Точки, прямые, отрезки, геометрическое место точек, Аксиома прямой | Формулы и расчеты онлайн

точки и прямая

Точка это некоторое положение в пространстве, двухмерном или трехмерном. Точке присущи некоторые координаты. Чтобы обозначить точку на чертеже, используют закрашенный кружок диаметром 1-2 мимллиметра. Обозначают точки большими латинскими буквами — например A, B, C.

Изображение прямой на чертеже

Прямая является бесконечной линией. У нее нет начала и нет конца. Для того чтобы изобразить часть прямой необходимо приложить линейку к листу бумаги и провести линию вдоль нее карандашом. Чтобы обозначить прямую на чертеже используют маленькие латинские буквы — например a, b, c.

Геометрическое место точек

Точки расположенные в пространстве можно соединить каким либо образом, тогда говорят о некотором геометрическом месте точек которые они образуют. Например точки, соединенные плавной дугой окружности — образуют геометрическое место — окружность. Также говорят, что эти точки принадлежат некоторой линии или плоскости — в примере выше — окружности.

Аксиома прямой

Точки и прямые связаны и о них можно сказать следующее:

Прямую a можно провести через любые две точки A и B, но при этом она — прямая, будет единственно возможной прямой которой принадлежат эти две точки.

Пересекающиеся прямые

Пересекающиеся и параллельные прямые

Если две прямые имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. Согласно предыдущего утверждения две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

На плоскости если прямые не имеют общей точки — то они параллельны. Для прямых расположенных в пространстве не на одной плоскости это утверждение неверно.

отрезок

Если указать на прямой две точки, то линию соединяющую эти две точки и называют отрезок. Концы отрезка — это и есть эти две точки. Отрезок обозначается буквами обоих точек — например AB.

В помощь студенту

Точки, прямые, отрезки, геометрическое место точек, Аксиома прямой	стр. 183

www.fxyz.ru

Точка и прямая | Треугольники

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Определение точки и прямой в геометрии не вводят, эти понятия рассматриваются на интуитивно-понятийном уровне.

Точки обозначают прописными (заглавными, большими) латинскими буквами: A, B, C, D, …

Прямые обозначают одной строчной (маленькой) латинской буквой, например,

— прямая a.

Прямая состоит из бесконечного множества точек и не имеет ни начала, ни конца. На рисунке изображают только часть прямой, но понимают, что она простирается в пространстве бесконечно далеко, неограниченно продолжаясь в обе стороны.

О точках, которые лежат на прямой, говорят, что они принадлежат этой прямой. Принадлежность отмечают знаком ∈. О точках вне прямой говорят, что они не принадлежат этой прямой. Знак «не принадлежит» — ∉.

Например, точка B принадлежит прямой a (пишут: B∈a),

точка F не принадлежит прямой a, (пишут: F∉a).

Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости:

Каковы бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Прямые также обозначают двумя большими латинскими буквами, по названию точек, которые лежат на прямой.

— прямая AB.

 

— эту прямую можно назвать MK или MN или NK.

 

Две прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если прямые не пересекаются, они не имеют общих точек. Если прямые пересекаются, они имеют одну общую точку. Знак пересечения — ∩.

Например, прямые a и b пересекаются в точке O

(пишут: a ∩ b=O).

 

Прямые c и d также пересекающиеся, хотя на рисунке нет их точки пересечения.

 

Прямые m и n не имеют общих точек.

m и n — параллельные прямые. Пишут

   

www.treugolniki.ru

Точки, прямые и отрезки — урок. Геометрия, 7 класс.

Введение в геометрию

 

Название нового предмета ГЕОМЕТРИЯ произошло от древнегреческих слов ЗЕМЛЯ и ИЗМЕРЕНИЕ.

Наука геометрия — одна из самых древних наук, и возникла в связи с практической необходимостью в измерениях, проведении границ, строительстве дорог и зданий, а сейчас мы знаем геометрию как науку, которая изучает свойства геометрических фигур.

 

В дальнейшем будут определения для разных фигур, кроме двух — точка и прямая. С помощью этих фигур мы определим все остальные геометрические фигуры, а точку и прямую можем попытаться только представить: точку — как что-то бесконечно малое, а прямую — как что-то бесконечно простирающееся в обе стороны.

 

Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами. Словами описать взаимное расположение точек и прямой можно по разному:

            1.  точка находится (лежит) на прямой, или прямая проходит (проведена) через точку;

            2.  точка не находится (не лежит) на прямой, или прямая не проходит (не проведена) через точку.

 

В геометрии эти факты записываются символически:

            1. точки \(A\) и \(B\) находятся (лежат) на прямой \(a\), или

                прямая \(a\) проходит (проведена) через точки \(A\) и \(B\) — A∈a   и   B∈a;

            2. точки \(C\) и \(D\) не находятся (не лежат) на прямой \(a\),

                или прямая \(a\) не проходит (не проведена) через точки \(C\) и \(D\) — C∉a   и   D∉a.

Одно из самых важных предположений в геометрии — через любые две точки можно провести прямую, притом только одну.

Значит, иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая \(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена.

 

Следовательно, две прямые могут иметь только одну общую точку и пересекаться или не иметь ни одной общей точки и никогда не пересекаться.

Символически записываем a∩b=A.

 

Символически записываем c∥d.

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Символически записываем отрезок \(AB\).

 

Внимательно посмотри на рисунок!

 

Обрати внимание!

1) Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются, отрезки \(CD\) и \(DE\) имеют общий конец,

    отрезки \(AB\) и \(HF\), \(AB\) и \(DE\), \(CD\) и \(HF\) , \(HF\) и \(DE\) не пересекаются.

2) Все прямые — \(a\), \(b\) и \(c\) — пересекаются!

Так как мы представляем прямую как бесконечно простирающуюся в обе стороны, то рано или поздно эти прямые будут пересекаться, несмотря на то, что на рисунке этого не видно.

Мы можем нарисовать только часть бесконечных прямых.

www.yaklass.ru

Прямая и отрезок. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Мы начинаем изучение геометрии. Это древняя наука, возникла еще за 300 лет до нашей эры. В переводе с греческого «геометрия» – «землемерие», изучает она геометрические фигуры и их свойства.

Подразделяется на два больших раздела:

— планиметрия – геометрия на плоскости,

— стереометрия – геометрия в пространстве.

Примеры плоских фигур – треугольник, окружность и т.д. Мы с ними знакомы.

Мы знакомы и с пространственными фигурами – шар, куб, параллелепипед и т.д., т.е. геометрия – вокруг нас.

Мы сказали, что геометрия изучает свойства геометрических фигур.

А что такое геометрическая фигура? Это любое множество, любая совокупность точек.

Точки обозначают большими латинскими буквами.

Понятие о прямой дает тонкая нить, продолженная бесконечно в обе стороны.

Точка и прямая – это неопределимое изначальное понятие, это математическая идеализация – размеров они не имеют.

Если точки обозначаются большими буквами, то прямая может обозначаться маленькими латинскими буквами.

Обрисуем в общих чертах, как строится геометрия. Мы упомянули два понятия: точка, прямая . Это изначальные неопределимые понятия, их свойства выражаются в аксиомах, т.е. в истинах, которые не требуют доказательств.

Определение других фигур, например, окружности, шара и т.д., доказываются теоремами, таким образом, изучаются свойства геометрических фигур. Итак, все грандиозное здание геометрии базируется, во-первых, на неопределенных понятиях, во-вторых, на аксиомах.

Давайте сформулируем три важнейшие аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых и рассмотрим их.

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки(см. рис. 1).

Рис. 1. Две точки на одной прямой

Пояснение: аксиома – истина, не требующая доказательств. Разве мы не понимаем, что на каждой прямой есть как минимум две точки? Так вот математика фиксирует это в качестве аксиом.

Вторая аксиома также понятна.

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. Три точки, не лежащие на одной прямой

Пояснение: в соответствии с аксиомой 2 имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Это точки , ,  (см. рис. 2).

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Пояснение: мы множество раз прикладывали линейку к двум точкам и проводили отрезок – часть прямой. Что говорит аксиома? Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно. Но если одна точка на Земле, а вторая на Луне? Как проверить, одна прямая проходит или нет? Линейку мы не проложим. Так вот, аксиома утверждает, что даже через эти две точки проходит только одна прямая! (см. рис. 3)

Рис. 3. Аксиома 3 верна при больших расстояниях

Другой крайний случай: точки очень близко расположены друг к другу. Две песчинки. Если мы приложим линейку, то довольно трудно провести прямую. Так вот, аксиома утверждает: через любые две точки – и близкие, и далекие – проходит прямая, и притом только одна (см. рис. 4).

Рис. 4. Аксиома 3 верна при малых расстояниях

Далее изучим знак принадлежности.

Тот факт, что точка  принадлежит прямой , записывается следующим образом: .

Точка  также принадлежит прямой : .

Точка  – не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Итак, согласно аксиомам, есть точки, лежащие на прямой, а есть точки, не лежащие на прямой. То есть плоскость богаче, чем одна прямая. Мы много раз с этим сталкивались и не будем возражать против этих аксиом.

Итак, мы знаем два неопределимых понятия – точка, прямая; знаем три аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых.

Познакомимся с еще одним неопределимым понятием, изначальным понятием – «лежать между».Есть прямая, есть три точки, и только одна лежит между двумя точками. Этот факт очевидный, но тем не менее тот факт фиксируется в следующей аксиоме.

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

Рис. 5. Аксиома 4

Пояснение: в данном случае точка  лежит между точкой  и точкой . По-иному, точки  и  лежат по одну сторону от точки , точки  и  лежат по одну сторону от точки , и точки  и  лежат по разные стороны от точки  (см. рис. 5).

Ясно, что истину мы принимаем без доказательства и возражать против нее не будем.

Мы рассмотрели четвертую аксиому, которая говорит о двух точках, которые лежат по одну сторону от третей точки.

Аксиома 5 говорит о других точках, которые лежат по одну сторону от данной точки. Она будет рассмотрена позже.

На данный момент мы имеем три неопределимых понятия: точка, прямая, «лежать между». Имеем пять аксиом, которые характеризуют взаимоотношения между этими понятиями. Пора нам дать определение важной геометрической фигуре – отрезку.

Что же такое отрезок?

Отрезком  называется геометрическая фигура, состоящая из точек , , и всех точек прямой, расположенных между точками  и .

Более краткое: отрезок – это часть прямой, ограниченная точками  и  (см. рис. 6).

Рис. 6. Отрезок

Точки  и  называются концами отрезка. Отрезок обозначается так же, как и прямая. Прямая может обозначаться двумя точками, лежащими на ней, – , и отрезок может обозначаться таким же образом – . Из контекста ясно, когда речь идет о прямой и когда речь идет об отрезке. Данный отрезок лежит на прямой, у прямой и отрезка бесчисленное множество общих точек.

Могут быть другие случаи. Есть прямая , отрезок  – это часть другой прямой. Отрезок  и прямая  не имеют общих точек. Говорят, что точки  и  лежат по одну сторону от прямой  (см. рис. 7).

Рис. 7. Точки  и  лежат по одну сторону от прямой

Отрезок , прямая . Точки  и  лежат по разные стороны от прямой , значит, отрезок  имеет одну общую точку  с прямой. Точка  лежит между точками  и  (см. рис. 8). Этот факт понятен нам из интуитивных соображений, но тем не менее он регламентируется аксиомой 6. Она будет подробно рассмотрена в конце урока.

Рис. 8. Точки  и  лежат по разные стороны от прямой

Отрезок  лежит на прямой . Прямая  и прямая  имеют одну общую точку . А могут ли прямые иметь еще общие точки, ведь прямые простираются неограниченно? Может, где-то на Луне они еще пересекутся и будет еще одна общая точка?

Нам пора доказать важную первую теорему, первую в этом курсе.

Теорема 1: две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Доказательство: для доказательства используем метод от противного. Имеем прямую , прямую , которые имеют одну общую точку . Предположим, что существует другая общая точка  (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 1

Точки  и  – разные, но по третьей аксиоме мы говорим, что через две точки может проходить прямая, и притом только одна. А у нас, по условию, прямая  и прямая  – это разные прямые, таким образом, вступаем в противоречие с аксиомой 3, значит, наше предположение о наличии второй общей точки неверное. Прямая  и прямая  не могут иметь второй общей точки.

Теорема доказана.

Итак, из краткого изложения теоретической части этого урока все же понятно, как в общих чертах строится все здание геометрии.

1)                 Вводятся неопределимые понятия (в этом уроке – точка, прямая, «лежать между»).

2)                 Вводится система аксиом, мы видели 5 аксиом, которые характеризуют свойства этих неопределимых понятий. Дальше даются новые понятия, например, отрезок – часть прямой, расположенная между двумя точками этой прямой. Далее формулируется и доказывается теорема, которая раскрывает свойства геометрических фигур. Мы такую теорему доказали. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.

На этом теоретическая часть урока закончена. Теперь мы в состоянии решить некоторые практические задания.

Проведите прямую, обозначьте ее буквой  и отметьте точки  и , лежащие на этой прямой, и точки , , , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек , , , ,  и прямой , используя символы  и .

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 1

, , , , .

Проведите три различные прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Сколько получилось точек пересечения? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение

a)                  Проведем три прямые, обозначим их как , , . Обозначим точки пересечения этих прямых – , , . Как мы видим, есть всего три точки.

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 2 (а)

b)                 Проведем три прямых , ,  так, чтобы они пересеклись в одной точке .

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 2 (b)

Отметьте различные точки , , ,  так, чтобы точки , ,  лежали на одной прямой, а точка  не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Решение

Проведем прямую , обозначим на ней точки , , , и точку , не лежащую на прямой .

Проведем прямые через точки:  и ,  и ,  и .

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 3

Всего получилось четыре прямые.

Ответ: четыре прямые: , , , .

Есть прямая, на ней отмечены точки , , ,  (см. рис. 14). Назовите все отрезки:

Рис. 14. Иллюстрация к заданию 4

a) на которых лежит точка .

Ответ: , , , , .

b) на которых не лежит точка .

Ответ: .

Аксиома 5: ранее мы встречались с важным неопределимым понятием «лежать между».

Его свойства в аксиоме 5: каждая точка  прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки , а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки .

Пояснение: точки  и  лежат по одну сторону – справа от точки , точки  и  лежат по другую сторону от точки  – слева от нее (см. рис. 15). Точки  и  лежат по разные стороны от точки .

Рис. 15. Иллюстрация к аксиоме 5

Аксиома 6: две точки  и  и весь отрезок  может лежать по одну сторону от прямой , точки  и  могут лежать по разные стороны от прямой . Это регламентируется аксиомой 6.

Каждая прямая  разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Прямая

interneturok.ru

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] > 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] < 0 => [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] < 0. Аналогично
[M₁M₂, M₁P₁] * [M₁M₂, M₁P₂] < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.

Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.

Задача №7

Расстояние от точки до прямой.

Решение
Пусть прямая задана двумя точками P₁(x₁, y₁) и P₂(x₂, y₂).

В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому S_P1P2M = 0,5*[P₁P₂, P₁M]. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
S_P1P2M = 0,5*h*P₁P₂.
Приравнивая эти площади, находим

По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.

Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y — y₀) – b(x — x₀) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax₀ + by₀ + c)/√(a² + b²).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) < 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P₁M, P₁P₂) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч

Задача №9

Расстояние от точки до отрезка.

Решение
Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP₁P₂ либо угол MP₂P₁ будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
Если (P₁M, P₁P₂) < 0 или (P₂M, P₂P₁) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Определить количество точек прямой и окружности.

Решение
Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.

Задача №11

Взаимное расположение двух окружностей.

Решение
Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно — на первом курсе).

Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

Пересечение кругов состоит из двух сегментов O₁AB и O₂AB.

Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!

Рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ совпадает с точкой C. В этом случае d₂ = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR₂².

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Надеюсь, Вам понравилось.

habr.com

Математика. Основы геометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние, угол

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Разобравшись с тем, что такое единицы измерения и размерность, мы можем теперь перейти собственно к измерениям. В школьной математике используются два измерительных прибора — (1) линейка для измерения расстояний и (2) транспортир для измерения углов.

Точка

Расстояние всегда меряется между какими-либо двумя точками. С практической точки зрения, точка представляет собой маленькое пятнышко, которое остается на бумаге, если ткнуть в нее карандашом или ручкой. Другой, более предпочтительный способ задать точку, — это нарисовать крестик двумя тонкими линиями, в результате чего задается точка их пересечения. На чертежах в книгах точка часто изображается в виде маленького черного кружочка. Но это всё — лишь приблизительные наглядные изображения, а в строгом математическом смысле, точка — это воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю. Для математиков весь мир состоит из точек. Точки находятся везде. Когда мы тыкаем ручкой в бумагу или рисуем крестик, мы не создаем новую точку, а лишь ставим метку на уже существующую, для того чтобы привлечь к ней чье-либо внимание. Если не оговорено противное, то подразумевается, что точки неподвижны и не меняют своего взаимного расположения. Но несложно вообразить и движущуюся точку, которая перемещается с места на место, как бы сливаясь то с одной неподвижной точкой, то с другой.

Прямая

Приставив линейку к двум точкам, мы можем провести через них прямую линию, и притом единственным образом. Воображаемая математическая прямая, проведенная по воображаемой идеальной линейке, обладает нулевой толщиной и простирается в обе стороны до бесконечности. На реальном чертеже эта воображаемая конструкция принимает вид:

Собственно говоря, в этом рисунке всё неправильно. Толщина линии здесь явно больше нуля, и никак не скажешь, чтобы линия простиралась до бесконечности. Тем не менее подобные неправильные рисунки очень полезны в качестве опоры для воображения, и мы будем ими постоянно пользоваться. Для того чтобы было удобнее отличать одну точку от другой, их обычно помечают заглавными буквами латинского алфавита. На этом рисунке, например, точки обозначены буквами A и B. Прямая, проходящая через точки A и B, автоматически получает название «прямая AB». Для краткости допустимо также обозначение (AB), где опущено слово «прямая» и добавлены круглые скобки. Прямые также можно обозначать строчными буквами. На рисунке, приведенном выше, прямая AB обозначена буквой n.

Помимо точек A и B на прямой n имеется огромное число других точек, каждую из которых можно представить как пересечение с еще какой-то прямой. Через одну и ту же точку можно провести много разных прямых.

Если мы знаем, что на прямой имеются несовпадающие точки A, B, C и D, то ее с полным правом можно обозначить не только как (AB), но и как (AC), (BD), (CD) и т.п.

Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. Эти ограничивающие точки также принадлежат отрезку и называются его концами. Отрезок, концы которого приходятся на точки A и B, обозначается как «отрезок AB» или, несколько короче, [AB].

Всякий отрезок характеризуется длиной — числом (возможно, дробным) «шагов», которые надо сделать вдоль отрезка, чтобы попасть из одного конца в другой. При этом длина самого «шага» является строго фиксированной величиной, которая принимается за единицу измерения. Длины отрезков, нарисованных на листе бумаги, удобнее всего измерять в сантиметрах. Если концы отрезка приходятся на точки A и B, то его длина обозначается как |AB|.

Под расстоянием между двумя точками понимается длина соединяющего их отрезка. Фактически, однако, проводить отрезок для измерения расстояния не требуется — достаточно приставить к обоим точкам линейку (на которой заранее нанесены следы от «шагов»). Поскольку в математике точка — это вымышленный объект, то ничто не мешает нам пользоваться в своем воображении идеальной линейкой, которая измеряет расстояние с абсолютной точностью. Не следует, однако, забывать, что реальная линейка, приложенная к пятнышкам или центрам крестиков на бумаге, позволяет устанавливать расстояние лишь приблизительно — с точностью до одного миллиметра. Расстояние всегда неотрицательно.

Положение точки на прямой

Пусть нам дана некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку и обозначим ее буквой O. Поставим рядом с ней число 0. Какое-то одно из двух возможных направлений вдоль прямой назовем «положительным», а противоположное ему — «отрицательным». Обычно за положительное принимается направление слева направо или снизу вверх, но это необязательно. Отметим положительное направление стрелочкой, как показано на рисунке:

Теперь для любой точки, расположенной на прямой, мы можем определить ее положение. Положение точки A задается величиной, которая может быть отрицательной, равной нулю или положительной. Ее абсолютное значение равно расстоянию между точками O и A (то есть длине отрезка OA), а знак определяется тем, в каком направлении от точки O надо двигаться, чтобы попасть в точку A. Если двигаться надо в положительном направлении, то и знак положительный. Если в отрицательном, то и знак отрицательный. Вместо слова «положение» часто используют также слово «координата».

Иррациональные и действительные (вещественные) числа

Когда мы имеем дело с реальным чертежом и определяем положение реальной точки на реальной проямой с помощью школьной линейки, у нас получается значение, округленное с точностью до одного миллиметра. Иначе говоря, результатом оказывается величина, взятая из следующего ряда:

0 мм, 1 мм, −1 мм, 2 мм, −2 мм, 3 мм, −3 мм и т.д.

Результат никак не может быть равен, например, 1/3 см, потому что, как мы знаем, одна треть санитиметра представима в виде бесконечной периодической дроби

0,333333333… см,

которая после округления должна стать равной 0,3 см.

Иное дело, когда мы манипулируем в воображении идеальными математическими объектами.

Во-первых, в этом случае запросто можно отбрасывать единицы измерения и оперировать исключительно безразмерными величинами. Тогда мы приходим к геометрической конструкции, с которой мы познакомились, когда проходили рациональные числа, и которую мы назвали числовой прямой:

 

Поскольку слово «прямая» в геометрии и без того сильно «нагружено», эту же конструкцию часто называют числовой осью или просто осью.

Во-вторых, мы вполне можем себе представить, что координата точки задается какой-нибудь периодической десятичной дробью, вроде

0,333333333…

Более того, мы можем вообразить бесконечную непериодическую дробь — такую, например, как

1,010010001000010000010000001…

или

1,23456789101112131415161718192021…

Подобные воображаемые числа, представимые в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными. Иррациональные числа вместе с уже знакомыми нам рациональными числами образуют так называемые действительные числа. Вместо слова «действительные» употребимо также слово «вещественные». Любое мыслимое положение точки на прямой может быть выражено действительным числом. И наборот, если нам дано какое-то действительное число x, мы всегда можем представить себе точку X, положение которой задается числом x.

Смещение

Пусть a — координата точки A, а b — координата точки B. Тогда величина

v = b − a

является смещением, которое переводит точку A в точку B. Это становится особенно очевидно, если предыдущее равенство переписать в виде

b = a + v.

Иногда вместо слова «смещение» используют слово «вектор». Несложно видеть, что положение x произвольной точки X — это не что иное, как смещение, переводящее точку O (с координатой, равной нулю) в точку X:

x = 0 + x.

Смещения можно складывать между собой, а также вычитать друг из друга. Так, если смещение (b − a) переводит точку A в точку B, а смещение (c − b) точку B в точку C, тогда смещение

(b − a) + (c − b) = c − a

переводит точку A в точку C.

Примечание. По логике вещей, тут следовало бы уточнить, как надлежит складывать и вычитать иррациональные числа, поскольку смещение вполне может оказаться иррациональным. Разумеется, математики позаботились о том, чтобы выработать соответствующие формальные процедуры, но на практике мы этим заниматься не будем, так как для решения практических задач всегда достаточно приближенных вычислений с округленными величинами. Мы сейчас просто примем на веру, что понятия «сложение» и «вычитание» — а также «умножение» и «деление» — корректно определены для любых двух действительных чисел (с той, впрочем, оговоркой, что делить на ноль нельзя).

Тут, пожалуй, будет уместно отметить тонкое различие между понятиями «смещение» и «расстояние». Расстояние всегда неотрицательно. Оно фактически представляет собой смещение, взятое по абсолютной величине. Так, если смещение

v = b − a

переводит точку A в точку B, тогда расстояние s между точками A и B равно

s = |v| = |b − a|.

Это равенство остается справедливым независимо от того, которое из двух чисел больше — a или b.

Плоскость

В практическом смысле, плоскость — это лист бумаги, на котором мы чертим наши геометрические чертежи. Воображаемая математическая плоскость отличается от листа бумаги тем, что она имеет нулевую толщину и неограниченную поверхность, которая простирается в разные стороны до бесконечности. Кроме того, в отличие от листа бумаги, математическая плоскость является асолютно жесткой: она никогда не гнется и не мнется — даже если ее оторвать от письменного стола и расположить в пространстве каким угодно образом.

Расположение плоскости в пространстве однозначно задается тремя точками (если только они не лежат на какой-нибудь одной прямой). Чтобы это нагляднее себе представить, давайте нарисуем три произвольные точки, O, A и B, и проведем через них две прямые OA и OB, как показано на рисунке:

«Натянуть» в воображении плоскость на две пересекающиеся прямые уже несколько проще, чем «опереть» ее на три точки. Но для еще большей наглядности проделаем еще кое-какие дополнительные построения. Давайте возьмем наугад пару точек: одну в любом месте на прямой OA, а другую — в любом месте на прямой OB. Проведем через эту пару точек новую прямую. Далее, подобным же образом выберем другую пару точек и проведем через них еще одну прямую. Повторив эту процедуру много раз, мы получим что-то вроде паутины:

Наложить плоскость на такую конструкцию уже совсем просто — тем более что эту воображаемую паутину можно сделать настолько густой, что она покроет собой всю плоскость без пробелов.

Заметим, что если взять на плоскости пару несовпадающих точек и провести через них прямую, то эта прямая обязательно будет лежать в той же самой плоскости.

Конспект

Точка (A, B, и т.п.): воображаемый объект, размер которого по всем направлениям равен нулю.

Прямая (n, m или (AB)): бесконечно тонкая линия; проводится через две точки (A и B) по линейке однозначным образом; простирается в обе стороны до бесконечности.

Отрезок ([AB]): часть прямой, ограниченная двумя точками (A и B) — концами отрезка, которые также считаются принадлежащими отрезку.

Длина отрезка (|AB|): (дробное) число сантиметров (или же другой единицы измерения), укладывающихся между концами (A и B).

Расстояние между двумя точками: длина отрезка с концами в этих точках.

Положение точки на прямой (координата): расстояние от точки до некоторого заранее выбранного центра (также лежащего на прямой) с приписанным знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, по какую сторону от центра точка расположена.

Положение точки на прямой задается действительным (вещественным) числом, а именно — десятичной дробью, которая может быть либо (1) конечной или бесконечной периодической (рациональные числа), либо (2) бесконечной непериодической (иррациональные числа).

Смещение, переводящее точку A (с координатой a) в точку B (с координатой b): v = b − a.

Расстояние равно смещению, взятому по абсолютной величине: |AB| = |b − a|.

Плоскость: бесконечно тонкий лист бумаги, простирающийся разные стороны до бесконечности; однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой.

 

 

 

www.nekin.info

Точка на прямой

Если точка лежит на прямой, то проекции этой точки лежат на одноименных проекциях прямой. Точка С лежит на прямой АВ, а точка D – не лежит на этой прямой (рис.21).

рис.21

Деление отрезка в заданном отношении

Деление отрезка на равные или пропорциональные части выполняют по теореме Фалеса: Если на одной прямой отложить равные или пропорциональные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на другой прямой равные или пропорциональные отрезки. Разделим отрезок АВ в соотношении 3:1 (рис.22).

рис.22

Определение истинной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

В пространстве отрезок АВ прямой общего положения спроецирован на две плоскости π₁ и π₂и представляет собой гипотенузу двух прямоугольных ∆ АВС и ABD (рис.23). В ∆ АВС катет АС параллелен и равен А’В’, катет СВ составляет разность координат z точек А и В. Катетами второго – отрезок BD=A»B» и разность координат у точек А и В. На эпюре легко построить такие треугольники.

рис.23

Длина отрезка АВ определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является одна из проекций отрезка АВ, а вторым — разность координат концов отрезка. Угол между гипотенузой и горизонтальной проекцией является углом наклона отрезка АВ к плоскости π₁ — α. β — угол наклона отрезка АВ к плоскости π₂ является углом между гипотенузой и фронтальной проекцией отрезка АВ.

Чтобы на эпюре получить истинную величину отрезка АВ и углы его наклона α и β к плоскостям π₁ и π₂, нужно построить два прямоугольных треугольника (рис.24). Катетами одного треугольника является горизонтальная проекция А’В’ и разность ∆ z точек А и В. Гипотенузы А₀В’ и А₀В» равны длине отрезка АВ, а углы, заключенные между ними и проекциями А’B’ и А»В», равны искомым углам α и β.

рис.24

Проекция прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис.25).

Рис.25

Задача 1. Определить расстояние от точки А до прямой l (рис.26).

Решение сводится к построению перпендикуляра А’В’ на l’ и определению его истинной величины методом прямоугольного треугольника.

Задача 2. Построить равнобедренный треугольник с вершиной в точке А и одним из катетов на прямой l’ (рис.27).

Рис. 26 Рис.27

Прямая l является фронталью. Строим прямой угол. Из А» на l» опускаем _┴АВ. Строим в проекционной связи горизонтальную проекцию отрезка А’B’.

Катет АВ (А’В’, А»В») — отрезок общего положения. Истинную величину АВ находим методом прямоугольного треугольника и откладываем ее на фронтальной проекции фронтальной прямой l для получения вершины С.

Задача 3. Построить ромб ABCD по заданным вершине А и направлению диагонали BD на h и отношению диагоналей AC:BD=1:1,5 (рис.28).

Решение задачи сводится к построению диагоналей АС и BD.

A’ C’ ┴h’

О — точка пересечения диагоналей.

Рис.28

Находим истинную величину отрезка ОА методом прямоугольного треугольника и, увеличив ее в 1,5 раза, откладываем на h’ для получения проекций В’ и D‘. В» и D» находим на h». Полученные проекции точек соединяем для получения проекций ромба.

studfile.net