Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ctg x: Ѐункция y = ctgx ΠΈ Π΅Ρ‘ свойства β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 10 класс.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ = tgx ΠΈ y = ctgx ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ

1. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ = tgx ΠΈ y = ctgx ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ

pptcloud.ru

2. y = tgx

П
x
Пk , k Z , являСтся
Ѐункция y = tgx ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ
2
Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ пСриодичСской с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ П.
ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ функция y = tgx Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚.
ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ функция y = tgx возрастаСт.
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ 0≀x1
sin x1 sin x 2
Ρ‚.Π΅. cos x1 cos x2 . По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ 0≀x1
свойствам Ρ„ΡƒΠ½Ρ†ΠΈΠΈ Ρƒ=sin x ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ 0≀ sin x1
свойствам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=cos x ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos x1> cos x2>0, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°
1
1
0
ΠΈ 1 1 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ sin x1 sin x2
cos x1
cos x 2
cos x1
cos x 2
ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [0;П/2) ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ
Π΅Π³ΠΎ симмСтрично ΠΎΡ‚ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°
ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-П/2;П/2)
Ρƒ
3
1
1
3
Ρ…
0
П/6
П/4
П/3
П/2
П
2
ΠŸΡ€ΠΈ
функция Ρƒ = tgx Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°. Если
Ρ…
приблиТаСтся ΠΊ 1, Π° cos, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€ΠΈ этом
sin x
tgx возрастаСт ΠΈ поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ cos
x
Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx приблиТаСтся ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
прямой Ρ…=П/2. Аналогично ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…
значСниях Ρ…, Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… β€” П/2 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ
ΠΊ β€” П/2 , Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx приблиТаСтся ΠΊ
Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой Ρ…=-П/2, Ρ‚.Π΅. прямыС Ρ…=П/2
ΠΈ Ρ…=-П/2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ
асимптотами Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Ρ…

5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=tg x Π½Π° всСй бласти опрСдСлСния:

Ѐункция Ρƒ=tg x пСриодичская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ П, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ получаСтся
Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΡ‚ (-П/2;П/2) сдвигами вдоль оси абсцисс Π½Π° Пk, Π³Π΄Π΅ k Z

6. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=tgx

1) ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ
опрСдСлСния – мноТСство всСх
Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ… Π½ Π½
2
2)ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ R всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…
чисСл.
3)ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°ΠΌ
4)НСчСтная.
5)Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, ΠΏΡ€ΠΈ
Π½ Π½
ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π½Π°
Π½
ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅
Π’ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ
(
(
2
2
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ( Π½;
Π½; Π½), Π½
Π½;
2
Π½), Π½
2
Π½ )

8. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1: Найти всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния tg x=2 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ [-П;3П/2]

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ=2 ΠΈ Ρƒ= tg x. Π­Ρ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ
ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² 3-Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, абсциссы ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ…1, Ρ…2, Ρ…3
ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями уравнСния tg x=2. На ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-П/2;П/2)
ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ…1=arctg2. Ρ‚.ΠΊ. функция Ρƒ=tg Ρ…
пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ П, Ρ‚ΠΎ Ρ…2= arctg2 + П, Ρ…3= arctg2 – П.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ…1=arctg2, Ρ…2= arctg2 + П, Ρ…3= arctg2 – П.

9. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2: Найти всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нСравСнства tg x≀2, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ [-П;3П/2]

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ=2 ΠΈ Ρƒ= tg x. Из Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=tg Ρ… Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прямой Ρƒ=2 Π½Π°
ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… [-П;Ρ…3], (-П/2;Ρ…1] ΠΈ (П/2;Ρ…2].
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ρ… [-П;-П+ arctg2], Ρ… (-П/2; arctg2], Ρ… (П/2; П+ arctg2]

10. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ числа:

tg П/5 и tg П/7
tg П/5 > tg П/7
tg (-П/5) и tg (-П/7)
tg (-П/5) > tg (-П/7)
tg 7П/8 и tg 8П/9
tg 7П/8
tg 2 ΠΈ tg 3
tg 2
tg (-7П/8) и tg (-8П/9)
tg (-7П/8) > tg (-8П/9)
tg 1 ΠΈ tg 1,5
tg 1

11. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=tgx ΠΈ Ρƒ=ctgx

12. Ρƒ=ctgx

β€’ Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctgx
Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ тоТдСством ctgx=-tg(x+ΠΏ/2).Из
этого тоТдСства слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для построСния
Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ctg Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tg
Π½Π° ΠΏ/2 Π²Π»Π΅Π²ΠΎ вдоль оси 0x ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси
0Ρ….Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ tg ΠΈ ctg состоят ΠΈΠ· бСсконСчного
мноТСства ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… пСриодичСски
ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π²Π΅Ρ‚Π²Π΅ΠΉ.

13. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctgx


ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСниямноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…
чисСл ; z
ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ значСниймноТСство R всСх
Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл
Ѐункция Ρƒ=ctgx пСриодичСская с
ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π’=П
Ѐункция Ρƒ=ctgx нСчСтная
Ѐункция Ρƒ=ctgx ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ 2 ; z
значСния, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ
-ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅
Π½Π°
значСния
; ; z
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… 2
-ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅
значСния
Π½Π°
; ; z
2
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…
Ѐункция Ρƒ=ctgx являСтся
; ; z
ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅

14. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctgx

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс ΠΈ котангСнс tg ΠΈ ctg. Бвойства. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², слоТСния, прСобразования суммы Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, прСобразования произвСдСния Π² сумму





АдрСс этой страницы (Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π² справочникС dpva.ru:
  Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ страница  / / Π’СхничСская информация / / ΠœΠ°Ρ‚СматичСский справочник / / ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° для самых ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΡ…. Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ. ДСтский сад, Π¨ΠΊΠΎΠ»Π°.  / / Π’ригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс ΠΈ котангСнс tg ΠΈ ctg. Бвойства. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², слоТСния, прСобразования суммы Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, прСобразования произвСдСния Π² сумму

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ:   

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнс ΠΈ котангСнс tg ΠΈ ctg. Бвойства. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹,


Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², слоТСния, прСобразования суммы Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅,
прСобразования произвСдСния Π² сумму.
Поиск Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ справочникС DPVA. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свой запрос:
Поиск Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ справочникС DPVA. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свой запрос:
Если Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ сСбя Π² спискС поставщиков, Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ Вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числСнныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π³ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅, сообщитС , поТалуйста.
Π’Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π² письмо ссылку Π½Π° страницу с ошибкой, поТалуйста.
ΠšΠΎΠ΄Ρ‹ Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚Π° DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

ΠšΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ тСхничСская
ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ° сайта: Zavarka Team

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ являСтся нСкоммСрчСским. Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡ, прСдставлСнная Π½Π° сайтС, Π½Π΅ являСтся ΠΎΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ прСдоставлСна Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² цСлях ознакомлСния. Π’Π»Π°Π΄Π΅Π»ΡŒΡ†Ρ‹ сайта www.dpva.ru Π½Π΅ нСсут Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ отвСтствСнности Π·Π° риски, связанныС с использованиСм ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ с этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-рСсурса. Free xml sitemap generator

Β«Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx, y = ctgx, ΠΈΡ… свойства ΠΈ графики”

МОУ Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ β„–10 Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° БовСтска ΠšΠ°Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ½Π³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΎΠΉ области

ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

Π Π°Π·Ρ‹Π³Ρ€Π°Π΅Π²Π° Π’Π°Ρ‚ΡŒΡΠ½Π° НиколаСвна.

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π² 10-ΠΌ классС ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅:

Β«Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx, y = ctgx, ΠΈΡ… свойства ΠΈ графики”.

Π¦Π΅Π»ΠΈ: 1. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = tgx, y = ctgx; Π²Ρ‹Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρƒ учащихся умСния ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ схСматичСски ΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ Π² ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ графичСски уравнСния, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ прСобразования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

  1. ΠžΡ€Π³ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ сотрудничСству.

  2. Актуализация Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ. Устная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°.

1.ВычислитС:

2.Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число  являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

3.Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция нСчётная. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: .

4.ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

D(f) = [ -2; 5]. Ѐункция Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. Ѐункция возрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… [ -2; -1], [2; 5], ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [ -1; 2]. Ѐункция ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° снизу ΠΈ свСрху. Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° всСй области опрСдСлСния. E(f) = [ -4; 5].

  1. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. НачинаСм со свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx. Бвойство 1. Какова ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx? (ВсС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ чисСл Π²ΠΈΠ΄Π°

Бвойство 2. Ѐункция пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ , Ρ‚.ΠΊ.

Бвойство 3. Ѐункция нСчётная, Ρ‚.ΠΊ. . Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ основных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

x

0

/6

/4

/3

tgx

0

1

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ:

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, строим ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx.

Бвойство 4. Ѐункция возрастаСт Π½Π° всём ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tgx Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ тангСнсоидой, Π° Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒΡŽ.

Бвойство 5. Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½ΠΈ снизу, Π½ΠΈ свСрху.

Бвойство 6. Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ наибольшСго, Π½ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Бвойство 7.Ѐункция y = tgx Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°

Бвойство 8. E(f) = ( β€” ο‚₯; + ο‚₯).

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ . РСшим это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ графичСски. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Боставим ΠΏΠ»Π°Π½ построСния: 1) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ тангСнсоиду.

2) ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ эту Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Ρ…. 3) Π‘Π΄Π²ΠΈΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ Π½Π° /2 Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. 4) зная ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ, построим вСсь Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π’.ΠΊ. , Ρ‚ΠΎ построСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ свойства. Как быстро это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? (Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ свойств Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y = tgx ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚).

Бвойство 1. D(f) – всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° x = k.

Бвойство 2. Ѐункция пСриодичСская с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ .

Бвойство 3. Ѐункция нСчётная.

Бвойство 4. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° всём ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Бвойство 5. Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π½ΠΈ снизу, Π½ΠΈ свСрху.

Бвойство 6. Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ наибольшСго, Π½ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Бвойство 7.Ѐункция y = tgx Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°:

Бвойство 8. E(f) = ( β€” ο‚₯; + ο‚₯).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ называСтся тангСнсоидой.

  1. Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. β„– 254,255,257,258 – устно. β„– 261Π², 262Π² – письмСнно.

  2. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

β€” Π‘ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ функциями ΠΌΡ‹ сСгодня с Π²Π°ΠΌΠΈ познакомились?

β€” Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Π½ΠΈΡ…?

β€” Какими ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ свойствами ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚? Π’ Ρ‡Ρ‘ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅?

β€” Как Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ?

  1. Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Β§15 β„– 256(Π°), 259(Π°), 261(Π°), 262(Π°).

Ѐункция y = ctg x

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ содСрТимого Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
«Ѐункция y = ctg xΒ»

Π”Π°Ρ‚Π°: 03.04.2020.

ВСма: ЀУНКЦИЯ y = ctg x

Π¦Π΅Π»ΠΈ: Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнс ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ; Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ знания Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

Π₯ΠΎΠ΄ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

  1. ΠΠšΠ’Π£ΠΠ›Π˜Π—ΠΠ¦Π˜Π― Π—ΠΠΠΠ˜Π™

ВспомнитС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, которая Π±Ρ‹Π»Π° ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° Π½Π°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ y=sin x, Ρƒ=соs x ΠΈ y = tg x. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ устно Π½Π° вопросы.

  1. Π§Ρ‚ΠΎ называСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ для ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ?

  2. Π§Ρ‚ΠΎ называСтся мноТСством Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ для ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ?

  3. Как Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ?

  4. Π§Ρ‚ΠΎ называСтся котангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ±?

  1. Π˜Π—Π£Π§Π•ΠΠ˜Π• ΠΠžΠ’ΠžΠ“Πž ΠœΠΠ’Π•Π Π˜ΠΠ›Π

ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ свои Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ сСгодняшнСС число ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. Π”Π°Π»Π΅Π΅ выполняСм построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctg x ΠΈ пСрСписываСм Π΅Ρ‘ свойства.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctg x? Вспомним Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ взаимосвязи

Π’.Π΅. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctg x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tg x с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ примСнСния элСмСнтарных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. Вспомним Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tg x. К Π½Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ прСобразования: смСщСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ оси ΠžΡ… ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ОΠ₯.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² эти прСобразования, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ=ctg x

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ основныС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = ctg x:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния β€” мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ… = Ο€k, ΠΊ βˆˆ Z.

2. Ѐункция нСчСтная (Ρ‚. Π΅. Ρƒ(-Ρ…) = -y(x)), ΠΈ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

3. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… Π²ΠΈΠ΄Π° (Ο€k; Ο€ + Ο€k), ΠΊ βˆˆ Z.

4. Ѐункция Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π°.

5. Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наимСньшСго ΠΈ наибольшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

6. Ѐункция нСпрСрывная.

7. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π•(Ρƒ) = (-∞; +∞).

8. Ѐункция пСриодичСская с наимСньшим ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π’ = Ο€, Ρ‚. Π΅. Ρƒ(Ρ… + Ο€k) = Ρƒ(x).

9. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Ρ… = Ο€k.

10. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пС­рС­сС­чС­ния с осью Πžx

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пС­рС­сС­чС­ния с осью Πžy ΠΎΡ‚Β­ΡΡƒΡ‚Β­ΡΡ‚Π²ΡƒΒ­ΡŽΡ‚.

11. ΠžΠΏΡ€Π΅Β­Π΄Π΅Β­Π»ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Β­Ρ‚Π΅Ρ€Β­Π²Π°Β­Π»Ρ‹ зна­ко­по­сто­ян­ства:

  1. ΠŸΠ ΠΠšΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― ЧАБВЬ

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ свойствами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = сtg x, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ письмСнно β„–10.28, β„–10.31.

  1. ΠŸΠžΠ”Π’Π•Π”Π•ΠΠ˜Π• Π˜Π’ΠžΠ“ΠžΠ’ УРОКА. Π Π•Π€Π›Π•ΠšΠ‘Π˜Π―

КакиС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = сtg x Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ?

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: тСория, β„–10.32.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° нашСй ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ОА, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ радиусом ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° оси абсцисс. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ² радиуса ОА получаСтся радиус ΠžΠ’.

Бинусом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΊ радиусу. Бинус обозначаСтся sin Ξ±.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ абсциссы Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΊ радиусу ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ cos Ξ±.

ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± – это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΊ Π΅Π΅ абсциссС. ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ: tg Ξ±.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ абсциссы Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΊ Π΅Π΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ называСтся котангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° Ξ± ΠΈ записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ ctg Ξ±.

ВригономСтричСскими Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x, Ρƒ = cos x, Ρƒ = tg x, Ρƒ = ctg x.

Как ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ рассматриваСмыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ:

cos (-x) = cos x

sin (-x) = -sin x

tg (-x) = -tg x

ctg (-x) = -сtg x.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… равСнств, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x, Ρƒ = tg x, Ρƒ = ctg x ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° функция Ρƒ = cos x – Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

Рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ свойства этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Ѐункция Ρƒ = sin x ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… характСристик:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ – ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [-1; 1].

3. Ѐункция пСриодичСская; основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ – 2n.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, [0; n] ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° Π½Π΅ΠΌ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ симмСтрично Β«Π΄ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒΒ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, воспользовавшись ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x называСтся синусоидой.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos x Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ = cos x:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ – ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [-1; 1].

3. Ѐункция пСриодичСская; основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ – 2n.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos x – это косинусоида. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° синусоиду, Π½ΠΎ отличаСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ симмСтричСн Π½Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y, Ρ‚.Π΅. оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Ѐункция Ρƒ = tg x отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: Ρ… β‰  n/2 + Ο€k, Π³Π΄Π΅ k € Z.

2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ – вся числовая прямая.

3. Ѐункция пСриодичСская; основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ β€” n.

4. Ѐункция нСчСтная.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg x, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ:

1. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько Β«ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ…Β» Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ : (0; 0), (n/4; 1) ΠΈ Π΄Ρ€.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [0; n/2).

3. На основании Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (-Ο€/2; Ο€/2).

4. На основании пСриодичности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β«Π΄ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒΒ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° всСй области опрСдСлСния.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ рассматриваСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся тангСнсоидой.

Ѐункция Ρƒ = ctg x ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: Ρ… β‰  nk, Π³Π΄Π΅ k € Z.

2. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ – вся числовая прямая.

3. Ѐункция пСриодичСская; основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ – n.

4. Ѐункция нСчСтная.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = ctg x, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

1. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ тоТдСством ctg x = -tg (x = n/2).

2. Π‘Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ тангСнсоиду Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΏΠΎ оси абсцисс Π½Π° расстояниС n/2.

3. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Ρ….

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нашСй котангСнсоидой.

Β© blog.tutoronline.ru, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ частичном ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ссылка Π½Π° пСрвоисточник ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.6: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ обучСния

  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = tan x ΠΈ y = cot x.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = tan x ΠΈ y = cot x.
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ котангСнса.
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ y = sec x ΠΈ y = csc x.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = sec x ΠΈ y = csc x.
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ сСкущСму ΠΈΠ»ΠΈ косСкансу Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = tan x ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ , вычСрчивая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

[латСкс] \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} [/ латСкс]

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ повторяСтся Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… kΟ€ , Π³Π΄Π΅ k β€” постоянная. Если ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° [latex] β€” \ dfrac {\ pi} {2} \ text {to} \ dfrac {\ pi} {2} [/ latex], ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ Ρ†ΠΈΠΊΠ».Если ΠΌΡ‹ посмотрим Π½Π° любой больший ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π», ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ характСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ тангСнс Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса.

[латСкс] \ begin {align} \ tan (βˆ’x) & = \ frac {\ sin (βˆ’x)} {\ cos (βˆ’x)} && \ text {ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.} \\ & = \ frac {- \ sin x} {\ cos x} && \ text {Бинус β€” нСчСтная функция, косинус β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ.} \\ & = β€” \ frac {\ sin x} {\ cos x} && \ text {ЧастноС ΠΎΡ‚ нСчСтная ΠΈ чСтная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.} \\ & = β€” \ tan x && \ text {ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.} \ End {align} [/ latex]

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, тангСнс β€” нСчСтная функция. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ графичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, посмотрСв значСния для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

x [латСкс] β€” \ frac {\ pi} {6} [/ латСкс] [латСкс] β€” \ frac {\ pi} {3} [/ латСкс] [латСкс] β€” \ frac {\ pi} {4} [/ латСкс] [латСкс] β€” \ frac {\ pi} {6} [/ латСкс] 0 [латСкс] \ frac {\ pi} {6} [/ латСкс] [латСкс] \ frac {\ pi} {4} [/ латСкс] [латСкс] \ frac {\ pi} {3} [/ латСкс] [латСкс] \ frac {\ pi} {2} [/ латСкс]
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ( x ) undefined [латСкс] β€” \ sqrt {3} [/ латСкс] –1 [латСкс] β€” \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} [/ латСкс] 0 [латСкс] \ dfrac {\ sqrt {3}} {3} [/ латСкс] 1 [латСкс] \ sqrt {3} [/ латСкс] undefined

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наш Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½.Если ΠΌΡ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ рассмотрим значСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° [latex] \ frac {\ pi} {3} x <1,57, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

x 1,3 1,5 1,55 1,56
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x 3.6 14,1 48,1 92,6

По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния x ΠΊ [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ становятся всС большС ΠΈ большС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ [latex] y = \ tan x [/ latex] являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

x -1,3 -1,5 -1,55 -1,56
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x βˆ’3.6 βˆ’14,1 βˆ’48,1 βˆ’92,6

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния x ΠΊ [latex] β€” \ dfrac {\ pi} {2} [/ latex] Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ становятся всС мСньшС ΠΈ мСньшС. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния x , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… cos x = 0. НапримСр, [latex] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex] ΠΈ [ латСкс] \ cos \ left (\ frac {3 \ pi} {2} \ right) = 0 [/ latex]. ΠŸΡ€ΠΈ этих значСниях ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ tan x [/ latex] ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Ρ‹ Π² [latex] x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex] ΠΈ [латСкс] \ frac {3 \ pi} {2} [/ латСкс].ΠŸΡ€ΠΈ этих значСниях Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты. На рисункС 1 прСдставлСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = \ tan x [/ latex]. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] ΠΈ ΠΎΡ‚ Ο€ Π΄ΠΎ [latex] \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex], ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°ΠΌ I ΠΈ III Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

Рисунок 1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = tan x

Как ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса, функция тангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описана ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

[латСкс] y = A \ tan (Bx) [/ латСкс]

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ растяТСния ΠΈ сТатия, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ значСния A ΠΈ B. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ случаС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса.ВмСсто этого ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°Π·Ρƒ , коэффициСнт растяТСния / сТатия , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΡ‹Π»Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° константу A.

A ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A tan ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A | .
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ состоит ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл x , Π³Π΄Π΅ [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {2 | B |} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex] Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: [латСкс] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex].
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {\ pi} {2 | B |} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • [латСкс] y = A \ tan (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° растянутой ΠΈΠ»ΠΈ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ свойствах Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой растянутой ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] f (x) = A \ tan (Bx) [/ latex ].ΠœΡ‹ сосрСдотачиваСмся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСриодичСскоС свойство позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ области области Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° наша ограничСнная ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” это ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» [latex] (- \ frac {P} {2}, \ frac {P} {2}) [/ latex], Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² [latex] \ pm \ frac {P } {2} [/ latex], Π³Π΄Π΅ [latex] P = \ frac {\ pi} {B} [/ latex]. На [latex] (- \ dfrac {\ pi} {2}, \ dfrac {\ pi} {2}) [/ latex] Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ поднимСтся ΠΈΠ· Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ асимптоты Π² [latex] x = β€” \ dfrac { \ pi} {2} [/ latex], пСрСсСкаСт Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ асимптотС Π² [latex] x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex].Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊ асимптотам с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±, фактичСски ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. НапримСр, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ

[латСкс] f \ left (\ frac {P} {4} \ right) = A \ tan \ left (B \ frac {P} {4} \ right) = A \ tan \ left (B \ frac {\ pi} {4B} \ right) = A [/ latex]

, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ [латСкс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 [/ latex].

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] f (x) = A \ tan (Bx) [/ latex] ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния | A |.
  2. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  3. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… [latex] x = β€” \ dfrac {P} {2} [/ latex] ΠΈ [latex] x = \ frac {P} {2} [/ latex].
  4. Для A > 0 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ приблиТаСтся ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ асимптотС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ асимптотС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСниях (обратная для A <0).
  5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² [latex] \ left (\ frac {P} {4}, A \ right) [/ latex] (0, 0) ΠΈ ([latex] β€” \ dfrac {P} {4} [/ латСкс], β€” A), ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] y = 0,5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ A ΠΈ B.

Рисунок 2

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ [латСкс] A = 0,5 [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] B = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ коэффициСнт растяТСния / сТатия ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = 2 [/ latex], поэтому асимптоты находятся Π² [latex] x = \ pm 1 [/ latex].Π—Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

[латСкс] \ begin {align} f (0,5) & = 0,5 \ tan \ left (\ frac {0,5 \ pi} {2} \ right) \\ & = 0,5 \ tan (\ frac {\ pi} {4 }) \\ & = 0.5 \ end {align} [/ latex]

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кривая Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (0,5,0,5), (0,0) ΠΈ (-0,5, -0,5). ЕдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 3

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] f (x) = 3 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} x \ right) [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° сдвинутой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , которая растягиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ сТимаСтся, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ) сдвиг. Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ добавляСм C ΠΈ D ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

[латСкс] f (x) = A \ tan (Bx-C) + D [/ латСкс]

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ tan x нСсколькими способами:

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] y = A \ tan \ left (Bx βˆ’ C \ right) + D [/ latex]

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {\ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • [latex] y = A \ tan (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это частноС ΠΎΡ‚ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (синуса ΠΈ косинуса соотвСтствСнно).

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] y = A \ tan (Bx βˆ’ C) + D [/ latex] нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ tan (Bx-C) + D [/ latex].
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия , | A |.
  3. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ C ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ tan (Bx) [/ latex], сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D .
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ смСщСнного касания

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] y = βˆ’2 \ tan (\ pi x + \ pi) βˆ’1 [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ tan (Bx βˆ’ C) + D [/ latex].

Π¨Π°Π³ 2. [латСкс] A = -2 [/ латСкс], поэтому коэффициСнт растяТСния составляСт [латСкс] | A | = 2 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 3. [latex] B = \ pi [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} = \ frac {\ pi} {\ pi} = 1 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 4. [latex] C = β€” \ pi [/ latex], поэтому сдвиг Ρ„Π°Π·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ dfrac {C} {B} = \ dfrac {- \ pi} {\ pi} = β€” 1 [/латСкс].

Π¨Π°Π³ 5–7. Асимптоты находятся Π² [latex] x = β€” \ frac {3} {2} [/ latex] ΠΈ [latex] x = β€” \ frac {1} {2} [/ latex], Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: ( βˆ’1.25, 1), (βˆ’1, βˆ’1) ΠΈ (βˆ’0,75, βˆ’3). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рисункС 4.

Рисунок 4

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ A <0.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

Как измСнился Π±Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ сдСлали A = 2 вмСсто βˆ’2?

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· линию [латСкс] y = -1 [/ латСкс], ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΡΡΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ увСличСния.

Как: ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ.

  1. НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ P Π½Π° основС расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ асимптотами ΠΈΠ»ΠΈ интСрцСпциями x .
  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {P} x \ right) [/ latex].
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ( x , f ( x )) Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π΅ для опрСдСлСния A .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° растянутой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

НайдитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС 5.

Рисунок 5

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π¨Π°Π³ 1. Один Ρ†ΠΈΠΊΠ» простираСтся ΠΎΡ‚ –4 Π΄ΠΎ 4, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ составляСт [латСкс] P = 8 [/ латСкс]. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex], ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ [latex] B = \ frac {\ pi} {P} = \ frac {\ pi} {8} [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 2. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ [latex] \ text {form} f (x) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x \ right) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 3. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС A , Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (2,2).

[латСкс] 2 = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} \ times2 \ right) = A \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ [латСкс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) = 1 [/ latex], A = 2.

Π­Ρ‚Π° функция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ [латСкс] f (x) = 2 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} x \ right) [/ latex].

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

НайдитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 6.

Рисунок 6

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

[латСкс] g (x) = 4 \ tan (2x) [/ латСкс]

ИспользованиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

МногиС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ сцСнарии ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ смодСлированы тригономСтричСскими функциями.Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° вСрнСмся ΠΊ ΡΡ†Π΅Π½Π°Ρ€ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°. Π’Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ наблюдали Π»ΡƒΡ‡, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ свСтом Π½Π° полицСйской машинС, ΠΈ задавались вопросом ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ самого свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΏΠΎ стСнС? ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свСтит свСт, ΠΊΠ°ΠΊ функция Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС? ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: ИспользованиС тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сцСнариСв

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция [latex] y = 5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} t \ right) [/ latex] ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ расстояниС Π² Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π° полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стСна, Π³Π΄Π΅ t β€” врСмя Π² сСкундах, Π° y β€” расстояниС Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° стСнС прямо Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

  1. НайдитС ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ коэффициСнт ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ растяТСния.
  2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0, 5].
  3. ВычислитС f (1) ΠΈ обсудитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этом Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅.
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
  1. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° [latex] y = A \ tan (Bt) \\ [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎ | A | β€” коэффициСнт растяТСния, Π° Ο€ B β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

    Рисунок 7

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ свСта пСрСмСстится Π½Π° 5 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

    ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [latex] \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {4}} = \ frac {\ pi} {1} \ times \ frac {4} {\ pi} = 4 [/ latex ]. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 4 сСкунды Π»ΡƒΡ‡ свСта ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ стСнС. РасстояниС ΠΎΡ‚ мСста Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ увСличиваСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

  2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ рисуСм асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ [latex] t = 2 [/ latex] ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ коэффициСнт растяТСния ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π‘ΠΌ. Рисунок 8.

    Рисунок 8

  3. ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: [латСкс] f (1) = 5 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ left (1 \ right) \ right) = 5 \ left (1 \ right) = 5 [/ латСкс ]; Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 сСкунду Π»ΡƒΡ‡ пСрСмСстился Π½Π° 5 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² с мСста Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² y = sec x ΠΈ y = cscx ΠΈ ΠΈΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

БСкущая Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ [латСкс] \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° косинус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ асимптотам Π² [latex] \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} \ text {ΠΈ Ρ‚. Π”.} [/ Latex] . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ косинус Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, сСканс, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ sec x [/ latex], наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π‘ΠΌ. Рисунок 9. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ взаимосвязь. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ. Когда функция косинуса Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, сСканс Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½.

Π‘Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x , Π³Π΄Π΅ косинусный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось x ; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ явно всС асимптоты Π½Π° всСх ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… сСканс ΠΈ косСканс.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ косинус являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, сСканс Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ [латСкс] \ сСк (-x) = \ сСк x [/ латСкс].

Рис. 9. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сСкущСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, [латСкс] f (x) = \ sec x = \ frac {1} {\ cos x} [/ latex]

Как ΠΈ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ снова обратимся ΠΊ константС | A | ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ растяТСния, Π° Π½Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A сСк ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ [latex] x = \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] β€” чСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус β€” чСтная функция.

Подобно сСкансу, косСканс опрСдСляСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ [латСкс] \ csc x = 1 \ sin x [/ latex]. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° синус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 0, Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π”. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, косСканс, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС Ρ‡Π΅ΠΌ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ csc x [/ latex], наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π‘ΠΌ. Рисунок 10. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ взаимосвязь. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x , Π³Π΄Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось x ; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, функция косСканса Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ [латСкс] \ csc (βˆ’x) = β€” \ csc x [/ latex].

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° рисункС 10, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ сСканса.

Рис. 10. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса, [латСкс] f (x) = \ csc x = \ frac {1} {\ sin x} / latex]

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] y = A \ csc (Bx)

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус β€” нСчСтная функция.

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = sec x ΠΈ y = csc x

Для смСщСнных, сТатых ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растянутых вСрсий сСкущих ΠΈ косСкансных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ использовали для тангСнса ΠΈ котангСнса.Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ располагаСм Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Π² частности, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экстрСмумов). Если ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° для сСканса ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ сСканс Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ косСканса, сдвинутый Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиги ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ для сСкущСй ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.УравнСния становятся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ.

[латСкс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латСкс]

[латСкс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латСкс]

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex]

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [латСкс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex] β€” чСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус β€” чСтная функция.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] y = A \ csc (Bx βˆ’ C) + D [/ latex]

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [латСкс] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус β€” нСчСтная функция.

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] y = A \ sec (Bx) [/ latex], ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
  2. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия | A |.
  3. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ cos (Bx) [/ latex].
  5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ [latex] y = \ cos x [/ latex] ΠΈ [latex] y = \ sec x [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex ].
  6. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния сСкущСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкса] f (x) = 2,5 \ сСк (0,4x) [/ латСкс].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Данная функция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex].
Π¨Π°Π³ 2. [латСкс] A = 2,5 [/ латСкс], поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2,5.
Π¨Π°Π³ 3. [латСкс] B = 0,4 [/ латСкс], поэтому [латСкс] P = \ frac {2 \ pi} {0,4} = 5 \ pi [/ латСкс]. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] g (x) = 2,5 \ cos (0,4x) [/ latex].
Π¨Π°Π³ 5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ косинуса ΠΈ сСканса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косСканса.
Π¨Π°Π³ΠΈ 6–7. НарисуйтС Π΄Π²Π΅ асимптоты Π² [latex] x = 1,25 \ pi [/ latex] ΠΈ [latex] x = 3,75 \ pi [/ latex]. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² (0, 2,5) ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² (2,5Ο€, βˆ’2,5). На рисункС 11 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Рисунок 11

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкса] f (x) = β€” 2.5 \ сСк (0.4x) [/ латСкс].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ A ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹

Π’Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠΈ растяТСниС / сТатиС Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ сСкущСй?

Π”Π°. Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ [латСкс] f (x) = A \ sec (Bx β€” C) + D [/ латСкс] Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A | + D ] βˆͺ [| A | + D , ∞).

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] f (x) = A \ sec (Bx βˆ’ C) + D [/ latex], ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex].
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A |.
  3. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ C ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ sec (Bx) [/ latex]. Π½ΠΎ смСститС Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D .
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {2 | B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния сСкущСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [latex] y = 4 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {3} xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) +1 [ /латСкс].

Π¨Π°Π³ 2. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния / сТатия | A | = 4.

Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄

[латСкс] \ begin {align} \ frac {2 \ pi} {| B |} & = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = \ frac {2 \ pi} {1} \ times \ frac {3} {\ pi} \\ & = 6 \ end {align} [/ latex]

Π¨Π°Π³ 4. Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Ρ„Π°Π·Ρ‹

[латСкс] \ begin {align} \ frac {C} {B} & = \ frac {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ pi} {3}} \\ & = \ frac { \ pi} {2} \ times \ frac {3} {\ pi} \\ & = 1.5 \ end {align} [/ latex]

Π¨Π°Π³ 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = A \ sec (Bx) [/ latex], Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° [latex] \ frac {C} {B} = 1,5 [/ latex] ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D = 6.

Π¨Π°Π³ 6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, x = 3 ΠΈ x = 6. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² (1,5, 5) ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² ( 4,5, βˆ’3). На рисункС 12 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Рисунок 12

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкса] f (x) = β€” 6 \ сСк (4x + 2) βˆ’8 [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹

Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] \ csc x [/ latex] Π±Ρ‹Π» Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΊΠ°ΠΊ всС
x , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] x \ ne k \ pi [/ latex] для любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа k . Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] y = A \ csc (Bx βˆ’ C) + D [/ latex] Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ [latex] x \ ne \ frac {C + k \ pi} {B} [/ latex]?

Π”Π°. Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ области ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ асимптотам. Π˜Ρ… располоТСниС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ сТатиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex], ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ csc (Bx) [/ latex].
  2. | A |.
  3. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ sin (Bx) [/ latex].
  5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ [latex] y = \ sin x [/ latex] ΠΈ [latex] y = \ csc x [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex ].
  6. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкса] f (x) = β€” 3 \ csc (4x) [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Данная функция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ [latex] y = A \ csc (Bx) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 2. [латСкс] | A | = | βˆ’3 | = 3 [/ латСкс], поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3.

Π¨Π°Π³ 3. [latex] B = 4 \ text {, поэтому} P = \ frac {2 \ pi} {4} = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex] Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] g (x) = β€” 3 \ sin (4x) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косСканса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косСканса.

Π¨Π°Π³ΠΈ 6–7. НарисуйтС Ρ‚Ρ€ΠΈ асимптоты Π² [latex] x = 0 \ text {,} x = \ frac {\ pi} {4} \ text {ΠΈ} x = \ frac {\ pi} {2} [/ latex]. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² [латСксС] \ left (\ frac {\ pi} {8} \ text {,} βˆ’3 \ right) [/ latex] ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² [latex] \ left ( \ frac {3 \ pi} {8} \ text {,} 3 \ right) [/ latex].На рисункС 13 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Рисунок 13

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкса] f (x) = 0,5 \ csc (2x) [/ latex].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] f (x) = A \ csc (Bx βˆ’ C) + D [/ latex], ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex].
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A |.
  3. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ B ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ C ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ csc (Bx) [/ latex], Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° D .
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ растянутого, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ сТатого ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ смСщСнного косСканса

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex].ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [latex] y = 2 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex].

Π¨Π°Π³ 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, [латСкс] | A | = 2 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [latex] \ frac {2 \ pi} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = \ frac {2 \ pi } {1} \ times \ frac {2} {\ pi} = 4 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 4. Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг [latex] \ frac {0} {\ frac {\ pi} {2}} = 0 [/ latex].

Π¨Π°Π³ 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ csc (Bx) [/ latex], Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… [latex] D = 1 [/ latex].

Π¨Π°Π³ 6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, x = 2, x = 4.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рисункС 14.

Рисунок 14

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экстрСмумы Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ косСканса соотносится с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ [latex] f (x) = 2 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ оранТСвая пунктирная Π²ΠΎΠ»Π½Π°.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅

Учитывая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] f (x) = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex], ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° рисункС 15, нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] g (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) +1 [/ latex] Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ осях.

Рисунок 15

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = cot x ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

ПослСдняя тригономСтричСская функция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, β€” это котангСнс .ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ опрСдСляСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ [латСкс] \ cot x = \ frac {1} {\ tan x} [/ latex]. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция тангСнса Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 0, Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π”. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся всС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ cot x [/ latex], наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.Π‘ΠΌ. Рисунок 16. Если Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ котангСнса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x , Π³Π΄Π΅ [latex] \ tan x = 0 [/ latex]; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ котангСнс являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, [latex] \ cot x [/ latex] ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях x , Π³Π΄Π΅ [latex] \ tan x = 0 [/ latex] ΠΈ [latex] \ cot x = 0 [/ latex] ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях x, Π³Π΄Π΅ tan x ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты.

Рисунок 16. Ѐункция котангСнса

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: особСнности Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] x \ ne \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ составляСт (βˆ’βˆž, ∞).
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • [латСкс] y = A \ cot (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

y = дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ котангСнса ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это сдСлали для тангСнса. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ становится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

[латСкс] y = A \ cot (Bx-C) + D [/ латСкс]

A ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Бвойства Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ( Bx βˆ’C) + D
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {\ pi} {| B |} [/ латСкс].
  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ [latex] x \ ne \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² [latex] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • [latex] y = A \ cot (Bx) [/ latex] β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это частноС Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (косинус ΠΈ синус, соотвСтствСнно)

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: учитывая ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ котангСнса Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex], построитС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex].
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ tan (Bx) [/ latex].
  5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
  6. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тангСнсом ΠΈ котангСнсом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ cot (Bx) [/ latex].
  7. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг [latex] y = 3 \ cot (4x) [/ latex], Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx) [/ latex] Π΄Π°Π΅Ρ‚ [latex] f (x) = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 2. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния [латСкс] | A | = 3 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] P = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π”Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: [latex] \ left (\ frac {\ pi} {16} \ text {,} 3 \ right) [/ latex] ΠΈ [latex] \ left (\ frac {3 \ pi} {16} \ тСкст {,} βˆ’3 \ right) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 6. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ [латСкс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Π¨Π°Π³ 7. НарисуйтС асимптоты, [latex] x = 0 [/ latex], [latex] x = \ frac {\ pi} {4} [/ latex].

ΠžΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° РисункС 17 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ [латСкс] y = 3 \ tan (4x) [/ latex], Π° синий Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ [латСкс] y = 3 \ cot (4x) [/ latex].

Рисунок 17

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ: для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса Π²ΠΈΠ΄Π° [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx βˆ’ C) + D [/ latex], ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex].
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {\ pi} {| B |} [/ latex].
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} [/ latex].
  5. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] y = A \ tan (Bx) [/ latex], сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D .
  6. НарисуйтС асимптоты [латСкс] x = \ frac {C} {B} + \ frac {\ pi} {| B |} k [/ latex], Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ котангСнса

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] f (x) = 4 \ cot \ left (\ frac {\ pi} {8} xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) βˆ’2 [ /латСкс].

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ [latex] f (x) = A \ cot (Bx βˆ’ C) + D [/ latex].

Π¨Π°Π³ 2. [латСкс] A = 4 [/ латСкс], поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4.

Π¨Π°Π³ 3. [latex] B = \ frac {\ pi} {8} [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] P = \ frac {\ pi} {| B |} = \ frac {\ pi} {\ frac {\ pi} {8}} = 8 [/ latex].

Π¨Π°Π³ 4. [latex] C = \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому сдвиг Ρ„Π°Π·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi } {2}} {\ frac {\ pi} {8}} = 4 [/ латСкс].

Π¨Π°Π³ 5. РисуСм [латСкс] f (x) = 4 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {8} xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) βˆ’2 [/ latex ].

Π¨Π°Π³ 6-7. Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, β€” это (6,2), (8, βˆ’2) ΠΈ (10, βˆ’6).ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΠΈ котангСнса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ [латСкс] f (x) = 4 \ cot \ left (\ frac {\ pi} {8} xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) βˆ’2 [/латСкс].

Π¨Π°Π³ 8. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты [латСкс] Ρ… = 4 [/ латСкс] ΠΈ [латСкс] Ρ… = 12 [/ латСкс].

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рисункС 18.

Рисунок 18. Один ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ уравнСния

Ѐункция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ со смСщСниСм, сТатиСм ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растяТСниСм [латСкс] y = A \ tan (Bx-C) + D [/ латСкс]
Ѐункция сдвига, сТатия ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растяТСния сСкущСй [латСкс] y = A \ sec (Bx-C) + D [/ латСкс]
Π‘Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ, сТатый ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растянутый косСканс [латСкс] y = A \ csc (Bx-C) + D [/ латСкс]
Ѐункция котангСнса со смСщСниСм, сТатиСм ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растяТСниСм [латСкс] y = A \ cot (Bx-C) + D [/ латСкс]

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ понятия

  • ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ο€.
  • [латСкс] f (x) = A \ tan (Bx-C) + D [/ latex] прСдставляСт собой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ с Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ растяТСниСм / сТатиСм ΠΈ сдвигом.
  • БСканс ΠΈ косСканс β€” пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€. [latex] f (x) = A \ sec (Bx-C) + D [/ latex] Π΄Π°Π΅Ρ‚ смСщСнный, сТатый ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растянутый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй.
  • [латСкс] f (x) = A \ csc (Bx-C) + D [/ latex] Π΄Π°Π΅Ρ‚ смСщСнный, сТатый ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растянутый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса.
  • Ѐункция котангСнса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ο€ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 0, Β± Ο€, Β± 2Ο€,….
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ котангСнса Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, ∞), ΠΈ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ своСго Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π°.
  • ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² [latex] \ pm \ frac {\ pi} {2} \ text {,} \ pm \ frac {3 \ pi} {2} [/ latex],….
  • [латСкс] f (x) = A \ cot (Bx-C) + D [/ latex] β€” котангСнс с Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ растяТСниСм / сТатиСм ΠΈ сдвигом.
  • Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ сцСнарии ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ с использованиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 4.6 Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΠΈΠ΅ упраТнСния

1.ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [latex] y = \ csc x [/ latex].

2. Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ cos x [/ latex] для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [latex] y = \ sec x [/ latex]?

3. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [latex] \ tan x [/ latex] Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€.

4. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ [latex] y = \ csc x [/ latex] Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠ²?

5. Как ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [latex] y = \ csc x [/ latex] сравниваСтся с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ [latex] y = \ sin x [/ latex]?

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

6. [латСкс] f (x) = \ tan x [/ латСкс]

7. [латСкс] f (x) = \ sec x [/ латСкс]

8. [латСкс] f (x) = \ csc x [/ латСкс]

9. [латСкс] f (x) = \ cot x [/ латСкс]

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

10. [латСкс] f (x) = 2 \ tan (4x βˆ’ 32) [/ латСкс]

11. [латСкс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} (x + 1) \ right) [/ latex]

12. [латСкс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

13.Если tan x = βˆ’1,5, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ tan (βˆ’x).

14. Если sec x = 2, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ sec (βˆ’x).

15. Если csc x = βˆ’5, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ csc (βˆ’x).

16. Если [латСкс] x \ sin x = 2 [/ latex], Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] (- x) \ sin (βˆ’x) [/ latex].

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ x Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

17. [латСкс] \ cot (βˆ’x) \ cos (βˆ’x) + \ sin (βˆ’x) [/ latex]

18. [латСкс] \ cos (βˆ’x) + \ tan (βˆ’x) \ sin (βˆ’x) [/ латСкс]

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ асимптоты.

19. [латСкс] f (x) = 2 \ tan (4x βˆ’ 32) [/ латСкс]

20. [латСкс] h (x) = 2 \ sec \ left (\ frac {\ pi} {4} \ left (x + 1 \ right) \ right) [/ latex]

21. [латСкс] m (x) = 6 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {3} x + \ pi \ right) [/ latex]

22. [латСкс] j (x) = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} x \ right) [/ latex]

23. [латСкс] p (x) = \ tan \ left (xβˆ’ \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

24. [латСкс] f (x) = 4 \ tan (x) [/ латСкс]

25. [латСкс] f (x) = \ tan \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

26.[латСкс] f (x) = \ pi \ tan \ left (\ pi xβˆ’ \ pi \ right) β€” \ pi [/ latex]

27. [латСкс] f (x) = 2 \ csc (x) [/ латСкс]

28. [латСкс] f (x) = β€” \ frac {1} {4} \ csc (x) [/ latex]

29. [латСкс] f (x) = 4 \ сСк (3x) [/ латСкс]

30. [латСкс] f (x) = β€” 3 \ cot (2x) [/ латСкс]

31. [латСкс] f (x) = 7 \ сСк (5x) [/ латСкс]

32. [латСкс] f (x) = \ frac {9} {10} \ csc (\ pi x) [/ latex]

33. [латСкс] f (x) = 2 \ csc \ left (x + \ frac {\ pi} {4} \ right) βˆ’1 [/ latex]

34. {2} (x) [/ latex].{2} Ρ… [/ латСкс]

54. Ѐункция [latex] f (x) = 20 \ tan \ left (\ frac {\ pi} {10} x \ right) [/ latex] ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ расстояниС ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΎΡ‚ полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹. ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊ стСны Π·Π° врСмя x Π² сСкундах ΠΈ расстояниС [латСкс] f (x) [/ латСкс] Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ….

Π°. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,5].
Π³. НайдитС ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ асимптоту.
Π³. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ f (1) ΠΈ f (2.5) ΠΈ обсудитС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этих Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π°Ρ….

55. Бтоя Π½Π° Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Ρƒ ΠΎΠ·Π΅Ρ€Π°, Ρ€Ρ‹Π±Π°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚ Π²Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ слСва ΠΎΡ‚ сСбя.ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x , ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ взгляда Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»ΡŒ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° сСвСр ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ мСстополоТСния. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСвСр Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, ΠΈ x ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ слСва ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ справа. (Π‘ΠΌ. Рис. 19.) Π›ΠΎΠ΄ΠΊΠ° двиТСтся с Π·Π°ΠΏΠ°Π΄Π° Π½Π° восток, ΠΈ, игнорируя ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, расстояниС [латСкс] d (x) [/ латСкс] Π² ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Ρ€Ρ‹Π±Π°ΠΊΠ° Π΄ΠΎ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ функция [латСкс] d (x) = 1,5 \ сСк (x) [/ latex].

Π°. Каков Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ для [latex] d (x) [/ latex]?
Π³.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ d (x) Π² этой области.
Π³. НайдитС ΠΈ обсудитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… асимптот Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ [latex] d (x) [/ latex].
Π³. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ [латСкс] d (- \ frac {\ pi} {3}) [/ latex]. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного Π·Π½Π°ΠΊΠ°.
e. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ [латСкс] d (\ frac {\ pi} {6}) [/ latex]. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного Π·Π½Π°ΠΊΠ°.
Ρ„. КакоС минимальноС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Ρ‹Π±Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΎΠΉ? Когда это происходит?

Π€ΠΈΠ³.19

56. Π›Π°Π·Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ зафиксирован Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΊ Π—Π΅ΠΌΠ»Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Π΅.РасстояниС [latex] g (x) [/ latex] Π² ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ послС x Π΄Π½Π΅ΠΉ, для x Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 30 Π΄Π½Π΅ΠΉ, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ [latex] g (x) = 250 000 \ csc \ left (\ frac {\ pi} {30} x \ right) [/ latex].

Π°. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] g (x) [/ latex] Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,35].
Π³. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ [latex] g (5) [/ latex] ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. \ prime} = {1 \ cdot \ sin x + x \ cdot \ cos x + \ left ({- \ sin x} \ right)} = {\ cancel {\ sin x} + x \ cos x β€” \ cancel { \ sin Ρ…}} = {Ρ… \ соз Ρ….} \]

Ѐункция касания | Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ | Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ | ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ


21 дСкабря 2020

ВрСмя чтСния: 5 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° β€” это динамичСский ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ события, происходящиС Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ матСматичСскиС способности ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ критичСскоС ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.

Одна особая ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ матСматичСских ΠΈ гСомСтричСских рассуТдСний β€” тригономСтрия, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ свойства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ β€” это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, Π½ΠΎ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ВригономСтрия происходит ΠΎΡ‚ грСчСского Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎ Β«Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΒ» + ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ Β«ΠΌΠ΅Ρ€Π°Β».

ВригономСтрия опрСдСляСт ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ сторон ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².

ВригономСтрия Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ расстояния. ВсС Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ….

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция β€” PDF

Если Π²Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·, сколько Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅, Π²ΠΎΡ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ PDF-Ρ„Π°ΠΉΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС.

πŸ“₯ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция: ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½, свойства ΠΈ прилоТСния β€” PDF

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅,


Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция?

ΠœΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороны ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ сосСднСй стороны.

Π–Π΅Π»Ρ‚ΠΎ-коричнСвая полная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°: Полная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° β€” ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция обозначаСтся tan (x). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ распространСнных тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ всСгда ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ связана с синусом ΠΈ косинусом.
ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ тангСнса ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ:
Π–Π΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ = Напротив / БосСдний = CB / BA
ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… синуса ΠΈ cos Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно ΠΊΠ°ΠΊ:
тангСнс Ρ… = Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρ… / соз Ρ…
ΠΈΠ»ΠΈ, tan theta = sin theta / cos theta, Π³Π΄Π΅ theta β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ»

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороны, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ косинус ΡƒΠ³Π»Π° β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ смСТной стороны ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ стороны Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ sin x = противополоТная сторона / сторона Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹
cos x = смСТная сторона / сторона Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, tan x = противополоТная сторона / смСТная сторона

Какова тангСнс 30 Β°?

РСшСниС: Π’ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° 30 Β° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 2, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1 ΠΈ смСТной стороной √3:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (30 Β°) = 1/1.732 = 0,577


Какова ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ 35 Β°?

РСшСниС: Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 35 Β° противополоТная сторона ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ 2,8 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ сторону 4:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ = тангСнс (35 Β°) = 2,8 / 4,0 = 0,70

Какова тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° 45 Β°?

РСшСниС: Π’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ 45 Β° Π΅ΡΡ‚ΡŒ противополоТная сторона Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1 ΠΈ смСТная сторона 1:

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (45 Β°) = 1/1 = 1


ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π°

Π§Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция косинуса ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Sec ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями; ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция tan нСчСтная.

f (-x) = f (x) …………………. ЧСтная функция
f (-x) = -f (x) ………………… НСчСтная функция

Π³Ρ€Π΅Ρ… (-x) = -sin x
cos (-x) = cos x
tan (-x) = β€” tan x
дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (-x) = -cot x
csc (-x) = -csc x
сСк (-x) = сСк x

ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… функция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° являСтся Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

НахоТдСниС всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,2Ο€], Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‡Ρ‚ΠΎ tan⁑ (x) Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ,
НачнСм с использования опрСдСлСния ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ
. tan (x) = sin (x) / cos (x)

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, поэтому ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

cos (x) = 0
Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ области Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ x = Ο€ / 2 ΠΈ x = 3Ο€ / 2 Π² соотвСтствии с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ арккосинуса.


Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π°

ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° рассчитываСтся ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ этой ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° тангСнса.
Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
Π·Π°Π³Π°Ρ€ (52 Β°) = 8,2 / 6,5 = 1,8. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… тригономСтричСских Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.


Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tan β€” это графичСскоС прСдставлСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ tan x.

Π­Ρ‚ΠΎ пСриодичСский Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, тригономСтричСскиС значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вычислСны ΠΏΠΎ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: sin / cos = tan

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эту Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… cos x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan x Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π°, стрСмящимся ΠΊ бСсконСчности, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 90 градусов ΠΈΠ»ΠΈ 3pi / 2.


Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ свойства

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция: tan (x)


ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ВсС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (R), ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ pi / 2 + k pi, k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. R- {pi / 2 + kpi} k находится Π² Z

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ВсС вСщСствСнныС числа

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

ΠΏΠΈ

x-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ

x = k pi, мСсто k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Ρƒ-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠ²

Π³ = 0

БиммСтрия

, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ tan (-x) = β€” tan (x), Ρ‚ΠΎ tan (x) β€” нСчСтная функция, Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tanx симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ увСличСния / ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π—Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ с -pi / 2 Π΄ΠΎ pi / 2 tan (x) увСличиваСтся.

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты

x = pi / 2 + k pi, Π³Π΄Π΅ k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты для ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°.


Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π΄Π°Ρ‚ΡŒ.Ѐункция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ автоматичСски измСняСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности Π΄ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ

МоТно Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ Π² повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ?

ВригономСтрия Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ прямого примСнСния Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ‰Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ нравятся.

Π—Π²ΡƒΠΊ распространяСтся Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π²ΠΎΠ»Π½, ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π΅Ρ†, хотя ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ рСгулярный, ΠΊΠ°ΠΊ функция синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠΈ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΡƒ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹, поэтому ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Ρ‹ матСматичСски ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π΅ Π·Π²ΡƒΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ»Π½.

Π£ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ области Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ тригономСтричСскиС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ.

  • Астрономия,
  • Навигация,
  • ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΊΠ°,
  • Акустика (Π½Π°ΡƒΠΊΠ° ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ мСханичСских Π²ΠΎΠ»Π½ Π² Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π»Π°Ρ…, Тидкостях ΠΈ Π³Π°Π·Π°Ρ…, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС Π·Π²ΡƒΠΊ, ΠΈΠ½Ρ„Ρ€Π°Π·Π²ΡƒΠΊ, ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Ρ€Π°Π·Π²ΡƒΠΊ ΠΈ вибрация),
  • Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°,
  • Бтатистика,
  • ВСория чисСл,
  • Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΡ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°,
  • ΠœΠ°ΡˆΠΈΠ½ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅,
  • ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°,
  • Π Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° ΠΈΠ³Ρ€,
  • ГраТданскоС ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ,
  • ΠœΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½ΡΠΊΠ°Ρ визуализация,
  • АптСка,
  • ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ (созданиС ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚),
  • БСйсмология (Π½Π°ΡƒΠΊΠ° ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ зСмлСтрясСний),
  • ΠšΡ€ΠΈΡΡ‚Π°Π»Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ (Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ располоТСния Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² Π² кристалличСском Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π΅).

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

ВригономСтрия ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, начиная ΠΎΡ‚ спСциализированных областСй, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ окСанография, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для расчСта высоты ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²ΠΎΠ² Π² ΠΎΠΊΠ΅Π°Π½Π°Ρ…, ΠΈ исчислСния, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² сочСтании с Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ, Π΄ΠΎ Π·Π°Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΎΡ€Π° нашСго Π΄ΠΎΠΌΠ°, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ°. , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΡƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Π² случаС ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ½Π³Π°Π»ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ высоту ΠΊΡ€Ρ‹ΡˆΠΈ Π² зданиях ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Ѐункция тангСнса Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстна ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс x, тангСнс Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, которая Π² основном являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.Tanx β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ сосСднСго.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅,


О компании Cuemath

Cuemath, удобная для учащихся ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ кодирования, ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ рСгулярныС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-классы для ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ развития Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ², Π° ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Mental Math для iOS ΠΈ Android прСдставляСт собой ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ нСсколько Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ².

ΠžΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ со структурой ΠΎΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ‹ для всСх классов ΠΈ Π·Π°Π±Ρ€ΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ занятиС сСгодня!


Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы (FAQ)

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€-Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π³Π°Ρ€-функция?

тангСнс Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ сосСднСго.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ tan 0?

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° 0 градусов Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 30?

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 30 градусов составляСт 1 / √3

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 45?

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° 45 градусов составляСт 1

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 60?

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 60 градусов составляСт √3

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 90?

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π³Π°Ρ€Π° 90 градусов Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ?

ВсС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (R), ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ pi / 2 + k pi, k β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.R- {pi / 2 + kpi} k находится Π² Z

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса

Π”ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса Omni , Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π΅Π΅ свойства. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, срСди всСх тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ самая извСстная ΠΈ Π½Π΅ самая ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Π²Ρ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΡƒ x (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΡƒ (x) ) Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, поэтому Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ , ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ котангСнс . К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Omni, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ это, вмСстС с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ котангСнса.

Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ это Π·Π° ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ? Ну, Π° ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ?

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x ? ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнса

Π’ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (хотя ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² этом), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π΅ΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, , ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π»ΠΈ, с Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ . НапримСр, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π» свою Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, ΠΎΠ½, вСроятно, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π» ΠΏΡ€ΠΎ сСбя: Β« Π‘ΡŒΡŽΡΡŒ ΠΎΠ± Π·Π°ΠΊΠ»Π°Π΄, это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡˆΠ°Ρ‚ΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ всС ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ. Β«Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, это ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ .

Π”Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Π·Π°Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π² Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΌ случаС ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ всС ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ поняли: ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ . Оказалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ извСстной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ aΒ² + bΒ² = cΒ² , Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… стороны ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ соСдинСны . Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅) увСличиваСтся, Ρ‚ΠΎ противополоТная сторона Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.Π­Ρ‚Π° концСпция, ΠΏΠΎ сути, являСтся ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. НиТС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΡ… всС, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ котангСнс? Богласно рисунку Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ: Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ сторону рядом с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ . Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сила этого опрСдСлСния (ΠΈ, ΠΏΠΎ сути, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… пяти) Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ смыслС Π΄Π»ΠΈΠ½Π° сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния .Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли ΠΌΡ‹ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ большСго ΠΈΠ»ΠΈ мСньшСго Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½ΠΎ сохраняСм ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (Π° вмСстС с Π½ΠΈΠΌΠΈ, функция котангСнса ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅) Π½Π΅ измСнится .

ΠŸΡ€ΠΈ всСх ΠΈΡ… ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сторонах ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ cot , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΠ»Π°Π±ΠΎΡΡ‚ΡŒ: ΠΎΠ½ΠΎ допускаСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90 градусов (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€ / 2 Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…). Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², это ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.К ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ для нас, Π΅ΡΡ‚ΡŒ способ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π½Π°ΡˆΡƒ Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ cot trig) Π½Π° любой ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π£Π»ΠΎΠ²ΠΊΠ° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ всС рассуТдСния Π² Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎ пространство, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ .

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ A = (x, y) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° плоскости, ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ (0,0) ΠΈ A. .(ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ξ± ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Из-Π·Π° этого ΠΌΡ‹ часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ξ± Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ .)

Π‘Π°ΠΌΠΎ собой разумССтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС 90 градусов. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ значСния большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ 360 -градусный ΡƒΠ³ΠΎΠ» . Для этого ΠΌΡ‹ просто рассматриваСм 360 ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (0,0) , ΠΈ с этого значСния ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ Ξ± , , Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ , просто двигаясь Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° Π² этом Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ языкС? Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ опрСдСлСниях тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ замСняСм Π½Π° y , b Π½Π° x ΠΈ c Π½Π° √ (xΒ² + yΒ²) (расстояниС ΠΎΡ‚ (0,0) Π½Π° A , Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅).Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ котангСнса :

ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (Ξ±) = x / y .

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ вопросы, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° 0 ? Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ноль, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π»ΠΈ?

Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ вопросы . ΠœΡ‹ установили ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всС Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ (Π΄Π°, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π»ΠΈ?), Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎ врСмя для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ шага: Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ .А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°ΠΌ нравятся красивыС ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с рисования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° котангСнса .

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΊΠ° для ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π₯ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π΅Ρ‚, Π½ΠΎ сходство Π² Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠΈ нСслучайно. ΠšΡ‚ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ вспомнитС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ воспроизвСсти Β« ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ Β» с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ котангСнса Π½ΠΈΠΆΠ΅. (ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π² нашСм ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ котангСнса.)

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… свойств Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cot trig ΠΈΠ· этого ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ простого изобраТСния. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ всС Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ мСстС, ΠΌΡ‹ пСрСчислили ΠΈΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ.

  • Ѐункция котангСнса допускаСт всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΎΡˆΠ΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ (скаТСм, -10 000 000 ΠΈΠ»ΠΈ -10-, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ), Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ довольно большим (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° стСны Π’Ρ€Π°ΠΌΠΏΠ°). .
  • ДСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ нСчСтная. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° x ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ -x . Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρƒ нас ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) = -cot (-x) .
  • Ѐункция котангСнса являСтся пСриодичСской с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 360 градусов. Π­Ρ‚Π° характСристика ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 360 градусов. Π’ матСматичСских обозначСниях этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) = ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x + 360 Β°) .
  • Подобно ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈ, фактичСски, сСкансу ΠΈ косСкансу), функция котангСнса сущСствуСт Π½Π΅ всСгда. Для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² x Π²ΠΈΠ΄Π° x = k Β· 180 Β° , Π³Π΄Π΅ k Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, cot x Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ. На ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ котангСнса ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… кривая ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π° плюс / минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ возьмСм ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько слов ΠΊ послСднСму ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Π’ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… мСстах Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, cot 0 Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°) являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ опрСдСлСния cot. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ², согласно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ котангСнса, которая Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»Π°, ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.Как ΠΌΡ‹ всС Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρƒ нас Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нуля Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ . ИмСнно это происходит с ΠΊΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = k Β· 180 Β° . НапримСр, для k = 0 Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° 0 , ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊ бСспокоились.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ котангСнса Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ x = k Β· 180 Β° с k Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом. Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΡ€Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

D (дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°) = {x: x β‰  k Β· 180 Β°, k ∈ β„€} ,

, Π³Π΄Π΅ D (дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°) ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ Π² матСматичСской записи.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, двиТСмся ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ! По ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΡŽ, Π½Π°ΠΌ здСсь Π½Π΅ почасово платят, Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ приятно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, сколько Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€. И это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†! ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ котангСнс, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ? Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° подсказываСт ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π»ΠΈ?

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ котангСнса? ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ дСтских ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎΠΊ

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊ , Π³Π΄Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. .Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π²Ρ‹ ΠΈΡ‰Π΅Ρ‚Π΅ идСнтичности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ способы выраТСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ вас ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ упомянСм Π΄Π²Π΅ извСстныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ: Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов.

Однако Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅, , Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрим Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ , которая являСтся нашСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ фокусировки.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tan x ΠΈ cot x связаны Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΡ…ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠΉ.Напомним ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… тангСнса ΠΈ котангСнса использовались ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°: Π΄Π²Π° ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°. ЕдинствСнная Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΡ… ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ нашСй ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ :

. ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) = (tan (x)) ⁻¹ .

Или, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ,

ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) = 1 / tan (x) .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это функция, обратная ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° arctan, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, допускаСмоС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ tan, ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΅ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cot x β€” это обратная (Π½Π΅ обратная функция, Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅!) tan x .

Но ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ! Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° полСзная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ , ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ. Он связываСт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ котангСнса с двумя Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ тригономСтричСскими ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°ΠΌΠΈ: синусом ΠΈ косинусом.

У нас:

ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) = cos (x) / sin (x) .

На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΡƒΡŽ, Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ .Если это Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π² свСтС ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ котангСнса это Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ удивлСния.

ВмСстС с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° Ρƒ нас Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° вопрос Β« Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ котангСнс? Β». ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, этого Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ числа.

А ΠΌΡ‹?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: использованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° котангСнса

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ³ΠΎ знакомства с ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ваш ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, сколько ΠΈΠ· сказанного ΠΈΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² вашСм ΠΌΠΎΠ·Π³Ρƒ .Они объявили ΠΎΠ± испытании ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ появятся ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ Π½Π° этой Π½Π΅Π΄Π΅Π»Π΅.

ОбъСм ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° для изучСния Π½Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠΊ, ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ Π΄Π½Π΅ΠΉ, Π½ΠΎ , Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, , Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΡƒ сСгодня. Π’Ρ‹ Π½Π°Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ порядок Π½Π° своСм столС ΠΈ для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния всСх тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ: 30 Β° , 45 Β° , 60 Β° ΠΈ 75 Β° .Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ нас большС всСго интСрСсуСт , ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ котангСнс этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² .

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, насколько проста Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° с ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ Omni . Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ: ΡƒΠ³ΠΎΠ» . ΠœΡ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ числа ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса выдаст ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ . ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ хотя ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса стрСмится ΠΊ точности, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ количСство Π·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‰ΠΈΡ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€, Ссли ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… вычислСниях.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для 30 Β° ΠΈ 60 Β° , ΠΎΠ½ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΈΡ… ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСкунду.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΡ€Π° Π½Π° врСмя ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΌΡ‹ сами вычислим значСния , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнса ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°. (ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».)

Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с , нарисовав ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. НачнСм с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ: 30 Β° .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ особый Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ x , Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2x . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наша Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60 Β° , поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для этого случая .

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” это , ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠΆΠΊΠΈ рядом с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ​​другой . Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π² этом случаС котангСнс? Π£ нас:

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (30 Β°) = x√3 / x = √3 ,

ΠΈ:

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (60 Β°) = x / x√3 = 1 / √3 = √3 / 3 .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ 45 Β° .

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‡Π°ΡΡ‚Π»ΠΈΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. На этот Ρ€Π°Π· это ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° фактичСски прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°.

ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ:

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (45 Β°) = x / x = 1 .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ с послСдним ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Какой котангСнс Ρƒ 75 Β° ?

Ну, ΠΊΠ°ΠΊ оказалось, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ прост . Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π΅Ρ‚ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, сначала вычислив tan (75 Β°) . Однако для этого Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΎΡ‚ нас Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ cos (150 Β°) .Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ счСтС, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΈ слоТна, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 150 Β° = 180 Β° - 30 Β° , Π° 30 Β° ΠΈ 180 Β° β€” это довольно простыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ .

Π£Ρ€ΠΎΠΊ здСсь Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ вычислСниС тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” это Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³ΡƒΠ»ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΏΠ°Ρ€ΠΊΡƒ. ЀактичСски, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ внСшниС инструмСнты для этого , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ котангСнса Omni.

Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, эти нСсколько простых вычислСний, бСзусловно, Π±Ρ‹Π»ΠΈ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ прСдстоящСму тСсту .Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ свою послСднюю ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΠ³Π»ΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° всС воспоминания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ подСлились с Omni Calculator, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π½Π° этом ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ нас ΠΊΠΈΠ²ΠΊΠΎΠΌ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ . ΠŸΠ»ΠΎΡ…ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π° ΠΆΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡ‚ этого. πŸ˜€

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ Сдиничная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ использовали Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для опрСдСлСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°ΠΌ понадобится Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ большСС, Ρ‡Π΅ΠΌ острыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹.НСкоторыС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹ΠΌΠΈ, ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ синус ΠΈ косинус Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Пока ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… 180 Β°, ΠΈ для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹.

ДрСвнСгрСчСскиС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ считали ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 Β° ΠΈ 180 Β°, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ считали Π½ΠΈ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» 180 Β°, Π½ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 0 Β° ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. Π­Ρ‚ΠΈ особыС случаи ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 180 Β° Π΄ΠΎ 360 Β°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Β«ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ отраТСния».Β«Π‘ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ исчислСния ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ 360 Β°, ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ стали ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ.

Рассмотрим Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ (0,0) ΠΊΠ°ΠΊ O, ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1,0) Π½Π° Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ A. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ двиТущаяся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B двиТСтся ΠΏΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, начиная с A ΠΈ двигаясь ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 0 Β° ΠΈ увСличиваСтся. Когда B ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ окруТности ΠΈ вСрнСтся ΠΊ A, , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 360 Β°.ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 0 Β°, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π°. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ B ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 360 Β° Π΄ΠΎ 720 Β°. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, Π½ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ названия. НапримСр, прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ» обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ 90 Β° ΠΈΠ»ΠΈ 450 Β°. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, обойдя ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 90 Β°, 450 Β°, 810 Β° ΠΈ 1170 Β° β€” это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Если B начинаСтся Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A ΠΈ двиТСтся ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, названия Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… градусах для Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².НапримСр, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ имя –90 Β°. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 270 Β°.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, любой ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°Π·Π²Π°Π½ бСсконСчным мноТСством ΠΈΠΌΠ΅Π½, Π½ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Π½Π° 360 Β°.

Бинусы ΠΈ косинусы ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… синусы ΠΈ косинусы. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» располоТСн Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности O = (0,0), ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ пСрвая сторона ΡƒΠ³Π»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ располоТСна вдоль оси x .ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ вторая сторона ΡƒΠ³Π»Π° пСрСсСкаСт Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»Ρƒ AOB , Π³Π΄Π΅ A Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (1,0). ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ B , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ синус ΡƒΠ³Π»Π°. Π’ частности, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B являСтся косинусом ΡƒΠ³Π»Π°, Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B являСтся синусом ΡƒΠ³Π»Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ опрСдСлСния синуса ΠΈ косинуса, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
Бвойства синусов ΠΈ косинусов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠ· этого опрСдСлСния
Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько свойств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ вывСсти ΠΈΠ· этого опрСдСлСния. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ тоТдСства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ для острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
  1. Бинус ΠΈ косинус ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими функциями ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° 360 Β°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° 2 Ο€ . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синусы ΠΈ косинусы ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ 360 Β° ΠΈΠ»ΠΈ 2 Ο€ , ΠΈ это Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ».Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для любого ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ , sin ( ΞΈ + 360 Β°) = sin ΞΈ, ΠΈ

    cos ( ΞΈ + 360 Β°) = cos ΞΈ.

    МногиС ΠΈΠ· соврСмСнных ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· использования Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² исчислСнии, особСнно Ρ‚Π΅ прилоТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π΄Π΅Π»ΠΎ нСпосрСдствСнно с тригономСтричСскими функциями. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π΅ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… послСдняя ΠΏΠ°Ρ€Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ читаСтся ΠΊΠ°ΠΊ

    sin ( ΞΈ + 2 Ο€ ) = sin ΞΈ, ΠΈ

    cos ( ΞΈ + 2 Ο€ ) = cos ΞΈ.

  2. Бинус ΠΈ косинус Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°: cos ΞΈ = sin ( Ο€ /2 β€” ΞΈ )

    sin ΞΈ = cos ( Ο€ /2 β€” ΞΈ )

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ это Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ это для любого ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию y = x, , ΡƒΠ³ΠΎΠ» мСняСтся Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

  3. ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡΠΊΠΎΠ΅ тоТдСство синусов ΠΈ косинусов слСдуСт нСпосрСдствСнно ΠΈΠ· опрСдСлСния.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ x 2 + y 2 = 1. Но ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ β€” это косинус ΠΈ синус, поэтому Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ sin 2 ΞΈ + cos 2 ΞΈ = 1.

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ синус ΠΈ косинус ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  4. Бинус β€” нСчСтная функция, Π° косинус β€” чСтная функция.Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ Π½Π΅ встрСчали этих ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Β«Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉΒ» ΠΈ Β«Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉΒ» ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ функциям, Π½ΠΎ ΠΈΡ… Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. Ѐункция f считаСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ , Ссли для любого числа x, f (- x ) = β€” f ( x ). Ѐункция f называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ , Ссли для любого числа x, f (- x ) = f ( x ). Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, f ( x ) = x 5 + 8 x 3 β€” 2 x. (ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС стСпСни x ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.) Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ любой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ с Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. НапримСр, f ( x ) = x 4 β€” 3 x 2 β€” 5. (ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 5 Ρ€Π°Π²Π½Π° 5 x 0 , Π° 0 β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.)

    Бинус β€” нСчСтная функция, Π° косинус β€” чСтная

    sin (- ΞΈ ) = –sin ΞΈ, ΠΈ

    cos (- ΞΈ ) = cos ΞΈ.

    Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· симмСтрии Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x . Π£Π³ΠΎΠ» β€” t β€” Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ t , Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ находится с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны оси x . ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ( x, y ) Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону оси x прСвращаСтся Π² ( x, –y ), поэтому ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y инвСртируСтся, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ синус инвСртируСтся. , Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x ΠΎΡΡ‚Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ косинус Π½Π΅ измСнился.

  5. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ свойством синусов ΠΈ косинусов являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… значСния Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ –1 Π΄ΠΎ 1. КаТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности находится Π½Π° расстоянии 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, поэтому ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ находятся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… 1 ΠΎΡ‚ 0.
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса
Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ возьмСм t ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎ t ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ± ΡƒΠ³Π»Π΅ ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Для людСй Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ способ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ β€” это ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.НачнСм с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° sin t. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось Π·Π° ось t (Π° Π½Π΅ Π·Π° ось x , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ), Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось Π·Π° ось y ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = sin t . ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° это.

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ пСриодичСский с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2 Ο€ . Π‘ гСомСтричСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΈ сдвинСтС Π΅Π΅ 2 Ο€ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, кривая вСрнСтся Π² исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ находится Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ оси t . Мало Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ являСтся ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ увСличиваСтся ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ. НапримСр, sin t увСличиваСтся с 0 Π΄ΠΎ Ο€ /2, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B увСличиваСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB увСличиваСтся с 0 Π΄ΠΎ Ο€ /2.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось Π·Π° ось t , Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось Π·Π° ось x ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x = cos t.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ sin t , Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ο€ /2. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° тоТдСства cos t = sin ( Ο€ /2 + t ). Π₯отя ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅ Π½Π΅ ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ с этим тоТдСством, ΠΎΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Ρ…: cos t = cos β€” t = sin ( Ο€ /2 β€” (- t )) = sin ( Ο€ /2 + Ρ‚ ).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тангСнса ΠΈ котангСнса
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ /2. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ приблиТаСтся ΠΊ бСсконСчности, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° t приблиТаСтся ΠΊ Ο€ /2. (На самом Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΠ½Π° приблиТаСтся ΠΊ минус бСсконСчности, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ t приблиТаСтся ΠΊ Ο€ /2 справа, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тангСнс ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ο€ ; Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† слСва ΠΈ справа.АлгСбраичСски эта ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ выраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ tan ( t + Ο€ ) = tan t.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ котангСнса ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ.

Π­Ρ‚ΠΎ сходство просто ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ котангСнс t являСтся тангСнсом Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ο€ β€” t.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ сСканса ΠΈ косСканса
БСканс β€” это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная косинусу, Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ косинус ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ значСния ΠΎΡ‚ –1 Π΄ΠΎ 1, сСканс ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ значСния Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ 1 ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ –1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ сСканс ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2 Ο€ .

Как ΠΈ слСдовало ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сСканса.

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ полоТСния

Ѐункция котангСнса, Π² соврСмСнной систСмС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ cot (x), являСтся тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° Π² контСкстС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, котангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ο† опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ смСТной стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, содСрТащСго Ο†, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторонС (см. Рисунок):

\ tan (\ varphi) = \ frac {\ textrm { смСТная сторона}} {\ textrm {противополоТная сторона}}

К соТалСнию, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90 Β°. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ этот Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ (радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1). Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° соотвСтствуСт ΠΏΠ°Ρ€Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ содСрТится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сСгмСнтом ΠΊ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС Π½ΠΈΠΆΠ΅.ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнса прСдставлСно Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сСгмСнта ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси. Π£Π³ΠΎΠ» Ο† считаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ большС 90 Β°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ соблюдСнии ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса основаны Π½Π° гСомСтричСской конструкции (ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³) ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ являСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. 2 x}

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса (x Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…) опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

\ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = ln | \ sin x | + Π‘

6.2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” Precalculus

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹:

  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = tan x.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = tan x.
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ y = sec x ΠΈ y = csc x.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = sec x ΠΈ y = csc x.
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cot x.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = cot x.

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция тангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для опрСдСлСния расстояний, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, высоты здания, Π³ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π»Π°Π³ΡˆΡ‚ΠΎΠΊΠ°.Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ расстояния? ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ†Π΅ΠΉΡΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΏΠ°Ρ€ΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ рядом со складом. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ свСт ΠΎΡ‚ полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ пСрСсСкал стСну склада. Если Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ врСмя, Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расстояниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΡƒΡ‡ свСта. Π›ΡƒΡ‡ свСта Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ расстояниС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Для аппроксимации этого расстояния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Асимптоты ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΡƒΡ‡ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ стСнС, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, казалось Π±Ρ‹, Π»ΡƒΡ‡ свСта ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Π΅Ρ‡Π½ΠΎ.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ясно ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ исслСдуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = tan x

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, вычСрчивая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

tanx = sinxcosxtanx = sinxcosx

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ππ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ повторяСтся Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ… kΟ€kΟ€, Π³Π΄Π΅ kk β€” постоянная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°.Если ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° βˆ’Ο€2 βˆ’ Ο€2 ΠΊ Ο€2, Ο€2, ΠΌΡ‹ смоТСм ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π΅. Если ΠΌΡ‹ посмотрим Π½Π° любой больший ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π», ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ характСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ тангСнс Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса.

tan (βˆ’x) = sin (βˆ’x) cos (βˆ’x) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. = βˆ’sinxcosx Бинус β€” нСчСтная функция, косинус β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ. = βˆ’sinxcosx ЧастноС Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.= βˆ’tanx ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Tan (βˆ’x) = sin (βˆ’x) cos (βˆ’x) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. = βˆ’sinxcosx Бинус β€” нСчСтная функция, косинус β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ. = βˆ’sinxcosx ЧастноС Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ. = βˆ’tanx ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, тангСнс β€” нСчСтная функция. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ графичСскоС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, посмотрСв Π½Π° значСния Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², пСрСчислСнных Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.

xx βˆ’Ο€2 βˆ’ Ο€2 βˆ’Ο€3 βˆ’ Ο€3 βˆ’Ο€4 βˆ’ Ο€4 βˆ’Ο€6 βˆ’ Ο€6 0 Ο€6Ο€6 Ο€4Ο€4 Ο€3Ο€3 Ο€2Ο€2
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ (x) ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ (x) Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ βˆ’3βˆ’3 –1 βˆ’33βˆ’33 0 3333 1 33 Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наш Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½.Если ΠΌΡ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ рассмотрим значСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ο€3

Ρ… 1,3 1,5 1,55 1,56
танкстанс 3,6 14,1 48,1 92.6

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2

По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния xx ΠΊ Ο€2, Ο€2 Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ становятся всС большС ΠΈ большС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ y = tanxy = tanx β€” нСчСтная функция, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 3.

xx -1,3 -1,5 -1,55 -1,56
танкстанс βˆ’3,6 βˆ’14,1 βˆ’48,1 βˆ’92,6

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 3

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния xx ΠΊ βˆ’Ο€2, βˆ’Ο€2 Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ становятся всС мСньшС ΠΈ мСньшС.ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния xx, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… cosx = 0.cosx = 0. НапримСр, cos (Ο€2) = 0 cos (Ο€2) = 0 ΠΈ cos (3Ο€2) = 0. cos (3Ο€2) = 0. ΠŸΡ€ΠΈ этих значСниях ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = tanxy = tanx ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€2 ΠΈ 3Ο€2.x = Ο€2 ΠΈ 3Ο€2. ΠŸΡ€ΠΈ этих значСниях Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты. На рисункС 1 прСдставлСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = tanx.y = tanx. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ Ο€2Ο€2 ΠΈ ΠΎΡ‚ ππ Π΄ΠΎ 3Ο€2,3Ο€2, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°ΠΌ I ΠΈ III Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Рисунок 1 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = tan x

Как ΠΈ Π² случаС с функциями синуса ΠΈ косинуса, функция тангСнса ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описана с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ уравнСния.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ растяТСния ΠΈ сТатия, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ значСния AA ΠΈ B.B. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ случаС ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. ВмСсто этого ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°Π·Ρƒ , коэффициСнт растяТСния / сТатия , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΡ‹Π»Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° константу A.А.

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A tan ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ β€” это всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа x, x, Π³Π΄Π΅ x β‰  Ο€2 | B | + Ο€ | B | kx β‰  Ο€2 | B | + Ο€ | B | k Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ kk являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: (βˆ’βˆž, ∞). (- ∞, ∞).
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€2 | B | + Ο€ | B | k, x = Ο€2 | B | + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • y = Atan (Bx) y = Atan (Bx) β€” нСчСтная функция.
ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° растянутой ΠΈΠ»ΠΈ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ свойствах ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ быстро Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой растянутой ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ f (x) = Atan (Bx).f (x) = Атан (Bx). ΠœΡ‹ сосрСдотачиваСмся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ свойство пСриодичности позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ. Наша ограничСнная ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ являСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ (βˆ’P2, P2) (- P2, P2), ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Β± P2 Β± P2, Π³Π΄Π΅ P = Ο€B.P = Ο€B. На (βˆ’Ο€2, Ο€2), (- Ο€2, Ο€2) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‹ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = βˆ’Ο€2, x = βˆ’Ο€2, пСрСсСчСт Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ асимптотС. ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€2.x = Ο€2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊ асимптотам с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π½Π°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±, фактичСски ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.НапримСр, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ

f (P4) = Atan (BP4) = Atan (BΟ€4B) = Af (P4) = Atan (BP4) = Atan (BΟ€4B) = A

, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ tan (Ο€4) = 1.tan (Ο€4) = 1.

Как к

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = Atan (Bx), f (x) = Atan (Bx), Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, | A |. | A |.
  2. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  3. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = βˆ’P2x = βˆ’P2 ΠΈ x = P2.x = P2.
  4. Для AB> 0, AB> 0 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ приблиТаСтся ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ асимптотС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ асимптотС ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСниях (ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для AB <0AB <0).
  5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² (P4, A), (P4, A), (0,0), (0,0) ΠΈ (βˆ’P4, βˆ’A), (- P4, βˆ’A) ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сТатой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 0,5tan (Ο€2x) .y = 0,5tan (Ο€2x).

РСшСниС

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ AA ΠΈ B.B.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A = 0,5A = 0,5 ΠΈ B = Ο€2, B = Ο€2, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ коэффициСнт растяТСния / сТатия ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ππ2 = 2, ππ2 = 2, поэтому асимптоты находятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = Β± 1.Ρ… = Β± 1. Π—Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

f (0,5) = 0,5tan (0,5Ο€2) = 0,5tan (Ο€4) = 0,5 f (0,5) = 0,5tan (0,5Ο€2) = 0,5tan (Ο€4) = 0,5

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кривая Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (0,5 , 0,5), (0,5,0,5), (0,0), (0,0) ΠΈ (-0,5, -0,5). (-0,5, -0,5). ЕдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. На рисункС 2 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 2

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 1

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = 3tan (Ο€6x). F (x) = 3tan (Ο€6x).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ смСщСнной ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ растянутой ΠΈΠ»ΠΈ сТатой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ) сдвиг.Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ добавляСм CC ΠΈ DD ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

f (x) = Atan (Bx βˆ’ C) + Df (x) = Atan (Bx βˆ’ C) + D

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ tanxtanx нСсколькими способами:

Π₯арактСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A tan ( Bx β€” C ) + D
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ | B | .Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  CB + Ο€ | B | k, x β‰  CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: (βˆ’βˆž, ∞). (- ∞, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€2 | B | k, x = CB + Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • y = Atan (Bx-C) + Dy = Atan (Bx-C) + D β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это частноС ΠΎΡ‚ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (синуса ΠΈ косинуса соотвСтствСнно).

Как ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ

Учитывая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = Atan (Bx βˆ’ C) + D, y = Atan (Bx βˆ’ C) + D, нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Atan (Bx βˆ’ C) + D.Ρƒ = Атан (Bx βˆ’ C) + D.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A |. | A |.
  3. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ CC ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB.CB.
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° CBCB ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D.D.
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€2 | B | k, x = CB + Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ смСщСнной ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = βˆ’2tan (Ο€x + Ο€) βˆ’1.y = βˆ’2tan (Ο€x + Ο€) βˆ’1.

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Atan (Bx βˆ’ C) + D.y = Atan (Bx βˆ’ C) + D.
  • Π¨Π°Π³ 2. A = βˆ’2, A = βˆ’2, поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A | = 2. | A | = 2.
  • Π¨Π°Π³ 3. B = Ο€, B = Ο€, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = Ο€ | B | = ππ = 1.P = Ο€ | B | = ππ = 1.
  • Π¨Π°Π³ 4. C = βˆ’Ο€, C = βˆ’Ο€, поэтому Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB = βˆ’Ο€Ο€ = βˆ’1.CB = βˆ’Ο€Ο€ = βˆ’1.
  • Π¨Π°Π³ 5-7. Асимптоты находятся ΠΏΡ€ΠΈ x = βˆ’32x = βˆ’32 ΠΈ x = βˆ’12x = βˆ’12, Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: (βˆ’1,25,1), (- 1,25,1), (- 1, βˆ’1), ( βˆ’1, βˆ’1) ΠΈ (βˆ’0,75, βˆ’3). (- 0,75, βˆ’3). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставлСн Π½Π° рисункС 3.

    Рисунок 3

Анализ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ A <0.А <0.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 2

Как Π±Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2 выглядСл ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ сдСлали A = 2A = 2 вмСсто βˆ’2? βˆ’2?

Как к

По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ.

  1. НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ PP ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ асимптотами ΠΈΠ»ΠΈ интСрцСпциями x .
  2. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ f (x) = Atan (Ο€Px). F (x) = Atan (Ο€Px).
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (x, f (x)) (x, f (x)) Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π΅ для опрСдСлСния A.А.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° растянутой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

НайдитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС 4.

Рисунок 4 Ѐункция растянутой ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

РСшСниС

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  • Π¨Π°Π³ 1. Один Ρ†ΠΈΠΊΠ» простираСтся ΠΎΡ‚ –4 Π΄ΠΎ 4, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = 8.P = 8. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ P = Ο€ | B |, P = Ο€ | B |, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ B = Ο€P = Ο€8.B = Ο€P = Ο€8.
  • Π¨Π°Π³ 2. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ f (x) = Atan (Ο€8x).f (x) = Атан (Ο€8x).
  • Π¨Π°Π³ 3. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ A, A, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (2,2). (2,2). 2 = Атан (Ο€8β‹…2) = Атан (Ο€4) 2 = Атан (Ο€8β‹…2) = Атан (Ο€4)

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ tan (Ο€4) = 1, tan (Ο€4) = 1, A = 2. A = 2.

Π­Ρ‚Π° функция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ f (x) = 2tan (Ο€8x) .f (x) = 2tan (Ο€8x).

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 3

НайдитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 5.

Рисунок 5

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

y = sec x ΠΈ y = csc x

БСканс опрСдСлялся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ тоТдСством secx = 1cosx.secx = 1cosx. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° косинус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ асимптотам Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ο€2, Ο€2, 3Ο€2,3Ο€2 ΠΈ Ρ‚. Π”. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ косинус Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, сСканс, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС Ρ‡Π΅ΠΌ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = secxy = secx, наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π‘ΠΌ. Рис. 6. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ взаимосвязь.Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ. Когда функция косинуса Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, сСканс Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½.

Π‘Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ xx, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косинуса пСрСсСкаСт ось x ; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ явно всС асимптоты Π½Π° всСх ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… сСканс ΠΈ косСканс.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ косинус являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, сСканс Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ sec (βˆ’x) = secx.sec (βˆ’x) = secx.

Рисунок 6 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй, f (x) = secx = 1cosxf (x) = secx = 1cosx

Как ΠΈ для ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ снова Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΡ‹Π»Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° константу | A || A | ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ растяТСния, Π° Π½Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°.

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A сСк ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B |.2Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  Ο€2 | B | k, x β‰  Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞). (- ∞, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€2 | B | k, x = Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • y = Asec (Bx) y = Asec (Bx) являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Как ΠΈ сСканс, косСканс опрСдСляСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ тоТдСством cscx = 1sinx.cscx = 1sinx. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° синус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 0,0, Ο€, Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π”.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, косСканс, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС 1 ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cscxy = cscx, наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π‘ΠΌ. Рисунок 7. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ взаимосвязь. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСкансной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ xx, Π³Π΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса пСрСсСкаСт ось x ; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ синус являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, функция косСканса Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ csc (βˆ’x) = β€” cscx.csc (βˆ’x) = β€” cscx.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° рисункС 7, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ сСканса.

Рисунок 7 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса, f (x) = cscx = 1sinxf (x) = cscx = 1sinx

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A csc ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.| А |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  Ο€ | B | k, x β‰  Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞). (- ∞, β€” | A |] βˆͺ [| A |, ∞).
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ | B | k, x = Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx) β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус β€” нСчСтная функция.

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = sec x ΠΈ y = csc x

Для смСщСнных, сТатых ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ растянутых вСрсий Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ сСканса ΠΈ косСканса ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ использовали для тангСнса ΠΈ котангСнса.Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ располагаСм Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Π² частности, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экстрСмумов). Если ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ способом. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° для сСканса ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ сСканс Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ косСканса, сдвинутый Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиги ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сСкущСй ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.УравнСния становятся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ.

y = Asec (Bx βˆ’ C) + Dy = Asec (Bx βˆ’ C) + D y = Acsc (Bx βˆ’ C) + Dy = Acsc (Bx βˆ’ C) + D

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A сСк ( Bx β€” C ) + D
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  CB + Ο€2 | B | k, x β‰  CB + Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D, ∞). (- ∞, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€2 | B | k, x = CB + Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • y = Asec (Bx-C) + Dy = Asec (Bx-C) + D β€” чСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π₯арактСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A csc ( Bx β€” C ) + D
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  CB + Ο€ | B | k, x β‰  CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D, ∞).(βˆ’βˆž, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€ | B | k, x = CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • y = Acsc (Bx-C) + Dy = Acsc (Bx-C) + D β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус β€” нСчСтная функция.

Как к

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  2. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия | A |.| А |.
  3. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = 2Ο€ | B | .P = 2Ο€ | B |.
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Acos (Bx) .y = Acos (Bx).
  5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ y = cosxy = cosx ΠΈ y = secxy = secx, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  6. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния сСкущСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ f (x) = 2.5сСк (0,4x) .f (x) = 2,5сСк (0,4x).

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Данная функция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
  • Π¨Π°Π³ 2. A = 2,5 A = 2,5, поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2,5. 2,5.
  • Π¨Π°Π³ 3. B = 0,4B = 0,4, поэтому P = 2Ο€0,4 = 5Ο€.P = 2Ο€0,4 = 5Ο€. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5Ο€5Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
  • Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g (x) = 2.5cos (0.4x).g (x) = 2,5cos (0,4x).
  • Π¨Π°Π³ 5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ косинуса ΠΈ сСканса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косСканса.
  • Π¨Π°Π³ΠΈ 6–7. НарисуйтС Π΄Π²Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ x = 1,25Ο€x = 1,25Ο€ ΠΈ x = 3,75Ο€.x = 3,75Ο€. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0,2,5) (0,2,5) ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (2,5Ο€, βˆ’2,5). (2,5Ο€, βˆ’2,5). На рисункС 8 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

    Рисунок 8

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ # 4

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ f (x) = β€” 2.5сСк (0,4x) .f (x) = β€” 2,5сСк (0,4x).

Вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹

Π’Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠΈ растяТСниС / сТатиС Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ сСкущСй?

Π”Π°. Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ f (x) = Asec (Bx βˆ’ C) + Df (x) = Asec (Bx βˆ’ C) + D Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (βˆ’βˆž, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D , ∞). (- ∞, β€” | A | + D] βˆͺ [| A | + D, ∞).

Как к

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° f (x) = Asec (Bx βˆ’ C) + D, f (x) = Asec (Bx βˆ’ C) + D, ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Asec (Bx βˆ’ C) + D.Ρƒ = Asec (Bx βˆ’ C) + D.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A |. | A |.
  3. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ CC ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB.CB.
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Asec (Bx) y = Asec (Bx), Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° CBCB ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D.D.
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€2 | B | k, x = CB + Ο€2 | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния сСкущСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ y = 4 сСкунды (Ο€3x βˆ’ Ο€2) +1.y = 4 сСк (Ο€3x βˆ’ Ο€2) +1.

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = 4sec (Ο€3x βˆ’ Ο€2) + 1.y = 4sec (Ο€3x βˆ’ Ο€2) +1.
  • Π¨Π°Π³ 2. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния / сТатия Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A | = 4. | A | = 4.
  • Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | = 2ππ3 = 2Ο€1β‹…3Ο€ = 62Ο€ | B | = 2ππ3 = 2Ο€1β‹…3Ο€ = 6
  • Π¨Π°Π³ 4. Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Ρ„Π°Π·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ CB = Ο€2Ο€3 = Ο€2β‹…3Ο€ = 1,5 CB = Ο€2Ο€3 = Ο€2β‹…3Ο€ = 1.5
  • Π¨Π°Π³ 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° CB = 1,5CB = 1,5 ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D = 6.D = 6.
  • Π¨Π°Π³ 6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, x = 3, x = 0, x = 3 ΠΈ x = 6.x = 6. БущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (1.5,5) (1.5,5) ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (4.5, βˆ’3). (4.5, βˆ’3). На рисункС 9 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Рисунок 9

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ # 5

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ f (x) = β€” 6sec (4x + 2) βˆ’8.f (x) = β€” 6sec (4x + 2) βˆ’8.

Вопросы ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния cscxcscx Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ всС xx Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x β‰  kΟ€x Ο€ kΟ€ для любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа k.k. Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ y = Acsc (Bx βˆ’ C) + Dbex β‰  C + kΟ€B? Y = Acsc (Bx βˆ’ C) + Dbex β‰  C + kΟ€B?

Π”Π°. Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ области ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ асимптотам. Π˜Ρ… располоТСниС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ сТатиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Как к

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = Acsc (Bx), y = Acsc (Bx), Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  2. | А |. | А |.
  3. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = 2Ο€ | B | .P = 2Ο€ | B |.
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Asin (Bx) .y = Asin (Bx).
  5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ y = sinxy = sinx ΠΈ y = cscxy = cscx, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  6. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ f (x) = β€” 3csc (4x).f (x) = β€” 3csc (4x).

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Данная функция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
  • Π¨Π°Π³ 2. | A | = | βˆ’3 | = 3, | A | = | βˆ’3 | = 3, поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3.
  • Π¨Π°Π³ 3. B = 4, B = 4, поэтому P = 2Ο€4 = Ο€2.P = 2Ο€4 = Ο€2. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€2Ο€2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.
  • Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g (x) = β€” 3sin (4x) .g (x) = β€” 3sin (4x).
  • Π¨Π°Π³ 5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косСканса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косСканса.
  • Π¨Π°Π³ΠΈ 6–7. НарисуйтС Ρ‚Ρ€ΠΈ асимптоты Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = 0, x = Ο€4, x = 0, x = Ο€4 ΠΈ x = Ο€2.x = Ο€2. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² (Ο€8, βˆ’3) (Ο€8, βˆ’3) ΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² (3Ο€8,3). (3Ο€8,3). На рисункС 10 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

    Рисунок 10

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ # 6

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ f (x) = 0.5csc (2x) .f (x) = 0,5csc (2x).

Как к

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° f (x) = Acsc (Bx βˆ’ C) + D, f (x) = Acsc (Bx βˆ’ C) + D, ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Acsc (Bx βˆ’ C) + D.y = Acsc (Bx βˆ’ C) + D.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A |. | A |.
  3. НайдитС BB ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.
  4. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ CC ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB.CB.
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° CBCB ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D.Π”.
  6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€ | B | k, x = CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ косСканса, растянутого ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, сТатого ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ смСщСнного ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = 2csc (Ο€2x) + 1.y = 2csc (Ο€2x) +1. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = 2csc (Ο€2x) +1.Ρƒ = 2csc (Ο€2x) +1.
  • Π¨Π°Π³ 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния / сТатия, | A | = 2. | A | = 2.
  • Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | = 2ππ2 = 2Ο€1β‹…2Ο€ = 4,2Ο€ | B | = 2ππ2 = 2Ο€1β‹…2Ο€ = 4.
  • Π¨Π°Π³ 4. Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг 0Ο€2 = 0,0Ο€2 = 0.
  • Π¨Π°Π³ 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), Π½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… D = 1.D = 1.
  • Π¨Π°Π³ 6. НарисуйтС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, x = 2, x = 4.Ρ… = 0, Ρ… = 2, Ρ… = 4.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рисункС 11.

Рисунок 11 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ функция косСканса

Анализ

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экстрСмумы Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ косСканса соотносится с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ f (x) = 2sin (Ο€2x) + 1, f (x) = 2sin (Ο€2x) +1, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ # 7

Учитывая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = 2cos (Ο€2x) + 1f (x) = 2cos (Ο€2x) +1, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° рисункС 12, нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ g (x) = 2sec (Ο€2x) + 1g (x) = 2сСк (Ο€2x) +1 Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ осях.

Рисунок 12

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = cot x

ПослСдняя тригономСтричСская функция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, β€” это котангСнс. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ опрСдСляСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ тоТдСством cotx = 1tanx.cotx = 1tanx. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 0, Ο€, 0, Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π”.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса β€” всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cotxy = cotx, наблюдая Π·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ. Π‘ΠΌ. Рисунок 13. Если Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса увСличиваСтся. Когда Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса увСличиваСтся, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ котангСнса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ xx, Π³Π΄Π΅ tanx = 0; tanx = 0; ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ линиями.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ котангСнс являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, cotxcotx ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях xx, Π³Π΄Π΅ tanx = 0, tanx = 0 ΠΈ cotx = 0cotx = 0 ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях xx, Π³Π΄Π΅ tanxtanx ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты.

Рисунок 13 Ѐункция котангСнса

Π₯арактСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ( Bx )
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ | A |. | A |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  Ο€ | B | k, x β‰  Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: (βˆ’βˆž, ∞). (- ∞, ∞).
  • Асимптоты Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ | B | k, x = Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) β€” нСчСтная функция.

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = cot x

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ котангСнса ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это сдСлали для тангСнса. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ становится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

y = Acot (Bx βˆ’ C) + Dy = Acot (Bx βˆ’ C) + D

Π₯арактСристики Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

y = A ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ( Bx βˆ’C) + D
  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A |.| А |.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ | B | .Ο€ | B |.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния: x β‰  CB + Ο€ | B | k, x β‰  CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ: (βˆ’βˆž, ∞). (- ∞, ∞).
  • Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ x = CB + Ο€ | B | k, x = CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  • НСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.
  • y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) β€” нСчСтная функция, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это частноС Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (косинус ΠΈ синус соотвСтствСнно)

Как к

Π”Π°Π½Π° модифицированная функция котангСнса Π²ΠΈΠ΄Π° f (x) = Acot (Bx), f (x) = Acot (Bx), построим ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f (x) = Acot (Bx). F (x) = Acot (Bx).
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, | A |. | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Атан (Bx). Y = Атан (Bx).
  5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΎΠΏΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
  6. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тангСнсом ΠΈ котангСнсом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Acot (Bx) .y = Acot (Bx).
  7. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ асимптоты.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг y = 3cot (4x), y = 3cot (4x), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f (x) = Acot (Bx) f (x) = Acot (Bx) Π΄Π°Π΅Ρ‚ f (x) = 3cot (4x). F (x) = 3cot (4x ).
  • Π¨Π°Π³ 2. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ растяТСния | A | = 3. | A | = 3.
  • Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ P = Ο€4.P = Ο€4.
  • Π¨Π°Π³ 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = 3tan (4x) .y = 3tan (4x).
  • Π¨Π°Π³ 5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.Π”Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ β€” это (Ο€16,3) (Ο€16,3) ΠΈ (3Ο€16, βˆ’3). (3Ο€16, βˆ’3).
  • Π¨Π°Π³ 6. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).
  • Π¨Π°Π³ 7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ асимптоты, x = 0, x = Ο€4.x = 0, x = Ο€4.

Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° РисункС 14 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ y = 3tan (4x) y = 3tan (4x), Π° Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).

Рисунок 14

Как к

Для ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса Π²ΠΈΠ΄Π° f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D, f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D, ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D. f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, | A |. | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = Ο€ | B | .P = Ο€ | B |.
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB.CB.
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° CBCB ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° D.D.
  6. НарисуйтС асимптоты x = CB + Ο€ | B | k, x = CB + Ο€ | B | k, Π³Π΄Π΅ kk β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.
  7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ котангСнса

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = 4cot (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.f (x) = 4cot (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.

РСшСниС
  • Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D. f (x) = Acot (Bx βˆ’ C) + D.
  • Π¨Π°Π³ 2. A = 4, A = 4, поэтому коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4.
  • Π¨Π°Π³ 3. B = Ο€8, B = Ο€8, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = Ο€ | B | = ππ8 = 8. P = Ο€ | B | = ππ8 = 8.
  • Π¨Π°Π³ 4. C = Ο€2, C = Ο€2, поэтому Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB = Ο€2Ο€8 = 4.CB = Ο€2Ο€8 = 4.
  • Π¨Π°Π³ 5. РисуСм f (x) = 4tan (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.f (x) = 4tan (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.
  • Π¨Π°Π³ 6-7. Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: (6,2), (8, βˆ’2), (6,2), (8, βˆ’2) ΠΈ (10, βˆ’6). (10, βˆ’6) ). ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΠΈ котангСнса, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ f (x) = 4cot (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.f (x) = 4cot (Ο€8x βˆ’ Ο€2) βˆ’2.
  • Π¨Π°Π³ 8. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ асимптоты: x = 4x = 4 ΠΈ x = 12.x = 12.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прСдставлСн Π½Π° рисункС 15.

Рисунок 15 Один ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ котангСнса

ИспользованиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

МногиС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ сцСнарии ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ смодСлированы тригономСтричСскими функциями. Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° вСрнСмся ΠΊ ΡΡ†Π΅Π½Π°Ρ€ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°.Π’Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ наблюдали Π»ΡƒΡ‡, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ свСтом Π½Π° полицСйской машинС, ΠΈ задавались вопросом ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ самого свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΏΠΎ стСнС? ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свСтит свСт, ΠΊΠ°ΠΊ функция Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС? ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10

ИспользованиС тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сцСнариСв

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция y = 5tan (Ο€4t) y = 5tan (Ο€4t) ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ расстояниС ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π° полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стСну, Π³Π΄Π΅ tt β€” врСмя Π² сСкундах, Π° yy β€” расстояниС Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ…. ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° стСнС прямо Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

  1. ⓐ НайдитС ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.
  2. β“‘ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [0,5]. [0,5].
  3. β“’ ВычислитС f (1) f (1) ΠΈ обсудитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этом Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅.
РСшСниС
  1. ⓐ Из ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° y = Atan (Bt) y = Atan (Bt) ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ | A || A | β€” коэффициСнт растяТСния, Π° Ο€BΟ€B β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

    Рисунок 16

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнт растяТСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ свСта пСрСмСстится Π½Π° 5 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ истСчСнии ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

    ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ππ4 = Ο€1β‹…4Ο€ = 4.ππ4 = Ο€1β‹…4Ο€ = 4. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 4 сСкунды Π»ΡƒΡ‡ свСта ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ стСнС. РасстояниС ΠΎΡ‚ мСста Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ увСличиваСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ приблиТСния полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

  2. β“‘ Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ рисуСм асимптоту ΠΏΡ€ΠΈ t = 2t = 2 ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ коэффициСнт растяТСния ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π‘ΠΌ. Рисунок 17.

    Рисунок 17

  3. β“’ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: f (1) = 5tan (Ο€4 (1)) = 5 (1) = 5; f (1) = 5tan (Ο€4 (1)) = 5 (1) = 5; Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 сСкунду Π»ΡƒΡ‡ пСрСмСстился Π½Π° 5 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² с мСста Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.

6.2 УпраТнСния ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ

УстныС
1.

ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = cscx.y = cscx.

2.

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cosxy = cosx для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = secx? Y = secx?

3.

ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ tanxtanx Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€.Ο€.

4.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ y = cscx? Y = cscx Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠ²?

5.

Как ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ y = cscxy = cscx сравниваСтся с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ y = sinx? Y = sinx?

Algebraic

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

Рисунок 18

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

10.

f (x) = 2tan (4x βˆ’ 32) f (x) = 2tan (4x βˆ’ 32)

11.

h (x) = 2 сСкунды (Ο€4 (x + 1)) h (x) = 2 сСкунды (Ο€4 (x + 1))

12.

m (x) = 6csc (Ο€3x + Ο€) m (x) = 6csc (Ο€3x + Ο€)

13.

Если tanx = βˆ’1,5, tanx = βˆ’1,5, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ tan (βˆ’x) .tan (βˆ’x).

14.

Если secx = 2, secx = 2, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ sec (βˆ’x) .sec (βˆ’x).

15.

Если cscx = βˆ’5, cscx = βˆ’5, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ csc (βˆ’x) .csc (βˆ’x).

16.

Если xsinx = 2, xsinx = 2, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ (βˆ’x) sin (βˆ’x). (- x) sin (βˆ’x).

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ xx Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

17.

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (βˆ’x) cos (βˆ’x) + sin (βˆ’x) дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (βˆ’x) cos (βˆ’x) + sin (βˆ’x)

18.

cos (βˆ’x) + tan (βˆ’x) sin (βˆ’x) cos (βˆ’x) + tan (βˆ’x) sin (βˆ’x)

ГрафичСский

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ асимптоты.

19.

f (x) = 2tan (4x βˆ’ 32) f (x) = 2tan (4x βˆ’ 32)

20.

h (x) = 2 сСкунды (Ο€4 (x + 1)) h (x) = 2 сСкунды (Ο€4 (x + 1))

21.

m (x) = 6csc (Ο€3x + Ο€) m (x) = 6csc (Ο€3x + Ο€)

22.

j (x) = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (Ο€2x) j (x) = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (Ο€2x)

23.

p (x) = tan (x βˆ’ Ο€2) p (x) = tan (x βˆ’ Ο€2)

25.

f (x) = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (x + Ο€4) f (x) = Π·Π°Π³Π°Ρ€ (x + Ο€4)

26.

f (x) = Ο€tan (Ο€x βˆ’ Ο€) βˆ’Ο€f (x) = Ο€tan (Ο€x βˆ’ Ο€) βˆ’Ο€

28.

f (x) = β€” 14csc (x) f (x) = β€” 14csc (x)

29.

f (x) = 4 сСкунды (3x) f (x) = 4 сСкунды (3x)

30.

f (x) = β€” 3 дСтскиС ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ (2x) f (x) = β€” 3 дСтскиС ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ (2x)

31.

f (x) = 7 сСкунд (5x) f (x) = 7 сСкунд (5x)

32.

f (x) = 910csc (Ο€x) f (x) = 910csc (Ο€x)

33.

f (x) = 2csc (x + Ο€4) βˆ’1f (x) = 2csc (x + Ο€4) βˆ’1

34.

f (x) = β€” сСк (x βˆ’ Ο€3) βˆ’2f (x) = β€” сСк (x βˆ’ Ο€3) βˆ’2

35.

f (x) = 75csc (x βˆ’ Ο€4) f (x) = 75csc (x βˆ’ Ο€4)

36.

f (x) = 5 (дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x + Ο€2) βˆ’3) f (x) = 5 (дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x + Ο€2) βˆ’3)

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом растяТСния, | A |, | A |, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сдвигом.

37.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ кривая, A = 1, A = 1, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ο€3; Ο€3; ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг (h, k) = (Ο€4,2) (h, k) = (Ο€4,2)

38.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ кривая, A = βˆ’2, A = βˆ’2, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ο€4, Ο€4 ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг (h, k) = (- Ο€4, βˆ’2) (h, k) = (- Ο€4, βˆ’2)

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

40. 42. 44.
Π’Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ графичСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ графичСских ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ косСканса; поэтому Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ввСсти cscxcscx ΠΊΠ°ΠΊ 1sinx.1sinx.

46.

f (x) = | csc (x) | f (x) = | csc (x) |

47.

f (x) = | дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) | f (x) = | дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (x) |

49.

f (x) = csc (x) sec (x) f (x) = csc (x) sec (x)

50.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = 1 + sec2 (x) βˆ’tan2 (x) .f (x) = 1 + sec2 (x) βˆ’tan2 (x). Какая функция ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅?

51.

f (x) = сСк (0.001x) f (x) = сСк (0,001x)

52.

f (x) = дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (100Ο€x) f (x) = дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (100Ο€x)

53.

f (x) = sin2x + cos2xf (x) = sin2x + cos2x

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прилоТСния
54.

Ѐункция f (x) = 20tan (Ο€10x) f (x) = 20tan (Ο€10x) ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ расстояниС ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ свСтового Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΎΡ‚ полицСйской ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стСну Π·Π° врСмя x, x Π² сСкундах ΠΈ расстояниС f (Ρ…), f (Ρ…), Π² Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ….

  1. ⓐ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,5].[0,5].
  2. β“‘ НайдитС ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ коэффициСнт растяТСния, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ асимптоту.
  3. β“’ ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ f (1) f (1) ΠΈ f (2.5) f (2.5) ΠΈ обсудитС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этих Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π°Ρ….
55.

Π Ρ‹Π±Π°ΠΊ стоит Π½Π° Π±Π΅Ρ€Π΅Π³Ρƒ ΠΎΠ·Π΅Ρ€Π° ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚ Π²Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΡƒ слСва ΠΎΡ‚ сСбя. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x, x, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° корабля ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° сСвСр ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ мСстополоТСния. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСвСр Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π° xx измСряСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ слСва ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ справа.(Π‘ΠΌ. Рисунок 19.) Π›ΠΎΠ΄ΠΊΠ° двиТСтся с Π·Π°ΠΏΠ°Π΄Π° Π½Π° восток, ΠΈ, игнорируя ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, расстояниС d (x), d (x) Π² ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Ρ€Ρ‹Π±Π°ΠΊΠ° Π΄ΠΎ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ опрСдСляСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ d (x) = 1,5 сСкунды (x). d (x) = 1,5 сСкунды (x).

  1. β“ΠšΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ для d (x)? D (x)?
  2. β“‘Π“Ρ€Π°Ρ„ d (x) d (x) Π² этой области.
  3. β“’ НайдитС ΠΈ обсудитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… асимптот Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ d (x) .d (x).
  4. β““ Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ d (βˆ’Ο€3).d (βˆ’Ο€3). ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного Π·Π½Π°ΠΊΠ°.
  5. β“” Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ d (Ο€6) .d (Ο€6). ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного Π·Π½Π°ΠΊΠ°.
  6. β“• КакоС минимальноС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Ρ‹Π±Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΈ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΎΠΉ? Когда это происходит?

Рисунок 19

56.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *