Формула Гаусса — Остроградского — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фо́рмула Гаусса — Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Пусть тело V{\displaystyle V} ограничено замкнутой поверхностью S{\displaystyle S}. Тогда для любого векторного поля F{\displaystyle \mathbf {F} } выполняется равенство

∭VdivF=∬S⟨F,n⟩,{\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} =\iint \limits _{S}\langle \mathbf {F} ,\mathbf {n} \rangle ,}

то есть интеграл от дивергенции векторного поля F{\displaystyle \mathbf {F} }, распространённый по объёму V{\displaystyle V}, равен потоку вектора через поверхность S{\displaystyle S}.

Замечания[править | править код]

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

∫(dPdx+dQdy+dRdz)ω=∫(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)s,{\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )s,}

где ω{\displaystyle \omega } и s{\displaystyle s} — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z){\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)} — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью^[1].

Современная запись формулы:

∫(dPdx+dQdy+dRdz)dΩ=∫(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)dS,{\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,}

где cos⁡αdS=dydz{\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}, cos⁡βdS=dxdz{\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dx}{dz}} и cos⁡γdS=dxdy{\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}. В современной записи ω=dΩ{\displaystyle \omega =d\Omega } — элемент объёма, s=dS{\displaystyle s=dS} — элемент поверхности

[1].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762^[2].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики^[3].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году^[3]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от n{\displaystyle n}-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n{\displaystyle n}-кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда —

формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).

1. ↑ ^{1 2} Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.
2. ↑ В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» в кн.: J.A. Serret, ed.,
   Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
3. ↑ ^{1 2} Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Как решить уравнение Гаусса онлайн с решением

Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем линейных уравнений, поскольку он имеет большее количество преимуществ по сравнению с другими методами, а именно:

— универсальность;

— не требует проверки системы на совместимость;

— минимальное количество математических операций.

Так же читайте нашу статью «Решить неравенство онлайн решателем»

Если возникли сомнения касательно конечного результата, то всегда можно узнать онлайн решение уравнения методом Гаусса и сравнить ответы.

Решим следующее уравнение методом Гаусса:

\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]

Составляем расширенную матрицу системы

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Далее необходимо с помощью второго уравнения исключить переменную \[x_2\] из:

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]

Сделаем собственно исключение переменной\[ x_2\] из 3 и 4 уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на \[\frac{1}{4},\] а к четвёртой — вторую, умноженную на\[ \frac{7}{1}.\]

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[ -\frac{18}{18}=-1\]. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

\[ \left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем

\[x_4=-\frac{7}{18}\]

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40\]

откуда

\[x_3=\frac{13}{9}\]

Далее, подставляем значения\[ x_3\]и \[x_4\] во второе уравнение системы:

\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8\]

т.е.

\[x_2=-\frac{43}{18},\]

Наконец, подстановка значений

\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1\]

Получаем:

\[x_1=\frac {2}{3}\]

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение \[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18})\].

Где можно решить методом Гаусса систему уравнений онлайн?

Решить систему матричных уравнений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Формула Гаусса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гаусова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Пусть S{\displaystyle S} — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве M{\displaystyle M}. Тогда

KS(x)=KM(σS(x))+κ1(x)κ2(x),{\displaystyle K_{S}(x)=K_{M}(\sigma _{S}(x))+\kappa _{1}(x)\kappa _{2}(x),}

где

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия S⊂M{\displaystyle S\subset M}. В этом случае тензор кривизны RS{\displaystyle R_{S}} подмногообразия S{\displaystyle S} выражается через сужение тензора кривизны RM{\displaystyle R_{M}} пространства M{\displaystyle M} на подпространство касательное к S{\displaystyle S} и вторую квадратичную форму qS{\displaystyle q_{S}} подмногообразия S{\displaystyle S} на касательном пространстве TS{\displaystyle TS} со значениями в нормальном пространстве к S{\displaystyle S}:

⟨RS(X,Y)Z,W⟩=⟨RM(X,Y)Z,W⟩+⟨qS(Y,W),qS(X,Z)⟩−⟨qS(X,W),qS(Y,Z)⟩.{\displaystyle \langle R_{S}(X,Y)Z,W\rangle =\langle R_{M}(X,Y)Z,W\rangle +\langle q_{S}(Y,W),q_{S}(X,Z)\rangle -\langle q_{S}(X,W),q_{S}(Y,Z)\rangle .}^[1]

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

1. ↑ Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.

• 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
• 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.

Гауссова функция — Википедия

Эта статья — о гауссовой функции в общей форме. О её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой — см. Нормальное распределение.

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

g(x)=ae−(x−b)22c2{\displaystyle g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}},

где параметры a,b,c{\displaystyle a,b,c} — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратичное отклонение σ{\displaystyle \sigma } и математическое ожидание μ{\displaystyle \mu }:

a=1σ2π{\displaystyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}, b=μ{\displaystyle b=\mu }, c=σ{\displaystyle c=\sigma },

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания μ{\displaystyle \mu } и среднеквадратичного отклонения σ{\displaystyle \sigma }

График гауссовой функции при a>0{\displaystyle a>0} и c≠0{\displaystyle c\neq 0} — колоколообразная кривая, параметр a{\displaystyle a} определяет максимальную высоту графика — пик колокола, b{\displaystyle b} отвечает от сдвига пика от нуля (при b=0{\displaystyle b=0} — пик в нуле), а c{\displaystyle c} влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции^[⇨]. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение^[⇨] в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр c{\displaystyle c} связан с полушириной колокола графика следующим образом:

w=22ln⁡2 c≈2,35482⋅c{\displaystyle w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c}.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину w{\displaystyle w} колокола графика следующим образом:

g(x)=ae−4ln⁡(2)(x−b)2w2{\displaystyle g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(x-b)^{2}}{w^{2}}}}}.

Перегибы g(x){\displaystyle g(x)} — две точки, в которых x=b±c{\displaystyle x=b\pm c}.

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

limx→±∞g(x)=0{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0}.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

∫0xe−t2dt{\displaystyle \int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа^[1]:

∫−∞∞ae−(x−b)22c2dx=ac⋅2π{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}}.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

a=1c2π{\displaystyle a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}},

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием μ=b{\displaystyle \mu =b} и дисперсией σ2=c2{\displaystyle \sigma ^{2}=c^{2}}.

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр c{\displaystyle c} свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: c2=c12+c22{\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

g(x,y)=A⋅e(−((x−x0)22σx2+(y−y0)22σy2)){\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)}},

здесь A{\displaystyle A} задаёт высоту колокола, (x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})} определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а (σx,σy){\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y})} отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

V=∫−∞∞∫−∞∞g(x,y)dxdy=2πAσxσy{\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}}

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

g(x,y)=Aexp⁡(−(a(x−x0)2+2b(x−x0)(y−y0)+c(y−y0)2)){\displaystyle g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)},

где матрица:

[abbc]{\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]}

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в n{\displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве:

g(x)=exp⁡(−xTAx){\displaystyle g(x)=\exp(-x^{T}Ax)},

где x=(x1,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})} — вектор-столбец из n{\displaystyle n} компонентов, A{\displaystyle A} — положительно определённая матрица размера n×n{\displaystyle n\times n}, и xT{\displaystyle x^{T}} — операция транспонирования над x{\displaystyle x}.

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}:

∫Rnexp⁡(−xTAx)dx=πndetA{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A}}}}.

Возможно определить n{\displaystyle n}-мерный вариант и со сдвигом:

g(x)=exp⁡(−xTAx+sTx){\displaystyle g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)},

где s=(s1,…,sn){\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{n})} — вектор сдвига, а матрица A{\displaystyle A} — симметричная (AT=A{\displaystyle A^{T}=A}) и положительно определённая.

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень P{\displaystyle P}:

sg(x)=Aexp⁡(−((x−xo)22σx2)P){\displaystyle sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P}\right)},

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков^[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам Px{\displaystyle P_{x}} и Py{\displaystyle P_{y}}^[3]:

sg(x,y)=Aexp⁡(−((x−xo)22σx2)Px−((y−yo)22σy2)Py){\displaystyle sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^{P_{y}}\right)}.

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса^[en] — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния^[en]* квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали^[en] — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро^[en]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука^[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие^[en]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

• L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

Прямая Гаусса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Прямая Гаусса к четырёхугольнику ABCD{\displaystyle ABCD}

Прямая Гаусса — прямая, соединяющая середины диагоналей четырёхугольника.

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения этих противоположных сторон. Указанная прямая называется прямой Гаусса (на рисунке показана пунктиром).

Эквивалентная формулировка:

Если прямая, не проходящая через вершины треугольника ABC{\displaystyle ABC}, пересекает его стороны BC,CA,AB{\displaystyle BC,CA,AB} соответственно в точках A1,B1,C1{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}, то середины отрезков AA1,BB1,CC1{\displaystyle AA_{1},BB_{1},CC_{1}} коллинеарны.

Комментарии[править | править код]

• Теорему можно вывести из теоремы Менелая.
• Во второй формулировке можно заметить, что прямые AB,BC,CA,A1B1{\displaystyle AB,BC,CA,A_{1}B_{1}} равноправны. Они образуют конфигурацию, называемую полным четырёхсторонником. Прямая, на которой лежат середины указанных отрезков, называется прямой Гаусса четырёхсторонника.

• В случае, если четыре прямые касаются окружности, то центр этой окружности лежит на этой же прямой Гаусса. Данное утверждение носит название теоремы Ньютона.

• Прямая Гаусса перпендикулярна прямой Обера.
• На прямой Гаусса также лежит точка пересечения двух средних линий, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника (первая и вторая средние линии четырёхугольника).
• Теорема Анна, названная в честь французского математика Пьера Леона Анна (фр. Pierre-Léon Anne, 1806—1850), утверждает, что в любом четырёхугольнике ABCD{\displaystyle ABCD}, не являющемся параллелограммом, прямая Гаусса является геометрическим местом точек O{\displaystyle O}, обладающих свойством:

  S(△AOB)+S(△COD)=S(△BOC)+S(△DOA){\displaystyle S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)},

где S(△AOB){\displaystyle S(\triangle AOB)} означает ориентированную площадь △AOB{\displaystyle \triangle AOB}^[1].

Если формулы прямых четырёхсторонника в декартовых координатах имеют вид

aix+biy=ci,i=1,4¯,{\displaystyle a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,}

то соответствующая ему прямая Гаусса задаётся уравнением

det(D)x+det(E)y=det(F)2,{\displaystyle \det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2}},}

где D=(dij),E=(eij),F=(fij){\displaystyle D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})} — матрицы размера 4×4,{\displaystyle 4\times 4,} в которых

di1=ei1=fi1=ai2,di2=ei2=fi2=bi2,di3=ei3=fi3=aibi,{\displaystyle d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},}

di4=aici,ei4=bici,fi4=ci2,i=1,4¯.{\displaystyle d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\quad i={\overline {1,4}}.}

Теорема Гаусса — Маркова — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Формулировка теоремы для парной регрессии[править | править код]

Рассматривается модель парной регрессии, в которой наблюдения Y{\displaystyle Y} связаны с X{\displaystyle X} следующей зависимостью: Yi=β1+β2Xi+εi{\displaystyle Y_{i}=\beta _{1}+\beta _{2}X_{i}+\varepsilon _{i}}. На основе n{\displaystyle n} выборочных наблюдений оценивается уравнение регрессии Y^i=β^1+β^2Xi{\displaystyle {\hat {Y}}_{i}={\hat {\beta }}_{1}+{\hat {\beta }}_{2}X_{i}}. Теорема Гаусса—Маркова гласит:

Если данные обладают следующими свойствами:

1. Модель данных правильно специфицирована; 
2. Все Xi{\displaystyle X_{i}} детерминированы и не все равны между собой; 
3. Ошибки не носят систематического характера, то есть E(εi)=0 ∀i{\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{i})=0\ \forall i}; 
4. Дисперсия ошибок одинакова и равна некоторой σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}; 
5. Ошибки некоррелированы, то есть Cov⁡(εi,εj)=0 ∀i,j{\displaystyle \mathop {\mathrm {Cov} } (\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=0\ \forall i,j}; 

— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов оптимальны в классе линейных несмещённых оценок.

Первое условие: модель данных правильно специфицирована. Под этим словосочетанием понимается следующее:

Устройство данных — это наблюдения случайной величины. Модель данных — это уравнение регрессии. «Иметь одинаковую функциональную форму» означает «иметь одинаковую функциональную зависимость». Например, если точки наблюдений очевидно расположены вдоль невидимой экспоненты, логарифма или любой нелинейной функции, нет смысла строить линейное уравнение регрессии.

Второе условие: все Xi{\displaystyle X_{i}} детерминированы и не все равны между собой. Если все Xi{\displaystyle X_{i}} равны между собой, то Xi=X¯,{\displaystyle X_{i}={\bar {X}},} и в уравнении оценки коэффициента наклона прямой в линейной модели в знаменателе будет ноль, из-за чего будет невозможно оценить коэффициенты β2{\displaystyle \beta _{2}} и вытекающий из него β1.{\displaystyle \beta _{1}.} При небольшом разбросе переменных X{\displaystyle X} модель сможет объяснить лишь малую часть изменения Y{\displaystyle Y}. Иными словами, переменные не должны быть постоянными.

Третье условие: ошибки не носят систематического характера. Случайный член может быть иногда положительным, иногда отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения ни в каком из двух возможных направлений. Если уравнение регрессии включает постоянный член (β1{\displaystyle \beta _{1}}), то это условие чаще всего выполняется автоматически, так как постоянный член отражает любую систематическую, но постоянную составляющую в Y{\displaystyle Y}, которой не учитывают объясняющие переменные, включённые в уравнение регрессии.

Четвёртое условие: дисперсия ошибок одинакова. Одинаковость дисперсии ошибок также принято называть гомоскедастичностью. Не должно быть априорной причины для того, чтобы случайный член порождал бо́льшую ошибку в одних наблюдениях, чем в других. Так как E(εi)=0 ∀i{\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{i})=0\ \forall i} и теоретическая дисперсия отклонений εi{\displaystyle \varepsilon _{i}} равна E(εi2),{\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{i}^{2}),} то это условие можно записать так: E(εi2)=σε2 ∀i.{\displaystyle \mathbb {E} (\varepsilon _{i}^{2})=\sigma _{\varepsilon }^{2}\ \forall i.} Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайного члена. Если рассматриваемое условие не выполняется, то коэффициенты регрессии, найденные по методу наименьших квадратов, будут неэффективны, а более эффективные результаты будут получаться путём применения модифицированного метода оценивания (взвешенный МНК или оценка ковариационной матрицы по формуле Уайта или Дэвидсона—Маккинона).

Пятое условие: εi{\displaystyle \varepsilon _{i}} распределены независимо от εj{\displaystyle \varepsilon _{j}} при i≠j.{\displaystyle i\neq j.} Это условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях. Если один случайный член велик и положителен в одном направлении, не должно быть систематической тенденции к тому, что он будет таким же великим и положительным (то же можно сказать и о малых, и об отрицательных остатках). Теоретическая ковариация σεi,εj{\displaystyle \sigma _{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}} должна равняться нулю, поскольку σεi,εj=E((εi−E(εi))(εj−E(εj)))=E(εiεj)−E(εi)⋅E(εj)=0.{\displaystyle \sigma _{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}=\mathbb {E} {\bigl (}(\varepsilon _{i}-\mathbb {E} (\varepsilon _{i}))(\varepsilon _{j}-\mathbb {E} (\varepsilon _{j})){\bigr )}=\mathbb {E} (\varepsilon _{i}\varepsilon _{j})-\mathbb {E} (\varepsilon _{i})\cdot \mathbb {E} (\varepsilon _{j})=0.} Теоретические средние для εi{\displaystyle \varepsilon _{i}} и εj{\displaystyle \varepsilon _{j}} равны нулю в силу третьего условия теоремы. При невыполнении этого условия оценки, полученные по методу наименьших квадратов, будут также неэффективны.

Выводы из теоремы:

• Эффективность оценки означает, что она обладает наименьшей дисперсией.
• Оценка линейна по наблюдениям Y.{\displaystyle Y.}
• Несмещённость оценки означает, что её математическое ожидание равно истинному значению.

Формулировка теоремы для множественной регрессии[править | править код]

Если данные обладают следующими свойствами:

1. Модель правильно специфицирована (постоянная эластичность рассматривается как постоянная, или нет лишних переменных, или есть все важные переменные),
2. rang(X)=k{\displaystyle \mathrm {rang} \,({\boldsymbol {X}})=k},
3. E(εi)=0{\displaystyle \mathbb {E} ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{i})=0},
4. Cov(ε)=σ2I{\displaystyle \mathrm {Cov} \,({\boldsymbol {\varepsilon }})=\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}} (что влечёт гомоскедастичность),

— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов β^{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}} являются лучшими в классе линейных несмещённых оценок (Best Linear Unbiased Estimators, BLUE).

В случае гетероскедастичности, если дисперсия ошибок явным образом зависит от независимой переменной, под критерий BLUE подпадает взвешенный МНК. При наличии же значительного количества выбросов наиболее эффективным может быть метод наименьших модулей^[1].

1. ↑ James H. Stock, Mark W. Watson. Regression with a Single Regressor: Hypothesis Tests and Confidence Intervals // Introduction to Econometrics. — 3. — Addison-Wesley, 2011. — P. 163-164. — 785 p. — ISBN 0138009007.

• Кристофер Доугерти. Введение в эконометрику. — 2-е, пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 419 с.
• Damodar N. Gujarati. Basic Econometrics. — 4. — The McGraw-Hill Companies, 2004. — С. 1002. — ISBN 978-0071123433.

Отображение Гаусса — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Отображение Гаусса ставит в соответствие каждой точке поверхности вектор единичной нормали в этой точке. Концы всех таких векторов, отложенных от одной точки, лежат на сфере единичного радиуса. Эта статья об отображении поверхности в сферу; об отображении единичного отрезка в себя см. Преобразование Гаусса.

Отображение Гаусса (гауссово отображение, сферическое отображение) — отображение из гладкой поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве в единичную сферу, при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке. Названо в честь Карла Фридриха Гаусса.

• Отображение Гаусса естественно обобщается на случай гиперповерхности в евклидовом пространстве произвольной размерности.
• Для подмногообразия евклидова пространства произвольной размерности и коразмерности естественным аналогом отображения Гаусса является отображение, сопоставляющее точке подмногообразия точку грассманиана, соответствующую касательному пространству в этой точке.

• Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.