Теорема фалеса геометрия 8 класс доказательство – ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №385. Докажите теорему Фалеса…

Урок 5. теорема фалеса - Геометрия - 8 класс


Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А1А2 = А2А3
c || d || e
Доказать: В1В2 = B2В3
Доказательство:
А) пусть a || b
А1А2 = В1В2
А2А3 = B2В3
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3
Б) пусть ab

Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е.
A1FB

2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2
Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В1В2 = B2В3
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.

Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.

Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.

Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

resh.edu.ru

План-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему: Урок по геометрии в 8 классе по теме "Теорема Фалеса"

Урок геометрии в 8 классе.

Тема: «Теорема Фалеса»

Дата проведения: 20.10.2014 г.

Учитель: Ярославцева Мария Николаевна.

Место проведения: МКОУ «Сухоплотавская ООШ», Тульская область, Воловский район, д. Сухие Плоты.

Цели:

Образовательные:

- рассмотреть теорему Фалеса и её доказательство;

- закрепить теорему Фалеса в процессе решения задач;

- совершенствовать навыки решения задач на применение знаний по теме «Трапеция»

Воспитательные:

- формирование способностей анализировать свои действия, умения внимательно слушать

Развивающие:

Развитие логического мышления, воображения, памяти, кругозора, умения рассуждать и аргументировать.

Оборудование: доска, циркуль, линейка, треугольник, компьютер, проектор, экран, презентация.

Ход урока.

  1. Сообщение темы и целей урока.

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

Тема сегодняшнего урока «Теорема Фалеса». Вы не только познакомитесь с этой теоремой, её доказательством, но также увидите, где можно ее применить.

Предлагаю выполнить такое задание: разделить отрезок на две, четыре, три части с помощью циркуля. (Учащиеся выходят к доске и показывают)

Перед вами стоит проблема деления отрезка на три равные части, а ученые столкнулись с проблемой деления отрезка на равные части много веков назад. И, конечно, они нашли выход из положения.

И чтобы нам сегодня справиться с возникшей задачей, докажем одну из важнейших  теорем геометрии, которая называется Теорема Фалеса. Кем же был Фалес, что в его честь даже названа теорема в геометрии?

Фалес Милетский – древнегреческий философ из г. Милета (Малая Азия – территория современной Турции). Сведения о его жизни до сих пор носят противоречивый характер, но считается, что:

- именно он привез геометрию из Египта и познакомил с нею греков; его последователи и ученики основали Милетскую школу;

- именно его греки уже в древности называли «отцом философии»;

- именно он «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент;

- именно он ввёл календарь по египетскому образцу, в котором год состоял из 365 дней.

 - одна из легенд гласит, что будучи в Египте, Фалес поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно измерить высоту пирамиды. Как вы думаете, как он это сделал? Дождался пока длина тени от палки станет равной самой палке, значит и тень от пирамиды равна будет самой пирамиде;

- он предсказал солнечное затмение в мае 585 года до н.э.

Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ученый первый стал доказывать геометрические теоремы:

  • круг делится диаметром пополам;
  • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
  • при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны;
  • два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

Вот такой был Фалес Милетский, в честь которого названа теорема в геометрии и эту теорему мы сегодня и рассмотрим.

  1. Изучение нового материала.

Помощь в доказательстве Теоремы Фалеса нам окажет задача № 384, которую мы сейчас решим. (презентация)

Задача. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Доказательство.

  1. Проведем DC║АВ.
  2. Рассмотрим Δ AMN и ΔNDC.
  1. AM = MВ (по условию), МВ = DC (как противоположные стороны параллелограмма BMDC), поэтому AM = DC.
  2. Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и MD)

Из  1) и 2)  Δ AMN = ΔNDC, значит AN = NC, что и требовалось доказать.

        Какой вывод из этой задачи мы можем сделать?

        Если в треугольнике через середину одной стороны провести прямую, параллельную одной из двух других сторон, то эта прямая пройдет через середину третьей стороны.

Теорема Фалеса: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки».

Доказательство:

Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, …. Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем , например, что В1В2 = В2В3.

  1. Пусть l1║l2. Тогда А1А2 = В1В2, А2А3 = В2В3, как противоположные стороны параллелограммов А1 В1В2 А2 и А2В2В3А3.  Т.к. А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3.
  2. Если l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведем прямую l║ l1. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках C и D.  Так как А1А2 = А2А3, то по ранее доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3.

Теорема доказана.

  1. Закрепление пройденного материала.

Решение задач на готовых чертежах.

  1. Практическая работа.

Разделить отрезок на 5 равных частей.

  1. Итоги урока.

- С какой теоремой вы сегодня познакомились?

- На сколько частей вы теперь можете разделить данный отрезок?

Собрать из кусочков Теорему Фалеса.

  1. Домашнее задание.

Решить задачу № 391        

Выучить доказательство теоремы Фалеса

(см. запись в тетради или задачи № 384, 385)

Выполнить практическую работу:

Разделить отрезок на 11 равных частей.

nsportal.ru

Презентация "Теорема Фалеса" - Математика

Просмотр содержимого документа
«Презентация "Теорема Фалеса"»

Теорема Фалеса Геометрия 8 класс

Теорема Фалеса

Геометрия

8 класс

Устный счет  Найдите углы параллелограмма В С ? ? В С ? 107 ° ? 64 ° D А ? ? А D

Устный счет Найдите углы параллелограмма

В

С

?

?

В

С

?

107 °

?

64 °

D

А

?

?

А

D

Устный счет  Найдите углы трапеции В С ? 107 ° ? 45 ° D А В С ? ? 32 ° 74 ° А D

Устный счет Найдите углы трапеции

В

С

?

107 °

?

45 °

D

А

В

С

?

?

32 °

74 °

А

D

Устный счет  Найдите углы равнобедренной трапеции В С ? ? В С ? 101 ° ? 47 ° А D ? ? D А

Устный счет Найдите углы равнобедренной трапеции

В

С

?

?

В

С

?

101 °

?

47 °

А

D

?

?

D

А

Устный счет  Найдите периметр параллелограмма 25 см 15 см 12 см 2,8 дм

Устный счет Найдите периметр параллелограмма

25 см

15 см

12 см

2,8 дм

Фалес Милетский Древнегреческий философ, родоначальник античной и вообще европейской философии и науки, основатель милетской школы. Важнейшей заслугой Фалеса в области математики считается перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами; диаметр делит круг на две равные части . Фалесу приписывается решение двух геометрических задач практического характера: определение расстояния на море от корабля до Милетской гавани и определение высоты пирамиды по длине ее тени.

Фалес Милетский

Древнегреческий философ, родоначальник античной и вообще европейской философии и науки, основатель милетской школы.

Важнейшей заслугой Фалеса в области математики считается перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии:

  • вертикальные углы равны;
  • углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  • треугольник определяется стороной и прилежащими к ней двумя углами;
  • диаметр делит круг на две равные части .

Фалесу приписывается решение двух геометрических задач практического характера: определение расстояния на море от корабля до Милетской гавани и определение высоты пирамиды по длине ее тени.

В М N Задача .  Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС. А С

В

М

N

Задача . Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС.

А

С

Задача .  Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС. Доказательство :  Через точку С проведем СD ║АВ.    АМ = МВ – по условию, АМ = СD по построению (АМDС – параллелограмм). Значит МВ = СD,  ВМN = CDN  ВN = NС. В  3 D N М  1  2  4 С А

Задача . Через середину М стороны треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне АС. Эта прямая пересекает сторону ВС в точке N. Докажите, что ВN=NС.

Доказательство : Через точку С проведем СD ║АВ.

АМ = МВ – по условию, АМ = СD по построению (АМDС – параллелограмм). Значит МВ = СD,

ВМN = CDN

ВN = NС.

В

3

D

N

М

1

2

4

С

А

Теорема Фалеса .  Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки . А1А2=А2А 3 =А 3 А 4 =… В1В2 ? В2В 3 ? В 3 В 4 ?...

Теорема Фалеса . Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их вершины провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки .

А1А2=А2А 3 =А 3 А 4 =… В1В2 ? В2В 3 ? В 3 В 4 ?...

Доказательство : Через точку В1 проведем . А1А2 = В1С,   А2А1В1С – параллелограмм. А2А 3 = СD, А3А2СD – параллелограмм. Т. к. А1А2 = А2А 3 , то В1С = СD. В треугольнике В1DВ 3 В1С = СD и СВ2  DВ 3 Значит В1В2 = В2В 3 . Аналогично можно доказать, что В2В 3 = В 3 В 4 = …

Доказательство :

Через точку В1 проведем . А1А2 = В1С,

А2А1В1С – параллелограмм.

А2А 3 = СD,

А3А2СD – параллелограмм.

Т. к. А1А2 = А2А 3 , то В1С = СD.

В треугольнике В1DВ 3

В1С = СD и СВ2 DВ 3

Значит В1В2 = В2В 3 .

Аналогично можно доказать, что В2В 3 = В 3 В 4 = …

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохранять курс судов друг на друга .

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохранять курс судов друг на друга .

Решение задач по готовым чертежам  А 1 В 1 ‖А 2 В 2 ‖А 3 В 3 ‖А 4 В 4 ;  АА 1 =А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 ; АВ 4 =20 см.  Найти В 2 В 3.

Решение задач по готовым чертежам А 1 В 1 ‖А 2 В 2 ‖А 3 В 3 ‖А 4 В 4 ; АА 1 1 А 2 2 А 3 3 А 4 ; АВ 4 =20 см. Найти В 2 В 3.

Решение задач по готовым чертежам  Дано: EF ‖AC. Найти: Р АВС

Решение задач по готовым чертежам Дано: EF ‖AC. Найти: Р АВС

Решение задач по готовым чертежам  ABCD – трапеция. Доказать: АО = ОС.

Решение задач по готовым чертежам ABCD – трапеция. Доказать: АО = ОС.

Решение задач по готовым чертежам  ABCD – трапеция, МК ‖ ВЕ ‖ СD, АD = 16.  Найти: АК.

Решение задач по готовым чертежам ABCD – трапеция, МК ‖ ВЕ ‖ СD, АD = 16. Найти: АК.

Решение задач по готовым чертежам  ABCD – трапеция, МК ‖ ВЕ ‖ СD, АD = 16.  Найти: АК.

multiurok.ru

Презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме: Теорема Фалеса

Слайд 1

Теорема Фалеса Т еорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. а) . Теорему Фалеса можно применять для деления отрезка на n равных частей (рис. б) .

Слайд 2

Отношением двух отрезков AB и CD называется число, показывающее сколько раз отрезок CD и его части укладываются в отрезке АВ . Теорема о пропорциональных отрезках Говорят, что отрезки АВ , CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 , C 1 D 1 , если равны их отношения

Слайд 3

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a6b1-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm

Слайд 4

Теорема. (обобщенная теорема Фалеса) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Слайд 5

Пример 1 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , B и C , D соответственно. Найдите OA , если OB = 15 см и OC : OD = 2 : 5. Ответ: 6 см.

Слайд 6

Пример 2 Докажите, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Решение: Пусть CD биссектриса треугольника ABC . Докажем, что AD : DB = AC : BC . Проведем прямую BE , параллельную CD . В треугольнике BEC угол B равен углу E . Следовательно, BC = EC . По следствию из теоремы о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC .

Слайд 7

Упражнение 1 Определите, пропорциональны ли пары отрезков а , b и c , d , если: а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см; б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см. Ответ: а) Да; б) нет.

Слайд 8

Упражнение 2 Среди отрезков a , b , c , d , e выберите пары пропорциональных отрезков, если а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см. Ответ: a , e и b , d .

Слайд 9

Упражнение 3 Даны три отрезка: а , b , и с . Какова должна быть длина четвертого отрезка d , чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если а = 6 см, b = 3 c м, с = 4 см, и отрезок d больше каждого из этих отрезков. Ответ: 8 см.

Слайд 10

Упражнение 6 На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок? Ответ: 4,5 см.

Слайд 11

Упражнение 7 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , B и C , D соответственно. Найдите: а) CD , если OA = 8 см, AB = 4 см, OD = 6 см; б) OC и OD , если OA : OB = 3 : 5 и OD – OC = 8 см; в) OA и OB , если OC : CD = 2 : 3 и OA + OB = 14 см. Ответ: а) 2 см; б) 12 см и 20 см; в) 4 см и 10 см .

Слайд 12

Упражнение 8 Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую? Ответ: 1 см, 7 см и 8 см. А В С М D К

Слайд 13

Упражнение 9 Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, если периметр исходного треугольника равен p . Ответ: p .

Слайд 14

Упражнение 11 Ответ: c м. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е , причем AD = АВ , АЕ = АС . Чему равен отрезок DE , если отрезок ВС равен 5 см?

Слайд 15

Упражнение 12 В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ , равной 18 см. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника. Ответ: 4,5 см, 9 см, 13,5 см.

Слайд 16

Упражнение 13 Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции. Ответ: 16 см и 18 см.

nsportal.ru

Теорема Фалеса (теория) - Геометрия

Теорема Фалеса Урок геометрии в 8 классе Учитель математики ГБОУ Школа №15  Дмитрий Вадимович Лабзин

Теорема Фалеса

Урок геометрии в 8 классе

Учитель математики ГБОУ Школа №15

Дмитрий Вадимович Лабзин

Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. l 2 l 1 A 1 B 1 По условию: A 1 A 2 =A 2 A 3 =A 3 A 4 =A 4 A 5 =A 5 A 6 =A 6 A 7 A 2 B 2 A 3 B 3 A 4 B 4 Надо доказать: B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 3 B 4 =B 4 B 5 =B 5 B 6 =B 6 B 7 B 5 A 5 A 6 B 6 B 7 A 7

Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

l 2

l 1

A 1

B 1

По условию: A 1 A 2 =A 2 A 3 =A 3 A 4 =A 4 A 5 =A 5 A 6 =A 6 A 7

A 2

B 2

A 3

B 3

A 4

B 4

Надо доказать:

B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 3 B 4 =B 4 B 5 =B 5 B 6 =B 6 B 7

B 5

A 5

A 6

B 6

B 7

A 7

Доказательство. 1) Пусть   l 2 l 1 A 1 B 1 Так как и ; …, то - параллелограммы. Следовательно,   … (по свойству параллелограмма) и … (по условию), то … A 2 B 2 A 3 B 3 A 4 B 4 A 5 B 5 A 6 B 6 A 7 B 7

Доказательство.

1) Пусть

 

l 2

l 1

A 1

B 1

Так как и ; …, то - параллелограммы. Следовательно,

 

… (по свойству параллелограмма) и … (по условию), то …

A 2

B 2

A 3

B 3

A 4

B 4

A 5

B 5

A 6

B 6

A 7

B 7

l 2 l 3 l 1 2) Пусть   A 1 B 1 A 2 Проведем   Проведем   (по свойству параллелограмма). B 2 Е C A 3 B 3 D A 4 B 4 A 5 B 5 A 6 B 6 A 7 B 7 B 1 Рассмотрим Δ     2)  3) Так как , а , то  Следовательно, Δ (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно Следующие равенства доказываются аналогично. C E B 2 D B 3

l 2

l 3

l 1

2) Пусть

 

A 1

B 1

A 2

Проведем

 

Проведем

(по свойству параллелограмма).

B 2

Е

C

A 3

B 3

D

A 4

B 4

A 5

B 5

A 6

B 6

A 7

B 7

B 1

Рассмотрим Δ

 

2)

3) Так как , а , то

Следовательно, Δ (по стороне и двум прилежащим к ней углам), следовательно

Следующие равенства доказываются аналогично.

C

E

B 2

D

B 3

multiurok.ru

Конспект урока геометрии, 8 класс, по теме "Теорема Фалеса"

Урок геометрии в 8 классе. Тема: «Теорема Фалеса»

Дата проведения: 30.09.2019 г.

Учитель: Самаркина Ирина Николаевна.

Место проведения: МБОУ «Школа №130», г.Казань

Цели:

Образовательные: - рассмотреть теорему Фалеса и её доказательство; - закрепить теорему Фалеса в процессе решения задач;

- совершенствовать навыки решения задач на применение знаний по теме «Трапеция»

Воспитательные: - формирование способностей анализировать свои действия, умения внимательно слушать.

Развивающие: Развитие логического мышления, воображения, памяти, кругозора, умения рассуждать и аргументировать.

Оборудование: доска, циркуль, линейка, треугольник, компьютер, проектор, экран, презентация.

Ход урока.

  1. Сообщение темы и целей урока.

Повторим пройденный материал (решение задач по готовым чертежам), дадим определение трапеции, вспомним свойства равнобедренной трапеции (презентация).

Предлагаю выполнить такое задание: разделить отрезок на две, четыре, три части с помощью циркуля. (Учащиеся выходят к доске и показывают). Перед вами стоит проблема деления отрезка на три равные части, а ученые столкнулись с проблемой деления отрезка на равные части много веков назад. И, конечно, они нашли выход из положения.

Итак, тема сегодняшнего урока «Теорема Фалеса». Вы не только познакомитесь с этой теоремой, её доказательством, но также увидите, где можно ее применить.

Кем же был Фалес, что в его честь даже названа теорема в геометрии? Фалес Милетский – древнегреческий философ из г. Милета (Малая Азия – территория современной Турции). Сведения о его жизни до сих пор носят противоречивый характер, но считается, что: - именно он привез геометрию из Египта и познакомил с нею греков; его последователи и ученики основали Милетскую школу; - именно его греки уже в древности называли «отцом философии»; - именно он «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент; - именно он ввёл календарь по египетскому образцу, в котором год состоял из 365 дней. - одна из легенд гласит, что будучи в Египте, Фалес поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно измерить высоту пирамиды. Как вы думаете, как он это сделал? Дождался пока длина тени от палки станет равной самой палке, значит и тень от пирамиды равна будет самой пирамиде; - он предсказал солнечное затмение в мае 585 года до н.э.

Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ученый первый стал доказывать геометрические теоремы:

- круг делится диаметром пополам;

- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

- при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны; - два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

II. Изучение нового материала. Помощь в доказательстве Теоремы Фалеса нам окажет задача № 384, которую мы сейчас решим.

(презентация) Задача. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Доказательство. 1. Проведем DC║АВ. 2. Рассмотрим Δ AMN и ΔNDC. 1) AM = MВ (по условию), МВ = DC (как противоположные стороны параллелограмма BMDC), поэтому AM = DC. 2) Угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущими AC и MD). Из 1) и 2) → Δ AMN = ΔNDC, значит AN = NC, что и требовалось доказать.

Какой вывод из этой задачи мы можем сделать? Если в треугольнике через середину одной стороны провести прямую, параллельную одной из двух других сторон, то эта прямая пройдет через середину третьей стороны.

Сформулируем теорему Фалеса: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки».

Доказательство: Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, … и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, …. Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем , например, что В1В2 = В2В3. 1) Пусть l1║l2. Тогда А1А2 = В1В2, А2А3 = В2В3, как противоположные стороны параллелограммов А1 В1В2 А2 и А2В2В3А3. Т.к. А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3. 2) Если l1 и l2 не параллельны, то через точку В1 проведем прямую l║ l1. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках C и D. Так как А1А2 = А2А3, то по ранее доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3. Теорема доказана. III.

Закрепление пройденного материала. Решение задач на готовых чертежах.

IV. Итоги урока. - С какой теоремой вы сегодня познакомились? - На сколько частей вы теперь можете разделить данный отрезок? – Сформулируйте теорему Фалеса.

VI. Домашнее задание. Решить задачу № 391 Выучить доказательство теоремы Фалеса (см. запись в тетради или задачи № 384, 385) Выполнить практическую работу: Разделить отрезок на 11 равных частей.

infourok.ru

Урок геометрии в 8 классе на тему "Теорема Фалеса" по ТРКМ

  1. Метод «Фишбон» по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они равные отрезки и на другой его стороне.hello_html_m233becb8.gif

hello_html_m4c4b6ddc.png

  1. Метод «INSERT» стр. 34 Пример 1 «Разделить отрезок на 3 равные части»

Учащиеся читают текст, делая пометки на полях:

“v” – известная информация;

“+” – новая информация;

“–” – информация, идущая вразрез с имеющимися представлениями и знаниями;

“?” – непонятная информация.

После работы с текстом – обсуждение с обязательным обращением к исходному тексту и составление алгоритма.

Алгоритм деления данного отрезка на N равных частей без измерения длины

  • Постройте отрезок АВ.

  • Постройте луч АК, не совпадающий с АВ.

  • На луче АК отложите N равных отрезков.

  • Через точку В и последнюю точку на луче проведите прямую.

  • Через концы отрезков, отложенных на луче АК, проведите прямые, параллельные первой прямой.

  • Сравните отрезки, получившиеся на отрезке АВ.

  • Сделать вывод и заполнить таблицу «З-Х-У» (заполнить столбик «У» - «Узнал»).

  1. Критерии успеха (вырабатываются вместе с учащимися):

- верно построен луч, не совпадающий с данным отрезком

- верно на луче отложены N равных отрезков

- верно проведены параллельные прямые

- верно найдены точки пересечения параллельных прямых и отрезка

- верно сделан вывод о равенстве полученных отрезков

  1. Метод «Перепутанная логическая цепочка» (групповая работа по алгоритму деления отрезка на части)

Приложение №1

(Количество правильных ответов – количество баллов, максимум - 10)

  1. Выставление оценок в оценочные листы по набранным баллам Приложение №2

  2. Домашнее задание:

1) Шыныбеков А.Н. Геометрия: Учебник для 8 класса. Стр. 33.

2) №№ 128.

3) Составить кластер по теореме Фалеса.

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о