Творческая работа учащихся по геометрии (8 класс): «Теорема Пифагора — теорема невесты»

Муниципальный тур окружного конкурса творческих работ учащихся

«Интеллект. Творчество. Фантазия».

Секция: математика

Тема: «Теорема Пифагора – теорема невесты»

Выполнил: Файзутдинов Никита

Хамитович

Класс 9 н

ГБОУ СОШ № 2 им. В.Маскина

ж.- д.  ст. Клявлино м. р. Клявлинский

Научный руководитель:  Сафиуллина

Лилия Булатовна, учитель математики

Клявлино

2019 г.

Оглавление

1. Введение.
2. Основная часть:

1. Биография Пифагора
2. История открытия теоремы
3. Способы доказательства теоремы Пифагора
4. Практическое применение

3. Заключение
4. Список использованных источников и литературы

1. Введение.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет.

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него бесспорна, безупречна…

(О теореме Пифагора отрывок из

стихотворения А. Шамиссо)

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Противоречие двух начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение. Она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Имеет широкое применение в жизни, к тому же очень интересна и познавательна.

Существует около пятисот различных доказательств этой теоремы, что свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Актуальность: Зная теорему Пифагора можно находить её новые применения и способы доказательств (около 500 различных доказательств). Теорема Пифагора была известна задолго до его рождения. Всё это меня заинтересовало и я решил провести собственное расследование.

Проблема: недостаточность школьного материала о доказательствах теоремы не позволяет показать практическую значимость теоремы в деятельности человека.  

Цель: изучить историю, как применяется теорема Пифагора в жизни и всё это систематизировать в одной работе.

Гипотеза: с помощью теоремы  Пифагора можно решать не только математические задачи, но и использовать её на практике.

Поставлены следующие задачи:

— изучить источники  и литературу по данной теме;

— познакомиться более подробно с биографией Пифагора;

— изучить историю открытия теоремы;

— познакомиться с разными способами доказательства теоремы;

— практическое применение теоремы;

— оформить свои исследования в виде научной работы и составить презентацию.

Объект исследования: теорема Пифагора.

Предмет исследования: история открытия теоремы Пифагора и многочисленные способы его доказательства.

2. Основная часть.

1. Биография Пифагора.

О жизни Пифагора известно много. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находился в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

  Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый ученый посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед ним открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Обратно по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. На острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодежи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее тали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

•  теорема о сумме углов треугольника;
•  построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
•  Геометрические способы решения квадратных уравнений;
• Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• Доказательство того, что не является рациональным числом;
• Создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

2. История открытия теоремы

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

Многое сделал Пифагор в геометрии. Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая её принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел.»

В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически – как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка».

Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “…когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора.

Михаил Ломоносов по этому поводу писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А.В.Волошинов в своей книге о Пифагоре отмечает: «И хотя сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета I (около 2000 года до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII веке до н.э.), и в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» («Математический  трактат о гномоне»), время создания которого точно не известно, но где утверждается, что в XII веке до н.э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI веку до н. э. – и общий вид теоремы, и в древнеиндийском геометрическо-теологическом тракте VII – V веках до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»), — несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадается. То же относится и к легенде о заклинании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Поэтому нам ничего не остается, как рассмотреть некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти оказывается кратчайшим и всегда красивым».

3. Способы доказательства теоремы Пифагора

Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него началась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Во II веке до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается создание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В IХ книге «Математики» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами и гипотенузой С уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной А+В, а внутренний – квадрат со стороной С, построенный на гипотенузе. Если квадрат со стороной С вырезать и оставшиеся 4 треугольника уложить в два прямоугольника, то образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна С в квадрате, а с другой- А+В, т.е. С=А+В.                              

                                     

Доказательство:

Возьмем прямоугольный треугольник с катетами a и b  и гипотенузой с и достроим его до    квадрата со стороной  (a + b). У этого квадрата сторона a + b, а его площадь равна Sкв = (a + b)2.

Четырехугольник KMNP – квадрат, так как 1= и  5= 

1+ 3+  900. Найдем площадь квадрата АВСД:

Sкв= 4Sтр + S1кв= 4 ∙ ab +c2 = 2ab + c2.  Тогда (a + b)2 = 2ab + c2,   а2 +2ab + b2 = 2ab + c2,  

а2 + b2 =  c2. Теорема доказана

Другой способ:                   

   

 Пусть дан  треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами а и b, такими что b > а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD =  ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и  М соединим отрезком АМ.  Имеем MD +CD и AC+ CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как  =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180°-90°=90°. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей имеем   , или   Умножив обе части равенства на 2 , получим

аb + с2 + аb = (а + b) , 2ab + с2 = а2 + 2аb + b2, откуда   с2 = а2 + b2.     Теорема доказана

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сид-дханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика ХII века в Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат С перекладывается в «кресло невесты» квадрат А плюс квадрат В. Частные случаи теоремы Пифагора встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII – V веках до н.э.)

Среди пифагорейцев был распространен способ доказательства теоремы “без слов“. Слушателям представляли чертеж, на котором изображены два равных квадрата со стороной (а + b), после чего писали одно слово «Смотри»

                                             

       

Из каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получаются равные. Эти остатки на рисунке выделены. На чертеже слева выделены два квадрата построенных на катетах прямоугольного треугольника, а на чертеже справа – это квадрат, построенный на гипотенузе, то есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Теорему в старину еще называли «теоремой невесты», потому что чертеж к ней несколько напоминает пчелу. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимание на чертеж, перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты». У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теоремы невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но  словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых, женщин и невест. Почему теорему Пифагора в древности называли мостом ослов и теоремой невесты?

Чертеж к ней несколько напоминает крылатого муравья, а по древнегреческому «нимфа» — молодая пчелка, крылатый муравей. Древние греки называли этим термином (нимфа) также молодых невест. Арабы сделали соответствующий перевод и теорему Пифагора стали называть теоремой невесты. Теоремой ослов ее называли в средние века из-за учеников, заучивавших теорему наизусть, но не способных понять (таких учеников называли ослами).

 

Можно проследить связь слов: пчела-нимфа-невеста; так появилось очень красивое название теорема невесты. В древности доказательство теоремы было очень сложным, и нерадивые ученики подбирали ей всякие не лестные клички: «ослиный мост», «бегство убогих», «пифагоровы штаны» и т.д. мы представим вам еще одно доказательство, основанное на разрешении квадратов, построенных на катетах, и укладывание полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.

Доказательство IX века н.э. «Стул невесты»

        На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли «стулом невесты». Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, — неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 2 и 4 получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 2 и 4 равными им треугольниками 1 и 3, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

                               

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

                             

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка  видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

                                           

Ученические шаржи

         В средневековье для легкого запоминания теоремы Пифагора было придумано много стихов, рисовались шаржи. Например:

• Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC.

• Если дан нам треугольник    

                И притом с прямым углом,

                То квадрат гипотенузы

                 Мы всегда легко найдем:

                 Катеты в квадрат возводим,

                 Сумму степеней находим

                 И таким простым путем

                  К результату мы придем

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи.

Значение теоремы

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько не смотри на равнобедренный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении c2=a2+b2.

В древности она была необходима при построении пирамид, при землемерии.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времен. Состоит он в следующем. Пусть через точку А по направлению АМ четыре раза какое-нибудь расстояние а. затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, — прямоугольный, так как 32+42+52.

                       

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют «египетским».

Кроме чисел 3, 4, 5, существуют как известно множество других чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению a2+b2=c2.

Эти числа называют пифагоровыми числами.

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:

1. Один из «катетов» должен быть кратен трем;
2. Один из «катетов» должен быть кратен четырем;
3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Популярность теоремы столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон». Этой теореме даже посвящены стихи.

4. Практическое применение

В ДРЕВНЕЙ Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Вот одна из таких задач.

Выполним чертеж к задаче и обозначим глубину озера АС=х+0,5.

Из треугольника АСВ по теореме Пифагора имеем АВ2-АС2=ВС2,

(х+0,5)2 – х 2 =22,

х2 + х + 0,25 — х2 = 4,  х=3,75

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Задача индийского математика

ХII века Бхаскары

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»                      

АВ=ВD=5; CD=CB+BD=3+5=8 футов

Задача из китайской

«Математики в девяти книгах»

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его.  Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?»

Решение:

х2+52=(х+1)2; х2+25=х2+2х+1; 2х=24; х=12 чи – глубина водоема, 13 чи – длина камыша

Задача из учебника «Арифметика»

Леонтия Магницкого

«Случится некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.»

1252  — 1172  = 15625 – 13689 = 1936; от стены до стоп равно  44 стоп

Задача. Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?                                                                       122 + 52 = 144 + 25 = 169

Гипотенуза равна 13 метров; 13 ∙ 4 = 52 метра; 50-метровой веревки не хватит.

3. Заключение

Я считаю, что такие интересные, красочные работы нужны. Потому что я узнал много нового об этапах жизни и деятельности Пифагора Самосского. Его жизнь окутана легендами, что придает еще большую привлекательность. Я наглядно увидел решения задач, в том числе необычных, древних, в стихах, с изображениями, при этом еще раз вспомнил доказательство «теоремы невест» и не одно, а несколько. Такие исследования осуществляют межпредметную связь геометрии с алгеброй, историей, географией, биологией, литературой.

Теорема Пифагора не просто теорема. С ней за многие века связались красивые и шутливые легенды и истории. Эта теорема необходима и в жизни современного ученика, а если она представлена в таком виде, то изучать становится гораздо интереснее и запоминается легче.

5.  Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка  или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

«Требует вечной истина, как скоро

Все познает слабый человек!

И ныне теореме Пифагора

Верна и как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь, закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор».

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, мы научимся решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.  

Цель исследовательской работы выполнена полностью. Изученный материал систематизирован и его можно использовать для более эффективного изучения и запоминания на уроках геометрии.

4. Список использованных источников и литературы:

         Ссылки на ресурсы Интернет:

http://ru/Wikipedia.org/wik

http://movpifagor.narod.ru

http:// festivai.iseptember.ru/articles

1. Учебник: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и другие «Геометрия 7-9» , М.: «Просвещение» 2013г.

2. Пособие: Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»: пособие для учащихся, М.: «Просвещение»1984г.

3.Книга: С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи», М.: «Наука» 1988г.

4. Словарь:  Составитель: А.П.Савин «Энциклопедический словарь юного математика», М.: «Педагогика» 1985г.

Iteach

Материал из ИнтеВики — обучающей площадкой для проведения тренингов программы Intel

Текущие события Проектная деятельность в информационной образовательной среде 21 века/Нижний Новгород НГПУ январь 2014 года Учебный Курс «Проектная деятельность в информационно-образовательной среде ХХI века», Ижевск, ноябрь 2013 г. Основной курс программы Intel Обучение для будущего Новокузнецк октябрь-декабрь 2013 Основной курс программы Intel Обучение для будущего Ростовская область октябрь 2013 Проектная деятельность в информационной образовательной среде 21 века/НИРО/Курс для тьюторов/23 сентября — 20 октября 2013 года Дистанционный курс ТЕО (Омская обл, осень 2013) преподаватель — Маркер Надежда Юрьевна Семинар Созвездия Веб 2.0/Екатеринбург сентябрь 2013 преподаватель — Ирина Нургалеева Обучение тьюторов, группа TEO РК, май-июнь 2013 преподаватель — Ольга Урсова Очно-дистанционный курс программы Intel Обучение для будущего НИРО Нижний Новгород март-май 2013 Очно-дистанционный курс программы Intel Обучение для будущего НИРО Нижний Новгород февраль-апрель 2013 Курс «Информационно-коммуникационные технологии как средство реализации ФГОС» Екатеринбург — Арамиль март 2013 Тренинг по основному курсу программы «Обучение для будущего», ВГПУ, 1 курс магистратуры, исторический факультет — 6 февраля — 20 мая 2013г. — преподаватель — Ирина Суслова Курс «Информационные технологии в практике работы учителя» 04.01.13 — 02.02.2013 — преподаватель — Анна Кологерманская Курс для руководителей ИКТ: стратегия развития образовательного учреждения (Омский МР, декабрь 2012) — преподаватель —Любовь Мальцева Курсы Проектная деятельность в информационной образовательной среде 21 века, Балаковская площадка, декабрь 2012 — преподаватель — Светлана Морозова Тренинг Информационно-коммуникационные технологии в управлении воспитательным процессом,Тюкалинск,декабрь 2012 — преподаватель — Наталья Ильяш Тренинг по основному курсу программы «Обучение для будущего»,октябрь 2012, ЯНАО г.Ноябрьск — преподаватель — Елена Ремизова В рамках он-лайн конференции «Новая школа: мой маршрут» проводится сетевое мероприятие Проектный инкубатор-2012 Архив событий Окружающий мир – мир сложных систем (информатика, 11 класс, автор Круподерова К.Р.) Информационная цивилизация (информатика, 11 класс, автор Кошелев В. Г.) Математика для будущих банкиров (алгебра, 9 класс, автор Склемина Г. А.) Волшебная сила музыки (музыка, биология и др., 5-8 классы, автор Красноперова Т. В.) Полуостров сокровищ (окружающий мир, краеведение, 4 класс, автор Тимохина Е.Г.) Удивительное рядом (окружающий мир, краеведение, русский язык, 2-4 классы, автор Тимохина Е.Г.) Нам уже…

Самые интересные доказательства теоремы Пифагора

Слайд 1

Самые интересные доказательства ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Слайд 2

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. c2 = a2 + b2 Существует множество способов доказать эту теорему, мы же выбрали самые интересные…

Слайд 3

Стул невесты На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли «стулом невесты» . Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, — неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Слайд 4

Доказательство индийского математика Бхаскари Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна b , на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c , как показано на рисунке. Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c — a , тогда: b2 = 4*a*c/2 + (c-a)2 = = 2*a*c + c2 — 2*a*c + a2 = = a2 + c2

Слайд 5

Самое простое доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c . В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c . В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и c и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и c . Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и c .

Слайд 6

Доказательство через подобные треугольники Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или

Слайд 7

Доказательство Хоукинса Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В). SCAA’=b²/2 SCBB’=a²/2 SA’AB’B=(a²+b²)/2 Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA’AB’B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a ²+ b ²= c ² Теорема доказана.

Слайд 8

Доказательство Вольдхейма Это доказательство имеет вычислительный характер. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями. Sтрапеции=(a+b)²/2 Sтрапеции=a²b²+c²/2 Приравнивая правые части получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

Теорема невесты!

Думаю, мало кто понял, про какую теорему будет идти речь, если судить только из названия статьи. Сегодня поговорим об одной из основных теорем геометрии – «теореме Пифагора». Она известна практически всем и не только своим применением, но и множеством разных историй связанных с ней, именем своего мудрейшего создателя, а также большим количеством доказательств. Ниже перечислю все те интересные факты, что я узнал.

Наверняка всё знают её формулирование, но всякий случай ещё раз приведу его:
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Для начала расскажу, почему же её ещё называют «теоремой невесты». Дело в том, что в «Началах» Евклида она ещё именуется, как «теорема нимфы», просто её чертёж очень схожий на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». Кроме этого, в Индии, её ещё называли «правилом верёвки». Это выходит с того, что когда они что-то строили, то для постройки прямого кута они пользовались верёвкой, которую разбивали на три части. К примеру, брали 12 м и с одного конца привязывали цветную полоску через 3 м, а с другого через 4 м, то есть 3 и 4 метры – это будут катеты (стороны прямого кута), а 5 м – гипотенуза. А в Германии и Франции эту теорему называли «мостом ослов».

Есть и много шуточных формулирований этой теоремы:
* * *
Пифагоровы штаны
На все стороны равны.
* * *
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдём:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим
И таким простым путём
К результату мы придём.
* * *

Так хочу заметить, что это теорема с наибольшим количеством доказательств, по данным Википедии, у неё их есть аж 367. А основываясь на её формулировании доказано ещё больше теорем. И при том говорят, что о таком свойстве прямоугольного треугольника догадывались, ещё за долго до Пифагора.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Презентация к уроку по теме «Теорема Пифагора»

Описание слайда:

Доказательство 5 Дано: ABC- равнобедренный, прямоугольный. Доказать: Это еще один способ найти решение для теоремы Пифагора, опираясь на геометрию. Называется он «Метод Гарфилда». Постройте прямоугольный треугольник АВС. Нам надо доказать, что ВС2=АС2+АВ2. Для этого продолжите катет АС и постройте отрезок CD, который равен катету АВ. Опустите перпендикулярный AD отрезок ED. Отрезки ED и АС равны. Соедините точки Е и В, а также Е и С и получите чертеж, как на рисунке ниже: Доказательство теоремы Пифагора Чтобы доказать терему, мы вновь прибегаем к уже опробованному нами способу: найдем площадь получившейся фигуры двумя способами и приравняем выражения друг к другу. Найти площадь многоугольника ABED можно, сложив площади трех треугольников, которые ее образуют. Причем один из них, ЕСВ, является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Не забываем также, что АВ=CD, АС=ED и ВС=СЕ – это позволит нам упростить запись и не перегружать ее. Итак, SABED=2*1/2(AB*AC)+1/2ВС2. При этом очевидно, что ABED – это трапеция. Поэтому вычисляем ее площадь по формуле: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Для наших вычислений удобней и наглядней представить отрезок AD как сумму отрезков АС и CD. Запишем оба способа вычислить площадь фигуры, поставив между ними знак равенства: AB*AC+1/2BC2=(DE+AB)*1/2(AC+CD). Используем уже известное нам и описанное выше равенство отрезков, чтобы упростить правую часть записи: AB*AC+1/2BC2=1/2(АВ+АС)2. А теперь раскроем скобки и преобразуем равенство: AB*AC+1/2BC2=1/2АС2+2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ2. Закончив все преобразования, получим именно то, что нам и надо: ВС2=АС2+АВ2. Мы доказали теорему. Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

Теорема Пифагора и некоторые способы её доказательства

ГУО «Озеранский детский сад-средняя школа» ГУО «Озеранский детский сад-средняя школа» Теорема Пифагора и некоторые способы её доказательства Подготовили ученицы 9 класса Вишневская Юлия Костянко Вероника Еремич Виктория Руководитель: Фещенко А.П. учитель математики Вторая категория 2014 Исследование на тему: Теорема Пифагора и некоторые способы её доказательства Задачи 1. Познакомиться с теоремой Пифагора; 2. Рассмотреть многообразие способов её доказательства; 3. Применить теорему Пифагора к решению задач; 4. Сделать выводы. План работы Обзор различных формулировок теоремы Пифагора. Способы доказательства: С него начиналась теорема; Cтаринное индийское доказательство теоремы Пифагора; Алгебраическое доказательство теоремы; «Колесо с лопастями»; Доказательство IX века н.э. «Стул невесты»; Доказательство Эдварда Тафти; Применение теоремы Пифагора при решении различных задач; Выводы. Различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол». Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол». В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу». В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол». Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1 200 лет до Пифагора. По-видимому, он первый нашел ее доказательство. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении, написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и данная теорема. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. На протяжении последних веков были найдены и другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов ее доказательства сводится к разбиению квадратов на более мелкие части. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», у математиков арабского Востока эта теорема получила название «теоремы невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. Но словом этим греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых, женщин и невест. Доказательства теоремы Пифагора: С него начиналась теорема; Старинное индийское доказательство теоремы Пифагора; Алгебраическое доказательство теоремы; «Колесо с лопастями» Доказательство IX века н.э. «Стул невесты»; Доказательство Эдварда Тафти С него начиналась теорема Теорема Пифагора гласит: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АВ содержит исходных треугольника , а квадраты, построенные на катетах – по 2 треугольника. Теорема доказана. Старинное индийское доказательство теоремы Пифагора Этот рисунок можно найти в сочинении Бхаскары (индийский математик, живший в XII в.). Оно сопровождается одним словом: «Смотри». На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор. Алгебраическое доказательство теоремы Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С к гипотенузе. По определению косинуса угла , косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Получаем: Аналогично: Складывая полученные равенства, замечая, что , получим: Теорема доказана. «Колесо с лопастями» Это доказательство основано на разложении квадратов, построенных на катетах на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, а О – центр квадрата, построенного на большом катете. Пунктирные прямые, проходящие через точку О, перпендикулярны и параллельны гипотенузе. Чтобы доказать теорему необходимо «собрать колесо с лопастями». Доказательство IX века н.э. «Стул невесты» На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли «стулом невесты». Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, — неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 2 и 4 получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 2 и 4 равными им треугольниками 1 и 3, то получим квадрат, построенный на гипотенузе Доказательство Эдварда Тафти У Эдварда Тафти приведено совершенно блестящее доказательство, отходящее от классической математической нотации в сторону внятной информационной графики: Автору не потребовалось ни называть точки, ни комментировать построения, ни нумеровать формулы и рисунки. Применение теоремы Пифагора при решении различных задач Задача первая. Она взята из первого учебника математики на Руси. Называется этот учебник “Арифметика”. “Случится некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать” Решение. 1. Пусть СВ= х стоп. Тогда, используя теорему Пифагора (треугольник – прямоугольный), имеем равенство: , тогда Ответ: 44 стопы. Задача вторая. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика ХII в. Бхаскары: “На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи У тополя как велика высота?” Решение. 1) 2) По теореме Пифагора 3) Ответ: 8 футов Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Один из них немецкий писатель-романист А Шамиссо в начале XIX века писал: Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. ВЫВОДЫ: Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии. Пифагор превратил математику в дедуктивную науку: ввел доказательство. Она является основой решения множества геометрических задачи и является основой для вывода многих формул геометрии. На её основе возникла целая наука тригонометрия. Эта наука применяется в космонавтике. Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Работа над этим проектом нам позволила расширить свои знания в области в геометрии. Знания теоремы и его приложений позволят нам применить их при решении геометрических задач.

Открытый урок «Теорема невесты»

Цель:

• повторение понятий: прямоугольный треугольник, его элементов; прямоугольник, квадрат, площадь квадрата;
• рассмотреть задачи на применение теоремы Пифагора;
• вырабатывать умение решать задачи;
• учить логически мыслить.

Оборудование:

• портрет Пифагора;
• компьютер,
• мультимедийный проектор
• презентация
• карточки с раздаточным материалом.

Ход урока

1. Организационный момент <слайд 1> (Презентация).

Какое чудо – этот переход от слепоты к прозрению,
к пониманию сути дела!
М. Вертгеймер

2. Повторение

I. ( в форме устного диалога)

Вопросы учителя по чертежу на доске:

рис. 1

рис.2

1). Какой треугольник называется прямоугольным? (рис. 1)

2). Как называются его стороны?

3). Что такое гипотенуза? Назовите гипотенузу.

4). Что такое катет? Назовите катеты.

5). Какая фигура изображена на рисунке 2?

6). Что такое квадрат?

7). Как найти площадь квадрата?

8). Сторона квадрата 8 см. Найдите его площадь.

3. Вступительная беседа

Слово учителя:

Ему повезло больше, чем другим ученым древности. О нем сохранились десятки легенд и мифов, правдивых и выдуманных, реальных и вымышленных.

С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно теорема, носящая его имя, — теорема Пифагора.

<слайд 2> В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. ( за 1200 лет) Ее знали в Китае, Вавилонии, Египте. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге.

Во Франции и некоторых областях Германии в средневековье теорему Пифагора почему-то называли “мостом ослов”. <слайд 3>

У математиков арабского Востока эта теорема получила название “теорема невесты” за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлось нимфой. При переводе с греческого арабский переводчик , не обратив внимания на чертеж, перевел слово “нимфа” как “невеста”, а не бабочка.

Для нас Пифагор – математик, но в древности было иначе. Геродот называет его “выдающимся софистом”, то есть учителем мудрости. Для своих современников Пифагор прежде всего был религиозным пророком. Однако Гераклит не усмотрел в нем ничего, кроме “многознания без разума”.

Посмотрите, какие удивительные человечки присутствуют у нас на уроке. Приглядитесь к ним.

Этих человечков изобразили ученики Пифагора. Это карикатуры к теореме, которую мыс вами изучили.

Ребята, знаете ли вы что-нибудь связанное с именем Пифагора? Какая у нее есть необычная формулировка?

( Некоторые ученики могут сформулировать саму теорему или известную фразу “Пифагоровы штаны во все стороны равны”)

Сформулируйте теорему Пифагора:

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

<слайд 4>. Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

“Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”

Эта теорема вполне очевидна, если хорошо понять ее. Рассмотрим чертеж, выполненный по клеточкам.

Из рисунка очевидно, что

25 = 16 + 9,

5² = 4² + 3².

Обратите внимание, наш чертеж похож на одного из наших человечков. Оказывается в карикатурах изображены некоторые способы доказательства теоремы.

Доказательств теоремы Пифагора очень много.

Но где можно использовать данную теорему?

4. Практическое применение теоремы.

<слайд 5> Долгое время считали, что до Пифагора эта теореме не была известна , и поэтому ее назвали “теоремой Пифагора”. Это название сохранилось и поныне. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Веревочным треугольником со сторонами в 3, 4 , 5 единиц пользовались еще в Древнем Египте для построения прямых углов на местности рисунок 3.

рис. 3.

Египтяне придумали задачу о лотосе.

Задача. 1. < слайд 6>

“На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем (рис. 4). Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

рис. 4.

Ответ: ? * v13² – 12² = v 25 *1 = 5 (футов).

Учитель:Кто из вас, ребята, знает автора первого учебника математики на Руси?

(Леонтий Филиппович Магницкий).

— Однако настоящая его фамилия Телятин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивавшими к себе любознательных подобно магниту.

Я прочитаю вам сейчас задачу, как она была записана в те времена в учебнике Л.Ф.Магницкого.

Задача 2. <слайд 7>

Случися некоему человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать (рис. 5).

(Решает ученик, делая чертеж)

рис. 5

рис. 6

Дано: ?АВС , ?С = 90° (рис. 6)

АС = 117 стоп, АВ = 125 стоп.

Найти : СВ.

Решение:

Так как треугольник прямоугольный применим теорему Пифагора:

АВ² = АС² + СВ²

СВ² = АВ² — АС² = 125² — 117² = ( 125 – 117)•( 125 + 117) = 8 •242 = 4 •4 •121 ;

СВ = v4 •4 •121 = 2 •2 •11 = 44 ( стопы)

( Ответ : 44 стопы )

Учитель:

Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII в. Бхаскары: <слайд 8 >

Задача 3.

“На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?”

рис.7

<слайд 9>. Задача иллюстрируется рисунком ( рис. 7). Требуется узнать высоту тополя.

(Ответ: 8 футов)

Учитель:

Рассмотрим теперь задачи, которые могут встретиться в наши дни. И в них тоже применяется теорема Пифагора.

(Раздаются карточки с задачами. Затем заслушивается решение)

Работа в парах:

Карточка 1. Между двумя площадками лестничной клетки требуется уложить на металлических балках бетонные ступени. Под каким углом к горизонту следует закрепить балки, если подъем ступени равен 15,5 см, а ее ширина 32,5 см?

Карточка 2. Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите: а). длину лестницы; б). угол ее наклона; в). глубину станции по вертикали

Карточка 3. Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 м от нее расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м , дальность полета пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Учитель:

<слайд 10> Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящаются стихи, песни, рисунки, картины. В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон.

Посмотрите на ее изображение ( рис. 8)<слайд 11>

На марке надпись: “Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм”.

Эта красивая марка – почти единственная среди многих тысяч существующих, на которой изображен математический факт.

5. Итог урока

Подведение итогов урока.

Задается домашнее задание.