Уравнения с четырьмя и более неизвестными
68. Уравнения с четырьмя и более неизвестными. Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным).
Такие соображения можно продолжить и дальше. Например, 5 уравнений с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать трем неизвестным и т. п.
Решать системы уравнений с большим числом неизвестных приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить решение.
Рассмотрим 2 примера. Пример 1:
x + y + 2z – t = 9
x + y – 2z + t = 7
x – y + z + 2t = –9
x – y – z – 2t = 5
Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень простое уравнение только с двумя неизвестными, а именно
2x + 2y = 16 или x + y = 8.
Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:
2x – 2y = –4 или x – y = –2.
Теперь легко решить 2 полученных уравнения (x + y = 8 и x – y = –2), и тогда найдем x = 3 и y = 5.
Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:
3 + 5 + 2z – t = 9 или 2z – t = 1
3 – 5 + z + 2t = –9 или z + 2t = –7
Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет к таким же точно уравнениям.
Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:
maths-public.ru
4.4 Система m уравнений с n неизвестными
Случай, когда число уравнений mбольше числа переменныхn, путем последовательного исключения неизвестных из уравнений приводится к случаюm=nилиmn. Первый случай рассмотрен ранее.
Во втором случае, когда число уравнений меньше числа неизвестных mnи уравнения независимы, выделяютсяm основных переменныхи (n—m)неосновных переменных. Основными являются переменные удовлетворяющие условию: определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных, не равен нулю. Основными могут быть различные группы переменных. Общее количество таких групп Nравно числу сочетаний изnэлементов поm
.
Если система имеет хотя бы одну группу основных переменных, то эта система является неопределенной, то есть имеет множество решений.
Если система не имеет ни одной группы основных переменных, то система является несовместной, то есть не имеет ни одного решения.
В том случае, когда система имеет множество решений, среди них выделяют базисное решение.
Базисным решениемназывают такое решение, в котором неосновные переменные равны нулю. У системы имеется не более чембазисных решений.
Решения системы делятся на допустимыеинедопустимые.
Допустимыминазывают такие решения, у которых значения всех переменных неотрицательны.
Если хотя бы одно значение переменной отрицательно, то решение называют недопустимым.
Пример 4.5
Найти базисные решения системы уравнений
Найдем число базисных решений
.
Итак, среди множества решений системы есть не более трех базисных. Выделим две основные переменные среди трех. Предположим, что это х1их2. Проверим определитель из коэффициентов при них
.
Так как этот определитель не равен нулю, то переменные х1,х2являются основными.
Теперь положим, что х3=0. Тогда получим систему в виде
Решим ее по формулам Крамера:
, .
Итак, первое базисное решение имеет вид
х1=1,х2=0,х3=0 .
Проверим теперь на принадлежность к основным переменные
.
Получим, что х1их3— вторая группа основных переменных. Положимх2=0 и решим систему
, .
Второе базисное решение имеет вид
х1=1,х2=0,х3=0.
Теперь проверим на принадлежность к основным переменные х2их3.
то есть переменные х2их3неосновные. Итак, всего у данной системы оказалось два базисных решения. Оба эти решения допустимые.
Условие совместности системы mлинейных уравненийcnпеременными дается с помощью понятия ранг матрицы.
Ранг матрицы– это число равное наибольшему порядку минора отличного от нуля.
Для матрицы А
минором k-ого порядкаслужит определитель, составленный из элементов любыхkстрок иkстолбцов.
Например,
Пример 2
Найти ранг матрицы
Вычислим определитель матрицы
Для этого первую строку умножим на (-4) и сложим со второй строкой, затем первую строку умножим на (-7) и сложим с третей строкой, в результате получим определитель
Т.к. строки полученного определителя пропорциональны, то .
Отсюда видно, что минор 3-его порядка равен 0, а минор 2-ого порядка не равен 0.
Следовательно ранг матрицы r=2.
Теорема Кронекера — Капелли
Для того, чтобы линейная система была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы .
Если ,то система несовместна.
Для совместной системы линейных уравнений возможны три случая:
1)Если , то система ЛУ имеет (m-r) линейно зависимых уравнений, их можно исключить из системы;
2) Если , то система ЛУ имеет единственное решение;
3) Если , то система ЛУ имеет множество решений
studfile.net
ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида
| (4.1.1) |
где — неизвестные, подлежащие определению;
— числа, называемые коэффициентами при неизвестных;
— числа, называемые свободными членами.
Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.
Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.
Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.
Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу
,
полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.
Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
| (4.2.1) |
Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1).
Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и — одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:
| (4.2.2) |
Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n-ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству:
| (4.2.3) |
Коэффициент при равен определителю |A| системы (4.2.1), коэффициент при равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем, полученным из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.
Обозначим данный определитель через
Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда
| (4.2.4) |
Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением.
Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера.
Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:
.
При , при , .
Таким образом, получим
.
Теорема доказана.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Вычислим определитель :
,
,
,
откуда
Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения
где .
Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид
| (4.2.6) |
Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Решение. Вычислим для матрицы
ее обратную матрицу
.
Определим неизвестную матрицу-столбец Х:
,
откуда
Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:
.
Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:
.
Теорема Кронекера-Капелли
Теорема. Система линейных уравнений (4.1.1) совместна тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
Необходимость. Пусть система (4.1.1) совместна и пусть числа — одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (4.1.1), получим m тождеств, которые показывают, что последний столбец матрицы является линейной комбинацией всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами . Всякий другой столбец матрицы входит и в матрицу А. Поэтому максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает. Следовательно, .
Достаточность. Пусть дано, что . Отсюда следует, что максимальное число линейно независимых столбцов матриц А и совпадает и равно r. Для определенности предположим, что первые r столбцов матриц А и линейно независимы, а остальные (n-r) столбцов является их линейными комбинациями. Выражая последний столбец матрицы А как линейную комбинацию первых r столбцов, получим:
откуда следует, что числа являются решением системы (4.1.1), т.е. система (4.1.1) совместна. Теорема доказана.
На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем:
1. Если , то система (4.1.1) несовместна;
2. Если , то система (4.1.1) совместна.
Пусть для определенности базисный минор порядка r расположен в верхнем левом углу матрицы А. Тогда первые r строк матрицы А линейно независимы, а остальные ее строки являются линейной комбинацией первых r строк. Но это означает, что первые r уравнений системы (4.1.1) линейно независимы, а остальные (m-r) ее уравнений являются их линейными комбинациями. Поэтому достаточно решить систему r уравнений; решения такой системы будут, очевидно, удовлетворять и остальным (m-r) уравнениям.
При этом возможны два случая:
1. . Тогда систему, состоящую из первых r уравнений системы (4.1.1)
можно решить, например, по правилу Крамера. В этом случае система имеет единственное решение, т.е. система совместна и определена;
2. . Рассмотрим первые r уравнений системы (4.1.1). Оставив в левых частях первые r неизвестных, перенесем остальные в правые части. Получим систему:
Очевидно, что полученная система и, следовательно, система (4.1.1) являются совместными и неопределенными.
Таким образом, если , то система (4.1.1) совместна (определенная или неопределенная), если , то система (4.1.1) несовместна.
Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными определитель системы равен нулю, то . Тогда если , то система является совместной и неопределенной. Если , то система несовместна.
Теорема Кронекера-Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы (4.1.1), но не дает способа нахождения решения этой системы. Рассмотрим метод Жордана-Гаусса – метод решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Метод Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса основан на элементарных преобразованиях (п.3.2) строк расширенной матрицы
системы (4.1.1).
В результате каждого из элементарных преобразований расширенная матрица изменяется, однако системы линейных уравнений, соответствующие полученным матрицам, эквивалентны исходной системе линейных уравнений.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Применяя элементарные преобразования, построим эквивалентную систему специального вида. Для этого выберем в качестве первого уравнений одно из тех уравнений системы, где коэффициент при х1 отличен от нуля. Не нарушая общности, предположим, что . Тогда первым уравнением системы будет уравнение
.
Умножим первое уравнение на . Затем умножим это же уравнение на , и прибавим его почленно к уравнениям системы с номерами i=2,3,…,m. После этого преобразования в уравнениях с номерами i>1 будет исключено неизвестное х1. Первый шаг метода Жордана-Гаусса закончен.
.
Может случиться, что на первом шаге вместе с неизвестными х1 будут исключены неизвестными , но найдется хотя бы одно уравнение, в котором сохранится неизвестное . Одно из таких уравнений примем в качестве второго уравнения системы. В этом случае расширенная матрица , соответствующая полученной системе, имеет вид:
.
Используем второе уравнение для исключения неизвестного из всех уравнений, кроме второго. После второго шага метода Жордана-Гаусса получим расширенную матрицу
.
Продолжая процесс, после r шагов получим матрицу , содержащую r единичных столбцов на месте первых n столбцов матрицы А (r – ранг матрицы А системы).
При этом возможны три случая:
1. Если , то матрица преобразуется в матрицу
Система имеет единственное решение: .
2. Если и r<n, то
Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение имеет вид:
Неизвестные называются базисными. – свободными неизвестными.
Свободным неизвестным можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных . В результате имеем бесконечное множество частных значений.
Среди частных решений системы выделим базисные решения, которые получают при равенстве нулю всех свободных неизвестных. Очевидно, что одним из базисных решений является следующее:
.
В общем случае число базисных решений не превышает .
2. Если , то
где хотя бы один из элементов отличен от нуля. В этом случае система (4.1.1) несовместна.
Таким образом, метод Жордана-Гаусса состоит из r итераций (r шагов). На каждой S-ой итерации выбирается направляющий элемент соответственно направляющие строка и столбец. С помощью элементарных преобразований столбец преобразуется в единичный с единицей в строке .
Рассмотрим алгоритм произвольной итерации метода Жордана-Гаусса. Положим .
Шаг 1. Сформировать множество .
Шаг 2. Если , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае перейти к шагу 3.
Шаг 3. Если для , то процесс элементарных преобразований закончить. В противном случае найти направляющий элемент и перейти к шагу 4.
Шаг 4. Разделить направляющую строку на .
Шаг 5. К i-ой строке, , прибавим строку , умноженную на .
Покажем, что столбец преобразуется в единичный с единицей в строке . Пусть . Элементы матрицы выражаются через элементы матрицы следующим образом:
| (4.4.1) | |
| (4.4.2) | |
| (4.4.3) | |
| (4.4.4) |
Полагая j=k, из (4.4.1) и (4.4.3) имеем
.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
| а) |
Решение. Составим из данной системы расширенную матрицу
Полагаем .
Итерация 1.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим третью строку на .
Шаг 5. К первой, второй и четвертой строкам прибавляем третью строку, соответственно умноженную на –2, -2, -3. В результате матрица преобразуется в матрицу
.
Итерация 2.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим первую строку на .
Шаг 5. Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на –4, -3, 1. Получим матрицу
.
Итерация 3.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим четвертую строку на .
Шаг 5. К первой, второй, третьей строкам прибавляем четвертую строку, соответственно умноженную на 0, -5, -2. Получим матрицу
.
Итерация 4.
Шаг 1. .
Шаг 2. , переходим к шагу 3.
Шаг 3. Находим .
Шаг 4. Делим четвертую строку на .
Шаг 5. К первой, третьей и четвертой строкам прибавляем вторую строку, соответственно умноженную на -1, 2, 0. Получим матрицу
.
Итерация 5.
Шаг 1. .
Шаг 2. , поэтому процесс элементарных преобразований закончен. На основании вида матрицы получаем единственное решение исходной системы: .
| б) |
Решение. Составим расширенную матрицу
.
В результате итерации 1, полагая , получим матрицу
После итерации 2, полагая , получим матрицу
Итерация 3.
Шаг 1. .
Шаг 2. .
Шаг 3. Так как , то процесс элементарных преобразований закончен.
Матрица определяет общее решение системы:
— базисные, — свободные переменные.
Получим одно из базисных решений:
.
| в) |
Решение. Матрицы , , имеют вид:
Очевидно, что процесс элементарных преобразований следует закончить, так как . Из первой (или третьей) строки матрицы следует, что исходная система линейных уравнений несовместна. Действительно, первой строке соответствует уравнение , которое не может быть удовлетворено ни при каких значениях неизвестных .
Используя метод Жордана-Гаусса, рассмотрим еще один метод вычисления обратной матрицы .
Рассмотрим матричное уравнение
| , | (4.4.5) |
где , Е – единичная матрица.
Очевидно, что матричное уравнение (4.4.5) имеет единственное решение .
Решение матричного уравнения (4.4.5) сводится к решению n систем n линейных уравнений с n неизвестными вида
| (4.4.6) |
Системе линейных уравнений (4.4.6) соответствует расширенная матрица . Применяя к матрице алгоритм метода Жордана-Гаусса, получим матрицу . Покажем, что . Расширенной матрице соответствует матричное уравнение , которое имеет единственное решение Х=В. Матрица получена из матрицы методом Жордана-Гаусса. Поэтому системы линейных уравнений, соответствующие матрицам и , равносильны, т.е. имеют одно и то же решение. Отсюда следует, что , следовательно, .
Таким образом, чтобы для невырожденной матрицы А вычислить обратную матрицу , необходимо составить матрицу . Методом Жордана-Гаусса в матрице преобразовать матрицу А к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы Е получим обратную матрицу .
Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Составим матрицу
.
На итерации 1, полагая , получим
.
На итерации 2, полагая , получим
.
На итерации 3, полагая , получим
,
откуда .
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
zdamsam.ru
План-конспект урока по математике (4 класс) на тему: Математика «Уравнения с неизвестными в обеих частях» 4 класс
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №1 им. М.В.Ломоносова».
Урок математики
Тема: «Уравнения с неизвестным в обеих частях».
Разработала:
учитель начальных классов
высшей категории
Ярошенко Наталья Викторовна
г.Елизово
2012 г.
Цели: 1). Продолжить работу по формированию понятия об уравнении;
2). Развивать умение решать уравнения, требующие тождественных преобразований на основе взаимосвязи между компонентами действий и на основе использования основных свойств равенств;
3). Развивать умение анализировать задачи и записывать решение алгебраическим способом;
4). Формировать вычислительные навыки.
I). Настрой на урок.
— Как прошла перемена? Садитесь.
— Сегодня на уроке решаем задачу, уравнения, изучаем новый материал;
И, конечно же. я для вас подготовила занимательно-познавательное задание.
— С какого задания хотите начать урок?
II). Устное занимательно-познавательное задание
3600: 60 П 63000: 7000 Р 72:12 Е
12х- х Л 5а + 8а К 3в + 18в Е
— Что можете сказать об этих выражениях?
( можно разделить на 2 группы – числовые, буквенные;
выражения с действиями 1, 2 ступеней;
1 группа – можно найти значения, 2 группа – нельзя, можно упростить;
Нужно использовать рациональные способы деления.)
— Устно найдите значения выражений 1 строки, а 2 строки упростите. Полученные результаты соотнесите с буквой.
13а | 6 | 60 | 11х | 21в | 9 |
К | Е | П | Л | Е | Р |
— Поработайте в паре. Сравните свои записи. Какое слово у вас получилось?
(КЕПЛЕР).
Портрет И.КЕПЛЕРА |
— ИОГАНН КЕПЛЕР – немецкий учёный-астроном, сделавший свои открытия в начале XVII века.
Путём точных математических расчётов установил законы движения планет (их 3). О достижениях этого учёного вы подробно узнаете в старших классах на уроках астрономии.
А вас знания законов математики и точные математические расчёты приведут к открытиям на сегодняшнем уроке.
— Выполняя следующее задание, попробуйте определить тему урока.
III). Изучение нового.
5х + 15=80 5х + 15 = 80 – 8х
— Сравните данные уравнения. Что о них можете сказать? ( для решения первого уравнения нужно выполнить 2 действия, для второго больше;
Первое уравнения можем решить. 2 – не умеем решать.
— Самостоятельно решите то уравнение, которое умеете решать.( два ученика работают на доске.)
— Чем второе уравнение отличается от тех, которые уже решали? (неизвестное число в обеих частях)
— Кто уже может определить тему сегодняшнего урока? (Уравнения с неизвестным в обеих частях).
— Вы правильно определили тему урока.
(Учитель открывает тему на доске).
Уравнения с неизвестным в обеих частях |
— Сегодня мы будем учиться решать уравнения с неизвестным в обеих частях.
— Попробуйте предположить: корни данных уравнений будут одинаковые или разные?
— Запишите новое уравнение в тетрадь.
— Для упрощения нового уравнения вам потребуются старые знания.
— Обсудите в парах, какие знания вам потребуются. (1 свойство равенства).
Учитель на доске под комментирование учеников:
5х + 15= 80-8х
5х+15+8х=80-8х+8х
х(5+8)+15=80
13х+15=80
13х+15-15=80-15
13х=65
х=65:13
х=5
—————-
— Выполним проверку. Что надо помнить? (найденное число подставляем в первое уравнение).
5*5+15=80-8*5
25+15=80-40
40=40
— Подведём итог нашей работе.
— Продолжите фразу: «Теперь я знаю как…»
«Теперь я смогу попробовать самостоятельно …»
— А попробуете вы свои силы в решении новых уравнений после физминутки.
Физминутка «Дотянись до звезды»
— Встаньте поудобнее и закройте глаза. Сделайте 3 глубоких вдоха и выдоха.
— Представьте. что над вами ночное небо. усыпанное звёздами.
— Выберете звёздочку (это ваша мечта).
— Откройте глаза и протяните руки к небу, чтобы дотянуться до своей звезды.
— Снимите её с неба и бережно положите перед собой.
— Я уверена, что мечта у вас не единственная. Сорвите сами ещё несколько звёздочек. Дышите так:
Тянешься за звездой – глубокий вдох.
Выдох- кладёте звезду к первой.
IV). Самостоятельная работа.
— Откройте с.30 № 294 (6 задание).
— Попробуйте самостоятельно решить. Когда закончите работу, проверьте её друг у друга.
— Постарайтесь рассказать, как вы решали уравнение.
10с-4=8с+18
10с-8с-4+4 =8с-8с+18+4
2с =11
——————-
— Молодцы, вы замечательно справились с работой, помогая друг другу.
V). Решение задачи. (Задача – на карточке).
Скорость движения Земли на 6 км/ч больше скорости Марса. С какой скоростью движется каждая планета? |
— Прочитайте задачу про себя.
— Вслух.
— Что заметили? (не хватает данных)
— Добавьте в условие недостающие данные, чтобы задачу можно было решить.
— Прочитайте получившуюся задачу.
— Запишем её кратко.
-Что такое 6?
— Что обозначает число 54?
— Перефразируйте вопрос задачи.
— Обсудите решение задачи в парах. (удобнее решить уравнением)
— Какое искомое удобно взять за х?
— Тогда…
— Так как общая скорость двух планет равна 54км/ч, получаю уравнение:
х+(х+6)=54
2х+6=54
2х+6-6=54-6
2х=48
х=48:2
х=24 (км/ч) – скорость Марса
24+6=30 (км/ч) – скорость Земли.
-Проверьте правильность решения задачи.
(24+30=54).
— Найдите другой способ проверки правильности решения задачи. (другой способ решения).
— Попробуйте решить эту задачу по действиям.
— Посмотрите, поможет ли вам такая схема краткой записи:
(54-6):2=24 (км/ч) – скорость Марса
24+6=30 (км/ч) – скорость Земли
— Подведите итог.( задача решена верно)
VI) Новые знания.
— Вы сейчас решили задачу уравнением и по действиям.
У этих способов решения задачи в математике есть свои названия.
— Если для решения задачи используют уравнение –
алгебраический |
Алгебра – часть науки математики.
— продолжите фразу:
арифметический |
— это когда задачу решают… (по действиям или сложным выражением).
— Арифметика – это тоже часть математики. Многое из того. Что мы изучали в предыдущих классах, тоже относится к арифметике.
— К самым древним задачам на составление уравнений относятся задачи из древнеегипетских папирусов. Сохранились 2 математических папируса. Одна из этих задач в № 347. По желанию попробуйте её решить дома.
VII). Самостоятельная работа (разноуровневая)
9у=900072
Х-5=3000
8у-1024=8192
47у-44у=900015
7а+70=7а+35
3в+300=2в+1800
VIII) Подведение итогов.
— Что можете сказать о сегодняшнем уроке? (Я узнал… Я научился…).
— Продолжите фразу: «Мне ещё сложно…»
— Не переживай, над этой темой мы ещё будем работать.
— Ребята, спасибо вам за работу! Я с удовольствием ставлю «5»-….
— Без помощи и поддержки друг друга мы не смогли бы добиться цели.
Молодцы!
nsportal.ru