Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

На прошлом уроке мы рассмотрели основные свойства функции  и сейчас используем их при решении задач.

Подробно рассмотрим поведение функции на промежутке и отметим основные точки (рис. 1).

Теперь те же точки поместим в числовую окружность на отрезке  (рис. 2).

Отметим некоторые особенности функции

 при

1) Монотонное возрастание функции от  до

2) Функция пробегает все свои возможные значения,

Рассмотрим несколько задач, при решении которых очень важное значение имеет монотонность функции.

Задача 1.

a) Найти наибольшее значение функции

 на отрезке

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на правом конце отрезка,   (рис. 3).

b) Найти наименьшее значение функции  на отрезке

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном отрезке, значит, наименьшее значение принимает на его левом конце,  

 (рис. 3).

Ответ: a) 1;  b)

Задача 2. Если аргумент меняется в заданных пределах, то найдите, в каких пределах меняется функция . Найти наименьшее и наибольшее значение функции.

a) 

Решение:

Функция  монотонно возрастает на  отрезке

 значит,

 (рис. 4).

Ответ:

b) 

Решение:

На заданном промежутке функция немонотонна (рис. 5).

На графике мы видим, что функция меняется в пределах

Ответ:

Задача 3. Найти количество решений уравнения

 на промежутке

Решение:

На заданном промежутке функция монотонна, значит, каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента (рис. 1). Поэтому уравнение на данном отрезке имеет единственное решение.

Важнейшая особенность функции  на отрезке  монотонность функции. Поэтому и прямая и обратная задачи тут имеют одно решение.

1. Прямая задача – заданному значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Например:

2. Обратная задача – заданное значение монотонной функции достигается только при одном значении аргумента.

Например: Если

Если

Если

Задача 4. Построить график функции

Решение:

Построим график функции

 В силу периодичности достаточно будет рассмотреть график на участке

Для получения искомого графика кривую  необходимо сдвинуть на  вправо по оси x (рис. 6).

Вспомним общее правило: Кривая  получается сдвигом кривой

 на  вправо по оси x.

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение (рис. 7).

Ответ:

Задача 6. Найти пределы изменения функции  на отрезке

Решение (рис. 8).

Ответ:

Задача 7. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнения имеют хотя бы одно решение.

a) 

b)  

Решение:

a) Решим задачу графическим способом.

Построим график функции  на участке Для этого необходимо построить график функции  отобразить его симметрично относительно оси x и сдвинуть на 1 вверх по оси y (рис. 9).

Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, график должен пересекаться прямой  хотя бы в одной точке.

Ответ:

b) Построим график функции  (рис. 10).

Ответ:

Задача 8. Найти число решений уравнения

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций

interneturok.ru

Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Напишите пожалуйста подробное решение производной sinx/x

Да легко! y ‘ =((sin x) ‘ *x-(x) ‘ *sin x)/x^2=(x*cosx-1*sinx)/x^2=(x*cosx-sinx)/x^2 Использованы формулы: производная частного: (u/v) ‘ =(u’ * v — v ‘ *u)/ v ^2 табличные производные: (sinx) ‘ =cosx (x) ‘ =1 Ну или вот так, после алгебраических преобразований, хотя они дела не меняют: y ‘ =(cosx)/х -(sinx)/x^2

Держи.. . sin(x)/x — это произведение двух функций, sin(x) и 1/x. Получаем: (sin(x))’ *(1/x) + sin(x)*(1/x)’= cos(x)/x-sin(x)(1/x^2)= (x*cos(x)-sin(x))/x^2

Уважаемый «спрашивател», функцию sin(x)/x можно представить в форме sin(x)*1/x и тогда мы имеем дело с произведением двух сложных функций. И «Да легко» здесь не проходит. Если мы имеем произведение двух сложных функций, мы используем формулу (uv)`=uv`+u`v. Согласно этой формулы ваш ответ -sin(x)/x^2 не верный (я не знаю где вы его взяли) . Верный ответ здесь будет : (cos(x)/x)-(sin(x)/x^2). Хотите-верьте, хотите-нет.

touch.otvet.mail.ru

Функция y = sin x, её свойства и график. 10-й класс

Тип урока: урок введения нового знания.

Педагогическая технология: проблемное обучение.

Формируемые результаты:

• Предметные: формировать умение строить график функции у = sin x, читать график и применять свойства при решении задач.
• Личностные: умение применять решение, применять независимость суждений.
• Метапредметные: формировать умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.

Планируемые результаты: обучающиеся научатся применять свойства функции у = sin x и читать график.

Основные понятия: синусоида, свойства функции у = sin x.

Оборудование: ПК, проектор, Microsoft PowerPoint, презентация «Функция y = sin x, её свойства и график», таблица «Тригонометр».

Ход урока

1. Организационный момент

2. Целеполагание

— «Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.», писал Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862, российский математик, механик). Как вы понимаете эти слова? (Слайд 1)

— Перед вами 4 графика. (Слайд 2)

— Как можно одним словом объединить эти графики? (функции)

— Опишите свойства графиков, представленных на слайде?

— Какие из предложенных графиков функций вам известны?

— Сформулируйте тему урока.

Тема урока: «Функция y = sin x, её свойства и график» (Слайд 3)

— Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже знаем, и чему должны или можем научиться? (учитель вместе с обучающимися формирует цели, записывает их на доске).

— Познакомимся с историей возникновения слова синус (Слайд 4)

Синус (история имени)

Синус (sin) — название тригонометрической функции, появившееся благодаря удивительной цепочке искажений во время переводов математических трактатов. Древние индийские математики называли функцию «полу-тетивой», а затем просто «тетивой» — «джива», так как при геометрическом построении изображение напоминало лук. Арабские математики при знакомстве с трудами индийских коллег не стали переводить слово «джива» на арабский, а просто записали его по буквам. В процессе адаптации, устного использования и пр. оно превратилось в арабское выражение «джайб», которое можно перевести как пазуха, складка, карман, впадина. Когда, в свою очередь, арабские математические трактаты попали к европейским математикам, те перевели джайб на латинский, благо под рукой как раз было изящное слово, обозначающее складку или пазуху на римской тоге — слово sinus. Родственную функцию назвали complementi sinus, дополнительный синус. Позже утвердилось современное сокращение: sin и cos.

3. Планирование работы

— Составим план работы (перечень свойств, которые будут исследоваться).

Обучающиеся записывают план исследования синуса в тетрадях.

План

1. Область определения
2. Область значения
3. Нули функции
4. Промежутки возрастания, убывания функции
5. Промежутки знакопостоянства
6. Четность функции
7. Монотонность функции
8. Наименьшее и наибольшее значение функции

— Какую функцию называют периодической?

— Что такое период?

— Какое число является главным периодом функции  у = sin x?

4. Восприятие, осмысление, первичное закрепление

— Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция у = sin t возрастает на отрезке  и убывает на отрезке ).

— Запишем функцию у = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.

Изучение нового материала (презентация, слайды 5-6).

Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. (Слайды 7–10)

1) D(y) = 

2) E (y) = 

3) функция ограничена и сверху, и снизу

4) унаиб = 1, унаим = -1

5) непрерывная функция

6) нечетная функция
7) возрастает на ; убывает на 

— Стихотворение (отрывок)

И линия эта волною качается,
И синусом график ее называется,
И через период она повторяется,
В периоде трижды она обнуляется,
Она полпериода вверх поднимается,
Придет в единицу и вниз опускается,
И так вдоль абсциссы все время болтается.
В системе, которую создал Декарт.

5. Применение знаний и способов при решении задач

— Постройте график функции (самостоятельно с проверкой, слайды 11-14):

а) у = sin x + 2

б) у = sin x — 1

в) у = sin 

г) у = sin 

—  Решите графически уравнение sin x =  (проверка слайд 15).

6. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях

№  21.5 (1), 21.9 (1)

7. Рефлексия

— Предлагаю оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы?

— Оцените свою работу на уроке. Закончите предложение. (Слайд 17)

Урок –

• заставил задуматься…
• навёл меня на размышления…
• Что нового вы узнали на уроке?
• Что вы считаете нужным запомнить?
• Над чем ещё надо поработать?

Домашняя работа

1. п. 21 (учить свойства функции у = sin x)
2. учебник № 21.6 (1)
3. Построить график функции у = sin (x — )

— Спасибо за урок

Использованные материалы и ресурсы

1. Мерзляк А.Г., и др. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) 10 кл. – М.: «Вентана-Граф», 2017.
2. Мерзляк А.Г., и др. Дидактические материалы к учебнику Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) – М.: «Вентана-Граф», 2017.
3. http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php

urok.1sept.ru

sinx = x

В простейших тригонометрических уравнениях вида sin x = x принято использовать разные переменные для аргумента функции и значения, которому эта функция равна.
Будем использовать следующий вид для таких уравнений:

   

Если , то корнем уравнения будет .
Чтобы убедиться, что решение правильное, подставим его в уравнение:

   

У данного уравнение есть еще одно решение:

   

Проверим так ли это — подставим в исходное уравнение:

   

Используем формулу приведения для синуса:

   

Но корень является единственным для уравнения только на промежутке от до , а корень — на промежутке от до .
Известно, что синус — функция периодическая и имеет период , поэтому корни уравнения будут повторяться через каждые .
Запишем общие решения уравнения:

   

   

Чаще всего используют еще более общую форму:
, z может быть любым целым числом.
В таком случае при нечетном значении z получится корень , а при четном — корень .
Решать уравнения с помощью этой формулы очень просто.

Пример.
Решить .

Решение.
Применим выше рассмотренную формулу:

   

   

Ответ. , z — целое.

ru.solverbook.com

sin(x+y)*sin(x)*sin(y) если y=1/4 (упростите выражение)

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + y \right )} \sin{\left (y \right )}$$

Подстановка условия

[LaTeX]

(sin(x + y)*sin(x))*sin(y) при y = 1/4

(sin(x + y)*sin(x))*sin(y)

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + y \right )} \sin{\left (y \right )}$$

(sin(x + (1/4))*sin(x))*sin((1/4))

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left ((1/4) + x \right )} \sin{\left ((1/4) \right )}$$

(sin(x + 1/4)*sin(x))*sin(1/4)

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{1}{4} \right )} \sin{\left (\frac{1}{4} \right )}$$

sin(1/4)*sin(x)*sin(1/4 + x)

$$\sin{\left (\frac{1}{4} \right )} \sin{\left (x \right )} \sin{\left (x + \frac{1}{4} \right )}$$

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Рациональный знаменатель

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Объединение рациональных выражений

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Общее упрощение

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Собрать выражение

[LaTeX]

  sin(2*x + 2*y)   sin(2*x)   sin(2*y)
- -------------- + -------- + --------
        4             4          4    

$$\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{4} \sin{\left (2 y \right )} — \frac{1}{4} \sin{\left (2 x + 2 y \right )}$$

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Общий знаменатель

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Тригонометрическая часть

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Комбинаторика

[LaTeX]

$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )} \sin{\left (x + y \right )}$$

Раскрыть выражение

[LaTeX]

(cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x))*sin(x)*sin(y)

$$\left(\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} + \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru