ΠΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΊ ΠΠΠ ΠΈ ΠΠΠ (Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ β ΠΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ

Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°. Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC (ΡΠΈΡ.1)
Π ΠΈΡ.1
ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ
c2 = a2 + b2
Π‘ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ c, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΡΠ½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 2.
Π ΠΈΡ.2
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ ABC (ΡΠΈΡ.3, ΡΠΈΡ.4), ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ a β b (ΡΠΈΡ.5).
![]() |
Π ΠΈΡ.3 |
![]() |
Π ΠΈΡ.4 |
![]() |
Π ΠΈΡ.5 |
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ


ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ²
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ². ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Ρ A ΠΈ Π‘ β ΠΎΡΡΡΡΠ΅ (ΡΠΈΡ.6).
Π ΠΈΡ.6
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ
a2 = b 2 + c 2 β β 2bc cos A | (1) |
Π‘ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ Π²ΡΡΠΎΡΡ BD ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ B (ΡΠΈΡ.7).
Π ΠΈΡ.7
Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
BD = c sin A, AD = c cos A, DC = b β AD = b β c cos A.
ΠΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ BDC, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
a 2 = BD 2 + DC 2 =
= c 2 sin2 A + (b β c cos A)2 =
= c 2 sin2 A + b2 β
β 2 bc cos A + c 2 cos2 A =
= b2 + c 2 β 2 bc cos A.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Ρ ΠΎΡΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ A ΠΈ Π‘ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ:
- Π£Π³ΠΎΠ» A β ΠΎΡΡΡΡΠΉ, ΡΠ³ΠΎΠ» C β ΡΡΠΏΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ.8)
Π ΠΈΡ.8
- Π£Π³ΠΎΠ» A β ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ. 9).
Π ΠΈΡ.6
- Π£Π³ΠΎΠ» A β ΡΡΠΏΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ.10).
Π ΠΈΡ.10
ΠΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΎΡΡΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² A ΠΈ C, ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 2. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³ΠΎΠ» A ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (1) ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
a2 = b2 + c2,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 3. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½, ΡΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,

ΠΠ° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π±Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ ΠΠΠ ΠΈ ΠΠΠ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² | Π’ΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ².
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΠ°Π½ΠΎ:
β ABC.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ:
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
I. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC β ΠΎΡΡΡΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ.
1) ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ CD Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ AB.
2) Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ADC.
ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°,
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΎΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅,
ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
3) Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ BDC.
ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°
Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΡΠΊΡΠ΄Π°
II. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC β ΡΡΠΏΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ.
1) ΠΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ CD Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΡΡ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ AB.
2) Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ADC.
ΠΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°,
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°,
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³Π»Ρ A ΠΈ CAD β ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅, ΡΠΎ β CAD=180ΒΊ-β A. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
3) Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ BDC.
ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° I.
III. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC β ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ, Π³Π΄Π΅ β A=90ΒΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° (cos90ΒΊ=0).
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
ΠΡΠ΄ΡΡ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ.
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ? Π§Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ? Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ? Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΈΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΅ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ. Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΠΎΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ), ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ (ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΉ) ΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 1:
(1)
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ: Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ½Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π° Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΠ³Π»Π° (ΡΡΠΏΠΎΠΉ, ΠΎΡΡΡΡΠΉ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ , Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ. ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΡΡΡ Π³Π»Π°ΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ. ΠΠΎ Ρ ΠΎΠ΄Ρ ΡΡΠΎΠΊΠ° Π²Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π½Π΅ΡΠ΅Π½Ρ Β«Π½Π° Π±Π»ΡΠ΄Π΅ΡΠΊΠ΅ Ρ Π³ΠΎΠ»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠΌΠΎΡΠΊΠΎΠΉΒ», ΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ
Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ
ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 1.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ), ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 2:
(2)
ΠΈΠ»ΠΈ
(3)
ΠΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ°.
Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.ΠΠ° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ
Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΈ
,
ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ:
.
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ
Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΈ
,
ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ ΡΡΠΈ:
.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ β ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ°Π·Π±ΠΎΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅.

ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Ρ. Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅, Π½Π° ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠ³Π»Π° β Ο1 ΠΈ Ο2. ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΈΠ³ΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²? Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° 2Ο ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Ρ. Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π°, Π° Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎ Π² ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ³ΠΎΠ». Π ΡΡΠΎ ΡΠΎΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Ο, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ 180 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ². ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΡΡΠΎΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Ο1.
1. ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ β ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ (90 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Ο/2), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ
:.
ΠΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
2. ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 90 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ², ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ β ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Ο/2) ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
3. ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΡΠΏΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡ 90 Π΄ΠΎ 180 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ², ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ β Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Ο/2) ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» (ΠΎΡΡΡΡΠΉ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΡΠΏΠΎΠΉ) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΡΡΠΏΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ:
.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΈ
ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ (ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ²:
.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅:
.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΡΠ»Ρ), ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ξ» = 1,8, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΈΠ³ΡΡΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ:
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
Π ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΡΡ n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Ρ ΠΏΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ ΠΏΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΈ
,
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ:
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Ρ ΡΠ΅Ρ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° 2.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ² ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΠΎΠΊ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
(1)
Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΠ². Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ:
Π’ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΠ΅, ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ. ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ²:
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠΎΠ²:
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8. ΠΠ°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
,
.
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, .
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9. ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΈ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
1.Π‘ΡΠΌΠΌΠ°
2.Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ
3.ΠΠ»ΠΈΠ½Π°
4.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
5.Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈ
:
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 13. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π°) ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅; Π±) ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π°) ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΌΡ Β«ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ»).
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
:
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
:
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
:
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ
.
Π±) Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ
ΠΈ
ΠΈ
.
Π Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π΅ΡΡ ΡΠ°Π· Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ
ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° B ΠΏΠΎΠ΄
Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ F = A, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ»
Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ S = A.
ΠΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ F ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ S ΡΠ°Π²Π½Π°
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ F = B Π½Π°
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ S = A.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π‘ΡΠΎΠΈΡ Π»ΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π½Π°Π²ΡΠΊ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ°, ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, ΠΎΡ Π³Π»Π°Π΄ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΎΡΠΎΠΊ ΠΈ Π»Π΅ΡΡΠ½ΠΈΡ-ΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠ½ΠΎΠΊ Π΄ΠΎ Π·Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΡΠ°, ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±Π°ΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ³ΡΡ?
ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ΅Π½ p
Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ² x . Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ px Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ² x ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅Π½Π°Ρ
p . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΎΠ΄Π°Π½Π½ΡΡ
ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ΠΌ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ x = (400; 750; 200; 300), ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π³ΡΡΠΏΠΏ, Π° ΡΠ΅Π½Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ
ΠΈ ΡΠ΅Ρ
ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π½Π΅ΠΆΠ½ΡΡ
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°Ρ
Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ p = (3; 2,1; 1,2; 0,5), ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ²Π°ΡΠΎΠ² x.

ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ Ρ Π΄ΡΡΠ·ΡΡΠΌΠΈ
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΡ Β«ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ»
ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ Β«ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ»
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² β ΠΡΠΊΡΠΏΠ΅Π΄ΡΡ
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² β ΡΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ ΠΏΡΠΎ Π²Π»Π°ΡΡΠΈΠ²ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΡΠ»ΡΠ½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΡΠ², ΡΠΎ Ρ ΡΠ·Π°Π³Π°Π»ΡΠ½Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π±ΡΠ΄Ρ-ΡΠΊΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΡΠΈΡ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΡΠ½ Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡΡΠΊΡ ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΡΠ½ Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΡΡΠ° ΠΌΡΠΆ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π£ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² (ΡΠ°ΠΊΠΎΠΆ Π²ΡΠ΄ΠΎΠΌΠΈΠΉ ΡΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π°Π±ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠ»Ρ-ΠΠ°ΡΡ) ΠΏΠΎΠ²βΡΠ·ΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΡΡΠΎΡΡΠ½ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π· ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π· ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ². ΠΠ΅Ρ Π°ΠΉ a,b,c{\displaystyle a,b,c} ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC{\displaystyle ABC}, Π° Ξ±,Ξ²,Ξ³{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } ΡΠ΅ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½Ρ Π²ΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ. Π’ΠΎΠ΄Ρ,
- c2=a2+b2β2abcosβ‘Ξ³{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \;};
- a2=b2+c2β2bccosβ‘Ξ±{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha };
- b2=a2+c2β2accosβ‘Ξ²{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }.

Π¦Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠΎΡΠΈΡΠ½Π° Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠΊΡΠΎ Π²ΡΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ½ΡΡ Π΄Π²Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ° ΠΊΡΡ ΠΌΡΠΆ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΠ° Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ², ΡΠΊΡΠΎ Π²ΡΠ΄ΠΎΠΌΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΡΠ½.[1]
ΠΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ²: ΠΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ° ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ Π²ΡΠ΄Π½ΠΎΡΠ΅Π½Π½Ρ ΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² ΡΡΠΎΡΡΠ½, ΠΏΡΠΈΠ»Π΅Π³Π»ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ° Π±Π΅Π· ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡ ΠΉΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΠ±ΡΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈΠ»Π΅Π³Π»ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΠΊΡΡΠ° ΡΡΠΎΡΡΠ½.
cosβ‘Ξ±=b2+c2βa22bc{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}};
cosβ‘Ξ²=a2+c2βb22ac{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}};
cosβ‘Ξ³=a2+b2βc22ab{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}.
Π―ΠΊΡΠΎ c2=a2+b2{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\;} β cosβ‘Ξ³=0.{\displaystyle \cos \gamma =0.\;}
Π’Π²Π΅ΡΠ΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ cosβ‘Ξ³=0{\displaystyle \cos \gamma =0} ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Ρ, ΡΠΎ Ξ³=90β{\displaystyle \gamma =90^{\circ }} Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΈΠΌ ΠΊΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΡΠΊΡΠ»ΡΠΊΠΈ a,b{\displaystyle a,b} Π΄ΠΎΠ΄Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠ½ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°. Π₯ΠΎΡΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Ρ Π·Π°Π³Π°Π»ΡΠ½ΡΡΠΎΡ Π½ΡΠΆ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°, Π²ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ, ΠΎΡΠΊΡΠ»ΡΠΊΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΡΠ°ΠΌΠ° Π²ΠΈΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΡΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ².
ΠΠ°ΡΠ»ΡΠ΄ΠΊΠΈ Π· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ²[ΡΠ΅Π΄. | ΡΠ΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]
ΠΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΡ ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΊΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π³ΡΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ². Π―ΠΊΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΠ²ΡΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΠ²Π½ΡΠ²Π°ΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ Π· ΡΡΠΌΠΎΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΡΠ½, ΡΠΎ, ΡΠΊ Π·ΡΠΎΠ·ΡΠΌΡΠ»ΠΎ Π· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ², ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅ Π±ΡΠ»ΡΡΠ΅ Π·Π°Π»Π΅ΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΠ΄ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ ΠΊΡΡ ΠΌΡΠΆ ΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π³ΠΎΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈ ΡΡΠΏΠΈΠΌ. Π ΡΠ°ΠΌΠ΅, ΡΠΊΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ΅Π½ΡΠΈΠΉ Π·Π° ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΡΠ½, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡ Ρ Π³ΠΎΡΡΡΠΈΠΌ:
a2<b2+c2{\displaystyle a^{2}<b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βa2>0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}>0}, ΡΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β Π³ΠΎΡΡΡΠΈΠΉ. Π―ΠΊΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π΄Π΅ΡΠΊΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡΠ»ΡΡΠΈΠΉ Π²ΡΠ΄ ΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΡΠ½, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡ Ρ ΡΡΠΏΠΈΠΌ:
Π‘ΡΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄ΡΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΡΠ½a2>b2+c2{\displaystyle a^{2}>b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βa2<0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}<0}, ΡΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β ΡΡΠΏΠΈΠΉ. Π―ΠΊΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π΄Π΅ΡΠΊΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄Π²ΠΎΡ ΡΠ½ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΡΡΠ½, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΉΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΈΠΌ:
a2=b2+c2{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} Π°Π±ΠΎ b2+c2βa2=0{\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=0}, ΡΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha } β ΠΏΡΡΠΌΠΈΠΉ.
Π‘ΡΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² Π΄ΡΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠ° Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡΠ² ΠΉΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΡΠ½. ΠΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠ° ABCD{\displaystyle ABCD} ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΠΈ ΡΡΠ²Π½ΡΡΡΡ:
AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2{\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}}[2].
ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ (Π΄Π»Ρ Π³ΠΎΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ°)[ΡΠ΅Π΄. | ΡΠ΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]

ΠΠ΅Ρ Π°ΠΉ a,b,c{\displaystyle a,b,c} ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC{\displaystyle ABC}, Π° A, B Ρ C β ΡΠ΅ ΠΊΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½Ρ ΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ. ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌΠΎ Π²ΡΠ΄ΡΡΠ·ΠΎΠΊ Π· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ΠΈ ΠΊΡΡΠ° B, ΡΠΎ ΡΡΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΈΠΉ ΠΊΡΡ ΡΠ· ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΡ b. Π―ΠΊΡΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΄ΡΡΠ·ΠΊΠ° x, ΡΠΎΠ΄Ρ sinβ‘C=xa,{\displaystyle \sin C={\frac {x}{a}},\;} Π·Π²ΡΠ΄ΠΊΠΈ x=aβ sinβ‘C.{\displaystyle x=a\cdot \sin C.\;}
Π¦Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Ρ, ΡΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΄ΡΡΠ·ΠΊΡ aβ sinβ‘C.{\displaystyle a\cdot \sin C.} Π‘Ρ ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½Π° ΡΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΈ b ΡΠΎ Π·βΡΠ΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΠ½Ρ Π²ΡΠ΄ΡΡΠ·ΠΊΡ ΡΠ· ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΡ b ΡΠ° ΠΊΡΡ C ΡΡΠ²Π½Π° aβ cosβ‘C.{\displaystyle a\cdot \cos C.} Π Π΅ΡΡΠ° Π΄ΠΎΠ²ΠΆΠΈΠ½ΠΈ b ΡΡΠ²Π½Π° bβaβ cosβ‘C.{\displaystyle b-a\cdot \cos C.} ΠΠΈ ΠΌΠ°ΡΠΌΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΊΡΡΠ½ΠΈΡ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π· ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ aβ sinβ‘C,{\displaystyle a\cdot \sin C,\;} bβaβ cosβ‘C,{\displaystyle b-a\cdot \cos C,\;} Ρ Π³ΡΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·ΠΎΡ c. ΠΠ²ΡΠ΄ΡΠΈ, Π²ΡΠ΄ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΡΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°:
ΠΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Π· Π²ΠΈΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΠ²[ΡΠ΅Π΄. | ΡΠ΅Π΄. ΠΊΠΎΠ΄]

ΠΠΈΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΡΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈ, ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ². ΠΠ΅Ρ Π°ΠΉ ΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠΌΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΡΠ»ΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠΈΠΊΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ A, B, Ρ C ΡΠΎ ΡΡΠ²ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ a, b, Ρ c, Π½Π°ΠΌ Π²ΡΠ΄ΠΎΠΌΠΎ, ΡΠΎ:
- a=bβc{\displaystyle \mathbf {a=b-c} } Π·Π²ΡΠ΄ΡΠΈ
- (bβc)β (bβc)=bβ bβ2bβ c+cβ c.{\displaystyle \mathbf {(b-c)\cdot (b-c)=b\cdot b-2b\cdot c+c\cdot c} .\;}
ΠΠ³Π°Π΄Π°Π²ΡΠΈ ΡΠΎΠΌΡ Π΄ΠΎΡΡΠ²Π½ΡΡ Π΄ΠΎΠ±ΡΡΠΎΠΊ Π΄Π²ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΠ², ΠΎΡΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΌΠΎ
- |a|2=|b|2+|c|2β2|b||c|cosβ‘ΞΈ.{\displaystyle \mathbf {|a|^{2}=|b|^{2}+|c|^{2}-2|b||c|} \cos \theta .}
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Π±ΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ Π² Β«ΠΠ°ΡΠ°Π»Π°Ρ Β» ΠΠ²ΠΊΠ»ΡΠ΄Π°. Β«ΠΠ°ΡΠ°Π»Π°Β» Π²ΡΠ΄ΡΠ³ΡΠ°Π»ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ»ΠΈΠ²Ρ ΡΠΎΠ»Ρ Ρ ΡΠΎΠ·Π²ΠΈΡΠΊΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΡ Π½Π°ΡΠΊΠΈ. ΠΡΡΠΎΡΠΈΡΠ½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½Ρ ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ³Π°Ρ Π² ΡΠΎΠΌΡ, ΡΠΎ Π² Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠ΅ΡΡΠ΅ Π·Π΄ΡΠΉΡΠ½Π΅Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΠ±Ρ Π»ΠΎΠ³ΡΡΠ½ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ±ΡΠ΄ΠΎΠ²ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ Π°ΠΊΡΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π‘ΡΠΈΡ ΡΡ ΠΠ²ΠΊΠ»ΡΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠΊΠ»Π°Π»ΠΈ ΡΠ»ΡΡ Π΄ΠΎ Π²ΡΠ΄ΠΊΡΠΈΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ². Π£ XV ΡΡΠΎΠ»ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ Ρ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΠΆΠ°ΠΌΡΠΈΠ΄ Π°Π»Ρ-ΠΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄Π°Π² ΠΏΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ²Π½Π΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΠ΄Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ°Π½Π³ΡΠ»ΡΡΡΡ. ΠΡΠ½ Π½Π°Π΄Π°Π² ΡΠΎΡΠ½Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠ° Π²ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΠ΄Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠΊΠΎΡΠΈΡΡΠ°Π½Π½Ρ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Π±ΡΠ»Π° Π²ΠΏΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΠΎΠ²Π°Π½Π° Ρ Π½Π°Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Ρ Π·Π°Ρ ΡΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ Π€ΡΠ°Π½ΡΡΠ° ΠΡΡΡΠΎΠΌ Π² XVI ΡΡΠΎΠ»ΡΡΡΡ. ΠΠ° ΠΏΠΎΡΠ°ΡΠΊΡ XIX ΡΡΠΎΠ»ΡΡΡΡ ΡΡ ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΠΈ ΡΠΊ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡΠ² Ρ ΡΡ Π½ΠΈΠ½ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² β ΠΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ

ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ
- asinβ‘Ξ±=2R.{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ |BG|{\displaystyle |BG|} Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠ³ΠΎΠ» GCB{\displaystyle GCB} ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π° ΡΠ³ΠΎΠ» CGB{\displaystyle CGB} ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ξ±{\displaystyle \alpha }, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A{\displaystyle A} ΠΈ G{\displaystyle G} Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ BC{\displaystyle BC}, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΟβΞ±{\displaystyle \pi -\alpha } Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ sinβ‘(ΟβΞ±)=sinβ‘Ξ±{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }, Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
- a=2Rsinβ‘Ξ±{\displaystyle a=2R\sin \alpha }.
ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
- asinβ‘Ξ±=bsinβ‘Ξ²=csinβ‘Ξ³=2R.{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}
Π‘ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ² β ΠΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ

ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΉ[1]. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° R Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ O. BP β ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π°, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ b, BM β ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ OC, BN β ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ OA. ΠΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ°Ρ , PM β ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ OC, PN β ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ ΠΊ OA. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» PMB ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ο β C, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, BN = R sin c ΠΈ BM = R sin a. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, ΠΏΡΠΎΠ΅ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ BN ΠΈ BM Π½Π° BP, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
- BP=BNsinβ‘β BNP=Rsinβ‘csinβ‘A,{\displaystyle BP=BN\sin \angle BNP=R\sin c\sin A,}
- BP=BMsinβ‘β PMB=Rsinβ‘asinβ‘(ΟβC)=Rsinβ‘asinβ‘C,{\displaystyle BP=BM\sin \angle PMB=R\sin a\sin(\pi -C)=R\sin a\sin C,}
- sinβ‘asinβ‘A=sinβ‘csinβ‘C{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ Π½Π° ΡΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠΏΡΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ C ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ CD = h Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ h Π΄Π²ΠΎΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ACD ΠΈ BCD:
- sinβ‘h=sinβ‘bsinβ‘A=sinβ‘asinβ‘B.{\displaystyle \sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.}
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΡ
- sinβ‘asinβ‘A=sinβ‘bsinβ‘B,{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}},}
ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ Β«ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°-ΡΠ³ΠΎΠ»Β».