Дроби
Дроби это тема об которую спотыкается половина жителей нашей планеты. Если спросить у людей с какой темы у них начались проблемы с математикой, то большинство из них ответят — с дробей.
Этих людей нельзя упрекнуть. Дроби действительно тема не из простых. Тема дробей требует много терпения и внимания, особенно если человек изучает её впервые.
Но есть и хорошие новости. Если вы наберётесь терпения и освоите дроби, то уверяем, что дальнейшее изучение математики станет для вас простым и интересным.
А если вы ещё хорошо изучили предыдущий урок, который назывался деление, то можете быть уверены, что дроби вы освоили уже наполовину.
Что такое дробь?Если говорить простым языком, то дробь это часть чего-либо. Это «чего-либо» может быть чем угодно — едой, деньгами, числом. В народе дробь называют долей. Само слово «дробь» тоже говорит за себя — дробь означает дробление, деление, разделение.
Рассмотрим пример из жизни.
Посмотрите на этот рисунок. Представьте, что это наша пицца, разделённая на четыре куска. Каждый кусок пиццы это и есть дробь, потому что каждый кусок по отдельности это часть пиццы.
Допустим мы съели один кусок. Как его записать? Очень просто. Сначала рисуется маленькая линия:
Внизу этой линии записывается на сколько кусков пицца была разделена. Пицца была разделена на четыре куска. Значит внизу линии записывается четвёрка:
А сверху этой линии записывается сколько кусков пиццы было съедено. Съеден был один кусок, значит сверху записываем единицу:
Такие записи называют дробями. Дробь состоит из числителя и знаменателя.
Число, которое записывается сверху, называется числителем дроби
.Число, которое записывается снизу, называется знаменателем дроби.
В нашем примере числитель дроби это единица, а знаменатель дроби — четвёрка. Эту дробь можно прочитать так: «одна четвёртая» либо «один кусок из четырёх» либо «одна четвёртая доля» либо «четверть» — всё это синонимы.
Теперь представьте, что мы съели ещё один кусок той же самой пиццы, которая была разделена на четыре куска. Как записать такую дробь?
Очень просто. Сверху записываем 2 (поскольку уже съедено два куска), а внизу записываем 4 (поскольку всего кусков было 4):
Эта дробь читается так: «две четвёртых» либо «два куска из четырёх» либо «две четвёртые доли».
Теперь представьте, что пиццу мы разделили не на четыре части, а на три.
Допустим мы съели один кусок этой пиццы. Как записать такую дробь?
Очень просто. Опять же рисуется маленькая линия. Внизу этой линии записывается число 3, поскольку пицца разделена на три части, а сверху этой линии записывается число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «Одна третья» либо «Один кусок из трёх» либо «Одна третья доля» либо «Треть».
Если мы съедим два куска пиццы, то такая дробь будет называться «две третьих» и записываться следующим образом:
Теперь представьте, что пиццу мы разделили на две части, или как говорят в народе: «Пополам»:
Допустим, из этих двух кусков мы съели один кусок. Как записать такую дробь?
Опять же рисуем линию. Внизу этой линии записываем число 2, поскольку пицца разделена на две части, а вверху записываем число 1, поскольку съеден один кусок:
Эта дробь читается так: «одна вторая» либо «один кусок из двух» либо «одна вторая доля» либо «половина».
Дроби, которые мы сейчас рассмотрели, называют обыкновенными.
Вообще, дроби бывают двух видов: обыкновенные и десятичные. На данный момент мы рассматриваем обыкновенные дроби. Обыкновенная дробь это дробь, которая состоит из числителя и знаменателя.
Десятичные дроби рассмотрим немного позже.
Знаменатель дроби — это число, которое показывает на сколько равных частей можно что-либо разделить. Вернёмся к нашей пицце. Поровну эта пицца может быть разделена и на 2 части и на 3, и на 4, и на 5, и на 6. В зависимости от того, на сколько частей мы будем делить пиццу, знаменатель будет меняться.
На следующем рисунке представлены три пиццы, которые разделены по разному. У первой пиццы знаменателем будет 2. У второй пиццы знаменателем будет 3. У третьей пиццы знаменателем будет 4.
Числитель же показывает сколько частей взято от чего-либо. К примеру, если разделить пиццу на две части, как на первом рисунке, и взять одну часть для трапезы, то получится что мы взяли (одну часть из двух), или как говорят в народе «половину» пиццы.
С помощью переменных дробь можно записать так:
где a — это числитель, b — знаменатель.
Следующая вещь, которую важно знать это то, что обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, следующие дроби являются правильными:
Почему такие дроби называют правильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Ведь будет логичнее, если эта часть будет меньше того, откуда эта часть была взята. Например, если пицца разделена на четыре части, и мы возьмём ( одну четвёртую), то наш кусок будет меньше, чем все четыре куска вместе взятые (чем одна целая пицца). Поэтому такие дроби называют правильными.
С неправильной дробью всё с точностью наоборот. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными:
Видно, что у этих дробей числитель больше знаменателя. Почему же такие дроби называют неправильными? Вспомним, что дробь это часть чего-либо. Знаменатель показывает на сколько частей это чего-либо разделено. А числитель показывает сколько этого чего-либо взяли.
Теперь возьмём к примеру неправильную дробь и применим её к нашей пицце.
В знаменателе стоит 2, значит пицца разделена на две части, а в числителе стоит 9. Получается, что взято девять кусков из двух. Но как можно взять девять кусков, если их всего два? Ответ — никак. Поэтому такие дроби называют неправильными.
Дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, тоже называют неправильной. Например:
Вообще, такие дроби даже не должны называться дробями. И вот почему. Рассмотрим к примеру дробь . Применим её к нашей пицце.
Допустим, мы хотим съестьпиццы. В знаменателе стоит число 2, значит пицца разделена на две части. И в числителе стоит 2, значит взято две части. По сути, взята вся целая пицца, и если мы съедим этупиццы, то съедим не часть пиццы, а всю пиццу целиком. Иными словами, съедим не дробь, а целую часть пиццы. Поэтому дробь, у которой числитель и знаменатель одинаковые, называют неправильной.
Дробь означает деление
Черта в дроби, которая отделяет числитель от знаменателя, означает деление.
Например, рассмотрим дробь . Дробная черта говорит, что четвёрку можно разделить на двойку. Мы знаем, что четыре разделить на два будет два. Ставим знак равенства (=) и записываем ответ:
Можно сделать вывод, что любое деление чисел можно записать с помощью дробей. Например:
Это простейшие примеры. Видно, что у них отсутствует остаток. С остатком немного сложнее, зато интереснее. Поговорим об этом в следующей теме, которая называется «выделение целой части дроби».
Выделение целой части дроби
Вычислим дробь . Пять разделить на два будет два и один в остатке:
5 : 2 = 2 (1 в остатке)
Проверка: (2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5
Но сейчас мы имеем дело с дробями, значит и отвечать надо в дробном виде. Чтобы хорошо понять, как это делается, рассмотрим пример из жизни.
Представьте, что у вас есть 5 яблок и вы решили поделиться ими со своим другом.
Очевидно, что каждому из вас достанется по два яблока, а оставшееся одно яблоко вы разрежете ножом пополам и тоже разделите между собой:
Посмотрите внимательно на этот рисунок. На нём показано, как пять яблок разделены между вами и вашим другом. Очевидно, что каждому досталось по два целых яблока и по половинке яблока.
Теперь возвращаемся к дроби и отвечаем на её вопрос. Сколько будет пять разделить на два? Смотрим на наш рисунок и отвечаем: если пять яблок разделить на двоих, то каждому достанется два целых яблока и половинка яблока. Так и записываем:
Схематически это выглядит так:
Процедуру, которую мы сейчас провели, называют выделением целой части дроби.
В нашем примере мы выделили целую часть дроби и получили новую дробь . Такую дробь называют смешанной. Смешанная дробь — это дробь, у которой есть целая часть и дробная.
В нашем примере целая часть это 2, а дробная часть это
Обязательно запомните эти понятия! А лучше запишите в свою рабочую тетрадь.
Выделить целую часть можно только у неправильных дробей. Напомним, что неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Например, следующие дроби являются неправильными, и у них выделена целая часть:
Чтобы выделить целую часть, достаточно знать, как делить числа уголком. Например, выделим целую часть у дроби . Записываем уголком данное выражение и решаем:
После того, как решение примера завершается, новую дробь собирают подобно детскому конструктору. Важно понимать, что куда относить. Частное относят к целой части, остаток относят в числитель дробной части, делитель относят в знаменатель дробной части.
В принципе, если вы хорошо знаете таблицу умножения, и можете быстро в уме выполнять элементарные вычисления, то можно обойтись без записей уголком. В школах кстати, именно этого и требуют — чтобы учащиеся не тратили время на простые операции, а сразу записывали ответы.
Но если вы только начинаете изучать математику, советуем записывать каждую мелочь.
Рассмотрим ещё один пример на выделение целой части. Пусть требуется выделить целую часть дроби
Записываем уголком данное выражение и решаем. Потом собираем смешанную дробь:
Получили:
Перевод смешанного числа в неправильную дробь
Любое смешанное число получается в результате выделения целой части в неправильной дроби. Например, рассмотрим неправильную дробь . Если выделить в ней целую часть, то получается
Но возможен и обратный процесс — любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части и полученный результат прибавить к числителю дробной части. Полученный результат будет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.
Например, переведём смешанное число в неправильную дробь. Умножаем целую часть 2 на знаменатель дробной части:
2 × 3 = 6
Затем к 6 прибавляем числитель дробной части:
6 + 1 = 7
Полученная семёрка будет числителем новой дроби, а знаменатель 3 останется без изменений:
Подробное решение выглядит так:
А с помощью переменных перевод смешанного числа в неправильную дробь можно записать так:
Пример 2.
Перевести смешанное число в неправильную дробь.
Умножаем целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части и прибавляем к числителю дробной части, а знаменатель оставляем без изменений:
Основное свойство дроби
Основное свойство дроби говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Это означает, что значение дроби не изменится.
Например, рассмотрим дробь . Умножим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (один кусок из двух), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры.
Различие лишь в том, что разделаны они по-разному. Первая пицца была разделана на два куска, и с неё взяли один кусок. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь испытаем основное свойство дроби, разделив числитель и знаменатель на одно и то же число.
Рассмотрим дробь . Давайте разделим её числитель и знаменатель на одно и то же число, например на число 2
Получили новую дробь . Если верить основному свойству дроби, то дроби и равны между собой. Так ли это? Давайте проверим, нарисовав эти дроби в виде кусочков пиццы:
Посмотрите внимательно на эти два рисунка. Первый рисунок иллюстрирует дробь (четыре куска из восьми), а второй иллюстрирует дробь (два куска из четырёх). Если хорошо присмотреться на эти куски, то можно убедиться, что у них одинаковые размеры. Различие лишь в том, что разделаны они по-разному.
Первая пицца была разделана на восемь кусков, и с неё взяли четыре куска. А вторая пицца была разделана на четыре куска, и с неё взяли два куска.
Поэтому между дробями и можно поставить знак равенства (=), поскольку они равны одному и тому же значению:
Теперь мы полностью проверили, как работает основное свойство дроби, и убедились, что работает оно замечательно.
Число, на которое умножается числитель и знаменатель, называется дополнительным множителем. Запомните это обязательно!
Сокращение дробей
Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь выглядит намного проще и красивее, чем дробь .
Если при решении примеров получается большая и некрасивая дробь, то нужно попытаться её сократить.
Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.
Деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель называется сокращением дроби.
Пример 1. Сократить дробь
Итак, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.
В данном случае дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД чисел 2 и 4 это число 2. Значит, числитель и знаменатель дроби надо разделить на 2
В результате дробь обратилась в более простую дробь . Значение исходной дроби при этом не изменилось, поскольку сокращение подразумевает деление числителя и знаменателя на одно и то же число. А это действие, как было указано ранее, не меняет значение дроби.
На рисунке представлены дроби и в виде кусочков пиццы. До сокращения и после сокращения они имеют одинаковые размеры. Разница лишь в том, что раздéланы они по-разному.
Пример 2. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40.
НОД чисел 20 и 40 это число 20. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 20
Пример 3. Сократим дробь
Чтобы сократить дробь , нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36.
НОД чисел 32 и 36 это число 4. Поэтому делим числитель и знаменатель дроби на 4
Если в числителе и знаменателе располагаются простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:
Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.
Второй способ сокращения дроби
Второй способ является короткой версией первого способа. Суть его заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.
К примеру, вернёмся к дроби . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4
Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция , и сразу записан ответ .
Получится следующее выражение:
Суть в том что число, на которое разделили числитель и знаменатель, хранят в уме. В нашем случае числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.
Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записываем рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:
Затем таким же образом делим знаменатель на число 4. Полученный ответ записываем рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:
Затем собираем новую дробь. В числитель отправляем новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляем новое число 9 вместо 36
Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.
Также, дроби можно сокращать, предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель.
Например, сократим дробь , предварительно разложив на простые множители числитель и знаменатель:
Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.
Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:
Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:
Дальше сокращать больше нéчего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, поскольку в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с этой тройкой.
Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.
Получили ответ . Значит, при сокращении дроби получается новая дробь .
Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на простые множители числителя и знаменателя, если человек только нáчал изучать математику.
Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.
Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решён старым способом и будет выглядеть так:
Сравните это выражение с выражением, которое мы получили, когда пользовались вторым способом:
Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 2. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 3. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 4. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 5. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 6.
Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 7. Выделите целые части в следующих дробях:
Задание 8. Переведите смешанные дроби в неправильные:
Задание 9. Переведите смешанные дроби в неправильные, не расписывая как целая часть умножается на знаменатель дробной части и полученный результат складывается с числителем дробной части
Задание 10. Сократите следующую дробь на 3
Задание 11. Сократите следующую дробь на 3 вторым способом
Задание 12. Сократите следующую дробь на 5
Задание 13. Сократите следующую дробь на 5 вторым способом
Задание 14. Сократите следующие дроби:
Задание 15. Сократите следующие дроби вторым способом:
Задание 16. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 17. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 18. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 19. Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 20.
Запишите в виде дроби следующий рисунок:
Задание 21. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 22. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 23. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 24. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 25. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 26. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 27. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 28. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Задание 29. Изобразите в виде рисунка следующую дробь:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
13 ресурсов, чтобы выучить математику
Среди разработчиков часто возникают споры о том, необходимо ли изучать математику.
Если вас мучает ее незнание, то скорее читайте нашу статью.
Одни утверждают, что знать математику совсем не нужно и что и без нее все будет прекрасно. Другие же напротив считают, что фундаментальные знания математики – основа осваивания ремесла программиста.
Как бы то ни было, некоторые области ИТ требуют определённых опыта и навыков. Например, криптография. Ее изучение будет максимально сложным и практически невозможным, если вы не имеете никакого представления о царице наук.
Теперь возникает другой вопрос: как учить то, чего не знаешь? С чего лучше начать? Пользователи toster.ru ответили на этот вопрос, а мы собрали все воедино в нашей статье.
Курсы по математике от Khan academy помогут вам изучить математику, даже если у вас нет никаких, даже базовых знаний.
Курсы по школьной программе математики.
- Наращивайте мощность постепенно. Начните с элементарных, базовых вещей. Например, научитесь оперировать простыми числами, изучите способы вычисления суммы натуральных чисел, разберитесь с тем как находятся степени чисел и прочее.
- Подберите для себя связку: теория, справочник, задачник. Теория поможет вам обрести знания, справочник – освежить информацию, найти нужную формулу, задачник поможет отработать все то, что вы уже изучили.
- Не бойтесь если что-то не ясно. Эта ситуация абсолютно естественна. Если вы не понимаете какое-то предложение, формулировку, то постарайтесь ее перечитать, разбить на части. Можно так же перейти к чему-то другому, но затем обязательно вернитесь назад. В случае, если ничего не поможет, задайте вопрос на форуме или портале подходящей тематики.
- Применяйте приобретенные знания на практике. Так уж устроен наш мозг, что некоторые вещи мы постепенно забываем. Поэтому следует закреплять определенные темы после того, как вы их прошли. Придумывайте для себя задачи, пытайтесь доказывать какие-либо теоремы самостоятельно.
- Производите вычисления самостоятельно, без помощи калькулятора. Конечно звучит немного нецелесообразно, но поверьте, вам это обязательно поможет.
- Делайте перерывы. После окончания темы, главы, раздела делайте паузу и проверяйте себя.
Как понять, что вы на верном пути? Если вы при виде задачи можете легко определить алгоритм ее решения, то все идет как надо.
Книга от одного из самых лучших преподавателей мира об основах математики. После прочтения вы начнете видеть математику не только в учебниках, но и во всем что вас окружает.
Автор, увлеченный красотой математики, погрузит вас в этот мир с головой. Самое главное, что вам это понравится и вы узнаете, что математика окружает нас абсолютно везде.
В этой книге легко и понятно рассказано как об элементарных понятиях математики, так и о важных, сложных областях науки.
Книги Владимира Левшина
Книги выдающегося математика и педагога, которые написаны в стиле «математических сказок» расскажет о математике совершено, с другой стороны.
Книги Якова Перельмана
Еще один выдающийся математик, который внес свою лепту в популяризацию точных наук.
Его работы пробудили любовь к математике ни у одного поколения.
Книги Мартина Гарднера
После прочтения книг Гарднера вы перестанете думать, что математика — это скучно.
Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства, Леонард Млодинов
Вас ожидает путешествие в тысячелетнюю историю математической мысли. Вы узнаете о том, как устроено пространство, о том, как от камешков и палочек на теплом песке люди добрались до энтропии черных дыр
Книга о величайших математических задачах, которые до сих пор терзают величайшие умы человечества.
Великий математик откроет вам дверь в мир, который позволит вам понять законы Вселенной.
Книга расскажет о том, как в математике появляются новые идеи. Большое внимание уделено анализу задач.
Эта книга прольет свет на процесс математического творчества. Расскажет о том, как появляются новые теории и гипотезы и о том, как их принимать.
Книга откроет новые миры, где музыка Баха, картины Эшера, физика математика, биология психология, нейропсихология и дзен буддизм связаны между собой.
Другие материалы для того, чтобы изучить математику
4 книги, которые разбудят в вас математика
Школьная математика, онлайн-учебник: 1 класс и старше — бесплатно
Вопросы и комментарии
21 августа, 2020 — 21:28
Алтынай
Ответить
10 декабря, 2018 — 13:33
Гость
Ответить
22 августа, 2018 — 10:43
Иштван
14 июня, 2018 — 17:30
Абу
14 июня, 2018 — 17:28
Абу
Ответить
13 июня, 2018 — 03:06
Абу
19 апреля, 2018 — 17:57
VzlomT13
Ответить
19 апреля, 2018 — 17:56
VzlomT13
15 апреля, 2018 — 17:53
людмила
Ответить
14 апреля, 2018 — 13:24
Жасур
Ответить
9 октября, 2017 — 20:26
Даниэль
10 января, 2017 — 18:50
Евгений
Ответить
9 декабря, 2016 — 19:58
Гость
Ответить
24 ноября, 2016 — 03:06
Никита
17 ноября, 2016 — 12:21
tihiro
16 ноября, 2016 — 10:29
оксана
Ответить
30 сентября, 2016 — 23:54
Гость
13 сентября, 2016 — 13:43
А Мир
Ответить
14 апреля, 2016 — 17:57
Ваня
7 февраля, 2016 — 23:15
инесса
Ответить
29 октября, 2015 — 11:29
Елена
21 июля, 2015 — 00:27
Victor
21 июля, 2015 — 15:43
Леонид Некин
21 июля, 2015 — 20:01
Victor
27 июня, 2015 — 11:02
Сафия
5 февраля, 2015 — 07:12
таня короткова.
..
Ответить
27 января, 2015 — 13:45
Дмитрий
Ответить
23 ноября, 2014 — 15:59
мари)
Ответить
9 ноября, 2014 — 10:41
Елена
Ответить
30 октября, 2014 — 12:48
йогу тимати
29 апреля, 2014 — 00:04
ggg
Ответить
8 декабря, 2013 — 23:46
Саша
17 ноября, 2013 — 14:01
лера
15 октября, 2013 — 16:58
Orla Colgan
Ответить
22 марта, 2013 — 23:03
Akella
Страницы: 1 2 > >>
Помогите решить / разобраться (М)
Подборка тем про изучение математики начинающим и не толькоFAQ:
Я хочу изучить высшую математику самостоятельно, что делать? — нагуглить учебные планы математического факультета какого-нибудь вуза.
Обычно там же лежит и набор рекомендованных учебников.
Я понимаю математику до седьмого класса включительно, хочу быть Перельманом, что мне делать? — открыть учебник для восьмого класса.
Можно ли изучать высшую математику, не зная школьной? — те области математики, где речь не идет о числах, пожалуй, да (хотя, что такое делитель, лучше узнать все-таки из школьной программы, а не из учебника теории групп). Но чтобы изучить многочисленные разделы, в которых речь идет о числах и числовых функциях (вещественный, комплексный, функциональный анализ, дифуры, интуры, теорвер и т.п.), школьную алгебру надо знать. Я оставляю за скобками вопрос, где нужно знать школьную геометрию.
topic115379.html Магистр Йода
topic115129.html Советы будущему математику .
topic102734.html Подготовка к олимпиаде по математике 8 класс
topic102015.html Чувствую себя всегда тупым.
topic101383.html Помогите выбрать ВУЗ с факультетом математики
topic101287.html Как побудить желание готовиться к олимпиадам?
topic100695.
html Разница в преподавании
topic100670.html Подготовка к аспирантуре 01.01.01
topic100029.html Сколько времени уйдёт на изучение всего школьного курса?
topic99669.html Подготовка к магистратуре не совсем по специальности бакалав
topic99276.html Летнее самообразование
topic98744.html Задачник для гуманитариев
topic96696.html Есть ли у меня шанс?
topic96245.html Как выйти на новый уровень
topic94918.html Подскажите пути изучения математики с самых азов и до …
topic92850.html Не понимаю откуда начать изучение.
topic91971.html Математика для не математика, чтобы стать математиком
topic90389.html Провал в математике.
topic89926.html Изучение математики самостоятельно
topic89306.html Не знаю с чего начать изучение математики
topic87228.html Организация самостоятельных занятий математикой.
topic87066.html Посоветуйте книги для общего курса изучения математики с нуля
topic85430.html Арифметика,затем Алгебра, после математика
topic85164.
html Здравствуйте, подскажите про элементарную математику.
topic84928.html Обучение математике
topic84252.html Самостоятельное изучение математики (алгебра-геометрия 7-11)
topic82304.html Хочу быть математиком.
topic81984.html Как стать математиком самостоятельно?
topic81502.html Изучить математику нормально (не с нуля)
topic81247.html Математик-невежда
topic80931.html Нужно ли быть математиком?
topic80920.html самообразование
topic78224.html Самостоятельное изучение высшей математики
topic76224.html Изучение математики = чтение справочника + решение задач ?
topic75102.html Нужно ли учить Математи́ческий ана́лиз?
topic75043.html Какие темы по высшей математике проходят на 1-ом курсе?
topic74937.html Самообучение, освежение знаний
topic71601.html Нужно ли повторить школьную математику чтобы выучить высшую?
topic68852.html изучение математики
topic68638.html Уровень квалифицированного математика.
topic67980.
html Помогите возобновить изучение математики
topic67131.html Самостоятельное Обучение по программе МГУ
topic63130.html Подскажите,как лучше изучать математику!!
topic56865.html Позволю себе еще один вопрос. «Начало» карьеры математика..
topic56858.html Очередное «хочу стать математиком», или вопросы недоросля.
topic54966.html Ищу проводника в мир математики
topic53804.html Курсы математики
topic53626.html С чего начать изучение математики?
topic53619.html Не понимаю математику.
topic53567.html Математический анализ: назначение, применение, использование
topic50855.html Прошу посоветовать литературу для изучения математики с нуля
topic49049.html Саморазвитие и самообучение.
topic48159.html Книги по математике для олимпиад 9-11 класс
topic47988.html Нужен задачник по математике с заданиями по всем темам.
topic46813.html Карьера математика. Стать математиком в 20 лет
topic46362.html Самостоятельное изучение математики и физики по книгам
topic40685.
html Как вы учите или учили математику?
topic39258.html Полноценное самообразование без физики
topic37316.html Как правильно думать над математическими задачами.
topic36146.html Прошу помощи в правильном освоении математики.
topic35389.html Не могу себя заставить быть математиком
topic32942.html Я тугодум, помогите ((
topic32821.html Как стать математиком самостоятельно ?
topic32691.html Мехмат МГУ
topic23337.html Выбор математической литературы
topic15364.html Как стать математиком?
topic3718.html Что надо знать абитуриенту??
Зачем нужно учить математику. Как математические знания помогают в жизни
Идея среднего школьного образования заключается в том, чтобы развить детей разносторонне, дать им комплексные знания об окружающем мире, научить мыслить и выражать свою точку зрения. Поэтому в школьную программу включены гуманитарные, точные и естественные дисциплины.
Но у каждого человека свои склонности, и, с удовольствием изучая один предмет, школьник может от души ненавидеть другой, потому что он кажется сложным. Дети часто спрашивают, для чего им нужен тот или иной предмет. Они не видят связи между изучением его в теории и применением в реальной жизни.
Зачем нужна математика и как она может пригодиться в жизни и работе
Математика — это фундаментальная наука, базовые принципы которой используются в большинстве других наук. Оперируя абстрактными понятиями, она дает возможность выстраивать математические модели любых реальных процессов, поэтому может иметь прикладной характер.
Интересно!
Великие умы прошлого считали эту науку основой образования. К примеру, гениальный ученый Ломоносов, как известно, обладавший универсальным умом, считал, что математика приводит в порядок ум, и уже только поэтому ее необходимо изучать. Английский естествоиспытатель Роджер Бэкон говорил, что, не зная математики, не только невозможно изучать другие науки, но даже и собственное невежество обнаружить нельзя.
Занятия математикой приносят много пользы:
- развивают интеллект, являясь своеобразным тренажером для мозга;
- учат анализировать, обобщать, находить закономерности;
- дают навык логических рассуждений;
- развивают навыки планирования;
- учат принимать решения;
- упорядочивают мышление.
Таким образом, для развития интеллекта и навыка комплексного мышления эта дисциплина просто необходима.
Важно!
Применение математики мы постоянно наблюдаем в повседневной жизни. Все архитектурные конструкции, мебель и бытовые приборы, которые нас окружают, просчитаны математически. Математические модели используются для расчета движения транспорта, работы торговли. Любой человек постоянно занимается планированием с привлечением математических методов: рассчитывает бюджет, планирует путешествия и расписание дня. Математика настолько вплетена в нашу жизнь, что мы ее не замечаем.
Математика лежит и в основе многих профессий:
- математик,
- архитектор,
- экономист,
- программист,
- инженер,
- проектировщик,
- логист.
Важно!
Все эти профессии — базовые, они в любые времена сохраняют актуальность.
Современная тенденция на рынках труда, особенно в развитых странах — замена рутинного человеческого труда роботами. Специальности, для которых нужно учить математику — наукоемкие, а значит, такого специалиста роботом не заменить.
Постоянно появляются новые специальности, основанные на взаимодействии нескольких дисциплин. В СНГ они не всегда доступны для освоения, так как наша образовательная система настроена, скорее, на сохранение академических традиций, чем на гибкость и передовой подход.
Другая ситуация с образованием в Германии. Здесь традиционно много математических профессий, а вузы нацелены, прежде всего, на то, чтобы их студенты получали актуальные, востребованные специальности, которые позволят им быстро трудоустроиться после учебы и успешно строить карьеру.
В немецких вузах доступны такие специальности с математикой, как: экономист-математик, юрист-экономист, экономист-химик, экономист-географ, экологический информатик, физик-экономист, урбанист, статистик и другие.
Какая из них подойдет вам — задача для карьерного ориентирования, которое, кстати, тоже использует математические методы.
Пройдите его, и получите не только ответы на интересующие вас вопросы о профессиональном самоопределении, но и конкретные сведения о том, где и как получить соответствующее образование.
Большой выбор востребованных направлений — не единственная причина, по которой нужно обратить особое внимание на немецкие университеты. Высшее образование в ФРГ бесплатное для всех студентов, включая тех, кто прибыл из-за рубежа, поступление — более простое, чем в СНГ, поскольку не требуются баллы за ЕГЭ, а документы можно подавать в неограниченное количество вузов. Заранее продумайте вместе со специалистом, как подобрать вузы с разным уровнем рейтинга, чтобы не упустить престижный вуз и подстраховаться на случай, если в него не зачислят. Наше время стоит очень дорого, и поступать лучше с первого раза.
Важно!
Полученное в немецком вузе образование обеспечит вам большие перспективы в жизни.
Вы сможете устроиться на работу в Германии, а проработав два года, получить вид на жительство.
Советуем изучить: Подбор программ обучения в немецких вузах
Для чего математика нужна гуманитариям
Часто можно услышать: «Я гуманитарий, у меня от этой вашей математики голова кругом!» На самом деле, эту фразу можно перевести так: «У меня ленивый мозг, я хочу заниматься только тем, что легко дается».
Ведь речь не идет о том, чтобы, забыв о своей природе, становиться математиком. Умение просчитывать варианты, пользоваться математическими моделями необходимо любому человеку в быту.
Учить математику необходимо даже тем, кто твердо определился с выбором гуманитарной профессии, ведь она учит размышлять, выстраивать логические цепочки, планировать, а это — ценные навыки в любой профессии.
К примеру, такие гуманитарные профессии, как юрист или филолог, только выигрывают от того, что их представители умеют логически мыслить и рационально излагать результаты своих размышлений.
Если вы — гуманитарий, но сильны в математике, вы будете на голову выше конкурентов.
Важно!
Математическое мышление — это навык, который тренируется решением математических задач. Развитие навыков доступно всем, разница лишь в том, что математически одаренный человек разовьет их лучше других.
Учить математику должны и представители творческих направлений. Например, законы гармонии пропорций и цветовых сочетаний просчитаны математически, так же как гармония музыкальных и литературных произведений. Все, кто занимается творчеством профессионально, а не на любительском уровне, знают это.
Как начать учить математику с нуля
Нуль — в данном случае, скорее, фигура речи. Любой из нас учил основы математики еще в дошкольном, а затем и в школьном возрасте. Освоение только школьной программы уже дает хороший базовый уровень.
Проблемы возникают, когда в знаниях появляется пробел. Математика — наука последовательная. Если есть пробел в основах, дальнейшее ее изучение все больше затрудняется, а учащемуся кажется, что просто он не способен учить математику.
Поэтому изучение математики в рамках школьного курса с привлечением, по необходимости, репетитора — рациональный и эффективный способ.
Для развития математического мышления также подходят интеллектуальные игры, квесты, математические головоломки.
Как выучить математику во взрослом возрасте
В детстве людям часто непонятно, для чего учить математику или какой-либо другой предмет, особенно, если он усваивается не так легко, как хотелось бы. Грамотный учитель, который умеет подать сложную информацию в игровой форме, может привить ребенку любовь к своему предмету и заинтересовать на многие годы. Но что делать, если такой не встретился, учить математику в школе не хотелось, а спустя годы появилось понимание, насколько она необходима?
Интересно!
Человеку свойственна нейропластичность, которая позволяет осваивать новые знания и навыки даже в зрелом возрасте. Научные исследования показывают, что люди старше 30–40 лет, уже имеющие опыт получения образования, демонстрируют более высокую обучаемость, чем выпускники школ.
Получить новое образование, например, в Германии — вполне реальная задача, доступная в среднем возрасте. Этот шаг может полностью изменить жизнь.
Имея базу, полученную в школе, взрослый человек может составить план по освоению математики:
- Определитесь, для чего вам нужно учить математику. Нужна теория или прикладной вариант.
- На каком уровне вы должны знать предмет для достижения ваших целей.
- Где и каким образом достигнуть этот уровень.
Для некоторых целей достаточно будет освежить в уме школьный учебник или посмотреть видеолекции, для других — позаниматься на тренажерах, а иногда и поработать с репетитором и поступить на математический факультет.
Профессии, для которых нужно учить математику — востребованные и актуальные всегда. К сожалению, не все школьники осознают важность этой науки, но, даже если школьный курс прошел мимо, нет ничего не возможного для человека, который поставил перед собой цель. Цель получить образование, цель изменить свою жизнь.
Учить математику можно и во взрослом возрасте. Это открывает широкие перспективы, например, поступление на бесплатную учебу в один из сотен немецких вузов, в которых огромное количество направлений, связанных с математикой. Сбор и отправка пакета документов в немецкий вуз — занятие, требующее поистине математической точности. Чтобы не ошибиться, доверьтесь помощи специалиста.
Математика — Бесплатные видео уроки
В разделе «Математика» собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Математика – это точная фундаментальная наука, изучающая количественные отношения и пространственные формы окружающего нас мира. Математика исторически сложилась, основываясь на операциях подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Сейчас математика объединяет целый комплекс дисциплин, таких как алгебра, геометрия, арифметика (теория чисел), математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и другие.
Математика широко используется в других науках, для точной формулировки их содержания и для получения новых результатов. Изучение математики по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики «Математика» Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по математике приложены дополнительные материалы для обучения, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!
Всего материалов: 113
Показано материалов: 1-10
Решение уравнений с модулем (8 класс), примеры
Это видео посвящено вопросу о том, как решить уравнений с модулем (8 класс). При решении уравнений, содержащих модуль, будет применяться раскрытие модуля по определению. Геометрическим смыслом модуля является расстояние от нуля до точки на координатной прямой.
А так как расстояние не может быть отрицательным, то и модуль числа всегда больше или равен нулю, т.е. модуль отрицательного числа является положительное число. Здесь будет рассмотрено несколько простых примеров уравнений с модулем. Весь…
Как найти площадь треугольника ABC (прямоугольного, с тупым углом, остроугольного), формула
В этом онлайн уроке рассказывается о том, как найти площадь треугольника ABC (прямоугольного, с тупым углом, остроугольного), формула. Начинается обучение с нахождения площади прямоугольного треугольника, т.е. треугольника, в котором один угол равен 90 градусов. Площадь в этом случае вычисляется по очень простой формуле. Она равна половина произведения длин катетов, т.е. двух сторон прилегающих к прямому углу. Справедливость данной формулы объясняется тем, что любой прямоугольный треугольник…
Сложение и вычитание обыкновенных дробей (5 класс)
Урок «Сложение и вычитание обыкновенных дробей (5 класс)» посвящен вопросу о таких операциях над дробями как сложение.
Рассмотрим, как складываются обыкновенные дроби. Для примера, попробуем сложить дроби 1/2 и 2/5. Как показывает практика, что далеко не все могут это сделать, хотя, на первый взгляд, все просто. Чтобы выполнить это действие, нужно знать элементарные правила действий над обыкновенными дробями. Распространенной ошибкой является то, что школьники начинают складывать числители с…
Что такое производная функции
Хотите узнать, что такое производная функции в математике? Ты конечно много раз слышал о производной и даже, наверное, брал эту самую производную в школе, совершенно не понимая смысла своих действий. В этом видео я не буду учить тебя формулам, а объясню смысл производной на пальцах так, чтобы даже круглому чайнику было понятно. Но сначала тебе лучше посмотреть мое предыдущее видео, где я так же доступно рассказываю о функции. В этом видеоуроке мы просто, понятно и наглядных жизненных примерах…
Четные и нечетные функции — как определить, свойства, графики, примеры
Урок «Четные и нечетные функции — как определить, свойства, графики, примеры» посвящен вопросу о том, что такое четные и нечетные функции, а также какие функции не относятся ни к одной из этих категорий. Здесь будут причислены свойства, по которым можно определить, к какой категории относится исследуемая функция. Так, например, если графиком функции является парабола, ветви которой симметричны относительно оси OY, то такая функция относится к четной. Таким образом, функция является четной…
Решение простых линейных уравнений (7 класс), примеры
Онлайн урок «Решение простых линейных уравнений (7 класс), примеры» посвящен вопросу о том, как решать уравнения. Здесь будет разобрано шесть достаточно простых примеров. Каждое уравнение будет решено с подробным объяснением процесса происходящего. Обязательно обратите внимание на последовательность действий, при решении этих примеров. Так вам будет проще понять суть способов решения и использовать полученные знания на практике. В этом видео уроке примеры подобраны таким образом, чтобы охватить…
Выделение полного квадрата — метод, решение примера
Здесь рассказывается о том, как выполняется выделение полного квадрата — метод, решение примера. Данная тема относится к элементарной математике. Квадратичная функция является многочленом второй степени. Метод, который будет изучаться на данном видео уроке, называется выделение полного квадрата. Этот метод достаточно часто используется в математике при решении уравнений, построении графиков, а также при вычислении неопределенного интеграла. Алгоритм этого метода основан на известной формуле…
Векторы (9 класс) — понятия и определения, сложение, вычитание, умножение на число
В этом онлайн уроке рассказывается о том, что такое вектор и основные действия над ними (9 класс). Здесь вы ознакомитесь с основными понятиями и определениями. А именно, понятие вектора, определение длины (модуля) вектора, какие вектора называются коллинеарными и равными. Кроме того, вы узнаете, как правильно совершать действия над векторами. Это сложение векторов по правилу треугольника и параллелограмма, вычитание векторов по правилу треугольника, умножение вектора на число. При изучении…
Классическое определение вероятности, свойства, решение задач
В этом видео рассказывается о том, что собой представляет классическое определение вероятности, свойства, решение задач. Эта тема относится к первому разделу курса по теории вероятностей, который называется Случайные события. Данная лекция будет полезна студентам, которые по тем или иным причинам пропустили свои занятия и хотят восполнить свои знания по этому предмету. Также это занятие поможет тем, кто только приступает к изучению теории вероятностей и хочет освоить этот предмет…
Решение квадратных уравнений (8 класс). Находим корни по формуле
В этом видео уроке рассказывается о том, как решить квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений обычно начинают изучать в общеобразовательной школе, 8 класс. Корни квадратного уравнения находят по специальной формуле. Пусть задано квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — неизвестное, a, b и c — коэффициенты, которые являются действительными числами. Для начала, необходимо определить дискриминант по формуле D=b2-4ac. После этого остается вычислить корни квадратного уравнения по…
Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.
Как выучить алгебру и геометрию?
Всегда школьные годы были до воли таки важным промежутком времени. Именно в этот промежуток Вы можете заполучить все необходимые знания с разных дисциплин. Особенно это касается последнего года обучения. В это время Вы начинаете активней заниматься уроками, так как на носу экзамены и поступление в университет. Но, скорее всего, одним из более сложных предметов является алгебра и геометрия.
Школьная математика, что самое интересное, не только сложная для изучения, но и увлекательная. Поэтому если Вы хотите подготовиться к математике, Вы можете либо воспользоваться услугами репетитора, либо прислушаться к нашим советам. Они будут изложены ниже.
С другой стороны знания алгебры или геометрии могут пригодиться не только школьнику (как многие думают), они так же могут пригодиться взрослому человеку. Ведь данные предметы это науки, которые могут стать в случае подсчётов и расчетов. А за долгие годы, как правило, знания способны растворяться в Вашей памяти, а что-то и вовсе забывается.
Но нужно учесть то, что не все понимают эти предметы. Почему это происходит? Это происходит из-за того, что отсутствует понимание всей сущности математических законов. Потому что, как ни крути, у некоторых людей гуманитарный склад ума.
Что поможет в изучении алгебры и геометрии
И для того что бы изучить их необходимо иметь:
- Тетрадь
- Ручку
- Карандаш
- Тёрку
- Учебники с алгебры и геометрии
- Решебники с данных предметов
- Линейки разных форм
- Калькулятор
- Энциклопедии
Но однажды Вам станет ясно то, что знания по алгебре и геометрии вы уже давным-давно пустили под откос. Как правило, понимание этого приходит в тот момент, когда это необходимо решать очень быстро. За пару дней это конечно изучить невозможно, но что бы сделать это как можно быстрее в кротчайшие сроки, Вам нужно будет усвоить то, что будет написано далее:
13 Способов лёгкого изучения:
- Изучая алгебру и геометрию, определите для себя то, чего Вы хотите достичь, изучая алгебру и геометрию. Поставьте для себя цель и чётко сформулируйте её. Так Вы будите знать, в каком направлении двигаться.
- Заведите тетрадь, в которую Вы будете записывать необходимую Вам информацию.
- Составьте план, по которому Вы будете заниматься (укажите в нём, что и когда Вы хотите выучить)
- Начать изучение с нуля (таким образ Вы сможете иметь хорошую основу).
- Овладейте всеми способами решения. Они бывают разными: от противного, от противоположного и с помощью индукции. Но Вы не сможете ими воспользоваться, если не будете их понимать.
- Находите решения заданий своим путём, а не по алгоритму (ведь каждое задание требует своего подхода и решения)
- Когда будете учить, помните, что это следует делать не торопясь. (Не нужно стараться охватить всю информацию сразу, от этого не будет особого толка, лучше занимайтесь систематично, по плану и регулярно).
- При изучении новой темы, лучше начинать с терминологии и определений. (Не следует их учить наизусть. Достаточно просто их понимать на самом простом уровне. Разобравшись с этим, запишите все правила, значения или термины в Вашу тетрадь своими словами.)
- Решайте много примеров и задач (чем больше Вы будете практиковаться, тем лучше). Для того что бы ускорить процесс изучения, выбирайте задания которые доставляют Вам сложность. Пускай у Вас не получается, пускай с ошибками, но ведь только с опытом прейдут навыки, только практика приводит эти навыки до автоматизма. Только не забывайте, что к заданиям нужно подходить осознанно, зная все термины и формулы.
- Выбирайте задания с учебников, где есть ответы (так Вы сможете проверить себя).
- Когда Вы будете решать примеры и задачи одного типа быстро и правильно, следует перейти к следующей теме. Если не получается, то выучите или разберите тему ещё раз.
- Не забывайте периодически всё повторять (вспоминайте решения заданий, повторяйте формулы, определения, теоремы и правила).
- Придумывайте свои задания с математики (изучив какую — то тему, составьте по ней свои примеры заданий)
Неоспоримая польза
И в заключении, что Вам могут дать знание алгебры и геометрии? Уверенность в себе и возможность с лёгкостью изучить другие науки. Данные дисциплины знает не каждый человек, поэтому знание того, что именно Вы знаете хоть какую- то частичку этих тяжёлых и серьёзных наук, делает Вас особенными. Поэтому не ждите, что у Вас всё получится сразу. Конечно, будут и трудности. И когда они возникнут, обратитесь к преподавателю, репетитору, родственнику или к другу, который понимает данные предметы. И не стоит опускать свои ручки при первых же неудачах. Помните, что математика — точная наука. Она развивает логику, память, внимание, требует особой собранности, рациональности в своих действиях, логики и точности. Занимаясь алгеброй или геометрией, Вы дисциплинируете и тренируете свой ум. И несмотря на то, что в современный мир на помощь человеку пришли калькуляторы и различные гаджеты, всё равно без знаний в голове не обойтись.
Математика с нуля
«Математика с нуля. Пошаговое изучение математики для начинающих» — новый проект, разработанный для людей, которые хотят изучать математику самостоятельно с нуля.
Нет простых решений, и вы не увидите здесь таких утверждений, как «Купите эту книгу и сдайте математику на пятерку» или «Освоите математику за 12 часов». Математика — довольно большая наука, которую нужно изучать последовательно и очень медленно.
На сайте представлены уроки математики, упорядоченные по принципу «от простого к сложному».Каждый урок охватывает одну или несколько математических тем. Уроки разделены на этапы. Вы начнете с темы «Числа» и продвинетесь вверх.
Каждый урок должен быть понятным.
Следовательно, если вы не понимаете один урок, вы не можете перейти к следующему, потому что каждый урок математики основан на понимании предыдущего. Если вы не понимаете урок с первого раза, не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, пытаясь понять хотя бы одну-единственную тему.Отчаяние и уныние определенно не ваш путь. Прочтите, изучите, попробуйте и попробуйте еще раз.
Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открывает учебник, чтобы учить себя. Это развивает определенную дисциплину, которая очень пригодится в будущем. Если вы будете следовать принципу «от простого к сложному», вы удивитесь, обнаружив, что математика не так уж и сложна. Возможно, вы даже найдете это интересным и увлекательным.
Что вам даст знание математики? Во-первых, уверенность.Не все знают математику, поэтому знание того, что вы знаете хотя бы часть этой серьезной науки, делает вас особенным. Во-вторых, овладев математикой, вы легко овладеете другими науками и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет освоить такие профессии, как программист, бухгалтер и экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.
В общем дерзайте, дружище!
Желаем удачи в изучении математики!
Статистика по математике
Сегодня поговорим о статистике.
Статистика — это раздел математики, который изучает сбор данных, измерения и анализирует информацию, представленную в числовой форме.
Таким образом, с помощью статистики мы можем узнать наше положение дел с финансами. В начале месяца вы можете вести дневник расходов, а в конце месяца, используя статистику, вы можете узнать, сколько денег вы тратите в среднем каждый день или сколько чаще всего тратите в этом месяце.
На основе этой информации вы можете проанализировать и сделать определенные выводы: стоит ли тратить меньше денег или нет.
Образец. Объем. Распространение.
Что такое образец? Проще говоря, это информация, которую мы выбираем для исследования. Например, мы могли бы сформировать следующую выборку — количество денег, потраченных на каждый из шести дней. Нарисуем таблицу, в которой запишем расходы за шесть дней
Выборка состоит из n элементов. Любое число может заменить переменную n. У нас есть шесть элементов, поэтому переменная n равна 6
.п = 6
Элементы выборки обозначаются переменными с индексами
Последний элемент — шестой элемент выборки, поэтому вместо n будет число 6.Обозначим элементы нашей выборки переменными
Разброс — это разница между наибольшим и наименьшим элементом в выборке.
В нашем случае самый большой элемент в выборке — это элемент 250, а самый маленький — это элемент 150. Разница между ними составляет 100
Среднее арифметическое
Понятие среднего часто используется в повседневной жизни.
Примеры:
- средняя заработная плата жителей страны; Средний балл
- учащихся;
- средняя скорость передвижения;
Среднее арифметическое (или просто среднее или среднее) — это результат деления суммы элементов выборки на их количество.
Вернемся к нашему примеру
Давайте посмотрим, сколько мы в среднем тратили в каждый из шести дней:
Средняя скорость
Когда мы изучали задачи на движение, мы определяли скорость движения следующим образом: мы делили пройденное расстояние на время. Но тогда предполагалось, что тело движется с постоянной скоростью, которая не менялась по пути.
На самом деле это случается довольно редко или совсем не бывает.Тело имеет свойство двигаться с разной скоростью. Во время поездки он может замедляться или двигаться быстрее.
Когда мы едем на машине или велосипеде, наша скорость часто меняется. Когда впереди нас ждут препятствия, мы должны сбавить скорость. Когда дорога свободна, мы ускоряемся. Во время ускорения наша скорость меняется несколько раз.
Это средняя скорость. Чтобы определить это, сложите скорости, которые были в каждом час / минуту / секунду, и разделите результат на время в пути.
Задача 1. Первые 3 часа автомобиль двигался со скоростью 66,2 км / ч, а следующие 2 часа — 78,4 км / ч. Какая у этого автомобиля средняя скорость?
Сложите скорость автомобиля за каждый час и разделите на время вождения (5 ч)
Значит, машина ехала со средней скоростью 71,08 км / ч.
Вы можете использовать другой способ определения средней скорости — сначала найдите расстояния, пройденные с одинаковой скоростью, затем сложите эти расстояния и разделите результат на время.На снимке видно, что первые три часа скорость автомобиля не менялась. Тогда мы можем найти расстояние, пройденное за три часа:
66,2 × 3 = 198,6 км.
Аналогичным образом можно найти расстояние, пройденное при скорости 78,4 км / ч. В задаче указано, что машина ехала с такой скоростью два часа:
78,4 × 2 = 156,8 км.
Сложите эти расстояния и разделите результат на 5
Задание 2. Велосипедист ехал 12.6 км в первый час, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км / ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста.
Скорость велосипедиста в первый час составила 12,6 км / ч. Во втором и третьем часах он ехал со скоростью 13,5. Найдите среднюю скорость велосипедиста:
Режим и медиана
Режим — это элемент, который встречается в выборке чаще, чем другие (наиболее частое число).
Рассмотрим следующий образец: шесть спортсменов и время в секундах, за которое они пробегают 100 метров
Элемент 14 является наиболее частым в выборке, поэтому мы будем называть элемент 14 режимом .
Рассмотрим другой образец. Те же спортсмены, а также свои смартфоны
Элемент iphone встречается в выборке чаще других, поэтому элемент iphone является режимом.
Конечно, элементы образца в этот раз выражаются не числами, а другими объектами (смартфонами), но для общего представления о режиме этот пример вполне приемлем.
Рассмотрим следующую выборку: семь спортсменов и их рост в сантиметрах:
Расположите данные в таблице так, чтобы рост спортсменов шел в порядке возрастания.Другими словами, выстроим спортсменов по росту:
.Выпишем отдельно рост спортсменов:
180, 182, 183, 184, 185, 188, 190
В итоговой выборке 7 элементов. В середине этого образца находится элемент 184. Слева и справа от него по три элемента. Такой элемент, как 184, называется медианой заказанной выборки.
Среднее число, которое можно найти, упорядочив все точки данных и выбрав одну из них.
Обратите внимание, что это определение верно, если количество элементов в упорядоченной выборке нечетное.
В приведенном выше примере количество элементов в упорядоченной выборке было нечетным. Это позволило нам быстро определить медианное значение
.Но могут быть случаи, когда количество элементов в выборке четное.
Например, рассмотрим выборку, в которой не семь спортсменов, а шесть:
Сравним этих шести спортсменов по росту:
Выпишем отдельно рост спортсменов:
180, 182, 184, 186, 188, 190
В этом примере вы не можете указать элемент, который был бы посередине.Если вы укажете элемент 184 в качестве медианы, то слева от этого элемента будут два элемента, а справа — три элемента. Если вы укажете элемент 186 в качестве медианы, то будут три элемента слева от этого элемента и два элемента справа.
В этих случаях для определения медианы выборки необходимо взять два элемента в середине выборки и найти их среднее арифметическое. Результатом будет медиана.
Вернемся к нашим спортсменам.В заказанном образце 180, 182, 184, 186, 188, 190 элементы 184 и 186 находятся в середине
.Найдите среднее арифметическое элементов 184 и 186
Элемент 185 является медианным значением выборки, даже если этот элемент не является членом исходной и заказанной выборки. Атлет в возрасте 185 лет не входит в число других спортсменов. Рост 185 см используется здесь для статистики, поэтому мы можем сказать, что средний рост спортсменов составляет 185 см.
Следовательно, более точное определение медианы зависит от количества элементов в выборке.
Если количество элементов в упорядоченной выборке нечетное, то медиана выборки — это элемент, который находится посередине.
Если количество элементов в упорядоченной выборке четное, то медиана выборки — это среднее арифметическое двух чисел, находящихся в середине выборки.
Медиана и среднее арифметическое по сути являются «близкими родственниками», потому что оба используются для определения среднего. Например, для предыдущей упорядоченной выборки 180, 182, 184, 186, 188, 190 мы определили медианное значение 185.Такой же результат можно получить, определив среднее арифметическое элементов 180, 182, 184, 186, 188, 190
.Но медиана в некоторых случаях отражает более реалистичную ситуацию. Например, рассмотрим следующий пример:
Было подсчитано количество очков, доступных для каждого спортсмена. Результатом является следующий образец:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 5, 4, 5, 0, 1, 6, 1
Определим среднее арифметическое для этого образца — получаем значение 2.2
По этой величине можно сказать, что спортсмены имеют в среднем 2,2 балла
Теперь определим медиану для той же выборки. Расположите элементы образца и укажите элемент посередине:
0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
В этом примере медиана лучше отражает реальную ситуацию, поскольку половина спортсменов набрала менее одного балла.
Частота
Частота — это число, показывающее, сколько раз элемент встречается в выборке.
Предположим, в школе проводятся соревнования по подтягиванию. В конкурсе участвуют 36 студентов. Составим таблицу, в которую будем записывать количество подтягиваний, а также количество участников, сделавших столько подтягиваний.
В таблице показано, сколько человек сделали 5, 10 или 15 подтягиваний. Например, четыре человека сделали 5 подтягиваний, восемь человек сделали 10 подтягиваний и три человека сделали 15 подтягиваний.
Количество людей, повторяющих одинаковое количество подтягиваний в данном случае и есть частота.Итак, переименуем вторую строку таблицы «частота»:
Такие таблицы называются частотными таблицами.
Частота имеет следующее свойство:
сумма частот равна общему количеству данных в выборке.
Это означает, что сумма частот равна общему количеству учащихся, участвующих в конкурсе, то есть тридцати шести. Проверим, правда ли это. Сложим частоты, приведенные в таблице:
4 + 5 + 10 + 8 + 6 + 3 = 36
Относительная частота
Относительная частота — это в основном та же частота, что обсуждалась ранее, но выраженная в процентах.
Относительная частота — это как часто что-то происходит, разделенное на все исходы
Относительная частота равна отношению частоты к общему количеству элементов в выборке.
Вернемся к нашей таблице:
Пять подтягиваний выполнили четыре человека из 36. Шесть подтягиваний сделали 5 человек из 36. Восемь подтягиваний сделали 10 человек из 36 и так далее. Заполним таблицу этими соотношениями:
Выполните деление на эти дроби:
Выразим эти частоты в процентах.Для этого умножьте их на 100. Удобно умножить на 100, сдвинув точку на две цифры вправо:
Теперь можно сказать, что пять подтягиваний выполнили 11% участников, шесть подтягиваний выполнили 14% участников, восемь подтягиваний выполнили 28% участников и так далее.
Основные законы математики
В нашей жизни есть правила, которым мы должны подчиняться. Следование правилам гарантирует мирную и беззаботную жизнь.Когда вы не соблюдаете законы, это приводит к печальным последствиям.
У математики есть свои законы, которым тоже нужно следовать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приведет к более низким оценкам, а в худшем — к падению самолетов, замерзанию компьютеров, разлету крыш из-за сильного ветра, плохой связи и тому подобному.
Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства нам знакомы со школы. Но не помешает вспомнить их еще раз, а еще лучше записать и выучить наизусть.
В этом уроке мы рассмотрим лишь небольшую часть законов математики. Их нам хватит, чтобы дальше изучать математику.
Дополнительный закон о заменеОпределение. Коммутативный закон сложения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы складываете числа.
Действительно, прибавьте пять к двум, и вы получите семь. И наоборот, прибавьте два к пяти, и вы снова получите семерку:
5 + 2 = 7
2 + 5 = 7
Если в один мешок положить 10 килограммов яблок, а в другой — 10 килограммов яблок, то мешки будут одинаковыми, и неважно, что яблоки в мешках перемешаны случайным образом.Если мы снимем пакет с весов и смешаем в нем яблоки, как шарики в лотерейном пакете, пакет все равно будет весить 10 килограммов. Сумма не изменится от перестановки слагаемых. Слагаемые в этом случае — яблоки, а сумма — общий вес.
Таким образом, выражения 5 + 2 и 2 + 5 можно приравнять. Это будет означать, что их сумма равна:
5 + 2 = 2 + 5
7 = 7
Мы предполагаем, что вы усвоили один из предыдущих уроков, который назывался выражениями, поэтому запишем коммутативный закон сложения с использованием переменных:
а + Ь = Ь + а
Этот коммутативный закон сложения будет работать для любых чисел.Например, возьмите любые два числа. Пусть a = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3. Эти значения войдут в основное выражение a + b = b + a и будут заменены там, где это необходимо. Число 2 будет заменено на a, число 3 будет заменено на b
Ассоциативный закон сложения Определение. Ассоциативный закон сложения гласит, что изменение группировки чисел, которые складываются вместе, не меняет их итоговую сумму.Этот закон позволяет группировать слагаемые вместе для упрощения вычислений.
Рассмотрим сумму трех слагаемых:
2 + 3 + 5
Чтобы вычислить это выражение, вы можете сначала сложить числа 2 и 3 и прибавить результат к числу 5. Для удобства сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, указывая, что эта сумма будет вычислена первой:
2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10
Или вы можете сложить числа 3 и 5, а затем добавить результат к числу 2
2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10
Как видите, в обоих случаях результат одинаковый.
Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
10 = 10
Запишем ассоциативный закон сложения с использованием переменных:
(а + б) + в = а + (б + в)
Коммутативный закон умножения
Определение.Коммутативный закон умножения гласит, что не имеет значения, в каком порядке вы умножаете переменные или числа. Посмотрим, правда ли это.
Умножьте пятерку на два, а затем наоборот, на два на пять.
5 × 2 = 10
2 × 5 = 10
В обоих случаях вы получите один и тот же результат, поэтому вы можете поставить знак равенства между выражениями 5 × 2 и 2 × 5, потому что они равны одному и тому же значению:
5 × 2 = 2 × 5
10 = 10
Запишем коммутативный закон умножения с использованием переменных:
a × b = b × a
Нет необходимости использовать буквы a и b для записи законов как переменных.Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y. Тот же коммутативный закон умножения можно записать так:
x × y = y × x
Ассоциативный закон умножения
Определение. Ассоциативный закон умножения гласит, что независимо от того, как вы группируете числа, вы умножаете их вместе.
Рассмотрим следующее выражение:
2 × 3 × 4
Это выражение можно вычислять в любом порядке.Сначала вы можете умножить числа 2 и 3, а результат умножить на 4:
.Или вы можете сначала умножить числа 3 и 4, а результат умножить на число 2
Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:
Запишем комбинационный закон умножения с использованием переменных:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
Пример 2 .Найдите значение выражения 1 × 2 × 3 × 4
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Рассчитаем слева направо в порядке действий:
Распределительный закон умножения
Определение. Распределительный закон умножения гласит, что любое число, умноженное на сумму двух или более чисел, равно сумме этого числа, умноженной на каждое из чисел в отдельности.
Рассмотрим следующее выражение:
(3 + 5) × 2
Мы знаем, что сначала нужно выполнить действие в круглых скобках. Мы делаем это:
(3 + 5) = 8
В основном выражении (3 + 5) × 2 замените выражение в скобках полученным восьмеркой:
8 × 2 = 16
Ответ: 16. Тот же пример можно решить, используя распределительный закон умножения. Для этого умножьте каждое слагаемое в скобках на 2, затем сложите результаты:
Мы слишком подробно рассмотрели распределительный закон умножения.В школе этот пример записали бы очень кратко. К таким обозначениям тоже нужно привыкнуть. Выглядит это так:
(3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16
Или даже короче:
(3 + 5) × 2 = 6 + 10 = 16
Теперь запишем распределительный закон умножения с использованием переменных:
(a + b) × c = a × c + b × c
Давайте внимательно посмотрим на начало этого распределительного закона умножения.Его начало выглядит так: (a + b) × c.
Если рассматривать выражение в скобках (a + b) в целом, оно будет множителем, а переменная c будет множителем, потому что они связаны знаком умножения ×
Из коммутативного закона умножения мы узнали, что если мы поменяем местами первый множитель и второй, произведение не изменится.
Если мы поменяем местами множитель (a + b) и множитель c, мы получим выражение c × (a + b).Затем мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Чтобы сделать это умножение, мы применяем распределительный закон умножения. В этом случае переменную c необходимо умножить на каждое слагаемое в скобках:
c × (a + b) = c × a + c × b
Пример 2 . Найдите значение выражения 5 × (3 + 2)
Умножьте число 5 на каждое слагаемое в скобках и сложите результат:
5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25
Пример 3 .Вычислить 6 × (5 + 2)
Умножьте 6 на каждое слагаемое в скобках и сложите результат:
6 × (5 + 2) = 6 × 5 + 6 × 2 = 30 + 12 = 42
Если круглые скобки представляют собой не сумму, а разницу, вы должны сначала умножить множитель на каждое число, указанное в скобках. Затем вычтите второе число из первого числа. В принципе ничего нового.
Пример 4 . Найдите значение выражения 5 × (6-2)
Умножьте 5 на каждое число в скобках.Затем вычтите второе число из первого числа:
5 × (6 — 2) = 5 × 6 — 5 × 2 = 30 — 10 = 20
Пример 5 . Вычислить 7 × (3 — 2)
Умножьте 7 на каждое число в скобках. Затем вычтите второе число из первого числа:
7 × (3 — 2) = 7 × 3 — 7 × 2 = 21 — 14 = 7
Упражнения
Задача 1. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
3 × (7 + 8)
Решение:
3 × (7 + 8) = 3 × 7 + 3 × 8 = 21 + 24 = 45
Задача 2. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
5 × (6 + 8)
Решение:
5 × (6 + 8) = 5 × 6 + 5 × 8 = 30 + 40 = 70
Задача 3. Найдите значение выражения, используя порядок операций:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
Задача 4. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2)
Решение:
4 × (5 + 4) + 9 × (3 + 2) = 4 × 5 + 4 × 4 + 9 × 3 + 9 × 2 = 20 + 16 + 27 + 18 = 81
Задача 5. Найдите значение выражения, используя распределительный закон умножения:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1)
Решение:
16 × (2 + 7) + 5 × (4 + 1) = 16 × 2 + 16 × 7 + 5 × 4 + 5 × 1 = 32 + 112 + 20 + 5 = 169
Простые математические задачи
Давайте рассмотрим несколько простых задач по уже рассмотренным нами темам. Для этого нам понадобится минимум математических знаний. В частности, уметь складывать, вычитать, умножать и делить, находить дроби из чисел, уметь вычислять отношения и выполнять элементарные преобразования идентичности.
Задания этого урока достаточно просты для понимания и понимания. Достаточно немного навыков, чтобы понять, какие темы вы научились использовать для решения поставленной задачи. Одно дело узнать что-то, а другое — применить на практике.
Задания на сложение и вычитание
Задача 1. Пять яблок были помещены в вазу с фруктами и еще три яблока были помещены в нее. Через некоторое время из чашки достали два яблока. В чашке осталось шесть яблок.Напишите выражение, описывающее это движение яблок.
Решение
5 + 3 — 2 = 6
Задание 2. В поле было возделано 20 грядок моркови и 15 грядок свеклы. Всего обработано 35 грядок. Напишите следующие выражения, содержащие сложение и вычитание:
- Выражение, описывающее, сколько всего было обработано грядок. Поместите общее количество коек в левую часть уравнения;
- Выражение, описывающее, как было возделано на пять грядок меньше, чем моркови.Поместите число, отвечающее за свеклу, в левую часть уравнения;
- Выражение, описывающее, что морковь была вспахана на пять грядок больше, чем свекла. Поместите число моркови в левую часть уравнения;
Решение
35 = 20 + 15
15 = 20–5
20 = 15 + 5
Задание 3. Автомобиль проехал 980 км за три дня. В пятницу и субботу проехал 725 км. Сколько километров машина проезжала за каждый из этих дней, если в субботу она проехала на 123 километра больше, чем в воскресенье?
Решение
Узнайте, сколько километров проехала машина в воскресенье.Для этого из общего расстояния (980 км)
вычтите расстояние, которое автомобиль проехал в пятницу и субботу (725 км).980-725 = 255 км в воскресенье
В условии написано, что в субботу машина проехала на 123 км больше, чем в воскресенье. Следовательно, мы должны добавить 123 км к расстоянию, которое машина проехала в воскресенье (255 км). Итак, мы получаем расстояние, которое проехала машина в субботу
.255 + 123 = 378 км в субботу
А теперь узнайте, сколько километров проехала машина в пятницу. Для этого вычтите из общего пути (980) те пути, по которым машина проехала в субботу и воскресенье.Для удобства эти два пути можно сложить, а результат вычесть из 980
.980 — (378 + 255) = 980 — 633 = 347 км в пятницу
Теперь проверим, правильно ли решена проблема. Для этого сложите все пути и посмотрите, равна ли сумма 980 км
347 + 378 + 255 = 980
980 = 980
Задание 4: За три смены фабрика выпустила 1680 метров ткани. В первой и второй сменах вместе было произведено 970 метров ткани, во второй и третьей сменах — 1060 метров.Сколько метров ткани производилось за каждую смену?
Решение
Давайте узнаем, сколько метров ткани произведено за первую смену. Для этого из общего количества метров, пройденных второй и третьей сменами, вычтите
метров (1060м).1680-1060 = 620м (произведена в первую смену)
Давайте узнаем, сколько метров ткани произведено за третью смену. Для этого вычтите из общего количества метров, пройденных первой и второй сменами (970м)
.1680 — 970 = 710м (произведена в 3-ю смену)
Давайте узнаем, сколько метров ткани было произведено за вторую смену.Для этого вычтите из общего количества метров, пройденных первой и третьей сменами (620 м и 710 м). Для удобства эти две величины можно сложить, а результат вычесть из 1680
.1680 — (620 + 710) = 1680 — 1330 = 350 м (произведена во вторую смену)
Проверим, правильно ли решена проблема. Для этого сложите все количества и посмотрите, равна ли сумма 1680м
.620 + 350 + 710 = 1680
1680 = 1680
Задача 5. Имеется следующее равенство
5 + 5 + 2 = 8 + 4
Обе части равенства (левая и правая) равны 12. Добавьте 3 в левую часть уравнения
5 + 5 + 2 + 3 ≠ 8 + 4
Равенство немедленно нарушается. Левая часть не равна правой, потому что левая сторона теперь равна 15, а правая — 12. Чтобы сохранить равенство, добавьте 3 к правой части уравнения
5 + 5 + 2 + 3 = 8 + 4 + 3
Знак «неравный» исчез.Теперь прибавьте единицу к числу 4, которое находится в правой части равенства
.5 + 5 + 2 + 3 ≠ 8 + (4 + 1) + 3
Равенство снова нарушено. Левая сторона не равна правой, потому что правая сторона теперь 16, а левая 15.
Попробуем еще раз «восстановить равенство» между левой и правой частями. Для этого вы можете добавить один в левую часть. Но вы также можете вычесть единицу из любого числа справа. Оставим левую часть нетронутой и вычтем единицу из числа 8, которое находится в правой части:
5 + 5 + 2 + 3 = (8-1) + (4 + 1) + 3
Задача 6. На сколько единиц число 78 больше числа 63?
Решение
Вычтем 63 из 78
78–63 = 15
78 больше 63 на 15 единиц.
Задача 7. На сколько единиц число 88 меньше числа 105
Решение
Вычтем число 88 из 105
105 — 88 = 17
88 это 17 меньше 105
Задача 8: Насколько число 65 выше числа 48 и меньше числа 95
Решение
Вычтем 48 из 65
65 — 48 = 17
Вычтем 65 из 95
95–65 = 30
65 больше 48 на 17 единиц и меньше 95 на 30 единиц.
Задачи умножения и деления
Задача 1. 90 чашек равномерно поместили в три коробки. В результате в каждой коробке 30 чашек. Напишите выражение, описывающее, что 90 чашек помещены в три коробки. Затем выполните действие в выражении.
Решение
90: 3
90: 3 = 30
30 = 30
Задача 2. 60 тарелок были упакованы в коробки по шесть тарелок в каждой. Результат — 10 коробок.Напишите выражение, описывающее, что 60 тарелок кладут в коробки по 6 тарелок в каждой. Затем выполните действие в выражении.
Решение
60: 6
60: 6 = 10
10 = 10
Задача 3. Есть 10 коробок тарелок. В каждой по 6 тарелок. Если распаковать все коробки, получится 60 тарелок. Напишите выражение, описывающее, что упаковка всех коробок дает 60 тарелок.
Решение
6 × 10 = 60 тарелок
Здесь следует сделать небольшую заметку.При построении выражения, содержащего произведение, желательно заранее понимать, что такое множимое, а что — множитель. По традиции сначала запишите множимое, а затем множитель.
Например, если вы хотите увеличить число 2 в три раза, вы должны написать 2 × 3. В этом выражении множимое — число 2, а множимое — число 3.
В постановке задачи было сказано, что после распаковки остается 60 пластин. Итак, конечная цель — получить эти 60 тарелок.И их можно получить, увеличив шесть пластин в десять раз. То есть умножение 6 на коэффициент 10. Значит, роль множимого играют тарелки, а роль множителя — коробки. В результате мы получим тарелки, количество которых будет увеличено в десять раз от оригинала.
Не думайте, что на рисунке представлены все 60 табличек. Это всего лишь модель, описывающая, что результатом умножения являются тарелки, а не коробки.
Конечно, при перестановке множителей произведение не меняется, но если поставить число 10 на первое место и число 6 на второе, то получится выражение 10 × 6.В этом выражении роль множимого играют прямоугольники, а роль множителя — тарелки. Тогда получается не 60 тарелок, а 60 коробок, что нарушает логику задачи:
Как и на предыдущем рисунке, не думайте, что он представляет все 60 квадратов, полученных в результате умножения. Это всего лишь модель, описывающая, что результатом умножения являются коробки, а не тарелки.
Как было сказано выше, произведение не меняется от перестановки мест факторов, и мы можем записывать коэффициенты в любом порядке, так как ответ на задание не изменится.Тем не менее, отслеживание порядка факторов позволяет нам понять задачу и ее суть.
Традиция записывать сначала множимое сохранилась только в некоторых странах. В большинстве других стран сначала пишут множитель, а затем — множимое. И это более правильно с точки зрения реальной математики.
Например, если мы встречаем обозначение 5 см, мы читаем «пять сантиметров», а не «сантиметров пять». Пять в данном случае — множитель — число, на которое один сантиметр увеличивается в пять раз.Под «см» подразумевается один сантиметр:
5 см = 5 × 1 см
В повседневном общении мы часто используем товар, иногда даже не замечая этого. И мы произносим сначала множитель, а затем — множимое. Примеры: «пять конфет», «сто долларов», «десять тюльпанов». Мы не говорим «конфет пять», «сто долларов» или «десять тюльпанов».
Напомним урок «Алгебраические выражения». Этот урок был основным для изучения алгебры. В нем мы затронули понятие коэффициента, множителя перед переменной.Мы написали этот множитель перед переменной, например 3a, 2x, 7y. Мы не писали a3, x2, y7. Первые обозначения правильнее, аккуратнее и эстетичнее. Позже, когда вы будете изучать алгебру и высшую математику, вы будете чаще замечать, что множитель стоит на первом месте.
Задание 4. В записной книжке 18 листов. Сколько блокнотов можно сделать из 54 листов?
Решение
18 листов — это одна тетрадь.Чтобы узнать, сколько таких записных книжек можно сделать из 54 листов, вам нужно сгруппировать эти 54 листа по 18 листов. Для этого 54 разделите на 18. Это позволяет узнать, сколько блокнотов можно сделать из 54 листов:
54: 18 = 3 блокнота
Задача 5. Всего (вместе) 72 листа в нескольких одинаковых тетрадях. В каждой тетради по 18 листов. Напишите выражение, чтобы узнать, сколько всего записных книжек.
Решение
Если в одной записной книжке 18 листов, то, чтобы узнать, сколько из тех же 18 листов (целых записных книжек) в 72 листах, разделите 72 на 18
72: 18 = 4 (записные книжки)
Задача 6. Всего в трех одинаковых тетрадях (вместе) 75 листов. Сколько листов в одной записной книжке?
Решение
Ноутбуки все одинаковые. Если разделить 75 на количество тетрадей, то есть на 3, мы узнаем, сколько листов в тетради:
75: 3 = 25 листов
Задание 7. Отцу 46 лет, сыну 23 года. Отец вдвое старше сына. Напишите выражение, которое описывает, что отец вдвое старше сына.
Решение
Записываем возраст отца и через знак равенства пишем, что возраст отца вдвое больше возраста сына:
46 = 23 × 2
Проделаем действие в правой части равенства, чтобы убедиться, что выражение верное — знак равенства должен оправдывать его положение:
46 = 23 × 2
46 = 46
Задание 8. Матери 36 лет, дочери 12 лет.Дочь в три раза моложе матери. Напишите выражение, описывающее, что дочь в три раза моложе своей матери.
Решение
Запишите возраст дочери и через знак равенства напишите, что она в три раза моложе своей матери
12 = 36: 3
Выполняем действие с правой частью равенства — получаем тождество:
12 = 12
Определить стоимость, длину, массу, время, скорость
Задача 1. Девять книг стоят 162 доллара. Сколько стоят пять из этих книг?
Для решения подобных задач сначала необходимо определить стоимость одной единицы товара. Затем используйте умножение и определите стоимость нескольких единиц товара. В этом случае 162 доллара следует разделить поровну на девять книг. Вот сколько стоит одна книга:
162: 9 = 18 долларов.
Получили стоимость одной единицы товара. То есть стоимость одной книги 18 долларов. Затем, чтобы узнать стоимость пяти одинаковых книг, умножьте 18 на множитель 5.
18 × 5 = 90 долларов.
Задача 2. Восемь магазинов стоят 176 долларов. Определите, сколько журналов вы можете купить за 66 долларов.
Определим стоимость магазина. Для этого разделите общую стоимость 176 долларов на восемь журналов:
176: 8 = 22 доллара.
22 доллара — стоимость одного журнала. Давайте определим, сколько журналов можно купить за 66 долларов. Для этого узнайте, сколько раз в 66 $ содержится 22 доллара. Другими словами, 66 долларов разделите на стоимость одного журнала:
.66: 22 = 3 магазина.
Задача 3. Три рубашки были изготовлены из шести рулонов ткани. Определите, сколько рулонов было использовано для изготовления одной рубашки
Решение
Чтобы определить, сколько рулонов ушло на одну рубашку, разделите 6 рулонов на количество сшитых рубашек, то есть на 3.
6: 3 = 2
Задание 4. Изготовлено 5 штор из 15 метров ткани. Определите, сколько штор можно сшить из 42 метров ткани.
Решение
Давайте узнаем, сколько метров ткани нужно на пошив одной занавески.Для этого разделите 15 метров на количество сшитых штор, то есть на 5
.15: 5 = 3 метра
На пошив одной занавески нужно три метра. Чтобы узнать, сколько штор можно сшить из 42 метров ткани, нужно эти 42 метра разделить на 3 метра
42: 3 = 14 штор
Задание 5. Из 3 кг муки испекли 6 буханок хлеба. Определите, сколько буханок можно испечь из 30 кг муки.
Решение
Давайте узнаем, сколько килограммов муки нужно, чтобы испечь одну буханку хлеба.Для этого 3 килограмма разделите на 6 буханок
.3: 6 = 0,5 кг на буханку
На одну булочку уходит 0,5 кг муки. Давайте узнаем, сколько буханок можно получить из 30 кг муки. Для этого 30 кг разделите на 0,5
.30: 0,5 = 60 буханок
Задание 6. Приобретено пять одинаковых мешков картофеля общей массой 15 кг. Определить массу одного мешка
Решение
15: 5 = 3 кг
Задача 7. Отец купил пять одинаковых мешков картошки общим весом 20 кг. Сын помог отцу нести 2 сумки. Сколько килограммов картошки унес сын?
Решение
Вес одного мешка:
20 кг: 5 = 4 кг
Вес сумок, которые нес сын:
4 кг × 2 = 8 кг.
Задача 8. Скорость вертолета 250 км / ч, а скорость самолета в 4 раза больше. Определите скорость самолета.
Решение
Если скорость самолета в 4 раза больше скорости вертолета, достаточно умножить скорость вертолета на 4. Таким образом, мы получаем скорость самолета:
250 км / ч × 4 = 1000 км / ч.
Задача 9. Поезд прошел 390 км за 6 часов, каждый час одинаково. Определите, сколько километров этот поезд проехал за 1 час.
Решение
Чтобы определить, сколько километров поезд проехал за час, достаточно 390 разделить на 6, т.е.е. разделить поровну расстояние на затраченное время:
390 км: 6 = 65 км каждый час
Задание 10. Букет цветов стоит 25 долларов. Какое наибольшее количество букетов можно купить за 160 долларов?
Решение
Разделить 160 на 25
За 160 долларов вы можете купить максимум 6 букетов, и все равно иметь сдачу в размере 10 долларов.
Графическое изображение задачи
Некоторые задачи полезно описывать графически в виде диаграмм, рисунков или таблиц.Это позволяет быстрее найти решение и понять суть задачи. Также есть задачи, которые сложно решить, если перед глазами нет графического изображения.
Графическое описание задания — это творческий процесс, и здесь все зависит от вашей фантазии.
Решим несколько простых задач, которые можно описать с помощью рисунков.
Задание 1. На фабрике было два куска ткани длиной 96 метров и длиной 84 метра каждый.Из них шили пальто. Вторая деталь оказалась на 3 слоя меньше первой. Сколько пальто было сшито из каждого изделия?
Решение
Во-первых, нам нужно знать, сколько метров ткани уходит на одно пальто. Как только мы узнаем это число, мы сможем разделить на это число 96 метров и 84 метра и, таким образом, узнать, сколько пальто сделано из каждого куска. Но как это сделать?
Давайте выясним, насколько 96 метров больше 84 метров. Для этого вычтите 84 из 96.
96 м — 84 м = 12 м
96 метров больше 84 метров на 12 метров. В постановке задачи сказано, что на втором изделии получилось на три слоя меньше, чем на первом. Это означает, что первая деталь, напротив, сделала на три слоя больше, чем вторая. Для этих трех пальто используются найденные нами 12 метров ткани. Если разделить 12 метров на эти 3 слоя, мы узнаем, сколько метров ткани уходит на один слой:
12: 3 = 4 метра на слой
Теперь вы можете узнать, сколько пальто сшито из каждого куска ткани.Для этого делим числа 96 и 84 на 4 метра по очереди
96: 4 = 24 слоя из первой части
84: 4 = 21 слой из второго куска.
Мы можем проверить, действительно ли второе изделие нанесло на три слоя меньше, чем первое. Вычтем 21 из 24
24–21 = 3
Эта задача может быть представлена графически. Представим 96 метров и 84 метра двумя линиями — вторая короче первой:
Проведите красную линию поверх этих двух линий так, чтобы эта линия пересекала 96 метров на участке, где заканчиваются 84 метра:
Теперь на первом куске ткани после красной линии нарисуем три слоя.Ведь из первого куска ткани сделали еще три пальто:
.Ну, тогда если внимательно посмотреть на рисунок, можно понять, что нужно делать. Оставшуюся часть первой ткани (после красной линии) следует поровну разделить на 3 слоя и таким образом получить количество метров, израсходованных на один слой. Остаток первой материи (после красной линии) можно найти, вычтя 84 метра из 96 метров.
Теперь решать проблему намного удобнее.Разделите 12 метров на три слоя и определите, сколько метров ткани уходит на один слой.
Затем оба куска ткани делятся на 4 и определяют, сколько пальто сшито из каждого куска.
Задача 2. За 4 часа корабль прошел 136 км. Сколько километров он преодолеет за 8 часов, если будет двигаться с той же скоростью?
Решение
Найдем скорость теплохода. Напомним, что скорость — это расстояние, которое преодолевает тело (человек, автомобиль, лодка) за 1 час, 1 минуту или 1 секунду.Чтобы найти скорость, разделите пройденное расстояние на время в пути:
136: 4 = 34 км / ч
Итак, корабль преодолевает 34 километра за час. Проблема говорит, что корабль движется с одинаковой скоростью. Это позволяет нам узнать, сколько из этих 34 километров корабль проходит восемь раз (за 8 часов)
34 км × 8 = 272 км
Вы также можете сделать чертеж для этой задачи. Было бы особенно полезно, если вы не можете вспомнить, что такое скорость.
Нарисуем 136 километров прямой:
Над этой линией мы проводим четыре линии, которые представляют четыре часа.Они, в свою очередь, сообщают нам, сколько километров корабль проходит за час
Поскольку скорость корабля одинакова каждый час, мы можем добавить еще 4 часа, тем самым сделав подсказку о пройденном расстоянии:
При внимательном рассмотрении рисунка видно, что расстояние увеличилось вдвое. Мы можем записать произведение 136 × 2, равное 272 километрам. Мы также можем нарисовать нижнюю линию, представляющую пройденное расстояние:
136 × 2 = 272 км
Задача 3. Товарный поезд от станции до станции ходил 9 часов, пассажирский поезд — 6 часов. Какова скорость пассажирского поезда, если скорость грузового поезда 40 км / ч?
Решение
Вопрос в задаче — найти скорость пассажирского поезда. Чтобы найти скорость пассажирского поезда, нам нужно разделить пройденное расстояние на время его движения. Но дело в том, что мы не знаем пройденного расстояния. Все, что мы знаем, это время в пути — 6 часов.
Но в задании есть подсказка, что товарный поезд прошел такое же расстояние за 9 часов и его скорость составила 40 км / ч. Это позволяет нам узнать расстояние между станциями. Если товарный поезд проходит 40 километров за час, то за 9 часов он проезжает в девять раз больше:
40 км × 9 = 360 км.
Теперь мы знаем расстояние между станциями. Это равно 360 километрам. Это позволяет легко определить скорость пассажирского поезда. Напомним, что для этого нужно пройденное расстояние (360 км) разделить на время в пути пассажирского поезда (6 ч)
.360: 6 = 60 км / ч
Нарисуйте схему этой проблемы.Во-первых, мы представляем время товарного поезда в виде девяти строк. Те же линии представляют, сколько километров проходит грузовой поезд за час:
Ниже этих линий нарисуйте сплошную линию, которая представляет расстояние, пройденное этим поездом
Ниже от сплошной линии, показывающей расстояние, проведите шесть линий, которые представляют время в пути пассажирского поезда:
Если внимательно посмотреть на получившийся рисунок, можно понять, что делать дальше.Вы можете сложить все расстояния, пройденные грузовым поездом за девять часов движения (40 км в час), и получить длину всего маршрута. Затем разделите полученное расстояние на время в пути пассажирского поезда (6 часов) и получите скорость его движения.
Задание 4. Школа-интернат на 250 детей имеет запасы картофеля в размере 22500 кг на 180 дней. На сколько дней производится запас картошки в другом интернате, если такая же норма на 160 детей составляет 9600 кг картошки?
Решение
Сначала займемся первой школой.В нем 250 детей. На них на 180 дней уложено 22500 кг картофеля. Изобразим проблему в виде таблицы. Таблицы — еще один полезный способ, позволяющий организовать данные в задаче и быстрее найти ее решение
| Распределение картофеля на 250 детей | |
| 22500 кг | на 180 дней |
| ? | за 1 сутки |
Определите, сколько килограммов картофеля в день.Для этого разделите 22500 кг на 180 дней
22500 кг: 180 дней = 125 кг в день
Давайте добавим новое значение в нашу таблицу. Вместо вопросительного знака вставьте найденные 125 килограммов, что составляет в сутки
.| Распределение картофеля на 250 детей | |
| 22500 кг | на 180 дней |
| 125 кг | за 1 сутки |
Итак, 250 детям дают 125 кг картофеля в день.
Давайте определим, сколько килограммов картофеля в день на одного ребенка. Для этого 125 килограммов разделите на 250 детей
| Раздача картофеля на 250 детей и 1 ребенка в день | |
| 125 кг | на 250 детей |
| ? | на 1 ребенка |
125 кг: 250 p = 0,5 кг в день на детей
Давайте добавим новое значение в нашу таблицу.Вместо вопросительного знака вставим найденные 0,5 килограмма на ребенка в день
| Раздача картофеля на 250 детей и 1 ребенка в день | |
| 125 кг | на 250 детей |
| 0,5 кг | на 1 ребенка |
Итак, 0,5 кг — это масса картофеля, выделяемая на одного ребенка в день. Такой же массы является норма картофеля на ребенка в сутки
.| Норма картофеля на ребенка в сутки | |
| 0.5 кг | за 1 сутки |
В задании сказано, что вторая школа по такой же ставке выделила 9600 килограммов картофеля на 160 детей. Если умножить 0,5 килограмма картофеля на 160 детей, мы узнаем, сколько килограммов картофеля на 160 детей в день
0,5 кг × 160 c = 80 кг картофеля на 160 детей
А если 9600 килограммов разделить на 80 килограммов, мы узнаем, на сколько дней хватит выделенной картошки во второй школе.То есть ответ на вопрос мы получаем, узнав, сколько дней картофельного резерва во второй школе-интернате
9600 кг: 80 кг = 120 дней
| Раздача картофеля на 160 детей | |
| 80 кг | за 1 сутки |
| 9600 кг | на 120 дней |
Поиск GCD и LCM
Задание 1. Всего 42 конфеты.Напишите следующие выражения, содержащие деление:
- Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 2 детей;
- Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 3 детей;
- Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 7 детей;
- Выражение, в котором 42 конфеты разделены на 14 детей;
- Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 21 ребенка;
- Выражение, в котором 42 конфеты делятся на 42 детей;
Решение
- 42: 2 = 21
- 42: 3 = 14
- 42: 7 = 6
- 42:14 = 3
- 42: 21 = 2
- 42: 42 = 1
Задача 2. На улице играют трое детей. У нас есть 24 батончика Snickers и 18 батончиков Twix. Мы должны раздать эти шоколадные конфеты детям, чтобы все получили равную долю.
Решение
Сначала разделите 24 конфеты Snickers между тремя детьми:
24: 3 = 8 (каждый ребенок получает один батончик Snickers).
Затем мы делим 18 шоколадных конфет Twix между теми же тремя детьми:
18: 3 = 6 (шоколадные конфеты Twix каждому ребенку).
Каждый ребенок получает 8 Snickers и 6 Twix.
Задача 3. Есть 24 батончика Snickers и 18 батончиков Twix. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно сделать из этих шоколадных батончиков?
Решение
Эта задача аналогична предыдущей. В предыдущем мы разделили эти шоколадные батончики между тремя детьми. Но эти шоколадные батончики можно было разделить не только между тремя детьми, но и между двумя, четырьмя или шестью детьми.
В данном случае вопрос состоит в том, чтобы определить наибольшее количество детей, на которых разделить шоколадные батончики.При этом разделите их так, чтобы каждому ребенку достались равные доли шоколадных батончиков, а у нас ничего не осталось.
В таких случаях вам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — в нашем случае 24 и 18. Напомним, что НОД — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. А это то, что нам нужно.
Найдите НОД чисел 24 и 18
Итак, есть 24 шоколадных батончика Snickers и 18 шоколадных батончиков Twix, чтобы сделать шесть одинаковых подарков.
Мы можем разбить (разделить) каждый вид конфет на шесть подарков и узнать, сколько конфет каждого вида будет в каждом подарке:
24: 6 = 4 (шоколадные батончики Snickers)
18: 6 = 3 (шоколадные батончики Twix)
Каждый подарок содержит 4 батончика Snickers и 3 батончика Twix.
Задание 4. Есть 60 яблок и 40 груш. Какому наибольшему числу детей можно давать эти фрукты в равной степени? Сколько яблок и груш получит каждый ребенок?
Решение
Дети в этом случае являются наибольшим общим делителем.Наша задача — найти этот НОД, чтобы поровну распределить 60 яблок и 40 груш.
Наибольший общий делитель 60 и 40 равен 20. Таким образом, 60 яблок и 40 груш могут быть поровну распределены между 20 детьми.
Раздадим 60 яблок:
60: 20 = 3 (яблоко каждому ребенку).
Раздадим 40 груш:
40: 20 = 2 (каждому ребенку груши)
Каждый ребенок получил по три яблока и две груши.
Задание 5. Тканевый материал продается по 3 метра или по 4 метра.Какое наименьшее количество метров должно быть в рулоне, чтобы материал можно было продавать без остатков?
Решение
Для продажи материала без остатка количество его метров должно делиться на 3 и 4 метра без остатка. Мы знаем, что число, которое делится на оба числа без остатка, называется наименьшим общим кратным этих чисел. Так обстоит дело в этой проблеме. Чтобы ответить на вопрос, нам нужно найти НОК чисел 3 и 4.
НОК номеров 3 и 4 — 12. Таким образом, наименьшее количество метров материала должно быть 12, чтобы его можно было продать без остатка.
Задание 6. Маленькая коробка вмещает 24 карандаша, а большая — 30 карандашей. Определите наименьшее количество карандашей, которое можно поместить как в маленькие, так и в большие коробки.
Решение
Наименьшее общее кратное 24 и 30 равно 120. Таким образом, 120 карандашей можно класть как в маленькие, так и в большие коробки.
Если мы положим 120 карандашей в маленькие коробки, нам понадобится 5 маленьких коробок:
120: 24 = 5
Если мы кладем 120 карандашей в большие коробки, нам понадобится 4 больших коробки:
120: 30 = 4
Преобразование единиц измерения
Задача 1. Преобразуйте три минуты в секунды.
В одной минуте 60 секунд, в трех минутах 180 секунд:
60 × 3 = 180 (секунды)
3 минуты = 180 секунд
Задача 2. Преобразуйте десять минут в секунды.
В одной минуте 60 секунд, в десяти минутах 600 секунд:
60 × 10 = 600 (секунд)
10 минут = 600 секунд
Задача 3. Преобразуйте восемь минут в секунды.
В одной минуте 60 секунд, в восьми минутах — 480 секунд:
60 × 8 = 480 (секунд)
8 минут = 480 секунд
Задача 4. Преобразуйте 2 минуты и 3 секунды в секунды.
Две минуты это 120 секунд плюс 3 секунды, которые нигде не нужно переводить:
60 × 2 = 120
120 + 3 = 123 (секунды)
2 мин 3 с = 123 с
Задача 5. Преобразуйте 15 минут и 47 секунд в секунды.
15 минут — это 900 секунд плюс 47 секунд, которые нигде переводить не нужно:
60 × 15 = 900 секунд
900 + 47 = 947 секунд
15 мин 47 с = 947 с
Задача 6. Перевести 3 центнера и 45 килограммов в килограммы.
Сначала переведем 3 центнера в килограммы. Один центнер равен 100 килограммам, а три центнера — 300 килограммам. Плюс у нас еще 45 килограммов. Таким образом, мы должны сложить 300 и 45. Результат 345 килограммов:
3c 45 кг = 300 кг + 45 кг = 345 кг
Задача 7. Перевести 4 килограмма и 654 грамма в граммы
Сначала переведем 4 килограмма в граммы. 1 килограмм — это 1000 граммов, а 4 килограмма — это 4000 граммов. Плюс еще 654 грамма. Таким образом, мы должны сложить 4000 и 654. В итоге получаем 4654 грамма:
4 кг 654 г = 4000 г + 654 г = 4654 г
Задача 8. Преобразуйте 20 секунд в минуты. Запишите ответ дробью:
20 сек. =
мин.Выражение
означает, что минута делится на 60 равных частей (на 60 секунд), и из этих частей берется 20 частей.Задача 9. Преобразуйте 15 секунд в минуты. Запишите ответ дробью:
Задача 10. Преобразуйте 45 минут в часы. Запишите ответ дробью:
45 мин. =
ч.Выражение
означает, что час разделен на 60 частей, и 45 частей взяты из этих 60 частей. А 45 частей из 60 — это 45 минут.Задание 11. Масса лошади 500 кг. Выразите эту массу в тоннах.Запишите ответ обыкновенной дробью:
Задача 12. Запишите 6 минут и 15 секунд как смешанное число
Шесть минут — это целая часть смешанного числа. Пятнадцать секунд — это пятнадцать секунд из шестидесяти, поэтому
— дробная часть.6 мин. 15 сек. = 6
Задача 13. Запишите 43 метра и 5 сантиметров в виде смешанного числа
43 метра — целая часть смешанного числа. Пять сантиметров — это пять сантиметров из ста сантиметров, поэтому
будет дробной частью смешанного числа:43 м 5 см = 43
м.Задание 14. К 6 центнерам 87 кг добавить 2 центра 45 кг
Запишем задачу в виде выражения:
6 c 87 кг + 2 c 45 кг
Для удобства переведем эти значения в килограммы, получим 687 кг и 245 кг. Сложим эти килограммы и получим 932 кг. Тогда разберем центнеры и остальные килограммы по отдельности:
6 c 87 кг + 2 c 45 кг = 687 кг + 245 кг = 932 кг = 9 c 32 кг
Второй способ — со смешанными числами:
Задача 15. Найдите значение следующего выражения: 3 кг 6 г — 2 кг 3 г
Решение
3 кг 6 г — 2 кг 3 г = 30006 г — 2003 г = 1003 г = 1 кг 3 г
Решим эту задачу со смешанными числами:
Таким образом, вычитание двух из трех дает единицу, которая становится целой частью полученного смешанного числа. Значение выражения
превратилось в дробь, которая стала дробной частью смешанного числа.Но выражение
можно было бы вычислить, преобразовав смешанные числа в неправильные дроби.Решение будет выглядеть так:Конечно, это решение выглядит более громоздким, чем первое решение. Первый выглядит намного короче и аккуратнее:
.Но учтите, что при решении таких задач иногда бывает, что дробная часть вычитаемого меньше дробной части вычитаемого. В этом случае рекомендуется искать обходные пути, чтобы сократить время решения. В противном случае задача может занять полстраницы.
Задача 16. Найдите значение следующего выражения:
43 м 5 см — 37 м 86 см
Решение
43 м 5 см — 37 м 86 см = 4305 см — 3786 см = 519 см = 5 м 19 см
Теперь попробуем решить эту задачу со смешанными числами
Мы видим, что дробная часть вычитаемого меньше дробной части вычитаемого. Если попытаться вычислить целую и дробную части по отдельности, мы получим довольно громоздкое решение:
И если сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, можно записать решение намного короче:
Также можно использовать другой метод, который часто используется в школах.Суть метода состоит в том, что они берут одну единицу из целой части уменьшаемого числа и представляют ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и дробная часть уменьшаемого числа. Затем эта фракция добавляется к дробной части уменьшаемой суммы.
Запишем minuend
в следующем виде:Мы удалили единицу из целой части числа 43 — теперь целая часть представляет собой сумму чисел 42 и 1. Теперь представьте единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и дробь
.Теперь складываем дроби
и — получаем следующее выражение:Минуэнд, который раньше был
, теперь.Мы видим, что проблема уменьшаемого исчезла — оно больше, чем вычитаемое. Это позволяет нам вычислять целые числа и дроби отдельно и получить короткое решение:При решении таких простых задач не нужно прибегать к дробям, а тем более к таким методам, которые мы сейчас обсуждаем. Ваша цель — уметь применить свои знания на практике.
Задача 17. Найдите значение следующего выражения:
24 c 6 кг — 21 c 78 кг
Решение
24 c 6 кг — 21 c 78 кг = 2406 кг — 2178 кг = 228 кг = 2 c 28 кг
Задача 18. Найдите значение следующего выражения:
16 км 34 м — 8 км 546 м
Решение
16 км 34 м — 8 км 546 м = 16034 м — 8546 м = 7488 м = 7 км 488 м
Задача 19. Выполнить сложение:
15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин
Решение
15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин = 928 мин + 397 мин = 1325 мин
У нас 1325 минут. Выразите этот ответ в часах и минутах. Для этого «вынимаем» часы из 13.25.
60 минут — это один час. И чтобы понять, сколько таких 60 минут (часов) содержится в 1325 минутах, надо 1325 разделить на 60
.Получаем ответ, что 1325 минут это 22 часа 5 минут
15 ч 28 мин + 6 ч 37 мин = 928 мин + 397 мин = 1325 мин = 22 ч 5 мин
Задача 18. Первый в мире советский искусственный спутник Земли имел массу 83 кг 600 г. Масса второго спутника была на 424 кг на 700 г больше массы первого спутника и на 818 кг 700 г меньше массы третьего спутника.Определите массу третьего искусственного спутника Земли.
Решение
Найдем массу второго спутника. Это больше массы первого спутника на 424 кг 700 граммов. Добавим еще 424 кг и 700 грамм к массе первого спутника
.Далее говорится, что масса второго спутника меньше на 818 кг и 700 грамм. Если к массе второго спутника прибавить 818 кг и 700 грамм, мы получим массу третьего спутника
.Итак, третий искусственный спутник Земли имеет массу 1327 килограммов.
Упражнения
Задача 1. Две одинаковые бочки наполнены водой. Когда из них было взято 16 ведер воды по 9 литров, в первой бочке осталось 34 ведра воды, а во второй — 20 ведер. Сколько литров воды было взято из каждой бочки?
Решение
Давайте определим, сколько ведер воды было изначально в двух бочках. Для этого добавьте оставшуюся воду в обе бочки (34) и (20) плюс 16 взятых из них ведер:
34 + 20 + 16 = 70 ведер воды изначально было в обеих бочках.
Поскольку бочки одинаковые, можно разделить 70 на 2 и узнать, сколько ведер было в каждой бочке по отдельности:
70: 2 = 35 ведер в каждой бочке.
У первого ствола осталось 34 ведра. Вычтите 34 ведра из 35 ведер и узнайте, сколько ведер было взято из первой бочки:
35-34 = 1 ведро из первой бочки
Во второй бочке осталось 20 ведер. Вычтите 20 ведер из 35 ведер — узнайте, сколько ведер было взято из второй бочки:
35 — 20 = 15 ведер из второго ствола
Проблемное состояние говорит, что одно ведро вмещает 9 литров.Умножив 9 литров на количество взятых нами ведер, мы находим, сколько литров воды было взято из каждой бочки.
9 × 1 = 9 литров воды из первой бочки
9 × 15 = 135 литров воды из второй бочки
Ответ: из первой бочки взяли 9 литров воды, из второй бочки 135 литров.
Задача 2. 15 растений редиса дают 180 000 семян в год. Сколько семян дадут 80 растений редиса за год?
Решение
Определите, сколько семян дает одно растение редиса в год.Для этого разделите 180 000 на 15:
.180 000: 15 = 12 000 семян на растение.
Если одно растение дает 12 000 семян, то 80 растений дадут урожай в восемьдесят раз больше. Чтобы узнать, сколько именно, умножьте 12000 на 80:
.12000 × 80 = 960 000 семян даст 80 растений
Ответ: 80 диких растений редиса дадут 960 000 семян.
Задача 3. 4 кг сахара и 5 кг яблок стоят 6,8 долларов США.Сколько стоит 1 кг сахара, если 1 кг яблок стоит 0,6 доллара?
Решение
Определите, сколько долларов было заплачено за яблоки. Для этого умножьте 0,6 на количество килограммов, т.е. 5:
.0,6 × 5 = 3 доллара за яблоки.
Давайте вычтем эти 3 доллара из общей суммы уплаченных денег (6,8 доллара). Так мы узнаем, сколько долларов было заплачено за сахар:
6,8 — 3 = 3,8 доллара за сахар.
Давайте узнаем, сколько стоит килограмм сахара.Для этого разделите 3,8 доллара на количество килограммов, то есть на 4
.3,8: 4 = 0,95 доллара за килограмм сахара
Ответ: 1 килограмм сахара стоит 0,95 доллара.
Задание 4. Библиотеке необходимо 3240 переплетенных книг. Одна мастерская может выполнить заказ за 12 дней, другая — за 15 дней, а третья — за 20 дней. Сколько дней у трех мастерских уйдет на выполнение заказа, и все они будут работать одновременно?
Решение
Если мы разделим 3240 на количество дней (12, 15 и 20) один за другим, мы узнаем, сколько книг каждый семинар может переплести в день.Затем вы складываете результаты и выясняете, сколько книг три семинара могут переплести одновременно в день. И если мы разделим 3240 книг на количество книг, связанных вместе за один день по трем магазинам, мы узнаем, сколько дней у них уходит на выполнение заказа одновременно:
3240: 12 = 270 (книг) в день на 1 мастерскую
3240: 15 = 216 (книг) в день на 2 мастерских
3240: 20 = 162 (книги) в день на 3 мастерских
270 + 216 + 162 = 648 (книг) в день по 3 мастерским одновременно
3240: 648 = 5 (дней) потребуется мастерская, чтобы переплести все книги.
Ответ: Три магазина должны переплести все книги за 5 дней.
Задание 5. Мама купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 долларов за килограмм. Сколько злаков по 3,2 доллара за килограмм можно купить на эти деньги?
Решение
Определите, сколько денег заплатила мама за 4,5 кг хлопьев. Для этого умножаем 12,8 $ × 4,5
.12,8 × 4,5 = 57,6 доллара за 4,5 кг крупы
Сделаем крупу по 3 доллара.2 дороже:
12,8 + 3,2 = 16 $.
Давайте узнаем, сколько крупы можно купить на 57,6 руб. Для этого разделим 57,6 доллара на цену за килограмм, т.е. на 16
.Разделите 57,6 доллара на цену за килограмм.
57,6: 16 = 3,6 кг
Ответ: 3,6 килограмма крупы по цене 16 долларов за килограмм можно купить за 57,6 доллара.
Задание 6. Два маляра вместе расписали 144 окна.Один из них работал 6 дней по 7 часов в день, а другой — 5 дней по 6 часов в день. Сколько окон нарисовал каждый художник, если за 1 час они нарисовали одинаковое количество окон?
Решение
Определите, сколько часов работал каждый маляр:
7 × 6 = 42 часа работы первого маляра
6 × 5 = 30 часов работы второго маляра
Определите, сколько часов красили окна:
42 + 30 = общее время покраски рам 72 часа.
Определите, сколько кадров будет нарисовано за 1 час. Для этого общее количество окрашенных рамок (144) разделите на общее время их покраски (72)
.Общее количество окрашенных кадров (144).
144: 72 = 2 окна окрашиваются за один час.
Определите, сколько рам нарисовал первый художник:
2 × 42 = 84 окна, нарисованные первым художником
Определите, сколько рам нарисовал второй художник:
2 × 30 = 60 рамок, нарисованных вторым художником
Ответ: первый маляр расписал 84 окна.Второй художник нарисовал 60 кадров.
Задание 7. В хлебный отдел магазина доставлено 10 ящиков черного хлеба и 14 ящиков белого хлеба. Количество буханок на одном ящике и количество хлебов на другом ящике одинаковы. Всего в отделение было доставлено 288 буханок хлеба (как черного, так и белого). Сколько буханок черного хлеба и сколько буханок белого хлеба принесли в хлебный цех?
Решение
Определить общее количество коробок:
10 + 14 = 24 коробки
Определите, сколько единиц хлеба на противне.Для этого общее количество хлебных единиц (288) разделите на общее количество коробок (24)
.решить, сколько единиц хлеба в лотке
288: 24 = 12 единиц хлеба на противень.
Количество единиц хлеба на ящиках одинаковое. Определите, сколько буханок черного хлеба принесли в хлебный цех:
В отдел доставлено 12 × 10 = 120 буханок черного хлеба.
Определите, сколько буханок белого хлеба было принесено в хлебный цех:
12 × 14 = 168 буханок белого хлеба принесено в хлебный цех.
Ответ: Хлебный цех привез 120 буханок черного хлеба и 168 буханок белого хлеба.
Задание 8. За 7 м шелка заплатили на 450 долларов больше, чем за 4 м того же шелка. Сколько стоит 1 м шелка?
Решение
Разница между 7 м и 4 м составляет 3 м. Указанные в задаче 450 $ — это эти 3 миллиона. Определим, сколько долларов уходит на 1 м шелка.Для этого 450 $ разделите на 3
.450: 3 = 150 $ — стоимость 1 метра шелка.
Ответ: стоимость 1 м шелка 150 $
Задача 9. В шкафу 5 литровых банок с пшеном и 3 литровых банок с горохом, а пшена на 2210 г больше, чем гороха. Сколько пшена и сколько гороха в шкафу?
Решение
Разница между пятью банками и тремя банками — две банки.Эти две банки составляют 2210 граммов. Определим, сколько граммов в одной банке. Для этого разделите 2210 г на 2
.2210: 2 = 1105 г — масса одной банки.
Определите, сколько проса находится в шкафу. Для этого умножим 1105 г на количество банок проса:
1105 × 5 = 5525 грамм проса в шкафу.
Определите, сколько горошин в шкафу. Для этого умножьте 1105 г на количество банок гороха:
1105 × 3 = 3315 грамм гороха в шкафу.
Ответ: в шкафу 5525 г проса и 3315 г гороха.
Задание 10. На мельницу доставлено 6360 кг пшеницы. При помоле пшеницы отходы составили 860 кг. Муку равномерно насыпали в мешки и загрузили на три машины. В первый загрузили 28 мешков, во второй — 32 мешка, а в третий — 40 мешков. Сколько килограммов муки было загружено в каждую машину?
Решение
Определите, сколько килограммов муки было получено из 6360 кг пшеницы.Для этого из 6360 кг пшеницы вычитаем 860 кг отходов:
6360-860 = 5500 кг муки.
Определите количество мешков, в которые была засыпана мука:
28 + 32 + 40 = 100 пакетов.
Определите массу одного мешка. Для этого разделим 5500 кг муки на количество мешков:
.5500: 100 = 55 кг — масса одного мешка.
Определите, сколько килограммов муки было загружено на каждую машину:
55 × 28 = 1540 кг загружены на первую машину.
55 × 32 = 1760 кг загружена на вторую машину.
55 × 40 = 2200 кг загружены на третью машину.
Ответ: первая машина загрузила 1540 кг муки, вторая — 1760 кг, а третья — 2200 кг.
Аббревиатуры большого числа
В задачах часто используются разные сокращения для больших чисел. Вместо нулей используются сокращения миллиард, миллиард.
Пример 1. Вместо 1000 используется сокращение 1K.
Пример 2. Вместо 2000 используется сокращение 2K.
Пример 3. Вместо 1000000 используется обозначение 1 M.
Пример 4. Вместо 1000000000 мы используем обозначение 1 B.
Сокращения K, M, B заменяют множители 1000, 1000000, 1000000000 соответственно. Чтобы написать число полностью без сокращений, просто умножьте его на соответствующий множитель.
Например, если число в письме 5500, вам нужно умножить его на 1000, чтобы записать его полностью
5,5 × 1000 = 5500
Пример 2. Напишите число 1,5K без сокращения
Аббревиатура K указывает на множитель 1000. Умножим на него 1500
.1500 × 1000 = 1 500 000
Пример 3. Напишите число 1500,5 К без сокращения
1500,5 × 1000 = 1 500 500
Пример 4. Напишите число 11,2 К без сокращения
11,2 × 1000 = 11 200
Пример 5. Напишите 1,5 M без сокращения
Аббревиатура «миллион» указывает на множитель 1000000. Умножение на 1,5
1,5 × 1000000 = 1500000
Пример 6. Заработная плата отца составляет 32,7 тыс. Долларов, а матери — 28,2 тыс. Долларов. Запишите эти числа без сокращений.
32,7 × 1000 = 32700 долларов США
28.2 × 1000 = 28 200 долларов США
[Совет] Повторное изучение математики с нуля: learnmath
Я не знаю, подходит ли это подписка для публикации этого сообщения, приношу свои извинения, если это не так.
Позвольте мне начать с tl; dr для тех из вас, у кого мало времени, я расскажу (несущественную) предысторию после, не стесняйтесь ее пропустить.
TL; DR: Как мне лучше всего подойти к изучению математики от самых базовых тем до уровня, при котором я смогу с комфортом отправиться в колледж или университет в области компьютерных наук?
Ссылки, советы или даже общие советы приветствуются и ценятся.
Предыстория для тех, кому интересно:
С тех пор как мне было около 8 или 9 лет, я довольно быстро освоил кодирование и общие программные трюки (поиск и использование ошибок, понимание протоколов и т. Д.) и когда-либо С тех пор как хотел быть «хакером», и когда я был подростком, он стал реалистичным «разработчиком программного обеспечения», которым я занимаюсь и по сей день.
К сожалению, у меня СДВГ, который мои родители отвергли как поддельное расстройство, пока мне, наконец, не поставили диагноз после многих лет с психотерапевтами, студенческим советом и долгим путем к постановке диагноза СДВГ у взрослых.
В результате этого школа была очень сложной, и я едва дожил до последних двух лет в старшей школе, где я выбрал промышленные ИКТ в качестве пути, это охватывало почти все отрасли ИТ на общем уровне, и это где они обнаружили, что я был прекрасным программистом, но мне не хватало большинства других академических основ из-за пренебрежения.
Я боролся и получил свой диплом, с которым меня порекомендовали «Высшее образование не для тебя, бросайся в индустрию программного обеспечения и развивайся с опытом» — совет, который я принял близко к сердцу.
Это было примерно в то же время, когда мне поставили диагноз СДВГ и я начал получать метилфенидат (риталин) из-за своих недостатков.
Таблетки, вероятно, лучшее, что случилось со мной с тех пор, как я начал получать правильную дозировку около года назад, мое настроение значительно улучшилось, и у меня есть сосредоточенность, о которой я бы не поверил, если бы вы сказали мне несколько лет назад.
Теперь мы переходим к соответствующей части, я искал работу в индустрии программного обеспечения, но они всегда отвергают меня из-за людей с опытом или степенью, в настоящее время я сводлю концы с концами за пределами отрасли, я хочу работать в.
С моими таблетками я уверен, что смогу справиться с высшими учебными заведениями, так как я много занимался самообучением дома (без таблеток я никогда не касался своей домашней работы, я нахожу это впечатляющим) во время поиска работы, хотя я чувствую, что из-за пренебрежения к математике в старшей школе и того, что я не использовал ее в течение года, я очень быстро проиграю, если поеду в колледж.
Поэтому я хотел использовать свое время до начала следующего семестра, чтобы довести себя до среднего уровня математики, который мог бы иметь кто-то, окончивший школу, просто для уверенности, я хотел начать как можно более базовый (исключая элементарную математику) Я просто хочу убедиться, что все основы на месте.
Как мне, (сейчас 20 лет) , лучше всего сделать это самостоятельно?
29 лет — хочу начать с математики с самого начала: learnmath
Я отказался от этого, так как некоторые люди знают мою основную учетную запись, и это неудобный вопрос, учитывая, что моя работа требует, чтобы я работал с числами весь день.
Я пролистал сабреддит, чтобы увидеть, был ли уже дан ответ на мой вопрос, и увидел здесь много сообщений, в которых люди говорят, что они отстой в математике, поэтому я подумал, что это здорово — я могу начать, основываясь на этом.
Потом я прочитал, что их тригонометрия и алгебра на самом деле не очень хороши … Я даже не знаю, что это за две вещи.
Наверное, я знаю только базовые вычисления сложения, вычитания, умножения. Я также могу вычислить площадь квадрата. Я не могу делать дроби без калькулятора. Думаю, это все, что мне известно.
На моей нынешней работе я старший консультант по бухгалтерскому учету (каким-то образом жизнь подтолкнула меня к этой работе) и последние 5 лет (мне 29) каким-то образом удавалось скрывать тот факт, что я даже не знаю как посчитать процент чего-то (учусь, но через день забываю, как это работает).(Для тех, кто задается вопросом, меня наняли не из-за моих бухгалтерских навыков.)
Я действительно учился в университете, получил степень магистра иностранных языков и окончил его лучше всех, так что не думаю, что я на самом деле глуп, но ни разу в жизни не сдавал уроки математики. Остальные мои оценки всегда были достаточно хорошими, поэтому учителя в конечном итоге игнорировали мою плохую оценку по математике. Я не знаю, но, полагаю, мне всегда было очень трудно понять логику математики. Когда я, наконец, думаю, что что-то освоил, я забываю об этом на следующий день и понимаю, что никогда по-настоящему этого не понимал.Даже что-то простое в процентах.
Мне всегда нравилась математика, но я просто думал, что она мне не по силам. Мне требуются годы, чтобы понять даже самые простые концепции. Недавно я читал несколько книг по психологии и методам обучения и читал о том, что некоторые математики (например, Пол Локхарт) учат математику иначе, чем я всегда учил ее в школе.
Кто-нибудь знает больше об этих различных методах и где / как начать? Я бы хотел заняться этим и еще раз попробовать математику, но я не знаю, с чего начать, так как мой уровень, вероятно, ниже, чем у шестиклассника.
спасибо
(Прошу прощения, если я неправильно понял некоторые (математические или другие) термины. Английский не мой родной язык.)
ОБНОВЛЕНИЕ: Спасибо всем за отличные предложения. Я проверю Академию Хана, некоторые книги и другие ссылки, которые вы мне дали. Я чувствую себя мотивированным!
Я думаю, что моей проблемой всегда было то, что я не понимал, что делаю, когда занимаюсь математикой. Простой пример: мои родители говорят мне, что мне понадобилось время, чтобы понять, что такое 1 + 1, когда я был моложе, потому что я не мог связать это, например, с 1 яблоком + 1 яблоком = 2 яблоками.
Это было не из-за отсутствия попыток. Мои родители были недовольны моими оценками по математике, и у меня даже был частный репетитор по математике, который каждую неделю проводил со мной несколько часов, чтобы снова посещать мои уроки математики. Я просто никогда не понимал, что делаю, и в конце концов просто попытался запомнить правила и формулы, чтобы заставить их работать — но как только что-то отклонялось от стандартных вопросов, я застревал, потому что я никогда не понимал проблему в первую очередь .
В последний год обучения в старшей школе у меня была учительница, которая специально сказала мне, что сдаст меня на экзаменах, если я смогу просто объяснить вопрос / проблему, которые она задает, мне даже не нужно было решать какие-либо задачи на экзамен.Она сказала, что если бы я не смог этого сделать, она бы поспорила, что я должна повторить свой год и не поступать в университет. В тот год мне удалось получить 50,5%. Единственный год, когда я сдал тест по математике, и я прошел его, хотя я не мог ответить на большинство вопросов … Сейчас это кажется сюрреалистичным …
Но теперь, оглядываясь на это, я подумал, что это не может быть, потому что Я был слишком глуп. Мне удалось получить диплом с хорошим баллом (хотя много работы) и я прошел другие курсы, даже если они меня не особо интересовали.Так что я начал думать, что, может быть, меня просто нужно учить по-другому. Вот почему я очень не решаюсь брать стандартные учебники, потому что много лет назад это не сработало. С чего бы это сейчас? Хотя, может быть, теперь, когда я стану старше, у меня будет лучшее представление об этих вещах …
Посмотрим. в любом случае спасибо всем за ваше время и предложения!
Повторное изучение математики с нуля — Mathematics Stack Exchange
Хотите улучшить этот вопрос? Обновите вопрос, чтобы он соответствовал теме форума Mathematics Stack Exchange.
Закрыт 4 года назад.
Два или три года назад я решил заново выучить математику с нуля, я изучил, что читать, составил список книг. Я начал с Сойера, это немного открыло мне глаза на тот факт, что математика не так уж загадочна, если вы изучаете ее правильно, и что на самом деле это довольно интересно. Но почему-то бросил. Сейчас я почти закончил перечитывать «Восторг математика», но я смотрю на список, составленный несколько лет назад, и он меня пугает и сбивает с толку.Я был бы признателен, если бы вы, ребята, подскажете мне, в каком порядке мне следует читать эти книги (у меня есть все книги, кроме тех, которые отмечены «нет»), если я куплю недостающие и т. Д.
Немного предыстории: моя школа была ориентирована на математику, и я вроде как хорошо учился, но только потому, что выучил наизусть формулы и шаблоны того, когда их использовать. На этот раз я пытаюсь сделать все правильно. Я бы хотел пройти школьную программу через год, а затем провести лето за изучением математики и расчетов в Discreete (пытаюсь подать заявление на бакалавриат CS в следующем году), чтобы я мог опередить программу на месяц или два.Почему я хочу быть впереди? Потому что я обнаружил, что вообще не могу усваивать знания в классе, главным образом потому, что всегда есть кто-то, кто отвечает быстрее, тогда я получаю драгоценное понимание того, как все работает, и почему именно они работают таким образом.
Итак, вот список книг с пометками про себя:
Основы
- «Восторг математика» У. Сойера
- «Путешествие через гения: великие теоремы математики» Уильяма Данхэма
Алгебра
Геометрия
- «Элементы Евклида»
- Робин Хартсхорн «Геометрия: Евклид и не только» (Тексты для бакалавров по математике).
Тригонометрия (предварительное условие: геометрия)
- «Тригонометрия» И.М. Гельфанд
Предварительный расчет / аналитическая геометрия
- «Функции и графики» И. М. Гельфанда
- «Демистификация до исчисления», Ронда Хюттенмюллер.
Исчисление (предварительное условие: предварительное вычисление)
- «Исчисление: элементы» Коменца
- «Исчисление и аналитическая геометрия (9-е издание)» Томаса Финни (синий в твердом переплете с маяком) * нет
- «Исчисление» Спивака (сначала прочтите «Как это доказать»)
- Заметки Павла http: // tutorial.