Во-первых, отметим, что он периодический с периодом 2 π . С геометрической точки зрения это означает, что если вы возьмете кривую и сдвинете ее 2 π влево или вправо, кривая вернется в исходное положение.Во-вторых, обратите внимание, что график находится в пределах одной единицы оси t . Мало что еще является очевидным, за исключением случаев, когда он увеличивается и уменьшается. Например, sin t увеличивается с 0 до π /2, поскольку координата y точки B увеличивается, когда угол AOB увеличивается с 0 до π /2.

Теперь давайте посмотрим на график косинуса. Опять же, возьмите горизонтальную ось за ось t , но теперь возьмите вертикальную ось за ось x и изобразите уравнение x = cos t.

Обратите внимание, что он выглядит так же, как график sin t , за исключением того, что он переведен влево как π /2. Это из-за тождества cos t = sin ( π /2 + t ). Хотя мы раньше не сталкивались с этим тождеством, оно легко следует из уже знакомых: cos t = cos — t = sin ( π /2 — (- t )) = sin ( π /2 + т ).

Графики тангенса и котангенса

Вы также можете видеть, что тангенс имеет период π ; также есть вертикальные асимптоты через каждые π единиц слева и справа.Алгебраически эта периодичность выражается как tan ( t + π ) = tan t.

График котангенса очень похож.

Это сходство просто потому, что котангенс t является тангенсом дополнительного угла π — t.

Графики функций секанса и косеканса

Как и следовало ожидать, график косеканса очень похож на график секанса.

Оценка тригонометрической функции котангенса

Определения

Общие положения

Функция котангенса, в современной системе обозначений cot (x), является тригонометрической функцией. Тригонометрические функции обычно устанавливаются как функции угла в контексте геометрии прямоугольного треугольника.Таким образом, котангенс угла φ определяется как отношение смежной стороны прямоугольного треугольника, содержащего φ, к противоположной стороне (см. Рисунок):

\ tan (\ varphi) = \ frac {\ textrm { смежная сторона}} {\ textrm {противоположная сторона}}

К сожалению, приведенное выше определение ограничено диапазоном углов от 0 до 90 °. Расширяя этот диапазон, удобное определение использует единичный круг (радиус равен 1). Любая точка круга соответствует паре значений синуса и косинуса угла, который содержится между горизонтальной положительной осью и радиальным сегментом к этой точке, как показано на рисунке ниже.Абсолютное значение котангенса представлено длиной касательного сегмента от точки круга к вертикальной оси. Угол φ считается положительным в направлении против часовой стрелки. Возможны углы больше 90 °, а также отрицательные при соблюдении соответствующего знака координат.

Приведенные выше определения функции котангенса основаны на геометрической конструкции (прямоугольный треугольник или единичный круг) и предполагают, что ее аргумент является углом. 2 x}

Интеграл от функции котангенса (x в радианах) определяется по формуле:

\ int \ cot x \, \ mathrm {d} x = ln | \ sin x | + С

6.2 графика других тригонометрических функций — Precalculus

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Проанализируйте график y = tan x.
• График изменения y = tan x.
• Проанализируйте графики y = sec x и y = csc x.
• График изменения y = sec x и y = csc x.
• Проанализируйте график y = cot x.
• График изменения y = cot x.

Мы знаем, что функция тангенса может использоваться для определения расстояний, например, высоты здания, горы или флагштока.Но что, если мы хотим измерить повторяющиеся расстояния? Представьте себе, например, полицейскую машину, припаркованную рядом со складом. Вращающийся свет от полицейской машины через равные промежутки времени пересекал стену склада. Если на входе время, на выходе будет расстояние, которое проходит луч света. Луч света будет повторять расстояние через равные промежутки времени. Для аппроксимации этого расстояния можно использовать функцию касательной. Асимптоты потребуются для иллюстрации повторяющихся циклов, когда луч проходит параллельно стене, потому что, казалось бы, луч света может длиться вечно.График касательной функции ясно иллюстрирует повторяющиеся интервалы. В этом разделе мы исследуем графики касательной и других тригонометрических функций.

Анализ графика

Мы начнем с графика тангенциальной функции, вычерчивая точки, как мы это делали для функций синуса и косинуса. Напомним, что

Период касательной функции равен ππ, потому что график повторяется на интервалах kπkπ, где kk — постоянная величина.Если построить график касательной функции на −π2 − π2 к π2, π2, мы сможем увидеть поведение графика на одном полном цикле. Если мы посмотрим на любой больший интервал, мы увидим, что характеристики графика повторяются.

Мы можем определить, является ли тангенс четной или нечетной функцией, используя определение тангенса.

Следовательно, тангенс — нечетная функция. Мы можем дополнительно проанализировать графическое поведение тангенциальной функции, посмотрев на значения некоторых специальных углов, перечисленных в таблице 1.

Таблица 1

Эти точки помогут нам нарисовать наш график, но нам нужно определить, как график ведет себя там, где он не определен.Если мы более внимательно рассмотрим значения, когда π3

Таблица 2

По мере приближения xx к π2, π2 выходы функции становятся все больше и больше. Поскольку y = tanxy = tanx — нечетная функция, мы видим соответствующую таблицу отрицательных значений в таблице 3.

Таблица 3

Мы видим, что по мере приближения xx к −π2, −π2 выходные данные становятся все меньше и меньше.Помните, что есть некоторые значения xx, для которых cosx = 0.cosx = 0. Например, cos (π2) = 0 cos (π2) = 0 и cos (3π2) = 0. cos (3π2) = 0. При этих значениях касательная функция не определена, поэтому график y = tanxy = tanx имеет разрывы при x = π2 и 3π2.x = π2 и 3π2. При этих значениях график касательной имеет вертикальные асимптоты. На рисунке 1 представлен график y = tanx.y = tanx. Касательная положительна от 0 до π2π2 и от ππ до 3π2,3π2, соответствующих квадрантам I и III единичной окружности.

Рисунок 1 График касательной функции

Графические вариации

Как и в случае с функциями синуса и косинуса, функция тангенса может быть описана с помощью общего уравнения.

Мы можем идентифицировать горизонтальные и вертикальные растяжения и сжатия, используя значения AA и B.B. Горизонтальное растяжение обычно можно определить по периоду графика. В случае касательных графиков часто бывает необходимо определить вертикальное растяжение, используя точку на графике.

Поскольку нет максимальных или минимальных значений тангенциальной функции, термин амплитуда не может быть интерпретирован так же, как для функций синуса и косинуса. Вместо этого мы будем использовать фразу , коэффициент растяжения / сжатия , когда будем ссылаться на константу A.А.

Особенности графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен P = π | B | .P = π | B |.
• Область — это все действительные числа x, x, где x ≠ π2 | B | + π | B | kx ≠ π2 | B | + π | B | k такие, что kk является целым числом.
• Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
• Асимптоты встречаются при x = π2 | B | + π | B | k, x = π2 | B | + π | B | k, где kk — целое число.
• y = Atan (Bx) y = Atan (Bx) — нечетная функция.

Построение одного периода растянутой или сжатой касательной функции

Мы можем использовать то, что мы знаем о свойствах касательной функции, чтобы быстро нарисовать график любой растянутой и / или сжатой касательной функции формы f (x) = Atan (Bx).f (x) = Атан (Bx). Мы сосредотачиваемся на одном периоде функции, включая начало координат, потому что свойство периодичности позволяет нам расширить график на остальную часть области определения функции, если мы захотим. Наша ограниченная область является интервалом (−P2, P2) (- P2, P2), и график имеет вертикальные асимптоты в точках ± P2 ± P2, где P = πB.P = πB. На (−π2, π2), (- π2, π2) график выйдет из левой асимптоты в точках x = −π2, x = −π2, пересечет начало координат и продолжит увеличиваться по мере приближения к правой асимптоте. при x = π2.x = π2. Чтобы функция приближалась к асимптотам с правильной скоростью, нам также необходимо установить вертикальный масштаб, фактически оценив функцию по крайней мере для одной точки, через которую будет проходить график.Например, мы можем использовать

, потому что tan (π4) = 1.tan (π4) = 1.

Как к

Для функции f (x) = Atan (Bx), f (x) = Atan (Bx), на графике один период.

1. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
2. Найдите BB и определите период, P = π | B | .P = π | B |.
3. Нарисуйте вертикальные асимптоты в точках x = −P2x = −P2 и x = P2.x = P2.
4. Для AB> 0, AB> 0 график приближается к левой асимптоте при отрицательных выходных значениях и к правой асимптоте при положительных выходных значениях (обратное направление для AB <0AB <0).
5. Постройте контрольные точки в (P4, A), (P4, A), (0,0), (0,0) и (−P4, −A), (- P4, −A) и начертите график через эти точки.

Пример 1

Построение сжатой касательной

Нарисуйте график одного периода функции y = 0,5tan (π2x) .y = 0,5tan (π2x).

Решение

Сначала мы идентифицируем AA и B.B.

Поскольку A = 0,5A = 0,5 и B = π2, B = π2, мы можем найти коэффициент растяжения / сжатия и период. Период равен ππ2 = 2, ππ2 = 2, поэтому асимптоты находятся в точке x = ± 1.х = ± 1. За четверть периода от начала координат имеем

Это означает, что кривая должна проходить через точки (0,5 , 0,5), (0,5,0,5), (0,0), (0,0) и (-0,5, -0,5). (-0,5, -0,5). Единственная точка перегиба находится в начале координат. На рисунке 2 показан график одного периода функции.

Рисунок 2

Попробуй # 1

Нарисуйте график f (x) = 3tan (π6x). F (x) = 3tan (π6x).

Построение одного периода функции смещенной касательной

Теперь, когда мы можем построить график растянутой или сжатой функции касательной, мы добавим вертикальный и / или горизонтальный (или фазовый) сдвиг.В этом случае мы добавляем CC и DD к общему виду касательной функции.

График преобразованной касательной функции отличается от базовой тангенциальной функции tanxtanx несколькими способами:

Характеристики графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен π | B | .π | B |.
• Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
• Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
• Вертикальные асимптоты встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
• Нет амплитуды.
• y = Atan (Bx-C) + Dy = Atan (Bx-C) + D — нечетная функция, потому что это частное от нечетных и четных функций (синуса и косинуса соответственно).

Как получить

Учитывая функцию y = Atan (Bx − C) + D, y = Atan (Bx − C) + D, нарисуйте график одного периода.

1. Выразите заданную функцию в виде y = Atan (Bx − C) + D.у = Атан (Bx − C) + D.
2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
3. Найдите BB и определите период, P = π | B | .P = π | B |.
4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
5. Нарисуйте график y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 2

Построение графика одного периода функции смещенной касательной

Изобразите один период функции y = −2tan (πx + π) −1.y = −2tan (πx + π) −1.

Решение

• Шаг 1. Функция уже записана в виде y = Atan (Bx − C) + D.y = Atan (Bx − C) + D.
• Шаг 2. A = −2, A = −2, поэтому коэффициент растяжения равен | A | = 2. | A | = 2.
• Шаг 3. B = π, B = π, поэтому период равен P = π | B | = ππ = 1.P = π | B | = ππ = 1.
• Шаг 4. C = −π, C = −π, поэтому фазовый сдвиг CB = −ππ = −1.CB = −ππ = −1.
• Шаг 5-7. Асимптоты находятся при x = −32x = −32 и x = −12x = −12, а три рекомендуемые контрольные точки: (−1,25,1), (- 1,25,1), (- 1, −1), ( −1, −1) и (−0,75, −3). (- 0,75, −3). График представлен на рисунке 3.

  Рисунок 3

Анализ

Обратите внимание, что это убывающая функция, потому что A <0.А <0.

Попробуй # 2

Как бы график в Примере 2 выглядел иначе, если бы мы сделали A = 2A = 2 вместо −2? −2?

Как к

По графику касательной функции определите горизонтальные и вертикальные отрезки.

1. Найдите период PP по интервалу между последовательными вертикальными асимптотами или интерцепциями x .
2. Запишите f (x) = Atan (πPx). F (x) = Atan (πPx).
3. Определите удобную точку (x, f (x)) (x, f (x)) на заданном графике и используйте ее для определения A.А.

Пример 3

Определение графика растянутой касательной

Найдите формулу функции, показанной на рисунке 4.

Рисунок 4 Функция растянутой касательной

Решение

График имеет форму касательной функции.

• Шаг 1. Один цикл простирается от –4 до 4, поэтому период равен P = 8.P = 8. Поскольку P = π | B |, P = π | B |, имеем B = πP = π8.B = πP = π8.
• Шаг 2. Уравнение должно иметь вид f (x) = Atan (π8x).f (x) = Атан (π8x).
• Шаг 3. Чтобы найти вертикальный отрезок A, A, воспользуемся точкой (2,2). (2,2). 2 = Атан (π8⋅2) = Атан (π4) 2 = Атан (π8⋅2) = Атан (π4)

Поскольку tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, A = 2. A = 2.

Эта функция будет иметь формулу f (x) = 2tan (π8x) .f (x) = 2tan (π8x).

Попробуй # 3

Найдите формулу функции на рисунке 5.

Рисунок 5

Анализ графиков

Секанс определялся обратным тождеством secx = 1cosx.secx = 1cosx. Обратите внимание, что функция не определена, когда косинус равен 0, что приводит к вертикальным асимптотам в точках π2, π2, 3π2,3π2 и т. Д. Поскольку косинус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, секанс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше чем 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график y = secxy = secx, наблюдая за графиком функции косинуса, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рис. 6. График косинуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь.Когда график функции косинуса уменьшается, график функции секущей увеличивается. Когда график функции косинуса увеличивается, график функции секущей уменьшается. Когда функция косинуса равна нулю, секанс не определен.

Секущий график имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где график косинуса пересекает ось x ; мы показываем их на приведенном ниже графике пунктирными вертикальными линиями, но не будем показывать явно все асимптоты на всех последующих графиках, включающих секанс и косеканс.

Обратите внимание, что, поскольку косинус является четной функцией, секанс также является четной функцией. То есть sec (−x) = secx.sec (−x) = secx.

Как и для касательной функции, мы снова будем ссылаться на константу | A || A | как фактор растяжения, а не амплитуда.

Особенности графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен 2π | B |.2π | B |.
• Область определения: x ≠ π2 | B | k, x ≠ π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
• Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞). (- ∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
• Вертикальные асимптоты возникают при x = π2 | B | k, x = π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
• Нет амплитуды.
• y = Asec (Bx) y = Asec (Bx) является четной функцией, потому что косинус является четной функцией.

Как и секанс, косеканс определяется обратным тождеством cscx = 1sinx.cscx = 1sinx. Обратите внимание, что функция не определена, когда синус равен 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0,0, π, π и т. Д.Поскольку синус никогда не превышает 1 по абсолютной величине, косеканс, будучи обратной величиной, никогда не будет меньше 1 по абсолютной величине.

Мы можем построить график y = cscxy = cscx, наблюдая за графиком синусоидальной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 7. График синуса показан оранжевой пунктирной волной, поэтому мы можем видеть взаимосвязь. Когда график синусоидальной функции уменьшается, график косекансной функции увеличивается. Когда график функции синуса увеличивается, график функции косеканса уменьшается.

График косеканса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где график синуса пересекает ось x ; мы показываем их на графике ниже вертикальными пунктирными линиями.

Обратите внимание, что, поскольку синус является нечетной функцией, функция косеканса также является нечетной функцией. То есть csc (−x) = — cscx.csc (−x) = — cscx.

График косеканса, показанный на рисунке 7, аналогичен графику секанса.

Особенности графика

• Коэффициент растяжения | A |.| А |.
• Период равен 2π | B | .2π | B |.
• Область определения: x ≠ π | B | k, x ≠ π | B | k, где kk — целое число.
• Диапазон равен (−∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞). (- ∞, — | A |] ∪ [| A |, ∞).
• Асимптоты встречаются при x = π | B | k, x = π | B | k, где kk — целое число.
• y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx) — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Графические вариации

Для смещенных, сжатых и / или растянутых версий функций секанса и косеканса мы можем использовать методы, аналогичные тем, которые мы использовали для тангенса и котангенса.То есть мы располагаем вертикальные асимптоты, а также оцениваем функции для нескольких точек (в частности, локальных экстремумов). Если мы хотим построить график только для одного периода, мы можем выбрать интервал для периода более чем одним способом. Процедура для секанса очень похожа, потому что идентичность кофункции означает, что граф секанс такой же, как граф косеканса, сдвинутый на полпериода влево. Вертикальный и фазовый сдвиги могут применяться к функции косеканса таким же образом, как для функции секущей и других функций.Уравнения становятся следующими.

Особенности графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен 2π | B | .2π | B |.
• Область определения: x ≠ CB + π2 | B | k, x ≠ CB + π2 | B | k, где kk — целое нечетное число.
• Диапазон равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞). (- ∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).
• Вертикальные асимптоты встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.
• Нет амплитуды.
• y = Asec (Bx-C) + Dy = Asec (Bx-C) + D — четная функция, потому что косинус является четной функцией.

Характеристики графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен 2π | B | .2π | B |.
• Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
• Диапазон равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).(−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).
• Вертикальные асимптоты возникают при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
• Нет амплитуды.
• y = Acsc (Bx-C) + Dy = Acsc (Bx-C) + D — нечетная функция, потому что синус — нечетная функция.

Как к

Для функции вида y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), на графике один период.

1. Выразите заданную функцию в виде y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
2. Укажите коэффициент растяжения / сжатия | A |.| А |.
3. Найдите BB и определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |.
4. Нарисуйте график y = Acos (Bx) .y = Acos (Bx).
5. Используйте обратную связь между y = cosxy = cosx и y = secxy = secx, чтобы нарисовать график y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
6. Изобразите асимптоты.
7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 4

График изменения секущей функции

Изобразите один период f (x) = 2.5сек (0,4x) .f (x) = 2,5сек (0,4x).

Решение

• Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде y = Asec (Bx) .y = Asec (Bx).
• Шаг 2. A = 2,5 A = 2,5, поэтому коэффициент растяжения равен 2,5. 2,5.
• Шаг 3. B = 0,4B = 0,4, поэтому P = 2π0,4 = 5π.P = 2π0,4 = 5π. Период равен 5π5π единиц.
• Шаг 4. Нарисуйте график функции g (x) = 2.5cos (0.4x).g (x) = 2,5cos (0,4x).
• Шаг 5. Используйте обратную связь функций косинуса и секанса, чтобы построить функцию косеканса.
• Шаги 6–7. Нарисуйте две асимптоты при x = 1,25πx = 1,25π и x = 3,75π.x = 3,75π. Мы можем использовать две опорные точки: локальный минимум в точке (0,2,5) (0,2,5) и локальный максимум в точке (2,5π, −2,5). (2,5π, −2,5). На рисунке 8 показан график.

  Рисунок 8

Попробовать # 4

Изобразите один период f (x) = — 2.5сек (0,4x) .f (x) = — 2,5сек (0,4x).

Вопросы и ответы

Влияют ли вертикальное смещение и растяжение / сжатие на диапазон секущей?

Да. Диапазон f (x) = Asec (Bx − C) + Df (x) = Asec (Bx − C) + D равен (−∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D , ∞). (- ∞, — | A | + D] ∪ [| A | + D, ∞).

Как к

Для функции вида f (x) = Asec (Bx − C) + D, f (x) = Asec (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

1. Выразите заданную функцию в виде y = Asec (Bx − C) + D.у = Asec (Bx − C) + D.
2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
3. Найдите BB и определите период, 2π | B | .2π | B |.
4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
5. Нарисуйте график y = Asec (Bx) y = Asec (Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.D.
6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π2 | B | k, x = CB + π2 | B | k, где kk — нечетное целое число.

Пример 5

График изменения секущей функции

Изобразите один период y = 4 секунды (π3x − π2) +1.y = 4 сек (π3x − π2) +1.

Решение

• Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y = 4sec (π3x − π2) + 1.y = 4sec (π3x − π2) +1.
• Шаг 2. Коэффициент растяжения / сжатия равен | A | = 4. | A | = 4.
• Шаг 3. Период равен 2π | B | = 2ππ3 = 2π1⋅3π = 62π | B | = 2ππ3 = 2π1⋅3π = 6
• Шаг 4. Сдвиг фазы равен CB = π2π3 = π2⋅3π = 1,5 CB = π2π3 = π2⋅3π = 1.5
• Шаг 5. Нарисуйте график y = Asec (Bx), y = Asec (Bx), но сдвиньте его вправо на CB = 1,5CB = 1,5 и вверх на D = 6.D = 6.
• Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = 0, x = 3, x = 0, x = 3 и x = 6.x = 6. Существует локальный минимум в точке (1.5,5) (1.5,5) и локальный максимум в точке (4.5, −3). (4.5, −3). На рисунке 9 показан график.

Рисунок 9

Попробовать # 5

Изобразите один период f (x) = — 6sec (4x + 2) −8.f (x) = — 6sec (4x + 2) −8.

Вопросы и ответы

Областью определения cscxcscx были заданы все xx такие, что x ≠ kπx π kπ для любого целого числа k.k. Будет ли область y = Acsc (Bx − C) + Dbex ≠ C + kπB? Y = Acsc (Bx − C) + Dbex ≠ C + kπB?

Да. Исключенные точки области следуют вертикальным асимптотам. Их расположение показывает горизонтальный сдвиг и сжатие или расширение, подразумеваемые преобразованием входных данных исходной функции.

Как к

Для функции вида y = Acsc (Bx), y = Acsc (Bx), график с одним периодом.

1. Выразите заданную функцию в виде y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
2. | А |. | А |.
3. Найдите BB и определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |.
4. Нарисуйте график y = Asin (Bx) .y = Asin (Bx).
5. Используйте обратную связь между y = sinxy = sinx и y = cscxy = cscx, чтобы нарисовать график y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
6. Изобразите асимптоты.
7. Постройте любые две контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 6

График изменения функции косеканса

Изобразите один период f (x) = — 3csc (4x).f (x) = — 3csc (4x).

Решение

• Шаг 1. Данная функция уже записана в общем виде y = Acsc (Bx) .y = Acsc (Bx).
• Шаг 2. | A | = | −3 | = 3, | A | = | −3 | = 3, поэтому коэффициент растяжения равен 3.
• Шаг 3. B = 4, B = 4, поэтому P = 2π4 = π2.P = 2π4 = π2. Период равен π2π2 единиц.
• Шаг 4. Нарисуйте график функции g (x) = — 3sin (4x) .g (x) = — 3sin (4x).
• Шаг 5. Используйте взаимное отношение функций синуса и косеканса, чтобы построить функцию косеканса.
• Шаги 6–7. Нарисуйте три асимптоты в точках x = 0, x = π4, x = 0, x = π4 и x = π2.x = π2. Мы можем использовать две опорные точки, локальный максимум в (π8, −3) (π8, −3) и локальный минимум в (3π8,3). (3π8,3). На рисунке 10 показан график.

  Рисунок 10

Попробовать # 6

Изобразите один период f (x) = 0.5csc (2x) .f (x) = 0,5csc (2x).

Как к

Для функции вида f (x) = Acsc (Bx − C) + D, f (x) = Acsc (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

1. Выразите заданную функцию в виде y = Acsc (Bx − C) + D.y = Acsc (Bx − C) + D.
2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A |. | A |.
3. Найдите BB и определите период, 2π | B | .2π | B |.
4. Идентифицировать CC и определить фазовый сдвиг CB.CB.
5. Нарисуйте график y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), но сдвиньте его вправо на CBCB и вверх на D.Д.
6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.

Пример 7

График косеканса, растянутого по вертикали, сжатого по горизонтали и смещенного по вертикали

Нарисуйте график y = 2csc (π2x) + 1.y = 2csc (π2x) +1. Каковы область и диапазон этой функции?

Решение

• Шаг 1. Выразите заданную функцию в виде y = 2csc (π2x) +1.у = 2csc (π2x) +1.
• Шаг 2. Определите коэффициент растяжения / сжатия, | A | = 2. | A | = 2.
• Шаг 3. Период равен 2π | B | = 2ππ2 = 2π1⋅2π = 4,2π | B | = 2ππ2 = 2π1⋅2π = 4.
• Шаг 4. Фазовый сдвиг 0π2 = 0,0π2 = 0.
• Шаг 5. Нарисуйте график y = Acsc (Bx) y = Acsc (Bx), но сдвиньте его вверх D = 1.D = 1.
• Шаг 6. Нарисуйте вертикальные асимптоты, которые встречаются при x = 0, x = 2, x = 4.х = 0, х = 2, х = 4.

График этой функции показан на рисунке 11.

Рисунок 11 Преобразованная функция косеканса

Анализ

Вертикальные асимптоты, показанные на графике, отмечают один период функции, а локальные экстремумы в этом интервале показаны точками. Обратите внимание, как график преобразованного косеканса соотносится с графиком f (x) = 2sin (π2x) + 1, f (x) = 2sin (π2x) +1, показанным оранжевой пунктирной волной.

Попробовать # 7

Учитывая график f (x) = 2cos (π2x) + 1f (x) = 2cos (π2x) +1, показанный на рисунке 12, нарисуйте график g (x) = 2sec (π2x) + 1g (x) = 2сек (π2x) +1 на тех же осях.

Рисунок 12

Анализ графика

Последняя тригонометрическая функция, которую нам нужно исследовать, — это котангенс. Котангенс определяется обратным тождеством cotx = 1tanx.cotx = 1tanx. Обратите внимание, что функция не определена, когда функция касательной равна 0, что приводит к вертикальной асимптоте на графике в точках 0, π, 0, π и т. Д.Поскольку выходные данные функции тангенса — все действительные числа, выходные данные функции котангенса также являются действительными числами.

Мы можем построить график y = cotxy = cotx, наблюдая за графиком касательной функции, потому что эти две функции являются обратными друг другу. См. Рисунок 13. Если график функции тангенса уменьшается, график функции котангенса увеличивается. Когда график функции тангенса увеличивается, график функции котангенса уменьшается.

График котангенса имеет вертикальные асимптоты при каждом значении xx, где tanx = 0; tanx = 0; мы показываем их на графике ниже пунктирными линиями.Поскольку котангенс является обратной величиной касательной, cotxcotx имеет вертикальные асимптоты при всех значениях xx, где tanx = 0, tanx = 0 и cotx = 0cotx = 0 при всех значениях xx, где tanxtanx имеет свои вертикальные асимптоты.

Рисунок 13 Функция котангенса

Характеристики графика

• Коэффициент растяжения равен | A |. | A |.
• Период равен P = π | B | .P = π | B |.
• Область определения: x ≠ π | B | k, x ≠ π | B | k, где kk — целое число.
• Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
• Асимптоты встречаются при x = π | B | k, x = π | B | k, где kk — целое число.
• y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) — нечетная функция.

Графические вариации

Мы можем преобразовать график котангенса почти так же, как мы это сделали для тангенса. Уравнение становится следующим.

Характеристики графика

• Коэффициент растяжения | A |.| А |.
• Период равен π | B | .π | B |.
• Область определения: x ≠ CB + π | B | k, x ≠ CB + π | B | k, где kk — целое число.
• Диапазон значений: (−∞, ∞). (- ∞, ∞).
• Вертикальные асимптоты возникают при x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
• Нет амплитуды.
• y = Acot (Bx) y = Acot (Bx) — нечетная функция, потому что это частное четных и нечетных функций (косинус и синус соответственно)

Как к

Дана модифицированная функция котангенса вида f (x) = Acot (Bx), f (x) = Acot (Bx), построим один период.

1. Выразите функцию в виде f (x) = Acot (Bx). F (x) = Acot (Bx).
2. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
3. Определите период, P = π | B | .P = π | B |.
4. Нарисуйте график y = Атан (Bx). Y = Атан (Bx).
5. Постройте любые две опорные точки.
6. Используйте обратную связь между тангенсом и котангенсом, чтобы построить график y = Acot (Bx) .y = Acot (Bx).
7. Изобразите асимптоты.

Пример 8

Графики вариаций функции котангенса

Определите коэффициент растяжения, период и фазовый сдвиг y = 3cot (4x), y = 3cot (4x), а затем нарисуйте график.

Решение

• Шаг 1. Выражение функции в виде f (x) = Acot (Bx) f (x) = Acot (Bx) дает f (x) = 3cot (4x). F (x) = 3cot (4x ).
• Шаг 2. Коэффициент растяжения | A | = 3. | A | = 3.
• Шаг 3. Период P = π4.P = π4.
• Шаг 4. Нарисуйте график y = 3tan (4x) .y = 3tan (4x).
• Шаг 5. Постройте две контрольные точки.Две такие точки — это (π16,3) (π16,3) и (3π16, −3). (3π16, −3).
• Шаг 6. Используйте взаимное отношение, чтобы нарисовать y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).
• Шаг 7. Постройте асимптоты, x = 0, x = π4.x = 0, x = π4.

Синий график на Рисунке 14 показывает y = 3tan (4x) y = 3tan (4x), а зеленый график показывает y = 3cot (4x) .y = 3cot (4x).

Рисунок 14

Как к

Для модифицированной функции котангенса вида f (x) = Acot (Bx − C) + D, f (x) = Acot (Bx − C) + D, построить график с одним периодом.

1. Выразите функцию в виде f (x) = Acot (Bx − C) + D. f (x) = Acot (Bx − C) + D.
2. Определите коэффициент растяжения, | A |. | A |.
3. Определите период, P = π | B | .P = π | B |.
4. Определите фазовый сдвиг CB.CB.
5. Нарисуйте график y = Atan (Bx) y = Atan (Bx), сдвинутый вправо на CBCB и вверх на D.D.
6. Нарисуйте асимптоты x = CB + π | B | k, x = CB + π | B | k, где kk — целое число.
7. Постройте любые три контрольные точки и проведите через эти точки график.

Пример 9

Построение модифицированного котангенса

Нарисуйте график одного периода функции f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.

Решение

• Шаг 1. Функция уже записана в общем виде f (x) = Acot (Bx − C) + D. f (x) = Acot (Bx − C) + D.
• Шаг 2. A = 4, A = 4, поэтому коэффициент растяжения равен 4.
• Шаг 3. B = π8, B = π8, поэтому период равен P = π | B | = ππ8 = 8. P = π | B | = ππ8 = 8.
• Шаг 4. C = π2, C = π2, поэтому фазовый сдвиг CB = π2π8 = 4.CB = π2π8 = 4.
• Шаг 5. Рисуем f (x) = 4tan (π8x − π2) −2.f (x) = 4tan (π8x − π2) −2.
• Шаг 6-7. Три точки, которые мы можем использовать для построения графика: (6,2), (8, −2), (6,2), (8, −2) и (10, −6). (10, −6) ). Мы используем взаимное отношение тангенса и котангенса, чтобы нарисовать f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.f (x) = 4cot (π8x − π2) −2.
• Шаг 8. Вертикальные асимптоты: x = 4x = 4 и x = 12.x = 12.

График представлен на рисунке 15.

Рисунок 15 Один период модифицированной функции котангенса

Использование графиков тригонометрических функций для решения реальных задач

Многие реальные сценарии представляют периодические функции и могут быть смоделированы тригонометрическими функциями. В качестве примера вернемся к сценарию из начала раздела.Вы когда-нибудь наблюдали луч, образованный вращающимся светом на полицейской машине, и задавались вопросом о движении самого светового луча по стене? Периодическое поведение расстояния, на которое светит свет, как функция времени, очевидно, но как определить расстояние? Мы можем использовать касательную функцию.

Пример 10

Использование тригонометрических функций для решения реальных сценариев

Предположим, что функция y = 5tan (π4t) y = 5tan (π4t) отмечает расстояние при движении светового луча от верха полицейской машины через стену, где tt — время в секундах, а yy — расстояние в футах. из точки на стене прямо напротив полицейской машины.

1. ⓐ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения и период.
2. ⓑ График на отрезке [0,5]. [0,5].
3. ⓒ Вычислите f (1) f (1) и обсудите значение функции на этом входе.

Решение

1. ⓐ Из общего вида y = Atan (Bt) y = Atan (Bt) мы знаем, что | A || A | — коэффициент растяжения, а πBπB — период.

   Рисунок 16

   Мы видим, что коэффициент растяжения равен 5.Это означает, что луч света переместится на 5 футов по истечении половины периода.

   Период равен ππ4 = π1⋅4π = 4.ππ4 = π1⋅4π = 4. Это означает, что каждые 4 секунды луч света скользит по стене. Расстояние от места напротив полицейской машины увеличивается по мере приближения полицейской машины.

2. ⓑ Чтобы построить график функции, мы рисуем асимптоту при t = 2t = 2 и используем коэффициент растяжения и период. См. Рисунок 17.

   Рисунок 17

3. ⓒ период: f (1) = 5tan (π4 (1)) = 5 (1) = 5; f (1) = 5tan (π4 (1)) = 5 (1) = 5; через 1 секунду луч переместился на 5 футов с места напротив полицейской машины.

6.2 Упражнения по разделам

Устные

Объясните, как можно использовать график синусоидальной функции для построения графика y = cscx.y = cscx.

Как можно использовать график y = cosxy = cosx для построения графика y = secx? Y = secx?

Объясните, почему период tanxtanx равен π.π.

Почему на графике y = cscx? Y = cscx нет перехватов?

Как период y = cscxy = cscx сравнивается с периодом y = sinx? Y = sinx?

Algebraic

Для следующих упражнений сопоставьте каждую тригонометрическую функцию с одним из следующих графиков.

Рисунок 18

Для следующих упражнений найдите период и горизонтальный сдвиг каждой функции.

f (x) = 2tan (4x − 32) f (x) = 2tan (4x − 32)

h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1)) h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1))

m (x) = 6csc (π3x + π) m (x) = 6csc (π3x + π)

Если tanx = −1,5, tanx = −1,5, найти tan (−x) .tan (−x).

Если secx = 2, secx = 2, найти sec (−x) .sec (−x).

Если cscx = −5, cscx = −5, найти csc (−x) .csc (−x).

Если xsinx = 2, xsinx = 2, найти (−x) sin (−x). (- x) sin (−x).

Для следующих упражнений перепишите каждое выражение так, чтобы аргумент xx был положительным.

детская кроватка (−x) cos (−x) + sin (−x) детская кроватка (−x) cos (−x) + sin (−x)

cos (−x) + tan (−x) sin (−x) cos (−x) + tan (−x) sin (−x)

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте два периода графика для каждой из следующих функций. Определите коэффициент растяжения, период и асимптоты.

f (x) = 2tan (4x − 32) f (x) = 2tan (4x − 32)

h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1)) h (x) = 2 секунды (π4 (x + 1))

m (x) = 6csc (π3x + π) m (x) = 6csc (π3x + π)

j (x) = загар (π2x) j (x) = загар (π2x)

p (x) = tan (x − π2) p (x) = tan (x − π2)

f (x) = загар (x + π4) f (x) = загар (x + π4)

f (x) = πtan (πx − π) −πf (x) = πtan (πx − π) −π

f (x) = — 14csc (x) f (x) = — 14csc (x)

f (x) = 4 секунды (3x) f (x) = 4 секунды (3x)

f (x) = — 3 детские кроватки (2x) f (x) = — 3 детские кроватки (2x)

f (x) = 7 секунд (5x) f (x) = 7 секунд (5x)

f (x) = 910csc (πx) f (x) = 910csc (πx)

f (x) = 2csc (x + π4) −1f (x) = 2csc (x + π4) −1

f (x) = — сек (x − π3) −2f (x) = — сек (x − π3) −2

f (x) = 75csc (x − π4) f (x) = 75csc (x − π4)

f (x) = 5 (детская кроватка (x + π2) −3) f (x) = 5 (детская кроватка (x + π2) −3)

Для следующих упражнений найдите и изобразите два периода периодической функции с заданным коэффициентом растяжения, | A |, | A |, периодом и фазовым сдвигом.

Касательная кривая, A = 1, A = 1, период π3; π3; и фазовый сдвиг (h, k) = (π4,2) (h, k) = (π4,2)

Касательная кривая, A = −2, A = −2, период π4, π4 и фазовый сдвиг (h, k) = (- π4, −2) (h, k) = (- π4, −2)

Для следующих упражнений найдите уравнение для графика каждой функции.

Технологии

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор, чтобы построить график двух периодов данной функции.Примечание: большинство графических калькуляторов не имеют кнопки косеканса; поэтому вам нужно будет ввести cscxcscx как 1sinx.1sinx.

f (x) = | csc (x) | f (x) = | csc (x) |

f (x) = | детская кроватка (x) | f (x) = | детская кроватка (x) |

f (x) = csc (x) sec (x) f (x) = csc (x) sec (x)

График f (x) = 1 + sec2 (x) −tan2 (x) .f (x) = 1 + sec2 (x) −tan2 (x). Какая функция показана на графике?

f (x) = сек (0.001x) f (x) = сек (0,001x)

f (x) = детская кроватка (100πx) f (x) = детская кроватка (100πx)

f (x) = sin2x + cos2xf (x) = sin2x + cos2x

Реальные приложения

Функция f (x) = 20tan (π10x) f (x) = 20tan (π10x) отмечает расстояние при движении светового луча от полицейской машины через стену за время x, x в секундах и расстояние f (х), f (х), в футах.

1. ⓐ График на интервале [0,5].[0,5].
2. ⓑ Найдите и интерпретируйте коэффициент растяжения, период и асимптоту.
3. ⓒ Оцените f (1) f (1) и f (2.5) f (2.5) и обсудите значения функции на этих входах.

Рыбак стоит на берегу озера и видит вдалеке лодку слева от себя. Пусть x, x, измеренный в радианах, будет углом, образованным линией обзора корабля и линией, направленной на север от его местоположения. Предположим, что север равен 0, а xx измеряется отрицательным слева и положительным справа.(См. Рисунок 19.) Лодка движется с запада на восток, и, игнорируя кривизну Земли, расстояние d (x), d (x) в километрах от рыбака до лодки определяется функцией d (x) = 1,5 секунды (x). d (x) = 1,5 секунды (x).

1. ⓐКакой разумный домен для d (x)? D (x)?
2. ⓑГраф d (x) d (x) в этой области.
3. ⓒ Найдите и обсудите значение любых вертикальных асимптот на графике d (x) .d (x).
4. ⓓ Вычислить и интерпретировать d (−π3).d (−π3). Округлить до второго десятичного знака.
5. ⓔ Вычислить и интерпретировать d (π6) .d (π6). Округлить до второго десятичного знака.
6. ⓕ Какое минимальное расстояние между рыбаком и лодкой? Когда это происходит?

Рисунок 19