Уравнения «дробь равна нулю»: метод решения, примеры

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b, b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b, b≠0 есть такое число c, что b·c=a) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x₀)=0 является верным для любого числа x₀, при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x₀)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0. Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x₀)=0, C≠0 не может быть верным ни для какого числа x₀. Следовательно, уравнение C/g(x)=0, C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0, второй — что любой корень уравнения f(x)=0, принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, является корнем уравнения f(x)/g(x)=0.

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0. Тогда f(x

0)/g(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x₀)=0. А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=0.

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x₀ — корень уравнения f(x)=0. Так как x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, то дробь f(x₀)/g(x₀) имеет смысл. Так как x₀ – корень уравнения f(x)=0, то f(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x₀)/g(x

0) равна нулю, то есть, f(x₀)/g(x₀)=0. А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0.

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

К началу страницы

Решение систем уравнений с дробями повышенного уровня сложности

Решение систем уравнений с дробями повышенного уровня сложности

Решение систем уравнений с дробями повышенного уровня сложности Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Изменяем порядок действий. Преобразуем уравнение. Что сделать решение систем уравнений быстрее,  приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены.

Дальше чтобы провести решение систем уравнений, мы  изменяем порядок действий. Перенесем все в левую часть. Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Изменяем порядок действий. Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Изменяем порядок действий. Преобразуем уравнение. Преобразуем уравнение. Из уравнения 1 выразим переменную  x Подставим вместо переменной x найденное выражение Решаем вспомогательное уравнение. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном. Ответ вспомогательного уравнения: . Следующая система эквивалентна предыдущей. Окончательный ответ: . X=5 , y=8 Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Перенесем все в левую часть. Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Воспользуемся свойством степеней. Изменяем порядок действий. Преобразуем уравнение. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Изменяем порядок действий. Преобразуем уравнение. Преобразуем уравнение. Из уравнения 1 выразим переменную x Подставим вместо переменной x найденное выражение. Решаем вспомогательное уравнение. Изменим знаки выражений на противоположные. Для окончательного решения ситемы уранвений раскрываем скобки Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены. Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Изменим знаки выражений на противоположные. Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном. Ответ вспомогательного уравнения: . Следующая система эквивалентна предыдущей. Таком образом, окончательный ответ X=11, y=5

Назад Далее

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

Форма урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

• Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
• Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
• Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся,  интерес к математике.

Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.

Этапы урока	Время (мин)	Слайды
Организационный момент.	2	Слайд 1
Устная работа и повторение ранее изученного	8	Слайды 2, 3, 4, 5,6
Формирование новых знаний и умений	10	Слайды 7, 8
Физкультминутка	2	Слайды 9, 10
Закрепление нового материала	5	Слайд 11
Проверка знаний (с/р)	10	Слайд 12
Постановка домашнего задания	1	Слайд 13
Подведение итогов урока	2

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по теме «Деление дробей в уравнених». Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
Целью нашего урока является закрепление и проверка умений умножать и делить обыкновенные дроби, а также повторить навыки решения задач и уравнений.

II. Устный опрос учащихся

Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать

1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)

2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)

3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)

– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)

– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

III. Формирование новых знаний и  умений

– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)

– Чтобы решить уравнение необходимо определить какой компонент в уравнении является неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель, что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление. Выполним проверку и запишем ответ.

– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.

№ 597 (Приложение 1, слайд 7)

– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день?  (неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день?  (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.

– 14 км лыжник прошел во второй день

26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.

№  598 (Приложение 1, слайд 8)

– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.

200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок

IV. Физкультминутка

– Встаем и выполняем несколько упражнений.

А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.

V. Закрепление нового материала

№ 594

– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?

28 грибов собрал Митя

64 – 28 = 36 грибов собрал Коля

VI. «Математический выбор»

Уравнения, оцениваемые в 3 балла:                           Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:

1)                                                                      1)

2)                                                                       2)

3)                                                                    3)  

4)                                                                  4)

Уравнения, оцениваемые в 6 баллов:

1)

2)

3)

4)

Оценки: 5 – 12 баллов; 4 – 9 баллов; 3 – 6 баллов.

Каждый выбирает себе уравнения по «плечу».
Учитель во время работы оценивает учеников.

VII. Итог урока

– С каким настроением вы сегодня работали на уроке?
– Какая задача для вас была самой интересной?
– Ребята чему мы научились на сегодняшнем уроке?
– Как найти часть от числа?
– Как найти неизвестный множитель?

Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание

– С листов решить любые три уравнения, из тех которые не решали в классе.

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Целые выражения – это выражения, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения 7а²b, m³+n³, a+58 и т. д.

В отличие от них выражения 4a-b2a+1, x+yx2-3xy+y2, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 10+1a не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение xx-y имеет смысл при тех значениях х и у, когда x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида ab называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби 5a(a-9).

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Пример 2. При каком значении х значение дроби x-22-252x+6 равно нулю?

Дробь ab равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числитель дроби равен нулю при x = 7 и x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит, данная дробь равна нулю при x = 7.

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство ab=a∙cb∙c.

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.

Пусть ab=m. Тогда по определению частного a=bm. Умножим обе части этого равенства на с:

ac=bmc

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

ac=bcm

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

acbc=m

Значит,

ab=acbc.

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство ab=acbc.

Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например, x+2x-3=(x+2)(x+y)(x-3)(x+y).

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 3. Приведем дробь 2x7y к знаменателю 35у³.

Так как 35у³ = 7у·5у², то, умножив числитель и знаменатель дроби 2x7y на 5у², получим:

2x7y=2x·5y27y∙5y2=10xy235y3

Множитель 5у² называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби 2x7y.

Пример 4. Приведем дробь 52y-x к знаменателю x-2y.

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

52y-x=5·(-1)(2y-x)·(-1)=-5x-2y

Дробь -5x-2y можно заменить тождественно равным выражением -5x-2y, поставив знак «минус» перед дробью и заменив знак в числителе.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

8 уравнений с десятичными дробями. Задачи и примеры на все действия с десятичными дробями

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

• проверить умение выполнять действия с десятичными дробями устно и письменно; закрепить и проверить умение решать уравнения и задачи на десятичные дроби;
• развивать быструю работу мысли, смекалку и внимательность; развивать интерес к математике.
• воспитывать дружеские отношения в классе и чувство сопереживания друг другу; развивать умение высказываться.

Вид урока: обобщение и систематизация знаний.

Тип урока: урок-олимпиада с использованием презентации.

Оборудование: таблица с записанными на ней десятичными дробями, карточки с уравнениями, карточки с задачами, таблица с заданием на смекалку, таблица с примерами для устного счёта.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (3 мин.)

Успокоить и рассадить детей.

Учитель: У нас уже была «Олимпиада по натуральным числам». Теперь мы изучили десятичные дроби. Самое время для «Олимпиады по десятичным дробям» (Слайд 1). Что-то будет схоже с прошлой олимпиадой, но многие задания будут новыми. А самое главное, что все действия, задания и задачи будут только с десятичными дробями. Поэтому насколько хорошо вы себя покажете, зависит от ваших знаний по данной теме. Команды, как и прошлый раз, будут по рядам. Результат некоторых заданий напрямую будет зависеть от собранности всей команды.

2. Разминка – устная работа (3 мин) (Слайд 2)

Учитель: Любое соревнование начинается с разминки. Нашей разминкой будет устный счет. Но в этот раз разминка не будет влиять на результат соревнований, и задания будут даны вразброс. Поэтому сейчас самое главное – не правильно отвечать, а настроиться на урок.

Примеры задаются вразброс, чтобы подключить к работе со всех рядов как можно больше учеников.

3. «Кто быстрее?» (5 мин) (Слайд 3)

Учитель: Ну, а теперь переходим непосредственно к соревнованиям. Первое соревнование будет на скорость. У нас на доске сейчас откроется таблица чисел. На ней вразброс записаны десятичные дроби. Ваше задание будет таким: как можно быстрее найти дробь, подходящую по условию. Это задание не адресовано какому-то ряду конкретно, поэтому искать будут все. Кто находит дробь, поднимает руку и читает ее, говоря, в каком ряду и в каком столбике она находится, У остальных будет время исправиться, вдруг кто-то еще найдет дробь, удовлетворяющую условию. Каждая находка награждается очком для команды.
Вывешивается или открывается таблица.

2,4	1.72	3.3	0,9	1,24	2,3	4	2.7	2,06	2,69
3	1,92	0,5	2,04	0,08	4,71	2,46	4,6	2,8	1,2
1,51	4,4	1,36	1,99	3,16	1	4,12	1,4	4,21	2,44
3,1	3,41	0,71	3. 5	4,73	0,32	3,7	2,93	2,91	3,03
2	0,7	5	3,6	1,02	2.1	3,8	4,91	2,14	4,89

Даются поочередно условия. Найти:

– дробь, больше 2,5, но меньше 3;
– самую маленькую дробь, находящуюся в промежутке от 2 до 3;
– самую большую дробь в промежутке от 1 до 2;
– дробь, в которой одна цифра повторяется несколько раз.

Надо учесть, что первое и четвертое задания имеют несколько ответов, это обязательно надо обыграть. За эти задания можно поставить больше баллов. Второе и третье задания имеют только один ответ. Но он может быть не найден. Может быть, будет предложен ответ, удовлетворяющий условиям, но неточный, и перебить его никто не сможет. Балл заносится в копилку тем, чей результат остается последним. В заключение подсчитываются баллы команд.

4. «Кто точнее?» (4 + 3 мин) (Слайд 4)

Учитель: Следующее наше соревнование позволит узнать, чей ряд точнее. Раздаются карточки с уравнениями. У каждого своя карточка, свое уравнение. Его нужно решить не на скорость, а на точность. Тот, кто решит быстрее, баллов не получит. Он все равно будет ждать остальных. Но все равно, время ограничено, на решение дается 4-5 минут. После этого, начиная с первого, ответы уравнений будут читаться и проверяться. Если уравнение решено правильно, то балл добавляется, если ответ неверный, то и балла не будет.

Раздаются карточки. Первая карточка –самая простая, поэтому она дается слабым ученикам. По команде ученики начинают решение. После 5 минут проводится проверка. Каждое уравнение – у трех участников с разных рядов. Один читает ответ, другой говорит вслух, правильно или нет, если неправильно, предлагает свой результат. А у третьего проверяет преподаватель, при этом говорит, у кого из участников правильный ответ, а у кого нет. Для проверки, конечно, надо сделать шаблон. После проверки всех уравнений подсчитываются баллы. Если какое-то уравнение никто не смог решить, его надо разобрать на доске. Если же ошибся один, или, может быть, двое учеников, они подходят после урока, или на следующем уроке уравнение разбирается на доске.

5. «Кто выше?» (10 мин) (Слайд 5)

Учитель: Теперь пришла пора узнать, кто выше прыгнет. Для того, чтобы прыгнуть как можно выше, надо решить задание на смекалку. В данных примерах надо расставить занятые таким образом, чтобы равенства были верными. Всего 9 примеров, на каждый ряд по 3. Чтобы прыгнуть высоко, надо решить все три примера. Решение меньшего количества означает прыжок ниже. Отвечают все по очереди: сначала ученик с первого ряда, затем со второго, а потом –с третьего. На каждый прыжок дается не более двух попыток. Значит, если предложено два варианта, и ни один не является верным, то высота не взята.

–На доске в три столбика записаны примеры:

Кто первый из ряда поднимет руку, тот отвечает. Если ответили правильно, значит, первая высота пройдена. Отвечает второй ряд, затем третий. Если же ответили неверно, то высота не является взятой, остается еще одна попытка. Трижды к одному примеру возвращаться нельзя. Если какой-то пример в классе не решен, то его записывают для решения дома. За все три примера, как за самую большую высоту, дается 5 баллов. Если не решен один пример, то дается 3 балла. Если же решен только один пример, то дается 1 балл. В конце подводятся итоги за данный вид работы и за все вместе.

6. «Кто сильнее?» (10 мин) (Слайд 6)

Учитель: Теперь пришла пора узнать, кто сильнее. В этом нам, как и на прошлой олимпиаде, поможет решение задач, И пройдет оно таким образом. Задачи буду на десятичные дроби. На ряд дается 5 задач разной сложности. Какой сложности задачу решать, вы будете выбирать сами. Каждая задача – это этап. Если кто-то из ряда решил эту задачу, то этап считается пройденным.

Этапы идут с первого по пятый. Первый, второй и третий этапы дают по три очка каждый.

Четвертый этап дает 4 очка, а пятый – 5 очков.

Сначала всем раздаются карточки с задачами. Нужно проверить, чтобы каждую задачу решал хотя бы один человек. После раздачи всех карточек на решение дается 7 минут. По прошествии этого времени проверяются ответы. После проверки ответов всех рядов подсчитываются очки.

1) В вазу положили конфеты двух видов. Найдите массу смеси конфет, если в ней 3,8 кг конфет первого вида, а конфет второго вида на 1,5 кг больше.

2) На трех машинах 14,5т груза. На первой машине 5,2т, а на второй – на 0,8т меньше, чем на первой. Сколько тонн груза на третьей машине?

3) Груз в 11,2т распределили на две автомашины так, что на одной из них оказалось на 0,84т больше, чем на другой. Сколько тонн груза оказалось на каждой автомашине?

4) Два мотоциклиста движутся в противоположных направлениях. Скорость одного из них 22км/ч, а другого – на 4км/ч больше. Какое расстояние будет между ними через 0,25ч, если сейчас между ними 0,8 км?

5) На пошив пальто ушло в 4 раза больше ткани, чем на юбку.Сколько метров ткани ушло на пошив пальто, если на юбку ушло на 2,55 м ткани меньше, чем на пальто?

7. «Самый ловкий?» (4 мин) (Слайд 7)

Учитель: Чтобы узнать, кто самый ловкий, выполним задание на смекалку. На доске висит плакат, на нем паутина, связывающая кружочки с десятичными дробями. Задание такое: надо с одного угла до другого соединить числа арифметическими знаками так, чтобы из 0,1 получилась 1. Кто продумал такую комбинацию, поднимает руку и показывает на доске свое решение. Если решение верное, то команда зарабатывает 3 балла.

8. Подведение итогов (3 мин) (Слад 8)

Подсчитать баллы и похвалить выигравшую команду. За активность и дружбу поставить всем хорошие оценки. Похвалить активных ребят в каждом ряду. Обсудить с детьми, что они уже умеют решать хорошо, а что необходимо закрепить. Дать домашнее задание. Собрать тетради на проверку. В тетрадях проверяются уравнения и задачи, за что тоже можно позже выставить оценки. Но главное – по тетрадям будет видно, с какими уравнениями и задачами дети справились, а какого типа задания еще нужно закрепить перед контрольной работой. Тут же будет видно, справляются ли дети с оформлением уравнений и задач.

9. Домашнее задание: (Слайд 8) стр. 138, «Бесконечное деление» (для тех, кому интересно).

Сказка «Волшебное слово» В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. Повстречал как-то Иван-царевич Елену Прекрасную. Они полюбили друг друга. Но злой Кощей Бессмертный похитил Елену Прекрасную. Иван-царевич поехал выручать свою любимую. Вот подъехал он к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост. На камне написаны 3 уравнения: 1) (у – 3,71) — 5,46 = 12,77 2) (12,7 +х) – 9,8 = 3,2 3) (у +3,79) – 1,79 = 1,83. Если их правильно решить, то камень повернется и освободит дорогу. Помогите Ивану-царевичу

Царство Бабы Яги: -Долго ехал Иван – царевич по лесу, пока дорога не привела его к избушке Бабы Яги. Она давно враждовала с Кошем Бессмертным и согласилась помочь Ивану – царевичу, но только при условии,если он решит уравнения, написанные на стенах избушки

Решите уравнения 1) 6,5 + 2х = 14,5 2)12,4 – 3х = 3,4 3) 7,5 + 5х — 1,5 = 16 -Прощаясь с Иваном – царевичем,Баба Яга рассказала ему о силе корней уравнения: «Коль нужно тебе, какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух корни уравнения. Мигом исполнится».

Черный Ворон: Чёрный ворон подслушал этот разговор и рассказал обо всём Кощею. Тот подстерёг Ивана – царевича, схватил его и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на 3 замка. Помогите Ивану – царевичу 1) 35: х – 1,2 = 3.8 2) у: = 7,7 3)(х – 5,4) — 2,3 = 5,2

«Волшебные слова»: Иван-царевич произнёс «волшебные слова»,назвал корни всех уравнений. Двери подземелья открылись. И встал Иван – царевич перед воротами Кощеева царства. А на воротах написано уравнение: (у + 2,84) -1,84 =6,4 –Устно решил его Иван – царевич. Ворота открылись. Освободил Иван – царевич Елену Прекрасную и в тот же день сыграли они свадьбу. А вы сможете устно решить это уравнение

Из истории математики. –Правила вычислений с десятичными дробями описал знаменитый ученый аль — Каши Джемшид Ибн Масуд в начале XV века. Записывал он дроби так же, как принято сейчас, но не использовал запятой: дробную часть записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой. Но в Европе об этом не узнали и только через 150 лет учёный Симон Стивен записал десятичные дроби довольно сложно: в место запятой нуль в кружке. Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века. В России о десятичных дробях изложил Л. Ф. Магнитский в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сиречь наука числительная».

Выполните задание 1).2,01 = 2) 105,11 – 8,7 = 3)Решить уравнение: 1 – х = 0,89 4) Решить уравнение: х + 15,35 = 19,4 5)В первый день продали 12,52 м ткани, а во второй день ещё 19. 7 м.Сколько ткани продали за два дня? 6). Масса двух кочанов капусты 10,67 кг, а одного из них 5,29 кг. Какова масса другого кочана?

Занимательная страница: п/пКСЧТИЯ 12,4463,22455,1554,215,20,110,151,0510,830,75 57,1830,229,4332,2115,9614,2713,44,08

Проверка знаний Вариант 1 Обязательная часть. 1). Вычислить: а)28.,7 + 1,53 б)75,4 – 4,23 2). Найти значение выражения: 8,3 + 4, – 1,25. Дополнительная часть: 3). От куска проволоки длиной 20м отрезали 4 куска: первый — длиной 1,7м,а каждый следующий – на полметра больше предыдущего. Определите длину оставшегося куска проволоки. Вариант 2 Обязательная часть. 1). Вычислите: а)32,9 + 3,61 б)10 -4,26. 2). Найдите значение выражения: , – Дополнительная часть 3). Маршрут состоит из 3 участков Первый участок имеет длину 4,2км,а второй – на полтора километра больше, а третий – на полтора километра меньше первого. Какова длина всего маршрута?

Урок-сказа ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Денисова Светлана Ивановна

учитель математики

МОУ «Средняя школа №1»

г. Кимры Тверской области

И было у него три сестры

Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей

медного царства

серебряного царства

золотого царства

Целый год жил без сестер, и сделалась ему скучно. Решил он проведать сестриц

и отправился в путь дорогу

Вышли они к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост

(y — 0,371)+ 5,44= 27,7

(0,127 + m) – 9,8= 3,2

(x + 0,379) – 1,97=1,83

Если их правильно решить, то камень повернется и освободит дорогу

2,4 – 3x = 0,21 (2)

2,5x + 0,8x = 99 (2)

5x – 7,35 = 0,3 (3)

7,2y – 0,3y = 27,6 (3)

Она долго враждовала с Кощеем и согласилась помочь Ивану-царевичу, но только в том случае, если его воины решат шесть уравнений

5,8y – 2,7y = 62 (1)

0,65 + 2x = 5,9 (1)

Прощаясь с Иваном-царевичем, Баба Яга рассказала ему о силе уравнения.

Коль нужно тебе какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух корни уравнения. Мигом исполнится.

Кощей подстерег Ивана –царевича и его воинов, схватил их и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на шесть замков.

3,5:x – 2 = 1,5 (1)

(x – 0,5) * 5 =0,4 * 2 – 0,3 * 2 (1)

y: 0,2 + 0,35 = 3,6 (2)

(0,3 + x) * 4 = 0,3 * 3 + 0,7 * 3 (2)

m: 0,12 * 0,2 = 7,2 (3)

(0,7 + x) * 5 = 0,8 * 5 + 0,6 * 5 (3)

Иван-царевич произнес «волшебные слова», назвал корни всех уравнений. Двери подземелья открылись. Стали воины перед воротами Кощеева дворца

y + 0,0015: 0,001 = 1,5

После этого Иван-царевич вместе с Еленой прекрасной проведали его сестриц, приехали домой и стали жить –поживать и добра наживать

Уравнения с дробями сами по себе не трудны и очень интересны. Рассмотрим виды дробных уравнений и способы их решения.

Как решать уравнения с дробями – икс в числителе

В случае, если дано дробное уравнение, где неизвестное находится в числителе, решение не требует дополнительных условий и решается без лишних хлопот. Общий вид такого уравнения – x/a + b = c, где x – неизвестное, a,b и с – обычные числа.

Найти x: x/5 + 10 = 70.

Для того чтобы решить уравнение, нужно избавиться от дробей. Умножаем каждый член уравнения на 5: 5x/5 + 5×10 = 70×5. 5x и 5 сокращается, 10 и 70 умножаются на 5 и мы получаем: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Найти x: x/5 + x/10 = 90.

Данный пример – немного усложненная версия первого. Тут есть два варианта решения.

• Вариант 1: Избавляемся от дробей, умножая все члены уравнения на больший знаменатель, то есть на 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Вариант 2: Складываем левую часть уравнения. x/5 + x/10 = 90. Общий знаменатель – 10. 10 делим на 5, умножаем на x, получаем 2x. 10 делим на 10, умножаем на x, получаем x: 2x+x/10 = 90. Отсюда 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Нередко встречаются дробные уравнения, в которых иксы находятся по разные стороны знака равно. В таких ситуация необходимо перенести все дроби с иксами в одну сторону, а числа в другую.

• Найти x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Переносим 2x/5 направо с противоположным знаком: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Сокращаем 5x/5 и получаем: x = 130.

Как решить уравнение с дробями – икс в знаменателе

Данный вид дробных уравнений требует записи дополнительных условий. Указание этих условий является обязательной и неотъемлемой частью правильного решения. Не приписав их, вы рискуете, так как ответ (даже если он правильный) могут просто не засчитать.

Общий вид дробных уравнений, где x находится в знаменателе, имеет вид: a/x + b = c, где x – неизвестное, a, b, c – обычные числа. Обратите внимание, что x-ом может быть не любое число. Например x не может равняться нулю, так как делить на 0 нельзя. Именно это и является дополнительным условием, которое мы должны указать. Это называется областью допустимых значений, сокращенно – ОДЗ.

Найти x: 15/x + 18 = 21.

Сразу же пишем ОДЗ для x: x ≠ 0. Теперь, когда ОДЗ указана, решаем уравнение по стандартной схеме, избавляясь от дробей. Умножаем все члены уравнения на x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Часто встречаются уравнения, где в знаменателе стоит не только x, но и еще какое-нибудь действие с ним, например сложение или вычитание.

Найти x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Мы уже знаем, что знаменатель не может равняться нулю, а значит x-3 ≠ 0. Переносим -3 в правую часть, меняя при этом знак “-” на ”+” и получаем, что x ≠ 3. ОДЗ указана.

Решаем уравнение, умножаем все на x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Переносим иксы направо, числа налево: 24 = 3x => x = 8.

Название работы: Урок математики в 5 классе «Действия с десятичными дробями».

Место выполнения работы: МКОУ «СОШ №3» г. Поворино Воронежской области

Тема урока:

«Действия с десятичными дробями».

Учебные цели урока :

формировать умения и навыки решения уравнений на действия с десятичными дробями, умения составлять уравнения для решения задач.

Развивающие цели урока:

активизировать мыслительную деятельность учащихся;

развивать навыки самостоятельной работы;

умение с полной ясностью излагать свои мысли;

прививать аккуратность;

работать над повышением грамотности устной и письменной речи учащихся.

Воспитательные цели урока:

С помощью интересных форм работы повысить активность учащихся на уроке, добиваться сознательного усвоения материала. Воспитывать стремление добиваться правильного выполнения упражнений и задач, ответственное отношение к учению, уверенность в своих силах. Расширять знания детей об окружающем мире. Следить за осанкой учащихся при письме.

Тип урока:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

Рисунки, карточки с заданиями для индивидуальной работы, сундучок, удочка для игры «Рыбалка», «рыбки» с заданиями.

Мотивация урока.

Человек живет на планете не один. Одному не выжить. Когда кто – то отстал или не понял материал, ему необходима помощь. Эта помощь может прийти от друзей.

Девиз урока : «Была бы охота – заладится любая работа».

Ход урока.

1 этап. Мотивационно – ориентировочный: разъяснение цели деятельности

учащихся.

Сегодня на уроке мы должны с вами закрепить умение решать уравнения на действия с десятичными дробями и задачи. Оказывается, что в жизни

Уравнения нам всякие нужны,

Уравнения нам всякие важны.

Правила учи, тогда сверкнёт удача.

Если будешь уравнения уметь решать,

Точно смысл их понимать

Станет лёгкой даже трудная задача.

Я приглашаю вас совершить сегодня на уроке путешествие по реке Знаний к

острову Прогресс. Мы отправимся в путь на катерах «Победа» и «Удача».

Думаю, что лоцманы помогут провести наши катера кратчайшим путем, и мы

нигде не сядем на мель, выдержим все испытания, которые встретятся у нас на

пути, и вместе преодолеем трудности.

2 этап. Актуализация опорных знаний.

Разминка для ума.

Каждое путешествие, а тем более морское, требует закалки и тренировки.

Давайте проведем разминку для ума.

Вопросы для разминки .

1)Что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.)

2)Что называется корнем уравнения?

(Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения)

3)Что значит решить уравнение?

(Решить уравнение – значит найти его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня))

4)Как найти неизвестные:

а) слагаемое; множитель;

б) уменьшаемое; делимое;

в) вычитаемое; делитель.

Что ещё применяется при решении уравнений (кроме перечисленного)?

(Свойства сложения, вычитания, умножения и деления)

Для чего ещё применяют эти свойства?

(Для быстрого счёта)

Давайте посмотрим презентацию, в которой рассказывается о том, как подписывают десятичные дроби при различных действиях с ними.

Устный счёт

(задания заранее выписать на доске, а лучше спроецировать на экран через компьютер)

Раз, два, три, четыре, пять,

Бегать, прыгать мы не будем,

Будем весь урок решать.

1. Вычислите:

9,37 – (1,37+7,93) =

(65,4 + 289) – 25,4 =

85,4+ (2,49 – 15,4) =

(2,56 – 4,4) – 1,56 =

2. Известно, что 39,86 + 57,18 = 97,04

Пользуясь этим, найдите:

1)97,04 – 39,86 =

2)97,04 – 67,18 =

3)х + 67,18 = 97,04;

4)97,04 – у = 57,18;

5)39,86 + у = 97,04;

6)х – 39,86 = 57,18

3. В дно реки забили столб высотой 9 м так, что 3 м будут в земле, а 2 м – над

водой. Какова глубина реки? Составить уравнение для решения задачи.

Решение:

х метров – глубина реки.

3 + х + 2 = 9,

х = 4.

Ответ: глубина реки – 4 метра.

3 этап. «Методы сотрудничества»

Путешествие: выполнение заданий, контроль и оценка полученных результатов.

Я вижу, что вы готовы к путешествию. Выходя в плавание, мы должны с вами

приобрести билеты. За ними мы и отправимся в кассу.

1-й вариант будет покупать билеты на катер «Победа», а 2-й – на катер «Удача».

Учащиеся решают уравнения, поочередно выходя к доске или комментируя

(в зависимости от сложности задания).

Если кто – то не может решить устно, то вычисления можно сделать письменно.

Если уравнение решено неверно, то члены команд (1 в. и 2в.) могут его исправить, тем самым они помогут своему товарищу приобрести билет.

1 . х + 3,7 = 8,5, 4 . m — 9,4 = 1,8, 7 . 39,5 + x = 86,4,

х = 8,5 – 3,7, m = 1,8 + 9,4, x = 86,4 – 39,5,

х = 4,8. m = 11,2. x = 46,9.

Ответ: 4,8. Ответ: 11,2. Ответ: 46,9.

2. 1,56 + у = 2,18, 5. 2,041 – n = 0,786, 8. 300 – у = 206,

у = 2,18 – 1,56, n = 2,041 – 0,786, у = 300 – 206,

у = 0,62. n = 1,255. у = 94.

Ответ: 0,62. Ответ: 1,255. Ответ: 94.

3. 8, 5 – z = 3, 6, 6. p – 769, 8 = 230, 7, 9. t – 0,307 = 0,308,

z = 8, 5 – 3, 6, p = 230, 7 + 769, 8, t = 0,308 + 0,307,

z = 4, 9. p = 1000, 5. t = 0,615.

Ответ: 4, 9. Ответ: 1000,5. Ответ: 0,615.

10. 16,6 = m – 3,4, 11. 5,9 = 8,1 – k ,

m = 16, 6 + 3,4, k = 8,1 – 5,9,

m = 20. k = 2, 2.

Ответ: 20. Ответ: 2,2.

Итак, все заняли свои места на катерах, мы плывем дальше.

Все члены команд и пассажиры должны принять участие в движении катеров, а для этого необходимо подливать горючее в мотор. Каждое правильно решенное уравнение — это часть горючего, необходимого для работы мотора. Если кто – то допустит ошибку, то катер сядет на мель. Обычно при этом бывают сильные толчки. Кто – то рискует получить ссадину или царапину. Старайтесь!

1. (х + 2,7) – 1,2 = 4,2, 2. 1,15 – (0,35 + у) = 0,39,

х + 2,7 = 4,2 + 1,2, 0,35 + у = 1,15 – 0,39,

х + 2,7 = 5. 4, 0,35 + у = 0,76,

х = 5,4 – 2,7, у = 0,76 – 0,35,

х = 2,7. у = 0,41.

Ответ: 2.7. Ответ: 0,41.

3. 12,5 + у – 8,5 = 6,5, 4. z – 3,5 – 6,4 = 1,6,

4 + у = 6,5, z – (3,5 + 6,4) = 1,6,

у = 6,5 – 4, z – 9,9 = 1,6,

у = 2,5. z = 1,6 + 9,9,

Ответ: 2,5. z = 11,5

Ответ: 11,5

5. 2,8 – t + 3,5 = 5,3, 6. 5,2 + у + 8,7 = 15,9,

6,3 – t = 5,3, 13,9 + у = 15,9,

t = 6, 3 — 5,3, у = 15,9 – 13,9,

t = 1. у = 2.

Ответ: 1. Ответ: 2.

Но что с мотором? Барахлит? Оказывается боцман неверно рассчитал количество горючего и нам надо исправить его ошибку.

Задача .

В бензобаке было налито несколько литров бензина. После того, как в него долили ещё 12,6 литров, а потом сожгли 5,7 литров, то в нем стало 19,9литров. Сколько литров бензина было в бензобаке?

Решение.

Х литров бензина было в бензобаке.

Боцман решил так:

х + 12,6 = 19,9 – 5,7,

х + 12,6 = 14,2,

х = 14,2 + 12,6,

х = 26,8.

Где ошибка? В чём причина?

Правильное решение:

х + 12,6 – 5,7 = 19,9,

х + 6,9 = 19,9,

х = 19,9 – 6,9,

х = 13.

Ответ: в бензобаке было 13 литров бензина.

Ребята!

Небрежно проделанные расчеты порой приводят к неудачным ситуациям.

Физкультминутка.

1.Посмотреть в окно, сделать разгрузку для глаз.

2. А теперь проведем разминку.

Уважаемый наш боцман

Смотрит влево…Смотрит вправо.

А потом опять вперед. Тут немного отдохнет

Шея не напряжена и расслаблена…

Боцман смотрит вверх! Выше всех, все дальше вверх!

Возвращается обратно. Расслабление приятно!

А теперь посмотрим вниз. Мышцы шеи напряглись.

Возвращаемся обратно. Расслабление приятно.

Шея не напряжена и расслаблена!

Мы давно уже в пути.

Конечно, проголодались, и нашим «рыбакам» предстоит поймать рыбу на обед.

Игра «Рыбалка».

Задачки прикреплены к рыбкам сзади.

Ученик вылавливает их удочкой с магнитом.

1. а – 36,81 = 0, 3. х – 2,45 = 0,

а = 36,81. х = 2,45.

2. в – 0 = 49,63, 4. у – 0 = 6,48,

в = 49,63. у = 6,48.

Наше путешествие подходит к концу, т.к. мы видим землю. Перед нами остров Прогресс. Ой, что там темнеет на берегу? Сундук. Наверняка, в нём сокровища.

О! В нем слова «Ваши знания — ….»

А теперь работа для дешифровальщиков.

Вы должны найти корень уравнения, выписать соответствующую ответу букву, получить слово, которого нет.

(Ребята решают уравнения на нахождение неизвестных компонентов, каждому ответу находят соответствующую букву, из букв потом складывают слово «клад»)

1. х + 3,9 = 100,1, 2. у – 1,9 = 8,1,

х = 96,2. у = 10.

К Л

3.1,5 + z = 6,6, 4.20,05 – а = 1,35,

z = 5, 1. а = 18,7.

А Д

Итак, «Ваши знания – это КЛАД».

4 этап. Подведение итогов.

Наше путешествие заканчивается. Я надеюсь, что поход вас не утомил, а знания

полученные сегодня, пригодятся в жизни, ну, например, на предстоящей

контрольной работе.

Что узнали нового? Что понравилось?

Сегодня мы убедились, что без умения решать уравнения многого в математике не достигнешь.

Чтобы стать хорошим математиком, совсем не обязательно быть гением.

Для этого надо лишь одно: научиться свободно решать уравнения, а для этого распознавать в них неизвестные компоненты.

Торопись, ведь дни проходят,

Ты у времени в гостях.

Не рассчитывай на помощь,

Помни: всё в твоих руках.

Уравнения различные

Изучает математика.

Потруднее биологии,

Но полегче, чем грамматика.

И хитрить нам с ней бессмысленно,

И ругать её беспочвенно.

Королева – математика.

Помогает в жизни очень нам.

Вот закончилась игра,

Результат узнать пора.

Кто же лучше всех трудился

И на уроке отличился?

Выставляются оценки отвечавшим детям.

5 этап. Задание на дом.

Повторить правила, каждый ученик получает уравнения на карточках (индивидуальное задание каждому ученику).

О, мудрецы времён!

Дружней вас не сыскать.

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Использованная литература:

1. Материалы газеты «Математика» .
2. Интернет-ресурсы.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

На этом уроке мы продолжим изучение дробей. Научимся складывать дроби с одинаковыми знаменателями. А также научимся отнимать дроби с одинаковыми знаменателями.

Задача

Аня и Таня заказали пиццу. Пиццу разрезали на 8 равных частей. Аня съела 3 кусочка пиццы, а Таня – 2 кусочка. Сколько кусочков пиццы съели девочки?

Решение

Запомним правило:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:

где a, b, c – любые натуральные числа.

Пример

Найдите сумму дробей: .

Задача

Маша разделила яблоко на 10 равных частей. 2 дольки она съела сама, а 8 долек Маша решила дать своим братикам Ване и Диме. Мальчишки вместе съели 5 долек. Сколько долек яблока осталось?

Решение

Запомним правило:

Чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с таким же знаменателем, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же.

В буквенной записи правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

где a, b, c – любые натуральные числа.

Пример

Найдите разность дробей: .

Правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями пользуются и при решении уравнений.

Решить уравнения

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы узнали, какими правилами пользуются при сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями. И применили знания данных правил при решении примеров, уравнений и задач.

Внеклассный урок — Целые и дробные рациональные уравнения

Целые и дробные рациональные уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.

(Напомним: рациональными выражениями называют целые и дробные выражения без радикалов, включающие действия сложения, вычитания, умножения или деления — например: 6x;  (m – n)²; x/3y и т.п.)

 

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.

Примеры целого рационального уравнения:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
— = 2x – 10
4

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.

Пример дробного рационального уравнения:

      15
x + — = 5x – 17
       x

Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

1) находят общий знаменатель дробей и умножают на него обе части уравнения; 2) решают получившееся целое уравнение; 3) исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.

 

Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.

Пример 1. Решим целое уравнение

x – 1      2x        5x
—— + —— = ——.
   2         3           6

Решение:

Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:

3(x – 1) + 4x          5х
—————— = ——
            6                 6

Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно опустить. Тогда у нас получится более простое уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5х.

Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:

3х – 3 + 4х = 5х

3х + 4х – 5х = 3

2х = 3

х = 3:2

x = 1,5.

Пример решен.

 

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5
—— + — = ———.
x – 5     x       x(x – 5)

Решение:

Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак:

 x² – 3х         x – 5            x + 5
———   +  ———    =  ———
 x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его корни: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения.

При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2

 

Сокращайте простые и сложные дроби с помощью пошагового решения математических задач

ПРОДУКТЫ ДРОБЕЙ

Произведение двух дробей определяется следующим образом.

Произведением двух дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.

В символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, можно разделить либо до, либо после умножения.

Пример 1 Найдите произведение

Раствор

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите произведение

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, мы получаем

.

Если к какому-либо из факторов приписан отрицательный знак, целесообразно действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем присвоить результату соответствующий знак.Положительный знак ставится, если отрицательных знаков нет или четное число отрицательных знаков у факторов; знак минус ставится, если у факторов нечетное число знаков минус.

Пример 3

Когда дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение .

Решение Сначала мы должны разложить числители и знаменатели, чтобы получить

.

Теперь, разделив общие множители, мы получим

.

Теперь мы умножаем оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при записи дробных ответов мы будем умножать числитель и оставлять знаменатель в разложенном виде.Очень часто дроби более полезны в этой форме.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте любую форму, наиболее удобную для конкретной задачи.

Пример 5

Общие ошибки: Помните, что мы можем разделить только общие факторы, но не общие термины! Например,

, потому что x является термином и не может быть разделен. Точно так же

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

ЧАСТИ ДРОБЕЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Это точно такое же понятие, как деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти , ищем такое число q, что . Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на . Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем число, обратное числу .В общем случае обратная дробь — это дробь. То есть мы получаем обратную дробь, «переворачивая» дробь. В общем

Частное двух дробей равно произведению делимого и обратной величины делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, инвертируем делитель и умножаем. В символах

Пример 1

Как и при умножении, когда к дробям в частном присоединены знаки, рекомендуется решить задачу так, как если бы все множители были положительными, а затем присвоить решению соответствующий знак.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно сразу распознавать эквивалентные формы. Один случай

Вообще,

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗНОСТИ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями – это дробь с одинаковыми знаменателями и числителем, равным сумме числителей исходных дробей.

Вообще,

Пример 1

Когда используется вычитание, полезно перейти к стандартной форме перед сложением.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММА ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

В разделе 6.3 мы сложили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы будем складывать дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

В общем случае наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (НОД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

1. Полностью разложите каждый знаменатель, по возможности выравнивая общие множители.
2. Включите в LCD каждый из этих множителей наибольшее количество раз, когда он встречается в любом отдельном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель содержит среди своих множителей множители 12, 10 и 6.

Таким образом, LCD равно 60. (Это число является наименьшим натуральным числом, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК набора алгебраических дробей — простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому из знаменателей набора.Таким образом, ЖК дробей

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому из знаменателей.

Пример 2 Найдите ЖКИ дробей

Решение Следуя методике примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x ² (x + l)(x — 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала составив дроби до эквивалентных дробей с одинаковыми знаменателями, а затем сложив.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

1. Найдите на ЖК-дисплее набор дробей.
2. Приведите каждую дробь к эквивалентной дроби, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя.
3. Сложите дроби, используя свойство
   

Пример 3 Запишите суммы и в виде отдельных членов.

Решение В каждом случае LCD равно 10. Мы преобразуем каждую дробь в дробь с 10 в знаменателе. Таким образом,

эквивалентны

из которого получаем

Иногда дроби имеют знаменатели, являющиеся биномами.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного слагаемого.

Решение ЖК-дисплей равен (x + 2)(x — 1). Составляем каждую дробь в дробь со знаменателем (x + 2)(x — 1), расставляя скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного слагаемого.

Решение Сначала мы факторизуем знаменатели, чтобы получить LCD.

Построим теперь каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получим

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Общие ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы складываем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗНОСТИ ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями так же, как складываем такие дроби. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартной форме. Таким образом, любая дробь вида

сначала пишется как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу в виде одного термина.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как . ЖК-дисплей 12x. Мы приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь сложение числителей дает

Опять же, с биномиальными числителями следует соблюдать особую осторожность.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного термина.

Решение сначала должно быть записано как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем LCD 6 и превращаем каждую дробь в дроби со знаменателем 6, добавляем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного термина.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как . LCD равен (x — l)(x + 2), и мы преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь с этим знаменателем, чтобы получить

.

Добавление числителей и упрощение выходов

Пример 4 Запишите разницу

как один термин

Решение Сначала мы разложим знаменатели и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

.

Мы находим LCD (x + 7)(x — 3)(x + 3) и приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем выход

СЛОЖНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих случаях, называется сложной дробью. Например,

— сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель сложной дроби не содержат суммы или разности, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель сложной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей формы (1) выше.

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае LCD равно 4. Результатом является простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

Упрощение уравнения (2) на стр. 255 появляется в следующем примере.

Пример 2 Упрощение

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае ЖК 6. Получаем

УРАВНЕНИЯ Дробей

Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный для решения уравнения, когда решение не очевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

1. Очистить дроби, если они есть, путем умножения каждого члена уравнения на ЖКИ.
2. Запишите любое выражение, содержащее скобки, как выражение без скобок.
3. Объедините любые похожие термины в любой элемент.
4. Получить все термины, содержащие переменную в одном элементе, и все термины, не содержащие переменную, в другом элементе.
5. Разделить каждый член на коэффициент переменной, если он отличен от 1.
6. Проверьте ответ, если каждый член уравнения был умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить .

Решение Умножим каждый член на LCD 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей.

Свойство равенства умножения (раздел 3.4) позволяет нам умножать каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

мы бы умножили каждый элемент на LCD 4(x — 5). Заметим, что x не может равняться 5, так как 4(x — 5) равно 0, если x = 5. Все решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить .

Решение Умножаем каждый элемент на LCD 4(x — 5), чтобы получить

.

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение x дает

-21х = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4(x — 5) не равно нулю при a = 9. Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить для одной переменной через другую переменную (переменные).

Пример 3 Найдите a через a, b и c.

Решение Умножаем каждый элемент на LDC 3xc, чтобы получить

.

Теперь, разделив каждый член на 2 раза, мы получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Текстовые задачи в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения текстовых задач, и шаги, предложенные на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если определенное число прибавить к числу, получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в терминах переменной.
Номер: х

Шаг 3 Эскиз неприменим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «из» указывает на умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Число равно 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени перемещения t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу для r или t, чтобы получить:

Таблица, показанная в следующем примере, полезна при решении задач движения.

Пример 2 Экспресс-поезд проходит 180 миль за то же время, что и товарный поезд проходит 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее грузового, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2 Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

Тариф грузового поезда: р

Тариф экспресса: r + 20

Шаг 3 Далее мы создаем таблицу с указанием расстояний, скоростей и времени.

Шаг 4 Поскольку время движения обоих поездов одинаковое, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем найти r, сначала умножив каждый член на LCD r(r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел, a ÷ b или , иногда называют отношением и читается как «отношение a к b».» Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде соотношения.

а. от 3 до 5 дюймов
b. от 8 м до 12 м
c. от 6 до 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например,

Число

называется пропорцией и читается как «2 к 3, как 4 к 6» и «a к b, как c к d». Числа a, b, c и d называются соответственно первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции. Первый и четвертый члены называются экстремумами пропорции, а второй и третий члены называются средними.

Пример 2 Выразите в пропорции.

Если каждое отношение в пропорции

умножаем на бд, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Пропорция — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию .

Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические и наоборот. Следующие базовые соотношения помогут установить соответствующие пропорции конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйма)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунт)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм. ) = 2,54 сантиметра (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Замените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2 Представить то, что нужно найти (в сантиметрах), в терминах словосочетания и в терминах переменной.
сантиметров: х

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основное соотношение между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, напишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Найдите x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

8(2,54) = 1 · х
20,32 = х

Шаг 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (НОД) дробей. Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

3. Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется сложной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе.

4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, решение которого очевидно при проверке.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, свободное от дробей, путем умножения каждого члена уравнения на LCD дробей.

5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение о равенстве двух отношений называется пропорцией . В пропорции

   a и d называются крайностями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

   ad = bc

Дифференциальные уравнения дробных дробей – обзор

Существование положительного решения данного дифференциального уравнения дробных дробей является большой проблемой для математика, потому что иногда существуют некоторые сложные дифференциальные системы, которые не могут быть решены аналитически, но доказательство существования помогает нам узнать, что существует решение при некоторых условиях в хорошо построенном пространстве Соболева. В этой главе мы рассматриваем следующее пространство Соболева [219]:

h2(0,T)={u∈L2(a,b)/u′∈L2(a,b)}.

Аналогично рассмотрим гильбертово пространство, где

H∈{u,v/∫0t(t−y)αvudy<∞}.

Чтобы доказать существование уравнения. (11.1) мы выражаем изменение гидравлического напора в основном грунте через изменение гидравлического напора в трещине. Чтобы достичь этого, мы используем преобразование Лапласа во времени, чтобы иметь ,p)=−ηhf(r,p),hm(r,p)=−ηhf(r,p)SSm(pα−ηSSm),hm(r,t)=L−1(−ηhf(r,p )SSm(pα−ηSSm)),hm(r,t)=−ηSSm∫0thf(r,y)Eα(ηSSm(t−y))dy.

Заменяя (11.2) в системе (11.1), получаем )Eα(ηSSm(t−y))dy−hf(r,t))+qf.

Пусть

(11.3)undefinedΓ1:h2(0,T)→h2(0,T)undefinedh→Γ1h=0RLItα(∇.(kj.∇hj(r,t))h→Γ1h=+η{− ηSSm∫0thf(r,y)Eα(ηSSm(t−y)dy)−hj(r,t)}+qf)

где

Itα0RL=1Γ(α)∫0t(t−τ)α−1f (т)дт.

Мы стремимся доказать, что он обладает условием Липшица. Пусть

(11.4)K(r,t,h)=∇.(kj.∇hj(r,t))−−η2SSm∫0thf(r,y)Eα(ηSSm(t−y))dy.

Пусть h2h3∈h2(0,T), тогда

(11.5)undefined‖K(r,t,h2)−K(r,t,h3)‖h2(0,T)≤‖∇.(Kj .∇hj(r,t))−∇(kf∇h3(r,t))‖+undefined‖η2SSm‖∫0t‖h2(r,y)−h3(r,y)‖Eα(ηSSm(t− y))dyundefined≤θ1θ2‖kf‖‖‖h2−h3‖+‖η2SSm‖‖h2−h3‖h2(0,T)M+‖η‖‖h2−h3‖undefined≤(θ1θ2‖kf‖+‖η2SSm‖M+ ‖η‖)‖h2−h3‖h2(0,T)undefined≤l‖h2−h3‖.

С определением K мы определяем следующую функцию:

Γh=1Γ(α)∫0tK(r,τ,h)α−1dτ.

Пусть h2 и h3 — элементы h2(0,T), тогда

(11.6)не определено‖Γ1h2−Γ1h3‖h2(0,T)=‖1Γ(α)∫0t(K(r,τ,h2)−K(r,τ,h3))(t−τ)α−1dτ‖ h2(0,T)undefined≤1Γ(α)∫0t‖K(r,τ,h2)−K(r,τ,h3)‖(t−τ)α−1dτundefined≤1Γ(α)∫0tl‖h2 −h3‖(t−α)α−1dτundefined≤lΓ(α)‖h2−h3‖h2(0,T)Tα−1αundefined≤lTαΓ(α+1)‖h2−h3‖h2(0,T)undefined≤ β‖h2−h3‖h2(0,T).

Рассмотрим следующую рекуррентную формулу: Γ1hfn−1‖h2(0,T)=‖hfn+1−hfn‖h2(0,T)undefined=1Γ(α)‖∫0t{K(hfn,r,τ)−K(hfn−1,r ,τ)}(t−τ)α−1dτ‖undefined≤lΓ(α)‖hfn−1−hfn‖h2(0,T)Tαα=lTαΓ(α+1)‖hfn−1−hfn‖h2(0 , Т).

Рекурсивно по n получаем

(11.8)‖Γ1hfn−Γ1hfn−1‖≤(lTαΓ(α+1)n)‖hf1(r,t)‖.

Выбираем lTαΓ(α+1)n так, что lTαΓ(α+1)n<1, при n→∞: ‖Γ1hfn−Γ1hfn−1‖→0, таким образом, (hfn)n∈N последовательности Коши в поэтому банахово пространство сходится к hf. Беря предел с обеих сторон, мы имеем

limx→∞⁡hfn+1⇔hf=Γhf

, что показывает, что Γ имеет решение и единственно.

Решение уравнений дробей — A Plus Topper

Решение уравнений дробей

Решение уравнений дробей очень похоже на сложение и вычитание дробей, но после первого шага вы ИЗБАВИТЕСЬ от знаменателей! «Избавление» от знаменателей фактически меняет их все на значение 1, которое, конечно, не нужно записывать, оставляя нам уравнение без знаменателя.ДА!!

на «Избавиться» знаменателей, Что делать …

, почему он работает …
1. Начните с выбора общего знаменателя для уравнения.	Члены уравнений часто соединяются сложением или вычитанием. Для сложения или вычитания дробей требуется общий знаменатель.
2. умножьте КАЖДЫЙ ТЕРМИН в уравнении на общий знаменатель.	В уравнении (в отличие от выражения) вы можете умножить «каждый член» по обе стороны от знака равенства на одно и то же значение, не изменяя уравнение. Вы поддерживаете сбалансированное уравнение.
3. Сократите каждый член, чтобы сформировать уравнение «без знаменателя».	Все знаменатели в уравнении можно привести к нашему общему знаменателю, в результате чего все знаменатели уравнения будут равны единице.

Пример 1:
1. Определите значения домена, которые будут создавать нулевые знаменатели.

2. Найдите наименьший общий знаменатель.
В этом примере наименьший общий знаменатель равен 2x(x + 1) или 2x² + 2x.
3. Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель. Будьте осторожны с правой частью уравнения, которое содержит вычитание. Обязательно распределите по скобкам (поперек вычитания). Сократите, упростите и решите x.

4. Убедитесь, что каждый ответ не приводит к проблеме с нулевым знаменателем в исходном уравнении.
Из нашей проверки домена исходного уравнения (шаг 1) мы знаем, что ответы x = -1 и 0 НЕ будут решениями. Наше решение должно быть в порядке.
Показать чек:

Пример 2:
1. Определите значения домена, которые будут создавать нулевые знаменатели.

2. Найдите наименьший общий знаменатель.
В этом примере после разложения a² – 8a + 12 на (a – 2)(a – 6) мы видим, что наименьший общий знаменатель равен a² – 8a + 12 или (a – 2)(a – 6).
3.Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель. Будьте осторожны с левой частью уравнения, которое содержит сложение. Обязательно распределите по скобкам (поперек сложения). Сократите, упростите и решите для a.

4. Убедитесь, что каждый ответ не приводит к проблеме с нулевым знаменателем в исходном уравнении.
Из нашей доменной проверки исходного уравнения (шаг 1) мы знаем, что ответ a = 6 НЕ будет решением, так как он вызывает проблему с нулевым знаменателем.Единственным возможным решением является a = -1.
Показать чеки:

8. Уравнения с дробями

В этом разделе мы можем легко найти решение, умножив все на наименьший общий знаменатель (LCD) . Это упростит наше уравнение и облегчит его решение.

Нужно не забыть умножить все слагаемые в уравнении (обе стороны от знака равенства) на ЖКИ, иначе окончательный ответ будет неверным.

Мы начнем с некоторых алгебраических примеров, затем продолжим с задачами на дроби.

а. Алгебраические типы

Пример 1

Решить для x :

`х/5+3/10 = 1/2`

Ответ

Сначала рассмотрим знаменателя дробей и найдем наименьший общий знаменатель. В этом случае это будет «10».

Мы умножаем на «10» и получаем:

`10xx(x/5+3/10) = 10xx(1/2)`

`2x+3=5`

Затем мы просто решаем найденное нами более простое уравнение.

Вычесть «3» с обеих сторон:

`2x=2`

Разделите обе части на «2», что даст нам окончательный ответ:

`х=1`

Пример 2

Решить для x :

`(2x)/3+2/5 = 8+x/2`

Ответ

Еще раз смотрим на знаменателей дробей и определяем наименьший общий знаменатель. В этом случае это будет `30.`

Мы умножаем на «30» и получаем:

`30xx((2x)/3+2/5) = 30xx(8+x/2)`

`20x+12=240+15x`

Вычитание «12» с обеих сторон:

`20x=228+15x`

Вычесть `15x` с обеих сторон:

`5x=228`

Разделите обе части на «5», чтобы получить окончательный ответ:

.

`х=228/5=45,6`

Пример 3

Следующий имеет переменную в знаменателе .Нам все равно нужно будет найти ЖК-дисплей, как и раньше.

Решить для x :

`4/x+1/3 = 7/(5x)`

Ответ

В этом случае наименьший общий знаменатель равен «15x».

Мы умножаем на «15x» и получаем:

`15x xx(4/x+1/3) = 15x xx(7/(5x))`

`60+5x=21`

Вычитание «60» с обеих сторон:

`5x=-39`

Разделите обе части на «5», чтобы получить окончательный ответ:

.

`х=-39/5=-7.8`

б. Проблемы со словами

Пример 4

Аквариум можно заполнить одним шлангом за 7 минут, а вторым более тонким шлангом за 10 минут.

Сколько времени потребуется, чтобы заполнить бак, если оба шланга работают вместе?

Ответ

Поскольку время наполнения каждого шланга составляет меньше , мы имеем чтобы сложить обратные величины вместе и взять обратную величину результата.

Нам нужно использовать:

`1/Т=1/Т_1+1/Т_2`

Итак, имеем:

`1/T=1/7+1/10`

`1/T=(10+7)/70=17/70`

Так

`Т=70/17=4.1176`

Таким образом, наполнение бака при одновременной работе обоих шлангов займет 4,1 минуты.

Пример 5

Связанные страницы

Вам могут пригодиться:

Для 2 резисторов с сопротивлениями Р ₁ и R ₂ параллельно, общее сопротивление R определяется как:

`1/R=1/R_1+1/R_2`

Для конкретной цепи комбинированное сопротивление R оказалось равным 4 Ом (Ом), а R ₁ = 10 Ом.Найдите R ₂ .

Ответ

У нас есть:

`1/4=1/10+1/R_2`

Нам нужно умножить на наименьший общий знаменатель: 20 R ₂

`1/4=1/10+1/R_2`

`(20R_2)/4=(20R_2)/10+(20R_2)/(R_2)`

`5R_2=2R_2+20`

`3R_2=20`

`R_2=20/3=6 2/3Омега`

«Омега» — это символ «Ом», единицы сопротивления.

Пример 6

Средняя скорость автомобиля от дома до работы составляла 30 км/ч, а обратно – 40 км/ч. Если общее время двух поездок составляет 50 минут, какое расстояние от дома до работы?

Ответ

Пусть длина пути от дома до работы равна х км.

Напомним, что

`текст(скорость) = текст(расстояние)/текст(время)`

Так

`текст(время) = текст(расстояние)/текст(скорость)`

Мы должны использовать одни и те же единицы времени.Мы будем использовать часы.

Сейчас

`50\текст(минуты)=50/60=5/6текст(часы)`

В пути вперед время автомобиля составило `x/30` часов.

Для обратного пути время было `x/40` часов.

Общее время было `x/30+x/40=5/6\ text(hours)`

Итак, `(4x+3x)/120=(7x)/120=5/6`

Это дает нам `7x=(5xx120)/6=100`

То есть `x=100/7=14,286`

Значит, расстояние от дома до работы 14,3 км.

8.4 Решение уравнений с дробями или десятичными коэффициентами — Предварительная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решение уравнений с дробными коэффициентами
• Решение уравнений с десятичными коэффициентами

Будьте готовы 8.10

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Умножить: 8·38,8·38.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.28

.

Будьте готовы 8.11

Найдите ЖК-дисплей 56 и 14, 56 и 14.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.63

.

Будьте готовы 8.12

Умножить: 4.784.78 на 100.100.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.18

.

Решение уравнений с дробными коэффициентами

Давайте воспользуемся представленной ранее общей стратегией решения линейных уравнений, чтобы решить уравнение 18x+12=14,18x+12=14.

Этот метод работал хорошо, но многие ученики не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби.Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется очисткой уравнения дробей . Давайте снова решим то же уравнение, но на этот раз воспользуемся методом очистки дробей.

Пример 8.37

Решите: 18x+12=14,18x+12=14.

Попробуйте 8.73

Решите: 14x+12=58,14x+12=58.

Попробуйте 8.74

Решите: 16y-13=16.16y-13=16.

Обратите внимание, что в примере 8.37, как только мы очистили уравнение дробей, оно стало таким же, как те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили задачу на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

How To

Решайте уравнения с дробными коэффициентами, очищая дроби.

1. Шаг 1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
2. Шаг 2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
3. Шаг 3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

Пример 8.38

Решите: 7=12x+34x−23x.7=12x+34x−23x.

Решение

Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на LCD всех дробей в уравнении.

Попробуйте 8.75

Решите: 6=12v+25v−34v.6=12v+25v−34v.

Попробуйте 8.76

Решите: −1=12u+14u−23u.−1=12u+14u−23u.

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения.

Пример 8.39

Решите: x+13=16x−12.x+13=16x−12.

Попробуйте 8.77

Решите: a+34=38a−12.a+34=38a−12.

Попробуйте 8.78

Решите: c+34=12c−14.c+34=12c−14.

В примере 8.40 мы начнем с использования свойства Distribution. Этот шаг сразу очистит дроби!

Пример 8.40

Решите: 1=12(4x+2).1=12(4x+2).

Попробуйте 8.79

Решите: −11=12(6p+2).−11=12(6p+2).

Попробуйте 8.80

Решить: 8=13(9q+6).8=13(9q+6).

Много раз, даже после распределения, все еще будут дроби.

Пример 8.41

Решите: 12(y−5)=14(y−1).12(у-5)=14(у-1).

Попробуйте 8.81

Решите: 15(n+3)=14(n+2).15(n+3)=14(n+2).

Попробуйте 8.82

Решите: 12(м-3)=14(м-7).12(м-3)=14(м-7).

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В некоторых уравнениях есть десятичные дроби. Такое уравнение возникает, когда мы решаем задачи, связанные с деньгами и процентами. Но десятичные дроби — это еще один способ представления дробей. Например, 0,3=3100,3=310 и 0,17=17100,0,17=17100.Итак, когда у нас есть уравнение с десятичными дробями, мы можем использовать тот же процесс, который мы использовали для очистки дробей, — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Пример 8.42

Решите: 0,8x−5=7,0,8x−5=7.

Решение

Единственный десятичный знак в уравнении — 0.8.0.8. Поскольку 0,8=810, 0,8=810, ЖК-дисплей равен 10,10. Мы можем умножить обе части на 1010, чтобы очистить десятичную дробь.

Попробуйте 8.83

Решите: 0,6x−1=11,0,6x−1=11.

Попробуйте 8.84

Решите: 1,2x−3=9,1,2x−3=9.

Пример 8.43

Решите: 0,06x+0,02=0,25x−1,5.0,06x+0,02=0,25x−1,5.

Решение

Посмотрите на десятичные дроби и придумайте эквивалентные дроби.

0,06=6100,0,02=2100,0,25=25100,1,5=15100,06=6100,0,02=2100,0,25=25100,1,5=1510

Обратите внимание, на ЖК-дисплее 100,100.

Путем умножения на ЖК-дисплее мы очистим десятичные дроби.

Попробуйте 8.85

Решите: 0,14ч+0,12=0,35ч-2,4.0,14ч+0,12=0,35ч-2,4.

Попробуйте 8.86

Решите: 0,65k−0,1=0,4k−0,35.0,65k−0,1=0,4k−0,35.

В следующем примере используется уравнение, типичное для тех, которые мы увидим в приложении к деньгам в следующей главе. Обратите внимание, что мы сначала распределим десятичную дробь, прежде чем очистим все десятичные дроби в уравнении.

Пример 8.44

Решите: 0,25x+0,05(x+3)=2,85.0,25x+0,05(x+3)=2,85.

Попробуйте 8.87

Решите: 0,25n+0,05(n+5)=2,95.0,25n+0,05(n+5)=2,95.

Попробуйте 8.88

Решите: 0,10d+0,05(d−5)=2,15.0,10d+0,05(d−5)=2,15.

Раздел 8.4 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Решение уравнений с дробными коэффициентами

В следующих упражнениях решите уравнение, удалив дроби.

209.

14x−12=−3414x−12=−34

211.

56y-23=-3256y-23=-32

212.

56y-13=-7656y-13=-76

215.

2=13x−12x+23×2=13x−12x+23x

216.

2=35x−13x+25×2=35x−13x+25x

217.

14м-45м+12м=-114м-45м+12м=-1

218.

56n-14n-12n=-256n-14n-12n=-2

219.

х+12=23х-12х+12=23х-12

220.

х+34=12х-54х+34=12х-54

221.

13w+54=w-1413w+54=w-14

222.

32z+13=z-2332z+13=z-23

223.

12x−14=112x+1612x−14=112x+16

224.

12а-14=16а+11212а-14=16а+112

225.

13б+15=25б-3513б+15=25б-35

226.

13x+25=15x−2513x+25=15x−25

227.

1=16(12x−6)1=16(12x−6)

228.

1=15(15x−10)1=15(15x−10)

229.

14(р-7)=13(р+5)14(р-7)=13(р+5)

230.

15(q+3)=12(q−3)15(q+3)=12(q−3)

Решение уравнений с десятичными коэффициентами

В следующих упражнениях решите уравнение, очистив десятичные дроби.

237.

0,4х+0,6=0,5х-1,20,4х+0,6=0,5х-1,2

238.

0,7х+0,4=0,6х+2,40,7х+0.4=0,6х+2,4

239.

0,23х+1,47=0,37х-1,050,23х+1,47=0,37х-1,05

240.

0,48х+1,56=0,58х-0,640,48х+1,56=0,58х-0,64

241.

0,9х-1,25=0,75х+1,750,9х-1,25=0,75х+1,75

242.

1,2х-0,91=0,8х+2,291,2х-0,91=0,8х+2,29

243.

0,05n+0,10(n+8)=2,150,05n+0,10(n+8)=2,15

244.

0,05n+0,10(n+7)=3,550,05n+0,10(n+7)=3,55

245.

0,10d+0,25(d+5)=4,050,10d+0,25(d+5)=4,05

246.

0,10d+0,25(d+7)=5,250.10d+0,25(d+7)=5,25

247.

0,05(q-5)+0,25q=3,050,05(q-5)+0,25q=3,05

248.

0,05(q-8)+0,25q=4,100,05(q-8)+0,25q=4,10

Математика на каждый день

249.

Монеты У Тейлора есть 2 доллара 2 доллара в десятицентовиках и пенни. Количество пенни на 22 больше, чем количество десятицентовиков. Решите уравнение 0,10d+0,01(d+2)=20,10d+0,01(d+2)=2 для d,d, количества десятицентовиков.

250.

Марки Трэвис купил на 9,45 долларов 9,45 долларов марок номиналом 49 центов49 центов и марок номиналом 21 цент21 цент.Количество марок номиналом 21 цент21 цент было на 55 меньше, чем количество марок номиналом 49 центов49 центов. Решите уравнение 0,49s+0,21(s−5)=9,450,49s+0,21(s−5)=9,45 относительно s, s, чтобы найти количество марок по 49 центов49 центов, которые купил Трэвис.

Письменные упражнения

251.

Объясните, как найти наименьший общий знаменатель чисел 38, 16 и 23, 38, 16 и 23.

252.

Если уравнение состоит из нескольких дробей, как умножение обеих частей на ЖК-дисплей облегчает решение?

253.

Если в уравнении есть дроби только с одной стороны, почему нужно умножать обе части уравнения на ЖКИ?

254.

В уравнении 0,35x+2,1=3,85,0,35x+2,1=3,85, что такое LCD? Откуда вы знаете?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?

Общее решение дробных дифференциальных уравнений второго порядка | Илие

[1] Халил Р., Хорани М.А., А.Юсеф и М. Сабабхе, Новое определение дробной производной, Журнал вычислительной и прикладной математики, 264 (2014) 65-70.

[2] Т. Абдельджавад, Об исчислении согласных дробей, Журнал вычислительной и прикладной математики, 279 (2015) 57-66.

[3] В. Дафтардар-Гейджи, Х. Джафари, Решение дробного дифференциального уравнения нескольких порядков с использованием разложения Адомиана, Прикладная математика и вычисления, 189 (2007) 541-548.

[4] Б. Газанфари, А. Сепахвандзаде, Метод разложения Адомяна для решения дробных уравнений типа Брату, Журнал математики и информатики, 8 (2014) 236-244.

[5] О. Абдулазиз, И. Хашим, С. Момани, Решение систем дробных дифференциальных уравнений методом гомотопических возмущений, Physics Letters A, 372 (2008) 451-459.

[6] Б. Газанфари, А. Г. Газанфари, М. Фуладванд, Модификация метода гомотопических возмущений для численного решения нелинейных волн и нелинейных волновых уравнений, Журнал математики и информатики, 3 (2011) 212-224.

[7] М. Махмуди, М. В. Каземи, Решение сингулярных BVP обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью модифицированного метода гомотопических возмущений, Журнал математики и информатики, 7 (2013) 138-143.

[8] М. Раббани, Новый метод гомотопических возмущений для решения нелинейных задач, Журнал математики и информатики, 7 (2013) 272-275.

[9] И. Хашим, О. Абдулазиз, С. Момани, Метод гомотопического анализа для дробных IVP, Связь в нелинейной науке и численном моделировании, 14 (2009) 674-684.

[10] А. Курт, О. Тасбозан, Ю. Cenesiz, Метод гомотопического анализа для согласного уравнения Бюргерса-Кортевега-де Фриза, Бюллетень математических наук и приложений, 17 (2016) 17-23.

[11] Г. Ву, Э. В. М. Ли, Метод дробных вариационных итераций и его применение, Physics Letters A, 374 (2010) 2506-2509.

[12] З. Одибат, С. Момани, В. Суат Эртюрк, Метод обобщенного дифференциального преобразования: применение к дифференциальным уравнениям дробного порядка, Прикладная математика и вычисления, 197 (2008) 467-477.

[13] А. Курт, Ю. Ченесиз, О. Тасбозан, О решении уравнения Бюргерса с новой дробной производной, Open Physics, 13(1) (2015) 355-360.

[14] О.С. Ийола, О. Тасбозан, А. Курт, Ю. Ченесиз, Об аналитических решениях системы согласных дробных по времени уравнений Робертсона с одномерной диффузией, Хаос, солитоны и фракталы, 94 (2017) 1-7.

[15] Ю. Ченесиз, О. Тасбозан, А. Курт, Метод функциональных переменных для согласного дробно-модифицированного уравнения КдВ-ЗК и системы Маккари, Тбилисский математический журнал, 10(1) (2017) 117–125.

[16] Ю. Ченесиз, Д. Балеану, А. Курт, О. Тасбозан, Новые точные решения уравнений типа Бюргерса с согласной производной.Волны в случайных и сложных средах, 27 (1) (2017) 103–116.

[17] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Общее решение дробных дифференциальных уравнений Бернулли и Риккати на основе согласной дробной производной, Международный журнал прикладных математических исследований, 6 (2) (2017) 49-51.

[18] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Применение анализа симметрии Ли для дробных дифференциальных уравнений второго порядка, Иранский журнал оптимизации, 9 (2) (2017) 79-83.

[19] Ю.Ченесиз, А. Курт, Новое дробное комплексное преобразование для согласных дробных дифференциальных уравнений в частных производных, Журнал прикладной математики, статистики и информатики, 12 (2) (2016) 41-47.

[22] А. Гокдоган, Э. Унал, Э. Челик, Теоремы существования и единственности для последовательных линейных согласных дробных уравнений, Miskolc Mathematical Notes, 17(1) (2016) 267-279.

[23] Джордж Ф. Симмонс, Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями, McGraw-Hill, Inc. Нью-Йорк.1974.

[24] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Аналитические решения для созвучных дробных уравнений типа Брату, Международный журнал прикладных математических исследований, 7 (1) (2018) 15-19.

[25] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Оптимальный гомотопический асимптотический метод для согласных дробных дифференциальных уравнений первого порядка, Журнал дробного исчисления и приложений, 10 (1) (2019) 33-45.

[26] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Первый интегральный метод решения некоторых согласных дробных дифференциальных уравнений, Оптическая и квантовая электроника, 50 (2) (2018), https://doi.org/10.1007/s11082-017-1307-х.

[27] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Резонансные солитоны к нелинейному уравнению Шредингера с различными видами нелинейностей, Оптика, 164 (2018) 201-209.

[28] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Анализ симметрии Ли для решения линейных и нелинейных дробных дифференциальных уравнений первого порядка, Международный журнал прикладных математических исследований, 7 (2) (2018) 37- 41.

[29] М. Илие, Дж. Биазар, З. Аяти, Аналитическое решение дробных дифференциальных уравнений второго порядка с помощью OHAM, Журнал дробного исчисления и приложений, 10 (1) (2019) 105-119.

Дробные комплексные преобразования для дробных дифференциальных уравнений | Усовершенствования в непрерывных и дискретных моделях

Пример 3.1 Рассмотрим следующее уравнение: [0,1]u(0,z)=0,в окрестности z=0,

(14)

где u(t,z) — неизвестная функция ρ∈(0,1) и β∈(0,1].

Мы предлагаем показать, что (14) имеет единственное аналитическое решение, используя банахову неподвижную точку теорема.Приняв

u(t,z)=µ(z)t+v(t,z)(v(t,z)=O(t2))

в качестве формального решения, где µ(z)=O (zβ), расчеты дают

Dzβu(t,z)=Dzβ(µ(z)t+v(t,z))=tDzβµ(z)+vβ(t,z).

Следовательно, µ(z) удовлетворяет

, что эквивалентно

Dzβµ(z)=g(z,µ(z)),

(15)

где

Теперь g(z,µ(z)) является сжимающим отображением, когда ρ∈(0,1); следовательно, ввиду теоремы Банаха о неподвижной точке уравнение(15) имеет единственное аналитическое решение в единичном круге и, следовательно, задача (14).

Для расчета индекса фрактала уравнения

Dzβµ(z)+ρµ(z)=0,µ(0)=1,

(16)

предполагаем преобразование Z=zβ и решение можно выразить в виде ряда

µ(Z)=∑m=0∞µmZm,

(17)

где мкм — константы. Подставляя (17) в уравнение (16) дает

∂∂Z∑m=0∞θβmμmZm+ρ∑m=0∞μmZm=0.

(18)

Поскольку

θβm=Γ(1+mβ)mΓ(1+mβ−β),

, то вычисление накладывает соотношение

Γ(1+mβ)Γ(1+mβ−β)μm+ρμm− 1=0

с µ(0)=1 и, следовательно, получаем

Таким образом, имеем следующее решение:

µ(Z)=∑m=0∞(−ρ)mΓ(1+mβ)Zm

, что эквивалентно

μ(z)=∑m=0∞(−ρ)mΓ(1+mβ)zmβ=Eβ(−ρzβ),

, где Eβ — функция Миттаг-Леффлера. Последнее утверждение является точным решением задачи (16), а следовательно, и (14).

Пример 3.2 Рассмотрим следующее уравнение: =zβt,t∈J=[0,1],u(0,z)=0,в окрестности z=0,

(19)

, где u(t,z) — неизвестная функция, а β∈(0,1]. Аналогично примеру 3.1 положим

u(t,z)=µ(z)t+v(t ,z)(v(t,z)=O(t2))

в виде формального решения, где µ(z)=O(zβ) и

|µ′(z)−ν′(z)|< λ|µ(z)−ν(z)|,λ<18.

Из оценок следует

и

Dzβu(t,z)=Dzβ(µ(z)t+v(t,z))=tDzβµ(z)+vβ(t,z).

Следовательно, µ(z) удовлетворяет

µ(z)2+4zµ′(z)+Dzβµ(z)−zβ=0,

, что эквивалентно

Dzβµ(z)=G(z,µ (z),zµ′(z)),

(20)

, где

G(z,µ(z),zµ′(z))=zβ−1/2µ(z)−4zµ′(z).

Теперь, чтобы показать, что G(z,µ(z),zµ′(z)) является сжимающим отображением,

Таким образом, с учетом банаховой теоремы о неподвижной точке уравнение(20) имеет единственное аналитическое решение в единичном круге и, следовательно, задача (19).

Для вычисления индекса фрактала уравнения

Dzβµ(z)+µ(z)2+4zµ′(z)−zβ=0,µ(0)=1,

(21)

мы предполагаем преобразование Z=zβ и решение может быть сформулировано как в (17). Подставляя (17) в уравнение (21) имеем

∂∂Z∑m=0∞θβmμmZm+12∑m=0∞µmZm+4∑m=1∞mμmZm−Z=0,

(22)

где

θβm=Γ(1+mβ)mΓ(1+mβ−β).

Следовательно, вычисление накладывает соотношение

(Γ(1+mβ)Γ(1+mβ−β)+4m)µm+12µm−1=0

с µ(0)=1, и, следовательно, получаем

где Bm в терминах гамма-функции. Если мы допустим B:=maxm{Bm}, то решение приближается к

µ(Z)≃∑m=0∞(B)mΓ(1+mβ)Zm,

, что эквивалентно

µ(z )=∑m=0∞(B)mΓ(1+mβ)zmβ=Eβ(Bzβ).

Последнее утверждение является точным решением задачи (21) и, следовательно, (19).

Далее рассмотрим задачу Коши, используя обобщенный оператор дробного дифференциала (4).Покажем, что решение такой задачи можно определить с помощью функции Фокса-Райта [37]:

, где Aj>0 для всех j=1,…,p, Bj>0 для всех j=1, …,q и 1+∑j=1qBj−∑j=1pAj≥0 для подходящих значений |w|<1 и ai, bj являются комплексными параметрами.

Пример 3.3 Рассмотрим задачу Коши в терминах дифференциального оператора (4)

Dzα,µu(z)=F(z,u(z)),

(23)

, где F(z,u(z)) аналитична в u , а u(z) аналитична в единичном круге.