Свойства четырехугольников. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Сложное слово «параллелограмм»? А скрывается за ним очень простая фигура.

То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм?

Давай нарисуем все подробно.

Что означает первый пункт теоремы? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно

Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм, то, опять же, непременно:

Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:

Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди – какой-нибудь «ключик» да подойдёт.

А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?

На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.

Внимание! Начинаем.

  — паралелограмм.

Обрати внимание: если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что

Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?

Конечно, является! Ведь у него   и   — помнишь, наш признак 3?

А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма   и  , а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Но есть у прямоугольника и одно отличительноесвойство.

Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.

Обрати внимание: чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.

 

3. Ромб

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

(если ты забыл, напомню:  — значок перпендикулярности)

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм, а именно ромб.

Признаки ромба

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Признак 2. Если в параллелограммехотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

И снова обрати внимание: должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм. Убедись:

разве это ромб?

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ   – биссектриса углов   и  . Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому   – НЕ параллелограмм, а значит, и НЕ ромб.

4. Квадрат

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно почему? Квадрат — ромб   – биссектриса угла A, который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник  диагонали равны; ромб  диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм  диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

 

Значит,  .

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма» означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Итак,

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

1) Противоположные стороны равны
2) Противоположные углы равны
3) Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Давай проведём диагональ  . Что получится? Два треугольника:   и  .

Раз   – параллелограмм, то :

•    как накрест лежащие
•    как накрест лежащие.

Значит,   (по II признаку:   и   — общая.)

Ну вот, а раз  , то   и   – всё! – доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь   (смотри на картинку), то есть  , а   именно потому, что  .

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

Мы уже выяснили, что  . Давай снова отметим равные накрест лежащие углы (посмотри и убедись, что все верно).

И теперь видим, что   — по II признаку (  угла и сторона «между» ними).

Значит,   (напротив углов   и  ) и   (напротив углов   и   соответственно).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос «как узнать?», что фигура является параллелограммом.

Признак 1.  Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

В значках это так:

;     – параллелограмм.

Почему? Хорошо бы понять, почему   – этого хватит. Но смотри:

по 1 признаку:  ,  — общая и   как накрест лежащие при параллельных   и   и секущей  .

А раз  ,

то   (лежат напротив   и   соответственно). Но это значит, что   (  и   — накрест лежащие и оказались равны).

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

,     – параллелограмм.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ  .

Теперь   просто по трём сторонам.

А значит:

и   , то есть   – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырёхугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

,     – параллелограмм.

И тоже несложно. Но …по-другому!

(ведь   – четырехугольник, а  ,   по условию).

Значит,  . Ух! Но   и   – внутренние односторонние при секущей  !

Поэтому тот факт, что   означает, что  .

А если посмотришь с другой стороны, то   и   – внутренние односторонние при секущей  ! И поэтому  .

Видишь, как здорово?!

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

;       – параллелограмм.

И опять просто:

,   как вертикальные  ,  , и  .

Точно так же  ,    , и  .

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые.

Свойства прямоугольника:

Прямоугольник – параллелограмм Диагонали прямоугольника равны

Пункт 1) совсем очевидный – ведь просто выполнен признак 3 (  )

А пункт 2) – очень важный. Итак, докажем, что

диагонали прямоугольника равны.

Раз прямоугольник – это параллелограмм, то  .

А значит,   по двум катетам (  и   — общий).

Ну вот, раз треугольники   и   равны, то у них и гипотенузы   и   тоже равны.

Доказали, что  !

И представь себе, равенство диагоналей – отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Если у параллелограмма равны диагонали, то это прямоугольник.

Давай поймём, почему?

– параллелограмм     – по условию.   – теперь уже по трём сторонам.

Значит,   (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что   – параллелограмм, и поэтому  .

Значит,  . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по  ! Ведь в сумме-то они должны давать  !

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник.

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах! Не любой четырехугольник с равными диагоналями – прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой.

И снова вопрос: ромб – это параллелограмм или нет?

С полным правом – параллелограмм, потому что у него   и   (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб – параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Свойство 1. Диагонали ромба перпендикулярны.

Почему? Ну, раз ромб – это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Поэтому   по трём сторонам ( ,   — общая,  ).И значит,  , но они смежные!   и  .

Свойство 2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Почему? Да, потому же!

Из-за того, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, а все стороны ромба равны, весь ромб оказался разделён диагоналями на четыре равных треугольника:  .

Поэтому

 

 

Иными словами, диагонали   и   оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти – отличительные, каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны то это – ромб.

— ромб

Почему? Смотри:

— параллелограмм  . Но ещё дано, что     — по двум катетам. И значит,   – и всё!

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

А это почему? А посмотри,

, так как   – параллелограмм. Но ещё дано, что   – биссектриса углов   и  .

Значит,   и оба этих треугольника – равнобедренные.

Значит,  , то есть   — ромб.

И снова обрати внимание! Не всякий четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями – ромб.

Вот пример:

Это вовсе не ромб, хоть его диагонали и перпендикулярны.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые.

То есть квадрат – это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

У квадрата угол между диагональю и стороной равен  .

Понятно, почему? Квадрат — ромб     – биссектриса угла  , который равен  . Значит   делит   (да и   тоже) на два угла по  .

Диагонали квадрата – равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник   диагонали равны; ромб   диагонали перпендикулярны, и вообще – параллелограмм   диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к  .

 

Значит,  

 

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны:  ,  .
2. Противоположные углы равны:  ,  .
3. Углы при одной стороне составляют в сумме  :  ,  ,  ,  .
4. Диагонали делятся точкой пересечения пополам:  .

Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые:  .

Свойства прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны:  .
2. Прямоугольник – параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой:  .

Свойства ромба:

1. Диагонали ромба перпендикулярны:  .
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов:  ;  ;  ;  .
3. Ромб – параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые:  ;  .

Свойства квадрата:

Квадрат — ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же:

Если сторона квадрата равна  , то его диагональ равна  .

 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

youclever.org

Сторона и угол ромба | Треугольники

Если известны сторона и угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

1) Сторона ромба равна a, а острый угол — α.

AD=AB=a, ∠A=α.

Площадь ромба равна 

   

периметр — P=4a.

Проведём диагонали ромба. AC ∩ BD=O.

По свойствам ромба, диагонали являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Из прямоугольного треугольника AOB AO=AB∙sin∠BAO, BO=AB∙cos∠BAO, AC=2∙AO, BD=2∙BO,

   

 

Проведём высоту BH.

Из прямоугольного треугольника ABH BH=AB∙sin∠A,

   

Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:

   

2) Сторона ромба рана a, а тупой угол — β.

AD=AB=a, ∠B=β.

Площадь ромба равна

   

Из прямоугольного треугольника ABO AO=AB∙sin∠ABO, BO=AB∙cos∠ABO,

   

   

∠A+∠B=180º (как сумма внутренних односторонних углов при AD∥BC и секущей AB).

Отсюда sin∠A=sin(180º-∠B)=sin∠B=sinβ.

Из прямоугольного треугольника ABH высота равна BH=AB∙sin∠A=a∙sinβ, радиус вписанной окружности —

   

www.treugolniki.ru

Большая диагональ и острый угол ромба

Если известна большая диагональ и острый угол ромба, то, используя свойства ромба, можно найти остальные его элементы.

Большая диагональ ромба равна D, острый угол — α. Найти меньшую диагональ, стороны, периметр и площадь ромба, а также его высоту и радиус вписанной окружности.

Пусть AC — большая диагональ ромба ABCD, AC=D. ∠BAD=α.

Проведём вторую диагональ: AC ∩ BD=O.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам, то треугольник AOB — прямоугольный,

   

По определению тангенса, 

   

   

   

По определению косинуса,

   

   

Периметр ромба 

   

площадь — 

   

   

Опустим перпендикуляр OF из точки пересечения диагоналей к стороне AD. OF — радиус вписанной в ромб окружности. Из прямоугольного треугольника AOF

   

   

Высота ромба в два раза больше радиуса вписанной окружности, следовательно,

   

www.treugolniki.ru