2. График на интервале [0, 5].
  3. Вычислите f (1) и обсудите значение функции на этом входе.
Показать решение
  1. Мы знаем из общего вида [latex] y = A \ tan (Bt) \\ [/ latex], что | A | — коэффициент растяжения, а π B — период.

    Рисунок 7

    Мы видим, что коэффициент растяжения равен 5. Это означает, что луч света переместится на 5 футов через половину периода.

    Период [latex] \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {4}} = \ frac {\ pi} {1} \ times \ frac {4} {\ pi} = 4 [/ latex ]. Это означает, что каждые 4 секунды луч света скользит по стене. Расстояние от места напротив полицейской машины увеличивается по мере приближения полицейской машины.

  2. Чтобы построить график функции, мы рисуем асимптоту при [latex] t = 2 [/ latex] и используем коэффициент растяжения и период. См. Рисунок 8.

    Рисунок 8

  3. период: [латекс] f (1) = 5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ left (1 \ right) \ right) = 5 \ left (1 \ right) = 5 [/ латекс ]; через 1 секунду луч переместился на 5 футов с места напротив полицейской машины.

Анализ графиков y = sec x и y = cscx и их вариаций

Секущая была определена обратной идентичностью [латекс] \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда косинус равен 0, что приводит к вертикальным асимптотам в [latex] \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} \ text {и т. Д.} [/ Latex] . Поскольку косинус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, секанс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график [latex] y = \ sec x [/ latex], наблюдая за графиком функции косинуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 9. График косинуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Когда график функции косинуса уменьшается, график функции секущей увеличивается. Когда график функции косинуса увеличивается, график функции секущей уменьшается. Когда функция косинуса равна нулю, секанс не определен.

Секущий график имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где косинусный график пересекает ось x ; мы показываем их на приведенном ниже графике пунктирными вертикальными линиями, но не будем показывать явно все асимптоты на всех последующих графиках, включающих секанс и косеканс.

Обратите внимание, что, поскольку косинус является четной функцией, секанс также является четной функцией. То есть [латекс] \ сек (-x) = \ сек x [/ латекс].

Рис. 9. График секущей функции, [латекс] f (x) = \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]

Как и для функции касательной, мы снова обратимся к константе | A | как фактор растяжения, а не амплитуда.

Общее примечание: особенности графика

y = A сек ( Bx )
  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются при [latex] x = \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] — четная функция, потому что косинус — четная функция.

Подобно секансу, косеканс определяется обратной идентичностью [латекс] \ csc x = 1 \ sin x [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда синус равен 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π и т. Д. Поскольку синус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, косеканс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше чем 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график [latex] y = \ csc x [/ latex], наблюдая за графиком синусоидальной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 10. График синуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Когда график синусоидальной функции уменьшается, график функции косеканса увеличивается. Когда график функции синуса увеличивается, график функции косеканса уменьшается.

График косеканса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где синусоидальный график пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже вертикальными пунктирными линиями.

Обратите внимание, что, поскольку синус является нечетной функцией, функция косеканса также является нечетной функцией. То есть [латекс] \ csc (−x) = — \ csc x [/ latex].

График косеканса, показанный на рисунке 10, аналогичен графику секанса.

Рис. 10. График функции косеканса, [латекс] f (x) = \ csc x = \ frac {1} {\ sin x} / latex]

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ csc (Bx)

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Графические вариации

y = sec x и y = csc x

Для смещенных, сжатых и / или растянутых версий секущих и косекансных функций мы можем использовать методы, аналогичные тем, которые мы использовали для тангенса и котангенса.То есть мы располагаем вертикальные асимптоты, а также оцениваем функции для нескольких точек (в частности, локальных экстремумов). Если мы хотим построить график только для одного периода, мы можем выбрать интервал для периода более чем одним способом. Процедура для секанса очень похожа, потому что идентичность кофункции означает, что граф секанс такой же, как граф косеканса, сдвинутый на полпериода влево. Вертикальный и фазовый сдвиги могут применяться к функции секущей таким же образом, как для секущей и других функций.Уравнения становятся следующими.

[латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латекс]

[латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латекс]

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex]

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [латекс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] — четная функция, потому что косинус — четная функция.

Общее примечание: особенности графика [латекса] y = A \ csc (Bx − C) + D [/ latex]

  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [латекс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Как сделать: для функции вида [латекс] y = A \ sec (Bx) [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
  2. Укажите коэффициент растяжения / сжатия | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ cos (Bx) [/ latex].
  5. Используйте обратную связь между [latex] y = \ cos x [/ latex] и [latex] y = \ sec x [/ latex], чтобы нарисовать график [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex ].
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 6: График изменения секущей функции

Изобразите один период [латекса] f (x) = 2,5 \ сек (0,4x) [/ латекс].

Показать решение

Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
Шаг 2. [латекс] A = 2,5 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 2,5.
Шаг 3. [латекс] B = 0,4 [/ латекс], поэтому [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {0,4} = 5 \ pi [/ латекс]. Период равен 5π единиц.
Шаг 4. Нарисуйте график функции [латекс] g (x) = 2,5 \ cos (0,4x) [/ latex].
Шаг 5. Используйте обратную связь функций косинуса и секанса, чтобы построить функцию косеканса.
Шаги 6–7. Нарисуйте две асимптоты в [latex] x = 1,25 \ pi [/ latex] и [latex] x = 3,75 \ pi [/ latex]. Мы можем использовать две реперные точки: локальный минимум в (0, 2,5) и локальный максимум в (2,5π, −2,5). На рисунке 11 показан график.

Рисунок 11

Попробуйте

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 2.5 \ сек (0.4x) [/ латекс].

Показать решение

Это вертикальное отражение предыдущего графика, потому что A отрицательно.

Вопросы и ответы

Влияют ли вертикальное смещение и растяжение / сжатие на диапазон секущей?

Да. Диапазон [латекс] f (x) = A \ sec (Bx — C) + D [/ латекс] равен (−∞, — | A | + D ] ∪ [| A | + D , ∞).

Как сделать: для функции вида [латекс] f (x) = A \ sec (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Идентифицируйте C и определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [латекс] y = A \ sec (Bx) [/ latex]. но сместите его вправо на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх на D .
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], где k — нечетное целое число.

Пример 7: График изменения секущей функции

Изобразите один период [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [/ latex].

Показать решение

Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [ /латекс].

Шаг 2. Коэффициент растяжения / сжатия | A | = 4.

Шаг 3. Период

[латекс] \ begin {align} \ frac {2 \ pi} {| B |} & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = \ frac {2 \ pi} {1} \ times \ frac {3} {\ pi} \\ & = 6 \ end {align} [/ latex]

Шаг 4. Сдвиг фазы

[латекс] \ begin {align} \ frac {C} {B} & = \ frac {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = \ frac { \ pi} {2} \ times \ frac {3} {\ pi} \\ & = 1.5 \ end {align} [/ latex]

Шаг 5. Нарисуйте график [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вправо на [latex] \ frac {C} {B} = 1,5 [/ latex] и вверх на D = 6.

Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые возникают при x = 0, x = 3 и x = 6. Имеется локальный минимум в (1,5, 5) и локальный максимум в ( 4,5, −3). На рисунке 12 показан график.

Рисунок 12

Попробуйте

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 6 \ сек (4x + 2) −8 [/ latex].

Показать решение

Вопросы и ответы

Домен [latex] \ csc x [/ latex] был задан как все
x , так что [latex] x \ ne k \ pi [/ latex] для любого целого числа k . Будет ли домен [latex] y = A \ csc (Bx − C) + D [/ latex] быть [latex] x \ ne \ frac {C + k \ pi} {B} [/ latex]?

Да. Исключенные точки области следуют вертикальным асимптотам. Их расположение показывает горизонтальный сдвиг и сжатие или расширение, подразумеваемые преобразованием входных данных исходной функции.

Как сделать: для функции вида [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ csc (Bx) [/ latex].
  2. | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [латекс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
  5. Используйте обратную связь между [latex] y = \ sin x [/ latex] и [latex] y = \ csc x [/ latex], чтобы нарисовать график [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex ].
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 8: График изменения функции косеканса

Изобразите один период [латекса] f (x) = — 3 \ csc (4x) [/ latex].

Показать решение

Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex].

Шаг 2. [латекс] | A | = | −3 | = 3 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 3.

Шаг 3. [latex] B = 4 \ text {, поэтому} P = \ frac {2 \ pi} {4} = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. Точка равна [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] единиц.

Шаг 4. Нарисуйте график функции [латекс] g (x) = — 3 \ sin (4x) [/ latex].

Шаг 5. Используйте взаимное отношение функций синуса и косеканса, чтобы нарисовать функцию косеканса.

Шаги 6–7. Нарисуйте три асимптоты в [latex] x = 0 \ text {,} x = \ frac {\ pi} {4} \ text {и} x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. Мы можно использовать две опорные точки: локальный максимум в [латексе] \ left (\ frac {\ pi} {8} \ text {,} −3 \ right) [/ latex] и локальный минимум в [latex] \ left ( \ frac {3 \ pi} {8} \ text {,} 3 \ right) [/ latex].На рисунке 13 показан график.

Рисунок 13

Попробуйте

Изобразите один период [латекса] f (x) = 0,5 \ csc (2x) [/ latex].

Показать решение

Как сделать: для функции вида [латекс] f (x) = A \ csc (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде [латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |.
  3. Идентифицируйте B и определите период, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Идентифицируйте C и определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Нарисуйте график [латекс] y = A \ csc (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вправо вверх и вниз на D .
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.

Пример 9: Построение вертикально растянутого, горизонтально сжатого и вертикально смещенного косеканса

Нарисуйте график [латекс] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex].Каковы область и диапазон этой функции?

Показать решение

Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде [latex] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex].

Шаг 2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, [латекс] | A | = 2 [/ латекс].

Шаг 3. Период [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = \ frac {2 \ pi } {1} \ times \ frac {2} {\ pi} = 4 [/ латекс].

Шаг 4. Фазовый сдвиг [latex] \ frac {0} {\ frac {\ pi} {2}} = 0 [/ latex].

Шаг 5. Нарисуйте график [латекс] y = A \ csc (Bx) [/ latex], но сдвиньте его вверх [latex] D = 1 [/ latex].

Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые возникают при x = 0, x = 2, x = 4.

График этой функции показан на рисунке 14.

Рисунок 14

Анализ решения

Вертикальные асимптоты, показанные на графике, отмечают один период функции, а локальные экстремумы в этом интервале показаны точками.Обратите внимание, как график преобразованного косеканса соотносится с графиком [latex] f (x) = 2 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], показанным как оранжевая пунктирная волна.

Попробуйте

Учитывая график [latex] f (x) = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], показанный на рисунке 15, нарисуйте график [latex] g (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex] на тех же осях.

Рисунок 15

Показать решение

Анализ графика y = cot x и его вариаций

Последняя тригонометрическая функция, которую нам нужно исследовать, — это котангенс .Котангенс определяется обратной идентичностью [латекс] \ cot x = \ frac {1} {\ tan x} [/ latex]. Обратите внимание, что функция не определена, когда функция тангенса равна 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π и т. Д. Поскольку выходные данные функции касательной представляют собой все действительные числа, выход функции котангенса также является все реальные числа.

Мы можем построить график [latex] y = \ cot x [/ latex], наблюдая за графиком касательной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу.См. Рисунок 16. Если график функции тангенса уменьшается, график функции котангенса увеличивается. Когда график функции тангенса увеличивается, график функции котангенса уменьшается.

График котангенса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении x , где [latex] \ tan x = 0 [/ latex]; мы показываем их на графике ниже пунктирными линиями. Поскольку котангенс является обратной величиной касательной, [latex] \ cot x [/ latex] имеет вертикальные асимптоты при всех значениях x , где [latex] \ tan x = 0 [/ latex] и [latex] \ cot x = 0 [/ latex] при всех значениях x, где tan x имеет свои вертикальные асимптоты.

Рисунок 16. Функция котангенса

Общее примечание: особенности графика

y = A кроватка ( Bx )
  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон составляет (−∞, ∞).
  • Асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • [латекс] y = A \ cot (Bx) [/ latex] — нечетная функция.

Графики вариаций

y = детская кроватка x

Мы можем преобразовать график котангенса почти так же, как мы это сделали для тангенса. Уравнение становится следующим.

[латекс] y = A \ cot (Bx-C) + D [/ латекс]

A Общее примечание: Свойства графика

y = A кроватка ( Bx −C) + D
  • Коэффициент растяжения | A |.
  • Период [латекс] \ frac {\ pi} {| B |} [/ латекс].
  • Домен [latex] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Диапазон: (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются в [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • [latex] y = A \ cot (Bx) [/ latex] — нечетная функция, потому что это частное четных и нечетных функций (косинус и синус, соответственно)

Как сделать: учитывая модифицированную функцию котангенса вида [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex], построите график с одним периодом.

  1. Выразите функцию в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |.
  3. Определите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Нарисуйте график [латекс] y = A \ tan (Bx) [/ latex].
  5. Постройте любые две опорные точки.
  6. Используйте взаимное отношение между тангенсом и котангенсом, чтобы нарисовать график [латекс] y = A \ cot (Bx) [/ latex].
  7. Изобразите асимптоты.

Пример 10: Графики вариаций функции котангенса

Определите коэффициент растяжения, период и фазовый сдвиг [latex] y = 3 \ cot (4x) [/ latex], а затем нарисуйте график.

Показать решение

Шаг 1. Выражение функции в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex] дает [latex] f (x) = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Шаг 2. Коэффициент растяжения [латекс] | A | = 3 [/ латекс].

Шаг 3. Период [латекс] P = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

Шаг 4. Нарисуйте график [латекс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex].

Шаг 5. Постройте две контрольные точки. Две такие точки: [latex] \ left (\ frac {\ pi} {16} \ text {,} 3 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (\ frac {3 \ pi} {16} \ текст {,} −3 \ right) [/ latex].

Шаг 6. Используйте взаимное отношение, чтобы нарисовать [латекс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Шаг 7. Нарисуйте асимптоты, [latex] x = 0 [/ latex], [latex] x = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

Оранжевый график на Рисунке 17 показывает [латекс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex], а синий график показывает [латекс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Рисунок 17

Как сделать: для данной модифицированной функции котангенса вида [латекс] f (x) = A \ cot (Bx − C) + D [/ latex], построить график с одним периодом.

  1. Выразите функцию в виде [латекс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex].
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |.
  3. Определите период, [латекс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Изобразите график [латекс] y = A \ tan (Bx) [/ latex], сдвинутый вправо на [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] и вверх на D .
  6. Нарисуйте асимптоты [латекс] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], где k — целое число.
  7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 11: Построение модифицированного котангенса

Нарисуйте график одного периода функции [latex] f (x) = 4 \ cot \ left (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) −2 [ /латекс].

Показать решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде [latex] f (x) = A \ cot (Bx − C) + D [/ latex].

Шаг 2. [латекс] A = 4 [/ латекс], поэтому коэффициент растяжения равен 4.

Шаг 3. [latex] B = \ frac {\ pi} {8} [/ latex], поэтому период равен [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} = \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {8}} = 8 [/ latex].

Шаг 4. [latex] C = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому сдвиг фазы равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi } {2}} {\ frac {\ pi} {8}} = 4 [/ латекс].

Шаг 5. Рисуем [латекс] f (x) = 4 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) −2 [/ latex ].

Шаг 6-7. Три точки, которые мы можем использовать для построения графика, — это (6,2), (8, −2) и (10, −6).Мы используем взаимное отношение тангенса и котангенса, чтобы нарисовать [латекс] f (x) = 4 \ cot \ left (\ frac {\ pi} {8} x− \ frac {\ pi} {2} \ right) −2 [/латекс].

Шаг 8. Вертикальные асимптоты [латекс] х = 4 [/ латекс] и [латекс] х = 12 [/ латекс].

График показан на рисунке 18.

Рисунок 18. Один период модифицированной функции котангенса.

Ключевые уравнения

Функция касательной со смещением, сжатием и / или растяжением [латекс] y = A \ tan (Bx-C) + D [/ латекс]
Функция сдвига, сжатия и / или растяжения секущей [латекс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латекс]
Сдвинутый, сжатый и / или растянутый косеканс [латекс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латекс]
Функция котангенса со смещением, сжатием и / или растяжением [латекс] y = A \ cot (Bx-C) + D [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Касательная функция имеет период π.
  • [латекс] f (x) = A \ tan (Bx-C) + D [/ latex] представляет собой касательную с вертикальным и / или горизонтальным растяжением / сжатием и сдвигом.
  • Секанс и косеканс — периодические функции с периодом 2π. [latex] f (x) = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex] дает смещенный, сжатый и / или растянутый график функции секущей.
  • [латекс] f (x) = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex] дает смещенный, сжатый и / или растянутый график функции косеканса.
  • Функция котангенса имеет период π и вертикальные асимптоты в точках 0, ± π, ± 2π,….
  • Диапазон котангенса равен (−∞, ∞), и функция убывает в каждой точке своего диапазона.
  • Котангенс равен нулю в [latex] \ pm \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ pm \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex],….
  • [латекс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex] — котангенс с вертикальным и / или горизонтальным растяжением / сжатием и сдвигом.
  • Реальные сценарии могут быть решены с использованием графиков тригонометрических функций.

Раздел 4.6 Домашние упражнения

1.Объясните, как можно использовать график синусоидальной функции для построения графика [latex] y = \ csc x [/ latex].

2. Как можно использовать график [latex] y = \ cos x [/ latex] для построения графика [latex] y = \ sec x [/ latex]?

3. Объясните, почему период [latex] \ tan x [/ latex] равен π.

4. Почему на графике [latex] y = \ csc x [/ latex] нет перехватов?

5. Как период [latex] y = \ csc x [/ latex] сравнивается с периодом [latex] y = \ sin x [/ latex]?

Для следующих упражнений сопоставьте каждую тригонометрическую функцию с одним из следующих графиков.

6. [латекс] f (x) = \ tan x [/ латекс]

7. [латекс] f (x) = \ sec x [/ латекс]

8. [латекс] f (x) = \ csc x [/ латекс]

9. [латекс] f (x) = \ cot x [/ латекс]

Для следующих упражнений найдите период и горизонтальный сдвиг каждой функции.

10. [латекс] f (x) = 2 \ tan (4x − 32) [/ латекс]

11. [латекс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} (x + 1) \ right) [/ latex]

12. [латекс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

13.Если tan x = −1,5, найдите tan (−x).

14. Если sec x = 2, найдите sec (−x).

15. Если csc x = −5, найдите csc (−x).

16. Если [латекс] x \ sin x = 2 [/ latex], найдите [латекс] (- x) \ sin (−x) [/ latex].

Для следующих упражнений перепишите каждое выражение так, чтобы аргумент x был положительным.

17. [латекс] \ cot (−x) \ cos (−x) + \ sin (−x) [/ latex]

18. [латекс] \ cos (−x) + \ tan (−x) \ sin (−x) [/ латекс]

Для следующих упражнений нарисуйте два периода графика для каждой из следующих функций.Определите коэффициент растяжения, период и асимптоты.

19. [латекс] f (x) = 2 \ tan (4x − 32) [/ латекс]

20. [латекс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} \ left (x + 1 \ right) \ right) [/ latex]

21. [латекс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

22. [латекс] j (x) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) [/ latex]

23. [латекс] p (x) = \ tan \ left (x− \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

24. [латекс] f (x) = 4 \ tan (x) [/ латекс]

25. [латекс] f (x) = \ tan \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

26.[латекс] f (x) = \ pi \ tan \ left (\ pi x− \ pi \ right) — \ pi [/ latex]

27. [латекс] f (x) = 2 \ csc (x) [/ латекс]

28. [латекс] f (x) = — \ frac {1} {4} \ csc (x) [/ latex]

29. [латекс] f (x) = 4 \ сек (3x) [/ латекс]

30. [латекс] f (x) = — 3 \ cot (2x) [/ латекс]

31. [латекс] f (x) = 7 \ сек (5x) [/ латекс]

32. [латекс] f (x) = \ frac {9} {10} \ csc (\ pi x) [/ latex]

33. [латекс] f (x) = 2 \ csc \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) −1 [/ latex]

34. {2} (x) [/ latex].{2} х [/ латекс]

54. Функция [latex] f (x) = 20 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {10} x \ right) [/ latex] отмечает расстояние при движении светового луча от полицейской машины. поперек стены за время x в секундах и расстояние [латекс] f (x) [/ латекс] в футах.

а. График на интервале [0,5].
г. Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения, период и асимптоту.
г. Оцените f (1) и f (2.5) и обсудите значения функции на этих входах.

55. Стоя на берегу озера, рыбак видит вдалеке лодку слева от себя.Пусть x , измеренный в радианах, будет углом, образованным линией взгляда на корабль и линией, направленной на север от его местоположения. Предположим, что север равен 0, и x измерены отрицательно слева и положительно справа. (См. Рис. 19.) Лодка движется с запада на восток, и, игнорируя кривизну Земли, расстояние [латекс] d (x) [/ латекс] в километрах от рыбака до лодки определяется выражением функция [латекс] d (x) = 1,5 \ сек (x) [/ latex].

а. Каков разумный домен для [latex] d (x) [/ latex]?
г.График d (x) в этой области.
г. Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот на графике [latex] d (x) [/ latex].
г. Вычислить и интерпретировать [латекс] d (- \ frac {\ pi} {3}) [/ latex]. Округлить до второго десятичного знака.
e. Вычислить и интерпретировать [латекс] d (\ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. Округлить до второго десятичного знака.
ф. Какое минимальное расстояние между рыбаком и лодкой? Когда это происходит?

Фиг.19

56. Лазерный дальномер зафиксирован на приближающейся к Земле комете.Расстояние [latex] g (x) [/ latex] в километрах от кометы после x дней, для x в интервале от 0 до 30 дней, определяется как [latex] g (x) = 250 000 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {30} x \ right) [/ latex].

а. График [latex] g (x) [/ latex] на интервале [0,35].
г. Оцените [latex] g (5) [/ latex] и интерпретируйте информацию. \ prime} = {1 \ cdot \ sin x + x \ cdot \ cos x + \ left ({- \ sin x} \ right)} = {\ cancel {\ sin x} + x \ cos x — \ cancel { \ sin х}} = {х \ соз х.} \]

Функция касания | График | Домен | Недвижимость

21 декабря 2020

Время чтения: 5 минут

Введение

Математика — это динамический предмет, позволяющий лучше понять события, происходящие в мире природы.

Хорошие математические способности улучшают критическое мышление и развивают способность решать проблемы.

Одна особая область математических и геометрических рассуждений — тригонометрия, изучающая свойства треугольников.

Треугольники — это правда, одна из простейших геометрических фигур, но у них есть множество применений.

Тригонометрия происходит от греческого тригоно «треугольник» + метрон «мера».

Тригонометрия определяет отношения между длинами сторон и углами треугольников.

Тригонометрия также помогает нам находить углы и расстояния. Все дело в треугольниках.

Касательная функция — PDF

Если вы когда-нибудь захотите прочитать его столько раз, сколько захотите, вот загружаемый PDF-файл, чтобы узнать больше.

📥 Касательная функция: область, диапазон, свойства и приложения — PDF

Загрузить

Также читайте,

Что такое касательная функция?

Мы определим функцию касательной или отношение касательной к углу как отношение длины противоположной стороны к длине соседней стороны.

Желто-коричневая полная форма: Полная форма желто-коричневого цвета — касательная.

Касательная функция обозначается tan (x). Это одна из шести распространенных тригонометрических функций. Касательная всегда почти связана с синусом и косинусом.
Коэффициент тангенса следующий:
Желто-коричневый = Напротив / Соседний = CB / BA
Кроме того, в терминах синуса и cos тангенциальное отношение может быть представлено как:
тангенс х = грех х / соз х
или, tan theta = sin theta / cos theta, где theta — угол

Мы знаем, что синус угла равен длине противоположной стороны, деленной на длину стороны гипотенузы, тогда как косинус угла — это отношение длины смежной стороны к отношению стороны гипотенузы.

То есть sin x = противоположная сторона / сторона гипотенузы
cos x = смежная сторона / сторона гипотенузы

Следовательно, tan x = противоположная сторона / смежная сторона

Какова тангенс 30 °?

Решение: В гипотенузе треугольника 30 ° длиной 2, противоположной стороной длины 1 и смежной стороной √3:

Касательная = загар (30 °) = 1/1.732 = 0,577


Какова касательная к 35 °?

Решение: В треугольнике с углом 35 ° противоположная сторона имеет длину 2,8 и прилегающую сторону 4:

Касательная = тангенс (35 °) = 2,8 / 4,0 = 0,70

Какова тангенс угла 45 °?

Решение: В треугольнике 45 ° есть противоположная сторона длины 1 и смежная сторона 1:

Касательная = загар (45 °) = 1/1 = 1

Основные свойства функции загара

Четные и нечетные функции

Функция косинуса и функции Sec являются четными функциями; остальные функции — нечетные.Следовательно, функция tan нечетная.

f (-x) = f (x) …………………. Четная функция
f (-x) = -f (x) ………………… Нечетная функция
грех (-x) = -sin x
cos (-x) = cos x
tan (-x) = — tan x
детская кроватка (-x) = -cot x
csc (-x) = -csc x
сек (-x) = сек x

При некоторых углах функция касательной не определена, и проблема является фундаментальной для построения графика функции касательной.

Нахождение всех значений x на интервале [0,2π], таких что tan⁡ (x) не определено,
Начнем с использования определения касательной, чтобы переписать его как
. tan (x) = sin (x) / cos (x)

Дробь не определена, где знаменатель равен 0, поэтому мы хотим решить уравнение

cos (x) = 0
В данной области решения равны x = π / 2 и x = 3π / 2 в соответствии с функцией арккосинуса.

График функции загара

Тангенс угла рассчитывается по отношению к этой угловой мере для построения графика тангенса.
Дадим пример:
загар (52 °) = 8,2 / 6,5 = 1,8. Размещение таких тригонометрических значений против угла дает желтовато-коричневый график.


График tan — это графическое представление функции tan x.

Это периодический график, тригонометрические значения которого могут быть вычислены по тригонометрической формуле: sin / cos = tan

Используя эту тригонометрическую формулу, мы понимаем все точки, в которых cos x равен 0, а значение tan x не определено.

Следовательно, мы получаем плавную кривую со значением загара, стремящимся к бесконечности, каждые 90 градусов или 3pi / 2.

Диапазон касательной, Период касательной и другие свойства

Касательная функция: tan (x)


Область касательной

Все действительные числа (R), кроме pi / 2 + k pi, k — целое число. R- {pi / 2 + kpi} k находится в Z

Диапазон касательной

Все вещественные числа

Период касательной

пи

x-перехватчики

x = k pi, место k — целое число.

у-перехватчиков

г = 0

Симметрия

, поскольку tan (-x) = — tan (x), то tan (x) — нечетная функция, а график tanx симметричен относительно начала координат.

Интервалы увеличения / уменьшения

За один период и с -pi / 2 до pi / 2 tan (x) увеличивается.

Вертикальные асимптоты

x = pi / 2 + k pi, где k — целое число — вертикальные асимптоты для касательного графа.


Диапазон касательной

Диапазон функции — это набор значений результата, которые она может выдать.Функция касательной имеет диапазон, который автоматически изменяется от положительной бесконечности до отрицательной бесконечности.

Применение тригонометрических соотношений в реальной жизни

Можно ли использовать тригонометрию в повседневной жизни?

Тригонометрия не имеет прямого применения в решении практических задач, но используется в различных вещах, которые нам так нравятся.

Звук распространяется в форме волн, и тот же образец, хотя и не такой регулярный, как функция синуса или косинуса, по-прежнему полезен при разработке компьютерной музыки.

Компьютер не может слушать и понимать музыку так, как мы, поэтому компьютеры математически представляют ее в виде составляющих ее звуковых волн.

Упоминаются некоторые области техники, в которых широко используются тригонометрические концепции.

  • Астрономия,
  • Навигация,
  • Оптика,
  • Акустика (наука об изучении механических волн в твердых телах, жидкостях и газах, в том числе звук, инфразвук, ультразвук и вибрация),
  • Электроника,
  • Статистика,
  • Теория чисел,
  • Электротехника,
  • Машиностроение,
  • Компьютерная графика,
  • Разработка игр,
  • Гражданское строительство,
  • Медицинская визуализация,
  • Аптека,
  • Картография (создание карт),
  • Сейсмология (наука об изучении землетрясений),
  • Кристаллография (Изучение расположения атомов в кристаллическом твердом теле).

Сводка

Тригонометрия имеет множество приложений, начиная от специализированных областей, таких как океанография, где она используется для расчета высоты приливов в океанах, и исчисления, где она используется в сочетании с алгеброй, до заднего двора нашего дома, где ее можно использовать для крыши дома. , чтобы сделать крышу наклонной в случае отдельных бунгало и рассчитать высоту крыши в зданиях и т. д.

Функция тангенса также известна как тангенс x, тангенс тета или тангенциальная функция, которая в основном является одной из шести тригонометрических функций.Tanx — это отношение длины противоположного к длине соседнего.

Также читайте,

О компании Cuemath

Cuemath, удобная для учащихся платформа математики и кодирования, проводит регулярные онлайн-классы для преподавателей и развития навыков, а их приложение Mental Math для iOS и Android представляет собой универсальное решение для детей, развивающее несколько навыков.

Ознакомьтесь со структурой оплаты для всех классов и забронируйте пробное занятие сегодня!

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое загар-тета или загар-функция?

тангенс тета или тангенс угла — это отношение длины противоположного угла к длине соседнего.

Значение tan 0?

Значение тангенса угла 0 градусов равно 0

Значение загара 30?

Значение загара 30 градусов составляет 1 / √3

Значение загара 45?

Значение тангенса угла 45 градусов составляет 1

Значение загара 60?

Значение загара 60 градусов составляет √3

Значение загара 90?

Значение загара 90 градусов не определено

Что такое область касательной?

Все действительные числа (R), кроме pi / 2 + k pi, k — целое число.R- {pi / 2 + kpi} k находится в Z

Калькулятор котангенса

Добро пожаловать в калькулятор котангенса Omni , где мы изучим триггерную функцию и ее свойства. Возможно, среди всех тригонометрических функций она не самая известная и не самая используемая. Тем не менее, вы все еще можете встретить кроватку x (или кроватку (x) ) в учебниках, поэтому было бы полезно узнать , как найти котангенс . К счастью, у вас есть Omni, чтобы предоставить именно это, вместе с определением кроватки, формулой и графиком котангенса.

Так что же это за кроватка ? Ну, а почему бы нам не перейти к первому разделу и не узнать?

Что такое

детская кроватка x ? Определение котангенса

Вполне возможно (хотя мы никогда не можем быть уверены в этом), когда древние греки начали изучать треугольники, , они не знали, с чего они начали . Например, когда Пифагор придумал свою теорему, он, вероятно, не подумал про себя: « Бьюсь об заклад, это приведет к некоторым шатким кривым, которые все старшеклассники когда-нибудь должны будут запомнить. «Тем не менее, это именно то, что произошло .

Даже если их попытки заглянуть в будущее были в лучшем случае ошибочными, они все же правильно поняли: прямоугольный треугольник важен . Оказалось, что они не только должны удовлетворять известной формуле a² + b² = c² , но также , что их стороны и внутренние углы соединены . В конце концов, мы можем легко представить, что если один угол (не правильный, заметьте) увеличивается, то противоположная сторона также должна увеличиваться.Эта концепция, по сути, является идеей тригонометрии.

Тригонометрические функции описывают отношения между длинами сторон прямоугольного треугольника. Ниже вы можете найти их все, включая определение кроватки .

Итак, что такое котангенс? Согласно рисунку выше, формула детской кроватки: разделите сторону рядом с углом на другую . Более того, сила этого определения (и, по сути, других пяти) заключается в том, что в некотором смысле длина сторон треугольника не имеет значения .То есть, если мы масштабируем треугольник до большего или меньшего размера, но сохраняем угол без изменений, отношения (а вместе с ними, функция котангенса и другие) не изменится .

При всех их сильных сторонах определение cot , которое мы дали выше, имеет и небольшую слабость: оно допускает только углы от 0 до 90 градусов (или от 0 до π / 2 в радианах). В конце концов, это прямоугольный треугольник.К счастью для нас, есть способ расширить все функции (включая нашу любимую функцию cot trig) на любой угол, даже на отрицательный. Уловка состоит в том, чтобы переместить все рассуждения в двумерное евклидово пространство, то есть на плоскость .

Пусть A = (x, y) будет точкой на плоскости, и пусть α будет углом, идущим против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси к отрезку линии, соединяющему (0,0) и A. .(Обратите внимание, как мы сказали, что α идет от одной линии к другой, а не то, что она находится между ними. Из-за этого мы часто называем α направленным углом .)

Само собой разумеется, что такой угол может быть больше 90 градусов. Мы можем даже иметь значения больше, чем полный 360 -градусный угол . Для этого мы просто рассматриваем 360 как полный круг вокруг точки (0,0) , и с этого значения мы начинаем следующий круг.Более того, поскольку мы направили α , , теперь мы можем также иметь отрицательные углы , просто двигаясь в обратном направлении, то есть по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.

Итак, что такое детская кроватка в этом новом языке? В приведенных выше определениях тригонометрических функций мы заменяем на y , b на x и c на √ (x² + y²) (расстояние от (0,0) на A , что соответствует гипотенузе).Таким образом, мы получаем новую формулу котангенса :

кроватка (α) = x / y .

Но есть новые вопросы, на которые нужно ответить. Например, что будет детская кроватка 0 ? В конце концов, для такого угла координата y равна нулю, и мы не можем делить на ноль, не так ли?

Тем не менее, у нас есть ответы на некоторые вопросы . Мы установили определение детской кроватки, которым все довольны (да, не так ли?), Так что пришло время для следующего шага: анализ функции кроватки .А поскольку нам нравятся красивые картинки, мы начнем с рисования графика котангенса .

Подставка для кроватки

Возможно, вы уже видели график функции касательной. Хотите верьте, хотите нет, но сходство в названии неслучайно. Кто бы мог подумать, правда? Итак, если вы вспомните график функции тангенса, вы можете воспроизвести « определить разницу » с графиком котангенса ниже. (Обратите внимание, что это то же изображение, что мы используем в нашем калькуляторе котангенса.)

Мы уже можем прочитать несколько важных свойств функции cot trig из этого относительно простого изображения. Чтобы все было в одном месте, мы перечислили их один за другим.

  • Функция котангенса допускает все действительные значения. Это означает, что для некоторых углов он будет крошечным (скажем, -10 000 000 или -10-, если вы предпочитаете научную нотацию), в то время как для других он будет довольно большим (например, стоимость строительства стены Трампа). .
  • Детская кроватка по математике нечетная. Это означает, что значение угла x противоположно значению -x . Другими словами, у нас кроватка (x) = -cot (-x) .
  • Функция котангенса является периодической с периодом 360 градусов. Эта характеристика означает, что значения функции повторяются каждые 360 градусов. В математических обозначениях этот факт можно записать как кроватка (x) = кроватка (x + 360 °) .
  • Подобно касательной (и, фактически, секансу и косекансу), функция котангенса существует не всегда. Для углов x вида x = k · 180 ° , где k целое число, cot x не определено. На приведенном выше графике котангенса мы видим, что в этих точках кривая уходит на плюс / минус бесконечность.

Давайте возьмем момент и добавим еще несколько слов к последнему пункту выше. Тот факт, что функция в некоторых местах не определена (например, cot 0 не определена) является результатом определения cot. В конце концов, согласно приведенному выше разделу и формуле котангенса, которая у нас была, карта определяется как дробь.Как мы все знаем, у нас не может быть нуля в знаменателе . Именно это происходит с койкой x в точках x = k · 180 ° . Например, для k = 0 у нас есть кроватка 0 , о которой мы так беспокоились.

Следовательно, область котангенса функции состоит из всех точек, которые не имеют формы x = k · 180 ° с k целым числом. Если бы мы хотели угодить некоторым головорезным математикам, мы могли бы записать этот факт следующим образом:

D (детская кроватка) = {x: x ≠ k · 180 °, k ∈ ℤ} ,

, где D (детская кроватка) обозначает область детской кроватки в математической записи.

Хорошо, движемся стремительно ! По общему признанию, нам здесь не почасово платят, но все же приятно видеть, сколько нам удалось покрыть до сих пор. И это еще не конец! Мы должны знать, как найти котангенс, используя прямоугольные треугольники и евклидовы координаты. Но есть ли другой способ? Что ж, название следующего раздела подсказывает ответ, не так ли?

Как найти функцию котангенса? Альтернативные формулы детских кроваток

После того, как вы познакомитесь с тригонометрией на уровне функций, вы перейдете к , где будет анализировать соответствия между ними. .Другими словами, вы ищете идентичности, которые они должны удовлетворить, или способы выражения одного с другим. Чтобы побудить вас углубиться в эту тему, давайте упомянем две известные формулы, которые мы часто используем при работе с треугольниками: закон синусов и закон косинусов.

Однако давайте, , более подробно рассмотрим триггерную функцию , которая является нашей точкой фокусировки.

Во-первых, мы уже упоминали, что tan x и cot x связаны не только схожестью названий.Напомним из первого раздела, что в формулах тангенса и котангенса использовались одни и те же стороны треугольника: два катета. Единственная разница в том, что определение детской кроватки переворачивает их по сравнению с коричневым. Таким образом, мы приходим к нашей первой альтернативной формуле для детской кроватки :

. кроватка (x) = (tan (x)) ⁻¹ .

Или, если вы предпочитаете дроби,

кроватка (x) = 1 / tan (x) .

Обратите внимание, однако, что это не означает, что это функция, обратная касательной. Это будет карта arctan, которая принимает значение, допускаемое функцией tan, и возвращает соответствующий ей угол.Здесь мы можем только сказать, что cot x — это обратная (не обратная функция, заметьте!) tan x .

Но мы еще не закончили! Есть еще еще одна полезная формула для кроватки , о которой мы хотели бы упомянуть. Он связывает функцию котангенса с двумя другими тригонометрическими картами: синусом и косинусом.

У нас:

кроватка (x) = cos (x) / sin (x) .

На самом деле, вы могли видеть похожую, но перевернутую идентичность для касательной .Если это так, то в свете предыдущей формулы котангенса это не должно вызывать удивления.

Вместе с определением детской кроватки из первого раздела у нас теперь есть четыре разных ответа на вопрос « Что такое котангенс? ». Кажется, этого более чем достаточно, чтобы ненадолго оставить теорию, и перейдем к примеру , в котором на самом деле есть числа.

А мы?

Пример: использование калькулятора котангенса

Предположим, что после краткого знакомства с увлекательным миром тригонометрии ваш учитель решил, что пора проверить, сколько из сказанного им осталось в вашем мозгу .Они объявили об испытании определений и формул для функций, которые появятся позже на этой неделе.

Объем материала для изучения невелик, и осталось еще немало дней, но , будучи хорошим учеником, , вы решили начать подготовку сегодня. Вы наводите порядок на своем столе и для практики решаете вычислить значения всех тригонометрических функций под следующими углами: 30 ° , 45 ° , 60 ° и 75 ° .В этой статье нас больше всего интересует , как найти котангенс этих углов .

Прежде всего, давайте посмотрим, насколько проста задача с калькулятором кроватки Omni . Здесь у нас есть только одно поле переменной, которое нужно заполнить: угол . Мы вводим указанные выше числа один за другим, и калькулятор котангенса выдаст ответ под . Обратите внимание, что хотя калькулятор котангенса стремится к точности, вы можете уменьшить количество значащих цифр, если собираетесь использовать значения в некоторых дальнейших вычислениях.

Также обратите внимание, как для 30 ° и 60 ° , он дает вам точные значения перед их округлением, то есть в виде дроби с квадратным корнем. Мы подробнее поговорим о том, почему это так, через секунду.

Теперь пора на время оставить калькулятор котангенса и использовать то, что мы узнали в этой статье. Другими словами, мы сами вычислим значения , используя определение котангенса из первого раздела. (Конечно, при желании вы можете использовать любую из трех других формул.)

Для каждого угла мы начнем с , нарисовав прямоугольный треугольник с соответствующим углом. Начнем с первого: 30 ° .

Обратите внимание, что это совершенно особый треугольник, в котором мы знаем отношения между сторонами , то есть мы можем быть уверены, что если более короткое катет имеет длину x , то гипотенуза будет 2x . Это потому, что наша форма на самом деле представляет собой половину равностороннего треугольника. Таким образом, у нас есть другой острый угол, равный 60 ° , поэтому мы можем использовать то же изображение для этого случая .

Напомним, что детская кроватка в математике — это , отношение ножки рядом с углом к ​​другой . Так что же в этом случае котангенс? У нас:

детская кроватка (30 °) = x√3 / x = √3 ,

и:

детская кроватка (60 °) = x / x√3 = 1 / √3 = √3 / 3 .

Далее переходим к углу 45 ° .

Опять же, нам посчастливилось знать отношения между сторонами треугольника. На этот раз это потому, что форма фактически представляет собой половину квадрата.

Мы используем определение котангенса, чтобы получить:

детская кроватка (45 °) = x / x = 1 .

Итак, мы остались с последним углом. Какой котангенс у 75 ° ?

Ну, как оказалось, ответ не так прост . Здесь нет специального треугольника. Мы могли бы, например, вспомнить предыдущий раздел и найти ответ, сначала вычислив tan (75 °) . Однако для этого нам пришлось бы использовать, например, формулы половинного угла, которые, в свою очередь, потребовали бы от нас найти cos (150 °) .Эта проблема, в конечном счете, не так уж и сложна, поскольку 150 ° = 180 ° - 30 ° , а 30 ° и 180 ° — это довольно простые углы .

Урок здесь в том, что в целом вычисление тригонометрических функций — это не прогулка по парку. Фактически, мы обычно используем внешние инструменты для этого , такие как калькулятор котангенса Omni.

Тем не менее, эти несколько простых вычислений, безусловно, были хорошей подготовкой к предстоящему тесту .Как только вы получите свою последнюю оценку по математике, оглянитесь на все воспоминания, которыми вы поделились с Omni Calculator, которые помогли вам на этом пути, и удовлетворит нас кивком головы . Плохие разработчики контента жаждут этого. 😀

Тригонометрические функции

Тригонометрические функции
Произвольные углы и единичная окружность
До сих пор мы использовали единичную окружность для определения тригонометрических функций для острых углов. В следующем разделе, где мы рассмотрим наклонные треугольники, нам понадобится нечто большее, чем острые углы.Некоторые наклонные треугольники являются тупыми, и нам нужно знать синус и косинус тупых углов. Пока мы делаем это, мы также должны определять триггерные функции для углов, превышающих 180 °, и для отрицательных углов. Сначала нам нужно четко определить, что это за углы.

Древнегреческие геометры считали углы только между 0 ° и 180 °, и они не считали ни прямой угол 180 °, ни вырожденный угол 0 ° углами. Эти особые случаи полезно не только рассматривать как углы, но и включать в них углы от 180 ° до 360 °, которые иногда называют «углами отражения».«С применением тригонометрии к предметам исчисления и дифференциальных уравнений, углы, превышающие 360 °, и отрицательные углы также стали приемлемыми.

Рассмотрим единичную окружность. Обозначьте его центр (0,0) как O, и обозначьте точку (1,0) на нем как A. Поскольку движущаяся точка B движется по единичной окружности, начиная с A и двигаясь по против часовой стрелки, угол AOB как угол 0 ° и увеличивается. Когда B совершит полный оборот по окружности и вернется к A, , тогда угол AOB будет углом 360 °.Конечно, это тот же угол, что и угол 0 °, поэтому мы можем идентифицировать эти два угла. Поскольку B продолжает второй раз по кругу, мы получаем углы от 360 ° до 720 °. Это те же углы, которые мы видели в первый раз, но у нас есть разные названия. Например, прямой угол обозначается как 90 ° или 450 °. Каждый раз, обойдя круг, мы получаем другое название угла. Таким образом, 90 °, 450 °, 810 ° и 1170 ° — это один и тот же угол.

Если B начинается в той же точке A и движется по часовой стрелке, то мы получим отрицательные углы, или, точнее, названия в отрицательных градусах для тех же углов.Например, если вы пройдете четверть круга по часовой стрелке, угол AOB получит имя –90 °. Конечно, это то же самое, что и угол 270 °.

Итак, в общем, любой угол назван бесконечным множеством имен, но все они отличаются друг от друга на 360 °.

Синусы и косинусы произвольных углов
Теперь, когда мы указали произвольные углы, мы можем определить их синусы и косинусы. Пусть угол расположен так, чтобы его вершина находилась в центре единичной окружности O = (0,0), и пусть первая сторона угла будет расположена вдоль оси x .Пусть вторая сторона угла пересекает единичную окружность в точке B. . Тогда угол равен углу AOB , где A равно (1,0). Мы используем координаты B , чтобы определить косинус угла и синус угла. В частности, координата x точки B является косинусом угла, а координата y точки B является синусом угла. Это определение расширяет определения синуса и косинуса, данные ранее для острых углов.
Свойства синусов и косинусов, которые следуют из этого определения
Есть несколько свойств, которые мы можем легко вывести из этого определения. Некоторые из них обобщают тождества, которые мы уже видели для острых углов.
  1. Синус и косинус являются периодическими функциями периода 360 °, то есть периода 2 π . Это потому, что синусы и косинусы определяются в терминах углов, и вы можете добавить кратные 360 ° или 2 π , и это не изменит угол.Таким образом, для любого угла θ , sin ( θ + 360 °) = sin θ, и

    cos ( θ + 360 °) = cos θ.

    Многие из современных приложений тригонометрии вытекают из использования тригонометрии в исчислении, особенно те приложения, которые имеют дело непосредственно с тригонометрическими функциями. Итак, мы должны использовать радиан, когда думаем о триггере с точки зрения триггерных функций. В радианах последняя пара уравнений читается как

    sin ( θ + 2 π ) = sin θ, и

    cos ( θ + 2 π ) = cos θ.

  2. Синус и косинус дополняют друг друга: cos θ = sin ( π /2 — θ )

    sin θ = cos ( π /2 — θ )

    Мы видели это раньше, но теперь у нас есть это для любого угла θ. Это правда, потому что, когда вы отражаете плоскость через диагональную линию y = x, , угол меняется на его дополнение.

  3. Пифагорейское тождество синусов и косинусов следует непосредственно из определения.Поскольку точка B лежит на единичной окружности, ее координаты x и y удовлетворяют уравнению x 2 + y 2 = 1. Но координаты — это косинус и синус, поэтому делаем вывод sin 2 θ + cos 2 θ = 1.

    Теперь мы готовы рассмотреть синус и косинус как функции.

  4. Синус — нечетная функция, а косинус — четная функция.Возможно, вы не встречали этих прилагательных «нечетный» и «четный» применительно к функциям, но их важно знать. Функция f считается нечетной функцией , если для любого числа x, f (- x ) = — f ( x ). Функция f называется функцией и даже , если для любого числа x, f (- x ) = f ( x ). Большинство функций не являются ни нечетными, ни четными, но некоторые из наиболее важных функций являются теми или иными.Любой многочлен только с членами нечетной степени является нечетной функцией, например, f ( x ) = x 5 + 8 x 3 — 2 x. (Обратите внимание, что все степени x являются нечетными числами.) Точно так же любой многочлен только с членами четной степени является четной функцией. Например, f ( x ) = x 4 — 3 x 2 — 5. (Константа 5 равна 5 x 0 , а 0 — четное число.)

    Синус — нечетная функция, а косинус — четная

    sin (- θ ) = –sin θ, и

    cos (- θ ) = cos θ.

    Эти факты вытекают из симметрии единичной окружности относительно оси x . Угол — t — тот же угол, что и t , за исключением того, что он находится с другой стороны оси x . Переворачивание точки ( x, y ) на другую сторону оси x превращается в ( x, –y ), поэтому координата y инвертируется, то есть синус инвертируется. , но координата x осталась прежней, то есть косинус не изменился.

  5. Очевидным свойством синусов и косинусов является то, что их значения лежат в диапазоне от –1 до 1. Каждая точка на единичной окружности находится на расстоянии 1 единицы от начала координат, поэтому координаты любой точки также находятся в пределах 1 от 0.
Графики функций синуса и косинуса
Давайте возьмем t как переменный угол. Вы можете думать о t как об угле и времени. Для людей хороший способ понять функцию — это посмотреть на ее график.Начнем с графика sin t. Возьмите горизонтальную ось за ось t (а не за ось x , как обычно), возьмите вертикальную ось за ось y и изобразите уравнение y = sin t . Похоже на это.

Во-первых, отметим, что он периодический с периодом 2 π . С геометрической точки зрения это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее 2 π влево или вправо, кривая вернется в исходное положение.Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы оси t . Мало что еще является очевидным, за исключением случаев, когда он увеличивается и уменьшается. Например, sin t увеличивается с 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается, когда угол AOB увеличивается с 0 до π /2.

Теперь давайте посмотрим на график косинуса. Опять же, возьмите горизонтальную ось за ось t , но теперь возьмите вертикальную ось за ось x и изобразите уравнение x = cos t.

Обратите внимание, что он выглядит так же, как график sin t , за исключением того, что он переведен влево как π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не сталкивались с этим тождеством, оно легко следует из уже знакомых: cos t = cos — t = sin ( π /2 — (- t )) = sin ( π /2 + т ).

Графики тангенса и котангенса
График касательной функции имеет вертикальную асимптоту при x = π /2. Это связано с тем, что касательная приближается к бесконечности, когда t приближается к π /2. (На самом деле, она приближается к минус бесконечности, поскольку t приближается к π /2 справа, как вы можете видеть на графике.

Вы также можете видеть, что тангенс имеет период π ; также есть вертикальные асимптоты через каждые π единиц слева и справа.Алгебраически эта периодичность выражается как tan ( t + π ) = tan t.

График котангенса очень похож.

Это сходство просто потому, что котангенс t является тангенсом дополнительного угла π — t.

Графики функций секанса и косеканса
Секанс — это величина, обратная косинусу, а поскольку косинус принимает только значения от –1 до 1, секанс принимает только значения выше 1 или ниже –1, как показано на графике.Также секанс имеет период 2 π .

Как и следовало ожидать, график косеканса очень похож на график секанса.

Оценка тригонометрической функции котангенса

Определения

Общие положения

Функция котангенса, в современной системе обозначений cot (x), является тригонометрической функцией. Тригонометрические функции обычно устанавливаются как функции угла в контексте геометрии прямоугольного треугольника.Таким образом, котангенс угла φ определяется как отношение смежной стороны прямоугольного треугольника, содержащего φ, к противоположной стороне (см. Рисунок):

\ tan (\ varphi) = \ frac {\ textrm { смежная сторона}} {\ textrm {противоположная сторона}}

К сожалению, приведенное выше определение ограничено диапазоном углов от 0 до 90 °. Расширяя этот диапазон, удобное определение использует единичный круг (радиус равен 1). Любая точка круга соответствует паре значений синуса и косинуса угла, который содержится между горизонтальной положительной осью и радиальным сегментом к этой точке, как показано на рисунке ниже.Абсолютное значение котангенса представлено длиной касательного сегмента от точки круга к вертикальной оси. Угол φ считается положительным в направлении против часовой стрелки. Возможны углы больше 90 °, а также отрицательные при соблюдении соответствующего знака координат.

Приведенные выше определения функции котангенса основаны на геометрической конструкции (прямоугольный треугольник или единичный круг) и предполагают, что ее аргумент является углом. 2 x}

Интеграл от функции котангенса (x в радианах) определяется по формуле:

\ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = ln | \ sin x | + С

6.2 графика других тригонометрических функций — Precalculus

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Проанализируйте график y = tan x.
  • График изменения y = tan x.
  • Проанализируйте графики y = sec x и y = csc x.
  • График изменения y = sec x и y = csc x.
  • Проанализируйте график y = cot x.
  • График изменения y = cot x.

Мы знаем, что функция тангенса может использоваться для определения расстояний, например, высоты здания, горы или флагштока.Но что, если мы хотим измерить повторяющиеся расстояния? Представьте себе, например, полицейскую машину, припаркованную рядом со складом. Вращающийся свет от полицейской машины через равные промежутки времени пересекал стену склада. Если на входе время, на выходе будет расстояние, которое проходит луч света. Луч света будет повторять расстояние через равные промежутки времени. Для аппроксимации этого расстояния можно использовать функцию касательной. Асимптоты потребуются для иллюстрации повторяющихся циклов, когда луч проходит параллельно стене, потому что, казалось бы, луч света может длиться вечно.График касательной функции ясно иллюстрирует повторяющиеся интервалы. В этом разделе мы исследуем графики касательной и других тригонометрических функций.

Анализ графика

y = tan x

Мы начнем с графика тангенциальной функции, вычерчивая точки, как мы это делали для функций синуса и косинуса. Напомним, что

tanx = sinxcosxtanx = sinxcosx

Период касательной функции равен ππ, потому что график повторяется на интервалах kπkπ, где kk — постоянная величина.Если построить график касательной функции на −π2 − π2 к π2, π2, мы сможем увидеть поведение графика на одном полном цикле. Если мы посмотрим на любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

Мы можем определить, является ли тангенс четной или нечетной функцией, используя определение тангенса.

tan (−x) = sin (−x) cos (−x) Определение касательной. = −sinxcosx Синус — нечетная функция, косинус — четный. = −sinxcosx Частное нечетной и четной функций является нечетным.= −tanx Определение касательной. Tan (−x) = sin (−x) cos (−x) Определение касательной. = −sinxcosx Синус — нечетная функция, косинус — четный. = −sinxcosx Частное нечетной и четной функций является нечетным. = −tanx Определение касательной.

Следовательно, тангенс — нечетная функция. Мы можем дополнительно проанализировать графическое поведение тангенциальной функции, посмотрев на значения некоторых специальных углов, перечисленных в таблице 1.

xx −π2 − π2 −π3 − π3 −π4 − π4 −π6 − π6 0 π6π6 π4π4 π3π3 π2π2
желтовато-коричневый (x) коричневый (x) неопределенный −3−3 –1 −33−33 0 3333 1 33 неопределенный

Таблица 1

Эти точки помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как график ведет себя там, где он не определен.Если мы более внимательно рассмотрим значения, когда π3

х 1,3 1,5 1,55 1,56
танкстанс 3,6 14,1 48,1 92.6

Таблица 2

По мере приближения xx к π2, π2 выходы функции становятся все больше и больше. Поскольку y = tanxy = tanx — нечетная функция, мы видим соответствующую таблицу отрицательных значений в таблице 3.

xx -1,3 -1,5 -1,55 -1,56
танкстанс −3,6 −14,1 −48,1 −92,6

Таблица 3

Мы видим, что по мере приближения xx к −π2, −π2 выходные данные становятся все меньше и меньше.Помните, что есть некоторые значения xx, для которых cosx = 0.cosx = 0. Например, cos (π2) = 0 cos (π2) = 0 и cos (3π2) = 0. cos (3π2) = 0. При этих значениях касательная функция не определена, поэтому график y = tanxy = tanx имеет разрывы при x = π2 и 3π2.x = π2 и 3π2. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты. На рисунке 1 представлен график y = tanx.y = tanx. Касательная положительна от 0 до π2π2 и от ππ до 3π2,3π2, соответствующих квадрантам I и III единичной окружности.

Рисунок 1 График касательной функции

Графические вариации

y = tan x

Как и в случае с функциями синуса и косинуса, функция тангенса может быть описана с помощью общего уравнения.

Мы можем идентифицировать горизонтальные и вертикальные растяжения и сжатия, используя значения AA и B.B. Горизонтальное растяжение обычно можно определить по периоду графика. В случае касательных графиков часто бывает необходимо определить вертикальное растяжение, используя точку на графике.

Поскольку нет максимальных или минимальных значений тангенциальной функции, термин амплитуда не может быть интерпретирован так же, как для функций синуса и косинуса. Вместо этого мы будем использовать фразу , коэффициент растяжения / сжатия , когда будем ссылаться на константу A.А.

Особенности графика

y = A tan ( Bx )
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен P = π | B | .P = π | B |.
  • Область — это все действительные числа x, x, где x ≠ π2 | B | + π | B | kx ≠ π2 | B | + π | B | k такие, что kk является целым числом.
  • Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
  • Асимптоты встречаются при x = π2 | B | + π | B | k, x = π2 | B | + π | B | k, где kk — целое число.
  • y = Atan (Bx) y = Atan (Bx) — нечетная функция.
Построение одного периода растянутой или сжатой касательной функции

Мы можем использовать то, что мы знаем о свойствах касательной функции, чтобы быстро нарисовать график любой растянутой и / или сжатой касательной функции формы f (x) = Atan (Bx).f (x) = Атан (Bx). Мы сосредотачиваемся на одном периоде функции, включая начало координат, потому что свойство периодичности позволяет нам расширить график на остальную часть области определения функции, если мы захотим. Наша ограниченная область является интервалом (−P2, P2) (- P2, P2), и график имеет вертикальные асимптоты в точках ± P2 ± P2, где P = πB.P = πB. На (−π2, π2), (- π2, π2) график выйдет из левой асимптоты в точках x = −π2, x = −π2, пересечет начало координат и продолжит увеличиваться по мере приближения к правой асимптоте. при x = π2.x = π2. Чтобы функция приближалась к асимптотам с правильной скоростью, нам также необходимо установить вертикальный масштаб, фактически оценив функцию по крайней мере для одной точки, через которую будет проходить график.Например, мы можем использовать

f (P4) = Atan (BP4) = Atan (Bπ4B) = Af (P4) = Atan (BP4) = Atan (Bπ4B) = A

, потому что tan (π4) = 1.tan (π4) = 1.

Как к

Для функции f (x) = Atan (Bx), f (x) = Atan (Bx), на графике один период.

  1. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
  2. Найдите BB и определите период, P = π | B | .P = π | B |.
  3. Нарисуйте вертикальные асимптоты в точках x = −P2x = −P2 и x = P2.x = P2.
  4. Для AB> 0, AB> 0 график приближается к левой асимптоте при отрицательных выходных значениях и к правой асимптоте при положительных выходных значениях (обратное направление для AB <0AB <0).
  5. Постройте контрольные точки в (P4, A), (P4, A), (0,0), (0,0) и (−P4, −A), (- P4, −A) и начертите график через эти точки.

Пример 1

Построение сжатой касательной

Нарисуйте график одного периода функции y = 0,5tan (π2x) .y = 0,5tan (π2x).

Решение

Сначала мы идентифицируем AA и B.B.

Поскольку A = 0,5A = 0,5 и B = π2, B = π2, мы можем найти коэффициент растяжения / сжатия и период. Период равен ππ2 = 2, ππ2 = 2, поэтому асимптоты находятся в точке x = ± 1.х = ± 1. За четверть периода от начала координат имеем

f (0,5) = 0,5tan (0,5π2) = 0,5tan (π4) = 0,5 f (0,5) = 0,5tan (0,5π2) = 0,5tan (π4) = 0,5

Это означает, что кривая должна проходить через точки (0,5 , 0,5), (0,5,0,5), (0,0), (0,0) и (-0,5, -0,5). (-0,5, -0,5). Единственная точка перегиба находится в начале координат. На рисунке 2 показан график одного периода функции.

Рисунок 2

Попробуй # 1

Нарисуйте график f (x) = 3tan (π6x). F (x) = 3tan (π6x).

Построение одного периода функции смещенной касательной

Теперь, когда мы можем построить график растянутой или сжатой функции касательной, мы добавим вертикальный и / или горизонтальный (или фазовый) сдвиг.В этом случае мы добавляем CC и DD к общему виду касательной функции.

f (x) = Atan (Bx − C) + Df (x) = Atan (Bx − C) + D

График преобразованной касательной функции отличается от базовой тангенциальной функции tanxtanx несколькими способами:

Характеристики графика

y = A tan ( Bx — C ) + D
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен π | B | .π | B |.
  • Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
  • Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y = Atan (Bx-C) + Dy = Atan (Bx-C) + D — нечетная функция, потому что это частное от нечетных и четных функций (синуса и косинуса соответственно).

Как получить

Учитывая функцию y = Atan (Bx − C) + D, y = Atan (Bx − C) + D, нарисуйте график одного периода.

  1. Выразите заданную функцию в виде y = Atan (Bx − C) + D.у = Атан (Bx − C) + D.
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
  3. Найдите BB и определите период, P = π | B | .P = π | B |.
  4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
  5. Нарисуйте график y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
  7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 2

Построение графика одного периода функции смещенной касательной

Изобразите один период функции y = −2tan (πx + π) −1.y = −2tan (πx + π) −1.

Решение
  • Шаг 1. Функция уже записана в виде y = Atan (Bx − C) + D.y = Atan (Bx − C) + D.
  • Шаг 2. A = −2, A = −2, поэтому коэффициент растяжения равен | A | = 2. | A | = 2.
  • Шаг 3. B = π, B = π, поэтому период равен P = π | B | = ππ = 1.P = π | B | = ππ = 1.
  • Шаг 4. C = −π, C = −π, поэтому фазовый сдвиг CB = −ππ = −1.CB = −ππ = −1.
  • Шаг 5-7. Асимптоты находятся при x = −32x = −32 и x = −12x = −12, а три рекомендуемые контрольные точки: (−1,25,1), (- 1,25,1), (- 1, −1), ( −1, −1) и (−0,75, −3). (- 0,75, −3). График представлен на рисунке 3.

    Рисунок 3

Анализ

Обратите внимание, что это убывающая функция, потому что A <0.А <0.

Попробуй # 2

Как бы график в Примере 2 выглядел иначе, если бы мы сделали A = 2A = 2 вместо −2? −2?

Как к

По графику касательной функции определите горизонтальные и вертикальные отрезки.

  1. Найдите период PP по интервалу между последовательными вертикальными асимптотами или интерцепциями x .
  2. Запишите f (x) = Atan (πPx). F (x) = Atan (πPx).
  3. Определите удобную точку (x, f (x)) (x, f (x)) на заданном графике и используйте ее для определения A.А.

Пример 3

Определение графика растянутой касательной

Найдите формулу функции, показанной на рисунке 4.

Рисунок 4 Функция растянутой касательной

Решение

График имеет форму касательной функции.

  • Шаг 1. Один цикл простирается от –4 до 4, поэтому период равен P = 8.P = 8. Поскольку P = π | B |, P = π | B |, имеем B = πP = π8.B = πP = π8.
  • Шаг 2. Уравнение должно иметь вид f (x) = Atan (π8x).f (x) = Атан (π8x).
  • Шаг 3. Чтобы найти вертикальный отрезок A, A, воспользуемся точкой (2,2). (2,2). 2 = Атан (π8⋅2) = Атан (π4) 2 = Атан (π8⋅2) = Атан (π4)

Поскольку tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, A = 2. A = 2.

Эта функция будет иметь формулу f (x) = 2tan (π8x) .f (x) = 2tan (π8x).

Попробуй # 3

Найдите формулу функции на рисунке 5.

Рисунок 5

Анализ графиков

y = sec x и y = csc x

Секанс определялся обратным тождеством secx = 1cosx.secx = 1cosx. Обратите внимание, что функция не определена, когда косинус равен 0, что приводит к вертикальным асимптотам в точках π2, π2, 3π2,3π2 и т. Д. Поскольку косинус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, секанс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше чем 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график y = secxy = secx, наблюдая за графиком функции косинуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рис. 6. График косинуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь.Когда график функции косинуса уменьшается, график функции секущей увеличивается. Когда график функции косинуса увеличивается, график функции секущей уменьшается. Когда функция косинуса равна нулю, секанс не определен.

Секущий график имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где график косинуса пересекает ось x ; мы показываем их на приведенном ниже графике пунктирными вертикальными линиями, но не будем показывать явно все асимптоты на всех последующих графиках, включающих секанс и косеканс.

Обратите внимание, что, поскольку косинус является четной функцией, секанс также является четной функцией. То есть sec (−x) = secx.sec (−x) = secx.

Рисунок 6 График функции секущей, f (x) = secx = 1cosxf (x) = secx = 1cosx

Как и для касательной функции, мы снова будем ссылаться на константу | A || A | как фактор растяжения, а не амплитуда.

Особенности графика

y = A сек ( Bx )
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен 2π | B |.2π | B |.
  • Область определения: x ≠ π2 | B | k, x ≠ π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞). (- ∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Вертикальные асимптоты возникают при x = π2 | B | k, x = π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y = Asec (Bx) y = Asec (Bx) является четной функцией, потому что косинус является четной функцией.

Как и секанс, косеканс определяется обратным тождеством cscx = 1sinx.cscx = 1sinx. Обратите внимание, что функция не определена, когда синус равен 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0,0, π, π и т. Д.Поскольку синус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, косеканс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график y = cscxy = cscx, наблюдая за графиком синусоидальной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 7. График синуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Когда график синусоидальной функции уменьшается, график косекансной функции увеличивается. Когда график функции синуса увеличивается, график функции косеканса уменьшается.

График косеканса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где график синуса пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже вертикальными пунктирными линиями.

Обратите внимание, что, поскольку синус является нечетной функцией, функция косеканса также является нечетной функцией. То есть csc (−x) = — cscx.csc (−x) = — cscx.

График косеканса, показанный на рисунке 7, аналогичен графику секанса.

Рисунок 7 График функции косеканса, f (x) = cscx = 1sinxf (x) = cscx = 1sinx

Особенности графика

y = A csc ( Bx )
  • Коэффициент растяжения | A |.| А |.
  • Период равен 2π | B | .2π | B |.
  • Область определения: x ≠ π | B | k, x ≠ π | B | k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞). (- ∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
  • Асимптоты встречаются при x = π | B | k, x = π | B | k, где kk — целое число.
  • y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx) — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Графические вариации

y = sec x и y = csc x

Для смещенных, сжатых и / или растянутых версий функций секанса и косеканса мы можем использовать методы, аналогичные тем, которые мы использовали для тангенса и котангенса.То есть мы располагаем вертикальные асимптоты, а также оцениваем функции для нескольких точек (в частности, локальных экстремумов). Если мы хотим построить график только для одного периода, мы можем выбрать интервал для периода более чем одним способом. Процедура для секанса очень похожа, потому что идентичность кофункции означает, что граф секанс такой же, как граф косеканса, сдвинутый на полпериода влево. Вертикальный и фазовый сдвиги могут применяться к функции косеканса таким же образом, как для функции секущей и других функций.Уравнения становятся следующими.

y = Asec (Bx − C) + Dy = Asec (Bx − C) + D y = Acsc (Bx − C) + Dy = Acsc (Bx − C) + D

Особенности графика

y = A сек ( Bx — C ) + D
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен 2π | B | .2π | B |.
  • Область определения: x ≠ CB + π2 | B | k, x ≠ CB + π2 | B | k, где kk — целое нечетное число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞). (- ∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).
  • Вертикальные асимптоты встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y = Asec (Bx-C) + Dy = Asec (Bx-C) + D — четная функция, потому что косинус является четной функцией.

Характеристики графика

y = A csc ( Bx — C ) + D
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен 2π | B | .2π | B |.
  • Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
  • Диапазон равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).(−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).
  • Вертикальные асимптоты возникают при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y = Acsc (Bx-C) + Dy = Acsc (Bx-C) + D — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Как к

Для функции вида y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), на графике один период.

  1. Выразите заданную функцию в виде y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  2. Укажите коэффициент растяжения / сжатия | A |.| А |.
  3. Найдите BB и определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |.
  4. Нарисуйте график y = Acos (Bx) .y = Acos (Bx).
  5. Используйте обратную связь между y = cosxy = cosx и y = secxy = secx, чтобы нарисовать график y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 4

График изменения секущей функции

Изобразите один период f (x) = 2.5сек (0,4x) .f (x) = 2,5сек (0,4x).

Решение
  • Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  • Шаг 2. A = 2,5 A = 2,5, поэтому коэффициент растяжения равен 2,5. 2,5.
  • Шаг 3. B = 0,4B = 0,4, поэтому P = 2π0,4 = 5π.P = 2π0,4 = 5π. Период равен 5π5π единиц.
  • Шаг 4. Нарисуйте график функции g (x) = 2.5cos (0.4x).g (x) = 2,5cos (0,4x).
  • Шаг 5. Используйте обратную связь функций косинуса и секанса, чтобы построить функцию косеканса.
  • Шаги 6–7. Нарисуйте две асимптоты при x = 1,25πx = 1,25π и x = 3,75π.x = 3,75π. Мы можем использовать две опорные точки: локальный минимум в точке (0,2,5) (0,2,5) и локальный максимум в точке (2,5π, −2,5). (2,5π, −2,5). На рисунке 8 показан график.

    Рисунок 8

Попробовать # 4

Изобразите один период f (x) = — 2.5сек (0,4x) .f (x) = — 2,5сек (0,4x).

Вопросы и ответы

Влияют ли вертикальное смещение и растяжение / сжатие на диапазон секущей?

Да. Диапазон f (x) = Asec (Bx − C) + Df (x) = Asec (Bx − C) + D равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D , ∞). (- ∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).

Как к

Для функции вида f (x) = Asec (Bx − C) + D, f (x) = Asec (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде y = Asec (Bx − C) + D.у = Asec (Bx − C) + D.
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
  3. Найдите BB и определите период, 2π | B | .2π | B |.
  4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
  5. Нарисуйте график y = Asec (Bx) y = Asec (Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.

Пример 5

График изменения секущей функции

Изобразите один период y = 4 секунды (π3x − π2) +1.y = 4 сек (π3x − π2) +1.

Решение
  • Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y = 4sec (π3x − π2) + 1.y = 4sec (π3x − π2) +1.
  • Шаг 2. Коэффициент растяжения / сжатия равен | A | = 4. | A | = 4.
  • Шаг 3. Период равен 2π | B | = 2ππ3 = 2π1⋅3π = 62π | B | = 2ππ3 = 2π1⋅3π = 6
  • Шаг 4. Сдвиг фазы равен CB = π2π3 = π2⋅3π = 1,5 CB = π2π3 = π2⋅3π = 1.5
  • Шаг 5. Нарисуйте график y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), но сдвиньте его вправо на CB = 1,5CB = 1,5 и вверх на D = 6.D = 6.
  • Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = 0, x = 3, x = 0, x = 3 и x = 6.x = 6. Существует локальный минимум в точке (1.5,5) (1.5,5) и локальный максимум в точке (4.5, −3). (4.5, −3). На рисунке 9 показан график.

Рисунок 9

Попробовать # 5

Изобразите один период f (x) = — 6sec (4x + 2) −8.f (x) = — 6sec (4x + 2) −8.

Вопросы и ответы

Областью определения cscxcscx были заданы все xx такие, что x ≠ kπx π kπ для любого целого числа k.k. Будет ли область y = Acsc (Bx − C) + Dbex ≠ C + kπB? Y = Acsc (Bx − C) + Dbex ≠ C + kπB?

Да. Исключенные точки области следуют вертикальным асимптотам. Их расположение показывает горизонтальный сдвиг и сжатие или расширение, подразумеваемые преобразованием входных данных исходной функции.

Как к

Для функции вида y = Acsc (Bx), y = Acsc (Bx), график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  2. | А |. | А |.
  3. Найдите BB и определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |.
  4. Нарисуйте график y = Asin (Bx) .y = Asin (Bx).
  5. Используйте обратную связь между y = sinxy = sinx и y = cscxy = cscx, чтобы нарисовать график y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  6. Изобразите асимптоты.
  7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 6

График изменения функции косеканса

Изобразите один период f (x) = — 3csc (4x).f (x) = — 3csc (4x).

Решение
  • Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  • Шаг 2. | A | = | −3 | = 3, | A | = | −3 | = 3, поэтому коэффициент растяжения равен 3.
  • Шаг 3. B = 4, B = 4, поэтому P = 2π4 = π2.P = 2π4 = π2. Период равен π2π2 единиц.
  • Шаг 4. Нарисуйте график функции g (x) = — 3sin (4x) .g (x) = — 3sin (4x).
  • Шаг 5. Используйте взаимное отношение функций синуса и косеканса, чтобы построить функцию косеканса.
  • Шаги 6–7. Нарисуйте три асимптоты в точках x = 0, x = π4, x = 0, x = π4 и x = π2.x = π2. Мы можем использовать две опорные точки, локальный максимум в (π8, −3) (π8, −3) и локальный минимум в (3π8,3). (3π8,3). На рисунке 10 показан график.

    Рисунок 10

Попробовать # 6

Изобразите один период f (x) = 0.5csc (2x) .f (x) = 0,5csc (2x).

Как к

Для функции вида f (x) = Acsc (Bx − C) + D, f (x) = Acsc (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

  1. Выразите заданную функцию в виде y = Acsc (Bx − C) + D.y = Acsc (Bx − C) + D.
  2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
  3. Найдите BB и определите период, 2π | B | .2π | B |.
  4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
  5. Нарисуйте график y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.Д.
  6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.

Пример 7

График косеканса, растянутого по вертикали, сжатого по горизонтали и смещенного по вертикали

Нарисуйте график y = 2csc (π2x) + 1.y = 2csc (π2x) +1. Каковы область и диапазон этой функции?

Решение
  • Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y = 2csc (π2x) +1.у = 2csc (π2x) +1.
  • Шаг 2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A | = 2. | A | = 2.
  • Шаг 3. Период равен 2π | B | = 2ππ2 = 2π1⋅2π = 4,2π | B | = 2ππ2 = 2π1⋅2π = 4.
  • Шаг 4. Фазовый сдвиг 0π2 = 0,0π2 = 0.
  • Шаг 5. Нарисуйте график y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), но сдвиньте его вверх D = 1.D = 1.
  • Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = 0, x = 2, x = 4.х = 0, х = 2, х = 4.

График этой функции показан на рисунке 11.

Рисунок 11 Преобразованная функция косеканса

Анализ

Вертикальные асимптоты, показанные на графике, отмечают один период функции, а локальные экстремумы в этом интервале показаны точками. Обратите внимание, как график преобразованного косеканса соотносится с графиком f (x) = 2sin (π2x) + 1, f (x) = 2sin (π2x) +1, показанным оранжевой пунктирной волной.

Попробовать # 7

Учитывая график f (x) = 2cos (π2x) + 1f (x) = 2cos (π2x) +1, показанный на рисунке 12, нарисуйте график g (x) = 2sec (π2x) + 1g (x) = 2сек (π2x) +1 на тех же осях.

Рисунок 12

Анализ графика

y = cot x

Последняя тригонометрическая функция, которую нам нужно исследовать, — это котангенс. Котангенс определяется обратным тождеством cotx = 1tanx.cotx = 1tanx. Обратите внимание, что функция не определена, когда функция касательной равна 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π, 0, π и т. Д.Поскольку выходные данные функции тангенса — все действительные числа, выходные данные функции котангенса также являются действительными числами.

Мы можем построить график y = cotxy = cotx, наблюдая за графиком касательной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 13. Если график функции тангенса уменьшается, график функции котангенса увеличивается. Когда график функции тангенса увеличивается, график функции котангенса уменьшается.

График котангенса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где tanx = 0; tanx = 0; мы показываем их на графике ниже пунктирными линиями.Поскольку котангенс является обратной величиной касательной, cotxcotx имеет вертикальные асимптоты при всех значениях xx, где tanx = 0, tanx = 0 и cotx = 0cotx = 0 при всех значениях xx, где tanxtanx имеет свои вертикальные асимптоты.

Рисунок 13 Функция котангенса

Характеристики графика

y = A кроватка ( Bx )
  • Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
  • Период равен P = π | B | .P = π | B |.
  • Область определения: x ≠ π | B | k, x ≠ π | B | k, где kk — целое число.
  • Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
  • Асимптоты встречаются при x = π | B | k, x = π | B | k, где kk — целое число.
  • y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) — нечетная функция.

Графические вариации

y = cot x

Мы можем преобразовать график котангенса почти так же, как мы это сделали для тангенса. Уравнение становится следующим.

y = Acot (Bx − C) + Dy = Acot (Bx − C) + D

Характеристики графика

y = A кроватка ( Bx −C) + D
  • Коэффициент растяжения | A |.| А |.
  • Период равен π | B | .π | B |.
  • Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
  • Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
  • Вертикальные асимптоты возникают при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
  • Нет амплитуды.
  • y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) — нечетная функция, потому что это частное четных и нечетных функций (косинус и синус соответственно)

Как к

Дана модифицированная функция котангенса вида f (x) = Acot (Bx), f (x) = Acot (Bx), построим один период.

  1. Выразите функцию в виде f (x) = Acot (Bx). F (x) = Acot (Bx).
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
  3. Определите период, P = π | B | .P = π | B |.
  4. Нарисуйте график y = Атан (Bx). Y = Атан (Bx).
  5. Постройте любые две опорные точки.
  6. Используйте обратную связь между тангенсом и котангенсом, чтобы построить график y = Acot (Bx) .y = Acot (Bx).
  7. Изобразите асимптоты.

Пример 8

Графики вариаций функции котангенса

Определите коэффициент растяжения, период и фазовый сдвиг y = 3cot (4x), y = 3cot (4x), а затем нарисуйте график.

Решение
  • Шаг 1. Выражение функции в виде f (x) = Acot (Bx) f (x) = Acot (Bx) дает f (x) = 3cot (4x). F (x) = 3cot (4x ).
  • Шаг 2. Коэффициент растяжения | A | = 3. | A | = 3.
  • Шаг 3. Период P = π4.P = π4.
  • Шаг 4. Нарисуйте график y = 3tan (4x) .y = 3tan (4x).
  • Шаг 5. Постройте две контрольные точки.Две такие точки — это (π16,3) (π16,3) и (3π16, −3). (3π16, −3).
  • Шаг 6. Используйте взаимное отношение, чтобы нарисовать y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).
  • Шаг 7. Постройте асимптоты, x = 0, x = π4.x = 0, x = π4.

Синий график на Рисунке 14 показывает y = 3tan (4x) y = 3tan (4x), а зеленый график показывает y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).

Рисунок 14

Как к

Для модифицированной функции котангенса вида f (x) = Acot (Bx − C) + D, f (x) = Acot (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

  1. Выразите функцию в виде f (x) = Acot (Bx − C) + D. f (x) = Acot (Bx − C) + D.
  2. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
  3. Определите период, P = π | B | .P = π | B |.
  4. Определите фазовый сдвиг CB.CB.
  5. Нарисуйте график y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
  6. Нарисуйте асимптоты x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
  7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 9

Построение модифицированного котангенса

Нарисуйте график одного периода функции f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.

Решение
  • Шаг 1. Функция уже записана в общем виде f (x) = Acot (Bx − C) + D. f (x) = Acot (Bx − C) + D.
  • Шаг 2. A = 4, A = 4, поэтому коэффициент растяжения равен 4.
  • Шаг 3. B = π8, B = π8, поэтому период равен P = π | B | = ππ8 = 8. P = π | B | = ππ8 = 8.
  • Шаг 4. C = π2, C = π2, поэтому фазовый сдвиг CB = π2π8 = 4.CB = π2π8 = 4.
  • Шаг 5. Рисуем f (x) = 4tan (π8x − π2) −2.f (x) = 4tan (π8x − π2) −2.
  • Шаг 6-7. Три точки, которые мы можем использовать для построения графика: (6,2), (8, −2), (6,2), (8, −2) и (10, −6). (10, −6) ). Мы используем взаимное отношение тангенса и котангенса, чтобы нарисовать f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.
  • Шаг 8. Вертикальные асимптоты: x = 4x = 4 и x = 12.x = 12.

График представлен на рисунке 15.

Рисунок 15 Один период модифицированной функции котангенса

Использование графиков тригонометрических функций для решения реальных задач

Многие реальные сценарии представляют периодические функции и могут быть смоделированы тригонометрическими функциями. В качестве примера вернемся к сценарию из начала раздела.Вы когда-нибудь наблюдали луч, образованный вращающимся светом на полицейской машине, и задавались вопросом о движении самого светового луча по стене? Периодическое поведение расстояния, на которое светит свет, как функция времени, очевидно, но как определить расстояние? Мы можем использовать касательную функцию.

Пример 10

Использование тригонометрических функций для решения реальных сценариев

Предположим, что функция y = 5tan (π4t) y = 5tan (π4t) отмечает расстояние при движении светового луча от верха полицейской машины через стену, где tt — время в секундах, а yy — расстояние в футах. из точки на стене прямо напротив полицейской машины.

  1. ⓐ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения и период.
  2. ⓑ График на отрезке [0,5]. [0,5].
  3. ⓒ Вычислите f (1) f (1) и обсудите значение функции на этом входе.
Решение
  1. ⓐ Из общего вида y = Atan (Bt) y = Atan (Bt) мы знаем, что | A || A | — коэффициент растяжения, а πBπB — период.

    Рисунок 16

    Мы видим, что коэффициент растяжения равен 5.Это означает, что луч света переместится на 5 футов по истечении половины периода.

    Период равен ππ4 = π1⋅4π = 4.ππ4 = π1⋅4π = 4. Это означает, что каждые 4 секунды луч света скользит по стене. Расстояние от места напротив полицейской машины увеличивается по мере приближения полицейской машины.

  2. ⓑ Чтобы построить график функции, мы рисуем асимптоту при t = 2t = 2 и используем коэффициент растяжения и период. См. Рисунок 17.

    Рисунок 17

  3. ⓒ период: f (1) = 5tan (π4 (1)) = 5 (1) = 5; f (1) = 5tan (π4 (1)) = 5 (1) = 5; через 1 секунду луч переместился на 5 футов с места напротив полицейской машины.

6.2 Упражнения по разделам

Устные
1.

Объясните, как можно использовать график синусоидальной функции для построения графика y = cscx.y = cscx.

2.

Как можно использовать график y = cosxy = cosx для построения графика y = secx? Y = secx?

3.

Объясните, почему период tanxtanx равен π.π.

4.

Почему на графике y = cscx? Y = cscx нет перехватов?

5.

Как период y = cscxy = cscx сравнивается с периодом y = sinx? Y = sinx?

Algebraic

Для следующих упражнений сопоставьте каждую тригонометрическую функцию с одним из следующих графиков.

Рисунок 18

Для следующих упражнений найдите период и горизонтальный сдвиг каждой функции.

10.

f (x) = 2tan (4x − 32) f (x) = 2tan (4x − 32)

11.

h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1)) h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1))

12.

m (x) = 6csc (π3x + π) m (x) = 6csc (π3x + π)

13.

Если tanx = −1,5, tanx = −1,5, найти tan (−x) .tan (−x).

14.

Если secx = 2, secx = 2, найти sec (−x) .sec (−x).

15.

Если cscx = −5, cscx = −5, найти csc (−x) .csc (−x).

16.

Если xsinx = 2, xsinx = 2, найти (−x) sin (−x). (- x) sin (−x).

Для следующих упражнений перепишите каждое выражение так, чтобы аргумент xx был положительным.

17.

детская кроватка (−x) cos (−x) + sin (−x) детская кроватка (−x) cos (−x) + sin (−x)

18.

cos (−x) + tan (−x) sin (−x) cos (−x) + tan (−x) sin (−x)

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте два периода графика для каждой из следующих функций. Определите коэффициент растяжения, период и асимптоты.

19.

f (x) = 2tan (4x − 32) f (x) = 2tan (4x − 32)

20.

h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1)) h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1))

21.

m (x) = 6csc (π3x + π) m (x) = 6csc (π3x + π)

22.

j (x) = загар (π2x) j (x) = загар (π2x)

23.

p (x) = tan (x − π2) p (x) = tan (x − π2)

25.

f (x) = загар (x + π4) f (x) = загар (x + π4)

26.

f (x) = πtan (πx − π) −πf (x) = πtan (πx − π) −π

28.

f (x) = — 14csc (x) f (x) = — 14csc (x)

29.

f (x) = 4 секунды (3x) f (x) = 4 секунды (3x)

30.

f (x) = — 3 детские кроватки (2x) f (x) = — 3 детские кроватки (2x)

31.

f (x) = 7 секунд (5x) f (x) = 7 секунд (5x)

32.

f (x) = 910csc (πx) f (x) = 910csc (πx)

33.

f (x) = 2csc (x + π4) −1f (x) = 2csc (x + π4) −1

34.

f (x) = — сек (x − π3) −2f (x) = — сек (x − π3) −2

35.

f (x) = 75csc (x − π4) f (x) = 75csc (x − π4)

36.

f (x) = 5 (детская кроватка (x + π2) −3) f (x) = 5 (детская кроватка (x + π2) −3)

Для следующих упражнений найдите и изобразите два периода периодической функции с заданным коэффициентом растяжения, | A |, | A |, периодом и фазовым сдвигом.

37.

Касательная кривая, A = 1, A = 1, период π3; π3; и фазовый сдвиг (h, k) = (π4,2) (h, k) = (π4,2)

38.

Касательная кривая, A = −2, A = −2, период π4, π4 и фазовый сдвиг (h, k) = (- π4, −2) (h, k) = (- π4, −2)

Для следующих упражнений найдите уравнение для графика каждой функции.

40. 42. 44.
Технологии

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор, чтобы построить график двух периодов данной функции.Примечание: большинство графических калькуляторов не имеют кнопки косеканса; поэтому вам нужно будет ввести cscxcscx как 1sinx.1sinx.

46.

f (x) = | csc (x) | f (x) = | csc (x) |

47.

f (x) = | детская кроватка (x) | f (x) = | детская кроватка (x) |

49.

f (x) = csc (x) sec (x) f (x) = csc (x) sec (x)

50.

График f (x) = 1 + sec2 (x) −tan2 (x) .f (x) = 1 + sec2 (x) −tan2 (x). Какая функция показана на графике?

51.

f (x) = сек (0.001x) f (x) = сек (0,001x)

52.

f (x) = детская кроватка (100πx) f (x) = детская кроватка (100πx)

53.

f (x) = sin2x + cos2xf (x) = sin2x + cos2x

Реальные приложения
54.

Функция f (x) = 20tan (π10x) f (x) = 20tan (π10x) отмечает расстояние при движении светового луча от полицейской машины через стену за время x, x в секундах и расстояние f (х), f (х), в футах.

  1. ⓐ График на интервале [0,5].[0,5].
  2. ⓑ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения, период и асимптоту.
  3. ⓒ Оцените f (1) f (1) и f (2.5) f (2.5) и обсудите значения функции на этих входах.
55.

Рыбак стоит на берегу озера и видит вдалеке лодку слева от себя. Пусть x, x, измеренный в радианах, будет углом, образованным линией обзора корабля и линией, направленной на север от его местоположения. Предположим, что север равен 0, а xx измеряется отрицательным слева и положительным справа.(См. Рисунок 19.) Лодка движется с запада на восток, и, игнорируя кривизну Земли, расстояние d (x), d (x) в километрах от рыбака до лодки определяется функцией d (x) = 1,5 секунды (x). d (x) = 1,5 секунды (x).

  1. ⓐКакой разумный домен для d (x)? D (x)?
  2. ⓑГраф d (x) d (x) в этой области.
  3. ⓒ Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот на графике d (x) .d (x).
  4. ⓓ Вычислить и интерпретировать d (−π3).d (−π3). Округлить до второго десятичного знака.
  5. ⓔ Вычислить и интерпретировать d (π6) .d (π6). Округлить до второго десятичного знака.
  6. ⓕ Какое минимальное расстояние между рыбаком и лодкой? Когда это происходит?

Рисунок 19

56.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск