У 2 sin x: Построение графика функции y = 2sin x в программе GeoGebra

Содержание

Построение графика функции y = 2sin x в программе GeoGebra

Мастер-класс «Построение графика функции y = 2sin x в программе GeoGebra»

Онищук Елена Маратовна,
учитель математики, 
заместитель директора по воспитательной работе
МОБУ Новобурейской СОШ №1
п.Новобурейский,
Бурейский район, Амурская область
2017 год
 
                                        Построение графика функции y = 2sin x в программе GeoGebra
 
Цель: обучить последовательному действию построения графика функции y = 2sin x в программе  GeoGebra.
Задачи:
— сформировать умение строить графики тригонометрических функций;
— научить устанавливать по обси абсцисс шаг п/2.
 

Очень часто в работе учителя математики приходится работать с наглядным изображением графиков различных функций. Наиболее быстро и эффективно построить графики, например тригонометрических функций, можно используя программу GeoGebra.  Предлагаю мастер-класс «Построение графика функции y = 2sin x  в программе GeoGebra».


Предполагаемый продукт:
   
 
Нужно отметить, что меняя коэффициенты и используя этот же алгоритм, вы легко сможете построить графики других тригонометрических функций.
 
Шаг 1
Перед непосредственным построением графика функции проведем предварительную работу. В блоке ПОЛОТНО нажмем на ПАНЕЛЬ НАСТРОЙКИ СТИЛЯ
   
и выберем стиль СЕТКА.
 
Основное тело полотна примет вид:
   
Шаг 2
Установим по оси абсцисс шаг  п/2. Для этого наведем курсор на любую точку оси абсцисс и нажмем на правую кнопку мыши. На экране появится панель, где нужно нажать на последнюю строчку ПОЛОТНО.
 
  На экране появится следующее окно:
 
 Шаг 3
Во вкладках этого окна нужно нажать на вкладку ОСЬ АБСЦИСС. Окно примет вот такой вид:
   
Ставим флажок на строке ШАГ и из выпавших вариантов выбираем нужный нам шаг,
 
после чего просто закрываем все окно, нажав на окошечко ЗАКРЫТЬ.

Полотно приняло вид:
 

 
Шаг 4
В строке ВВОД запишем формулу, задающую нужную тригонометрическую функцию (без пробелов).
В нашем случае y = 2sin x .
   
В сетке полотна сразу отобразится график указанной функции.
   
Удачи вам!
 
Комментарии

Комментарии отсутствуют

Чтобы оставить комментарий, пожалуйста, зарегистрируйтесь и авторизируйтесь на сайте.

2 sin график

Вы искали 2 sin график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и sin 2 график, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 sin график».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 sin график,sin 2 график,sin 2x график,y 2 sin x,y 2sin x,график 2 sin,график sin 2,график sin2x,построить график функции y sin2x,синус 2 х график,синус х 2 график. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 sin график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, sin 2x график).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 sin график Онлайн?

Решить задачу 2 sin график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher. ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

решить уравнение sin 7x/2 sin x/2 + cos 7x/2 cos x/2 = cos23x

Записи с меткой «решить уравнение sin 7x/2 sin x/2 + cos 7x/2 cos x/2 = cos23x»

Пример 1.

а) Решить уравнение cos4x+cos2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

Решение.

а) Решаем уравнение cos4x+cos2x=0.

Применим формулу               

Tогда данное уравнение примет вид: 2cos3x⋅cosx=0. Отсюда следует, что либо cos3x=0 либо cosx=0.

  • Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, отсюда х=π/6+πn/3, где nϵZ.
  • Если cosx=0, то х=π/2+πn, где nϵZ.

Заметим, что решения уравнения cosx=0 входят в решения уравнения cos3x=0, поэтому общим решением данного уравнения будут числа x=π/6+πn/3, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].

Рассмотрим общее решение x=π/6+πn/3, где nϵZ на единичной окружности. Здесь значение πn/3 означает, что нужно брать n раз угол π/3. Отмечаем угол π/6, а затем углы, полученные поворотом угла π/6 на π/3, полученный таким образом угол π/2 опять повернём на π/3, получится угол 5π/6, затем угол 5π/6+ π/3=7π/6, следующий угол

7π/6+ π/3=9π/6=3π/2, и, наконец, 3π/2+ π/3=11π/6. Смотрите рисунок 1.

         

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [-π; π/3]. Смотрим рисунок 2. Получились числа -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Ответ: а) π/6+πn/3, где nϵZ; б) -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.

Пример 2.

а) Решить уравнение cos4x-sin2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].

Решение.

а) Применим формулу 1-cos2α=2sin2α; тогда данное уравнение примет вид:

1-2sin22x-sin2x=0; 2sin22x+sin2x-1=0. Сделаем замену: sin2x=t.

Получаем равенство: 2t2+t-1=0.

У нас a-b+c=0, поэтому по методу коэффициентов t1=-1, t2=1/2.

  • При sin2x=-1 получаем 2х=-π/2+2πn, отсюда х=-π/4+πn, где nϵZ.
  • При sin2x=1/2 получаем 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn, где nϵZ.

Тогда х=π/12+πn и х=5π/12+πn, где nϵZ.

Рассмотрим решения 2х=-π/2+2πn, 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn на единичной окружности. Возьмём значения 2х при n=0. Углы -π/2, π/6 и 5π/6 отличаются друг от друга на значение 2π/3. Тогда общим решением будут являться числа

2х=π/6+(2π/3)n, отсюда общим решением данного уравнения будут

значения  х=π/12+(π/3)n, где nϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]. Для этого в общее решение х=π/12+(π/3)n, где nϵZ будем подставлять такие целые значения nϵZ,

чтобы хϵ[0; π].

Возьмём n=0, тогда х=π/12 ϵ[0; π].

При n=1 получим х= π/12+π/3= π/12+4π/12=5π/12 ϵ[0; π].

При n=2 получим х= π/12+2π/3= π/12+8π/12=9π/12=3π/4 ϵ[0; π].

При n=3 получим х= π/12+π, и это значение не входит в заданный отрезок [0; π].

Ответ: а) π/12+(π/3)n, где nϵZ; б) π/12, 5π/12, 3π/4.

Пример 3.

а) Решить уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

Решение.

а) Применим формулу cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ; тогда данное уравнение примет вид:

cos3x=cos23x; cos23x-cos3x=0;  cos3x(cos3x-1)=0;

cos3x=0 или cos3x-1=0.

  • Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, тогда х= π/6+(π/3)n, где nϵZ.
  • Если cos3x-1=0, то cos3x=1, тогда 3х=2πm, тогда х=(2π/3)m, где mϵZ.

Общие решения данного уравнения: х=π/6+(π/3)n, где nϵZ и х=(2π/3)m, где mϵZ.

б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].

Мы получили значения 3х=π/2+πn и 3х=2πm. Отметим их на единичной окружности, сделав замену 3х=t. Смотрите рисунок 3.

     

Необходимо выполнение условие хϵ[π; 3π/2]. Отсюда следует, что 3хϵ[3π; 9π/2].

Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [3π; 9π/2]. Смотрим рисунок 4. Получились числа 7π/2; 4π; 9π/2. Так как это значения 3х, то делим каждое из них на 3. Получим: 7π/6; 4π/3; 3π/2.

Ответ: а) π/6+(π/3)n, где nϵZ; (2π/3)m, где mϵZ.

б) 7π/6; 4π/3; 3π/2.

РАЗНИЦА МЕЖДУ SIN 2X И 2 SIN X | СРАВНИТЕ РАЗНИЦУ МЕЖДУ ПОХОЖИМИ ТЕРМИНАМИ — НАУКА

Грех 2x против 2 Греха x  Функции — это один из важнейших классов математических объектов, которые широко используются почти во всех областях математики. Синусоидальная функция, обозначаемая как ж(Ик

Грех 2x против 2 Греха x
 

Функции — это один из важнейших классов математических объектов, которые широко используются почти во всех областях математики. Синусоидальная функция, обозначаемая как ж(Икс) = грех Икс — тригонометрическая функция, определенная из множества действительных чисел на интервале [-1, 1] и периодическая с периодом 2ᴫ.

Основное определение синуса острого угла выполняется с помощью прямоугольного треугольника. Синус угла равен отношению длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы. Это определение можно распространить на все углы, используя тождества sin (-Икс) = — грех Икс и грех (ᴫ + Икс

) = — грех Икс и грех (2пᴫ + Икс) = грех Икс.

В следующих двух разделах рассмотрим ж(Икс) = грех Икс и грамм(Икс) = 2Икс.

Что такое грех 2х?

Рассмотрим составную функцию f o g данный f o g (Икс) = ж (грамм(Икс)) = ж(2Икс) = грех 2Икс. Эта функция очень похожа на sin Икс с доменом как набор действительных чисел и диапазоном как интервал [-1, 1]. Эта функция периодическая с периодом (в отличие от периода 2ᴫ функции sin Икс). Грех 2Икс может быть расширен тождеством Sin 2Икс = 2 греха Икспотому чтоИкс слишком.

Что такое 2 Sin x?

Рассмотрим составную функцию g o f данный g o f (Икс

) = грамм (ж(Икс)) = грамм (грех Икс) = 2 греха Икс. Это также периодическая функция с тем же периодом, что и sin Икс, но в два раза больше его амплитуды, поскольку -1 ≤ sin Икс ≤ 1 означает -2 ≤ 2 греха Икс ≤ 2. Его доменом является набор действительных чисел, а диапазон — интервал [-2, 2]

В чем разница между Sin 2x и 2 Sin x?

• Sin 2x определяется из набора действительных чисел на интервале [-1, 1], тогда как 2Sin x определяется из набора действительных чисел на интервале [-2, 2].

• Sin 2x периодичен с периодом, но 2 Sin x периодичен с периодом 2ᴫ.

Расчет

— Нахождение области $ y = \ tan x $ и $ y = 2 \ sin x $

Edit: Полностью переписан, чтобы исправить неправильное прочтение исходной проблемы.

Вы знаете, что графики $ y = \ tan x $ и $ y = 2 \ sin x $ пересекаются при $ x = 0 $. Где еще они пересекаются? Вам нужно решить $$ 2 \ sin x = \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} \;, $$ или $$ 2 \ sin x \ cos x = \ sin x \;. $$ One решением является $ \ sin x = 0 $, что в интервале от $ — \ pi / 3 $ до $ \ pi / 3 $ означает, что $ x = 0 $; мы уже знали об этом. Если $ \ sin x \ ne 0 $, мы можем разделить на него, чтобы найти, что $ 2 \ cos x = 1 $ или $ \ cos x = 1/2 $.Это происходит в $ x = \ pi / 3 $ и $ x = — \ pi / 3 $, поэтому кривые фактически пересекаются в концах вашего интервала, а также в середине.

Итак, кто где наверху? Если внимательно посмотреть на графики с помощью графического калькулятора, вы, вероятно, узнаете, но этот инструмент вам не нужен. Просто посмотрите, что происходит в $ x = \ frac {\ pi} 4 $: $ 2 \ sin \ frac {\ pi} 4 = \ sqrt2 $ и $ \ tan \ frac {\ pi} 4 = 1 $, так что $ x = \ frac {\ pi} 4 $, кривая $ y = 2 \ sin x $ находится над кривой $ y = \ tan x $. Мы знаем, что кривые не пересекаются между $ x = 0 $ и $ x = \ frac {\ pi} 3 $, поэтому кривая $ y = 2 \ sin x $ должна быть выше $ y = \ tan x $ кривая на всем интервале от $ x = 0 $ до $ x = \ frac {\ pi} 3 $.Это означает, что длина вертикальной полосы в некотором $ x $ между $ 0 $ и $ \ frac {\ pi} 3 $ равна верхней $ y $ -координате минус нижняя $ y $ -координата, или $ 2 \ sin x- \ tan х $.

Для $ — \ pi / 3 \ le x \ le 0 $ вы можете заметить, что полосы теперь идут от низкого значения $ y $, равного $ 2 \ sin x $, до высокого значения $ y $, равного $ \ tan x. $ и, следовательно, имеют длину $ \ tan x-2 \ sin x $, или вы можете использовать свое наблюдение, что функции нечетные, чтобы сказать, что левая область должна быть равна правой области. В любом случае, ваш окончательный результат — это просто сумма левой и правой областей.{\ pi / 3} \\ & = — 2 \ cos \ frac {\ pi} 3 — (- 2 \ cos 0) + \ ln \ left | \ cos \ frac {\ pi} 3 \ right | — \ ln | \ cos 0 | \\ & = — 1 — (- 2) + \ ln \ frac12- \ ln 1 \\ & = 1 + \ ln \ frac12 + 0 \\ & = 1 + (\ ln 1- \ ln 2) \\ & = 1- \ ln 2 \ ;. \ end {align *} $$

Это площадь правой половины, поэтому по симметрии общая площадь вдвое больше, или $ 2-2 \ ln 2 $.

Найдите частное решение для y ‘= 2sin (x), учитывая общее решение y = C — 2cos (x) и начальное условие y (pi / 3) = 1.

Бобби П.

спросил • 04.07.19

Найдите частное решение для y ‘= 2sin (x), учитывая общее решение y = C — 2cos (x) и начальное условие y (pi / 3) = 1.

A. -2cos (x)

B. 3 — 2cos (x)

C. 2 — 2cos (x)

D. -1 — 2cos (x)

Более

Ваш ответ: C.

с y = -2cos (x) + c и y (pi / 3) = -2cos (pi / 3) + c = 1 или -2 (1/2) + c = 1, поэтому C = 2

Тогда у (х) = 2 — 2cos (х)

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн.Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

1.

Графики y = a sin x и y = a cos x

М. Борна

(a) Синусоидальная кривая

y = a sin t

Мы видим синусоидальные кривые во многих естественных явлениях, таких как волны на воде. Когда волны имеют больше энергии, они поднимаются и опускаются более энергично. Мы говорим, что они имеют большую амплитуду .

Исследуем форму кривой y = a sin t и посмотрите, что означает понятие « амплитуда ».

Поиграйте со следующим интерактивом.

Синусоидальная кривая Интерактивный

Вы можете изменить радиус окружности (который изменяет амплитуду синусоидальной кривой) с помощью ползунка.

Масштаб по горизонтальной оси t (и по окружности) составляет радиан . Помните, что π радиан — это `180 °`, поэтому на графике значение «pi = 3,14» на оси t представляет «180 °», а «2pi = 6,28» эквивалентно «360 °».

Остановка

t = θ = 0

y = 70 sin (0) = 0

Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0

Вы заметили?

  • Форма синусоидальной кривой образует регулярный узор (кривая повторяется после того, как колесо совершит один оборот). Мы говорим, что такие кривые периодические . Период — это время, необходимое для прохождения одного полного цикла.
  • В интерактивном режиме, когда радиус круга составлял «50» единиц, кривая увеличивалась до «50» единиц и снижалась до «-50» по оси y . Эта величина синусоиды называется амплитудой графика. Это показывает, сколько энергии участвует в отображаемой величине. Более высокая амплитуда означает большую энергию.
  • Угол поворота в радианах совпадает со временем (в секундах). Подробнее о радианах. Все графики в этой главе относятся к углам в радианах.Радианы гораздо более полезны в инженерии и науке, чем ученые степени.
  • Когда угол находится в первом и втором квадрантах, синус положительный, а когда угол находится в 3-м и 4-м квадрантах, синус отрицательный.

[Источники: приведенная выше анимация в общих чертах основана на демонстрационном графике HumbleSoftware.]

Амплитуда

« a » в выражении y = a грех x представляет собой амплитуду графика.Это показатель того, сколько энергии содержит волна.

Амплитуда — это расстояние от положения «покоя» (также известного как среднее значение или среднее значение ) кривой. В интерактивном режиме выше амплитуда может быть изменена от «10» до «100» единиц.

Амплитуда всегда равна положительной величине . Мы могли бы написать это, используя знаки абсолютного значения. Для кривой y = a sin x ,

амплитуда `= | a |`

График синуса

x — с разной амплитудой

Начнем с y = sin x .

Он имеет амплитуду `= 1` и период ` = 2pi`.

График `y = sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Теперь посмотрим на график y = 5 sin x .

На этот раз амплитуда = 5, а период = 2 π . (Я использовал другой масштаб для оси y .)

График `y = 5sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

А теперь для y = 10 sin x .

Амплитуда = 10 и период = 2 π .

График `y = 10sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Для сравнения, используя ту же шкалу осей y , вот графики

p ( x ) = sin x ,
q ( x ) = 5 sin x и
r ( x ) = 10 sin x

на одном комплекте осей.

Обратите внимание, что графики имеют тот же период (который равен «2pi»), но разные амплитуда .

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

(б) График косинуса

x — с разной амплитудой

Теперь посмотрим, как выглядит график y = a cos x . На этот раз угол отсчитывается от положительной вертикальной оси.

Косинусная кривая Интерактивный

Подобно синусоидальному интерактиву вверху страницы, вы можете изменить амплитуду с помощью ползунка.

Нажмите «Пуск», чтобы увидеть анимацию[email protected]) `.

Значение функции косинуса положительно в первом и четвертом квадрантах (помните, что на этой диаграмме мы измеряем угол от вертикальной оси) и отрицательно во 2-м и 3-м квадрантах.

Теперь посмотрим на график простейшей косинусной кривой, y = cos x (= 1 cos x ).

График `y = cos (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Отметим, что амплитуда `= 1` и период ` = 2π`.

Аналогично тому, что мы сделали с y = sin x выше, теперь мы видим графики

  • p ( x ) = cos х
  • q ( x ) = 5 cos х
  • r ( x) = 10 cos х

на одном комплекте осей, для сравнения:

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Примечание. Для косинусоидальной кривой, как и для синусоидальной кривой, период каждого графика одинаков («2pi»), но амплитуда изменилась.

Упражнения

Нарисуйте один цикл следующего без , используя таблица значений! (Важно знать форму из этих графики — не то, чтобы можно было соединять точки!)

Каждый имеет период «2 пи». Мы узнаем больше о периоде в следующем разделе Графики y = a sin bx.

В примерах в качестве независимой переменной используется t . В электронике переменная чаще всего составляет t .

1) i = sin t

Ответ

i = sin t

Мы видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем i для тока и t для времени.Это очень распространенные переменные в тригонометрии.

График `i = sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

2) v = cos t

Ответ

v = cos t

Мы снова видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем v для напряжения и t для времени.

График `v = cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

3) и = 3 грех т

Ответ

i = 3 sin t

График `i = 3sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 3`

4) E = −4 cos т

Ответ

E = −4 cos t

Переменная E используется для «электродвижущей силы», другого термина для обозначения напряжения.

График `E = -4cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 4`

Обратите внимание, что:

  • Отрицательный знак перед косинусом приводит к переворачиванию кривой косинуса «вверх ногами». То есть это зеркальное отображение по горизонтальной оси t .
  • Амплитуда — положительное число (это расстояние)

Графики функции синуса и косинуса

График изменения y = sin (x) и y = cos (x)

Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.

x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π
sin (x) 0

[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс]

[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]

[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]

1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex] 0

Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.

Рисунок 2. Синусоидальная функция

Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π
cos (x) 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]

0

[латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex]

[латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] -1

Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

Рисунок 4. Функция косинуса

Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьшее такое горизонтальное смещение с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

Рисунок 5

Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].

Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса

Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

  • Это периодические функции с периодом 2π.
  • Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
  • График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
  • График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

Исследование синусоидальных функций

Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы посмотрим на океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:

y = A sin ( Bx C ) + D

и

y = A cos ( Bx C ) + D

Определение периода синусоидальной функции

Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, что мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π, и график сжимается. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.

Рисунок 8

Общее примечание: период синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы

Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].

Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса

Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].

В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

[латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуйте 1

Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].

Решение

Определение амплитуды

Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут на расстоянии | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды

f ( x ) = 2 sin x .

Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравниваются несколько синусоидальных функций с разными амплитудами.

Рисунок 9

Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях общего вида функций синуса и косинуса, мы получим формы

[латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]

Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |. Кроме того, обратите внимание на пример, что

[латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]

Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Решение

Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).

В данной функции A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.

Анализ решения

Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

Попробовать 2

Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

Решение

Анализ графиков вариаций

y = sin x и y = cos x

Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общую форму:

[латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

или

[латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].

Рисунок 11

В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .

Рисунок 13

Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг фазы , а D — сдвиг по вертикали .

Пример 3: Определение фазового сдвига функции

Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].

Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1 и [latex] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

[латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.

Анализ решения

Обязательно обратите внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

Попробовать 3

Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]

Попробовать 4

Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

Решение

Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

  1. Определите амплитуду как | A |.
  2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
  3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
  4. Определите среднюю линию как y = D.

Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].

В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

Анализ решения

Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3. См. Рисунок 14.

Рисунок 14

Попробовать 5

Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].

Решение

Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите формулу для функции косинуса на рисунке 15.

Рисунок 15

Решение

[латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]

Попробовать 6

Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

Рисунок 16

Решение

Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

Рисунок 17

Решение

При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2.

Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.

Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим

[латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]

Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

  • косинус, смещенный вправо
  • отрицательный косинус, сдвинутый влево
  • синус, сдвинутый влево
  • отрицательный синус смещен вправо

Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Таким образом, наша функция становится

[латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]

Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

Попробовать 7

Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

Рисунок 18

Решение

Графические вариации

y = sin x и y = cos x

В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

[латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.

  1. Определите амплитуду, | A |.
  2. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
  3. Начните с начала координат, функция увеличивается вправо, если значение A, положительно, или уменьшается, если значение A, отрицательно.
  4. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
  5. Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
  6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
  7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].

Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].

Решение

Начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

| A | = 2

Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен

[латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график опускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат.

Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.

Четверть точки включают минимум при x = 1 и максимум при x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицы. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

Рисунок 19

Попробовать 8

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Как сделать: для заданной синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

  1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
  2. Определите амплитуду, | A |.
  3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
  4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
  5. Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .

Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].

Решение

Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начиная со средней линии и увеличиваясь вправо.

Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.

[латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]

Период 8.

Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен

[латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

Фазовый сдвиг — 1 ед.

Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

Рис. 20. Горизонтально сжатая, вертикально растянутая и горизонтально смещенная синусоида

Попробовать 9

Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

Решение

Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

Учитывая [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

Решение

Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

[латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]

Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.

Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Сдвиг фазы равен -2.

Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.

Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .

На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

Рисунок 21

Использование преобразований функций синуса и косинуса

Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .

Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

Решение

Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [латекс] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [латекс] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает растяжение значений y функции в 3 раза по вертикали, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

Рисунок 22

Анализ решения

Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоиды равна 3.

Попробовать 10

Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

Решение

Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

Рисунок 23

Решение

Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

Рисунок 24

Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что

[латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

Попробуй 11

К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .

Рисунок 25

Решение

Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

Решение

При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться по форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

  • Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
  • Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
  • Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
  • Форма: −cos ( t )

Уравнение для роста всадника будет

[латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]

, где t измеряется в минутах, а y измеряется в метрах.

Ключевые уравнения

Синусоидальные функции [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс]
[латекс] f (x) = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс]
  • Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
  • Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
  • График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
  • В общей формуле для синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
  • Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
  • Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
  • Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
  • Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
  • Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
  • Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
  • Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

Глоссарий

амплитуда
вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции
средняя линия
горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции
периодическая функция
функция f ( x ), которая удовлетворяет [латекс] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x
сдвиг фазы
горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]
синусоидальная функция
любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

Упражнения по разделу

1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].

3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?

4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]

7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латекс]

8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]

9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]

10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]

11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]

12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]

14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]

16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]

17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]

Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x для одного периода для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.

18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]

21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]

23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию для графика, показанного на рисунке 26.

Рисунок 26

24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

Рисунок 27

25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.

Рисунок 28

26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.

Рисунок 29

27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

Рисунок 30

28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.

Рисунок 31

29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.

Рисунок 32

30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 33.

Рисунок 33

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .

34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а) при каком значении (ах) x ?

35. На [0,2π) минимальное значение функции встречается (-а) при каком (-ых) значении (-ях) x ?

36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .

Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

41. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.

43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?

44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.

46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.

47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( t ).
г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?

Справка по математике

Справка по математике

Пределы для функции с двумя независимыми переменными

Найдите предел, если он существует.

Пример: lim [(x 2 sin 2 y) / (x 2 + 2y 2 )]

(х, у) → (0,0)

Сначала оцените предел по y = 0.

lim [0 / 2x 2 ] = 0 для произвольного x

(х, у) → (х, 0)

Следующая оценка по x = 0.

для y ≠ 0 lim [0 / 2y 2 ] = 0 для произвольного y

(0, у) → (0, у)

Похоже, что предел может быть равен нулю. Но у нас только проверил направления.

Попробуй сжать Теорема для оценки предела.

0 ≤ (x 2 sin 2 y) / (х 2 + 2y 2 ) ≤ sin 2 y

с sin y 0 ≤ 1 и x 2 / (x 2 + 2y 2 ) ≤ 1

Сейчас лим грех 2 у = 0

г → 0

Так сжатием теорема: 0 ≤ (x 2 sin 2 y) / (x 2 + 2y 2 ) ≤ 0

И поэтому lim [(x 2 sin 2 y) / (x 2 + 2y 2 )] = 0 (результат)

(х, у) → (0,0)

Авторские права © Ричард С., 2017.Коддингтон

Все права защищены.

Синусоидальный график

10.1 Практика — построение графика синуса и косинуса Имя: _____ Предварительное вычисление Для 1–3 определите амплитуду, период, частоту и вертикальный сдвиг каждой функции.

Исследуйте математику с помощью нашего красивого бесплатного графического калькулятора. Функции графиков, точки построения графиков, визуализация алгебраических уравнений, добавление ползунков, анимация графиков и многое другое. В настоящее время я работаю над этой «штукой», где мне сказали создать 4 типа графиков.y = x2 y = x3 y = x * sin (x) y = x * cos (10 * x) Теперь в основном у меня готов графический интерфейс / интерфейс. Кажется, у меня проблема с привязкой кнопки y = x * sin (x) в классе PlottingWindow к PlottingPanel, где она должна …

У функции Sine есть эта красивая кривая вверх-вниз (которая повторяется каждые 2 π радианы, или 360 °). Он начинается с 0, увеличивается до 1 на π / 2 радиан (90 °), а затем падает до -1.

Задачи синусоидального моделирования. Предположим, вы находитесь на пляже в Порт-Аранзасе, штат Техас.В 14:00. 19 марта начался прилив (т. е. наибольшая глубина воды). В это время вы обнаружите, что глубина воды в конце пирса составляет 1,5 метра. В 20:00. в тот же день, когда закончился прилив, вы обнаружите, что глубина воды составляет 1,1 … Функция синуса Важный словарь Функция косинуса y = asinbθ Амплитуда: половина разницы между максимальным и минимальным значениями графика y = a cos bθ Цикл: Один полный узор на графике b = 2 π период Период: Сколько времени требуется для завершения цикла до того, как узор повторится. Период = 2 π b Пример 1: Нарисуйте один цикл из…

Второе уравнение было определено с использованием функции синусоидальной регрессии в графической утилите. Сравните амплитуды, периоды, фазовые сдвиги и вертикальные сдвиги этих двух синусоидальных функций. Отвечать. 1. (а) Амплитуда равна \ (2,5 \). Период равен \ (\ dfrac {2 \ pi} {3} \).

График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция. В общей формуле для синусоидальной функции период равен (см. Рисунок). В общей формуле для синусоидальной функции представляет собой амплитуду.Интерпретируйте график синусоидальной функции, моделирующей ситуацию, и объясните рассуждения. | 8.6. Решите, используя технологию, контекстную проблему, которая включает данные, которые лучше всего представлены графиками синусоидальных функций, и объясните рассуждения. НАВЕРХ: Данные моделирования с помощью синусоидальных функций КЛЮЧ: синусоидальные функции | экстраполировать 11.

Таким образом, мы переместили график косинуса на / 2 (90 °) вправо, и в результате получился график синусоидальной функции. Это показывает, что выполняется следующее правило: sin x = cos (x — / 2) Верно следующее общее правило: графики триггерных функций могут быть переведены вправо путем вычитания постоянного значения из переменной x.

График синуса называется периодическим из-за этого повторяющегося шаблона. Он симметричен относительно начала координат (таким образом, говоря математикой, это странная функция). Синусоидальная функция имеет 180-градусную симметрию относительно начала координат. Если посмотреть на него в перевернутом виде, график выглядит точно так же. Однако официальное математическое определение нечетной функции — f (–x) = –f (x) для каждого значения x в домене. График синуса называется периодическим из-за этого повторяющегося паттерна. Он симметричен относительно начала координат (таким образом, говоря математикой, это странная функция).Синусоидальная функция имеет 180-градусную симметрию относительно начала координат. Если посмотреть на него в перевернутом виде, график выглядит точно так же. Однако официальное математическое определение нечетной функции — f (–x) = –f (x) для каждого значения x в домене.

Следующие шесть учеников попросят учеников изобразить два периода функции синуса или косинуса, заданной уравнением. Я не включил никаких преобразований как с горизонтальным переносом, так и с горизонтальным расширением. Этот тип проблемы можно использовать как дополнительную, если вы хотите продолжить этот урок.

Кривая выше представляет собой график синусоидальной функции. Он проходит через точки {eq} (- 4,0) {/ eq} и {eq} (2,0) {/ eq}. Найдите синусоидальную функцию, соответствующую заданному графику. Уравнения перерисованы, и хотя график y = x 2 выглядит красиво, трудно увидеть график синусоидальной волны. Функция ZoomFit иногда может работать очень хорошо, но не всегда может читать ваши мысли. Мы хотим поближе взглянуть на нашу синусоиду, поэтому давайте вернемся и попробуем другую функцию масштабирования, ZoomTrig.

Вертикальный сдвиг синусоидальной диаграммы

Пример 1) Напишите синусоидальное уравнение, которое будет иметь фазовый сдвиг £, амплитуду 3, вертикальный сдвиг 2 и период £. Чтобы отобразить это в калькуляторе, нам нужно установить соответствующее окно. ps vs Sin — это Cos Помните, что домен для одного периода равен [0,27tl, но мы сжали период на Y ‘. Затем мы сместили период на «Вертикальный сдвиг» — насколько функция сдвинута по вертикали от обычного положения. Все вместе сейчас! Мы можем объединить их все в одно уравнение: вертикальный сдвиг — D.А вот как это выглядит на графике

график y = | a | • ƒ (x) горизонтальным и вертикальным перемещением и отражением, когда a отрицательно. Это также относится к функциям синуса, косинуса и тангенса. Построение графика вертикального переноса y = º2 + 3 sin 4x. РЕШЕНИЕ Поскольку график является преобразованием графика y = 3sin4x, амплитуда равна 3, а период равен 2 4 π = π 2, график y = | a | • ƒ (x) горизонтальным и вертикальным перемещением и отражением, когда a отрицательно. Это также относится к функциям синуса, косинуса и тангенса.Построение графика вертикального переноса y = º2 + 3 sin 4x. РЕШЕНИЕ Поскольку график представляет собой преобразование графика y = 3sin4x, амплитуда равна 3, а период равен 2 4 π = π 2

Вертикальный сдвиг — это то, насколько функция сдвинута по вертикали (вверх и вниз) от обычного место. Тригонометрическая функция записывается в следующей форме: Y = A sin (B (x + C)) + D Амплитуда записывается как A. Вертикальный сдвиг: (O Amp: Период: Amp: Период: Il.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск