Конспект урока по геометрии на тему » Трапеция» (8 класс)
ГЕОМЕТРИЯ 8 класс
Урок № 11
Тема урока: Трапеция.
Цель урока: Ввести понятие трапеции и её элементов, познакомить учащихся с равнобедренной и прямоугольной трапециями; Рассмотреть некоторые свойства равнобедренной трапеции; Научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач.
Тип урока: урок изучение нового материала
Оборудование: учебник
Ход урока
Организационный момент
Сообщить тему урока, сформулировать цели урока
Проверка домашнего задания
Проверяю наличие домашнего задания и правильное его решение
Актуализация опорных знаний.
Проводим работу над ошибками самостоятельной работы, разбираем наиболее типичные ошибки.
Изучение нового материала
Закрепление полученных знаний и навыков
№ 387; № 392(а).
Домашнее задание
п. 45; №392 (а).
infourok.ru
Оргмомент. Мотивация Сл1 Сл3 Этап актуализации знаний Сл4 Сл3 Сл5 Открытие новых знаний СЛ6 Сл5
СЛ7 Применение знаний Исследовательская работа в группах Частичное закрепление свойств равнобедренной трапеции Применение знаний в жизни и на практике Сл8 Проверка усвоения понятия и свойств СЛ9 Сл10 Подведение итогов Рефлексия | Раздаёт рабочие листы. Рассказывает систему оценивания в листах самооценки. Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Д. Пойа «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий». Как вы понимаете эти слова? И ещё несколько афоризмов, касающихся математики и каждого из нас «Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать». Р.Декарт «Кто ничего не замечает, тот ничего не изучает. Кто ничего не изучает, тот вечно хнычет и скучает» Ф. Сефа Поэтому что мы сегодня будем делать на уроке ? Наблюдать, замечать, рассуждать, мыслить. Вот вам первый вопрос- Что за фигуры изображены на чертеже?
1
6
Сегодня мы и займёмся изучением фигур под № 4-5-6 назовите мне тему урока. ТРАПЕЦИЯ Отправляясь к новым знаниям давайте тоже попробуем собрать багаж знаний, которые нам пригодятся на уроке. Задание1. Докажите равенство треугольника ABC и треугольника ADC, сформулируйте соответствующий признак. B C А D Задание 2. Прямая а параллельна прямой b. Из перечисленных утверждений выберите верные, обоснуйте ответ.
3 1 4 b c По какой схеме мы изучали параллелограмм? -Сформулируйте цели и задачи урока -Что общего и в чём различие многоугольников -Сформулируйте определение трапеции —Просмотр начала лекции Трапеция (ЦОР) -Начертите трапецию и контр пример – фигуру не являющуюся трапецией. -Предлагает заполнить таблицу на закрепление понятия трапеция Проверка —Продолжение лекции ЦОР (виды трапеций) Может ли быть равнобедренная трапеция прямоугольной? Поясните свою точку зрения Остановимся более подробно на равнобедренной трапеции Исследовательская работа в группах на свойства равнобедренной трапеции Задание 1-ой группе а) измерить углы при основании равнобедренной трапеции; b) Выдвинуть гипотезу; c) Проверить её на втором чертеже; d) Сформулировать и доказать свойство углов при основании равнобедренной трапеции Задание 2-ой группе а) измерить диагонали равнобедренной трапеции; b) Выдвинуть гипотезу; c) Проверить её на втором чертеже; d) Сформулировать и доказать свойство диагоналей равнобедренной трапеции — решение задач на готовом чертеже Предлагает решить самостоятельно №390 -Где в повседневной жизни вы встречаетесь с трапецией? Показ слайдов -математическая переменка. Проводит математический диктант Истина (И) –ложь (л)
-Как называются последние две теоремы -Составьте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции, и вы получите её признаки. Знакомит учащихся с дополнительными построениями, помогающими решить задачи о трапеции.( проведение двух высот, или прямой параллельной боковой стороне) Проверяет первичное усвоение знаний с помощью теста. ДЗ дифференцированно П 44, №12( а),13,рабочая тетрадь В интернете найти происхождение слова «трапеция» задание для сильных учеников – доказать признаки равнобедренной трапеции, №392 а Проводит рефлексию «Три М». | Учащиеся высказывают свои мысли. Отвечают на вопросы Записывают тему Доказывают равенство треугольников, используя признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету ( -определение, свойства, признаки) -Формулируют задачи урока -Анализируют чертежи, выделяют общие и отличительные свойства фигур. -Выполняют чертёж в рабочих листах, подписывают названия сторон Заполняют пропуски в определении трапеции в рабочих листах -Заполняют таблицу в рабочих листах -самоконтроль выставляют оценку в листы самооценки (работа с определением) . Заполняют кластер в рабочих листах (самооценка) Высказывают предположения обосновывают Один ученик у доски остальные в рабочем листе выполняют №387, Работают на рабочих листах, выполняют измерения, заносят результаты, формулируют и доказывают свойства равнобедренной трапеции. По одному ученику от группы доказывают у доски. Обсуждают доказательство и предлагают свой способ. — выполняют №390 Ответы учеников. Смотрят видеоряд о применении трапеции в архитектуре, дизайне одежды и т.д. Составляют цепочку ответов Самоконтроль выполнения диктанта Примерные ответы -взаимно обратные, — признак и свойство параллелограмма о диагоналях Формулируют признаки равнобедренной трапеции, меняя условие и заключение в свойствах равнобедренной трапеции местами. выполняют и анализируют совместно с учителем чертёж — ученик выполняет № 392 (б) у доски, остальные в рабочем листе Выполняют тест самоконтроль записывают дз Оценивают себя по листу самооценки, называют три момента, которые у них получились хорошо в процессе урока, и предлагают одно действие, которое улучшит их работу на следующем уроке. |
Какие фигуры вам незнакомы?
videouroki.net
Конспект урока по геометрии на тему «Трапеция» (8 класс)
Конспект урока геометрии по теме: «Трапеция»
8 класс
Учитель математики: Карпова И.М.
Цели:
Метод: эвристическая беседа.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Приветствие, проверка готовности рабочего места к уроку.
II. Актуализация знаний
Цели:
развитие умений классифицировать объекты;
выделение главных и второстепенных признаков при классификации.
На доске: разноцветные четырехугольники.
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
Задает вопросы, дает задания.
В царство каких фигур мы попали?
Разделите фигуры на классы по какому-либо признаку.
Дайте определение фигурам известного класса.
Отвечают на вопросы, выполняют задания.
Вспоминают несущественные (цвет) и существенные (количество пар параллельных сторон) признаки классификации.
Дают определение параллелограмма, называют его виды.
III. Объяснение нового материала
1.Определение трапеции и ее элементов.
Цели:
научить учащихся давать определение трапеции;
называть ее элементы;
развитие ассоциативной памяти.
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
Чертит на доске трапецию.
Просит дать определение трапеции, опираясь на существенный признак, и записать это определение с помощью математических символов.
Чертят трапецию в тетрадях.
Дают определение трапеции, записывают его с помощью математических символов.
АD || BC
AB
CD
Приставляет к верхнему основанию трапеции плакат, на котором нарисована крыша.
Называет элементы трапеции:
АD || BC – основания;
АD – нижнее основание;
BC – верхнее основание;
AB CD – боковые стороны
Сравнивают трапецию с домом, основание трапеции – с фундаментом, основанием дома.
Записывают элементы трапеции в тетрадях.
Показывает плакаты:
Задает вопросы
Отвечают на вопросы.
Называют элементы трапеции.
2.Свойство углов трапеции.
Цели:
развитие ассоциативной памяти;
развитие умений обобщать;
развитие познавательного интереса.
№ 4
Ученики отвечают
3.Виды трапеции.
Цели:
развитие двигательной памяти, умений разбивать трапецию на известные фигуры, необходимые для решения задач;
развитие умений обобщать, сравнивать, давать определение по аналогии, выдвигать гипотезы.
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
На доске рисунки
№ 5.
Называют все фигуры, из которых сложена трапеция.
Задает вопросы:
Что общего у фигур № 1 и № 2?
Как называется треугольник с прямым углом?
Как можно назвать такую трапецию?
Что общего у фигур № 3 и № 4? Измерьте боковые стороны этих фигур. Вспомните, как называли треугольник, у которого две стороны равны. Назовите трапецию.
Ученики называют трапецию по аналогии прямоугольной.
Ученики называют трапецию по аналогии равнобедренной (равнобокой).
Физкультминутка. Гимнастика для глаз.
4. Свойство равнобедренной трапеции.
Цели:
выдвижение по аналогии с равнобедренным треугольником гипотезы о свойстве равнобокой трапеции и доказательство ее с помощью учителя;
развитие аналитических умений (сравнивать, выдвигать гипотезу, доказывать).
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
Равнобокая трапеция просит учащихся начать построение трапеции в тетради с прямоугольника.
Задает вопрос о свойствах равнобедренного треугольника.
Чертят равнобокую трапецию в тетради.
Выдвигают гипотезу о равенстве углов при основаниях равнобокой трапеции.
На доске записывает условие и доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобокой трапеции.
Дано:
ABCD – равнобокая трапеция.
AB = CD
Доказать:
< А = < D
< В = <С
Доказательство:
1. Рассмотрим 
АВВ1 и DСС1– прямоугольные.
АВВ1 = DСС1
<А = < D
2.
Следовательно: < В = < СУченики доказывают, что треугольники равны (по гипотенузе и катету).
Вспоминают это свойство углов трапеции.
Предлагает ученикам провести диагонали равнобокой трапеции, измерить их.
Ученики измеряют длину диагоналей трапеций в своих тетрадях. Выдвигают гипотезу: диагонали равнобокой трапеции равны.
IV. Задание на дом.
Цель дифференцированного домашнего задания:
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
Объясняет домашнее задание и критерии оценок:
“3”:
знать определение, элементы трапеции, ее виды;
знать без доказательства свойства равнобокой трапеции;
индивидуальная карточка (в 5 вариантах) с заданием I уровня (см.Приложение).
“4”:
“5”:
Записывают домашнее задание.
V. Итог урока
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ
Спрашивает все, что ученики узнали нового на уроке (определение трапеции, ее виды и свойства).
Отвечают на вопросы учителя.
КАРТОЧКА-ПРИЛОЖЕНИЕ
1. ВЫПИСАТЬ
а) основания
E K б) боковые стороны
P M
2.НАЙТИ УГЛЫ ТРАПЕЦИИ
B C < В =
? 110°
<С =
21° ?
A D
3. НАЙТИ УГЛЫ РАВНОБОКОЙ ТРАПЕЦИИ
E M
< P =
? ? < E =
< M =
25° ?
D P
4. НАЙТИ НЕИЗВЕСТНЫЕ ОТРЕЗКИ
B 4см C
PK =
AP =
KD =
A P K D
infourok.ru
План-конспект урока по геометрии (9 класс): Повторение. Трапеция
План-конспект урока по геометрии в 9 классе по теме «Повторение. Трапеция»
Учитель: А. С. Егорова
Дата: 17.04.2017
Цели изучения
Предметные: учиться применять на практике теоретический материал по теме «Трапеция» при решении геометрических задач.
Коммуникативные: обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений.
Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона.
Познавательные: выделять общее и частное, целое и часть, общее и различное в изучаемых объектах; классифицировать объекты
Личностные: формирование навыков анализа, сопоставления, сравнения
Формы организации учебной деятельности: парная и групповая.
Ход урока
1) Организационный момент.
2) Проверка домашнего задания (самопроверка).
3) Постановка темы урока.
Ученикам необходимо прослушать следующие высказывания и выяснить, о какой фигуре пойдет речь на уроке, свой ответ надо обосновать:
- фигура представляет собой выпуклый многоугольник;
- сумма ее внутренних углов равна 360°;
- существует сторона такая, что сумма внутренних углов, прилежащих к ней, равна 180°;
- данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.
Учитель сообщает тему урока: «Трапеция»
4) Работа в парах (группах) по повторению теории
Ученики в течение 5—7 минут отвечают в парах на вопросы. (заполняют карточку)
Вопросы
- Дайте определение трапеции.
- Перечислите виды и свойства трапеции.
- Дайте определение средней линии трапеции.
- Как найти площадь трапеции?
- Окружность можно вписать в трапецию, если …
- Окружность можно описать около трапеции, если …
Обсуждение ответов
Подготовка к выполнению группового задания
Учитель предлагает ребятам записать в тетрадях ответы на задания устного теста, который затем проверяется самопроверкой.
1. Выберите трапеции.
Ответ: А, Б, Г.
2. Выберите прямоугольные треугольники.
Ответ: А, В, Г.
3. Вычислите площади предложенных трапеций.
Ответ: а) 34 см2; б) 25 см2; в) 12 см2.
Групповая работа
- В трапеции ABCD основания AD и BC равны 3 и 9 соответственно, высота равна 5. Найдите среднюю линию трапеции. Что еще можно найти в этой задаче?
- Один из углов прямоугольной трапеции равен 64º. Найдите больший угол трапеции.
- Окружность вписана в трапецию, r = 24. Найдите высоту трапеции.
- Трапеция ABCD вписана в окружность. ∠А = 81º. Найдите ∠С.
- Трапеция ABCD описана около окружности, АВ = 13, ВС = 4, CD = 11. Найдите AD.
- В трапеции АВСD угол АВС = 45º, угол ВСD равен 150º. Боковая сторона DC равна 32. Найдите боковую сторону АВ.
Дополнительно. Ученикам предлагается решить задачу: Найти площадь трапеции с основаниями 10 см и 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.
Домашняя работа
1. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны имеют длины 25 см и 11 см, а непараллельные — 13 см и 15 см.
2. Составьте трапецию из трех равнобедренных треугольников, выберите самостоятельно длины сторон и вычислите площадь трапеции.
Итог урока
При подведении итогов урока следует сделать акцент на всем объеме материала, который был использован на уроке. Можно предложить ребятам перечислить основные теоремы, которые применялись при решении задач.
nsportal.ru
Конспект урока «Площадь трапеции»
Конспекта урока по геометрии в 8 классе по теме «Площадь трапеции»
Учитель: Федорова С. В.
Предмет: геометрия, класс: 8 авторы учебника: Л. А. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др.
Тема урока: Площадь трапеции
Всего часов на тему: 2
Номер урока в теме: 1
Тип урока:
Средства обучения: презентация, схема-подсказка для поиска способа решения задачи на вычисление, презентация к уроку, программа диафрагмально-релаксационного дыхания профессора Сметанкина, сводная таблица формул для вычисления площадей треугольников и четырехугольников.
Цель урока: организация условий достижения учащимися образовательных результатов по теме: «Площадь трапеции»:
приобретение учебной информации,
применение знаний и умений,
контроль усвоения теории,
формирование УУД (регулятивных, познавательных, коммуникативных, личностных).
Задачи урока: освоение учащимися предметного (теоретического и практического) содержания по теме «Площадь трапеции»:
знание определения понятия «высота трапеции»,
умение формулировать и доказывать теорему о площади трапеции,
умение применять формулу площади трапеции для решения практических задач,
контроль уровня освоения материала,
развитие метапредметных универсальных учебных действий.
Предмет
ные
Метапредметные результаты (УУД)
Личностные
Регулятивные
Познавательные
Коммуникативные
Знать: определение понятия «Высота трапеции»
Понимать: для чего необходимо умение находить площадь трапеции
Уметь: применять формулу площади трапеции
1.1. принимать учебную задачу;
1.2. планировать (в сотрудничестве с учителем и одноклассниками или самостоятельно) необходимые действия, операции, действовать по плану;
1.3. контролировать процесс и результаты деятельности, вносить необходимые коррективы;
1.4. адекватно оценивать свои достижения, осознавать возникающие трудности, искать их причины и пути преодоления.
2.1.осознавать познавательную задачу;
2.2. читать и слушать, извлекая нужную информацию, понимать информацию, выполнять УУД;
2.3.осуществлять для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения;
2.4. устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы.
3.1. вступать в учебный диалог с учителем, одноклассниками, участвовать в общей беседе, соблюдая правила речевого поведения;
3.2. задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, формулировать собственные мысли, высказывать и обосновывать свою точку зрения;
3.3. строить небольшие монологические высказывания;
3.4. осуществлять совместную деятельность в парах и рабочих группах с учётом конкретных учебно-познавательных задач.
4.1. положительное отношение к учению, к познавательной деятельности, желание приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся;
4.2. осознавать свои трудности и стремиться к их преодолению;
4.3. осваивать новые виды деятельности, участвовать в творческом, созидательном процессе.
Организационная структура урока
Деятельность учителяДеятельность учащихся
Организационный момент
УУД: 4.1
Уточнение направления актуализации изученного материала. Положительный настрой на урок.
Приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку.
Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку.
Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала
УУД: 1.3, 1.4, 2.2, 3.1-3.3, 4.1, 4.2
Повторение и актуализация знаний. Мотивация учебной деятельности.
Предлагает учащимся устную работу на повторение по темам «Площадь параллелограмма», Площадь треугольника»
Необходимо вспомнить знания по теме «Площадь параллелограмма», Площадь треугольника», формулы вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника.
УУД: 1.1, 2.1, 2.2-2.4, 3.1-3.3, 4.1
Определение темы, цели и задач урока. Самоопределение в деятельности.
Подводит итог того, что ученики уже много знают и умеют. Подводит учащихся к формулированию цели и задач урока, предлагая выполнить задание на определение высоты трапеции, подводит к выводу формулы площади трапеции.
Выполняют задание на определение высоты трапеции. Выдвигают гипотезу о формуле площади трапеции. Обсуждают полученный результат.
Формулируют цель и задачи урока и план своей деятельности.
Организация и самоорганизация учащихся в ходе усвоения материала. Организация обратной связи.
УУД: 1.2, 1.3, 2.2-2.4, 3.1, 3.2 4.3
Организация деятельности учащихся по освоению учебной информации на уровне «знание».
Предлагает сверить свои выводы и догадки с определением в учебнике; Дает под запись в тетради доказательство теоремы о площади трапеции.
Самостоятельно формулируют определение высоты трапеции, проверяют себя по учебнику (стр.237)
Записывают в тетрадь доказательство теоремы о площади трапеции.
Релаксация
УУД: 4.3
Снятие напряжения, разгрузка
Выполняет упражнения психологической и физической разгрузки
Выполняют дыхательную гимнастику по технологии биологически обратной связи (БОС)
Практикум
УУД: 1.2, 1.3, 2.2, 2.3, 3.1-3.4, 4.1
Организация деятельности учащихся по освоению учебной информации на уровне «умения».
Предлагает решить задачи с электронной доски
Работают в тетрадях, записывая правильное решение и производя проверку полученного результата.
Устно объясняют выбор правильного решения задачи.
Проверка полученных результатов
УУД: 1.3, 1.4, 2.2, 4.2, 4.3
Организация деятельности учащихся по осознанию ими результата освоения учебной информации.
Организует работу по выполнению устной работы по вопросам учебника. (стр. 238)
Выполняют проверку ответов на вопросы в парах.
Подведение итогов.
Рефлексия.
Домашнее задание.
УУД: 1.4, 4.2.
Проведение самоанализа и самооценки собственной деятельности. Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Организовывает подведение итогов. Даёт качественную оценку работы класса и отдельных учащихся. Записывает домашнее задание:
Повторяют, что узнали, какие умения и навыки отрабатывали и закрепляли.
Анализируют качество собственной работы на уроке, отвечая на вопрос: «Что нового я узнал?»
Осознают продвижение в своём умственном развитии, отвечая на вопрос: «Чему научился на уроке?»
Ход урока:
I. Оргмомент.
Приветствие учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.
II. Устная работа по повторению изученного на предыдущих уроках. (презентация, слайд 1)
1) Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, площадь прямоугольника равна 36 см2.
2) Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 12 см и 16 см.
3) Какой треугольник имеет наибольшую площадь из всех треугольников, имеющих по две равные стороны?
4) Могут ли быть равновеликими: а) два неравных прямоугольника, имеющих по равной стороне, б) два неравных треугольника, имеющих по две соответственно равные стороны?
5) Как данный треугольник разрезать на два равновеликих?
Итог устной работы. (слайд 2)
• Кто смог получить «5» (т.е. справился со всеми пятью задачами?)
• Что мы вспомнили?
III. Изучение нового.
1. Мы уже умеем находить площадь треугольников, прямоугольников, параллелограммов. Остался еще один четырехугольник, площадь которого хотелось бы научиться вычислять. Какой?
Сформулируйте тему сегодняшнего урока.
Тема урока: «Площадь трапеции»
Проблемная ситуация. (слайд 3)
Дана трапеция АВСD, для которой выполнены дополнительные построения.
Что за отрезки проведены?
Разбейте отрезки на группы.
Сформулируйте признак разбиения.
Учитель подводит к определению высоты трапеции. 
Составляет с учащимися схему определения понятия. (слайд 4)
Высота трапеции – 1) отрезок, 2) проведен из любой вершины на противолежащее основание или его продолжение, 3) перпендикулярен противолежащему основанию.
BH, DN – высоты, BH=DN.
Задание (развивающий контроль): (слайд 5)
1) Начертите трапецию АВСD, разбейте ее диагональю на два треугольника, постройте высоту трапеции (СЕ).
2) Используя изображенные элементы найдите площадь треугольников АВС и АСD.
3) Найдите площадь трапеции, используя полученные данные.
4) Упростите полученную формулу.
После обсуждения полученного результата учитель дает под запись полную формулировку теоремы о площади трапеции, (можно предложить сильному учащемуся оформить теорему у доски).
IV. Целеполагание. Учитель говорит о необходимости знать, какие знания я хочу получить при изучении данной темы.
Учитель формулирует цели урока, которые ученики уже знают: приобретение, преобразование учебной информации и формирование умственных действий (Ц 1), формирование организационных умений (Ц 5).
(На этом этапе учитель инструктирует учащихся (при необходимости) о порядке УПД при освоении темы, ученики выбирают уровень, освоения темы, исходя из содержания карты темы и таблицы целей.)
V. Релаксация.
Учащиеся выполняют дыхательную гимнастику по технологии биологически обратной связи, БОС. (Программа диафрагмально-релаксационного дыхания профессора Сметанкина)
VI. Практикум. (слайд 6)
1. №4. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований угол 1500. Найдите площадь трапеции.
Обратить внимание учащихся на схему-подсказку для поиска способа решения задачи на вычисление.
1. Прочитать задачу, выполнить чертеж, вынести на чертеж все данные.
2. Выяснить требование задачи (что нужно найти). Оформить «Дано, Найти»
3. Вспомнить формулы, в которые входит максимальное число данных, известных в задаче.
4. Обозначить, какие величины, входящие в формулы, неизвестны. Выяснить, из каких данных чертежа можно найти неизвестные величины.
5. При необходимости выполнить дополнительные построения.
6.Составить план решения:
SABCD=(BC+AD) :2 * ВН ВН — ? (3)
ВН=АВ sin˂A ˂A — ? (2)
˂А=180-˂В= 1800-1500=300 (1)
2. №5. Основание трапеции равно 26 см, высота 10см, а площадь 200 см2. Найдите второе основание трапеции.
3. №8. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол 450.
4*. Постройте равнобедренный треугольник, равновеликий данному, у которого основание равно одной из сторон данного треугольника.
VII. Проверка полученных результатов.
Учитель организует работу по выполнению устной работы по вопросам учебника. (стр. 238)
VIII. Рефлексия. Домашнее задание. Выставление оценок за работу на уроке.
Учащиеся анализируют качество собственной работы на уроке, отвечают на вопрос: «Что нового я узнал?»
Осознают продвижение в своём умственном развитии, отвечают на вопрос: «Чему научился на уроке?»
Учитель выдает домашнее задание: §60, выучить теорию, №7, 9 (1 уровень) + 12(2 уровень) + 16*(3 уровень), закончить заполнение сводной таблицы формул площадей в справочных тетрадях.
Учитель подводит итог занятия, выставляет оценки.
infourok.ru
Трапеция. Конспект занятия в системе дополнительного образования.
Сценарий занятия творческой мастерской «Математика»
(весенняя сессия)
Тема: «Трапеция в задачах ОГЭ»
Чернышев Э.Н., педагог дополнительного образования
Цель занятия: сформировать условия для овладения обучающимися опытом преобразования зависимостей между элементами трапеции и их измеряемыми значениями.
Ход занятия.
1.Вступительное слово учителя.
Известно, какую большую роль играет геометрия в науке и образовании. На протяжении всей истории человечества она служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.
Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов.
Понятие трапеции вводится в среднем звене и рассматривается на всём протяжении изучения геометрии, используется не только в школьном курсе геометрии, но так же является одним из базовых понятий курсов высшего образования, такие как высшая математика, линейная алгебра, численные методы, экономика, программирование, физика, теоретическая механика, сопротивление металлов т.д.
Изучение геометрической фигуры трапеция полезно тем, что при решении задач на этой фигуре закрепляются знания, полученные ранее (свойства треугольников, подобие треугольников, свойства параллельных прямых и т.д.)
Не случайно, что в прототипах номер 26 заданий ОГЭ почти четверть всех задач посвящено трапеции.
2.Обзор теоретического материала (формируется в ходе работы творческих групп).
Понятие трапеции формировалось длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырёхугольник, не являющийся параллелограммом. Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах». В ХVIII веке понятие трапеции приобретает современное значение.
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, как минимум две противоположные стороны которого параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Элементы трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Виды трапеций. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Общие свойства
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен
(среднее гармоническое), где и — основания трапеции (формула Буракова).Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей подобны.
Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
Если отношение оснований равно
, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно .
(среднее гармоническое), где 
и 
— основания трапеции (формула Буракова).
, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно 
.Свойства и признаки равнобокой трапеции.
Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований
Углы при любом основании равны.
Длины диагоналей равны.
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Вписанная и описанная окружность.
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
Если в трапецию вписана окружность с радиусом
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , — то .
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — 
и 
, — то 
.Площадь.
Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
В случае, если
и — основания и — высота, формула площади:
— высота, формула площади: 
В случае, если
— средняя линия и — высота, формула площади:
— средняя линия и 
* Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:
3.Решение задач (по группам).
Группы предсчтавляют и «защищают» решения».
Задача № 1.В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. | |||
| Конец формы | ||
Решение задачи: SABCD=EF*(AD+BC)/2=540AD=54 Тогда BC=60-54=6 Рассмотрим треугольники AKF и CKE AF=AD/2=27 CE=BC/2=3 | |||
Задача № 2. | |||
В трапеции АВСД продлим стороны AB и CD до пересечения в точке S. Прямая EK будет перпендикулярна стороне CD, так как точка K проекция точки E на прямую CD. M — ,будет проекцией точки C на прямую AD.
Если угол ∠CAD = α, а CD=x, так как MD=4-3=1, то:
cosα=MD/DC = 1/x
Из подобия треугольников SBC и SAD находим, что SC = 3x. Поэтому:
SE2=SD*SC=12x2
Значит можно найти
SE=2x√3; EK=SE*cos∠SEM=SE*cos∠SDA=SE*cosα=2x√3 / x = 2√3
Ответ: ЕК= 2√3
Задача № 3.5, а это значит, что нижнее основание равно 2+ AD/2=5, 2+ AD=10, AD=8 – тогда полусумма оснований будет равна 5.
Проведем высоты трапеции. Высоты отсекут от нижнего основания трапеции отрезки AM и ND, которые мы обозначим a и b. Тогда высоту трапеции можно записать для прямоугольного треугольника ABM:
h2=82-a2
Высоту можно записать и в треугольнике CND:
h2=102-b2
Приравняем данные два выражения: 82-a2=102-b2
Это выражение можно переписать так: b2-a2=102-82
А теперь разложим правую и левую части как разность квадратов:
(b+a)(b-a)=(10+8)(10-8)=18*2=36
Сумму отрезков a и b легко определить как разность оснований трапеции: a+b=8-2=6
Подставим данную сумму в предыдущее уравнение: 6(b-a)=36, или b-a=6
Составим систему: b+a=6
b-a =6
Сложив два уравнения системы, найдем: 2b=12, b=6.
Теперь можно найти высоту трапеции и ее площадь: h2=100-36 = 64 h=8.
S=.(2+8)*8=40
Ответ: 40
.
Задача № 4.Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции? Решение: Треугольники AOD и BOC –подобны по двум углам. | ||||
Углы при одном из оснований трапеции равны |
и 
, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.Посмотрим на рисунок. Для начала предположим, что средняя линия NM=11, а вторая линия, соединяющая середины оснований HS=10.
В условии этой задачи самое важное – это сумма углов при основании. Если заметить, что сумма этих углов равна 90 градусам – догадаться, как решается задача, совсем просто. Достроим нашу трапецию до треугольника. Треугольник AOD – прямоугольный (по теореме о сумме углов треугольника). Треугольники AOD, KLO, BOC подобны (по двум углам, так как углы при основаниях этих треугольников – соответственные, а прямые BC, KL , AD – параллельны по условию). Так как треугольник AOD – прямоугольный, то, если описать около него окружность, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы AD, в точке M, AD – диаметр этой окружности. Поэтому, если провести медиану к гипотенузе AD из вершины O, то она будет равна радиусу окружности и половине AD: AM=MD=MO. Тогда треугольники AOM, KNO, BSO – равнобедренные. Кроме того, NО – медиана треугольника KLO и разделит его основание пополам: NK=NL=NO=5,5. Если же ON=5,5, то SO=ON-NS=0,5. (Отрезок SN равен 5, так как NL – средняя линия трапеции MSCD, и разделит MS пополам). Так как BS=SC=SO=0,5, то BC=1, и тогда из теоремы о средней линии AD=21.
Ответ: 1,21
Задача № 6.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5. |
D”
Для того, чтобы решить эту задачу, перенесем диагональ BD вправо на длину верхнего основания трапеции ВС, образовав таким образом треугольник ACD’:
Сторона АС нашего треугольника является диагональю трапеции и равна 3, сторона СD’ – это вторая диагональ, равная 4. Основание треугольника AD’- сумма длин оснований трапеции, а так как нам известна средняя линия, то можно узнать и сумму оснований: 2,5*2=5. Таким образом, в треугольнике ACD’ мы знаем длины всех его сторон.
Теперь вернемся к цели задачи: надо определить площадь трапеции. Она равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Но площадь треугольника ACD’ равна половине произведения основания на высоту, а высота у него такая же, как и у трапеции, и половина основания – ни что иное, как средняя линия трапеции, или полусумма ее оснований! То есть искомая площадь трапеции и площадь треугольника ACD’ равны. Осталось найти площадь треугольника ACD’, т.к. 32+42=52, т по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ACD’ прямоугольный. S=.4*3=6 или по формуле Герона:
. Здесь p – полупериметр, в нашем случае половина периметра равна р=(5+4+3):2=6 Тогда: S=6 Ответ: 6.
В трапеции 
основания 
и 
равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании равна 
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки 
и 
и касающейся прямой 
, если 
.
Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º.
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АЕД
треугольники ВЕС и АЕД — подобны.
∠ Е в них — общий,ВС||АД,∠ ЕСВ=∠ЕДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3
Тогда АЕ:ВЕ=3
АЕ=АВ+ВЕ
(АВ+ВЕ):ВЕ=3
(10+ВЕ):ВЕ=3
10+ВЕ=3ВЕ
2ВЕ=10, ВЕ=5
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет F
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОFE и АEF прямые, ОF и АE — параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ.Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ — равнобедренный.
Проведем в нем высоту ОK.Эта высота — и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).Следовательно, KВ =АВ/2=10/2=5.
Рассмотрим четырехугольник KEFО.Это прямоугольник с равными сторонами KE=FО.FО — радиус окружности.
КE=KВ+ВE=5+5=10
FО=КE=10
Радиус окружности равен 10.
4.Выводы (формируются и защищаются группами).
Проанализировав все решённые задачи, я пришёл к такому выводу.
Чтобы понять, как решать задачи с трапецией, полезно запомнить три основных пути решения.
Провести две высоты
.
А) Четырехугольник BCKF — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC.
AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD.
Треугольники ABF и DCK — прямоугольные.
(Следует учесть и другой вариант:
Ib.
В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)
Б). Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается:
В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.
II. Провести прямую, параллельную боковой стороне.
IIa. BM∥CD. Так как BC∥AD (как основания трапеции), то BCDM — параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.
IIb. В частности, для равнобедренной трапеции
BM∥CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM.
III. Продолжить боковые стороны и получить треугольник.
Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P — общий, ∠PAD= ∠PBC как соответственные при BC∥AD и секущей AP).
Следовательно, их стороны пропорциональны:
Эти три подхода к решению задач на трапецию — основные, именно их я использовал при решении задач.
Эту работу можно применять в качестве учебного материала на уроках геометрии, на консультациях при подготовке к экзаменам.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
Творческая мастерская «Математика» занималась исследованием одного из древнейших геометрических объектов – трапеции. Работая по группам, участники мастерской смогли составить не только подробное описание известных им свойств трапеции, но и овладеть способами решения задач из второй части ОГЭ по математике. В этих задачах что только не происходит с трапецией: в нее вписывается окружность, основания делятся прямой в определенной пропорции, диагонали делят среднюю линию и высоты… Эти замечательные «приключения» трапеции стали открытием для многих ребят, ведь они раньше думали: ну что там, в этой трапеции может еще быть неизвестного ? Оказалось, — может. А решение сложных задач из ОГЭ имеет еще один практический смысл, — чем больше баллов, тем выше шанс попасть в профильный математический класс и посвятить свой труд совершенствованию науки и техническому прогрессу во благо процветания и безопасности России !
1. 
2.Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 55. Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 55 ? Найти 13-е по величине число-палиндром, которое делится на 55.
3.Решить неравенство
4.Через точку пересечения диагоналей трапеции АВСД проведена прямая МЕ, параллельная основаниям АД и ВС. Найти отношение площадей трапеций МВСЕ и АМЕД, если одно из оснований трапеции в три раза больше другого.
5.Периметр равнобедренной трапеции равен 200, а площадь 1500. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания, если в данную трапецию можно вписать окружность.
6. В трапеции боковая сторона 
перпендикулярна основанию . Окружность проходит через точки 
и 
и касается прямой в точке 
. Найдите расстояние от точки до прямой , если 
, 
.
7. Боковые стороны и трапеции равны соответственно 8 и 10, а основание равно 2. Биссектриса угла 
проходит через середину стороны . Найдите площадь трапеции.
1.
2.Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 55. Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 55 ? Найти 13-е по величине число-палиндром, которое делится на 55.
3.Решить неравенство
4.Через точку пересечения диагоналей трапеции АВСД проведена прямая МЕ, параллельная основаниям АД и ВС. Найти отношение площадей трапеций МВСЕ и АМЕД, если одно из оснований трапеции в три раза больше другого.
5.Периметр равнобедренной трапеции равен 200, а площадь 1500. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания, если в данную трапецию можно вписать окружность.
6. В трапеции боковая сторона перпендикулярна основанию . Окружность проходит через точки и и касается прямой в точке . Найдите расстояние от точки до прямой , если , .
7. Боковые стороны и трапеции равны соответственно 8 и 10, а основание равно 2. Биссектриса угла проходит через середину стороны . Найдите площадь трапеции.
infourok.ru
План-конспект урока по геометрии (8 класс) по теме: Трапеция
Урок по теме: «ТРАПЕЦИЯ»
Цели: ввести понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть решение задач, в которых раскрываются свойства трапеции.
Ход урока
I. Анализ ошибок, сделанных в самостоятельной работе.
Устно: определите х, у, z.
1) | 110° + 70° = 180° а || b, тогда х + х + 20° = 180°, х = 80°. |
2) | у = 100°. |
3) | 140° + 40° = 180° a || b, тогда 120° + 1 + 2 = 180° 1 + 2 = 60° 1 = 2 = 30° 1 = z = 30°, так как a || b. |
II. Изучение нового материала.
1. Вспомнить с учащимися определение параллелограмма.
2. Рассмотреть такой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие – непараллельны.
3. Определение трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника).
4. Виды трапеции (рис. 162 из учебника).
5. На закрепление понятия можно предложить учащимся следующие вопросы:
Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? Назовите их основания и боковые стороны.
а) б) в)
III. Решение задач.
№ 385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса). Можно после решения этой задачи дать определение средней линии трапеции.
IV. Итоги урока.
1. АВСD, ВЕFC – трапеции.
2. Частные виды трапеции:
4. Применение теоремы Фалеса в трапеции:
а) ВС || MN || KР || QS || АD и МВ = МK = KQ = QA, то CN = NP = PS = SD; б) МВ = МK = KQ = QA и CN = NP = PS = SD, то ВС || MN || KP || QS || AD. |
Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114; № 386, 387,390.
Дана трапеция MPOK с основаниями МK и ОР.
1) Найти углы трапеции, если М = 72°, О = 105°.
2) Найти ОРK и РОМ, если ОМK = 38°, РKM = 48°.
3) Углы МKN (N – точка пересечения диагоналей трапеции), если ОРK = 72°, РОМ = 48°.
nsportal.ru