Упростите выражение тригонометрия примеры: Упрощение тригонометрических выражений — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 21.07.197022.12.2021 by alexxlab

Содержание

Урок 40. преобразование тригонометрических выражений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №40. Преобразование тригонометрических выражений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

различные приёмы преобразования тригонометрических выражений.
различные тригонометрические формулами и их использование при преобразовании тригонометрических выражений.

Глоссарий по теме

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.

sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1))

Например:

Например: .

Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла) заменяем на по формуле .

Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например: , так как , синус меняется на косинус.

, так как , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

Например:

вычислить .

Заметим, что , , .

Тогда данное выражение примет вид: ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е. , значит

Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

, , ,

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например, число рациональное, так как .

Углы вида ; ; , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида ; , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите: .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы и . Используем формулу приведения: и тогда наше выражение примет вид: , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите , если .

Так как , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на . Получаем:

, сократим и заменим на.

, по условию =3, подставим это число в наше выражение: .

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение

3. Воспользоваться основными тригонометрическими формулами.

Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения и не заучивать их.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1. Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения

Мы видим, что , поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

Ответ: -24.

2. Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения

Заметим, что

Воспользеумся фомулой приведения:

Ответ: 5.

3. Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения

Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

Вспомним, что синус — нечетная функция, а косинус — четная:

А также периодичность синуса и косинуса. Получим:

С помощью тригонометрического круга определим значение

и :

Получим:

Ответ: — 16.

4. Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения

Воспользуемся формулой приведения:

Ответ: — 5.

5. Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения

Снова воспользуемся формулой приведения:

Ответ: 12.

6. Задание B10 (№ 26776) Найдите , если и

По основному тригонометрическому тождеству:

Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому

Отсюда

Ответ: 5.

7. Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения

Воспользуемся формулами приведения:

Получим:

Ответ: 2

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»

2.4.2. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Глава 2. Алгебраические выражения

2.4.

2.4.2.

Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут (x; y), а координаты радиус-вектора будут (x’; y’). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x = y’, y = x’. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α.

Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x = y’ и y = x’, то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что

Учтём теперь, что

Тогда из вышеприведённых формул следует:

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Пример 1

Упростите выражение:

Имеем:

Ответ: 2 cos x.

Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1, OC = cos α, CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 3

Упростить выражение:

Формулы сложения

Рисунок 2.

4.2.3

Для вывода формул сложения для тригонометрических функций рассмотрим тригонометрическую окружность и два радиус-вектора и отвечающих углам α и –β (см. рис. 2.4.2.3).

Координаты этих векторов по определению тригонометрических функций равны: Поскольку это радиус-векторы, то их длины равны 1. Вычислим скалярное произведение этих векторов двумя способами:

1. По определению.

поскольку угол между единичными векторами и равен α + β.

2. Через координаты. Имеем:

Итак, получена следующая формула сложения:

Заменим в этой формуле β на –β. Получим ещё одну формулу.

Имеем:

Значит,

Заменим в этой формуле β на –β, получим ещё одну формулу.

Из этих формул непосредственно следует, что

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Заменяя в последних формулах β на –β, получим ещё две формулы:

Последняя формула справедлива при

Эта формула справедлива при

Пример 4

Упростите выражения:

Имеем:

Ответ. 1) tg (x – y); 2) tg y.

Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.

sin 2α = 2 sin α cos α;

Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента.

Совершенно аналогично получается формула

Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д. Пример 5

Вычислите tg x, если

Пример 6

Упростите выражение

Ответ. −2.

Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается

Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:

Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через а именно:

Говорят, что замена является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла

следуют формулы понижения степени:

Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента:

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула

Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

Сложим их:

Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.

Пример 7

Упростите выражения

Имеем:

Ответ. 1) 2) 1.

Тема 6. Тригонометрия — Материалы для подготовки к вступительным экзаменам в СГГА

Тема 6. Тригонометрия

1. Определение тригонометрических функций для угла прямоугольного треугольника

    В прямоугольном треугольнике один из острых углов обозначим через α. Катет, противолежащий этому углу, назовем а; прилежащий катет – b, а гипотенузу – с.
    Существует шесть отношений сторон прямоугольного треугольника относительно фиксированного угла α, каждое из которых, соответственно, назвали:
    .
    Рассмотрим «тригонометрический ряд»:
                                                            .
    Нетрудно заметить, что произведения тригонометрических функций равноотстоящих от концов «тригонометрического ряда», равны 1:
                                                        .

    Из теоремы Пифагора следует:

    – основное тригонометрическое тождество или, как ещё его называют, «тригонометрическая единица».
    Если тождество   почленно разделить на  или на , то получим ещё два тождества:
    .
    Полученные шесть наиболее важных тригонометрических тождеств позволяют отыскать любую из тригонометрических функций при условии, что одна из шести будет известна.

2. Значения тригонометрических функций 30, 45 и 60 градусов

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Высота этого треугольника равна   и делит сторону пополам.
    Из левого прямоугольного треугольника найдём:     Из прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой, равной 1 и острыми углами по 45⁰ найдём:
        .     Сведём все полученные результаты в таблицу:

3.

Определение тригонометрических функций на единичной окружности Величина угла α для прямоугольного треугольника находится в пределах от 0⁰ до 90⁰ градусов. Необходимо определить тригонометрические функции для других углов. Для этого рассмотрим окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале декартовой системы координат. Зададим подвижный радиус OP, первоначальное, «нулевое» положение которого совпадает с положительным направлением оси OX, и вращение против часовой стрелки увеличивает величину угла, а вращение по часовой стрелке величину угла уменьшает. Если точка P лежит в первой четверти, то, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 (т.к. радиус окружности равен 1) и острым углом α, получим: , где х, у – координаты точки Р – конца подвижного радиуса. Этими же соотношениями определяются тригонометрические функции углов меньше 0⁰ и больше 90⁰.

    Из определения тригонометрических функций вытекают важные их свойства:
    1. Все тригонометрические функции периодические. Причём sinα и cosα имеют наименьший (главный) период Т = 2π и общий период 2πk, где k – любое целое число. У tgα и ctgα наименьший период равен π, а общий πk, где k – целое число.
    2. sinα, tgα и ctgα – нечётные функции; т.е.
        sin (– α) = – sinα, tg (– α) = – tgα, ctg (– α) = – ctgα;
        cosα – чётная функция, т.е. cos (– α ) = cosα;
    3. Знаки тригонометрических функций:
        I четверть – положительны sinα, cosα, tgα, ctgα;
        II четверть – положителен только sinα, отрицательны cosα, tgα, ctgα;
        III четверть – положительны tgα, ctgα, отрицательны sinα, cosα;
        IX четверть – положителен cosα, а sinα, tgα, ctgα – отрицательны.

Важное значение при вычислении значений тригонометрических функций имеют формулы приведения, позволяющие свести аргумент тригонометрической функции к углу от 0⁰ до 90⁰.
Из рисунка видно, что относительно горизонтального диаметра наименование тригонометрической функции не меняется, а относительно вертикального меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно).

    Для лучшего запоминания формул приведения можно воспользоваться мнемоническим правилом. Пусть и α- угловые величины дуг единичной окружности, причём . Для того чтобы привести тригонометрическую функцию числа к тригонометрической функции числа α, необходимо:
    1) величину представить в одном из следующих видов:
    2) сохранить наименование функции, если дуга величиной α откладывается от горизонтального диаметра изменить наименование функции на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и обратно), если дуга величиной  откладывается от вертикального диаметра  (см. «Правило носа» ).
    3) установить, в какой четверти расположен конец дуги величиной , и определить знак приводимой тригонометрической функции; этот же знак поставить перед значением приведённой функции.
     «Правило носа». Задайте вопрос: «Функция меняет имя?» и носом водите вдоль той оси координат, от которой откладывается острый угол α.

по оси ОY носом водите вверх-вниз, что на мнемоническом языке означает «да» – значит, функция меняет своё имя на кофункцию;
по оси OX носом водите влево-вправо, что на мнемоническом языке означает «нет» – функция имени не меняет.

Для выполнения тождественных преобразований необходимо знать следующие формулы:
    1.Формулы сложения
    .
    2.Формулы двойного аргумента
    .
    3.Формулы половинного аргумента
    .
    4.Формулы понижения степени          5.Формулы преобразования суммы в произведения
         6.Формулы преобразования произведений в суммы
     .
    7. Определения обратных тригонометрических функций
     .     8. Тригонометрические уравнения
     .

Базовый уровень

Пример 1. Вычислить .

Решение:

Ответ: 1.

Пример 2. Найти значение sinα , если .

Решение:

Так как синус в IV четверти имеет отрицательное значение, то .

Ответ: – 0,6.

Пример 3. Найти значение , если .

Решение:

Из формулы найдём . Так как α лежит в I четверти, то cosα положителен и . Из формулы найдём . .

Ответ: 7,2.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение:

. Умножим левую и правую части равенства на 5 и, учитывая, что , получаем . Ответ: .Пример 5. Вычислить .

Решение:

Согласно формулам сложения, имеем .

Ответ: 1.

Пример 6. Приведите значение аргумента к I четверти: .

Решение:

По алгоритму формул приведения: . Ответ: .

Повышенный уровень

Пример 7. Упростить .

Решение:

Ответ: .Пример 8. Вычислить .

Решение:

Воспользуемся формулами преобразования произведений в сумму и формулами приведения, получим:

Ответ: 1.

Задания для самостоятельного решения

Ответы

1) 2; 2); 3) – 1; 4) 0,5cosx ; 5) 0; 6) – 0,5; 7) 1; 8) ; 9) 1; 10) 1; 11) 2; 12) – 1,5; 13) ; 14) 0; 15) 0,5; 16) 2,25; 17) ; 18) ; 19) – 3; 20) ; 21) ; 22) а) 0, б) 1; 23) 1; 24) 1; 25) 0,4; 26) 2; 27) 2/7; 28) 0,2; 29) 225⁰; 30) 30⁰+180⁰•k₁, 180⁰•k₂,; 31) ; 2π; 32); 33) ;

Упростить выражение.

Онлайн калькулятор с примерами

Что значит упростить выражение

Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.

Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.

При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.

Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.

В чем смысл таких действий

Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.

Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.

Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.

Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?

Приведем наглядный пример

Допустим, сказано упростить выражение (a+b)². В этом случае абсолютно каждый нормальный школьник раскроет скобки и будет доволен самим собой. Без сарказма это действительно так и это нормально.

Но вот другая постановка задачи: упростите выражение (a+b)², затем подставьте следующие числовые значения a=&frac23;, b=&frac13; и запишите получившееся число.

Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=&frac23; и b=&frac13;, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=&frac23;+&frac13;=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!

Заключение

Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.

Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.

Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.

Желаем успехов!

Математика для блондинок: Как упростить выражение

Комментарии к этой странице переполнены и у меня нет возможности отвечать. Свои вопросы и пожелания оставляйте здесь.

Вот очередная просьба о спасении утопающего в тригонометрии. Есть набор тригонометрических символов, а что с ними делать — не понятно. Как упростить выражение? Рецепт очень простой — нужно использовать те формулы, которые вы учите сейчас. Или те формулы, которые вы учили когда-то, но напрочь забыли. Вот описание выражений.

Теперь перепишем выражения, которые нужно упростить, в более удобоваримом виде.

Не знаю, как вас, а меня красота математики иногда просто завораживает. Но не в этом случае — не люблю задачи, составленные людьми. Мы с блондинками недавно решали пример на упрощение: под корнем квадратным четыре выражения в скобках перемножаются между собой, каждая скобка содержит сумму из трех тригонометрических функций. Я даже сам сперва испугался такого монстра. Любопытство и вера в мудрость математики победили. Я начал перемножать скобки. Огромное выражение таяло, как снег весной, в результате сокращений. В итоге мы получи произведение двух тригонометрических функций. Даже блондинкам это понравилось: «Вау! Супер!» — так звучал их вердикт.

Процесс упрощения математических выражений очень похож на то, чему учат курсы кройки и шитья. Вырезаем один фрагмент и заменяем его другим. При этом математическими формулами мы пользуемся, как выкройками. Все формулы разрезаются по знаку равенства. Вместо того куска формулы, который присутствует в математическом выражении, мы вставляем другой кусок, который находится с противоположной стороны знака равенства.

Посмотрим на наших примерах, как это делается. Прежде всего, нужно определить, какие именно формулы необходимо использовать для упрощения выражений. В процессе обучения чаще всего используются те формулы, которые вы учили совсем недавно. В повседневной жизни для этих целей используйте справочники. Сейчас мы используем основные тригонометрические тождества.

Вместо квадратов синуса и косинуса ставим единицу в наше выражение. У нас получилось новое тригонометрическое тождество, только угол у нас обозначен по-другому — бетта вместо альфа. В результате наше выражение превращается в единицу, деленную на косинус угла бетта в квадрате. Вместо этого можно записать секанс бетта в квадрате (по определению тригонометрических функций).

Для упрощения второго выражения необходимо немного преобразовать основные тригонометрические тождества. Используем обычные арифметические правила переноса слагаемых и сомножителей из одной части равенства в другую. Зеленые стрелочки справа показывают, из какого тождества получена нужная нам формула. Заменяем котангенс в знаменателе на тангенс в числителе. Мы избавляемся от дроби и получаем тангенс в квадрате. По теореме Пифагора в тригонометрическом виде заменяем единицу минус косинус альфа в квадрате на квадрат синуса альфа. Из определения тригонометрических функций заменяем тангенс на отношение синуса к косинусу. Сокращаем нашу дробь и получаем синус альфа в квадрате.

Как бы математики не гордились своей высшей математикой, но вся она построена на банальной кройке и шитье. Решение дифференциалов, интегралов и прочей ерунды сводится к поиску подходящих формул и преобразовании выражений до удобоваримого вида, которое принято называть «решение». Всё отличие математики высшей от математики обычной заключается в количестве формул, которые используются при решении. В высшей математике их ну очень много.

Если вы научитесь в уме жонглировать основными формулами, если вы научитесь в предлагаемых выражениях видеть куски, содержащие основные формулы, тогда с математикой у вас не будет никаких проблем. Вы будете решать всё, что от вас потребуют. Умение распознавать хорошо замаскированную суть и интуитивное видение решения — это то, что вы получите в результате тренировок по упрощению математических выражений.

Я столько всего пишу о математике, что пора уже собирать разрозненные мысли в одну книгу «Математика для блондинок». Потом можно издать книгу за свой счет и вы получите перевод абстрактной математики на человеческий язык. Как разложить борщ по тригонометрическим функциям? Такое в принципе возможно или нет? Есть ещё масса не менее интересных вопросов, ответы на которые вы сможете получить.

Но проблема заключается в финансировании моей работы над математикой. Если я занят зарабатыванием денег, тогда я не занимаюсь математикой. Если я занимаюсь математикой — я не зарабатываю себе на жизнь. Такова формула жизни. Если вам нужна «Математика для блондинок», тогда окажите мне материальную помощь. Если вы не будете перечислять денег, тогда я с чистой совестью буду заниматься другими делами. А что делать вам? Покупайте оценки у учителей, нанимайте репетиторов или усердно зубрите математику. Так делают все.

Тождественные преобразования тригонометрических выражений – методическая разработка для учителей, Маукешева Менсулу Бурангалиевна

Общая цель:

научить выполнять преобразования тригонометрических выражений, применяя основные тригонометрические формулы; развивать технику вычислений, логическое мышление, интерес к изучаемой теме и к предмету в целом, осуществлять межпредметную связь; осуществлять трудовое воспитание, уважение к мнению собеседника, умение слушать другого говорящего, воспитывать грамотно выражать свою мысль, давать объективную оценку выступающему.

Ожидаемый результат:

— Знает основные тригонометрические формулы

— Умеет применять их для преобразования тригонометрических выражений

— Умеет применять применение формул из сайта BilimLand. kz в разных ситуациях

— Умеет представлять и защищать индивидуальные проекты

Тип урока:

комбинированный с применением элементов 7 модулей, элементов полиязычия в обучении и ресурсов BilimLand.kz, iTest.kz, Видеоколлекция.

Задания:

карточки с упр. из сайта BilimLand.kz, пазлы с решенными примерами BilimLand.kz; задания BilimLand.kz для метода Джигсо, таблицы для заданий iTest.kz, лепестки с вопросами для ромашки Блума, презентация для индивидуального проекта, слайд для задания с одним правильным ответом, упражнения для выполнения заданий из BilimLand.kz.

Источники, оснащение и оборудование, ресурсы:

BilimLand. kz: Видеоколлекция + iTest.kz + Начальная математика + Познавательные фильмы.

Компьютер, проектор, экран, ноутбуки, планшет, смартфоны, маркеры, А4, магнитки, стикеры, карточки для светофора, А3 для метода Джигсо, Ромашка Блума, листы оценивания, критерии оценивания светофора и заданий iTest.kz, таблицы для заданий iTest.kz, дерево для рефлексии, девиз, тема урока, итог урока на русском, казахском и английском языках, бэйджики, макеты для названия групп BilimLand, iTest, iMektep, макет многогранника, перекидной календарь, папка -раскладушка для индивидуальных проектов, папка -раскладушка для познавательного материала «ЭКСПО 2017», эмблемы для учащихся с названиями групп,

Ход урока

Этапы урока

Действия учителя

Ресурсы и модули

Действия учеников

Вводная часть

2 мин

1. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня тепло на улице, солнышко светит ярко и я уверена успешно проведете этот день! Для дальнейшей работы необходимо разделиться на группы.

Деление на группы. Прошу подойти трех учащихся, которые считают, что могут быть лидерами (раздаю эмблемы им с названиями групп BilimLand, iTest, iMetktep) А теперь прошу всех подойти к нам и образовать кольцо, задание: я буду произносить слово, а вы по количеству букв в этом слове образовываете кольцо, дважды встречающую букву считать как за одну, например слово «Теsт» (образовываются 4 группы по 3 человека, затем слово «iMektep «, и слово «Bilim». Замечательно, и теперь не трудно догадаться в какие группы садитесь: по эмблемам образовавшихся лидеров.

эмблемы

Модуль Новые подходы, Групповая работа

Вовлечение всех

Учащиеся приветствуют учителя.

образуют кольцо

Читают название эмблемы лидера и садятся за соответствующий стол, прикрепляют эмблемы себе,

Обращение внимания лидеров, которые выполняют оценивание членов группы в листах оценивания по критериям, лежат на столах.

Необходимо повторить правила

Правила работы в группе и критерии оценивания по светофорам

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Групповая работа

Вовлечение всех

Слушают

Читает Маржан

3 мин

2. Психологический настрой.

О, математика, земная!

Гордись, Прекрасная собой,

Ты всем наукам мать родная

И дорожат они тобой.

В веках овеяна ты славой

Светило всех земных светил

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил!

Ребята! Сегодня мы снова на уроке математики т. е. алгебры. Прочитайте, пожалуйста тему урока и наш девиз

И нам снова будет помогать сайт BilimLand.kz. Хочу напомнить, что это онлайн образовательный портал для дошкольной подготовки младших классов, средних классов и старших классов. BILIM – знание. Материалы сайта помогут подготовиться к различным экзаменам, ВОУДу и ЕНТ, забытый материал за предыдущие классы. Цель сайта- Сделать качественное образование доступным для всех.

модуль ИКТ

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Создание коллаборативной среды

BilimLand.kz

Модуль «Лидерство»

Звучит тихо музыка (James Last для оркестра)

читает учитель, дети слушают

слушают

5 минут

3. Актуализация знаний учащихся.

Проверка пройденного материала

«Ромашка Блума» предлагаю начать с желтого лепестка по часовой стрелке (Вводный материал к изучению нового) карточки с формулами из сайта

1) Посмотри на ребят и ответь: Что обобщает записанные выражения? ( тригонометрические функции) (sin alpha) (mathrm{tg}alpha) (cos alpha) (mathrm{ctg}alpha) (mathrm{sec}alpha)

Модуль Критическое мышление

Методика Блума

BilimLand. kz

Геометрия.

модуль ИКТ Межпредметная связь

Отвечают по одному

На лепестках вопросы из

BilimLand.kz

Геометрия.

В классе поднимают карточки с названиями тригонометрических функций Синус косинус тангенс и котангенс секанс и косеканс

2.»Теперь чем отличаются записи?» Правильно, в некоторых есть тригонометрические функции, а в некоторых нет

Модуль Критическое мышление

Поднимают еще запись 2x+1

3) А что отличает тригонометрические выражения?

В некоторых есть преобразования

4. Выполнить доказать тождество на компьютере упр 4

BilimLand.kz.

Модуль Критическое мышление

BilimLand.kz

модуль ИКТ

Показывает все записи кроме 2x+1 и преобразование появляется запись, остальные слушают

5) Выполни задание по слайду с одним правильным ответом

модуль ИКТ

Выполняет 1 ученик, а остальные слушают и проверяют

6) Особое задание: Индивидуальный проект » Тождественные преобразования тригонометрических выражений» представит Куксова Настя (В работе над проектом использован материал из конспекта к тесту ресурса iTest. kz)

А теперь прочитаем тему урока

Тема урока:

Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Тригонометриялық өрнектерді тепе тең түрлендіру.

Identical transformations of trigonometric expressions.

Наш девиз урока:

BilimLand, iTest, iMektep.kz

С вами к знаниям нам преграды нет!

BilimLand, iTest, iMektep.kz

Сіздермен бірге бізге білімге кедергі жоқ!

BilimLand, iTest, iMektep.kz

With your knowledge we are no obstacles!

Как вы думаете: Какова же цель нашего урока?

модуль ИКТ

конспект

iTest. kz

BilimLand.kz

Элементы полиязычья

остальные слушают, делают записи и оценивают светофорами

Все вместе произносят тему урока и девиз (на трех языках), автором которых являются сами учащиеся и учитель

отвечают

Основная часть

(2 мин)

Индивидуальный проект Азбергенев Диаз по презентации. В работе над проектом использован материал из образовательного сайта BilimLand.kz, Видеолекция № 1

A–α

)

Предлагает учащимся открыть стр. 2 Упр.1 и выполнить практическую работу по группам (каждой группе по одному примеру, ответ записать на компьютере, какая группа выполнит-подают сигнал хлопками) и сам проверяет

BilimLand.kz, курс Математика Раздел Алгебра.

«Тождественные преобразования тригонометрических выражений» модуль «ИКТ»

Слушают, делают записи и отвечают на поставленные вопросы

Запись формулы

Решают на ноутбуках, хлопают по завершении работы,

а Диаз сам проверяет

Группы оценивают проект Диаза

5 мин

Индивидуальный проект Мурзагалиева Маржан по перекидному календарю. В работе над проектом использован материал из образовательного сайта BilimLand.kz, Видеолекция №2

Выполнение практической работы по группам (образовательного сайта BilimLand.kz

Математика. Алгебра. Тригонометрия. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. стр. 3 Упражнения 2)

гр. BilimLand Тождественные преобразования тригонометрических выражений. стр. 3 Упражнения 2.

Разложите на множители данные выражения. Заполните пропуски. Округлите ответы с точностью до 1 знака после запятой.

5cosӨ+12sinӨ=cos(Ө-° )

гр. iTest

6cosӨ+8sinӨ=cos(Ө-° )

гр. iMetktep

4cosӨ+3sinӨ=cos(Ө-° )

Проверяет правильность выполнения

Группы оценивают выполнение проекта светофорами

модуль»ИКТ»

BilimLand.kz

Модули «Талантливые

и одаренные и «Оценивание»

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Диалоговое обучение

Слушают

Запись формулы

Решают на карточках, хлопают по завершении работы

Маржан сама проверяет

Группы оценивают проект Маржан

Бодрячок «Ай да- МОЛОДЦЫ!»

Ай, да мы- Молодцы!

Молодцы!- ай да мы

Настроение какого?

Во-во-во!

Все такого мнения?

Да, да, да!

Все без исключения?

Да, да, да!

Ай да мы –МОЛОДЦЫ!

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Выполняют и отвечают

2 мин

Индивидуальный проект Головченко Максим по папке раскладушке. В работе над проектом использован материал из образовательного сайта BilimLand.kz, Видеолекция №3

Выполнение практической работы по группам (каждой группе по одному примеру, ответ записать на основном компьютере)

Упр. 3 на стр. 4 каждая группа по 1 заданию (ответы на главном экране)

гр. BilimLand — стр.4, упр. 3 пример 1

Гр. iTest — стр.4, упр. 3 пример 2

Гр. iMetktep — стр.4, упр. 3 пример 3

модуль «ИКТ»

BilimLand.kz

курс Математика

Раздел Алгебра.

Гл.

Тригонометрия. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Модули «Талантливые и одаренные»

«Оценивание»

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Решают и заполняют на ноутбуках, а один представитель группы по проектору

Группы оценивают проект Максима

Разминка. Измерение. 4.11.3 Сравнение. Дополнительные задания. Упр. 2

модуль «ИКТ»

BilimLand.kz

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Выполняет желающий по проектору

3 минут

Собрать пазлы

гр. BilimLand Тождественные преобразования тригонометрических выражений. стр. 5 пример 1. Упростите выражение

(sin(frac{pi}{2}+alpha)-cos(alpha-pi)-mathrm{tg}(alpha-pi)+mathrm{ctg}(frac{5}{2}pi-alpha)=)

(=cosalpha-cos(pi-alpha)+mathrm{tg}(pi-alpha)+mathrm{ctg}(frac{5}{2}pi-alpha)=)

(=cos alpha+cos alpha+mathrm{tg}alpha-mathrm{tg}alpha=2cosalpha)

Ответ: (2cosalpha)

гр. 22alpha)

модуль «ИКТ»

BilimLand.kz

Модуль «Возрастные особенности»

Модуль

Критическое мышление

Метод пазлов

Модуль

«Оценивание» «Измерение температуры»— Учитель с вопросами в группы Понятно ли задание? В каком месте затруднения? Нужна ли помощь? т. д. «Светофор»

каждая группа получает пазлы по готовому решению примеров, разбирают решение примера, собирают пазлы на А3 и объясняют у доски как поняли решение,

другие группы оценивают

«Светофор» —

Какое знаменательное событие предстоит в этом году в Казахстане? (ЭКСПО 2017). Мамедов Родион подготовил видеоролик из сайта, а я позже скажу чем связан наш класс с этим событием.

Видеоколлекция. Познавательные фильмы. Что такое ЭКСПО? За активное участие в Областных и Республиканских конкурсах 2 ученика из нашего класса Мамедов Родион и Мурзагалиева Маржан поедут на ЭКСПО 2017 представлять ЗКО. Давай поздравим их.

Модуль «Талантливые

и одаренные» и

модуль «ИКТ»

BilimLand.kz

Видеоколлекция «Познавательные фильмы»

Слушают, если есть вопросы задают

Поздравляют

Метод Джигсо ( представители групп после выполнения заданий садятся в другие группы и обьясняют решение своего примера, стр 6)

Упр. 5 — Гр. BilimLand

Упр.7- Гр. iTest

Упр. 8-Гр. iMetktep

Модуль

Критическое мышление

Метод Джигсо

модуль «ИКТ»

BilimLand.kz

Решают примеры в группах,

разбирают в своей группе, оформляют на А4, затем представители идут объяснять в другие группы по цепочке.

Оценивание «Светофор»

Выполнение теста раздела «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»; iTest. kz Алгебра. Элементы тригонометрии. «Тождественные преобразования тригонометрических выражений» тест 9

1 гр. выполняет по ноутбуку

2 группа на телефонах

3 группа на таблицах- карточках.

iTest.kz

модуль ИКТ

решают, оценивают

используют смарттелефоны, ноутбуки, таблицы,

лидеры по критериям оценивают выполнение теста

Подведение итогов

(2 мин)

Итог урока.

Дом задание: Дом задание стр. 6 упр. 1, 6 задания через ватсап в нашей группе «9 Б класс»

модуль ИКТ

(телефон)

BilimLand.kz

Проверяют на телефонах сообщение

Сдать листы оценивания

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Модуль

«Оценивание»

Оценивание

Сдают лидеры листы оценивания

Рефлексия Закончите предложения:

Я хочу сказать. ……

Учитель прочитывает некоторые из них, делая выводы

Оценки обьявить с обоснованием каждому ученику

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Модули «Лидерство»

«Оценивание»

Отвечают на стикерах и вывешивают на «дерево»

Учитель выставляет итоговую оценку

Притча

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни.
У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».
А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве Храма».
— Ребята! давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
— Кто работал так, как первый человек?
— Кто работал добросовестно?
— Кто принимал участие в строительстве храма?

BilimLand.kz, iTest.kz, iMektep.kz

Спасибо вам за наш успех!

Біздін жетістіктерімізге алгысымызды білдіреміз!!!

Thank you for our success!!!

Замечательно! Вы были очень активны. Спасибо за урок! Всем желаю Удачи!

Модуль «Новые подходы в преподавании и обучении»

Модуль «Лидерство»

Элементы полиязычья

Слушают и отвечают, поднимая руку

Анализ занятия (самоанализ)

Урок прошел на отличном уровне, все запланированное успели. Цель как учителя была применить как можно больше ИКТ в сочетании с курсами онлайн образовательного портала BilimLand.kz: Видеоколлекция, Математика. (Алгебра и геометрия), Познавательные фильмы, Начальная математика и конечно же, iTest.kz. Как сертифицированный учитель 3 базового уровня я снова попробовала сочетать в одном уроке возможности портала BilimLand.kz и все 7 модулей: «Талантливые и одаренные», «Критическое мышление»,» Возрастные особенности», «ИКТ», «Новые подходы в обучении», «Оценивание», «Лидерство». На данном уроке ввела новое то, что учащиеся самостоятельно изучили видеолекции из этой темы, конспект к тесту, оформили каждый по своему ( папка-раскладушка, многогранник, перекидной календарь и конечно же в виде презентации и представили детям, причем каждый после лекции предложил выполнение упражнений из сайта. Учащиеся выполняли опять таки на ноутбуках, карточках, тетрадях и на основном компьютере. Дети справились с задачей, доступно объяснили и при оценивании одноклассниками получили хорошие отметки. Выступали свободно, доступно преподнесли материал и закрепили с другими. Также в начало и конце урока использовала элементы Полиязычья, к которому девиз и итог сочинили сами. По результатам рефлексии стало видно, что детям понравилось путешествие по порталу BilimLand.kz, iTest.kz и даже выполнить игровое задание из Начальной математики «Собери блоки», а ученик с высокой мотивацией нашел в Познавательных фильмах информацию о ЭКСПО-2017 и представил учащимся, затем я дала информацию, что за активное участие в Областных и Республиканских конкурсах Мамедов Родион и Мурзагалиева Маржан направлены на ЭКСПО 2017 от ЗКО. Начало урока и итог урока заключались сообщением и выводом о возможностях портала, также на этом уроке еще раз убедились, что ресурсами можно пользоваться как на компьютере, ноутбуках но и на сенсорных телефонах, которые имеются у каждого ученика. Как учитель построила урок на диалоговом обучении (ученик -ученик, ученик-учитель, групповая работа), а не на простом прослушивании лекции, упражнения из курса «Математика» Геометрия применила в виде карточек для ромашки Блума, и на закреплении по ноутбукам, через проектор выполняли непосредственно на сайте BilimLand.kz. Еще раз хочу отметить внимание детей привлекает то, что выполнение разных упражнений требует выполнить соответствие, ответить «да» или «нет» (раньше встречали), записать на английском языке, вставить элементы в пустую клетку перетаскиванием. Очень интересный портал. Свободно можно применять на каждом рабочем уроке и при изучении и при закреплении и при проверке пройденного или забытого материала данный сайт — активного помощника как для учителя и для учащегося, и для родителей, которые помогают ребенку в получении знаний, подготовке как к ВОУДу, ЕНТ так и к любому экзамену. Можно даже ехать в транспорте открыть iTest.kz и повторить забытый материал, тут же выполнить проверку своих знаний. Это урок показывает как можно применить материал из образовательного сайта BilimLand.kz на протяжении всего урока параллельно с применением ИКТ, 7 модулей и элементов Полиязычья. ИКТ теперь применяем на разных этапах урока и на компьютере, ноутбуках и телефонах. BilimLand.kz позволяет повторить, изучить, проверить уровень подготовки по тем или иным темам, расширить кругозор, поиграть в различные логические игры.

Изменения по уроку

Урок показал, что вполне можно совмещать несколько современных технологий на одном уроке. BilimLand.kz применять в дальнейшем ежедневно. Какие изменения по уроку?

Урок получился плотным, интересным, содержательным и главное понравился моим ученикам.

Я с детьми убедились, что учащиеся самостоятельно могут изучать учебный материал и решать упражнения на закрепление. Каждый фрагмент и этого урока был прожит мною при составлении конспекта, до секунды все продумано, тогда только все можно успеть, только пропустив через себя. Мое кредо «Учитель лишь до тех пор остается, пока сам учится. Как только он перестает учиться, он перестает быть учителем» — замечательные слова великого педагога К. Д. Ушинского.

Упрощение тригонометрических выражений | Тригонометрия

Упрощение тригонометрических выражений

Шаг 1: Определите данное тригонометрическое выражение.

Шаг 2: Упростите выражения, используя тригонометрические тождества.

{eq} \ tan (\ theta) = \ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ csc (\ theta) = \ frac {1} {\ sin (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ sec (\ theta) = \ frac {1} {\ cos (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ cot (\ theta) = \ frac {1} {\ tan (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ cot (\ theta) = \ frac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)} {/ eq}

{eq} {\ sin (\ theta)} ^ 2 + {\ cos (\ theta)} ^ 2 = 1 {/ eq}

Упрощение тригонометрических выражений Словарь

Тригонометрические функции: Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и углами прямоугольных треугольников. Основные тригонометрические функции — это синус, косинус и тангенс.

Например, синус, косинус и тангенс треугольника можно вычислить для {eq} x {/ eq} как,

$$ \ sin (x) = \ frac {AC} {AB} $$

$$ \ cos (x) = \ frac {BC} {AB} $$

$$ \ tan (x) = \ frac {AC} {BC} $$

Тригонометрические тождества: Между тригонометрическими функциями существуют некоторые отношения. Эти тождества используются для упрощения выражений.2 = 1 $$

Следующие три примера покажут, как упростить тригонометрические выражения.

Упрощение тригонометрических выражений, пример 1

Используйте тригонометрические тождества, чтобы полностью упростить выражение: {eq} \ frac {\ cot (\ theta)} {\ csc (\ theta)} {/ экв}.

Шаг 1: Определите данное тригонометрическое выражение.

$$ \ frac {\ cot (\ theta)} {\ csc (\ theta)} $$

Шаг 2: Упростите выражения, используя тригонометрические тождества. 2 = 1 {/ eq}

$$ \ frac {\ cot (\ theta)} {\ csc (\ theta)} = \ frac {\ frac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} {\ frac {1} {\ sin (\ theta)}} $$

$$ = \ frac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)} \ times \ sin (\ theta) $$

$$ = \ соз (\ тета) $$

Следовательно,

$$ \ frac {\ cot (\ theta)} {\ csc (\ theta)} = \ cos (\ theta). $$

Упрощение тригонометрических выражений, пример 2

Используйте тригонометрические тождества, чтобы полностью упростить выражение: {eq} \ frac {\ tan (\ theta)} {\ sec (\ theta)} {/ eq}

Шаг 1: Определите данное тригонометрическое выражение.

$$ \ frac {\ tan (\ theta)} {\ sec (\ theta)} $$

Шаг 2: Упростите выражения, используя тригонометрические тождества.

{eq} \ tan (\ theta) = \ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ csc (\ theta) = \ frac {1} {\ sin (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ sec (\ theta) = \ frac {1} {\ cos (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ cot (\ theta) = \ frac {1} {\ tan (\ theta)} {/ eq}

{eq} \ cot (\ theta) = \ frac {\ cos (\ theta)} {\ sin (\ theta)} {/ eq}

{eq} {\ sin (\ theta)} ^ 2 + {\ cos (\ theta)} ^ 2 = 1 {/ eq}

$$ \ frac {\ tan (\ theta)} {\ sec (\ theta)} = \ frac {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} $$

$$ = \ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} \ times \ cos (\ theta) $$

$$ = \ грех (\ тета) $$

Следовательно,

$$ \ frac {\ tan (\ theta)} {\ sec (\ theta)} = \ sin (\ theta). 2 {\ theta}} {\ cos {\ theta}} $$

$$ = \ frac {1} {\ cos {\ theta}} $$

$$ = \ сек {\ theta} $$

Следовательно,

$$ \ cos {\ theta} + \ sin {\ theta} \ cdot \ tan {\ theta} = \ sec {\ theta}

$ Получите доступ к тысячам практических вопросов и объяснений!

Упростите тригонометрическое выражение — WebMath

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите пункт справки по математике…Calculus, DerivativesCalculus, IntegrationCalculus, Quotient RuleCoins, CountingCombrations, Finding allComplex Numbers, Adding ofComplex Numbers, Calculating withComplex Numbers, MultiplyingComplex Numbers, Powers ofComplex NumberConversion, SubtractingConversion, AreaConversion, VolumeConversion, FindConversion, Massage анализ AverageData, поиск стандартного отклонения, анализ данных, гистограммы, десятичные дроби, преобразование в дробь, электричество, стоимость факторинга, целые числа, наибольшие общие факторы, наименьшие общие фракции, добавление фракций, сравнение фракций, преобразование фракций, преобразование в десятичные дроби, дробление фракций, умножение фракций, уменьшение дробных фракций, умножение фракций , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Любая функцияGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, The Equation from point and slopeLines, The Equation from slope and y-intLines, The Equation from two pointsLodsottery Практика полиномов Математика, Практика основ , Факторинг разности квадратов, многочленов, факторинга трехчленов, многочленов, факторинга с GCF, многочленов, умножения многочленов, возведение в степень ns, Решить с помощью факторинга Радикалы, Другие корни Радикалы, Отношения квадратного корня, Что они собой представляют, Выведение на пенсию, Экономия на продажной цене, РасчетНаучная нотация, ПреобразованиеНаучной нотации, ДелениеНаучная нотация, Умножение форм, ПрямоугольникиУпрощение, Все, что угодноУпрощение, Образцы, Образцы, Упрощение, Упрощение, Пример Правые треугольники, Ветер, рисунок

Wolfram | Примеры альфа: тригонометрия

Тригонометрические расчеты

Вычисляйте тригонометрические функции или более крупные выражения, включающие тригонометрические функции с разными входными значениями.

Вычислить значения тригонометрических функций:

Вычислить значения обратных тригонометрических функций:

Другие примеры

Тригонометрические функции

Узнавайте и выполняйте вычисления с использованием тригонометрических функций и их обратных функций над действительными или комплексными числами.

Вычислить свойства тригонометрической функции:

Вычислить свойства обратной тригонометрической функции:

Постройте тригонометрическую функцию:

Проанализируйте тригонометрическую функцию комплексной переменной:

Проанализируйте тригонометрический полином:

Сгенерируйте таблицу специальных значений функции:

Вычислить среднеквадратическое значение периодической функции:

Другие примеры

Тригонометрические идентичности

Узнайте и примените известные тригонометрические тождества.

Найдите формулы для нескольких углов:

Найдите другие триггерные идентичности:

Другие примеры

Тригонометрические уравнения

Решайте уравнения, содержащие тригонометрические функции.

Решите тригонометрическое уравнение:

Другие примеры

Тригонометрические теоремы

Узнайте и примените известные тригонометрические теоремы.

Примените тригонометрическую теорему:

Примените теорему Пифагора:

Другие примеры

Сферическая тригонометрия

Изучите отношения между длинами сторон и углами треугольников, когда эти треугольники нарисованы на сферической поверхности.

Примените теорему сферической тригонометрии:

Другие примеры

Определение недопустимых значений в триггере

При работе с тригонометрическими функциями и выражениями мы часто сталкиваемся и нас просят решить тригонометрические значения, для которых выражение является «недопустимым», то есть наш ответ будет неопределенным.Чаще всего это происходит, когда значения триггера равны нулю, например sin0. Эти значения также называются недопустимыми, если они приводят к неопределенному выражению. Ниже приведена диаграмма значений триггеров, в которой указаны точные значения триггерных функций для синуса, косинуса и тангенса.

График значений синуса, косинус, касательная функция

ПРИМЕЧАНИЕ : На этой диаграмме просто приведены значения синуса, косинуса и тангенса в первом квадранте с использованием общего опорного угла. Если вы помните, эти значения будут различаться по знаку (+/-) в зависимости от того, в каком квадранте находится угол.Мы можем использовать аббревиатуру ASTC (Все учащиеся принимают исчисление), чтобы помочь нам запомнить, какое триггерное соотношение является тем, что находится в каждом квадранте:

A — Все положительные S — синус положительный T — касательная положительная C — косинус положительный

Для обзора некоторых из этих концепций в более подробном видео, ознакомьтесь с нашими клипами, посвященными опорному углу, точным значениям триггерных функций и исчислению для всех учащихся. Кроме того, прежде чем мы сможем идентифицировать недопустимые значения, часто необходимо предпринять шаги по упрощению.{2}) (a2 + b2 = c2), чтобы найти неизвестные длины сторон прямоугольных треугольников, и мы можем использовать SOHCAHTOA, чтобы найти пропущенные углы. Ниже приведены формулы, полученные от SOHCAHTOA, а также изображение, которое поможет вам визуализировать это:

sin⁡x = противоположная гипотенуза, cos⁡x = смежная гипотенуза, tan⁡x = противоположная смежная \ sin x = \ frac {противоположная} {гипотенуза}, \ cos x = \ frac {смежная} {гипотенуза}, \ tan x = \ frac { противоположный} {смежный} sinx = гипотенуза напротив, cosx = гипотенуза смежный, tanx = смежный противоположный Визуализируйте, используя соседнюю противоположность и гипотенузу

Частные личности:

В тригонометрии частные тождества относятся к тригонометрическим тождествам, которые делятся друг на друга.Есть два частных тождества, которые имеют решающее значение для решения задач, связанных с триггерами: тангенс и котангенс. Котангенс, если вы с ним не знаком, — это обратное или обратное тождество тангенса. Эта идентичность будет более ясна в следующем разделе. Ниже это изображение охватывает две фундаментальные идентичности, которые вы должны знать, когда дело касается частных идентичностей. {- 1} xsin − 1x? Оказывается, есть.{-1} xsin − 1x или 1sin⁡x \ frac {1} {\ sin x} sinx1, вместо этого мы можем использовать обратное тождество csc⁡x \ csc xcscx. Косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot) — чрезвычайно полезные тождества, и вы будете широко использовать их по мере продвижения математики к предварительному исчислению и исчислению. Поэтому очень важно запомнить и понять все эти идентичности. На изображении ниже показано, что вы должны знать.

Взаимные идентичности

Как найти точечный разрыв:

Теперь, когда мы рассмотрели наиболее важные тождества, используемые для упрощения триггерных выражений, мы можем сосредоточиться на том, как находить точки разрыва.Конечно, лучший способ узнать это — решить пару примеров задач:

Пример 1:

Найдите точки разрыва для следующего тригонометрического выражения:

cos⁡x1 + 2sin⁡x \ frac {\ cos x} {1 + 2 \ sin x} 1 + 2sinxcosx

Шаг 1. Найдите выражение неоднородности

Как упоминалось ранее, недопустимые значения возникают, когда выражение не определено, чаще всего, когда знаменатель равен нулю. В этом случае сделаем знаменатель равным нулю и упростим.

1 + 2sin⁡x ≠ 01 + 2 \ sin x \ neq 01 + 2sinx = 0 sin⁡x ≠ −12 \ sin x \ neq — \ frac {1} {2} sinx = −21

Шаг 2: Найдите значения x

Теперь нам нужно найти x, чтобы найти, какие значения переменной приводят к тому, что sinx будет равен −12- \ frac {1} {2} −21. Согласно ASTC, синус отрицательный в третьем и четвертом квадранте.

Определите знак с помощью ASTC

Далее, поскольку мы знаем, что sin⁡30 \ sin 30sin30 (или sin⁡π6 \ sin \ frac {\ pi} {6} sin6π) равно 12 \ frac {1} {2} 21, все, что нам нужно нужно использовать этот опорный угол в каждом из этих квадрантов.

Использование опорного угла в третьем квадранте Использование опорного угла в четвертом квадранте

Это оставляет нам наши ответы, которые являются нашими пунктами разрыва:

Точки разрыва x ≠ 7π6,11π6; 0≤x≤2πx \ neq \ frac {7 \ pi} {6}, \ frac {11 \ pi} {6}; 0 \ leq x \ leq 2 \ pix = 67π, 611π; 0≤x≤2π х ≠ 7π6 + 2πn, 11π6 + 2πn; nx \ neq \ frac {7 \ pi} {6} + 2 \ pi n, \ frac {11 \ pi} {6} + 2 \ pi n; nx = 67π + 2πn, 611π + 2πn; n = любое целое число

Пример 2:

Найдите точки разрыва для следующего тригонометрического выражения:

sec⁡x1 − cos⁡x \ frac {\ sec x} {1 — \ cos x} 1 − cosxsecx

Шаг 1. Упростите

Опять же, как упоминалось ранее, нам часто нужно использовать триггерные идентификаторы, чтобы упростить наши выражения, прежде чем мы перейдем к поиску недопустимых значений.В этом случае мы используем тождества взаимных триггеров, чтобы упростить и найти выражение для точек разрыва. В этом конкретном примере мы найдем для этого два выражения.

1cos⁡x1 − cos⁡x \ frac {\ frac {1} {\ cos x}} {1 — \ cos x} 1 − cosxcosx1 cos⁡x ≠ 0,1 − cos⁡x ≠ 0 \ cos x \ neq 0, 1 — \ cos x \ neq 0cosx = 0,1 − cosx = 0 Упрощение с использованием тригонометрических тождеств

Шаг 2: Найдите значения x

Опять же, теперь нам нужно решить относительно x, чтобы найти, какие значения переменной приводят к тому, что cos⁡x \ cos xcosx равняется 0 или 1.В этом случае нам не нужно использовать ASTC, потому что мы можем легко найти эти значения по графику косинуса.

cos⁡x ≠ 0 \ cos x \ neq 0 cosx = 0 x ≠ π2,3π2x \ neq \ frac {\ pi} {2}, \ frac {3 \ pi} {2} x = 2π, 23π 1 ≠ cos⁡x1 \ neq \ cos x1 = cosx х ≠ 0,2πx \ neq 0, 2 \ pix = 0,2π

Это оставляет нам наши окончательные ответы, которые являются нашими точками разрыва:

x ≠ π2 + πn, 0 + 2πnx \ neq \ frac {\ pi} {2} + \ pi n, 0 + 2 \ pi nx = 2π + πn, 0 + 2πn

Вот и все! В качестве другого примера посмотрите этот замечательный в Интернете здесь. Кроме того, для дальнейшего изучения посмотрите наши видеоролики о том, как найти точечный разрыв, вертикальную асимптоту и производную тригонометрических функций.

Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

Purplemath

При решении тригонометрических уравнений используются как исходные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры.Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций, на минимум по первому периоду. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

MathHelp.com

Решить sin (
x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

грех ( x ) + 2 = 3

грех ( x ) = 1

Теперь я воспользуюсь запомненными углами отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 на

π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование его в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

Итак, в градусах мой ответ:

Решить tan
² (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 °

Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает в себя квадратный корень из 3, и отбросить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:

Решить в интервале 0 ° & leq;
x <360 °

Левая часть этого уравнения множится. Я привык делать простой факторинг, например:

2 y ² + 3 y = 0

y (2 y + 3) = 0

… и затем решая каждый из факторов. То же самое и здесь. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

Я занимался алгеброй; то есть, я провел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два триггерных уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусоидальной волне. Из первого уравнения я получаю:

Из второго уравнения я получаю:

Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение для исходного уравнения как:

x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °

Решить sin
² (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

грех ² (θ) — грех (θ) — 2 = 0

Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

грех ² (θ) — грех (θ) — 2 = 0

(грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

грех (θ) + 1 = 0

sin (θ) = –1

θ = (3/2) π

Тогда мой ответ:

(Если в своем классе вы выполняете решения только для ученых степеней, указанное выше значение решения равно «270 °». )

Решить cos
² (α) + cos (α) = sin ² (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

cos ² (α) + cos (α) = sin ² (α)

cos ² (α) + cos (α) = 1 — cos ² (α)

2cos ² (α) + cos (α) — 1 = 0

(2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:

Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β
<360 °

Я могу использовать обозначение с двумя углами в правой части, а также переставлять и упрощать; тогда я учитываю:

sin (β) = 2sin (β) cos (β)

sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

sin (β) (1-2cos (β)) = 0

sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °. Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому значение последнего решения в данном конкретном случае не учитывается.

Косинус (из второго тригонометрического уравнения) равен

1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °

Решите sin (
x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

(sin ( x ) + cos ( x )) ² = (1) ²

sin ² ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos ² ( x ) = 1

[sin ² ( x + cos ² ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

2sin ( x ) cos ( x ) = 0

sin ( x ) cos ( x ) = 0

Ха; пойди и посчитай: я возведен в квадрат и получил то, с чем мог бы работать . Хороший!

Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я построил квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

(Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то поменять знак.)

Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

. .. поэтому решение « x = 0 °» работает

sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

…так что решение « x = 90 °» тоже работает

sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

… ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

… так что « x = 270 °» тоже не работает,

Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

Мое фактическое решение :

Примечание. В приведенном выше описании я мог бы остановиться на этой строке:

.
… и использовал тождество двойного угла для синуса, наоборот, вместо разделения 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:
2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0
Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т. Д., И разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.
Уловка возведения в квадрат в последнем примере, приведенном выше, встречается нечасто, но если все остальное не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm
14.
2 — Тригонометрические тождества 14.2 — Тригонометрические тождества
14.2 — Тригонометрические тождества
Мы начинаем этот раздел с определения около 20 основных тригонометрических тождеств. Вы можете обратиться к книги, такие как «Справочник по математическим функциям », Абрамовица и Стегуна и многое другое.Чтобы понять их, мы организуем разбейте их на 9 групп и обсудите каждую группу.
Затем мы заканчиваем этот раздел 7 примерами.
Сравнение идентичностей и уравнений: Идентичность — это утверждение, которое всегда верно, тогда как уравнение верно только при определенных условиях. Например
3 x + 2 x = 5 x
— это идентичность, которая всегда верна, независимо от значения x , тогда как
3 x = 15
это уравнение (точнее, условное уравнение), которое истинно только если x = 5.
A Тригонометрический идентификатор — это идентификатор, содержащий тригонометрический функции sin, cos, tan, cot, sec или csc. Тригонометрические тождества можно использовать для:
Упростите тригонометрические выражения.
Решите тригонометрические уравнения.
Докажите, что одно тригонометрическое выражение эквивалентно другому, так что мы можем заменить первое выражение вторым выражением. Второе выражение может дать нам новое представление о каком-то приложении. что первый не показывает.

Взаимные идентичности

Эта группа идентичностей утверждает, что csc и sin взаимны, что sec и cos являются обратными, а cot и tan — взаимными. Они непосредственно следуют из определений тригонометрических функций. (Щелкните здесь, чтобы увидеть их снова.) Многие математики считают их просто базовыми. упрощения, которые нужно использовать, чтобы избавиться от csc, sec и cot в пользу грех, соз и загар.

Отрицательные угловые тождества
2а. cos (- θ ) = cos ( θ )
2б. грех (- θ ) = — грех ( θ )
2с. загар (- θ ) = — загар ( θ )

Эти тождества описывают лево-правую симметрию кривых cos, sin и tan.Многие математики считают эти тождества просто базовыми. упрощения, которые нужно использовать, чтобы избавиться от отрицательных углов внутри cos, sin или tan.
Графически тождество (2a) говорит, что высота кривой cos для отрицательного угла равна высоте кривой cos для соответствующего положительного угла. Говорят, что любая кривая, обладающая этим свойством, имеет четную симметрию .

Идентификатор (2b) говорит, что высота кривой sin для отрицательного угла — минус высоты для соответствующего положительного угла.Говорят, что любая кривая, обладающая этим свойством, имеет нечетную симметрию .
Идентификатор (2c) говорит, что кривая загара также имеет нечетную симметрию.
Идентификаторы «сдвиг влево на 90 °»

График слева объясняет тождество (3a). Это показывает, что сдвиг кривой греха к влево на 90 ° (или на π / 2 радиан, или на цикл) дает кривую cos. График справа объясняет тождество (3b).Он показывает, что сдвиг кривой cos в сторону влево на 90 ° (или на π / 2 радиан или на цикл) дает перевернутая кривая греха.
Идентичность (3c) может быть доказана с помощью тождеств (3a) и (3b) и немного алгебры.
Эти идентификаторы также считаются базовыми упрощениями и используются для получения избавиться от смещения на 90 °. Используя их повторно, их можно использовать для получения избавиться от сдвигов на 180 °, 270 °, 360 ° и т. д.
Теорема Пифагора
4. sin ² ( θ ) + cos ² ( θ ) = 1

Это тригонометрическая форма теоремы Пифагора.
Обратите внимание, что обозначение sin ² ( θ ) означает (sin ( θ )) ², и то же самое касается cos.Другими словами, вы должны сначала принять грех, а затем исправить положение. Причина не размещения экспонента в конце, чтобы прояснить, что это не угол θ , в квадрате, скорее это sin из θ , которое возводится в квадрат.
Идентификатор (4) считается базовым упрощением. Мы также можем переставить это в виде
1 — sin ² ( θ ) = cos ² ( θ )
или как
1 — cos ² ( θ ) = sin ² ( θ )
и они также считаются базовыми упрощениями, когда они используются для замените два члена слева одним членом справа.

Чтобы доказать тождество (4), просто постройте прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и угол θ . Тогда база и высота даются как cos ( θ ) и sin ( θ ), а оригинальная форма Теорема Пифагора, а именно a ² + b ² = c ², превращается в тождество (4).
График справа иллюстрирует теорему Пифагора. показав, как высота sin ² ( θ ) кривая (красный) и высота cos ² ( θ ) кривая (синяя) добавить к всегда равному 1 (черная пунктирная линия).
Мы также можем записать теорему Пифагора в двух других формах. Если мы разделим обе стороны тождества (4) на cos ² ( θ ) и упростить, затем он выглядит следующим образом:
1 + загар ² ( θ ) = сек ² ( θ )
В качестве альтернативы, если мы разделим обе стороны тождества (4) на sin ² ( θ ) и упростить, затем он читается
1 + детская кроватка ² ( θ ) = csc ² ( θ )

Идентичности, которые мы обсуждали до сих пор (от 1 до 4), на самом деле просто упрощения, которые всегда применяются слева направо (т. е. заменив выражение в левой части, где бы оно ни появлялось в правой части выражение.)
Остальные тождества (тождества с 5 по 9, обсуждаются далее) указаны так, что слева находится комбинированная форма некоторого выражения, а правая часть — это , разобранная на части от . Их можно применять в любом направлении, в зависимости от того, чего мы хотим достичь:
Слева направо: Цель состоит в том, чтобы разделить объединенный угол на два отдельных угла, или разбить одну тригонометрическую функцию на две другие, или разбейте любые другие тригонометрические функции на синусы и косинусы.Идти в этом направлении легко. Этот метод используется для доказательства новых тригонометрических тождеств .
Справа налево: Цель состоит в том, чтобы объединить два отдельных угла в один комбинированный угол или заменить два термина или функции одним. Двигаться в этом направлении обычно сложно. Этот метод используется для создания более компактных выражений .

Загар
5.

Это тождество следует из определения sin, cos и tan. Чтобы получить его, просто разделите отношение sin на отношение cos и упростите. В результате получается соотношение для загара:

Сумма углов тождества
6а. sin ( α ± β ) = sin ( α ) · cos ( β ) ± cos ( α ) · sin ( β )
6б.
6с.

Эти тождества описывают, как разбить тригонометрическую функцию суммы или разность углов α и β в тригонометрические функции отдельных углов α и β .
На самом деле это 6 опознавательных знаков, 3 из которых связаны с использованием верхних знаков и 3 происходят от использования нижних знаков. Например тождество (6c) с нижние знаки читают:

Распространенная ошибка — игнорировать эти личности и полагать, что, например,
sin ( α + β ) = sin ( α ) + sin ( β ) НЕПРАВИЛЬНО!
Это неверно! Это могло быть правильно, только если грех Кривая была прямой линией, проходящей через начало координат, а не волнистой кривой.
Вот пример, который использует тождество (6a), чтобы описать, что происходит, когда волна греха сдвинут влево на 30 °.
Мы видим, что он становится частично синусоидальной волной и частично космической волной. Интересно сравнить этот результат с тождеством (3а), которое показывает, что сдвиг волна sin, оставленная на 90 °, полностью превращает ее в волну cos.
Возможно (но более сложно) использовать идентификацию (6a) в обратном направлении. и показать, как сумма sin и cos может быть выражена как sin со сдвигом фазы.Щелкните здесь, чтобы увидеть пример этого.
Теперь мы докажем, что sin ( α + β ) = sin ( α ) · cos ( β ) + cos ( α ) · sin ( β ).
Проба: На рисунке изображен большой наклонный желтый треугольник с двумя маленькими прямоугольные треугольники внутри него. Примените закон синуса к большому треугольнику.
Используйте тот факт, что sin ( γ ) = h / c , а затем умножьте ( a + b ) на другую сторону.
Разверните правую часть, а затем используйте два маленьких треугольника в изображение, чтобы заменить каждую дробь соответствующей тригонометрической функцией.
Мы сделали.

Идентификатор (6а) с верхним знаком, а именно:
sin ( α + β ) = sin ( α ) · cos ( β ) + cos ( α ) · sin ( β )
который мы только что доказали, вероятно, самый важная идентичность группы.Все остальные личности в группе (и в на самом деле почти любое тригонометрическое тождество) может быть выведено из него. Например:
Личность для греха ( α — β ) можно получить, записав его как sin ( α + (- β )), применяя тождество (6a), а затем используя тождества с отрицательными углами, (2a) и (2b), помыть.
Тождество для cos ( α + β ) может быть получено следующим образом: используя тождество (3a), чтобы записать его как грех со сдвигом фазы:
sin (( α + 90 °) + β ),
затем применяя тождество (6a), а затем снова используя (3a) для очистки.
Идентификатор tan ( α + β ) может быть получен разделив тождество (6a) на (6b).

Двойные углы
7а. sin (2 α ) = 2 · sin ( α ) · cos ( α )
7б. cos (2 α ) = cos ² ( α ) — sin ² ( α )
= 1-2 sin ² ( α )
= 2 cos ² ( α ) — 1

7с.

Эти тождества являются частными случаями тождеств (6a), (6b) и (6c) с верхними знаками, которые читают:
Пусть β равно α и тождества (7a), (7b), (7c) сразу выскочить. Идентификатор (7b) записывается в 3 различных формах. Вторая и третья формы результат использования теоремы Пифагора о первой форме.Это предпочтительные формы, потому что они включают только грех или только соз, и не то и другое одновременно.
Эти тождества используются для преобразования тригонометрической функции дважды угол в тригонометрическую функцию самого угла.
Тождества половинных углов
Если мы решим вторую форму тождества (7b) относительно sin ² ( α ) и третья форма для cos ² ( α ), то мы получаем эти два тождества:
Если мы теперь изменим имя угла α на A /2, тогда они становятся так называемыми тождествами половинных углов:
8а.
8б.

Эти тождества используются для преобразования тригонометрической функции половина угла в тригонометрическую функцию самого угла.
Идентификационные данные продукта
Если мы сложим или вычтем тождества (6a) и (6b) в различных комбинациях тогда мы получаем так называемые идентификаторы продукта:
9а. sin ( α ) · sin ( β ) = ½ [cos ( α — β ) — cos ( α + β )]
9б. sin ( α ) · cos ( β ) = ½ [sin ( α + β ) + sin ( α — β )]
9с. cos ( α ) · cos ( β ) = ½ [cos ( α + β ) + cos ( α — β )]

Они полезны для изменения произведений тригонометрических функций. в суммы тригонометрических функций или наоборот.

Примеры
Завершим этот раздел семью примерами. Первые три примера показывают, как идентификаторы с 1 по 9 могут быть использованы для подтверждения нового тригонометрические тождества.
Последние четыре примера показывают, как преобразовать тригонометрическое выражение в другое. форма приводит к новому пониманию, которое ранее не было очевидным. Примеры приходят из электротехники, где переменный ток (переменный ток) имеет форму волна греха.
Тригонометрические тождества также используются для решения тригонометрических уравнений. Эта тема рассматривается в следующем разделе.

Как подтвердить тригонометрическую идентичность:
Доказательство идентичности отличается от решения уравнения. Несмотря на то тождество содержит знак =, вы не должны переносить количество из одна сторона к другой, потому что это меняет значение обеих сторон. Вместо этого вы должны использовать тригонометрические тождества для изменения левой стороны или правая сторона или обе стороны, пока они не станут идентичными.
Первый шаг — использовать взаимные идентификаторы и загар, чтобы заменить tan, cot, sec, csc везде, где они встречаются, на sin и cos.
Эти тождества производят дроби. Соедините (сложите) фракции.
Используйте сумму тождеств углов или двойные углы идентичности, чтобы разбить любой суммы углов или заменить двойные углы.
Если вы получите дробь на одной стороне идентичности, но не на другой затем умножьте не дробную сторону на НЛО превратить в дробь. НЛО — это дробь, равная 1, потому что у нее равны числитель и знаменатель. Пример 3 требует одного.
Если две стороны идентичны, идентичность доказана.
Пример 1. Докажите тригонометрическое тождество.
Решение: Выполните следующие шаги:
Подробная информация о шагах:
Используйте коричневую идентификацию чтобы заменить функцию tan на sin / cos на левой стороне (слева).
Проделайте то же самое с правой стороны. Также с тех пор, как загар и детская кроватка функции являются взаимными, заменяют функцию детской кроватки с cos / sin.
Теперь правая часть представляет собой составную дробь (дробь, содержит больше дробей). Объедините дроби в числитель и дроби в знаменателе.
Используйте правило инвертирования и умножения разделить на дроби и упростить. Две стороны теперь идентичны, так что идентичность доказана.

Пример 2. В этом примере есть две новые функции:
Есть несколько разных углов.
Нам нужно сравнить две стороны, чтобы понять, что делать.

Докажите тригонометрическое тождество
Решение: Выполните следующие действия:
Подробная информация о шагах:
Используйте обратные идентификаторы для замены Функции sec и csc с cos и sin.
Сравнивая две стороны, мы замечаем, что углы на правой стороне равны 4 x и x . У нас могут быть такие же углы на левой стороне, если мы заменим угол 5 x на сумму углов 4 x + x .
Примените тождество суммы углов к sin (4 x + x ) в числителе.
Разбейте единичную дробь на две фракции. Две стороны теперь идентичны, так что идентичность доказана.

Пример 3. Новая особенность заключается в том, что правая часть представляет собой дробь. а левой стороны нет. Придется сделать это дробью.
Подтвердите тригонометрическое тождество
Решение: Выполните следующие действия:
Подробная информация о шагах:
Поскольку угол на правой стороне в два раза больше угла на левой, замените угол 2 α на правой стороне с помощью двойная угловая идентичность греха.
Правая часть имеет знаменатель sin ( α ) + cos ( α ). Чтобы получить тот же знаменатель на LHS, мы применяем НЛО к нему; то есть умножаем и разделите LHS на такое же количество, а именно sin ( α ) + cos ( α ).
Раскройте числитель.
Воспользуйтесь теоремой Пифагора. Две стороны теперь идентичны, так что идентичность доказана.

Пример 4.Добавление синусоидальной волны и косинусовой волны той же частоты генерирует еще одну волну той же частоты
(a) Подтвердите идентичность
где в правой части C и φ задаются формулами
(b) Используйте идентичность, чтобы выразить сумму двух синусоидальные формы волны,
y ₁ = 3 sin ( θ ) и y ₂ = 4 cos ( θ ),
как одиночная синусоидальная волна со сдвигом фазы. Затем нанесите на график все три формы сигнала.
Решение, часть (a): Потому что легче ломать углы, чем объединяя их, мы будем работать над правой частью этой идентичности и преобразовать его в левую часть.
Сначала обратите внимание, что пара уравнений для C и φ описывает преобразование вектора из прямоугольные в полярные координаты. Ссылаясь на рисунок справа, вектор равен ( A , B ) в прямоугольных координатах и C ∠ φ в полярных координатах.Для использования в шаге 3 доказательства обратите внимание, что диаграмма также показывает, что
A = C cos ( φ ) и B = C sin ( φ ).
Вот шаги доказательства:
Подробная информация о шагах:
Использовать тождество суммы углов для греха разорвать углы θ и φ .
Развернуть.
Используйте тот факт (упомянутый выше), что A = C cos ( φ ) и B = C sin ( φ ). Две стороны теперь идентичны так что личность доказана.

Решение, часть (b): Теперь мы будем использовать идентичность, подтвержденную в части (а) чтобы выразить сумму y = 3 sin ( θ ) + 4 cos ( θ ) как одиночная синусоидальная волна со сдвигом фазы.Пусть A = 3 и B = 4 в тождестве. Это дает
так что сумма форм сигналов y ₁ = 3 sin ( θ ) и y ₂ = 4 cos ( θ ) равно
y = 5 sin ( θ + 53,13 °)
На графике справа показаны отдельные формы сигналов зеленым и синим цветом, а Результирующая форма волны отображается красным цветом.(Кликните сюда чтобы увидеть, как можно изобразить красный сигнал. )
Примечания:
Значение этого примера состоит в том, что он показывает, что добавление двух синусоидальных сигналов той же частоты приводит к другой синусоидальной форме волны та же частота, но со сдвигом фазы. Сравните этот результат с результатом, полученным в следующем примере.
Мы можем добавить любое количество синфазных или косинусных волн одной и той же частоты в противофазе. чтобы произвести одиночный sin со сдвигом фазы, выполните следующие действия:
Разбейте каждую форму волны на sin и cos, применив тождество справа слева (в Algebra Coach нажмите кнопку Разбить триггер ),
Добавьте все синусы и сложите все косинусы,
Объедините оставшиеся sin и cos, применяя тождество слева направо (в приложении Algebra Coach нажмите кнопку Combine trig ).

Одна из самых важных ситуаций, когда противофазные волны в сети переменного тока (AC). Примером является энергосистема всего континента. Каждый генератор, подключенный к сеть должна производить напряжение, совпадающее по фазе с все остальные генераторы в сети. В противном случае напряжения будут снижаться.

Пример 5.Волны с немного разными частотами производят биения
(a) Подтвердите идентичность
(b) Левая часть идентичности может рассматриваться как сумма две синусоидальные формы волны
с немного разными частотами. Постройте кривые y ₁ и y ₂ на том же графике и сравните их.
(c) Теперь изобразите их сумму на другом графике. Эта задача была бы очень сложно, если бы личность не была доказана в части (а). Идентификатор можно использовать для преобразования суммы сигналов в один член. Покажите, что этот единственный термин можно интерпретировать как волну греха с медленно меняющаяся амплитуда. Для построения сюжета используйте однозначную часть идентичности.
Решение, часть (а): Мы, по сути, доказываем идентичность продукта (9b).Ключевой идеей доказательства является то, что углы 21 t и 19 t можно представить себе 20 t ± 1 t , а затем разбивая углы кроме суммы углов идентичности.
Вот шаги в доказательстве:
Подробная информация о шагах:
Правая часть имеет углы t и 20 t . Чтобы получить такие же углы на LHS, напишите 21 t как 20 т + 1 т и 19 т как 20 т — 1 т .
Примените тождество суммы углов для греха к обоим членам. Эта личность говорит
sin ( α ± β ) = sin ( α ) · cos ( β ) ± cos ( α ) · sin ( β )
В этом случае пусть α = 20 t и β = 1 t .
Упростить.

Решение, часть (b): Вот график двух синусоидальные формы волны:

Обратите внимание, что форма волны с угловая скорость ω = 21 (синий) колеблется немного быстрее, чем форма волны с ω = 19 (зеленый).У синего есть 10,5 цикла за указанное время, а у зеленого — 9,5 цикла; на один цикл меньше. В результате в определенное время, например, во время t = 0 и t = 3,14, волны в фазе (то есть, достигая пика вместе), а в другое время, например, в момент времени t = 1,57 волны 180 ° не в фазе , (то есть один находится на гребне, а другой — в желобе).
Решение, часть (c): Было бы очень сложно добавить кривые графически. Все, что мы можем сказать наверняка, это то, что когда они находятся в фазе, они добавляют к дают амплитуду 1, и когда они сдвинуты по фазе на 180 °, они отменить, чтобы получить амплитуду 0.
Более информативно построить график другой стороны идентичности, а именно
y = cos ( t ) · sin (20 t ).
Этот график показан ниже красным. Мы видим, что множитель cos ( t ) в этом продукте играет роль медленно меняющаяся амплитуда для быстро меняющиеся колебания sin (20 t ). То есть у нас есть синусоидальная волна sin (20 t ), но в определенные моменты времени она имеет небольшая амплитуда, а иногда и большая амплитуда.

Чтобы построить этот график, мы сначала рисуем один цикл кривой y = cos ( t ) (и его негатив), оба показаны серым.Это называется конвертом . и используется в качестве руководства. Затем рисуем кривую y = sin (20 t ) внутри конверта. Рисуем 20 колебаний и растягиваем и сжимаем их до поместиться в конверт.
Примечания:
В акустике периодические конструктивные и деструктивные помехи известны как лучше . Удары могут сильно раздражать, если они вызваны, скажем, сдвоенные двигатели самолета, работающие с немного разными скоростями.Но они может быть полезно, например, для проверки, настроены ли две гитарные струны.
При производстве электроэнергии каждый генератор, подключенный к электрическая сеть должна производить напряжение той же частоты, что и все остальные генераторы в сети. В противном случае напряжения будут периодически сбрасываться.
Пример 6. Электрическая мощность, рассеиваемая резистором
Обычно используются два типа электрического тока: постоянный ток (DC) и переменный ток (AC).
Постоянный ток — это постоянный во времени ток. Обычно это производится аккумулятором. В этом примере мы будем рассматривать постоянный ток. 0,7071 ампер:
i = 0,7071 ампер
Переменный ток — это ток, который течет вперед и назад в электрической цепи и описывается синусоидальная функция времени. Обычно он производится электрическим генератором.Для этого примера будем использовать переменный ток амплитудой 1,0 ампер:
i = 1.0 sin ( t ) ампер
График слева показывает постоянный ток, а график справа. показывает переменный ток:
Когда электрический ток течет через резистор (например, тостер или лампочку) он рассеивает тепловую или световую энергию. Сила (я.е. скорость, с которой энергия рассеивается) определяется формулой
p = i ² R ,
где p — мощность в ваттах, i — мощность ток в амперах, а R — сопротивление резистора в Ом. Если ток меняется со временем, то мощность должна рассчитываться в каждый момент времени по этой формуле. Мы говорим, что формула дает мгновенную мощность .
Задача: Покажите, что постоянный ток 0,7071 ампер и переменный ток с амплитудой 1,0 ампера оба рассеивают одинаковую мощность в резисторе 1000 Ом, а именно 500 Вт, при усреднении по времени .
Решение: Основная идея показана на графиках ниже, где мы нанесли количество i ², соответствующее графики i , показанные выше:
Слева мы видим, что возведение в квадрат постоянного тока i = 0.7071 дает константу i ² = 0,5. Когда это i ² умножается на R = 1000 Ом дает постоянную мощность р, = 500 Вт.
Справа мы видим, что возведение синусоидального тока в квадрат i = 1.0 sin ( t ) дает другую форму волны , i ² = 1.0 sin ² ( t ), со следующими характеристиками:
Оба, когда i = + 1 и когда i = −1, тогда i ² = 1, и всякий раз, когда i = 0, затем i ² = 0 тоже.
Форма волны похожа на косинусоидальную кривую, перевернутую вверх дном и поднятую до средняя высота 0,5.
Когда эта форма волны i ² умножается на R = 1000 Ом он дает точно такую же форму перевернутой косинусоидальной волны для мгновенная мощность. Но когда средняя высота из i ², а именно 0,5, умножается на R = 1000 Ом, тогда это дает среднюю мощность p = 500 Вт, как и должно было быть показано.
Вот доказательство того, что средняя высота i ² кривая ½.

Примечания:
Этот пример показал, что переменный ток с амплитудой 1 ампер равен эффективен как постоянный ток 0,7071 ампер при питании резистора, такого как лампочку или тостер. Этот результат можно обобщить. Действующее значение (также называемое среднеквадратичным значением) любого переменного тока определяется умножением его амплитуды на 0.7071.
В случаях, когда частота переменного тока высока, среднее значение мощности более актуален, чем мгновенная мощность. Пример: когда через кухонный тостер проходит переменный ток 60 Гц. Элемент тостера не имеет время нагреваться и охлаждаться по мере того, как ток изменяется и остается на одном постоянном уровне температура. Другой пример — тот же ток 60 Гц, протекающий через люминесцентный светлый. В этом случае свет фактически включается и выключается при изменении тока, но человеческий глаз не может реагировать достаточно быстро, чтобы увидеть это.В обеих ситуациях мы больше интересует средняя мощность, чем мгновенная мощность.

Пример 7. Электроэнергия, вырабатываемая генератором
В электрической цепи, показанной справа, генератор вырабатывает энергию, а нагрузка. потребляет эту энергию. Мощность, потребляемая нагрузкой, равна произведенной мощности. генератором. Это закон сохранения энергии.
Если нагрузка представляет собой резистор, то в предыдущем примере показано, как рассчитать мощность, потребляемую резистором. В этом примере мы вносим два изменения:
Изучаем мощность, вырабатываемую генератором.
Допускаем, чтобы нагрузка содержала индуктивность или конденсатор. Индуктор — это любое устройство, которое создает магнитное поле, когда ток протекает через него. Примером может служить электродвигатель. Конденсатор — это любое устройство, которое создает электрическое поле, когда электрический заряд хранится в нем. На самом деле каждая цепь имеет некоторую емкость и некоторую индуктивность. либо случайно, либо намеренно.
Основным следствием наличия у нагрузки индуктивности или емкости является то, что переменный ток и напряжение, производимые генератором, могут быть сдвинут по фазе до 90 °.
Например, на рисунке показано, что напряжение не совпадает по фазе с током, при этом напряжение, опережающее ток на 60 °.
Мощность p , выдаваемая генератором в любой момент времени. дается формулой
p = i v ,
где i — ток в амперах в этот момент, а v — это напряжение генератора в вольтах.Предположим, что генератор вырабатывает переменный ток
i = I ₀ sin ( ωt )
и что нагрузка такова, что напряжение не совпадает по фазе с током на угол φ . (Сдвиг фазы φ может быть положительным или отрицательным.)
v = V ₀ sin ( ωt + φ )
Поскольку i и v изменяются со временем, то же самое происходит и с p .Но, как и в предыдущем примере, вместо мгновенной мощности, нас интересует средняя мощность.
Задача: Найдите среднюю мощность, выдаваемую генератором.
Решение: Выполняем те же шаги, что и в предыдущем примере. Подставляя данные i и v в формулу мощности, получаем
Мы можем заменить произведение тригонометрических функций на сумму тригонометрических функций, используя тождество (9a), которое гласит, что грех ( α ) · грех ( β ) = ½ [cos ( α — β ) — cos ( α + β )]. Если мы произведем замену α → ωt + φ и β → ωt тогда тождество (9a) читается как
sin ( ωt + φ ) · sin ( ωt ) = ½ [cos ( φ ) — cos (2 ωt + φ )]
Подставляя это в формулу для p дает
или расширяясь,
Поскольку φ является константой (помните, что это фазовый сдвиг между v и i ) мгновенная мощность p снова равна синусоидальный сигнал с постоянной составляющей.Составляющая постоянного тока дает среднюю мощность,
Некоторые специальные грузы.
Идеальные резисторы: i и v синфазны ( φ = 0), поэтому приведенная выше формула дает . Поскольку V ₀ = I ₀ R , это также может быть написано как
Это согласуется с результатом, полученным нами в предыдущем примере, что было то p _{в среднем} = ( I _{эффективный} ) ² R где I _{эффективный} = 0. 7071 Я ₀
Дроссели Perfect: φ = +90 ^o и идеальных конденсаторов: φ = −90 ^o. В обоих случаях приведенная выше формула дает
p _ср. = 0.
Как это может быть? Объяснение заключается в том, что катушки индуктивности и конденсаторы поглощают энергию. на половину каждого цикла, поскольку они создают свои магнитные и электрические поля а затем отпустить энергию обратно в генератор в другой половине цикла, когда поля схлопываются.
На следующем графике показана мгновенная мощность (сплошная красная кривая) и средняя мощность (пунктирная красная линия), вызванная противофазным током i (синяя кривая) и напряжение v (серая кривая).
Обратите внимание, что в точках a и b мгновенная мощность фактически отрицательна. Причина в том, что в эти моменты i и v имеют противоположные знаки и объяснение, как упомянуто выше, заключается в том, что энергия возвращается к генератору. Также обратите внимание, что если φ = 0, то красная кривая сводится к i ² кривая в предыдущем примере.

Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.
Упрощение тригонометрических выражений
Посетители поисковой системы вчера нашли наш веб-сайт, введя следующие алгебраические термины:
Рабочий лист масштабного коэффициента
обновление алгебратора
как мне сделать решатель квадратной формулы на моем калькуляторе T1-84
стихи с использованием математических слов
интеграл алгебраической подстановки
Рабочий лист по алгебре 1 ответы
Алгебратор скачать
саксонские листы для домашних заданий
математические наглядные пособия для печати
введение бухгалтерского учета скачать книгу
Разложите на множители многочлены моей домашней работы
формула умножения значений времени
целые листы для детей
ti 89 решить единственную алгебру
как жульничать с Алексом
рабочие листы факторинга
виды математических мелочей
«Обретение окружности»
Калькулятор рационализации знаменателя в рациональных выражениях
программа расширяющей алгебры
тригонометрия с ti 84 plus
калькулятор коэффициента рационального выражения
Бумаги для предположений 8-го класса, 2009 г. , Bahawalpur
рабочие листы по математике в произвольном масштабе
TI-84 Фракции * * / *
Калькулятор с пошаговым отображением линейных уравнений бесплатно
бесплатные математические распечатки коэффициент
распечатать задачи на радикалы как частные
как преобразовать линейное уравнение в вершинную форму
как найти радикальную форму
сложение квадратного корня уравнения
чтение загруженного текста ti 89
решение задач алгебры
Матлаб решение уравнений
Бесплатная пробная версия Algebrator
алгебра 2 elipse
Калькулятор дробей радикальных уравнений
может ли учитель дать мне свои заметки по теореме 9-12
упрощающие кубики
11 класс практические задачи по математике
калькулятор для 11 класса по математике
программа для решения нелинейных уравнений для построения графиков
бесплатно скачать для aptitude book
факторинг трехчленов онлайн
Алгебра Холта 1 Техасское издание для учителей pdf
бесплатные ресурсы по математике ks 3
современная абстрактная алгебра ответы
Решение алгебраических уравнений с несколькими переменными
Рабочий лист сложения, вычитания и деления дробей
Прентис холл Продвинутая математика Подход с предварительным вычислением math help
решатель задач с делением десятичных знаков
переменная как показатель степени
Программа c для квадратичных уравнений с невещественными корнями
бесплатная математика для порядка операций
алгебра дробей радикал
Комбинации и перестановки PowerPoint
редуцирующие радикалы на ти 84
как делать алгебру
полистать страницы по алгебре 2 книга ответов
калькулятор уравнений баланса
Алгебра с Pizzazz
формула начисления процентов для чайников
запишите каждое десятичное число в виде дроби в простейшем калькуляторе
как рассчитать gcd
репетитор онлайн-решатель задач по алгебре
упростить уравнения в квадрате
найти простые числа с помощью команд linux
Стратегии умножения и деления чисел.
как решить формулу корней квадратного уравнения в калькуляторе TI-84 Yahoo answer
Учебник математики ответы
нахождение общего знаменателя с тремя членами
математические неравенства для второго класса
факторное уравнение решателя
решение однородных дифференциалов второго порядка
алгебра холта 1 техас
gre maths бесплатные вопросы о дробях и десятичных дробях
найти сложные корни ti 89
найти область в квадратном уравнении
Simplyfy рациональные функции с использованием синтетического деления
калькулятор уравнения разложения на множители
КАЛЬКУЛЯТОР УРАВНЕНИЯ БАЛАНСИРОВКИ
ти 89 титановые ручные слайды powerpoint
бесплатные листы алгебры колледжа
делаю домашнее задание по алгебре бесплатно
аддисон уэсли лист ответов по математике
самый простой способ найти GCf расширенных чисел
KS2 matical math sats
упростить дробь 49/36
упрощение полного квадрата
упрощение алгебраических выражений
mcdougal littel taks практика
функциональный стол, 3 класс, рабочие листы
Калькулятор балансировочных уравнений
Расположите дроби по порядку от наименьшего к наибольшему
как решить кленовую поверхность
GMAT практика
БЕСПЛАТНОЕ объяснение математической темы на SAT
генератор неявного дифференцирования
скачать rom ti voyage
«Алгебра словесных задач» 6 класс
Флорида для учителей алгебры издание pdf
пошаговый бесплатный онлайн-калькулятор интегралов
квадратичная гипербола
программа для решения математических задач (отрицательные показатели)
бесплатная распечатка GED math
алгебра, используемая в реальной жизни
скачать бесплатно менеджмент тест на способности старые документы
Графический калькулятор ti-84 plus
Упростить радикальный решатель
одновременное уравнение
вычисление корней + алгебра
добавление
Как мы используем квадратные уравнения
очень сложные вопросы по математике / сатс распечатки
понимание рабочих листов элементарной алгебры
помогите мне решить моё алгебраическое уравнение бесплатно
Базовый английский + ключ для ответов по грамматике
бесплатные распечатки для работы 2 класса
как рассчитать наклон линии в TI-83
ТИ 83- радикалы
ответ по математике кратно 6 класс
научить химическим формулам для отсталых
ПЛОЩАДЬ ЛИСТА
Планы уроков четвертого класса на квадратные числа
сэт репетиторы купертино
умножение рациональных выражений ответы
создать математическое стихотворение, используя слово «упрощать»
Калькулятор и рациональные выражения
как факторизовать неквадратичное уравнение
перестановки в реальной жизни
квадратные уравнения Excelsize Sheet
рабочий лист с промежуточным номером
как построить график неравенства ti-84
решение системы уравнений с анализом реальной жизни
Рабочий лист умножения положительных и отрицательных чисел
Список математических мелочей
ping-Ver
рабочие листы со свободным соотношением
нужна бесплатная помощь для решения уравнений абсолютных значений
алгебра факторинг жк рабочий лист
Макдугалл Литтел учебное пособие по биологии
зависимый от калькулятора вероятностей
Техасская преалгебра Прентис холл ответы
определение линейной независимости в дифференциальных уравнениях второго порядка
свободная промежуточная алгебра
бесплатные распечатанные рабочие листы с наименьшим общим знаменателем
Latice 4 класс рабочий лист
суперсложные задачи по алгебре
WWW. ГРАФИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА. COM
Бесплатная распечатка по математике для 7 класса
уравнения с процентами
Бланк вопросов с ответом
задачи колледжа алгебры
как решить стандартную форму
УГАДАТЬ ДОКУМЕНТЫ-VIII
вычитание полиномов
геометрия ответ учебник
калькулятор переменного факторинга
учитель ансер книги гленко математика техас курс 2
Калькулятор наибольшего общего множителя
рабочие листы проверки сложения вычитания версии
алгебра 2 комплексный подход глава 10 тест ответы
11+ бесплатных тестовых работ онлайн
умножение многочленов в Java
практические задачи как найти дыры в построении графиков рациональных функций
Калькулятор Java Polygon Edge
3 класс по математике до алгебры
перепишите ODE второго порядка в два ODE первого порядка — matlab
Калькулятор факторных уравнений
Преобразуйте в экспоненциальную форму и упростите.
Рабочий лист факторинга неравенства
код Фортрана для решения многочлена
бесплатные задания по алгебре в колледже
запись в вершинной форме
Mathamatics
упрощение алгебраических выражений «объединение одинаковых терминов» удаление скобок
рабочие листы с возможностью печати
чем отличается множество решений системы линейных уравнений от множества решений системы линейных неравенств?
gcse + алгебра + рабочие листы
Реальные и комплексные аналитические решения руководство рудин
решать биномиальные задачи с помощью TI-83
умножение радикальных выражений
Калькулятор Ti-30x IIs инструкция по квадратичной формуле
Тест по геометрии 10 класс
простой вопрос о языке c с ответами
ПРЕОБРАЗОВАТЬ ЧИСЛО В ДЕСЯТИЧНОЕ
упростить решатель рациональных выражений
алгебра множественный простой
предалгебра эквивалентные уравнения сложения
мягкая одежда для колледжа по алгебре
самое сложное математическое уравнение в мире
ti 83 решить линейные уравнения
решение линейных уравнений на ти-83 плюс
бесплатно сдал MCQ по физике
решать одновременные уравнения онлайн
уравнение кривой
базовая концепция алгебры
Алгебра «скальные ноты»
с использованием распределительного свойства для дробей
калькулятор тригонометрической замены
как складывать и вычитать радикальные выражения на графическом калькуляторе?
Элементарная математика и комбинации
умножение биномов с листом алгебры
калькулятор деления полиномов
Калькулятор т 89 онлайн
БЕСПЛАТНЫЙ калькулятор логической алгебры
стихи с математическими терминами
преобразовать сумму в целое
как складывать и вычитать проценты
решатель алгебры с t-диаграммами и графиками
java-программа, которая решает корни полиномиальных уравнений
алгебра промежуточная помощь для чайников
бесплатный рабочий лист спутников за год 6
онлайн-алгебраический решатель
домашнее задание по алгебре в колледже
дроби практический тест
формула вычитания целых чисел
Макдугал Литтел — Geometry Radicals
перепишем деление как умножение
ti 84 программа упрощающих радикальных уравнений
Расчетное решение в заказанной паре
сложение и вычитание квадратного корня функция
высшие члены и дроби и рабочий лист
умножение и деление рациональных показателей
Рабочий лист mcdougal littell 3. 3 вероятность понимания
как сдать алгебру
вычесть квадратные уравнения
как упростить радикал
рабочие листы по алгебраическим выражениям 10 класса
рабочие листы по решению системы неравенств
3 класс уроки сложения и вычитания десятичных знаков
рабочие листы линейных уравнений бесплатно
бесплатное решение задач алгебры
рабочие листы по делению дробей в пятом классе
Рабочий лист практических задач по физике
бесплатная интерактивная игра решение систем уравнений сложением
рабочий лист неравенства бесплатно
где получить скотт форсман аддисон уэсли онлайн листы практики для 5-го класса
упрощение экспоненциальных значений
Математические уравнения
наибольший общий делитель 10 и 40
делящая алгебра
6 класс IOWA TEST практика
Бесплатные рабочие листы для квадратных и кубических чисел
рабочие листы систем линейных уравнений
лучшая бухгалтерская книга
mcdougal littell курс три ответа по математике
saxon algebra 2 учитель издание бесплатные решения
макдугал литтелл алгебра 2 ответ
9 класс по алгебре
решение системного уравнения с 3 неизвестными в matlab
решить систему с помощью калькулятора подстановок
программирование ti-84 для решения 2 из 3 переменных, заданных
список уравнений для математики GRE
как решить алгебраическое уравнение
как решить задачи точного квадратного уравнения для точки пересечения оси y
Вопросы о способностях Java
предварительная алгебра с рабочим листом pizzazz
решение уравнений дроби умножить и разделить
решение систем с несколькими переменными на ti-89
отрицательное целое число и рабочий лист
вычислитель определенного интеграла
калькулятор упрощений
онлайн калькулятор Т-83
преобразование линейного счетчика
триггерная диаграмма
факторинг tic tac на
приложение уравнение баланса бесплатно
рабочие листы переменных
как вычислить биномиальные ошибки
алгебраическая формула для бензина и пробега
онлайн-решатель многочленов
Алгебра 2 ответов
Каковы основные правила построения графика уравнения неравенства?
корень квадратный как дробь
формула параболы
уравнение slove. com
определение термина интервальной предалгебры
Калькулятор факторинга квадратных уравнений
привести 5 примеров математических мелочей для elementary
математическая графика распределительная собственность
c программа для нереального квадратичного уравнения
как решать логарифмы по математике
научная нотация забавные мелочи
TI-83 Plus скачать + калькулятор бесплатно
учебник для первого класса
в то время как цикл java делимый «11» «13»
формулы вероятности для Excel
Калькулятор радикальной формы
упрощающий алгоритм показателей
Саксонская алгебра 1 Таблицы по математике
математика средней школы с pizzazz! книга c рабочий лист
рабочий лист вычитания положительных и отрицательных чисел
преобразовать из упрощенного в вершину
неявное дифференцирование по ti 83
бесплатный репетитор по математике в простейшей форме вычитания смешанных чисел
выражения умножения
математическая индукция для чайников
комбинация и перестановка математики в средней школе
алгебра II, упрощающая ответы.
Posted in Разное
Навигация по записям
Какие можно сделать настольные игры своими руками в домашних условиях: 😍 Настольные игры своими руками: идеи и пошаговая инструкция
Архаизмы и их значение: Архаизм — что это такое, примеры устаревших слов
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Воспитание
Детям
Идеи
Полезно
Родителям
Советы
Разное
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск