Элективный курс «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов»

О.П. Иванченко

ГЕОМЕТРИЯ

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Управление образования администрации

Ангарского городского округа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

О.П. Иванченко

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Элективный курс

Ангарск

2017

Автор-составитель Иванченко Ольга Петровна, учитель математики МБОУ «СОШ №15» г. Ангарск

Иванченко О.П.

Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов: Элективный курс / О.П. Иванченко. – Ангарск: МБОУ «СОШ №15», 2017. – 50с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………….…… 5

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности …………………………………..…………………………….………. 8

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники ………….……………… 8

1.2. Трапеция …………………………………………..………………….. 9

1.3. Анализ учебной литературы ……………..………..………………..10

1.4. Трапеция, вписанная в окружность …………………………………12

1.5. Трапеция, описанная около окружности …..……………………… 13

Глава 2. Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов ……………………………. ………….….20

2.1. Пояснительная записка ………………………………………………20

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» ………………………………………22

Заключение ……………………………………………………………….44

Литература ………………………………………………………………..45

Приложение 1 (Входная самостоятельная работа) …………………….47

Приложение 2 (Итоговая самостоятельная работа) ……………………49

ВВЕДЕНИЕ

Геоме́трия (от γη — Земля и μετρεω — мера, измерение) — наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела; раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.[1]

В общеобразовательной школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих обучающихся, является одним из сложнейших школьных предметов.  Многие обучающиеся не понимают назначения геометрии в жизни, так как не собираются связывать свою будущую профессию с математикой вообще.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.[1]

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии. Она может быть в строительстве соо­ружений и оформлении их, в архитектуре, уст­ройстве интерьеров, даже в создании ландшафта.[2]

Каждый день, идя по улице, мы начинаем замечать, что мир состоит из разных геометрических фигур. Окна домов – квадраты или прямоугольники, дорожные знаки – круги, треугольники или прямоугольники. Но иногда встречаются такие фигуры, и даже очень часто, у которых две противоположные стороны параллельны, а две нет – предметы обихода, лобовые и боковые стекла у машин, крыши домов, тротуарная плитка, религиозные знаки и, даже, силуэты одежды.

Эти фигуры похожи на треугольник, у которого срезали вершину. Иногда они правильной формы, иногда – нет. Это трапеции.

В принципе, это давно известная фигура, свойства которой исследовали еще и Евклид, и Архимед.

«Трапецией» называются не только геометрические фигуры, но и спортивный снаряд, и мышцы атлета, и система тросов на яхтах, и женские юбки.

В настоящей работе рассмотрим трапецию, вписанную в окружность и трапецию, описанную около окружности.

Объект исследования: трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее.

Предмет исследования: содержание занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Цель работы: разработка занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Задачи:

1. анализ учебной и методической литературы по теме исследования;

2. подбор теоретического и практического материала;

3. разработка практического и контрольно-измерительного материала.

Структура работы:

Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка литературы и 2 приложений, в которых представлено решение входной и итоговой самостоятельных работ. Общий объем работы 48 страниц.

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. [3]

Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. [4]

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. [5]

	Теорема 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. [6]
	Площадь где (полупериметр)

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник. [5]

	Теорема 2. Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. [6]
	Площадь , где (полупериметр) r – радиус вписанной окружности

1. 2. Трапеция

Понятие трапеции формировалось в течение длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. [7]

Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах».

В XVIII веке понятие трапеции приобрело современные определения:

— «Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет»;

— «Трапеция в геометрии – четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных»;

— «Трапеция – четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две – непараллельные»;

— «Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна».

Таким образом, трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два противоположных из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции.

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. [8]

1.3. Анализ учебной литературы

Приведем анализ школьных учебников по геометрии на выявление особенностей темы: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности».

Особенности изложения темы в учебнике Л.С. Атанасян и др.

Тема: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в учебнике за 8 класс в параграфе «Вписанная и описанная окружность» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывается теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. На основании, которой авторы приводят замечания, одно из которых:

— не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, доказательство которого учащимся предлагается привести самостоятельно.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 710 (стр. 187) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются и в 9 классе. [10]

Особенности изложения темы в учебнике А.В. Погорелова

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не рассматриваются данным автором. Автор дает определение трапеции в разделе за 8 класс и рассматривает ее свойства с доказательством. Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [9]

Особенности изложения тем в учебнике Г.П. Бевз и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в разделе за 8 класс в параграфе «Вписанные и описанные многоугольники» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывают теоремы:

— Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

— Во всякий треугольник можно вписать окружность, и только одну.

На основании, которых авторы приводят следствия, одно из которых:

— если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 1800. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 803 (стр. 146) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются в достаточном объеме. [11]

Особенности изложения тем в учебнике А.Л. Вернер и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Автор в учебнике за 8 класс дает определение трапеции в 8 классе и рассматривает ее свойства с доказательством в параграфе «Четырехугольники с параллельными сторонами». Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [12, 13, 14]

Вывод: В учебниках школьного курса геометрии тема «Трапеция» изучается в 8 классе. Вводятся понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция», «средняя линия трапеции». Так же в учебниках предлагается серия задач по данной теме.

Тема «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» входит в тему «Вписанные и описанные многоугольники» и рассматривается в учебниках Г.П. Бевз и др., Л.С. Атанасян и др. в 8 классе при решении небольшого количества задач на доказательство.

1.4. Трапеция, вписанная в окружность

На основании определения четырехугольника вписанного в окружность можно сформулировать определение трапеции вписанной в окружность.

Трапеция называется вписанной в окружность, если все вершины ее лежат на одной окружности, которая будет называться описанной около трапеции.

Трапецию можно вписать в окружность, если она равнобокая.

	Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]
Доказательство Так как ΔАСD – прямоугольный, вписанный в окружность, то AD – диагональ =>
	Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]
	Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]
	При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]
	Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Отсюда: [15]

1.5. Трапеция, описанная около окружности

На основании определения четырехугольника описанного около окружности можно сформулировать определение трапеции описанной около окружности.

Трапеция называется описанной около окружности, если все ее стороны касаются одной окружности.

	Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15] AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK
Доказательство Обозначим точки касания буквами L, M, F, K. На основании свойства касательных (Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными), проведенных к окружности из одной точки, имеем: AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK Ч.Т.Д.
	Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам. MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]
Доказательство 1) Пусть отрезок КМ – диаметр вписанной окружности в трапецию. d = 2r = KM 2) Проведем высоту трапеции так, чтобы она проходила через центр окружности, тогда высота КМ = МО + ОК. Следовательно, KM = 2r Ч.Т.Д.
	Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]
	Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]
Доказательство 1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD) 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD COD = 90º Ч. Т.Д.
	Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]
Доказательство Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n). 1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD) 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD COD = 90º 4) таким образом, COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:    Ч.Т.Д.
	Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]
Доказательство Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF = m, FD = n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а      Ч. Т.Д.

Таким образом, в первой главе рассмотрели теоретические сведения о трапеции, вписанной в окружность и трапеции, описанной около окружности.

Сведем все основные свойства трапеции (рассмотренные в школьном курсе геометрии и нет) в таблицу.

Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее

Трапеция, вписанная в окружность
	Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]
	Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]
	Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]
	При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]
	Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним: Отсюда: [15]
Трапеция, описанная около окружности
	Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15] AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK
	Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам. MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]
	Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]
	Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]
	Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]
	Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Глава 2.

Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов

В данной главе разработаны содержания занятия по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

2.1. Пояснительная записка

Организационно-методический раздел

Цель занятий: расширить геометрическое представление обучающихся о вписанной и описанной окружности в трапецию.

Задачи занятий:

1. Расширить знания учащихся связанные со свойствами вписанной трапеции;

2. Расширить знания обучающихся связанные со свойствами описанной трапеции;

3. Овладение дополнительными знаниями при решении заданий уровня повышенной сложности итоговой государственной аттестации;

4. Предоставить обучающимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к подготовке учащихся

В результате проведенных дополнительных занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» ученик должен:

Знать/понимать

— понятие математического доказательства, примеры доказательств;

— как используются теоремы и свойства при решении заданий повышенной сложности;

— свойства трапеции вписанной в окружность;

— свойства трапеции описанной около окружности.

Уметь

— проводить сложные доказательства, получать следствия, оценивать логическую правильность рассуждений;

— распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

— изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные дополнительные свойства вписанной и описанной трапеции;

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Количество часов всего – 6 часов (2 часа в неделю, 3 недели).

Самостоятельных работ – 1 час (входная – 0,5 часа, итоговая – 0,5 часа).

Календарно-тематическое планирование

№ п/п	Содержание урока	Количество часов
1	Вписанная и описанная окружность в трапецию	0,5
	Входная самостоятельная работа	0,5
2	Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач.	1
3	Трапеция, описанная около окружности. Решение задач.	1
4	Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач	1
5	Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач	1
6	Трапеция, вписанная и описанная около окружности.	0,5
	Итоговая самостоятельная работа	0,5

2. 2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности»

Занятие 1

Тема: Вписанная и описанная окружность в трапецию

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции в окружность, ее свойства.

Тип урока: урок закрепления знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение видов четырехугольников, какой четырехугольник можно вписать и описать около окружности, основные свойства вписанной и описанной окружности в трапецию.

Рассмотрение свойств с доказательством.

Теорема (о вписанной трапеции). Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

В

С

Дано:

– трапеция

W – описанная окружность

Доказать: — равнобедренная

 

 

А

D

 

 

Доказательство.

1) – вписанная трапеция, следовательно

(1)

Так же: (2)

(по свойству углов при параллельных сторонах).

2) Сравниваем (1) и (2) выражения, получаем:

т.е.

, т.е.

Углы при верхнем и нижнем основаниях попарно равны => АВСD – равнобедренная трапеция.

Ч.Т.Д.

Т

Дано:

– трапеция, описанная около окружности

Доказать:

еорема (об описанной трапеции). Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

 

Доказательство.

Пусть трапеция описана около окружности.

Точки E, F, G, H – точки касания.

Тогда

Если сложить попарно получим равенство

Ч.Т.Д.

3. Закрепление

Выполнение входной контрольной работы рассчитанной на 15-20 мин.

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

4. Итог урока

Занятие 2

Тема: Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной трапеции в окружность, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

Знакомство с содержанием занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной в окружность школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4)

3. Закрепление

Решение задач.

Задача 1. Трапеция с основаниями см и см и диагональю см вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D, так что см. Найдите длину отрезка AK.

На основании свойства вписанной трапеции .

Из

Из

Если то => равны углы и , что невозможно, так как первый угол меньше второго. Значит, значение 6 не подходит. Остается только 4.

Ответ: 4

Задача 2. В окружности радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

В данной задаче возможны только 2 случая решения. Первый, когда нижнее основание ниже центра окружности, второй случай, когда нижнее основание выше центра окружности. Третий невозможен, так как большее основание .

1 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

2 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим ΔAFO по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

Ответ:

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 3

Тема: Трапеция, описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся об описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств и теорем о трапеции, описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных и теорем. (Глава 1, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3:5. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка H — основание высоты. Из точки H опущен перпендикуляр HE на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка E делит боковую сторону?

1 случай	2 случай

 

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥AB

Найти: АЕ : ЕВ = ?

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥CD

Найти: DE : ЕC = ?

 

 

Решение.

Пусть из вершины В трапеции ABCD опущена высота ВН на основание AD.

Пусть основания равны AD = 5x и ВС = 3х

Суммы противоположных сторон трапеции равны, поэтому

Рассмотри 1 случай.

Точка Е лежит на стороне АВ.

Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу:

АН2 = АЕ · АВ, откуда

АЕ : ВЕ = 1: 15

Рассмотрим 2 случай.

Точка Е лежит на стороне CD.

ΔDEH = ΔAHB (по гипотенузе и острому углу)

Поэтому DE = AH = x

CE = CD – DE = 3x

Откуда DE : CE = 1 : 3

Ответ: 1 : 15 и 1 : 3

Задача 2. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18 см. Найдите основания этой трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция описная около окружности

РABCD = 112

a = 8

b = 18

Найти: ВС и ВD

 

Решение.

Так как в трапецию вписана окружность, то АВ + СD = BC + AD = 112 : 2 = 56

АВ = а + b = 18 + 8 = 26 =>

CD = 30

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону на отрезки а и b, то

Высота трапеции 2r = 24, тогда ВН = СН = 24

Из ΔАВН по теореме Пифагора

Из ΔНСD по теореме Пифагора

ВС = НН = 56 – ( АН + НD) : 2 = (56 – 28) : 2 = 14

Тогда AD = АН + НН + НD = 10 + 14 + 18 = 42

Ответ: 14 и 42

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 2, Теорема 7.

Занятие 4

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных теорем. (Глава 1, п. 1.4, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция

BC = 14

AD = 40

R = 25

Найти: h

 

Решение.

Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.

Пусть ВС = 14 – хорда окружности радиуса 25. Существует две хорды, параллельные BC и равные 40. Соответственно, в окружность можно вписать две трапеции с основаниями 14 и 40.

Центр O на серединном перпендикуляре к BC.

1 случай.

В трапеции ABCD центр О окружности лежит внутри трапеции.

В этом случае высота EF = EO + OF

Из прямоугольного ΔАОЕ, в котором АО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Из прямоугольного ΔВFO, в котором BО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Тогда EF = EO + OF = 39

2 случай.

В трапеции A1BCD1 центр О окружности лежит вне трапеции.

Аналогично, находим

Ответ: 39 и 9

Задача 2. На основании ВС трапеции АВСD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками А, С и D. Другая окружность проходящая через точки А, В, и С, касается прямой CD. АВ=12, ВЕ : ЕС = 4 : 5.

а) Докажите, что треугольник АСD подобен треугольнику АВЕ.

б) Найдите ВС.

Дано:

АВСD – трапеция

Е ϵ ВС

АВ = 12

ВЕ : ЕС = 4 : 5

а) Доказать: ΔACD ~ ΔABE

б) Найти: ВС

 

Решение.

Рассмотрим АЕСD – равнобедренную трапецию вписанную в окружность =>

АЕС + ADC = 1800

Значит, угол ВЕА, смежный с углом АЕС, равен углу АDС

 

Опишем окружность около ΔАВС.

По условию CD касается окружности, а значит СD ⊥ OC, где О – центр окружности.

Угол между хордой АС и касательной CD равен половине дуги АС второй окружности.

 

Половине этой же дуги равен вписанный АВС. Найдена вторая пара равных углов. Найдя две пары равных углов, мы доказали подобие треугольников АСD и АВЕ.

Из подобия следует равенство третьей пары углов, ВАЕ = САD

Кроме того равны дуги АЕ и СD, заключенные между параллельными прямыми ЕС и АD

 

Вписанный CAD равен половине дуги CD, а значит, ВАЕ равен половине дуги АЕ.

ВАЕ – это угол между хордой АЕ и прямой АВ, проходящей через конец хорды А. Значит прямая АВ – касательная ко второй окружности.

Воспользуется свойством секущей и касательной, проведенных к окружности из точки В.

ВА2 = ВЕ · ВС

122 = (4х) · (9х)

36х2 = 144

х2 = 4

х = 2

ВС = 9х = 9 · 2 = 18

Ответ: 18

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 5.

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных свойств. (Глава 1, п.2.1, п.2.2)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию с основаниями а и b. Найдите диагональ трапеции.

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

AD = b

BC = a

Найти: BD

 

Решение.

Пусть окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD, касается боковой стороны АВ в точке М, а оснований ВС и АD – в точке N и L соответственно.

Поскольку ОМ – высота прямоугольного ΔАОВ, опущенная из вершины прямого угла, то

Опустим перпендикуляр ВН на AD. Тогда

Из прямоугольного ΔBHD находим, что

Ответ:

Задача 2. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 1200. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

АВСD – трапеция

АОВ = 1200

Найти: среднюю линию трапеции

 

Решение.

Пусть О – центр окружности, описанной около трапеции АВСD с основаниями AD > BC. Трапеция АВСD – равнобедренная, поэтому

Пусть СК – высота трапеции, тогда АК = h·ctg600 = ,

а так как трапеция равнобедренная, то отрезок АК равен ее средней линии.

Ответ:

Задача 3. Около окружности описана равнобедренная трапеция АВСD. Боковые стороны АВ и СD касаются окружности в точках М и N, К – середина АD. В каком отношении прямая ВК делит отрезок МN?

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

М ϵ АВ

N ϵ СD

AK = KD

Найти: МР : РN = ?

 

Решение.

Обозначим х = АК, у = ВF, где F – середина ВС. Пусть Q – точка пересечения KF и MN, а Р – точка пересечения MN и ВК. Тогда

АМ = АК = х, ВМ = ВF = у

и Q – середина MN.

Поскольку MN параллельно основаниям трапеции, треугольник ВМР подобен треугольнику ВАК, а треугольник КРQ подобен треугольнику КВF. Поэтому

, значит, РМ = PQ и PM = MN =>

Ответ: 1 : 3

Задача 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно а. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающееся большего основания.

Дано: АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = ВС

AD = a

Найти: AB, CD

 

Решение.

Обозначим меньшее основание ВС и меньшую боковую сторону трапеции АВСD через х. Пусть М – точка касания окружности с большим основанием AD. Тогда точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС, поэтому

Пусть К – проекция вершины С на AD. Тогда KD = a – x, CK = x

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что

Тогда

Ответ:

Задача 5. В равнобедренной трапеции с острым угломпри основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?

Дано:

АВСD — равнобедренная трапеция

BAD = ADC =

Найти: АК : КD

 

Решение.

Пусть О – центр окружности (середина боковой стороны АВ трапеции АВСD), ОР – средняя линия трапеции, К – точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD. Тогда ВК – перпендикуляр к AD и . Если М – точка касания окружности с боковой стороной CD, то

Следовательно,

Ответ: sin2

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 6, Теорема 7, Теорема 8, Теорема 9, Теорема 10, Теорема 11

Занятие 6.

Тема: Итоговое занятие.

Цель: проверка усвоения знаний обучающихся по теме курса «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

Тип урока: закрепление

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Закрепление

Обучающимся предлагается, ответит на вопросы (устно):

1. Вопрос: Определение четырехугольника?

Ответ: Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

2. Вопрос: Виды четырехугольников?

Ответ: Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

3. Вопрос: Какая окружность называется вписанной в четырехугольник? Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Ответ: Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

4. Вопрос: В какой четырехугольник можно вписать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. а + с = b+ d

5. Вопрос: Около какого четырехугольника можно описать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

6. Вопрос: Можно ли описать окружность около трапеции?

Ответ: Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

7. Вопрос: Можно ли вписать окружность в трапецию?

Ответ: Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. АВ + CD = AD + BC

8. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, вписанная в окружность?

Ответ: 1) Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

9. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, описанная около окружности?

Ответ: 1) Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию

окружности.

2) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

3) Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом.

4) Высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков.

Самостоятельная работа

Выполнение итоговой самостоятельной работы для обучающихся предлагается в виде выполнения теста.

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если __________________________________________________________.

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если __________________________________________________________.

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

11. Выпуклый четырехугольник АВСD вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСD соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАD равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Заключение

В настоящей работе по теме: «Содержание занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов» в первой главе приведены основные теоретические сведения темы исследования, основные свойства и теоремы сведены в таблицу. Проанализированы учебники школьного курса геометрии для обучающихся в 7, 8, 9-х классах, на основании, которых сделан вывод, что темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются в школьном курсе геометрии в 7, 8, 9-х классах для решения задач повышенной сложности.

Во второй главе работы приведены разработки содержания 6 занятий по теме исследования; разработаны входящая и итоговая самостоятельные работы. В приложениях приведены решения данных работ.

Результаты работы могут быть использованы в рамках курса по выбору на дополнительных занятиях по геометрии или для подготовки к итоговой государственной аттестации, так как при проведении государственной итоговой аттестации среди 9-х классов общеобразовательных школ в части С геометрии часто встречается задание по теме «Трапеция вписанная в окружность или трапеция описанная около окружности».

Таким образом, поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

Литература

1. http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/referat-znachenie-geometrii-v-zhizni-lyudei

2. http://www.kniga.es/articles/article637.shtml

3. http://ru.wikipedia. org/wiki /%D7%E5%F2%FB%F0%B8%F5%F3%E3%EE%EB

4. http://free.megacampus.ru/xbookM0005/index.html ?go=part-021*page.htm

5. http://ege- study.ru/materialy-ege/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva /

6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html ?go=part-034*page.htm

7. http://otvet.mail.ru/question/47745330

8. http://www.smekalka.pp.ru/node/1586

9. Погорелов А.В., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ – 2-е издание – М.: Просвещение, 1991 – 384 с.

10 Атанасян Л.С. и др., Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.] – 21-е издание – М.: Просвещение, 2011 – 384 с.

11. Бевз Г.П., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992 – 352 с.

12. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 1999 – 192 с.

13. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 192 с.

14. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 9 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 207 с.

15. http://www.uznateshe.ru/trapetsiya-vpisana-v-okruzhnost/

16. http:// www.alexlarin.narod.ru

17. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С4. Многовариантные задачи по планиметрии http://www.alexlarin.narod.ru/ege/2010/C4a

gk.pdf

18. Созоненко Р.С., Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными ссылками. – 2-е издание, исправлено и дополнено – Новосибирск: Издательство ИМ СО РАН, 1998 – 209 с.

19. Гордин Р.К., ЕГЭ 2012 Математика. Решение задач С4. – М.: МЦНМО, 2012 – 328 с.

20. Никитин Н.Н., Геометрия: Учебник для 6-8 классов / Н.Н. Никитин. – М.: Просвещение, 1971 – 209 с.

Приложение 1

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

ВС = 9 см

AD = 21 см

h = 8 см

Найти: R

 

Решение.

Пусть EF – серединный перпендикуляр c основаниями EF , тогда О – центр окружности лежит на прямой EF.

ОА = ОВ = R.

О делит EF на две части: пусть OF = х, тогда OE = 8-х.

По теореме Пифагора получаем,

АО2 = АF2 + FО2

ОВ2 = ВE2 + EО2.

Так как ОА2 = ОВ2, получим:

АF2 + FО2 = ВE2 + EО2

Ответ: 10,625 см

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано:

АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = а

АD = b

Найти: r

 

Решение.

Пусть r – радиус окружности вписанной в трапецию ABCD.

Так как трапеция прямоугольная, то АВ = 2r.

Так как трапеция описана около окружности, то AD + BC = AB + CD.

Тогда а + b = 2r + CD.

CD = a + b – 2r

Пусть СЕ – высота, тогда СЕ ⊥ АD и СЕ = АВ = 2r.

ED = b – a.

По теореме Пифагора для треугольника ЕСD имеем

СD2 = CE2 + ED2

или

(а + b – 2r)2 = 4r2 + (b – a)2

Ответ:

Приложение 2

Итоговая самостоятельная работа

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если (суммы его противоположных углов равны 180, )

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если (суммы его длин противоположных сторон равны, а + с = b+ d)

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

Ответ: б)

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

Ответ: б)

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

Ответ: в)

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

Ответ: в)

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

Ответ: а)

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

Ответ: в)

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

Ответ: б)

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

Ответ: г)

11. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСД соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАД равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Ответ: а)

Площадь трапеции через радиус описанной окружности. Материал по геометрии на тему «трапеция и ее свойства»

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB).

По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием).

Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию .

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

Из треугольника ABC

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два:
   ХТ = (a – b)/2 .
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок.
   Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). {2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Центр описанной окружности вокруг трапеции. Описанная окружность и трапеция

10.10.2019

Добрый вечер! Ох уж эти описанные, или вписанные окружности, геометрические фигуры. Так сложно запутаться. что да когда.

Давайте попробуем разобраться для начала с формулировкой. Нам дана окружность описанная около . Иными словами — данная трапеция вписана в окружность.

Давайте вспомним, что описать окружность мы можем только вокруг . А равнобедренная трапеция в свою очередь — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Давайте попробуем решить задачку. Нам известно, что основания равнобедренной трапеции ADCB равны 6 (DC) и 4 (AB). А радиус описанной окружности равен 4. Нужно найдите высоту трапеции FK.

FK — высота трапеции. её нам нужно найти, но перед этим вспомним, что точка О — это центр окружности. А ОС, ОD, OA, OB — известные радиусы .

В OFC нам известна гипотенуза, которая является радиусом окружности, а катет FC = половине основания DC = 3 см (так как DF = FC).

Теперь по найдём OF:

А в прямоугольном треугольнике OKB нам тоже известна гипотенуза, так как это радиус окружности. А KB равняется половине AB; KB = 2 см. И, используя теорему Пифагора вычислим отрезок OK:

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) . \circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку \(M\) прямую \(MN»\parallel AD\) (\(N»\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N»\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\) .

Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) — середины отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Значит, \(MM»\) – средняя линия \(\triangle ABB»\) , \(NN»\) — средняя линия \(\triangle DCC»\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Значит, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\

\[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.

Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)

по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .

Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

Определения 3

Свойства равнобедренной трапеции 4

Вписанные и описанные окружности 7

Свойства вписанных и описанных трапеций 8

Средние величины в трапеции 12

Свойства произвольной трапеции 15

Признаки трапеции 18

Дополнительные построения в трапеции 20

Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Доказательства некоторых свойств трапеции 27

Задачи для самостоятельных работ

Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются

основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4

1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 — d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции

8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О ║ AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому

(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

∆ ВКМ ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MК C ~ ∆NKD → →

ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные



содержание   . .  95  96  97  98   ..         Задание №3407     В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 43 и 11, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника   Решение     Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=11 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=108+22=130 Ответ: 130       Задание №5476     Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 49 и 40 . Рассчитайте среднюю линию трапеции   Решение   В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD   Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 89 / 2 = 44,5 Ответ: 44,5     Задание №1770   Площадь параллелограмма ABCD равна 129. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Вычислите площадь параллелограмма A′B′C′D′   Решение     Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=64,5 Ответ: 64,5       Задание №2560     Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 108°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.   Решение   По теореме Птолемея — сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов угол противоположный углу 108 градусов равен 180-108=72 градусов Больший из неизвестных углов 158 градусов Ответ: 158     Задание №2762     Дана равнобедренная трапеция. Основания трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции   Решение   Построим высоту KH через центр окружности O   Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:   Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=16 HO=12 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=16+12=28 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 28     Задание №3791     Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 15, BC=4, CD=30. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника   Решение   В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=15+30-4=41 Ответ: 41       Задание №3682     Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 28+14√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник   Решение   Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:   Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:   Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=14 Ответ: 14       Задание №1387     В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона CD= 44, AB= 61 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD   Решение   В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 210 Ответ: 210     Задание №2199     Периметр правильного шестиугольника равен 390. Рассчитайте диаметр описанной окружности   Решение     Периметр (P) — сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =390 / 6 = 65 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*65=130 Ответ: 130     Задание №3221     У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 130, большая боковая сторона трапеции равна 57 . Найдите радиус окружности   Решение   Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD   R = 4 Ответ: 4     Задание №2869     Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 69, периметр P= 292 . Рассчитайте длину стороны CD   Решение   В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=77 Ответ: 77     Задание №3074   Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Рассчитайте число вершин многоугольника   Решение   Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3     Задание №1093   Площадь параллелограмма ABCD равна 118. Середина стороны BC — точка E. Найдите площадь трапеции ADEB   Решение     Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=88,5 Ответ: 88,5       Задание №4816     В треугольнике ABC BC=180, AC=112, угол C равен 90° . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник   Решение   Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:   Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=40 Ответ: 40       Задание №4653   Основания равнобедренной трапеции равны 24 и 120. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону     Решение   Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)   По найденной формуле вычисляем, что AD=80 Ответ: 80       Задание №4172   Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Середина стороны CD — точка E. Вычислите площадь треугольника ADE   Решение     Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=38,25 Ответ: 38,25       Задание №1397   Дан треугольник АВС. Его площадь равна 115. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Вычислите площадь трапеции ABED   Решение     Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:   Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC   По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=86,25 Ответ: 86,25       Задание №5859     К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 49, 69. Найдите периметр данного треугольника   Решение     EF и ED — отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как   =20+49+69=138 Ответ: 138       Задание №1591     Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 45, основание равно 54 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник   Решение   Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:     Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=972 Подствавим значения и найдём полупериметр P=72 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=972/72=13,5 Ответ: 13,5       Задание №3172     Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 84. Вычислите длину средней линии трапеции   Решение   Периметр — сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD     Средняя линия MK = 84 / 4 = 21 Ответ: 21                       содержание   . .  95  96  97  98   ..

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи 51-100

задачи 1-50,  задачи  101-150

51. В треугольник АВС вписана окружность, радиус которой равен 4. Определите стороны АВ и АС, если ВС = 15, а высота BD = 12. ответ: 13; 14
52. В треугольнике ABC, стороны AB и BC которого равны, проведены высоты BD и AE. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 и 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. ответ:  15
53. Площадь прямоугольного треугольника равна 5, а периметр равен 2. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. ответ: 5/3
54. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а площадь треугольника равна 84. Найдите катеты треугольника. ответ: 7; 24
55. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника. ответ: 21
56. Площадь треугольника равна 84, одна из его сторона равна 13, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите две другие стороны треугольника. ответ: 14; 15
57. Периметр прямоугольного треугольника равен 90, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите катеты треугольника. ответ: 9; 40
58. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований. ответ: 1; 7
59. В равнобедренной трапеции основания равны 21 и 9, и высота равна 8. Найдите радиус описанной окружности. ответ:  85/8
60. Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9, площадь равна 54 и диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции.  ответ: 5; 13
61. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна , а диагональ, равная , делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции. ответ:
62. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании. ответ:
63. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно , а угол при большем основании равен 60^о. ответ:
64. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если АВ = 30, DC = 24 и AD = 3, а угол при большем основании DAB равен 60^о. ответ:  
65. Большее основание трапеции равно 24. Найдите меньшее основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 4. ответ: 16
66. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции. ответ: 45; 80
67. В трапеции, основания которой равны и , проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами трапеции. ответ:
68. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны и . Найдите площадь трапеции. ответ:
69. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали равна , а длина боковой стороны BC равна . Найдите площадь трапеции. ответ:
70. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки и . Определите площадь трапеции. ответ:
71. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия равна 16 и большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции. ответ: 192
72. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если в трапецию можно вписать окружность.  ответ: 168
73. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры, заключенного между боковыми сторонами трапеции. Основания трапеции равны и . ответ:
74. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса . Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции. ответ:
75. Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции равно 12. Найдите боковую сторону трапеции. ответ: 100/3
76. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 15
77. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь равна 168. Найдите основания трапеции. ответ: 7; 21
78. В трапеции основания равны 5 и 15, а длины диагоналей равны 12 и 16. Найдите площадь трапеции. ответ: 96
79. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.  ответ: 216
80. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 : 13. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
81. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна . Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при ее основании равен . ответ:
82. В треугольник, стороны которого равны 39, 60 и 63, вписана окружность, и к окружности проведена касательная, параллельная большей боковой стороне треугольника. Найдите площадь полученной трапеции. ответ: 1078
83. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М, причем 5MC = 2AC. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20. ответ:
84. Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30^о. Найдите среднюю линию трапеции. ответ: 8
85. Внутри треугольника ABC с прямым углом B взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Отрезки AD и DC равны соответственно и . Найдите BD. ответ:
86. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Вычислите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 3 и 4. ответ: 7; 24; 25
87. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найдите длину гипотенузы. ответ: 13
88. Вокруг окружности описана трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. ответ: 20
89. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 15; 5
90. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга. ответ: 2
91. В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. ответ: 25
92. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиусы кругов. ответ: 15/2
93. Две равные окружности радиуса пересекаются. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата, если расстояние между центрами окружностей равно . ответ:
94. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите CD. ответ: 48
95. Две окружности радиусов и касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания до их общей внешней касательной. ответ:
96. Внутри круга, радиус которого равен 13, дана точка М, отстоящая от центра круга на 5. Через точку М проведена хорда АВ, равная 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
97. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD. Угол В равен 60^о, отрезок BD равен 1. Найдите гипотенузу. ответ:7
98. В равнобедренной трапеции диагональ длины образует угол с основанием. Найдите площадь трапеции. ответ:
99. На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки K, M и T таким образом, что AK : KB = 2 : 1, BM : MC = 1 : 1 и AT : TD = 1 : 3. Найдите отношение площадей треугольников KBT и BMT. ответ: 1 : 6
100. На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KTM расположен центр О окружности, которая касается катетов TK и TM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если BM = 23/16, AK : AC = 5 : 23, где точка С — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками О и M. ответ: 6/23

 

Метки геометрия, ЕГЭ, задачи. Смотреть запись.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 39? Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21.

Прототипы В6 часть 2

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 30. Найдите высоту этого треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 86. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 12 и .
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 39?
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 138.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 31. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 56.
Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 47.
Сторона ромба равна 20, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 47.
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 37, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.
Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 38. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.
Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 43. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите 

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 136, основание равно 128. Найдите радиус вписанной окружности.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 11 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите ее среднюю линию.
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.
В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника. 
В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,  и . Найдите четвертую сторону четырехугольника
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного треугольника.
Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
1.Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
2.Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно  и . Ответ дайте в градусах.
Угол ACB равен . Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
6. Угол ACO равен . Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах
Через концы A, B дуги окружности в  проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Приложенные файлы

• 83584511
  Размер файла: 294 kB Загрузок: 0

Чего состоит трапеция. Описанная окружность и трапеция

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника — это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции , которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.

Вконтакте

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).

Если сложить все градусные меры внутренних , то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:

Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

Пускай DF – будет . Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

Т. е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная . ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить .
5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции :

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.

Определение высоты, и способы как её найти

Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис. 5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

Тогда получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.

Как быстро вычислить длину основания

Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как :

• средняя линия;
• площадь;
• высота;
• диагонали.

Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Вывод

Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Тема урока

Трапеция

Цели урока

Продолжать знакомить с новыми определениями в геометрии;
Закрепить знания об уже изученных геометрических фигурах;
Познакомить с формулировкой и доказательствами свойств трапеции;
Обучить применению свойств различных фигур при решении задач и выполнении заданий;
Продолжать развивать у школьников внимание, логическое мышление и математическую речь;
Воспитывать интерес к предмету.

Задачи урока

Вызвать интерес к знаниям по геометрии;
Продолжать упражнять школьников в решении задач;
Вызвать познавательный интерес к урокам математики.

План урока

1. Повторить материал, изученный ранее.
2. Знакомство с трапецией, ее свойствами и признаками.
3. Решение задач и выполнение заданий.

Повторение ранее изученного материала

На предыдущем уроке вы знакомились с такой фигурой, как четырехугольник. Давайте закрепим пройденный материал и ответим на поставленные вопросы:

1. Сколько углов и сторон имеет 4-х угольник?
2. Сформулируйте определение 4-х угольника?
3. Какое название носят противоположные стороны 4-х угольника?
4. Какие виды четырехугольников вам известны? Перечислите их и дайте определение каждого из них.
5. Изобразите пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника.

Трапеция. Общие свойства и определение

Трапеция — это такая четырехугольная фигура, у которой только одна пара противолежащих сторон параллельна.

В геометрическом определении к трапеции относится такой 4-х угольник, который имеет две параллельные стороны, а две другие – нет.

Название такой необычной фигуры, как «трапеция» произошло от слова «трапезион», что в переводе с греческого языка, обозначает слово «столик», от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова.

В некоторых случаях в трапеции пара противоположных сторон параллельна, а другая его пара не является параллельной. В таком случае трапеция носит название криволинейной.

Элементы трапеции

Трапеция состоит из таких элементов, как основание, боковые линии, средняя линия и ее высота.

Основанием трапеции называют ее параллельные стороны;
Боковыми сторонами называют две другие стороны трапеции, которые не есть параллельными;
Средней линией трапеции называют отрезок, который соединяет середины его боковых сторон;
Высотой трапеции считается расстояние между ее основаниями.

Виды трапеций

Задание:

1. Сформулируйте определение равнобедренной трапеции.
2. Какая трапеция называется прямоугольной?
3. Что значит остроугольная трапеция?
4. Какая трапеция относится к тупоугольной?

Общие свойства трапеции

Во-первых, средняя линия трапеции находится параллельно основанию фигуры и равняется ее полусумме;

Во-вторых, отрезок, который соединяет середины диагоналей 4-х угольной фигуры, равняется полуразности ее оснований;

В-третьих, в трапеции параллельно лежащие прямые, которые пересекают стороны угла данной фигуры, отсекают пропорциональные отрезки от сторон угла.

В-четвертых, в любого из видов трапеции сумма углов, которые прилегают к ее боковой стороне, равны 180°.

Где еще присутствует трапеция

Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.

Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.

Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции — это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.

На рисунке изображена воздушная трапеция, которую изобрел для цирковых акробатов артист Джулиус Леотард еще в девятнадцатом веке во Франции. Вначале создатель этого номера устанавливал свой снаряд на небольшой высоте, но в итоге он был перенесен под самый купол цирка.

Воздушные гимнасты в цирке выполняют трюки перелетов из трапеции на трапецию, исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале.

В конном виде спорта, трапецией называют упражнение для растяжки или потягивание тела лошади, которое очень полезно и приятно для животного. Во время стойки лошади в положении трапеции работает растяжка ног животного или мышц его спины. Это красивое упражнение мы можем наблюдать во время поклона или так называемого «переднего кранча», когда лошадь глубоко прогибается.

Задание: Наведите свои примеры о том, где еще в повседневной жизни можно услышать слова «трапеция»?

А известно ли вам, что впервые в 1947 году известный французский модельер Кристиан Диор произвел показ мод, в котором присутствовал силуэт юбки-трапеции. И хотя уже прошло более шестидесяти лет, этот силуэт до сих пор в моде, и не теряет своей актуальности, и по сей день.

В гардеробе английской королевы юбка-трапеция стала непременным предметом и ее визитной карточкой.

Напоминающая геометрическую форму трапеции, юбка с одноименным названием прекрасно сочетается с любыми кофточками, блузами, топами и пиджаками. Классичность и демократичность этого популярного фасона позволяет ее носить и со строгими пиджаками и немного легкомысленными топами. В такой юбке будет уместно появляться как в офисе, так и на дискотеке.

Задачи с трапецией

Для облегчения решения задач с трапециями важно помнить несколько основных правил:

Во-первых, проведите две высоты: ВF и СК.

В одном из случаев, в результате вы получите прямоугольник – ВСFК из чего понятно, что FК=ВС.

АD=АF+FК+КD, отсюда АD=АF+ВС+КD.

К тому же сразу очевидно, что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники.

Возможен еще такой вариант, когда трапеция не совсем стандартная, где

АD=АF+FD=АF+FК–DК=АF+ВС–DК.

Но самый простой вариант, если наша трапеция – равнобедренная. Тогда решать задачу становиться еще легче, потому что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники, и они равны. АВ=СD, так как трапеция равнобедренная, а ВF=СК, как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.

Урок Равнобедренную трапецию можно вписать в круг

Равнобедренную трапецию можно вписать в круг

Задача 1

Если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в круг. Докажи.

Доказательство

Пусть ABCD будет равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и боковых сторон AD и BC ( Рис. 1a ). Нам нужно доказать, что существует круг, который проходит через все вершины трапеции A , B , C и D . Нарисуем диагонали трапеции AC и BD ( Рисунок 1b ) и рассмотрим треугольники ABC и ABD . Эти треугольники имеют общую сторону AB и совпадающие стороны BC и AD (последний из-за того, что трапеция ABCD равнобедренная).

Рисунок 1a . К проблеме 1

Рисунок 1b . К решению задачи 1

Углы L BAD и L ABC , заключенные между этими конгруэнтными сторонами, совпадают как базовые углы равнобедренной трапеции (см. Урок
Трапеции и их базовые углы по теме Многоугольники раздела Геометрия на этом сайте).

Следовательно, треугольники ABC и ABD конгруэнтны в соответствии с тестом SAS для конгруэнтности треугольников.

Это означает, что углы L ACB и L ADB совпадают как соответствующие углы конгруэнтных треугольников.

Таким образом, углы L ACB и L ADB совпадают и опираются на один и тот же сегмент AB .Значит, эти углы вписываются в круг в соответствии с уроком.
Обратная теорема о вписанных углах в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте.

Доказательство завершено.

Обратное утверждение доказано в уроке Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная.

Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапеция может быть вписана в круг тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная .

Другие мои уроки по кругам на этом сайте в логическом порядке
— Окружность, ее хорды, касательные и секущие линии — основные определения,
— Чем длиннее хорда, тем больше ее центральный угол,
— Хорды ​​окружности и радиусы, перпендикулярные хордам,
— Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,
— Угол, вписанный в круг,
— Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги,
— Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга,
— Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,
— Угол между хордой и касательной к окружности,
— Касательные сегменты к окружности от точки вне окружности,
— Обратная теорема о вписанных углах,
— Части хорд, пересекающиеся внутри круга,
— Метрические соотношения для секущих, пересекающихся вне круга и
— Метрические отношения для касательной и секущей линий, выпущенных из точки за пределами круга
в разделе Круги и их свойства раздела Геометрия , и
— КАК РАЗБИВАТЬ дугу по окружности с помощью циркуля и линейки,
— КАК найти центр круга, заданного двумя хордами,
— Решенные задачи по радиусу и касательной к окружности,
— Решенные задачи по вписанным углам,
— Свойство углов четырехугольника, вписанного в круг,
— КАК построить касательную линию к окружности в заданной точке окружности,
— КАК построить касательную линию к окружности через заданную точку вне окружности,
— КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,
— КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям,
— Решенные задачи на хордах, которые пересекаются внутри круга,
— Решенные задачи на секущих, которые пересекаются вне круга,
— Решенные задачи касательной и секущей линии, выпущенной из точки за пределами круга
— Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник
— Решенные проблемы касательных линий, выпущенных из точки за пределами круга
под текущую тему.

Обзор уроков по Свойствам Кругов находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ХОРДЫ, СЕКАНТЫ И ТАНГЕНТЫ.
Вы можете использовать файл обзора или список ссылок выше для навигации по этим урокам.

Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.

Равнобедренная трапеция

• Равнобедренная трапеция (двумерная фигура) — это трапеция только с одной парой параллельных краев и с одинаковыми углами основания.
• Острый угол меньше 90 °.
• Окружность — это круг, проходящий через все вершины двумерной фигуры.
• Диагональ — это несмежная линия, соединяющая одну вершину с другой.
• Тупой угол больше 90 °.
• a & c — базы
• b & d ноги
• а ∥ с
• а ≠ с
• b = d
• ∠A и ∠D <90 °
• B и ∠C> 90 °
• ∠A = ∠D
• ∠B = ∠C
• ∠A + ∠B = 180 °
• ∠C + ∠D = 180 °
• ∠A + ∠C = 180 °
• ∠B + ∠D = 180 °
• 2 диагонали
• 4 ребра
• 4 вершины

Структурные формы

Угол равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {x = arccos \; \ frac {\ left (\ frac {a \; — \; c} {2} \ right) ^ 2 \; + \; b ^ 2 \; — \; h ^ 2} {2 \; \ left (\ frac {a \; — \; c} {2} \ right) \; b}} \)
\ (\ large {y = 180 ° — x} \)

Где:

\ (\ large {x} \) = острый угол

\ (\ large {y} \) = тупой угол

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Площадь равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {A_ {area} = \ frac {h} {2} \; \ left (c + a \ right)} \)
\ (\ large {A_ {area} = h \ left (\ frac {c \; + \; a} {2} \ right)} \)
\ (\ large {A_ {area} = mc \; sin \; x} \)
\ (\ large {A_ {area} = mc \; sin \; y} \)

Где:

\ (\ large {A_ {area}} \) = площадь

\ (\ large {m} \) = центральная медиана

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Окружность равнобедренной трапеции формулы

\ (\ large {R = \ frac {b \; D ‘\; c} {4 \; \ sqrt {s \; \ left (s \; — \; b \ right) \; \ left (s \; — \; D ‘\ right) \ left (s \; — \; c \ right)}}} \) \ (\ large {s = \ frac {b \; + \; D’ \; + \; c} {2}} \)
\ (\ large {R = \ frac {b \; D ‘\; a} {4 \; \ sqrt {s \; \ left (s \; — \; b \ right) \; \ left ( s \; — \; D ‘\ right) \ left (s \; — \; a \ right)}}} \) \ (\ large {s = \ frac {b \; + \; D’ \; + \; a} {2}} \)
\ (\ large {R = b \; \ sqrt {\ frac {a \; c \; + \; b ^ 2} {4 \; b ^ 2 \; — \; \ left (a \; — \; c \ right) ^ 2}}} \)

Где:

\ (\ large {R} \) = внешний радиус

\ (\ large {D ‘} \) = диагональ

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

Диагональ равнобедренной трапеции, формула

\ (\ large {D ‘= \ sqrt {b ^ 2 \; + \; c \; a}} \)

Где:

\ (\ large {D ‘} \) = диагональ

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Расстояние от центроида равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {C_x = \ frac {a} {2}} \)
\ (\ large {C_y = \ frac {h} {3} \; \ left (\ frac {2 \; c \; + \; a} {c \; + \; a} \ right)} \)

Где:

\ (\ large {C} \) = расстояние от центроида

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Модуль упругого сечения равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {S_x = \ frac {I_x} {C_y}} \)
\ (\ large {S_y = \ frac {I_y} {C_x}} \)

Где:

\ (\ large {S} \) = модуль упругого сечения

\ (\ large {C} \) = расстояние от центроида

\ (\ large {I} \) = момент инерции

Высота равнобедренной трапеции, формула

\ (\ large {h = \ frac {1} {2} \; \ sqrt {4 \; b ^ 3 \; — \; {c \; + \; a}}} \)

Где:

\ (\ large {h} \) = высота

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

Периметр равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {P = 2 \; b + c + a} \)
\ (\ large {P = 2 \; \ sqrt {h ^ 2 + \ frac {\ left (b \; — \; a \ right) ^ 2} {4}} + a + b} \)

Где:

\ (\ large {P} \) = периметр

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Модуль упругости пластического сечения равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {Z_x = \ frac {h \; \ left (2 \; c ^ 2 \; — \; c \; a \; + \; 2 \; a ^ 2 \ right)} {12}} \)
\ (\ large {Z_y = \ frac {h ^ 2 \; \ left (11 \; c ^ 2 \; + \; 26 \; c \; a \; + \; 11 \; a ^ 2 \ right)} {48 \; \ left (c \; + \; a \ right)}} \)

Где:

\ (\ large {Z} \) = модуль упругости пластического сечения

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

Полярный момент инерции равнобедренной трапеции формулы

\ (\ large {J_ {z} = I_x + I_y} \)
\ (\ large {J_ {z1} = I_ {x1} + I_ {y1}} \)

Где:

\ (\ large {J} \) = постоянная кручения

\ (\ large {I} \) = момент инерции

Радиус вращения равнобедренной трапеции формулы

\ (\ large {k_ {x} = \ frac {h} {6} \; \ sqrt {2 + \ frac {4 \; c \; a} {\ left (c \; + \; a \ right) ^ 2}}} \)
\ (\ large {k_ {y} = \ frac {1} {12} \; \ sqrt {6 \ left (c ^ 2 + a ^ 2 \ right)}} \)
\ (\ large {k_ {z} = \ sqrt {k_ {x} {^ 2} + k_ {y} {^ 2}}} \)
\ (\ large {k_ {x1} = \ frac {h} {6} \; \ sqrt {6 \; \ frac {3 \; c \; + \; a} {c \; + \; a}}} \)
\ (\ large {k_ {y1} = \ sqrt {\ frac {3 \; a \; + \; 5 \; c} {12 \; \ left (a \; + \; c \ right) } \; a}} \)
\ (\ large {k_ {z1} = \ sqrt {k_ {x1} {^ 2} + k_ {y1} {^ 2}}} \)

Где:

\ (\ large {k} \) = радиус вращения

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

\ (\ large {k} \) = радиус вращения

Второй момент площади равнобедренной трапеции по формулам

\ (\ large {I_ {x} = \ frac {h ^ 3 \; \ left (c ^ 2 \; + \; 4 \; c \; a \; + \; a ^ 2 \ right )} {36 \; \ left (c \; + \; a \ right)}} \)
\ (\ large {I_ {y} = \ frac {h \; \ left (c \; + \; a \ right) \ left (c ^ 2 \; + \; a ^ 2 \ right)} {48}} \)
\ (\ large {I_ {x1} = \ frac {h ^ 3 \; \ left (3 \; c \; + \; a \ right)} {12}} \)
\ (\ large {I_ {y1} = \ frac {h \; \ left (c \; + \; a \ right) \ left (c ^ 2 \; + \; 7 \; a ^ 2 \ справа)} {48}} \)

Где:

\ (\ large {I} \) = момент инерции

\ (\ large {a, b, c, d} \) = край

\ (\ large {h} \) = высота

\ (\ large {I} \) = момент инерции

\ (\ large {k} \) = радиус вращения

Набор задач

2. 2

2.2.1. Треугольник ABC вписан в круг. Точка D — центр вписанной окружности. Докажите, что угол DAE конгруэнтен углу ADE. (Примечание: «треугольник» в левой части утверждения должен быть «углом» )

2.2.2 Если окружность с центром O вписана в трапецию, основания которой касаются окружности в точке P и Q (см. рисунок), доказательство:

а. Попробуйте показать m (угол PAQ) = m (угол PBQ). Обратите внимание, что каждый из них подчиняет аккорд PQ.Поскольку есть совпадающие окружности, дуги, соединяемые углами, имеют одинаковую меру.

Открыть файл GSP?

г. Если мы можем показать CP = PA, то оба они равны PB из части A, поэтому будет окружность ABC с диаметром AC и, следовательно, треугольник ABC будет прямоугольным.

Итак, чтобы показать CP = PA, представляется возможным два подхода.

Первое, зная AP = PB, должно показать, что PBC равнобедренный с углами основания в B и C.

Во-вторых, следует отметить, что APQ — прямоугольный треугольник, потому что AQ — это диаметр. Используйте это, чтобы показать, что PQC — это прямоугольный треугольник с диаметром CQ. Вы почти закончили.

2.2.4. Два круга с общим центром называются концентрическими кругами . Если отрезки AB и CD — две хорды в большем круге, касательные к меньшему, докажите, что AB = CD.

Если вы доказали теорему, вложенную в часть a задачи 2.1.1, то в доказательстве здесь можно использовать этот результат.

В противном случае, есть несколько способов рассмотреть конгруэнтные треугольники, включающие радиусы большого круга относительно A, B, C и D, а также перпендикуляры от точки O к точкам касания с малым кругом.

Проверьте файл GSP .

Следствия:

Хорды, равноудаленные от центра круга, равны, и наоборот.

Перпендикуляр к хорде от центра окружности идет к середине хорды.

2.2.5 Проверьте файл GSP. У нас есть окружность O с касательными PA и PB. Если Q лежит на дуге AB, а CD касается Q, докажите, что

а. m (угол COE) одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

г. Покажите, что периметр треугольника PCD одинаков независимо от положения Q на дуге AB.

Откройте файл GSP и запустите анимацию.

Измерение угла COD или периметра треугольника PCD подтвердит, что то, что вы хотите доказать, соответствует действительности. Тем не менее, никакие измерения не установят доказательства.

Если мы можем показать, что OC является биссектрисой угла BOQ, а OD — биссектрисой угла AOQ, независимо от того, где Q находится на дуге AB, то угол COD составляет половину меры угла BOA. Проверьте, является ли AOBP вписанным четырехугольником.

Для части b см. PC + QD + DP. Можно что-нибудь заменить?

Откройте файл GSP.

2.2.7 Откройте файл GSP

ABCD — четырехугольник с прямыми углами в точках A и D. Окружность O касается сторон AB и AD в точках B и E соответственно.Диагональ AC содержит точку O. Сторона CD пересекает окружность в точке P, а PB пересекает AC в точке Q.

а. Найдите углы треугольника CQP

г. Докажите, что AQ = r, где r — радиус окружности. То есть AQ? CO

OB и OE, несомненно, будут полезными сегментами для использования. БАЭО представляет собой квадрат со стороной, равной радиусу круга.

2.2.8 Откройте файл GSP .

Окружность касается квадрата ABCD в точке P с вершинами A и D на окружности. Сторона DC пересекает круг в точке Q. Докажите, что

а. Треугольник QPA — это прямоугольный треугольник.

г. Отрезок AP представляет собой биссектрису угла QAB

Подсказка для части а — изучить треугольник ADQ.

Совет для части b — изучить отмеченные углы

2.29 Определите, можно ли найти описываемую равнобедренную «истинную» трапецию (параллельные стороны не совпадают), обладающую следующими свойствами (здесь три отдельных вопроса). Обоснуйте свои ответы.

Обратите внимание, что если трапеция описываемая и равнобедренная, то сумма длин оснований должна быть в два раза больше длины двух конгруэнтных сторон: a + b = 2c.

а. Диагональ делит угол трапеции пополам.

г.Трапеция циклическая.

Доказать или опровергнуть: Трапеция циклична тогда и только тогда, когда она равнобедренная .

Подтвердить или опровергнуть: Каждый равнобедренный треугольник можно описать .

Подтвердите или опровергните: Если трапеция описываемая, то она также циклическая

с. Диагонали перпендикулярны.

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями не обязательно является воздушным змеем или ромбом.

Доказательство: Если у описываемого равнобедренного объекта есть параллельные основания a и b и совпадающие стороны c, то это покажет, что существует ромб со сторонами длиной c, который описывается примерно в той же окружности.

2.2.10 а. Круг O вписан в ромб. ABCD — четырехугольник, вершинами которого являются четыре точки касания. Что за четырехугольник кажется ABCD? Докажи.

Откройте файл GSP и исследуйте .Или создайте собственный файл GSP. Похоже, что прямоугольник всегда остается прямоугольником при изменении ромба, доказательство?

Рассмотрим диагонали ромба и диагонали вписанного четырехугольника. Также см. Задачу 2.2.2.

г. Какое обратное утверждение доказано в части а?

Если прямоугольник вписан в круг, описываемый четырехугольник с точками касания в вершинах прямоугольника представляет собой ромб.

2.2.11 Круг вписан в трапецию ABCD, а MN — это средний сегмент трапеции. Докажите следующее.

а. Сегмент MN содержит О.

г. ON = NB и OM = MA

Откройте файл GSP для исследования и подсказок. Трапеция не обязательно должна быть равнобедренной.

2.2.12 В трапеции ABCD сегмент MN — это средний сегмент, а P — точка на MN, такая что PM = MA и PN = NB.

а. Можно ли вписать круг в ABCD. Обоснуйте.

г. Докажите, что P — центр вписанной окружности.

Мы имеем дело с противоположным тому, что было показано в задаче 2.2.11.

Рассмотрим треугольники AMP и BNP. См. Файл GSP

2.2.13 Докажите, что центры O1 и O2 двух непересекающихся окружностей и пересечение P, где пересекаются две касательные, лежат на одной прямой.

См. Файл GSP .

Нам нужно показать, что центры O1 и O2 находятся на биссектрисах углов.

Есть несколько способов сделать это. нужно увидеть, что центр O1, P и две точки касания к окружности O1 являются воздушным змеем, а отрезок от O1 до P проходит по биссектрисе угла. Затем рассмотрим вертикальные углы в точке P и докажем, что центр O2 также находится на биссектрисе угла.. .

2.2.14. Две точки, у которых есть только одна общая точка, называются касательными окружностями .

а. Докажите, что точки пересечения двух касательных окружностей и центров лежат на одной прямой. (Подсказка: предположим противное и воспользуемся неравенством треугольника).

г. Докажите, что касательная к одной из окружностей в точке соприкосновения касается и другой окружности.

Часть a: Предположим, что точка P не находится на линии центров AB. Тогда существует треугольник APB, где AB является кратчайшим расстоянием от A до B. Неравенство треугольника означает AP + BP> AB. Но радиус — это кратчайшее расстояние от центра до круга. Таким образом, расстояние от A до P, а затем от P до B будет меньше или равно любому другому пути. Таким образом, предположение, что P не находится на линии центров, должно быть отвергнуто.

Часть б. См. Файл GSP . Касательная к окружности A в точке P — это линия, перпендикулярная линии центров, как показано в части a. Но эта касательная также перпендикулярна BP на P.

2.2.15. Окружности O1 и O2 касаются друг друга в точке B. A — любая другая точка на общей касательной, проходящей через B, а AP и AQ касаются окружностей O1 и O2 соответственно. Докажите, что AP = AQ.

Используйте теорему 2.6

Видите файл GSP?

2.2.16 Две окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая AB касается окружностей в точках A и B соответственно. Если C находится на AB и CP является общей касательной, проходящей через P, докажите, что

а. AC = CB

г. м (угол APB) = 90 градусов.

Подсказка: используйте результат задачи 2.2.15 для части а. Для части b постройте окружность из общей длины CP = AC = CB

.

GSP файл?

2.2.17. Окружности O1 и O2 касаются в точке P. Прямая, проходящая через P, пересекает первую окружность в точке A и вторую окружность в точке B. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна касательной в точке B ко второй окружности. См. Файл GSP и измените направление AB через P.

Подсказка: изучите линию центров и два созданных ею равнобедренных треугольника.

2.2.18 Две конгруэнтные окружности с центрами в D и E пересекаются в F и A. Третья окружность с центром в B пересекает D в B и E в C. (Эти точки находятся в одной полуплоскости, определенной FA.) Докажите A, B , и C коллинеарны.

У этой проблемы действительно два случая. Тот, который изображен здесь и в тексте, предназначен для случаев, когда радиус красного круга меньше FA.

Второй случай имеет место, когда радиус больше FA, но менее чем в два раза больше радиуса двух конгруэнтных окружностей.

Изображение дано ниже.

В ситуации, когда FA равен радиусу красного круга, B и A будут в одной точке.

Сосредоточусь на первом случае. Первый совет — использовать теорему о вписанном угле, чтобы показать, что угол FAC и угол FABB имеют одинаковую меру. Это не доказывает, что B находится на AC, но это первый шаг.

2.2.19 Вершины треугольника EFD находятся по сторонам треугольника ABC. Постройте описанные окружности треугольника ADE, треугольника DFC и треугольника EBF. Повторите построение для треугольников EFD, расположенных по-разному. (С GSP мы можем использовать некоторую функцию анимации, чтобы изменять расположение E, F и D на соответствующих сторонах ABC).

а. Основываясь на наблюдениях, сделайте предположение о трех описанных окружностях.

г. Докажите свою гипотезу в части а.

Подсказка для б.Посмотрите на циклические четырехугольники.

См. Файл GSP .

2.2.20 См. Файл GSP

а. Докажите, что всякий раз, когда три окружности касаются друг друга (как показано), три касательных к точкам соприкосновения совпадают.

г. Используйте результат части а, чтобы показать, как построить три несовпадающих окружности, касающиеся друг друга.

Рабочий лист в виде круга из 9 точек

Рабочий лист в виде круга из 9 точек

9-гранный круг (круг Фейербаха)

Мы начнем с напоминания некоторых фактов о геометрии средней школы.

1. Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и измеряет 1/2 длины третьей стороны треугольника.

а) Почему отношение стороны AD к стороне AB равно 1: 2?

b) На приведенной выше диаграмме DAE аналогична BAC, потому что ….

Поскольку подобные треугольники имеют конгруэнтные углы, мы имеем ADEABC.

c) Линия DE параллельна BC, потому что….

г) Поскольку отношение соответствующих сторон подобных треугольников постоянно, каково отношение из стороны DE в сторону BC?

2. Четыре точки, образующие вершины четырехугольника, лежат на окружности тогда и только тогда, когда сумма Противоположные углы в четырехугольнике равны 180 ° .

e) Угол, вписанный в круг, имеет размер, равный 1/2 меры дуги, подает. Какую дугу на приведенной выше диаграмме представляет DAB? Какую дугу образует противоположный BCD?

f) Поскольку общее количество градусов дуги полного круга составляет 360 °, какова сумма из мер DAB и BCD?

Три точки, расположенные не на одной линии, определяют уникальный круг.Предположим, у нас есть четыре точки, а не три на прямой. Мы можем выберите любые три из этих четырех и постройте круг, который их содержит. Четвертый пункт будет лежат внутри, на или за пределами этого круга. Допустим, что три точки, определяющие окружности A, B и C. Назовем четвертую точку D. Мы уже видели, что если D лежит на окружности, тогда m (ADC) + m (ABC) = 180 °.

г) Что вы можете сказать о размере ADC, если D лежит внутри круга? Что тогда правда о m (ADC) + m (ABC)?

ч) Что вы можете сказать о размере ADC, если D лежит вне круга? Что тогда правда о m (ADC) + m (ABC)?

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными сторонами.Равнобедренная трапеция — та, чья непараллельные стороны конгруэнтны.

3. Все вершины равнобедренной трапеции лежат на окружности.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD ниже и проведем линию, проходящую через A, которая параллельна в BC. Эта линия соответствует CD в точке, обозначенной нами как E.

i) Что за четырехугольник ABCE?

j) Что это говорит о сторонах AE и BC?

к) ДАЭ это что за треугольник?

Поскольку AE параллельно BC, BCEAED (соответствующие углы параллельных прямых).И Итак, по k) это означает, что BCDADB.

l) Покажите, что DABABC.

Это означает, что суммы противоположных углов равнобедренной трапеции равны.

м) Покажите, что суммы противоположных углов равнобедренной трапеции равны 180 °.

4. В прямоугольном треугольнике линия, соединяющая прямой угол с серединой гипотенузы, имеет длина равна 1/2 гипотенузы.

Нарисуйте описанную окружность O вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом A.

n) Какова длина дуги, образуемой углом A?

о) Что это за линия BC относительно этого круга?

п) Где центр круга?

q) Докажите теорему.

---

Теперь мы готовы обсудить круг Фейербаха.

Для произвольного треугольника: 3 середины сторон, 3 фута высот и 3 точки, которые являются серединами отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами Треугольника все лежат на окружности, называемой , круг из девяти точек .

Круг проходит через 3 середины сторон треугольника: A ‘, B’ и C ‘. Мы покажем, что остальные 6 точек также находятся на этом круге.

Пусть D — основание высоты из A. Рассмотрим четырехугольник A’DB’C ‘. Мы утверждаем, что это равнобедренная трапеция.

r) Почему A’D параллельно B’C ‘?

с) Почему длина DB ‘равна 1/2 переменного тока?

т) Почему длина A’C равна 1/2 AC?

Поскольку A’DB’C ‘является равнобедренной трапецией, D должен находиться на той же окружности, что и A’, B ‘и C’.Аналогично поступают и с другими высотными футами (E и F).

u) Определите равнобедренную трапецию, содержащую E, и трапецию, содержащую F.

Теперь рассмотрим J, середину отрезка, соединяющего ортоцентр H с вершиной A. Нарисуйте круг с диаметром A’J.

v) Почему A’B ‘параллельна стороне AB?

w) Почему JB ‘параллельна высоте CF?

x) Покажите, что A’B ‘перпендикулярно JB’.

Таким образом, угол JB’A ‘является прямым углом, и поэтому B’ должен находиться на окружности с диаметром A’J.

y) Аналогичным образом докажите, что C ‘находится на окружности с диаметром A’J.

Таким образом, J, A ‘, B’ и C ‘находятся на одном круге, с которого мы начали. Повторяя этот аргумент, начиная с кругов диаметров KB ‘и LC’, мы можем покажите, что K и L также находятся на этом круге.

Равнобедренная трапеция — Калькулятор геометрии

1D линия 2D Правильные многоугольники: Равносторонний треугольник, Квадрат, Пентагон, Шестиугольник, Семиугольник, Восьмиугольник, Нонагон, Десятиугольник, Хендекагон, Додекагон, Шестиугольник, N-угольник, Кольцо многоугольника Другие многоугольники: Треугольник, Прямой треугольник, Равнобедренный треугольник, ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадратный воздушный змей, воздушный змей, воздушный змей, правая трапеция, равнобедренная трапеция, треугольная равносторонняя трапеция, трапеция, циклический четырехугольник, тангенциальный четырехугольник, стрелка, вогнутый четырехугольник, крест Антипараллелограмм, Форма дома, Симметричный пятиугольник, Вырезанный прямоугольник, Вогнутый пятиугольник, Вогнутый правильный пятиугольник, Параллелогон, Вытянутый шестиугольник, Вогнутый шестиугольник, Стрелка-шестиугольник, Прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, Острый перегиб, T-образная форма, Усеченный квадрат, Рамка, Открытая рамка, сетка, крест, форма X, форма H, тройная звезда, четыре звезды, пентаграмма, гексаграмма, уникурсальная гексаграмма, октаграмма, звезда Лакшми, двойная звезда, многоугольник, многоугольник, многоугольник 90 010 Круглые формы: Круг, Полукруг, Круговой сектор, Круговой сегмент, Круговой слой, Круговой центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Остроконечный овал, Ланцетная арка, Бугорок, Кольцо, Кольцевой сектор , Изогнутый прямоугольник, закругленный многоугольник, закругленный прямоугольник, эллипс, полуэллипс, эллиптический сегмент, эллиптический сектор, эллиптическое кольцо, стадион, спираль, бревно.Спираль, Треугольник Рело, Циклоида, Двойная циклоида, Астроид, Гипоциклоида, Кардиоида, Эпициклоида, Параболический сегмент, Сердце, Треугольник, Межугловой треугольник, Круговой треугольник дуги, Четырехугольник Interarc, Межкруговый четырехугольник, Круговой четырехугольник дуги, Круговой дуговый многоугольник, Коготь, Коготь — Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Поликруг, Многоугольник с закругленными краями, Роза, Шестеренка, Овал, Профиль яйца, Лемниската, Сквикул, Круглый квадрат, Дигон, Сферический треугольник 3D Платоновы тела: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр Архимедовы тела: Усеченный тетраэдр, Кубооктаэдр, Усеченный куб, Усеченный октаэдр, Ромбикубоэдроноктаэдрон, Кубооктаэдр, Треугольникубоэдроноктаэдр , Усеченный икосододекаэдр, Snub Додекаэдр Каталонских Сухой остаток: триакистетраэдр, ромбический додекаэдр, триакисоктаэдр, тетракисгексаэдр, дельтоидальный икоситетраэдр, гексакис октаэдр, ромбический триаконтаэдр, триакисикосаэдр, пентакисдодекаэдр, Пятиугольные Icositetrahedron, дельтоидальный гексеконтаэдр, гексакис Икосаэдр, Пятиугольный гексеконтаэдр Твердые тела Джонсона: Пирамиды, купола, ротонда, удлиненные пирамиды, гиро-удлиненные пирамиды, бипирамиды, удлиненные бипирамиды, гиро-удлиненный квадратный дипирамида, гиробифастигеноид, дисхептагидрон Sphenocorona, Disphenocingulum Другие многогранники: Кубоид, квадратный столб, треугольная пирамида, квадратная пирамида, правильная пирамида, пирамида, правильная пирамида, конус, правильная бипирамида, бипирамида, бифрустум, клин-пирамида, клин-пирамида, клин-пирамида Полутетраэдр, ромбоэдр, параллелепипед, правильная призма, призма, наклонная призма, антикуб, антипризма, призматоид, трапецоэдр, дисфеноид, угол, общий тетраэдр, клин-кубоид, полукубоид, скошенный кубоид, слиток, скошенная трехгранная призма , Усеченный кубоид, кубоид с тупыми краями, удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый кубоид, полый кубоид, полая пирамида, полый ствол, звездная пирамида, звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр 9, большой додекаэдр 9, большой додекаэдр 9 Круглые формы: Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, отрезной цилиндр, наклонный цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр, обобщенный Цилиндр, конус, усеченный конус, косой круговой конус, эллиптический конус, биконус, усеченный биконус, заостренный столб, закругленный конус, капля, сфероид, эллипсоид, полуэллипсоид, сферический сектор, сферическая крышка, сферический сегмент, сферический центральный сегмент, двойной калотт , Сферический клин, полуцилиндр, диагонально разрезанный пополам цилиндр, цилиндрический клин, цилиндрический сектор, цилиндрический сегмент, цилиндр с плоским концом, полуконус, конический сектор, конический клин, сферическая оболочка, полусферическая оболочка, цилиндрическая оболочка, цилиндрическая оболочка с вырезом, наклонная цилиндрическая оболочка , Полый конус, усеченный полый конус, сферическое кольцо, тор, шпиндельный тор, тороид, сектор тора, сектор тороида, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, усеченный антиконус, сферический цилиндр, линза, вогнутый Линза, ствол, форма яйца, параболоид, гиперболоид, олоид, твердые тела Штейнмеца, твердое тело вращения 4D Тессеракт, Гиперсфера

Anzeige Расчеты на равнобедренной трапеции (или равнобедренной трапеции).Это трапеция с двумя противоположными ногами равной длины. Введите длину трех сторон, выберите количество десятичных знаков и нажмите «Рассчитать». Углы рассчитываются и отображаются в градусах, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Формулы: d = √ a * b + c² h = 1/2 * √ 4c² — (a — b) ² m = (a + b) / 2 r c = c * √ (a * b + c²) / (4c² — (a — b) ²) g = (a — b) / 2 p = a + b + 2 * c A = 1/4 * √ (a + b) ² * (a — b + 2c) * (b — a + 2c) = m * h α = arccos ((g² + c² — h²) / (2 * g * c)) β = 180 ° — α Длина стороны, диагональ, высота, радиус и периметр имеют одинаковые единицы измерения (например,г. метр), площадь имеет квадрат (например, квадратный метр). Anzeige Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности. Серединный перпендикуляр к двум параллельным сторонам является осью симметрии равнобедренной трапеции. серединный перпендикуляр и описанная окружность Anzeige Поделиться: © Jumk.de Webprojects Anzeige

площадь равнобедренной трапеции

Бесплатный калькулятор сторон и углов равнобедренной трапеции — шаг за шагом рассчитайте стороны и углы равнобедренной трапеции. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования.Вопрос 1: У трапеции ножки длиной 8 см каждая. Площадь = 6 м + 4 м 2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м2.
Результат. Где, a, b и c — стороны трапеции.

Найдите высоту равнобедренной трапеции, если задано 1. Трапеция — это двухмерная форма, которая попадает в категорию четырехугольников. Медиана равнобедренной трапеции — это отрезок линии, образованный, когда мы соединяем середину одной ноги с серединой другой ноги равнобедренной трапеции. Вышеупомянутая основная формула площади имеет четыре переменных (площадь, два основания и высоту).Формула равнобедренной трапеции. Формула равнобедренной трапеции. Формула для определения площади трапеции: A = ½ (b 1 + b 2) h, где b 1 и b 2 — длины оснований, а h — высота. Периметр и площадь равнобедренные… Калькуляторы »Математика» Площадь »Трапеция. Площадь трапеции. Диагональ, угол между диагоналями и основанием или средняя линия 4. Теперь похоже, что площадь трапеции должна быть между этими двумя числами. Основание трапеции — 10 см, верх — 5 см. Расчеты на равнобедренной трапеции (или равнобедренной трапеции).Из теоремы Пифагора (1) так. Введите длину трех сторон, выберите количество десятичных знаков и нажмите «Рассчитать». Калькулятор равнобедренных трапеций. Трапеция. Это трапеция с двумя противоположными ногами равной длины. Углы рассчитываются и отображаются в … Каких будет равных сторонах … Каковы различные свойства трапеции? Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Рассмотрим площадь следующей трапеции.

Поделиться. Есть два популярных типа трапеции: одна — равнобедренная, а другая — прямоугольная.Здесь S обозначает площадь, r обозначает радиус кругов, вписанных в равнобедренную трапецию, и ª = 2. Точно так же, если вы вводите площадь и две длины основания, будет вычислена высота, необходимая для получения этой площади. Диагональ, угол между диагоналями и основаниями или средней линией 4. Формула площади равнобедренной трапеции составляет. Площадь будет рассчитана. Пример: два основания трапеции — 6 м и 4 м, а высота — 3 м.
Земля — ​​равнобедренная трапеция Рассчитайте содержание и периметр строительного участка в форме равнобедренной трапеции с основаниями 120 м, 95 м и высотой 50 м.Чтобы вычислить площадь трапеции, разделите ее на прямоугольник и два треугольника, как показано ниже. Узнайте о трапеции, площади трапеции и ее свойствах. Четырехугольник — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон, а непараллельные стороны равны по длине. Где, a и b — параллельные стороны трапеции.

Калькулятор угла равнобедренной трапеции

основание b и плечо a. Как найти недостающие углы в равнобедренном треугольнике только с одного угла.Введите длины двух параллельных сторон a и c, а также основания b или наклонной стороны d. Выберите количество десятичных знаков и нажмите Рассчитать. Геометрия — это раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. Наш калькулятор решит геометрические задачи за несколько секунд. Калькулятор трапеций. … Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Что вы можете сделать о величине углов основания равнобедренной трапеции? Введите три длины стороны и один угол между двумя из этих сторон.Выберите количество десятичных знаков и нажмите Рассчитать. Пожалуйста, попробуйте позже. Комментарий / запрос Сработал как шарм, спасибо! Выберите количество десятичных знаков и нажмите Рассчитать. Равнобедренный треугольник — это частный случай треугольника, в котором 2 стороны, a и c, равны, а 2 угла, A и C, равны. Когда проблема имеет решение, выходными данными являются: углы A, B, C и D, высота h, площадь и длина диагоналей AC и BD трапеции. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.Пожалуйста, введите углы в градусах, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Как рассчитать внутренние углы равнобедренных трапеций. Трапеция (или трапеция) — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой углы основания равны так. (a + b) ² * (a — b + 2c) * (b — a + 2c). Углы рассчитываются и отображаются в градусах, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Правая трапеция — это трапеция с двумя прямыми углами. Площадь трапеции равна (1) (2) (3) Геометрический центр тяжести лежит на середине между основанием и верхом, и если нижний левый угол трапеции находится в оригинале, лежит в (4) (5) (6) (ср.Для использования калькулятора необходимо включить JavaScript. Трапеция (или трапеция) — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Расчеты на равнобедренной трапеции (или равнобедренной трапеции). У равнобедренной трапеции обе ноги равной длины. Рассчитать равнобедренный треугольник, например, по его площади и периметру, не проблема. Задача 2 $$ \ angle ABC = 130 $$, какой еще угол… Бесплатный калькулятор сторон и углов равнобедренного треугольника — вычисление сторон, углов равнобедренного треугольника. треугольник шаг за шагом. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство.AC = BD Углы нижнего основания равны. Трапеция — это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Бесплатный калькулятор трапеций — шаг за шагом рассчитайте площадь, периметр, диагонали, стороны и углы трапеций. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы вы могли получить наилучшие впечатления. ∠ B = ∠ C Уголки, прикрепленные к той же опоре, являются дополнительными. На рисунке выше изображена равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции две параллельные линии или стороны называются основаниями, а две непараллельные стороны (кроме оснований) называются ногами.В этом видео объясняется, как рассчитать углы равнобедренной трапеции. Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (на самом деле есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительным углом базового угла у другого базового угла). Бесплатный калькулятор сторон и углов равнобедренной трапеции — Пошаговый расчет сторон и углов равнобедренной трапеции. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования. Это трапеция с двумя смежными прямыми углами.Калькулятор сторон и углов равнобедренных трапеций — Symbolab. Это трапеция с двумя противоположными ногами равной длины. Это трапеция с двумя противоположными ногами равной длины. Формула для расчета площади трапеции, если задана 1. все стороны 2. стороны и угол 3. радиус вписанной окружности 4. диагонали и угол между ними 5. основания Найдите площадь равнобедренной трапеции — онлайн-калькулятор. Стороны также совпадают . Узнайте площадь равнобедренного треугольника, его периметр, внутренний радиус, окружной радиус, высоту и углы — все в одном месте.метр), площадь имеет квадрат этой единицы (например, углы, высота h, площадь и диагонали трапеции рассчитываются с учетом ее 4 сторон. Базовые углы равнобедренной трапеции равны друг другу: 20x + 9 = 14x + 15. и поделитесь с друзьями … Площадь Объем Периметр Сторона Высота Диагональный радиус Медиана Биссектриса Теоремы об угле Площадь. Если вы знаете, что угол BAD равен 44 °, какова мера $$ \ angle ADC $$? Введите углы в градусов, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Мужской или женский? Задача 1.Калькулятор трапеций. Покажи ответ. четыре внутренних угла, в сумме 360 градусов. Углы основания равнобедренной трапеции совпадают. Вот онлайн-калькулятор «Ноги равнобедренной трапеции», который помогает рассчитать длину ноги равнобедренной трапеции с использованием заданных значений периметра, основания 1 и основания 2. По крайней мере, вы знаете, что углы лежат в… Введите длину трех сторон, выберите количество десятичных знаков и нажмите «Рассчитать». Ключевые используемые идеи: * Базовые углы равнобедренной трапеции совпадают.Калькулятор равнобедренных трапеций — это бесплатный онлайн-инструмент, который отображает площадь равнобедренной трапеции. Это мало что говорит о четырехугольнике, поэтому проводить расчеты довольно сложно. Углы в трапеции дополняют друг друга. Этот калькулятор вычисляет любой равнобедренный треугольник, заданный двумя его свойствами. Рассчитайте радиус описанной окружности равнобедренной трапеции, если заданы стороны и диагональ (R): радиус описанной окружности равнобедренной трапеции: = Цифра 2 1 2 4 6 10 F Площадь равнобедренной трапеции можно найти другим способом , если известен угол в основании и радиус вписанной окружности.Необходимые углы для треугольного окна для создания переходников для установки штор. Расчеты на трапеции. Свойство № 1) Углы на одной стороне опоры называются смежными углами и являются дополнительными () Свойство № 2) Площадь трапеции = $$ Площадь = высота \ cdot \ left (\ frac {\ text {sum base} } {2} \ right) $$ () Свойство № 3) Трапеции имеют средний сегмент, который соединяет мипоинты ног () В этом видео объясняется, как рассчитать углы равнобедренной трапеции. Площадь равнобедренной трапеции можно найти другим способом, если известны угол при основании и радиус вписанной окружности.Равнобедренный треугольник Вычислите площадь равнобедренного треугольника, основание которого составляет 16 см, а руки — 10 см. Геометрия. Равнобедренная трапеция с длиной основания 8 и 10 см имеет периметр около 25 см. Длина стороны меньшего треугольника 2,4 см. Углы рассчитываются и отображаются в градусах, здесь вы можете конвертировать угловые единицы. Следовательно, базовые углы составляют 20 + 9 или 29 градусов. Углы основания равнобедренной трапеции совпадают. В этом калькуляторе для обозначения неизвестных угловых величин используются греческие символы α (альфа) и β (бета).2) .Чтобы рассчитать диагональ равнобедренной трапеции, вам нужны Сторона A (a), Сторона B (b) и Сторона C (c). С помощью нашего инструмента вам необходимо ввести соответствующее значение для Стороны A, Стороны B и Стороны C и нажмите кнопку «Рассчитать». Подписывайтесь на нас. Непараллельные стороны называются сторонами или ногами, в то время как две параллельные стороны называются основаниями, одна короткая, а другая длинная. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Ключевые используемые идеи: * Базовые углы равнобедренной трапеции совпадают. Калькулятор равнобедренного треугольника — лучший выбор, если вы ищете быстрое решение ваших геометрических задач.Введите три длины стороны и один угол между двумя из этих сторон. Калькулятор сторон и углов трапеции Пошаговый расчет сторон, углов равнобедренной трапеции Формула Зная основания и высоту Их углы также обычно обозначаются с использованием заглавной буквы, соответствующей длине стороны: угол A для стороны a, угол B для стороны b и угла C (для прямоугольного треугольника это будет 90 °) для стороны c, как показано ниже. Измерьте базовые углы с помощью измерительного инструмента, а затем манипулируйте апплетом, чтобы получить различные равнобедренные трапеции.Свойства. Следовательно, чтобы рассчитать угол k, вычтите 29 из 180: 180 — 29 = 151 градус. Формулы углов, высоты и площади были найдены в Решении трапеции с учетом ее основания и ножек. Бесплатный калькулятор сторон и углов равнобедренной трапеции — шаг за шагом рассчитайте стороны и углы равнобедренной трапеции. В наших расчетах для прямоугольного треугольника мы учитываем только 2 известные стороны, чтобы вычислить остальные 7 неизвестных. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если длины ее оснований составляют 16 см и 30 см, а диагонали перпендикулярны друг другу.2. Онлайн-калькулятор равнобедренной трапеции BYJU выполняет вычисления быстрее и отображает результат за доли секунды. Серединный перпендикуляр к двум параллельным сторонам является осью симметрии равнобедренной трапеции. Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией) имеет два смежных прямых угла. ∠ A + ∠ C = 180 ° ∠ B + ∠ D = 180 ° Расчеты на правой трапеции (или правой трапеции). Расчеты на равнобедренной трапеции (или равнобедренной трапеции). Чрезвычайно полезно для правильного определения расстояния между каждым шестиугольником.Калькулятор правой трапеции. Если соотношение сторон равнобедренного треугольника равно 7: 6: 7, найдите угол основания с точностью до ближайшего градуса. 6х = 6. Геометрия — расчет медианы. Площадь равнобедренной трапеции Формулы и калькулятор Площадь равнобедренной трапеции можно рассчитать по следующей формуле: если вы знаете длину большего основания, длину меньшего основания и высоту. ПРИМЕЧАНИЕ: b должно быть меньше d. Калькулятор равнобедренного треугольника — лучший выбор, если вы ищете быстрое решение ваших геометрических задач.Мы также можем подумать: «Какой угол нам нужно добавить к 70 ° и 70 °, чтобы получить 180 °?» Ответ — 40 °. Ключевые используемые идеи: * Базовые углы равнобедренной трапеции совпадают. Углы основания равнобедренной трапеции совпадают. Углы в равнобедренном треугольнике складываются в 180 °. … Отправка завершения. Серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности. 3. Коэффициент подобия. Коэффициент подобия двух равносторонних треугольников равен 3,5 (т.е. 7: 2). Длина сторон, диагональ, высота, радиус и периметр имеют одинаковые единицы измерения (например,г. Равнобедренный треугольник. Вычислите периметр равнобедренного треугольника с длиной руки 73 см и длиной основания 48 см. С помощью этого калькулятора центроидов мы даем вам руку помощи в поиске центроидов многих 2D-форм, а также набора точек. Эта функция сейчас недоступна. Чрезвычайно полезно для правильного определения расстояния между каждым шестиугольником. = 3,5 см, вычислитель радиуса окружности, вычислителя общей площади правого кругового цилиндра, вычислителя площади боковой поверхности усадки конуса, вычислителя высоты усадки правого кругового конуса.калькулятор трапеции, калькулятор правой трапеции, калькулятор высоты трапеции, калькулятор трапеции по периметру. Как использовать калькулятор трапеции. Введите 4 стороны трапеции a, b, c и d в порядке положительных вещественных чисел и нажмите «вычислить», где b — короткое основание, а d — длинное основание (d> b). Чтобы усовершенствовать этот «Калькулятор равнобедренного треугольника», заполните, пожалуйста, анкету. Равнобедренные трапеции — это четырехугольник, у которого две непараллельные стороны равны, а две параллельные стороны не равны. 2-0.2). Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Расчеты на трапеции. В этом видео объясняется, как рассчитать углы равнобедренной трапеции. Длина ноги = (периметр — база1 — база2) / 2 Расчет высоты и угла перевернутой v-дипольной низкополосной антенны [8] 24.10.2020 00:34 Мужчина / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень / Цель использования Используется в генераторе игровых карт, который использует шаблоны тесселяции шестиугольника. Наш калькулятор позволяет рассчитать все параметры равнобедренного треугольника, если ввести два его параметра, т.е.г. Расчет высоты и угла инвертированной v-дипольной низкополосной антенны [8] 2020/10/24 00:34 Мужчина / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень / Цель использования Используется в генераторе игровых карт, который использует образцы тесселяции шестиугольника. 180 ° — 140 ° = 40 °. Недостающий угол на вершине этого равнобедренного треугольника составляет 40 °.