План-конспект урока геометрии (6 класс) на тему: «Теорема Пифагора»

№	Этап урока	Название используемых ЭОР (с указанием  порядкового номера из Таблицы 2)	Деятельность учителя (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)	Деятельность ученика	Время (в мин.)
1	2	3	5	6	7
1	Мотивационный		Приветствие учащихся. Сегодня на уроке вы станете “владельцами” одного из сокровищ геометрии и если, уходя с урока ,вы скажите себе: да, я запомнил теорему Пифагора и следствия из неё и смогу применить их при решении задач   Запишите тему урока в тетрадь.	Приветствие учителя. Обсуждение эпиграфа Записывают тему урока.	3 мин
2	Целеполагание		(Цели, сформулированные учащимися можно фиксировать на доске мелом)	Цели: Изучить Теорему Пифагора; рассмотреть доказательство; научится решать задачи по данной теме.	3 мин
3	Планирование деятельности		Работать будем по следующему, знакомому нам, плану. (на доске картинки) — (поставить цели)  (обсудить, что уже известно по данной теме тебе, твоим товарищам, или присутствующим на уроке, что нужно вспомнить для изучения данной темы)  посмотреть в книге посмотреть дополнительные источники информации самим решать задачи, делать чертежи  подвести итоги		3 мин
3	Реализация плана деятельности Актуализация знаний Изучение нового материала		Какой пункт плана мы выполнили? Обсудим, что мы знаем по данной теме и что нам нужно вспомнить. Дома вам необходимо было начертить прямоугольные треугольники по известным катетам, измерить гипотенузу и заполнить таблицу. Давайте проверим, как вы справились. На доске таблица . Один ученик со своей таблицы заполняет на доске Катет Катет Гипотенуза 3 4 5 5 12 13 6 8 10 8 15 17 Почему сумма катетов больше гипотенузы? Останется ли треугольник прямоугольным, если увеличить или уменьшить одну из его сторон? Может ли катет быть длиннее гипотенузы?	— Поставили цели. Проверяют свои записи. Отвечают на вопросы	29 мин
		ЭОР1	Попадает ли каждая отдельная сторона прямоугольного треугольника в полную зависимость от двух других его сторон? Утверждение, позволяющее найти гипотенузу, зная длины катетов, называется теоремой Пифагора. За 1200 лет до Пифагора в Вавилоне и за 2000 лет в Египте уже было известно соотношение между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике, установленное опытным путём на основе измерений. По-видимому, Пифагору удалось доказать это утверждение.  Найдите в ваших учебниках Теорему Пифагора и прочитайте. Существует множество доказательств этой теоремы. Рассмотрим некоторые из них. (Демонстрирует Эор1)	Читают. Записывают теорему в тетрадь . Записывают доказательство.
		ЭОР2 ЭОР3	Посмотрим дополнительную информацию (Сначала дети могут обратиться к справочной литературе, энциклопедиям лежащим на столах, а затем вместе посмотреть демонстрация эор2 –ОМС модуль) Здесь предлагается ещё один вариант достраивания треугольника до квадрата. Демонстрация эор3 –ОМС модуль- иной способ доказательства теоремы Пифагора просматривают ознакомительное. Послушаем историческую справку приготовленную учеником.	Смотрят эор1и эор2 Выступает ученик с исторической справкой о теореме Пифагора
	Закрепление		Устно (карточка №1) Работаем по цветным карточкам. Каждый учащийся выберет себе карточку.     Первый уровень (зеленая) 1. Найдите стороны ромба, если его диагонали равны 24 см и 18 см. 2. Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 9 см, а диагональ – 15 см. 3. Стороны прямоугольника 8 см и 15 см. Найдите его диагонали.	Работают устно. Выбирают карточки. Работают по карточкам. Задания выполняют в тетрадях Записывают домашнее задание записывают ссылку
	Домашнее задание		Второй уровень (желтая) 1. В равнобокой трапеции основания равны 8 см и 14 см, боковая сторона – 5 см. Найдите высоту трапеции. 2. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а его основание – 30 см. Найдите боковую сторону данного треугольника. 3 .Сторона равностороннего треугольника равна 183 см. Найдите биссектрису этого треугольника. Третий уровень (красная) 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 дм, боковая сторона меньше основания на 1.5 дм. Найдите высоту этого треугольника. 2. В окружность, радиус которой равен 17 см, вписан прямоугольник. Найдите стороны этого прямоугольника, если отношение их равно 15:8. 3. На сторонах прямоугольного треугольника АВС построены квадраты, причём S3+S2=1252 см2, а S1= 100 см2. Найдите периметр треугольника АВС. В процессе выполнения заданий учитель выступает в роли индивидуального консультанта.
		Эор4 Эор5	п. 54 прочитать, выучить формулировку и доказательство теоремы Пифагора. № 483(б), 484 (б), 486 (а) Дополнительно (по желанию): Подготовить доклад по теме «Доказательства теоремы Пифагора». Вам могут быть полезны ссылки: http://mat.1september.ru/2001/24/no24_01.htm http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fe83c006-32cf-22a3-f5db-8f8e5b6d6c89/?
	Подведение итогов		Подведем итоги урока. Учитель анализирует работу учащихся по карточкам. Акцентирует внимание учащихся на моментах, вызвавших наибольшее затруднение. Оценивает работу. (не обязательно с выставлением оценок в журнал)
4	Рефлексия		Ребята, оцените, пожалуйста, наши с вами старания сегодня на уроке и на цветок настроения прикрепите соответствующий лепесток. Черный: Урок не понравился и я ничего не понял Красный: Урок понравился, но некоторые моменты урока не освоил Желтый: Урок понравился и освоил материал урока	Ребята приклеивают на доску лепесток настроения	2 мин

Научно-исследовательская работа по математике на тему «Теорема Пифагора в математике и в жизни» (8 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

г.Нелидово Тверской области

Выполнил: ученик 8а класса Колеватых Александр

Руководитель работы: Орлова Ольга Геннадьевна

2017 г.

Объект исследования:
теорема Пифагора.
Предмет исследования:
применение теоремы Пифагора в практической жизни.
Гипотеза:
с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

Методы исследования:
— поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
— анкетирование, сбор информации, анализ полученных в ходе исследования данных.

Цель работы:
исследовать теорему Пифагора и показать её практическое применение в жизни человека.
Задачи:

1. Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы.

2. Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

3. Показать применение теоремы при решении различных задач.

4. Обработать собранные данные по теме.

5. Сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

Актуальность.  В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.

Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Так ли актуальна теорема Пифагора сейчас?

Содержание:

1. Введение.

2. Немного о Пифагоре.

3.История теоремы.

4. Применение теоремы Пифагора в :

1) строительстве и архитектуре;

2) мобильной связи;

3) литературе;

4) Пифагор и музыка;

5) молниеотвод.

5. Исторические задачи.

6. Теорема Пифагора в задачах ОГЭ.

7. Выводы и заключение.

8. Литература.

1.ВВЕДЕНИЕ

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Теорема Пифагора одна из главных теорем геометрии, еѐ значение состоит в том, что из неѐ и с еѐ помощью можно вывести большинство теорем, она широко используется в различных областях науки: технике, практической жизни. Изучая в 8 классе геометрию, я захотел узнать, где в жизни можно применить знания, полученные на уроках. В частности, где применяется теорема Пифагора.

Не буду пытаться привести все примеры использования теоремы — это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Для своего исследования я вначале провел анкетирование учащихся, учителей, родителей и обработал результаты. Было опрошено 27 учащихся 8-11 классов, 14 учителей и 15 родителей учащихся 8 класса. Мне интересно знать, знают ли теорему Пифагора ученики, учителя, родители?

Анкета включала в себя вопросы:

1. Как называется самая известная теорема геометрии?

2. Можете ли вы её сформулировать?

Диаграмма №1 Результаты анкетирования учащихся

Диаграмма №2 Результаты анкетирования учителей

Диаграмма №3 Результаты анкетирования родителей учащихся 8 класса

2.Немного о Пифагоре.

Пифагор- древнегреческий учёный( VI веке до н.э..) Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Апполона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошёл к одной реке, та вышла из берегов, чтобы поприветствовать Пифагора! Но мало ли что рассказывали люди в то лёгковерное время! Но если отбросить сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор много сделал для развития науки (хотя начинал он совсем не как учёный, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!).

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником Олимпиады, но и победил всех противников. Вся его жизнь – легенда, точнее наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос, у берега Малой Азии. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Всего 5 километров водной глади отделяло этот остров от большой земли. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет – в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там, в Кротоне, создает удивительную школу, которую назовут пифагорейской. Они были трудолюбивы и аскетичны – Пифагор и его ученики. Вот заповеди пифагорейцев.

• Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться.

• Не делай никогда того, что не знаешь, но научись всему, что следует знать.

• Не пренебрегай здоровьем своего тела.

• Приучайся жить просто и без роскоши.

• Прежде чем лечь спать, проанализируй свой поступки за день.

Трудно сказать, какие научные идеи принадлежали Пифагору, какие – его воспитанникам. Но рассказывают, что Пифагор, доказав свою знаменитую теорему, отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков.

Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Греческий ученый Гераклит утверждал, что Пифагор ученее всех современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были наполнены магическим содержанием, они преклонялись перед гармонией чисел.

Пифагор был не только математиком, но и философом. Ему принадлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, — ему выпало счастье победить не только соперника, но и время.

3. История теоремы Пифагора.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I .

По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой- на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку.»

Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о еѐ широком применении. Теорема почти всюду носит имя Пифагора, но в настоящее время все согласны с тем, что она была открыта не Пифагором. Однако одни полагают, что он первым дал еѐ полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Доказательство теоремы считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

В некоторых списках «Начал» Евклида теорема Пифагора называлась теоремой Нимфы, «теорема – бабочка», по-видимому из-за сходства чертежа с бабочкой, поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также некоторых богинь.

Учащиеся даже рисовали карикатуры и составляли стишки вроде этого:

«Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Формулировки теоремы тоже различны. Общепринятой считается следующая:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Теорема Пифагора доказана более чем 100 способами. Я познакомился с тремя способами доказательства теоремы Важно: уравнение было занесено в книгу рекордов Гиннесса вследствие 370 правдивых доказательств. В настоящее время никому неизвестно доказательство теоремы самим Пифагором. Факты о доказательствах математика сегодня не известны никому. Считается, что доказательство чертежей Евклидом — это и есть доказательство Пифагора. Однако некоторые ученые спорят с этим утверждением: многие считают, что Евклид самостоятельно доказал теорему, без помощи создателя гипотезы.

Доказательство Нильсена.

На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Перигаля.

В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»; это доказательство нашел Перигаль). Через центр квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельные и перпендикулярные гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Приведу наиболее простое геометрическое доказательство этой теоремы: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Нарисую два квадрата, стороны которых равны (a+b) – сумме двух катетов (сторон, образующих прямой угол) прямоугольного треугольника(рис.1)

Затем в полученных квадратах выполню построения (рис.2, рис.3).

Все зарисованные на рис.2,3 фигуры – квадраты со сторонами, равными катетам и гипотенузе прямоугольного треугольника. Очевидно, что сумма площадей зарисованных квадратов на рис.2 равна площади зарисованного квадрата на рис.3, а именно площади квадрата со стороной (a+b) за вычетом четырех площадей равных между собой треугольников. Итак, теорема Пифагора доказана.

Доказательство индийского математика Бхаскари.

• Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.
  Сторона квадрата равна b, на квадрат наложены 4 исходных треугольника с катетами a и c, как показано на рисунке.

Сторона маленького квадрата, получившегося в центре, равна c — a, тогда:
b² = 4*a*c/2 + (c-a)² =
   = 2*a*c + c² — 2*a*c + a² =
   = a² + c²

Теорема Пифагора (без доказательства) встречается еще в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Одно из древнейших доказательств теоремы Пифагора, очень громоздкое и трудное, дано Евклидом. О прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5 единиц длины за 200 лет до н.э. знали и египтяне, считая его магическим.

4.Применение теоремы Пифагора.

Не буду приводить все примеры использования теоремы — это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и сейчас строители и плотники, закладывая фундамент дома, изготовляя его детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол.

§ 1. Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рѐбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на этом рисунке.

На рисунке (Приложение №4)представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки определенной длины.

Длина стропил L=√ (( b/2)2+h3)= √(b2/4+h3),

Например высота чердака h=2м, длина

стороны дома b=6м,

длина стропил L = √ 22+32=√13≈3,6 м.

§ 2. Сотовая связь.

В настоящее время среди операторов мобильной связи идѐт большая конкуренция. Чем надежней связь, чем больше зона покрытия, тем больше пользователей у оператора. При строительстве вышки часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь вышка, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

Я на основе задачи, найденной в Интернете, решил решить задачу:

• Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

• Решение:

•       Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

• OB=OA+AB
  OB=r + x.

• Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

§ 3. Литература

Мало кто знает, что Пифагор имел отношение не только к математике, но и к литературе. Он и его теорема воспеты в литературе. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Некоторые из них я приведу в своей исследовательской работе.

О теореме Пифагора

О теореме Пифагора 
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор;
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья. 
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу
 Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
А. фон Шамиссо
(Перевод А. Хованского)

О теореме Пифагора
Суть истины вся в том, что нам она — навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда они учуят, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, —
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быками, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? — Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.
А. фон Шамиссо

Пифагорова теорема

Не знаю, чем кончу поэму
И как мне печаль избыть:
Древнейшую теорему
Никак я не в силах забыть.
Стоит треугольник как ментор,
И угол прямой в нем есть,
И всем его элементам
Повсюду почет и честь.
Прелестная гипотенуза
Взнеслась так смело в высь!
И с нею в вечном союзе
Два катета тоже взъелись.
Она царит на квадратах,
И песню поет она;
Та песня влечет куда-то
Геометров древних волна.
И все на торжищах света, 
Как в огненном кольце,
И все повторяют это:
Ах, а², b² , с!
И даже в холодной медузе
Огонь эта песня зажгла,
И все это гипотенузы
И катетов двух дела!

Г. Вебер

Теореме Пифагора
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
 К результату мы придем.
И. Дырченко

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье.

За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать.

От страха, что вселил в них Пифагор.

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»

Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе.

§4. Пифагор и музыка.

Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор.

Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд — полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Оказывается, длины трёх струн, дающих ноты до,ми, соль образуют арифметическую пропорцию. Именно длины струн относятся, как число

1 : 4/5 : 2/3.

Приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам.

Позже учёные – математики создали теорию музыки.

§5.Молниеотвод.

• Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

• Решение:

•       По теореме Пифагора h3≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.

5.Исторические задачи.

Предлагаю несколько исторических задач, найденных в древних источниках.

Задача Бхаскари

(Приложение №3)

«На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?»

Решение: По теореме Пифагора АВ²= ВС²+АС² ;9+16=25, АВ=5 Футов; СD=3+5=8 футов. Ответ: высота тополя 8 футов.

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

(Приложение№3). «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша?».

Решение: По теореме Пифагора (x+1)²=x²+25; 2x=24, x=12 чи.; 12+1=13 чи. Ответ: глубина воды-12 чи, длина камыша-13 чи.

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». Решение: ВС²=АВ²-АС²; ВС²=15625-13689=44 стоп. Ответ: ВС=44 стоп. (Приложение№3).

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).Какова высота бамбука после сгибания? Решение: (10-x)²=x²-9; -20x=9-100, -20x=-109, x=109/20 чи. Ответ: x= 4,55 чи.

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока.( 3 3/4 фута)

6.Теорема Пифагора в задачах ОГЭ.

Теорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

Задачи из банка подготовки к ОГЭ.

1.От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут про­вод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину про­во­да.

2.Лест­ни­цу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к де­ре­ву. На какой вы­со­те (в мет­рах) на­хо­дит­ся верх­ний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла де­ре­ва на 1,8 м?

4

3.Маль­чик про­шел от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 800 м. Затем по­вер­нул на север и про­шел 600 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?

4.Де­воч­ка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 500 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 300 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла еще 100 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­за­лась де­воч­ка?

6

5.Маль­чик и де­воч­ка, рас­став­шись на пе­ре­крест­ке, пошли по вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным до­ро­гам, маль­чик со ско­ро­стью 4 км/ч, де­воч­ка — 3 км/ч. Какое рас­сто­я­ние (в ки­ло­мет­рах) будет между ними через 30 минут?

7

6.Глу­би­на кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лест­ни­цы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м боль­ше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лест­ни­цы.

7.Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 35 сту­пе­ней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в мет­рах).

8.Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса.

 

9.Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в мет­рах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

10.Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B . Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 10 м. Най­ди­те вы­со­ту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в мет­рах).

11.По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

    

12.По­жар­ную лест­ни­цу при­ста­ви­ли к окну, рас­по­ло­жен­но­му на вы­со­те 12 м от земли. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. Ка­ко­ва длина лест­ни­цы? Ответ дайте в мет­рах

.

 

 

7.ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате проведённого исследования я выяснил некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Я изучил некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме, решил ряд исторических задач на применение теоремы Пифагора.

Вывод: я исследовал теорему Пифагора и в практической части работы показал:

 применение теоремы в многообразии задач разного характера: геометрических, задачах из древнего мира;

 практическое применение в жизни.

Работая над исследованием, мы убедились, что теорема Пифагора проста, но не очевидна. Теорема имеет большое значение: она используется в геометрии практически в каждой задаче, она лежит в основе доказательства множества других геометрических теорем и имеет большое практическое применение.

8.ЛИТЕРАТУРА.

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 4-е изд. — М.: Просвещение, 2004. — 335 с.

2. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1989. — 352 с.

3.Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982

4.История теоремы Пифагора

5.http://th-pif.narod.ru/pract.htm

6.Волошинов А.В. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399

7.Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993,с.223

8.Литцман В. «Теорема Пифагора»,М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960, с.114

9. http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html

10. http://moypifagor.narod.ru/use.htm

11. http://moypifagor.narod.ru/literature.htm

«Практическое применение теоремы Пифагора»

Конспект урока геометрии в 8 классе

Тема урока: Практическое применение теоремы Пифагора.

Дидактическая цель: создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора, научить детей находить причину своих затруднений, самостоятельно строить алгоритм действий по устранению затруднений, связанных с построением структуры изученных понятий и алгоритмов, научить самоанализу действий

Цели по содержанию:

— обучающие: уметь применять теорему Пифагора на практике; проанализировать степень усвоения материала; показать практическое применение теоремы Пифагора в жизни;

— развивающие: создать условия, в которых учащиеся могли бы самостоятельно планировать и анализировать собственные действия, реально оценивать свои возможности и знания, находить выход из любой ситуации;

— воспитательные: развивать умение работать в коллективе; убедить учащихся в научной, практической, жизненной значимости теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора; воспитывать познавательный интерес к предмету, любовь к поисковым решениям.

Тип урока: Урок закрепления

Методы:

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

Относительно дидактических задач: повторение и закрепление основных понятий и фактов, формирование мировоззренческих идей.

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый, творческий, проблемный, проектный.

Планируемый результат:

Личностные УУД: проявлять внимание и интерес к учебному процессу, умение анализировать, оценивать ситуацию, выражать доброжелательное отношение к учебному процессу, оценивать собственную учебную деятельность, свои достижения, проявлять самостоятельность, инициативу, ответственность, сравнивать разные точки зрения, считаться с мнением другого, умение ясно и точно излагать свои мысли.

Регулятивные УУД: планировать цель деятельности до получения результата, вносить изменения в процесс, оценивать результаты учебной деятельности, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения.

Познавательные УУД: осуществлять логические действия; формулировать ответы на вопросы, выявлять особенности разных объектов в процессе их рассмотрения, воспроизводить информацию по памяти, необходимую для решения учебных задач, применять модели, сравнивать различные объекты, сопоставлять характеристики по одному или нескольким признакам, устанавливать причинно-следственные связи.

Коммуникативные УУД: учитывать разные мнения, стремиться к координации различных позиций в сотрудничестве, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение.

Место проведения: учебный кабинет 17

Оборудование: Геометрия 7 – 9: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. – М.: Просвещение, 2015; мультимедиа проектор, компьютер, презентация, доска, чертёжные принадлежности, раздаточный материал для групп

ХОД УРОКА

1. Организационный этап.

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

2. Постановка цели и задач урока

Учитель открывает слайд презентации и предлагает одному из учащихся прочитать стихотворение вслух:

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.

И. Дырченко

Вопросы классу:

1. О какой теореме идёт речь в стихотворении?

2. А как сформулирована теорема Пифагора в ваших учебниках?

3. Как вы думаете, теорема, которую доказали много лет назад, пригодится вам в жизни?

4. А при каких обстоятельствах она вам может пригодиться? В каких сферах жизни она найдёт применение?

Итак, области, в которых применяется теорема Пифагора:

Строительство 

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

При строительстве лестниц необходимо рассчитать длину, ширину каждой ступени, крутизну лестницы.

При строительстве мостов, дорог рассчитывают подъемы и спуски.

Дизайн

Ландшафтный дизайн. Дизайнер на участке просчитывает расположение объектов, их высоту, форму, выводит прямые углы.

Дизайн одежды

 При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину выточек. 
Ориентирование. Расстояние до горизонта

На открытом пространстве расстояние до видимого горизонта зависит от высоты точки наблюдения над земной поверхностью. Ученые вывели

формулу расстояния до горизонта , где R – радиус земли, а h – высота объекта. 

Эта формула применима в следующих областях.

Космонавтика

 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. Ученые смогли вычислить площадь увиденной им поверхности земли. 

Мобильная связь. В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе. 

TV, радиовещание, интернет

 На определенную высоту от земной поверхности запускаются спутники, передающие сигналы ТV, радиовещания, интернета.

Геодезия, метеопрогноз

 В геодезии, метеопрогнозе – фото поверхности земли из космоса, так же рассчитывают расстояние спутников от поверхности земли.  Молниеотвод.

Древние и исторические задачи

Современные задачи (авиация, мореходство, естественные науки)

Учитель: Как вы думаете, чему будет посвящён наш урок? Как можно сформулировать тему урока? Цель и задачи?

Формулировка цели и задач урока

3. Актуализация знаний

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Организация повторения формулировки теоремы Пифагора, формулировки теоремы, обратной теореме Пифагора.

Решение задач на готовых чертежах:

1. Мальчик прошел от дома по направлению на запад 800 м. Затем повернул на север

и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она прошла на восток еще 100 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?

Учитель: Ребята, есть среди вас те, кто уже знает, кем он станет в будущем?

Поднимите, пожалуйста, руку.

Так как с выбором будущей профессии пока определились не все, я предлагаю вам провести профпробы. Но сначала давайте проведём физминутку.

4. Физкультминутка

Смена деятельности, обеспечение эмоциональной разгрузки учащихся

Учащиеся встают.

Учитель читает стихотворение, учащиеся либо кивают головой в знак согласия, либо отрицательно качают головой и делают движения руками.

Стихотворение:

А у нас учитель строгий… Вот беда…

Волновались мы с утра, как никогда!

Волновались мы, конечно же, не зря,

Много времени прошло ведь с декабря.

Вспомним точно, что прошли в прошлом году.

Если надо, я в учебнике найду

Очень быстро я вот эту теорему.

Если что, помочь друг другу можем все мы.

На профпробы сядем мы сейчас.

Справится со всем наш дружный класс!

5. Применение знаний и умений в новой ситуации

Деление учащихся на группы (каждый учащийся вытягивает картинку какой-нибудь профессии, учащиеся с одинаковыми картинками садятся за стол с логотипом и названием группы). Каждая группа получает задание.

«Профпробы»

Задания группам:

Историки

Пирамиды, построенные в Египте, поражают своими точными размерами и идеальными прямыми углами. Но ведь не было тогда транспортиров и других инструментов, позволяющих точно строить углы. Эту задачу решали с помощью обычной веревки. Создайте приспособление для построения прямых углов. Как оно называется?

Строители

Между двумя фабричными зданиями устроен желоб для подачи материалов. Расстояние между зданиями равно 15 м, а концы желоба расположены на высоте 12 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба. 

Военные

Вдоль линии фронта на расстоянии 80 м друг от друга расположены три огневые позиции.   Напротив среднего орудия, на расстоянии 60 м от него, появились танки. Помогите сделать расчёт наводчикам крайних орудий.  На каком расстоянии от них находятся танки?

Криминалисты

Из хранилища, имеющего одно окно на высоте 8 м, пропали драгоценности. Холмс обратил внимание, что на заднем дворе валялась лестница длиной 10 м, и на земле под окном нашел две вмятины на расстоянии 6 м от стены. Преступник проник через окно! Сделал заключение Холмс. Прав ли он?

 

Дизайнеры

Создайте узор из разноцветных прямоугольных треугольников

Операторы мобильной связи

Спутник связи Билайн находится на высоте 1500 км над Борисоглебском. Качественная связь обеспечивается на расстоянии 1700 км от спутника. На каком расстоянии от Борисоглебска будет качественная связь? 

6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения.

7. Рефлексия (подведение итогов урока)

Учащиеся качественно оценивают свою деятельность на уроке и урок:

Сегодня я …

Меня заинтересовала …

Было трудно …

Когда я вырасту …

…

8. Информация о домашнем задании

Домашнее задание: повторить теорему Пифагора, составить и решить задачу, в которой используется теорема Пифагора (отдельно поощряется оригинальность оформления задачи и её решения)

Учебно – исследовательская работа «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И СТРОИТЕЛЬСТВО»

«Управление образования администрации г. Канска »

МБОУ средняя общеобразовательная школа № 3

Учебно – исследовательская работа

«Математика для всех»

Выполнила: А.Ларионова,

обучающаяся 8 класса

Руководитель: Г.Г. Мухометзянова,

учитель математики

2017 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Глава I Теорема Пифагора

1.1 Пифагор и пифагорейский союз 4

1.2 Способы доказательства теоремы Пифагора 5

Глава II Практические этапы работы

2.1 Применение теоремы Пифагора в строительстве 10

Заключение 15

Литература 16

Приложение

Введение.

1. Актуальность данного исследования связано с тем, что теорема Пифагора имеет огромное значение и существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических), которые свидетельствуют о числе ее конкретных реализаций. В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются математические задачи, но использование теоремы Пифагора не заканчивается на школьной программе, её широко применяют и за пределами школы. Мы видим необходимость доказать и описать использование теоремы на примере жизненных ситуаций, например, при расчетах в строительстве.

2. Объект исследования: теорема Пифагора.

3. Предмет исследования: применение теоремы Пифагора при расчетах в строительстве.

4. Цель: выявление и изучение применения теоремы Пифагора в строительстве.

5. Задачи:

1.Познакомиться с биографией Пифагора и деятельностью пифагорейского союза.

2. Систематизировать наиболее интересные доказательства теоремы Пифагора.

3. Выявить применение теоремы Пифагора в строительстве.

6. Гипотеза: применяя теорему Пифагора, можно производить расчеты при строительстве крыш домов, окон, скамеек.

7. Проблема: выполнить расчеты при строительстве крыш домов, окон, скамеек.

8. Практическая и теоретическая значимость работы:

использовать наши знания и умения в методике преподавания факультативного курса по математике в школах.

9. Метод систематизации и обработки данных с применением информационной технологии.

3

Глава I . Теорема Пифагора

1.1. Пифагор и пифагорейский союз

Великий древнегреческий ученый Пифагор родился на острове Самос в VI веке до нашей эры. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Отец работал камнерезом. В молодости Пифагор побывал в Египте, где учился у жрецов. Там он познакомился с восточной математикой. Геометрия у него была подчинена арифметике. Пифагор говорил: «Все есть число». Он хотел свести к натуральным числам весь мир, особенно математику.

Фото 1

Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. (Энциклопедический словарь юного математика: А.П.Савин. М. «Педагогика»,1989, с.28.) Он представлял космос как математически упорядоченное целое. По легенде: Пифагор проходил мимо кузницы и услышал, как имевшие разную массу наковальни при ударе звучат. Он усмотрел аналогию между упорядоченностью в музыке и упорядоченностью

4

материального мира, и пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос.

Около 530 года до нашей эры Пифагор переехал в Кротон – греческую

колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз (или кратонское братство). Он возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет. В сферу интересов членов союза входили научные исследования, религиозно-философские искания, политическая деятельность. Они вели суровый образ жизни, превыше всего ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Пифагорейцы жили вместе, у них было совместное имущество, и даже свои открытия они считали общим достоянием. Деятельность союза была окружена тайной, все открытия приписывали Пифагору. Кто на самом деле является автором того или иного результата, неизвестно.

Пифагорейцы называли собственные исследования «математа», что означает «науки»,

делили их на четыре части :арифметику, геометрию, астрономию и гармонию «учение о музыке». Главной считалась арифметика – наука о числах. Пифагорейцы жили по законам, которые назывались Акусма.

1. 2. Способы доказательства теоремы Пифагора

Открытие теоремы Пифагора связано с разного рода легендами.

Одна из них – это теорема « невесты». Ей дали название за сходство чертежа с бабочкой, а «бабочка» в переводе с греческого «нимфа». Этим словом греки обозначали богинь, невест. И с арабского «нимфа» — « невеста ».

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им, «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важнейших теорем геометрии. Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в

целом свете столько рогатого скота сыскалось.» А ироничный Генрих Гейне считал:

« Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам. Частые случаи этой теоремы были известны некоторым древним народам ещё до Пифагора. Например, в своей

5

строительной практике египтяне пользовались так называемым «египетским

треугольником» со сторонами 3,4,5. Египтяне знали, что указанный треугольник является прямоугольным и для него выполняется соотношение: 3²+4²=5², т.е. как раз то, что утверждает теорема Пифагора.

Частные случаи этой теоремы были известны китайцам и индейцам. В древнем Китае теорему Пифагора стали применять около 2200 лет до новой эры. В знаменитом тракте «математика в 9 книгах» составление, которого относится к началу новой эры, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике использовалась под видом правила «Гоу-гу». Термины «гоу» и «гу» обозначает катеты прямоугольного треугольника, причем «гоу» — горизонтальный, обычно меньший, а «гу» вертикальный и обычно больший катет. В буквальном переводе «гоу» означает крюк, «гу» — ребро. Индийским ученым теорема Пифагора стала известна не позднее VIII века до новой эры.

Я рассмотрела 8 доказательств, включая теоремы из курса «Геометрия – 8».

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

1)Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ АВС со сторонами a,b,c.

Доказать: с² = а² + b²

Доказательство:

Достроим до квадрата со сторонами а + b , S = (а + b)² = a ²+ 2ab + b². ^{Площадь прямоугольного треугольника S = ½ ab. Следовательно}

S = 4* ½ ab + c² = 2ab +c², следовательно a² +2ab + b² = 2ab + c², следовательно с² = a² + b². ч.т.д.

6

Доказательства методом достроения.

1) На чертеже построен треугольник АВС, на его сторонах построены квадраты. К квадратам присоединяют равные фигуры так, чтобы получились равновеликие фигуры. Это треугольники 1 и 2. Шестиугольник АЕDFPB равновелик шестиугольнику ACBNMG. Прямая СМ делит ACBNMG на два равновеликих четырехугольника, прямая EP делит AEDFPB на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90⁰ вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMG. (Это доказательство дал Леонардо да Винчи).

Доказательство Мельманна.

Площадь прямоугольного треугольника равна 0,5аb, или 0,5pr, где p – полупериметр треугольника, r –радиус вписанной в него окружности

(r = 0,5(а + b – с). 0,5аb — 0,5pr — 0,5(а + b – с) 0,5(а + b – с), следовательно с^{2 =} а² + b².

7

Доказательство Гарфилда.

На рисунке 3 прямоугольных треугольника составляют трапецию.

Площадь фигуры 0,5(а + b) (а + b) по формуле площади прямоугольной трапеции, 0,5аb + 0,5аb + 0,5с² как сумма площадей трех треугольников.

Приравнивая эти выражения, получим с^{2 =} а² + b².

«Пифагоровы штаны» ( доказательство Евклида).

Евклид в « Началах» при доказательстве опускал высоту BH из вершины

прямоугольного треугольника на гипотенузу. ВН делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательство сложное, чертеж в шутку называют «пифагоровы штаны».

8

Древнеиндийское доказательство.

Математики Древней Индии для доказательства теоремы Пифагора использовали внутреннюю часть древнекитайского чертежа (трактат

«Сиддханта широмани » («Венец знания»)).

Прямоугольные треугольники уложены гипотенузой наружу и квадрат с²

перекладывается в « кресло невесты » а² + b².

Вывод: теорема Пифагора попала в книгу Гиннеса. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Он и его последователи – пифагорейцы образовали тайный союз в городе Кротоне, в древней Греции. Пифагорейские идеи поддерживали философы: Платон, Аристотель.

9

2.1. Применение теоремы Пифагора в строительстве

Теорема Пифагора нашла своё практическое применение в архитектуре и строительстве: 
* При строительстве любого сооружения, рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т. д. 
* Четырехугольную пирамиду рассматривают как крышу башни. 
* В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.  На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

Фото 2

Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора. 
а) Измерение высоты колонны в ГДК.

Я провела измерения в холе ГДК, так как не имела доступа к документации по теме исследования. Чтобы узнать настоящие размеры, я проводила измерения, используя подобие треугольников:

1.При помощи линейки измерила нужные мне размеры холла.

10

2. Шагами измерила расстояние между колоннами.

3. Воспользовалась подобием треугольников, теоремой Пифагора. Размеры, полученные в процессе измерения, могут немного отличаться от настоящих, так как измерения проводились с погрешностью глазомера, линейки.

п/п

Параметры холла в ГДК

Размеры, полученные после вычислений, м

1

Высота колонны

7,7

2

Расстояния между двумя колоннами

0,032

Рассмотрим Δ АКМ ∞Δ АВС. АМ=20 шагов, КМ=2,2м; МС=8шагов.

; ВС= ; ВС = м.

АВ = = ≈ 8 (м). 1шаг = 0,004м.

Следовательно высота колонны 7,7м.

11

б) Применение теоремы Пифагора на дачном участке.

Размер парника играет большую роль – от него зависит температура и влажность, а значит, сам процесс созревания урожая. Размеры в мм.

1000 – 800 = 200(мм) х = = ≈ 1520 (мм)

в) Покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

12

На этой скамеечке хорошо отдохнуть в тени. Единственное условие – она должна быть прочной и удобной. Для этого подголовник и каркас соединяем планкой в виде прямоугольного треугольника. Размеры в мм.

Х = = ≈ 1130 (мм).

г) Применение теоремы Пифагора при строительстве крыши дома.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки.

В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки 8 м.?

Решение: рассмотрим чертеж. Стропила образуют каркас крыши под углом 12ᵒ

угол наклона между крышей и стеной 60 ᵒ . В ΔАВС часть балки СВ = 1м,

высота стены АС = 1,5м; стропило ВD = 2,5м. Вычислим стропила АВ и АD.

Δ АВС: АВ = = = 1,8 (м).

Δ АDB: AD = = = 1,7(м).

Вывод: при длине стропил 1,8м и 1,7м угол наклона между крышей и стеной 60 ᵒ .

д) Молниеотвод.

Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты.

Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h² ≥ a² + b², значит h ≥ (a² + b²) / 2.

13

а

b

е) Определение расстояния до недоступного предмета на местности.

Для определения расстояния до недоступного предмета на местности, применяют равнобедренный прямоугольный треугольник. Этапы измерения:

1.Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А;

2.Двигаясь перпендикулярно АВ вправо , найти точку С, в которой гипотенуза совпадает с точкой В с помощью транспортира и планки;

3.Измерить расстояние АС = АВ.

Измерения:

АС = 14,3 м

АВ = АС = 14,3 м

14

Заключение.

В заключении я хочу отметить, что работа по данной теме оказалась интересной и поучительной для меня.

Согласно поставленной цели, мы исследовали и подтвердили свою гипотезу, что применяя теорему Пифагора, можно производить расчеты при строительстве крыш домов, окон, скамеек.

Теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его, она открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в пространство. Этим определяется ее важность для геометрии и математики. Вычисление стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам; построение прямых углов; нахождение высоты объекта и определение до недоступного предмета применяются в строительстве.

Мои знания и умения можно использовать в методике преподавания факультативного курса по математике в школе.

15

Литература:

1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. 2004г.

2. Учебник – геометрия 7-9классов, Л.С.Атанасян,

М.«Просвещение», 2004г.

3. Учебник — геометрия 7-9классов, А.В.Погорелов. М.«Просвещение»

1996г.

4.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика, М.Д.Аксенов, М.

«Аванта», 2002г.

5. Проектная деятельность учащихся. Математика 9-11 классы.

М.В.Величко, Волгоград «Учитель»,2007г.

6. Сайт Фестиваля «Открытый урок ». http://festival.1september.ru

7. Библиотека Сибирского Федерального Университета http://lib.sfu-kras.ru/

16