Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

MN || AB

MN = AB/2

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA₁ = A₁A₂ = A₂A

3 = A₃A₄ = A₄A₅
Мы соединяем A₅ с B и проводим такие прямые через A₄, A₃, A₂ и A₁, которые параллельны A₅B. Они пересекают AB соответственно в точках B₄, B₃, B₂ и B₁. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB₃A₃A₅ мы видим, что BB₄ = B₄B₃. Таким же образом, из трапеции B₄B₂A₂A₄ получаем B₄B₃ = B₃B₂

В то время как из трапеции B₃B₁A₁A₃, B₃B₂ = B₂B₁.
Тогда из B₂AA₂ следует, что B₂B₁ = B₁A. В заключении получаем :
AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃

= B₃B₄ = B₄B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Средняя линия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 11 мая 2019; проверки требуют 4 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 11 мая 2019; проверки требуют 4 правки.

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника^[1].

Свойства[править | править код]

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
• средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
• три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки[править | править код]

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.
• Площадь и, соответственно, и объём отсекаемого средней линией треугольника равна 1/4 от площади и, соотвественно, объёму от всего данного треугольника.

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства[править | править код]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

• Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
• Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
• Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: EF=AD+BC2{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}, где AD и BC — основания трапеции.

Свойства[править | править код]

• средняя линия параллельна основаниям
• средняя линия равна полусумме оснований
• cредняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1]

S1S2=3BC+ADBC+3AD{\displaystyle {\frac {S_{1}}{S_{2}}}={\frac {3\,BC+AD}{BC+3\,AD}}}

Средняя линия треугольника и трапеции. Свойства биссектрисы, высоты и медианы

1. Главная
2. Геометрия
3. Средняя линия треугольника и трапеции. Свойства биссектрисы, высоты и медианы

В курсе рассмотрены свойства биссектрисы, высоты, медианы и срединного перпендикуляра угла и треугольника. Сформулированы и доказаны свойства средней линии треугольника и трапеции. Приведены формулировки и доказательства теорем о свойствах высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузы, о свойстве биссектрис внешнего и внутреннего угла треугольника, о свойстве точек биссектрисы угла и срединного перпендикуляра. Описаны и доказаны свойства «замечательных точек треугольника» — точек пересечения биссектрис, высот, медиан и срединных перпендикуляров углов треугольника. Выполнено построение среднего пропорционального, основывающееся на теореме о свойствах высоты, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузы.

1. Средняя линия треугольника и её свойство — доказательство
2. Свойство средней линии трапеции — доказательство
3. Теорема о свойстве точек срединного перпендикуляра
4. Теорема о свойстве точек биссектрисы угла
5. Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Доказательство
6. Теорема о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника. Доказательство
7. Теорема о свойстве высоты проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказательство
8. Первая замечательная точка треугольника
9. Вторая замечательная точка треугольника
10. Третья замечательная точка треугольника — доказательство
11. Четвёртая замечательная точка треугольника — доказательство

Отрезок средней линии трапеции | Треугольники

Утверждение

Отрезок средней линии трапеции, расположенный между её диагоналями, равен полуразности оснований трапеции.

 

Дано:  ABCD — трапеция, AD∥BC,

MN — средняя линия трапеции ABCD,

AC∩MN= P, BD∩MN=K

Доказать:

   

Доказательство:

1) AM=BM, MP∥BC (так как MN — средняя линия трапеции).

Следовательно, по теореме Фалеса  AP=PC.

Поэтому MP — средняя линия треугольника ABC.

По свойству средней линии треугольника,

   

2) Аналогично, MK — средняя линия треугольника ABD и

   

   

Что и требовалось доказать.

Трапеция

«Средняя линия треугольника и трапеции»

Урок геометрии в 8-м классе на тему

«Средняя линия треугольника и трапеции»

Цели урока:

Образовательные:

• повторение определений средней линии треугольника и трапеции;

• применение свойств средней линии при решении задач;

• формирование умения анализировать знания о средней линии треугольника и трапеции и приведение их в систему.

Развивающие:

• развитие геометрического мышления обучающихся при решении геометрических задач, интереса к предмету, познавательной и творческой деятельности учащихся, математической речи, памяти, внимания;

• обучение учащихся учиться математике, самостоятельной добыче знаний.

Воспитательные:

• воспитание у учащихся ответственного отношения к учебному труду, воли;

• формирование эмоциональной культуры и культуры общения

Тип урока: урок — повторение

Оборудование: листы оценивания, стикеры, плакаты, маркеры, конверты для рефлексии, презентация физминутки.

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

1. ПОБУЖДЕНИЕ 5’

Приветствие учителя

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

Мотивация урока.

Сегодня мы продолжим путешествие по прекрасной стране Геометрия. Лучше разглядим ее красоту и совершенство. Девизом нашего урока будет: «С любовью к ее величеству — науке геометрии». Для того, чтобы работа каждого была сегодня замечена, я предлагаю вам заполнить лист оценивания. Здесь будут отмечаться ваши оценки за каждый вид работ. Вашу работу буду оценивать я, командир команды и вы сами. В итоге выведите среднюю отметку за урок.

Обучающиеся приветствуют учителя вставанием.

Дети настроены на урок. Готовы к получению знаний.

Дети заполняют лист в начале урока.

2. ПРЕЗЕНТАЦИЯ 8’

Работа в группах.

Сегодня вы будете работать в группах. Поэтому, для того, чтобы ваша совместная работа была плодотворной, необходимо разработать правила, по которым вы будете работать. Давайте обговорим, какие, по-вашему мнению, должны быть правила?

Дети отвечают: каждый в группе обязан работать, соблюдение дисциплины, помогать друг другу, мнение каждого ценно и т.д. Оформляют на листе. Оцениваются с помощью стикеров. Лучшие правила берутся за основу. Распределяют обязанности в группе: таймкипер, секретарь, докладчик, председатель, генерал, новатор.

Проверка домашнего задания.

Вопросы учителя

Ответы обучающихся

Какое определение было задано на повторение?

Определение средней линии треугольника и трапеции

Как разделить отрезок на несколько равных частей?

с помощью линейки, циркуля, с применением теоремы Фалеса

Какое значение имеет средняя линия в геометрии?

Зная определение мы можем решать задачи, представить практическое применение линий в строительстве, инженерии

Какое место в геометрии занимает изучение средней линии?

Изучение средней линии является одной из основных тем, и ее понятие формирует базовые представления о геометрии

3. ПРИМЕНЕНИЕ 24’

1.Работа в группе. 10’

Используя материал учебника обучаемые (по методике «Инсерт») выделяют самое главное и составляют презентацию по теме: «Средняя линия треугольника и трапеции» в виде: 1. Разговор с подругой. 2. Статья в научный журнал. 3. Репортаж с урока. 4. Объяснение родителям

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Средняя линия трапеции параллельная основаниям и равна их полусумме.

2.Защита проекта.

Выступают докладчики от каждой группы.1 группа представляет доклад как разговор подружек, 2 группа – как статья в научный журнал, 3 группа как репортаж с урока, 4 группа – как объяснение родителям.

3.Оценивание.

Оценки заполняются в таблицу учителем

С учетом критериев, которые были разработаны на предыдущем уроке с помощью учителя:

1. Содержательность (3 б.)

2. Эстетическое оформление (2 б.)

3. Время (1 б.)

4. Защита проекта (3 б.)

№ группы

Критерии

1 группа

2 группа

3 группа

4 группа

Содержательность (3 б)

Эстетическое оформление (2 б)

Защита проекта (3 б)

Время (1 б)

Итого мах = 9 б

Дети наклеивают стикеры с пожеланиями. Формативное оценивание.

Капитаны команд в листах оценивания отмечают работу каждого в группе.

4.Физкультминутка.

Одолела вас дремота,

(Зеваем.)

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись,

(Руки вверх, потянулись.)

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире.

(Руки в стороны.)

Раз, два, три, четыре.

Наклониться — три, четыре

(Наклоны туловища.)

И на месте поскакать.

(Прыжки на месте.)

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

Дети выполняют физминутку. Есть пассивные наблюдатели.

5. Самостоятельная работа учащихся. 6’

Решение задач по готовым чертежам.

1. Сколько средних линий можно построить в данном треугольнике?

2. Стороны треугольника равны 4 м, 6 м и 8 м. Чему равны средние линии этого треугольника?

3. DЕ – средняя линия треугольника АВС. Определите сторону АВ, если DЕ=4см. б) DЕ=5 см, DС=3 см, СЕ=6 см. Определите стороны треугольника АВС.

4. АВСД трапеция. ВС и АД – основания трапеции. МР – средняя линия трапеции, делит диагональ АС на отрезки АК и КС. Найдите МР и ВС, если МК=3дм, АД=10дм.

5. Задание продвинутого уровня

Решение задач на скорость. Кто первый решит – тот выходит к доске с кратким решением. Работа его оценивается учителем в листе оценивания.

4.РЕФЛЕКСИЯ 8’

1. Выводы. Вот и подошел к концу наш урок. Давайте подведем итоги в виде синквейна по теме.

Дети составляют синквейн по теме средняя линия.

Средняя линия

Параллельная, делящая

Проводится, делит, лежит

Средняя линия есть у треугольника и у трапеции.

Половина основания

2. Оценивание. Посчитайте свою среднюю отметку за урок. Поднимите, кто получил сегодня «5», «4», «3». Поставьте свои оценки в дневник. Листы оценивания сдайте командиру команды. Он сдаст их мне.

3. Свое настроение нарисуйте на листке и положите в соответствующий конверт.

4.Домашнее задание:

Спасибо за урок!

Сдают листы оценивания командиру команды

Рисуют смайлик и кладут в соответствующий конверт. Записывают д\з в дневник.

Средняя линия треугольника — это… Что такое Средняя линия треугольника?



Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.^[1]

Свойства средней линии треугольника:

1. средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
2. при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции.

Свойство средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям трапециии равна их полусумме.

Примечания

Wikimedia Foundation. 2010.

• Реддлы
• Бег на длинные дистанции

Смотреть что такое «Средняя линия треугольника» в других словарях:

• Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства …   Википедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… …   Большая политехническая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Большой Энциклопедический словарь

• средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Энциклопедический словарь

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… …   Математическая энциклопедия

• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Средняя линия —         1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… …   Большая советская энциклопедия

• Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия

• Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С …   Википедия

• Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

Средняя линия — это… Что такое Средняя линия?

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.^[1]

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
• при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника.

Средняя линия четырехугольника

Средняя линия четырехугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей ( не во всех четырехугольниках центры пересекаются)

• Если в выпуклом четырехугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
• Длина средней линии четырехугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
• Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
• Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырехугольника.
• В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Свойства

• средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

.

См. также

Примечания