Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов β€” ВикипСдия – ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ (Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ

Π’ΠΈΠΏΡ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ равСнства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ равСнства ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

      Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

      Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC (рис.1)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рис.1

ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ равСнству

c2 = a2 + b2

      Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ рассмотрим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ c, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° рисункС 2.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рис.2

      ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ ABC (рис.3, рис.4), ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ a – b (рис.5).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ
Рис.3
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ
Рис.4
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ
Рис.5

      ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ справСдливо равСнство

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΠ’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов

      Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон минус ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ этих сторон Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

      Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ сначала Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ A ΠΈ Π‘ – острыС (рис.6).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рис.6

      Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ равСнству

a2 = b 2 + c 2 –
– 2bc cos A
(1)

      Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ высоту BD ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ B (рис.7).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рис.7

      Π’ соотвСтствии с опрСдСлСниями синуса ΠΈ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° справСдливы равСнства

BD = c sin A,   AD = c cos A,   DC = b β€“ AD = b β€“ c cos A.

      Из Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ BDC, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

a 2 = BD 2 + DC 2 =
= c
2 sin2 A + (b – c cos A)2 =
= c 2 sin2 A + b2 –
– 2 bc cos A + c 2 cos2 A =
= b2 + c 2 – 2 bc cos A.

      Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² случаС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Ρ острыми ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ Π‘ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

      Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 1. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ случаи:

  1. Π£Π³ΠΎΠ» A β€“ острый, ΡƒΠ³ΠΎΠ» C β€“ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ (рис.8)

    Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

    Рис.8

  2. Π£Π³ΠΎΠ» A β€“ прямой (рис. 9).

    Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

    Рис.6

  3. Π£Π³ΠΎΠ» A β€“ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ (рис.10).

    Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

    Рис.10

      Π’ΠΎ всСх пСрСчислСнных случаях Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов проводятся ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ сдСлано для случая острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² A  ΠΈ C, ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ провСсти эти Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π² качСствС ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ нСслоТного упраТнСния.

      Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 2. Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» A ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

a2 = b2 + c2,

ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° являСтся частным случаСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов.

      Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ 3. Π•сли Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° извСстны Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ всСх сторон, Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ косинусов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ косинус любого ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ Π Π΅Π·ΠΎΠ»ΡŒΠ²Π΅Π½Ρ‚Π°

      На нашСм сайтС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ нашими ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΈ ΠžΠ“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов | Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ любой стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон минус ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих сторон Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

 

Π”Π°Π½ΠΎ:

βˆ† ABC.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

 

   

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

 

I. Если Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC β€” ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

1) ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр CD Π½Π° сторону AB.

2) Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ADC.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°,

   

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ косинуса острого ΡƒΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅,

   

ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

   

3) Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ BDC.

   

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

   

   

   

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ

   

   

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°

   

 

 II. Если Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC β€” Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

1) ΠžΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ пСрпСндикуляр CD Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ сторону AB.

2) Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ADC.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°,

   

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ косинуса,

   

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ A ΠΈ CAD β€” смСТныС, Ρ‚ΠΎ ∠CAD=180ΒΊ-∠A. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ привСдСния

   

   

   

3) Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ BDC.

   

   

Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ повторяСт рассуТдСния ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° I.

III. Если Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π³Π΄Π΅ ∠A=90ΒΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° (cos90ΒΊ=0).

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: тСория ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² называСтся ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ скалярным ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдставляСт собой? Π§Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ? Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ скаляр? Бкаляр β€” это число. И скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ число. Π­Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈ отличаСтся ΠΎΡ‚ ΡƒΠΆΠ΅ рассмотрСнной

суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ прСдстоит Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ скалярного произвСдСния, сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. Бкалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² называСтся число (скаляр), Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½ (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ) этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² согласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ 1: БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…   (1)

МоТно Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ: Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° сСбя БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

называСтся скалярным ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ.

На этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ распространённыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° нСпосрСдствСнноС вычислСниС скалярного произвСдСния, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π° выяснСниС ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ (пСрпСндикулярности) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²ΠΈΠ΄Π° ΡƒΠ³Π»Π° (Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, острый, прямой) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, вычислСниС скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…, вычислСниС Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠ°, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Но всС ΠΏΠΎ порядку. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° этот счёт гласит тСория. По Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π²Π°ΠΌ пригодится ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Если Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ прСподнСсСны Β«Π½Π° Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Ρ‡ΠΊΠ΅ с Π³ΠΎΠ»ΡƒΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‘ΠΌΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉΒ», Ρ‚ΠΎ условиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ Π΅Ρ‘ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ выглядят Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π”Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…. Найти скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…, Ссли ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ прСдставлСны ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ значСниями:

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

РСшСниС:

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ 1.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Бкалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² называСтся число (скаляр), Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° согласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ 2:

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…   (2)

ΠΈΠ»ΠΈ

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…   (3)

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ послС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСорСтичСского ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°.

Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ своими ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это число, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ суммС ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

На плоскости

Если Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° плоскости ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ своими двумя Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

ΠΈ

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…,

Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ….

Для самопровСрки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π’ пространствС

Если Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² пространствС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ своими трСмя Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…

ΠΈ

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…,

Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ:

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² - Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈ гСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния рассмотрСнным способом β€” послС Ρ€Π°Π·Π±ΠΎΡ€Π° свойств скалярного произвСдСния. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ потрСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

ГСомСтричСскиС свойства

Π’ опрСдСлСниях ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ касались понятия ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡ€Π° ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΡ‚ΡŒ это понятиС.

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

На рисункС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ. И ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° β€” Ο†1 ΠΈ Ο†2. Какой ΠΈΠ· этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π² опрСдСлСниях ΠΈ свойствах скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²? Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° рассмотрСнных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Ο€ ΠΈ поэтому косинусы этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π’ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ косинус ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ выраТСния. Но Π² свойствах рассматриваСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΠ³ΠΎΠ». И это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ прСвосходит Ο€, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 180 градусов. На рисункС этот ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Ο†1.

1. Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ β€” прямой (90 градусов ΠΈΠ»ΠΈ Ο€/2), Ссли скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ называСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

2. Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90 градусов, ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ самоС β€” мСньшС Ο€/2) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

3. Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡ‚ 90 Π΄ΠΎ 180 градусов, ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС β€” большС Ο€/2) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π’ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ скалярныС произвСдСния всСх ΠΏΠ°Ρ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Какой ΡƒΠ³ΠΎΠ» (острый, прямой, Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ) ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ эти ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

РСшСниС. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ слоТСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ прямой ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Для самопровСрки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ числа Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (пСрпСндикулярны).

РСшСниС. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вычислим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ слагаСмоС:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Боставим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (равСнство произвСдСния Π½ΡƒΠ»ΡŽ), ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ξ» = 1,8, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹.


Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Для самопровСрки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Иногда Π²Ρ‹ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ΡˆΠ½Ρ‹ΠΌ для наглядности являСтся прСдставлСниС Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-столбца:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ этих ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ способом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ рассмотрСли. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ СдинствСнноС число, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ-столбСц Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ СдинствСнным числом.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ абстрактных n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ элСмСнтами Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ-столбСц Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ элСмСнтами, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… пятимСрных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки с ΠΏΡΡ‚ΡŒΡŽ элСмСнтами Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ-столбСц Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с ΠΏΡΡ‚ΡŒΡŽ элСмСнтами ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Найти скалярныС произвСдСния ΠΏΠ°Ρ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ,

ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС.

РСшСниС. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-столбца. Находим скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹-строки Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ-столбСц:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Аналогично прСдставляСм Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρƒ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 2.


Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ красив ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΎΠΊ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ                              (1)

Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ скалярныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ². БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° само сСбя ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ записано Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚: скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° самого сСбя Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ нуля Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, поэтому ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ пСрпСндикулярны, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ 

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства значСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… скалярных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ²:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Найти ΡƒΠ³ΠΎΠ» Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

РСшСниС. Находим ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ,

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Для самопровСрки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Найти сумму, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

РСшСниС.

1.Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

2.Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

3.Π”Π»ΠΈΠ½Π°

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

4.БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

5.Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Для самопровСрки ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Найти Π°) ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅; Π±) ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.

РСшСниС.

Π°) ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” условиС коллинСарности (ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ части Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β»).

Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ 

РавСнство Π½Π΅ выполняСтся.

Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

РавСнство выполняСтся.

Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ:

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

РавСнство Π½Π΅ выполняСтся.

НашС исслСдованиС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Π±) Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ скалярныС произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
НашС исслСдованиС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈΠΈ Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Расчёт Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ постоянной силы

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· Π½Π° рисунок Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСмСщаСтся прямолинСйно ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° B ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм постоянной силы F = A, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ S = A. Из Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° силы F ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ S Ρ€Π°Π²Π½Π° Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° постоянной силы ΠΏΡ€ΠΈ прямолинСйном ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Ρ‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прилоТСния Ρ€Π°Π²Π½Π° скалярному ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° силы F = B Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрСмСщСния S = A.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² позволяСт Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ΠΎ часто встрСчаСтся Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, особСнно, аналитичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊ для любого Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ всё Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, ΠΎΡ‚ Π³Π»Π°Π΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… досок ΠΈ лСстниц-стрСмянок Π΄ΠΎ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ для программиста, ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹?

ЭкономичСский смысл скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’ экономичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ†Π΅Π½ p
Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² x . БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ px Π² этом случаС Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ ΡΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² x ΠΏΡ€ΠΈ Ρ†Π΅Π½Π°Ρ… p . НапримСр, Ссли ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌ всСх Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… прСдприятиСм, выраТаСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ x = (400; 750; 200; 300), элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ соотвСтствСнно количСство Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π½Π΅ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ порядкС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² x.

Рисунок ΠΊ пояснСнию ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ

Начало Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β»

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Β«Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β»

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусів β€” ВікіпСдія

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусів β€” Ρ†Π΅ твСрдТСння ΠΏΡ€ΠΎ Π²Π»Π°ΡΡ‚ΠΈΠ²Ρ–ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΡ–Π², Ρ‰ΠΎ Ρ” ΡƒΠ·Π°Π³Π°Π»ΡŒΠ½Π΅Π½Π½ΡΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄ΡŒ-якої сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” сумі ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Π²ΠΎΡ… Ρ–Π½ΡˆΠΈΡ… ΠΉΠΎΠ³ΠΎ сторін Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡ”Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ Ρ†ΠΈΡ… сторін Π½Π° косинус ΠΊΡƒΡ‚Π° ΠΌΡ–ΠΆ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π£ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ–Ρ— Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусів (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΆ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΈΠΉ як Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° косинуса, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинусу Π°Π±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Аль-ΠšΠ°ΡˆΡ–) пов’язує Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ сторін Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° Π· косинусом ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π· ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡƒΡ‚Ρ–Π². НСхай a,b,c{\displaystyle a,b,c} сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° ABC{\displaystyle ABC}, Π° Ξ±,Ξ²,Ξ³{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } Ρ†Π΅ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡƒΡ‚ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½Ρ– Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΌ сторонам. Π’ΠΎΠ΄Ρ–,

c2=a2+b2βˆ’2abcos⁑γ{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \;};
a2=b2+c2βˆ’2bccos⁑α{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha };
b2=a2+c2βˆ’2accos⁑β{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }.
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta } ΠŸΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ ΠΊΡƒΡ‚Ρ–Π² Ρ– сторін Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ°

Ця Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° корисна для знаходТСння Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΎΡ— сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° якщо Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΡ– Ρ–Π½ΡˆΡ– Π΄Π²Ρ– сторони Ρ‚Π° ΠΊΡƒΡ‚ ΠΌΡ–ΠΆ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚Π° для знаходТСння ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡƒΡ‚Ρ–Π², якщо Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΡ– Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ сторін.[1]

Π†Π· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ косинусів: ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ дСякого ΠΊΡƒΡ‚Π° Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” Π²Ρ–Π΄Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½Π½ΡŽ суми ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² сторін, ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π»ΠΈΡ… Π΄ΠΎ Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡƒΡ‚Π° Π±Π΅Π· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡ— ΠΉΠΎΠΌΡƒ сторони Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡ”Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π»ΠΈΡ… Π΄ΠΎ ΠΊΡƒΡ‚Π° сторін.

cos⁑α=b2+c2βˆ’a22bc{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}};

cos⁑β=a2+c2βˆ’b22ac{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}};

cos⁑γ=a2+b2βˆ’c22ab{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}.

Π―ΠΊΡ‰ΠΎ c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;} ⇔ cos⁑γ=0.{\displaystyle \cos \gamma =0.\;}

ВвСрдТСння cos⁑γ=0{\displaystyle \cos \gamma =0} ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ Ξ³=90∘{\displaystyle \gamma =90^{\circ }} Ρ” прямим ΠΊΡƒΡ‚ΠΎΠΌ, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ a,b{\displaystyle a,b} Π΄ΠΎΠ΄Π°Ρ‚Π½Ρ–. Π†Π½ΡˆΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ†Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π₯ΠΎΡ‡Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусів Ρ” Π·Π°Π³Π°Π»ΡŒΠ½Ρ–ΡˆΠΎΡŽ Π½Ρ–ΠΆ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, Π²ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΠ²ΡƒΠ²Π°Ρ‚ΠΈΡΡŒ для Ρ—Ρ— Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρƒ, ΠΎΡΠΊΡ–Π»ΡŒΠΊΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° сама Π²ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΠ²ΡƒΡ”Ρ‚ΡŒΡΡ для довСдСння Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ косинусів.

Наслідки Π· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ косинусів[Ρ€Π΅Π΄. | Ρ€Π΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]

Π—Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΡŽ ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Ρƒ прямокутному Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³Ρ–ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΈ Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” сумі ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ–Π². Π―ΠΊΡ‰ΠΎ для Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΠ²Π°Ρ‚ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ сторони Π· ΡΡƒΠΌΠΎΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Π²ΠΎΡ… Ρ–Π½ΡˆΠΈΡ… сторін, Ρ‚ΠΎ, як Π·Ρ€ΠΎΠ·ΡƒΠΌΡ–Π»ΠΎ Π· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ косинусів, Ρ‰ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠ΅ Π·Π°Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ–Π΄ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ ΠΊΡƒΡ‚ ΠΌΡ–ΠΆ Ρ†ΠΈΠΌΠΈ сторонами гострим Ρ‡ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΈΠΌ. А самС, якщо ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° мСнший Π·Π° суму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Π²ΠΎΡ… Ρ–Π½ΡˆΠΈΡ… сторін, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡƒΡ‚ Ρ” гострим:

a2<b2+c2{\displaystyle a^{2}<b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βˆ’a2>0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}>0}, Ρ‚ΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β€” гострий. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ дСякої сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° Π±Ρ–Π»ΡŒΡˆΠΈΠΉ Π²Ρ–Π΄ суми ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Π²ΠΎΡ… Ρ–Π½ΡˆΠΈΡ… сторін, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡƒΡ‚ Ρ” Ρ‚ΡƒΠΏΠΈΠΌ:

Π‘ΡƒΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Ρ–Π°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠ° Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” сумі ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² ΠΉΠΎΠ³ΠΎ сторін

a2>b2+c2{\displaystyle a^{2}>b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βˆ’a2<0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}<0}, Ρ‚ΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β€” Ρ‚ΡƒΠΏΠΈΠΉ. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ дСякої сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” сумі ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Π²ΠΎΡ… Ρ–Π½ΡˆΠΈΡ… сторін, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡƒΡ‚ Ρ” прямим:

a2=b2+c2{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βˆ’a2=0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=0}, Ρ‚ΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β€” прямий.

Π‘ΡƒΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² Π΄Ρ–Π°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠ° Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” сумі ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ–Π² ΠΉΠΎΠ³ΠΎ сторін. Для ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠ° ABCD{\displaystyle ABCD} ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° записати Ρ€Ρ–Π²Π½Ρ–ΡΡ‚ΡŒ:

AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2{\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}}[2].

ДовСдСння (для гострого ΠΊΡƒΡ‚Π°)[Ρ€Π΅Π΄. | Ρ€Π΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]

{\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}}

НСхай a,b,c{\displaystyle a,b,c} Ρ†Π΅ сторони Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠ° ABC{\displaystyle ABC}, Π° A, B Ρ– C β€” Ρ†Π΅ ΠΊΡƒΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½Ρ– Ρ†ΠΈΠΌ сторонам. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌΠΎ Π²Ρ–Π΄Ρ€Ρ–Π·ΠΎΠΊ Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΈ ΠΊΡƒΡ‚Π° B, Ρ‰ΠΎ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€ΡŽΡ” прямий ΠΊΡƒΡ‚ Ρ–Π· ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡŽ ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΎΡŽ b. Π―ΠΊΡ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ–Π΄Ρ€Ρ–Π·ΠΊΠ° x, Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ– sin⁑C=xa,{\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;} Π·Π²Ρ–Π΄ΠΊΠΈ x=aβ‹…sin⁑C.{\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;}

Π¦Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ”, Ρ‰ΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° Ρ†ΡŒΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ–Π΄Ρ€Ρ–Π·ΠΊΡƒ aβ‹…sin⁑C.{\displaystyle a\cdot \sin C.} Π‘Ρ…ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° частини b Ρ‰ΠΎ з’єднує Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ Π²Ρ–Π΄Ρ€Ρ–Π·ΠΊΡƒ Ρ–Π· ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΎΡŽ b Ρ‚Π° ΠΊΡƒΡ‚ C Ρ€Ρ–Π²Π½Π° aβ‹…cos⁑C.{\displaystyle a\cdot \cos C.} Π Π΅ΡˆΡ‚Π° Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ b Ρ€Ρ–Π²Π½Π° bβˆ’aβ‹…cos⁑C.{\displaystyle b-a\cdot \cos C.} Ми ΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ Π΄Π²Π° прямокутних Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ aβ‹…sin⁑C,{\displaystyle a\cdot \sin C,\;} bβˆ’aβ‹…cos⁑C,{\displaystyle b-a\cdot \cos C,\;} Ρ– Π³Ρ–ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΡŽ c. Звідси, Π²Ρ–Π΄ΠΏΠΎΠ²Ρ–Π΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ ΠŸΡ–Ρ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°:

ДовСдСння Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΈ косинусів Π· використанням Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ–Π²[Ρ€Π΅Π΄. | Ρ€Π΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]

{\displaystyle b-a\cdot \cos C,\;} Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊ

Π’ΠΈΠΊΠΎΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΠ²ΡƒΡŽΡ‡ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈ, ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ довСсти Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусів. НСхай ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠ²Ρ–Π»ΡŒΠ½ΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒΡ‚Π½ΠΈΠΊ Ρ–Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ A, B, Ρ– C Ρ‰ΠΎ ΡƒΡ‚Π²ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ a, b, Ρ– c, Π½Π°ΠΌ Π²Ρ–Π΄ΠΎΠΌΠΎ, Ρ‰ΠΎ:

  • a=bβˆ’c{\displaystyle \mathbf {a=b-c} } звідси
  • (bβˆ’c)β‹…(bβˆ’c)=bβ‹…bβˆ’2bβ‹…c+cβ‹…c.{\displaystyle \mathbf {(b-c)\cdot (b-c)=b\cdot b-2b\cdot c+c\cdot c} .\;}

Π—Π³Π°Π΄Π°Π²ΡˆΠΈ Ρ‡ΠΎΠΌΡƒ Π΄ΠΎΡ€Ρ–Π²Π½ΡŽΡ” Π΄ΠΎΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π΄Π²ΠΎΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ–Π², ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌΠ°Ρ”ΠΌΠΎ

  • |a|2=|b|2+|c|2βˆ’2|b||c|cos⁑θ.{\displaystyle \mathbf {|a|^{2}=|b|^{2}+|c|^{2}-2|b||c|} \cos \theta .}

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусів Π±ΡƒΠ»Π° Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π² «Началах» Π•Π²ΠΊΠ»Ρ–Π΄Π°. «Начала» Π²Ρ–Π΄Ρ–Π³Ρ€Π°Π»ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρƒ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Ρƒ Ρ€ΠΎΠ·Π²ΠΈΡ‚ΠΊΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡ— Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. ІсторичнС значСння Ρ†Ρ–Ρ”Ρ— ΠΏΡ€Π°Ρ†Ρ– полягає Π² Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‰ΠΎ Π² Π½Ρ–ΠΉ ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠ΅ здійснСно спробу Π»ΠΎΠ³Ρ–Ρ‡Π½ΠΎΡ— ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ–Ρ— Π½Π° основі аксіоматики. Π‘Ρ‚ΠΈΡ…Ρ–Ρ— Π•Π²ΠΊΠ»Ρ–Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΊΠ»Π°Π»ΠΈ ΡˆΠ»ΡΡ… Π΄ΠΎ відкриття Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинусів. Π£ XV столітті ΠΏΠ΅Ρ€ΡΡŒΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Ρ– астроном Π”ΠΆΠ°ΠΌΡˆΠΈΠ΄ аль-ΠšΠ°ΡˆΡ– ΠΏΠΎΠ΄Π°Π² ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠ΅ явнС твСрдТСння Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинусів Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ–, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚Π½Ρ–ΠΉ для тріангуляції. Π’Ρ–Π½ Π½Π°Π΄Π°Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ– Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ– Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ– Ρ‚Π° висловив Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ–, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚Π½Ρ–ΠΉ для сучасного використання. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусів Π±ΡƒΠ»Π° Π²ΠΏΠ΅Ρ€ΡˆΠ΅ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡŒΠΎΠ²Π°Π½Π° Ρ– Π½Π°Π±ΡƒΠ»Π° популярності Ρƒ Π·Π°Ρ…Ρ–Π΄Π½ΠΎΠΌΡƒ світі Ρ„Ρ€Π°Π½Ρ†ΡƒΠ·ΡŒΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ѐрансуа Π’Ρ–Ρ”Ρ‚ΠΎΠΌ Π² XVI столітті. На ΠΏΠΎΡ‡Π°Ρ‚ΠΊΡƒ XIX століття Ρ—Ρ— стали записувати як Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ косинусів Ρƒ Ρ—Ρ— Π½ΠΈΠ½Ρ–ΡˆΠ½Ρ–ΠΉ символічній Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ–.

  • ↑ ГСомСтрія (ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ) 9 клас 2017. Π¨ΠΊΡ–Π»ΡŒΠ½Ρ– ΠΏΡ–Π΄Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ (uk). ΠŸΡ€ΠΎΡ†ΠΈΡ‚ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ 2019-12-29. 
  • ↑ ГусСв Π’. А., ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡ А. Π“. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹: Книга для учащихся ΠžΠΠ›ΠΠ™Π. edu-lib.com (ru). ΠŸΡ€ΠΎΡ†ΠΈΡ‚ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ 2019-12-29. 
  • Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов β€” ВикипСдия

    Sinus-thm.png

    Достаточно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

    asin⁑α=2R.{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}

    ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ |BG|{\displaystyle |BG|} для описанной окруТности. По свойству ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², вписанных Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» GCB{\displaystyle GCB} прямой, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» CGB{\displaystyle CGB} Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha }, Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A{\displaystyle A} ΠΈ G{\displaystyle G} Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону ΠΎΡ‚ прямой BC{\displaystyle BC}, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ο€βˆ’Ξ±{\displaystyle \pi -\alpha } Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ sin⁑(Ο€βˆ’Ξ±)=sin⁑α{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }, Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

    a=2Rsin⁑α{\displaystyle a=2R\sin \alpha }.

    ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ рассуТдСниС для Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

    asin⁑α=bsin⁑β=csin⁑γ=2R.{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}

    БфСричСская Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов β€” ВикипСдия

    Рисунок ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ синусов с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ[1]. На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ сфСричСский Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½Π° сфСрС радиуса R с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O. BP β€” пСрпСндикуляр ΠΊ плоскости большого ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, проходящСго Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сторону b, BM β€” пСрпСндикуляр ΠΊ OC, BN β€” пСрпСндикуляр ΠΊ OA. По ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… пСрпСндикулярах, PM β€” пСрпСндикуляр ΠΊ OC, PN β€” пСрпСндикуляр ΠΊ OA. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» PMB Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ β€” C, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, BN = R sin c ΠΈ BM = R sin a. Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ BN ΠΈ BM Π½Π° BP, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

    BP=BNsin⁑∠BNP=Rsin⁑csin⁑A,{\displaystyle BP=BN\sin \angle BNP=R\sin c\sin A,}
    BP=BMsin⁑∠PMB=Rsin⁑asin⁑(Ο€βˆ’C)=Rsin⁑asin⁑C,{\displaystyle BP=BM\sin \angle PMB=R\sin a\sin(\pi -C)=R\sin a\sin C,}
    sin⁑asin⁑A=sin⁑csin⁑C{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}

    Аналогично ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ равСнство.

    Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π½Π° ΡƒΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ сфСричСского ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠžΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ C пСрпСндикуляр CD = h Π½Π° сторону с ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ h двояким ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ACD ΠΈ BCD:

    sin⁑h=sin⁑bsin⁑A=sin⁑asin⁑B.{\displaystyle \sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.}

    ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΡŽ

    sin⁑asin⁑A=sin⁑bsin⁑B,{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}},}

    ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ добавляСм ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ «сторона-ΡƒΠ³ΠΎΠ»Β».

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *