Квадратные уравнения с параметром | О математике понятно

Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.

        Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!

        Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:

        — Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?

        — Что такое дискриминант и куда его пристроить?

        — Что такое теорема Виета и где её можно применить?

        Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.

        Итак, приступим!

        Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂

 

        Пример 1

       

        Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:      

        a = 1

        b = -(a-1)

        c = a-2

        Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его

дискриминант равен нулю.

        Так и пишем:

        D = 0

        Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!

       

        Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:

       

       Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3)²!

        Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3)², то уравнение будет решаться в уме!

        (a — 3)² = 0

        a — 3 = 0

        a = 3

        Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)

        Ответ: 3

 

        Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.

 

        Пример 2

        

        Вот такая задачка. Начинаем распутывать.  Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:

        0,5x² — 2x + 3a + 1,5 = 0

        Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:

         

        

        Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:

          a = 1

          b = -4

          c = 6a+3

         Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с

зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!

         А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:

         «Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»

         Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:

          D = (-4)² — 4·1·(6a

+3) = 16-24a-12 = 4-24a

          4-24a > 0

          -24a > -4

          a < 1/6

        Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.

        Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:

         

        Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:

         

        А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.

        Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:

         

        Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28: 

          

        А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.

        Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:

        

        

        А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:

         

        Итого:

        

        Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:

        

        Чему здесь равен коэффициент при x²? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:

         

        Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:

         

        

         Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:

          4·(16-18a-9)

< 28

          64–72a+36 < 28

          -72a < 28-64+36

          -72a < 0

          a > 0

          Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a < 1/6. Значит, наше полученное множество a > 0 необходимо пересечь с условием a < 1/6. Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.

         

          Ответ:

         

          Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!

          Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.

 

          Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.

          Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:

 

          Пример 3

          

          Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»

          Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:

          

          a = 1

          b = -6

          c = a²-4a

          А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:

         

D ≥ 0

          Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:

          D = (-6)² — 4·1·(12 + a²-4a) = 36 — 48 — 4а² + 16а = -4а²+16а-12.

          А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:

         

         

          

          

          Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)

          А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука

         

         принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x

1 — x₂. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.

          Что ж, считаем корни по общей формуле:

          Дальше составляем модуль разности этих самых корней:

 

          Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:

        

         И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)

         Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:

         

         

         Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).

         

          Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию  мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.

          Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.

          Ответ: 2.

 

          Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).

 

          Пример 4

          

          Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?

 

  

          Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)

          Итак, а ≠ 0.

          При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.

          А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:

          D = 4(a-1)² — 4a(a-4) = 4a²-8a+4-4a²+16a = 4+8a

         

          Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.

          Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:

        

         Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.

          Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:

         

          Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:

          

          Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:

         

         Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:

         

         Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.

          Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:

         

         Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.

          Итак!

          Случай 1 (a>0, |a|=a)

          В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:

         

          Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:

         

          Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.

          Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:

         

         А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a<0) эквивалентно неравенству a<0, а условия a>0 и a<0 — это два взаимно исключающих требования.

          Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:

         

         Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:

        

         

        

        

         Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,

        

         Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:

         

         Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:

         

         Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.

 

          Случай 2 (a<0, |a|=-a)

         В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:

         

         Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):

          

         С учётом общего требования a<0, мы снова, как и в предыдущем случае, проводим максимальные упрощения: вычёркиваем вторую систему в силу противоречивости двух требований -3а < 0 и нашего общего условия a<0 для всего случая 2.

         

          А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:

          

         

          И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:

         

          Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a<0.

          Пересекаем:

         

          Вот и второй кусочек ответа готов:

         

          Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число

        

         с нулём. Вот так:

         

          А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):

         

         Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства

         

         Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!

         Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:

         

         Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:

         

         Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:

         

          Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:

         

          Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.

          Ответ:

        

 

         Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)

 

         1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение

         ax² + 3x +5 = 0 

         имеет единственный корень.

 

         2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения

         x² — (14a-9)x + 49a² — 63a + 20 = 0

         меньше 9.

 

         3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения

         x² — 4ax + 5a = 0

         равна 6.

 

         4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

         x² + 2(a-2)x + a + 3 = 0

         имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.

 

          Ответы (в беспорядке):

          

Квадратные уравнения с параметром: определение, пример решения

Понятие уравнения с параметром и его решения

Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.2 = 0, $$

один корень $x_0 = -2$

$$ D(a) \gt 0 при -3 \lt a \lt 1 $$

Уравнение имеет два корня:

$$ x_{1,2} = \frac{a-1 \pm \sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2} $$

$$ D(a) \lt 0 при a \lt -3 \cap a \gt 1 $$

Решений нет.

Ответ:

При a = -3 один корень $x_0 = -2$

При a = 1 один корень $x_0 = 0$

При $-3 \lt a \lt 1$ два корня $x_{1,2} = \frac{a-1 \pm \sqrt{-3(a-1)(a+3)}}{2}$

При других a решений нет.

Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами

Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.

И заодно – стоит повторить темы «Квадратные уравнения» и «Квадратичные неравенства».

Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.

1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.

Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.

Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.

1)

Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.

2)

Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.

Найдем дискриминант :

< 0.

< 0

< 0

Решив неравенство, получим

С учетом пункта 1, получим ответ: .

2. Найдите все значения a, при каждом из которых сумма квадратов действительных корней уравнения

минимальна.

Мы привыкли находить корни квадратного уравнения по известной формуле, с помощью дискриминанта. Однако для задач с параметрами такой способ подходит не всегда. А вот теорема Виета нам поможет.

В условии сказано: «Сумма квадратов действительных корней…» Это значит, во-первых, что корни есть, а во-вторых, их должно быть два. А это будет в случае, когда дискриминант положителен ( > 0).

Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:

В нашем случае:

Решим первое неравенство системы

Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .

Возведем второе уравнение системы в квадрат:

Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .

Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр

График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:

Ответ: 1

3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения

положительны.

Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно

1) . Получим линейное уравнение

У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.

2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .

Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:

— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.

Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.

— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.

Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.

Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим

Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.

Решение системы: .

С учетом пункта 1 получим ответ

Ответ:

4. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .

Получим:

Сделаем замену 

Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.

1) В случае уравнение будет линейным

Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

2) Если , уравнение будет квадратным.

Его дискриминант

Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.

Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.

Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.

а)

Тогда

б)

Объединив все случаи, получим ответ.

Ответ:

И наконец – реальная задача ЕГЭ.

5. При каких значениях a система имеет единственное решение?

Решением квадратного неравенства может быть:

1) отрезок

2) 2 луча

3) точка

4) ∅

В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:

1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)

2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства

Рассмотрим первый случай.

Решим систему

Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или

Если , при этом система примет вид:

Второй корень первого уравнения:

Второй корень второго первого:

Единственное решение

Если , при этом система примет вид:

– бесконечно много решений, не подходит.

Рассмотрим второй случай.

– решением является точка, если – является решением второго неравенства.

– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.

Ответ:

Квадратные уравнения с параметром.

Презентация на тему:

«Уравнения второй степени с параметром»

Выполнили ученицы 9 В класса:

Возиянова Светлана

Галиева Анастасия

Цели:

• Определение количества корней квадратного уравнения в зависимости от параметра;
• Решение уравнений с параметром.

Квадратное уравнение

Уравнение вида ах²+bx+с=0, где а, b, с Є R, а ≠ 0 называется квадратным уравнением. D=b²-4ac – дискриминант квадратного уравнения.

Если D0, то уравнение имеет два различных корня:

Если D=0, то уравнение имеет один корень.

Алгоритм решения квадратных уравнений с параметром

1)Если в квадратном уравнении главный коэффициент содержит параметр, то обязательно нужно выяснить, при каких значениях параметра главный коэффициент равен нулю. В этом случае квадратное уравнение превращается в линейное, которое имеет один корень.

2) Если в квадратном уравнении главный коэффициент не содержит параметра, то количество корней зависит только от значения дискриминанта.

Примеры:

Пример 1. При каком значение параметра b уравнение 2х²-bx+18=0 имеет единственный корень?

Решение: Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

D=b²-4*2*18 = b²-144;

b²-144=0;

b= -12 или b= 12.

Ответ: b= -12, или b=12

Пример 2. При каком значение параметра b уравнение (b+6)x²-(b-2)x+1=0 имеет единственный корень?

Решение: Считать такое уравнение квадратным является ошибкой. Это уравнение степени не выше второй.

При b= -6 получаем линейное уравнение 8x+1=0, имеющее один корень.

При b ≠ -6 данное уравнение является квадратным; оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

D=(b-2)²-4(b+6) = b²-4b+4-4b-24 = b²-8b-20

Имеем: b²-8b-20=0, отсюда b= -2 или b=10.

Ответ: b= -2, или b=10, или b= -6

0. Отсюда а-1/3. Однако промежуток (-1/3;+∞) содержит значение а=0, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи.  Ответ: а= -3, или -1/30 «

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение a(a+3)х²+(2a+6)x-3a-9=0 имеет больше одного корня?

 

Решение: При а=0 получаем линейное уравнение 6х-9=0, имеющее единственный корень. 

При а=-3 получаем линейное уравнение 0х=0, имеющее бесконечно много корней. 

Если а≠0 и а≠ -3, то, разделив обе части уравнения на а+3, получим квадратное уравнение ах²+2х-3=0. Дискриминант этого уравнения равен 4(1+3а). Для выполнения условия задачи он должен быть положительным, т.е. 4(1+3а)0. Отсюда а-1/3. Однако промежуток (-1/3;+∞) содержит значение а=0, при котором исходное уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию задачи. 

Ответ: а= -3, или -1/30

Пример 4. Решить уравнение (a²-b²)х²-2ax+1=0.

 

Решение: Рассмотрим три случая:

1) a=b=0. Уравнение 0x+1=0 решений не имеет.

2) a²=b²≠0. Уравнение -2ax+1=0 имеет один корень x=1/2a.

3) a²-b²≠0. Корни уравнения: x1= 1/a-b, x2= 1/a+b.

При b=0 D=b²=0, поэтому уравнение имеет один корень x=1/a (a ≠0).

Ответ: x=1/2a при a²=b²≠0; x=1/a при a ≠0, b=0; ∅ при a=0, b=0; x1= 1/a-b, x2= 1/a+b при a ² ≠ b ², b ≠0

Пример 5. Решить уравнение (4a/x²-a²)+ (x-a/x(x+a))=(1/x(x-a))

Решение: При x≠0, x≠a, x≠-a уравнение приведём к равносильному 4ax+x²-2ax+a²-x-a=0.

(x+a)²-(x+a)=0

(x+a)(x+a-1)=0

Так как x≠-a, то уравнение имеет одно решение x=1-a. Условия x≠0, x≠a влекут за собой требования a≠1, a≠1/2. Уравнение 1-a=-a решений не имеет.

Ответ: x=1-a при a≠1/2; a≠1; ∅ при a=1/2, a=1

Пример 6. При каких значениях a уравнение aх²-x+3=0 имеет единственное решение? 

Решение: Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи: 

1)a=0. При этом уравнение принимает вид -x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно. 

2) a≠0, тогда aх²-x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. Для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы D=0, откуда a=1/12. 

Ответ: a=0 или a=1/12

Пример 7. Один из корней квадратного уравнения х²+2ах+2-3а=0 равен 1. Найдите значение параметра а и второй корень уравнения.

Решение: х1=1 подставим его в уравнение и получим верное равенство: 1²+2а*1+2-3а=0 или 3-а=0, откуда а=3. Подставим это значение параметра а в данное уравнение: х²+2*3*х²+2-3*3=0 или х²+6х-7=0.

Решим это квадратное уравнение: х1=1 и х2= -7.

Получили а=3 и х2= -7

Ответ: а=3; х2= -7

Пример 8. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения x²+ax+a=0 равна 3?

 

Решение: Пусть x1 и x2 – корни данного уравнения. По условию x1² + x2²=3, т.е. (x1+x2)²-2x1x2 = 3. Применяя теорему Виета, можно записать (-a)²-2a=3; a²-2a-3=0. Отсюда a=-1 или a=3.

Казалось бы, решение завершено. Однако теорема Виета «работает» лишь для тех квадратных уравнений, у которых есть корни. А данное квадратное уравнение имеет корни не при всех значениях параметра a. Существование корней определяется условием D ≥0. Для данного уравнения D=a ²-4a. Следовательно, найденные значения a= -1 и a=3 должны удовлетворять неравенству a²-4a≥0. Легко установить, что подходит только a= -1.

Ответ: а= -1

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение (a+6)х²+2ax+1=0 имеет единственное решение?

 

Решение: По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому рассмотрим два случая: 

1) а+6=0; а=-6 

Если а = -6, то -12х+1=0, х = 1/12. 

2) Если а ≠ -6, то квадратное уравнение имеет единственное решение, если D =0 D=4a²-4(a+6)=4(a²-a-6) a²-a-6=0 a1=3, a2=-2.

Ответ: при a ∈ {-6, -2, 3}

0. Из неравенства (2a+3)²-4(a²-a+5)0 следует, что 16a-110, откуда a11/16. Наименьшее целое значение a ∈ (11/16; +∞) равно 1. Ответ: a=1. «

Пример 10. Найти наименьшее целое a, при котором уравнение x²+(2a+3)x+a²-a+5=0 имеет два различных корня.

Решение: Уравнение имеет два различных корня, если D0. Из неравенства (2a+3)²-4(a²-a+5)0 следует, что 16a-110, откуда a11/16. Наименьшее целое значение a ∈ (11/16; +∞) равно 1.

Ответ: a=1.

Источники:

• 1) Алгебра. Углублённый уровень. 8 класс (Мерзляк А. Г., Поляков В. М.) 
• 2) Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы

Квадратные уравнения с параметрами

Тема занятия «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ»

Цели занятия:

Образовательная: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений;

Воспитательная: воспитывать навыки учебного труда, умение работать в группах;

Развивающая: развивать логическое мышление, формировать потребность к приобретению знаний.

Опрос:

Вспомним условия расположения корней уравнения,при условии , что оба корня положительные, отрицательные, разных знаков.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

ПРИМЕР 1.

Решить уравнение

Решение:

1.Если , то мы имеем линейное уравнение:

2.Если найдём дискриминант D квадратного уравнения :

а)Если , то

б)Если т.е. то

в)Если то действительных корней нет .

Ответ: если

если

если

решений нет, если

ПРИМЕР 2.

Решить уравнение

Решение:

Уравнение равносильно системе:

Решим уравнение

1.Если т.е. имеем :

Условие выполнено, т.к.

Выясним, при каких значениях Для этого решим уравнения :

и

Понятно, что при всех отрицательных значениях параметра равенство в первом уравнении невозможно, при возведя в квадрат обе части равенства , мы получим что невозможно.

Второе из рассматриваемых уравнений невозможно при положительных значениях ,а при имеем , как и в первом случае , неверное равенство

Таким образом , если

2.Если то

Т.е. в данном случае уравнение не имеет решений.

3.Если то дискриминант квадратного уравнения отрицательный и, таким образом, нет действительных корней.

Ответ: если

решений нет, если

ПРИМЕР 3.

Определить количество корней уравнения в зависимости от :

Решение:

Обозначим Тогда исходное уравнение имеет вид

или .

Количество корней зависит от знака D₁ .

D₁=

1.Если то данное уравнение не имеет корней.

2.При уравнение имеет единственный корень: Итак,

Это уравнение не имеет корней.

3.Если то корни уравнения

Итак ,необходимо выяснить , сколько корней имеет совокупность уравнений:

В первом уравнении дискриминант отсюда следует, что оно не имеет решений при любых значениях параметра

Во втором уравнении

1)Если т.е. то данное уравнение имеет один корень.

2)Если т.е.

Уравнение не имеет действительных корней.

3)Если т.е. уравнение имеет два корня .

Ответ: Два корня , если

один корень, если

действительных корней нет, если

ПРИМЕР 4.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

Найдём дискриминант квадратного уравнения :

Если , уравнение имеет один корень что удовлетворяет условию

При получим:

Уравнение имеет одно решение , если т. е. при

Ответ: Уравнение имеет один корень, если

ПРИМЕР 5.

При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных действительных корня?

Решение:

Данное биквадратное уравнение сводится к совокупности уравнений:

Уравнение имеет два разных корня, если

Ответ: уравнение имеет два разных корня , если

ПРИМЕР 6.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

система будет иметь одно решение ,если

т.е. при

Ответ: уравнение имеет единственное решение при

ПРИМЕР 7.

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значения параметра ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

При или уравнение имеет два решения, в других случаях – три.

Ответ: два решения , если

три решения, если

ПРИМЕР 8.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

Решив квадратное уравнение , имеем :

Система имеет единственное решение, если т.е. или, когда

Ответ: уравнение имеет единственное решение, если

ПРИМЕР 9.

При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение:

1.Если то мы получим линейное уравнение

При

При решений нет .

2.При дискриминант D должен равняться нулю, т.е.

Случай уже рассмотрен .

Ответ:уравнение имеет единственное решение при

ПРИМЕР 10.

При каких значениях параметра сумма корней уравнения

равна 2?

Решение:

Чтобы уравнение имело корни ,

По теореме Виета,

Таким образом, имеем систему:

Ответ: при

ПРИМЕР 11.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два разных положительных корня ?

Решение:

Для того, чтобы квадратное уравнение имело два разных действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант

По теореме Виета:

Таким образом, имеем систему неравенств :

Ответ: уравнение имеет два разных положительных корня,

если .

ПРИМЕР 12.

При каких значениях параметра один корень уравнения

меньше, чем -2 , три других- больше -1 ?

Решение:

В условии задачи идёт речь о четырёх корнях , т.е. Пусть тогда

данное уравнение примет вид

.

Чтобы данное уравнение имело четыре действительных корня , которые удовлетворяют условию задачи , необходимо, чтобы корни уравнения относительно t удовлетворяли условиям:

Итак имеем систему неравенств :

где

Ответ: при

ПРИМЕР 13.

При каких значениях параметра уравнение имеет

единственный корень ? Найти его.

Решение:

а) тогда

б) тогда

Ответ: при

ПРИМЕР 14.

Определить количество целых значений параметра из промежутка ,

при которых квадратное уравнение имеет два разных корня.

Решение:

Для того , чтобы квадратное уравнение имело два разных корня, необходимо, чтобы

Ответ: 4.

ПРИМЕР 15.

При каком наименьшем целом значении уравнение

имеет четыре решения ?

Решение :

Построим в одной системе координат графики функций и

Видим, что при эти графики имеют четыре точки пересечения.

Ответ:

ПРИМЕР 16.

Найдите количество целых значений , при которых сумма корней уравнения принадлежит промежутку .

Решение:

Сумма корней уравнения равна

Итак ,

Целые числа, которые удовлетворяют условию 11, 12,13, 14,15.

Ответ: пять.

ПРИМЕР 17.

Найдите количество целых значений , при которых произведение корней уравнения принадлежит промежутку .

Решение:

Произведение корней уравнения равно

Итак,

Целые числа , которые удовлетворяют условию это 23, 24, 25.

Ответ:три.

ПРИМЕР 18.

При каком наименьшем натуральном значении параметра корни уравнения являются рациональными числами?

Решение:

Для того ,чтобы корни уравнения были рациональными числами, необходимо, чтобы выражение было полным квадратом ,т.е.

будет полным квадратом при наименьшем натуральном значении

Ответ: при

ПРИМЕР 19.

При каком значении параметра квадратное уравнение

имеет корни, равные по абсолютной величине и противоположные по значению ?

Решение:

разделим на

Ответ: при

ПРИМЕР 20.

При каком наибольшем целом значении параметра корни уравнения

находятся по разные стороны промежутка ?

Решение:

Запишем левую часть уравнения как функцию

Нарисуем график этой функции ( схематично).

Мы видим, что корни уравнения находятся по разные стороны промежутка

, если выполняются условия:

Ответ:

ПРИМЕР 21.

При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения

равна 12?

Решение:

По теореме Виета: По условию: тогда

Т.е.

Ответ:

ПРИМЕР 22.

При каком значении параметра произведение корней уравнения

будет наибольшим?

Решение:

По теореме Виета произведение корней этого уравнения равняется :

Сумма двух положительных чисел принимает наименьшее значение, если одно из слагаемых равно нулю. Итак ,

Ответ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.Решить уравнение:

1)

2)

3)

Ответы:

1) если

корней нет, если если если

2) если

при корней нет при

3) если корней нет, если

2.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Ответ: ни при каких.

3.При каких значениях параметра уравнение

имеет два разных действительных корня?

Ответ: при

4.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение ?

Ответ: при

5.Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра ?

Ответ: два корня, если

три корня, если

6.При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Ответ: при

7.При каком значении параметра произведение корней уравнения

равно 8?

Ответ: при

8.При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных отрицательных корня ?

Ответ: при

9.При каких значениях параметра уравнение имеет

два разных действительных отрицательных корня?

Ответ: при

10.При каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков ?

Ответ: при

11.При каких значениях параметра уравнение имеет

корни такие, что и ?

Ответ: при

12.Найти все значения , при которых один из корней уравнения

меньше чем 1, а второй – больше 1.

Ответ:

13.Найти все значения , при которых корни уравнения

больше, чем 1.

Ответ:

Урок «Решение квадратных уравнений с параметром»

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Итоговая работа

На курсах повышения квалификации

«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам».

По ИОЧ ВБ 13.03.2017г-17.03.2017г

по теме:

« Квадратные уравнения с параметрами»

 

Выполнила:

Тихонова Надежда Викторовна,

Преподаватель математики

БГПОУ Сызранский «политехнический колледж»

 Сызрань 2017 г.

. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется

квадратным уравнением.

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Например:

а) 2х2– 3х + 0,7 = 0

б) -0,9 х2+ 8 – 2 1/6х=0

Найти a, b, c?

Решим уравнение ax2+bx+c=0

а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b

б) если а≠0, то уравнение имеет:

1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0,

2) 2 равных корня х1=х2, если Д=0

3) не имеет корней, если Д<0.

Рассмотрим примеры.

Пример №1. При каких значениях уравнение имеет 2 корня?

2х2+6х+b=0

Уравнение квадратное.

Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня,

значит Д>0.

Решим неравенство 36-8b>0

-8b>-36

b<4,5.

Ответ: при b<4,5.

Пример № 2. При каких значениях имеет один корень?

3х2-6х+2v=0

Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.

Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.

36-24v=0

24v=36

V=1,5.

Пример № 3. При каких t уравнение не имеет корней?

2×2-15x+t=0

Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8 t По условию Д<0, то

225-8t<0

-8t<-225

t>281/8.

Ответ: при t>281/8/

Пример № 4.

При каких значениях m равно один из корней уравнения равен нулю. х2 – 2х + 2m – 3 = 0

Решение: Если х = 0, то имеем:

02 – 2 .0 + 2m – 3 = 0

2m = 3

m = 1,5

Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.

х = 0

х = 2

х2 – 2х = 0

Ответ: m = 1,5

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от дискриминанта.

 

Пример №.5

Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0

Решение: Здесь коэффициент перед х2 отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:

D = (2р + 1)2 – 4∙1(р2 + р – 2) = (4р2 + 4р + 1) – (4р2 + 4р – 8) = 4р2 + 4р + 1 – – 4р2 – 4р + 8 = 9

D > 0, значит квадратное уравнение имеет два решения

х1 = р + 2

х2 = р – 1

Ответ: при любых значениях р х1 = р + 2; х2 = р – 1

Пример № 6.

Решить уравнение рх2 +( 1 – р)х – 1 = 0

Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольные (точки) значения р = 0, имеем два случая.

Если р=0, то получается уравнение вида 0∙х2 + х – 1 = 0, которое является линейным и имеет корень х = 1

Если р ≠0, то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.

D = (1 – р)2 – 4∙.р .(-1) = 1 – 2р + р2 + 4р = (1+ р)2

х1 = 1

х2 = –

Ответ: при р = 0 х = 1; при р ≠0 х1 = 1 х2 = –

 

Пример № 7

Решить уравнение: (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0

Решение: здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0.

Если а – 1 = 0, а = 1, уравнение имеет вид 0∙ х2 + 6х + 7 = 0 и является линейным. Корнем этого уравнения является х =

Если а–1 ≠ 0, а ≠ 0, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.

D = (2∙(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) – 4(4а2 – а – 3) = 4(5а + 4)

Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней; если D = 0, то уравнение имеет один корень, если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Дискриминант обращается в нуль при а = – (можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения).

Если а < – , то D < 0 и следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.

Если а > – , то если D > 0 и, значит квадратное уравнение имеет два корня:

х1 =

х2 =

Если а = – , то D = 0, то уравнение имеет единственное решение

х =

Ответ: при а = 1, х = – ;

при а = –, х = ;

при а < –, корней нет;

при а > –, х1 =

х2 =

Иногда задания сформулированы так, что искать корни нет необходимости.

Пример №8

При каких значениях m ровно один из корней х2+(m+3)х +|m| – 3 = 0

уравнения равен нулю.

Решение. Если нуль является корнем уравнения, квадратный трехчлен х2+(m+3)х +|m| – 3 при х = 0 обращается в нуль. 02+(m+3) .0 +|m| – 3 = 0

|m| – 3 = 0 m1 = 3 m2 = –3

Найдем второй корень при найденных значениях m.

Если m=3, то уравнение принимает вид х2+6х = 0; х1 = 0 х2 = –6

Если m= –3, то уравнение принимает вид х2 = 0, которое имеет два кратных корня, равных нулю.

Ответ: при m = 3

Пример №9

Сколько корней имеет уравнение 3х (х – 1) 2 = kх в зависимости от значения параметра k ?

Решение: 3х (х – 1) 2 = kх

3х (х – 1) 2 – kх = 0

х (3(х – 1) 2 – k) = 0

Один корень есть всегда – х0 = 0

Исследуем 3х 2 – 6х + 3 – k = 0

D = 32 – 3(3 – k) = 3k

а) Если k = 0, существует один корень х = 1;

б) Если k > 0, существуют два корня х1 = х2 = , но необходимо исследовать случай, когда один из корней равен 0. Это так, если k = 3;

в) Если k < 0, корней нет.

Ответ: уравнение 3х (х – 1) 2 = kх имеет при

1) k > 0

k ≠ 3 три корня;

2) k = 0 два корня

3) k = 3 два корня

4) k < 0 один корень.

Квадратные уравнения с параметрами — презентация онлайн

1. Квадратные уравнения с параметрами (8класс)

Первый урок

2. Квадратные уравнения с параметрами

ax2+bx+c=0 (a ≠ 0) — квадратное уравнение
Формула корней:
D – дискриминант квадратного уравнения
Если D
Если D = 0, то уравнение имеет один корень,
Если D > 0, то уравнение имеет два различных
корня.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.

3. Квадратные уравнения с параметрами

Решить уравнение с параметром b – это
значит установить соответствие, с
помощью которого для каждого значения
параметра b указывается множество
корней данного уравнения.
Допустимым значением параметра b
считаются все те значения b, при
которых выражения, входящие в
уравнение, имеют смысл.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 1. Решите относительно x уравнение x2-bx+9=0
Решение:
x2-bx+9=0
D = b2 — 36.
1) Если
уравнение имеет два корня:
2) Если
уравнение имеет один корень
3) Если
уравнение корней не имеет.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 1. Решите относительно x уравнение x2-bx+9=0
Ответ:
при -6
при b=-6 или b=6 уравнение имеет
единственный корень
,
при b6 уравнение имеет два
различных корня:
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 2. При каких значениях параметра b уравнение
x2+bx+4=0:
1) имеет один из корней, равный 3;
2) имеет действительные различные корни;
3) имеет один корень;
4) не имеет действительных корней?
Ответы:
;
1) при
2) при b4 уравнение имеет два корня:
;
3) при b=-4 или b=4 уравнение имеет
;
единственный корень
4) при -4
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 3.
Решите относительно x уравнение
Решение: Приведем к целому виду:
ax2 – (6a–3)x+(5a–15)=0
если a=0, то 3x=15 (линейное уравнение)
x=5.
если a≠0, то ax2 – (6a–3)x+(5a–15)=0 квадратное
уравнение.
ax2 – 3(2a–1)x+5(a–3)=0
D = 9(2a–1)2–4∙5a(a–3) = … = (4a+3)2 ≥ 0
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 3.
Решите относительно x уравнение
Решение (продолжение):
при 4a+3=0, т.е.
уравнение имеет единственный
корень
,
при 4a+3≠0, т.е.
уравнение имеет два корня:
.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 3.
Решите относительно x уравнение
Ответ:
при a ≠ -0,75 и a ≠0 уравнение имеет два корня:
;
при a = -0,75 или a=0 уравнение имеет
единственный корень x=5.
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.
Квадратные уравнения с параметрами
Задача 4. При каких значениях a уравнение
(a+2)x2 +2(a+2)x+2=0
имеет один корень?
Ответ:
Д/З
при a=0 уравнение имеет один корень x = -1.
Решите относительно x уравнение:
1) bx2 – 6 x+1=0
2) x2 – ax =0
3) 6×2 – 5bx+b2 = 0
4) (n2 – 5)x + n = n(n – 4x)
Матчина Надежда Егоровна, школа №258, СПБ.

Параметрических уравнений

Прямоугольное уравнение или уравнение в прямоугольной форме — это уравнение, состоящее из таких переменных, как Икс и у который можно изобразить на регулярной декартовой плоскости. Например у знак равно 4 Икс + 3 — прямоугольное уравнение.

Кривая на плоскости называется параметризованной, если набор координат на кривой ( Икс , у ) , представлены как функции переменной т .

Икс знак равно ж ( т ) у знак равно г ( т )

Эти уравнения могут быть изображены на декартовой плоскости, а могут и нет.

Пример 1:

Найдите систему параметрических уравнений для уравнения у знак равно Икс 2 + 5 .

Решение:

Присвойте любой из переменных значение т . (сказать Икс знак равно т ).

Тогда данное уравнение можно переписать в виде у знак равно т 2 + 5 .

Следовательно, система параметрических уравнений имеет вид Икс знак равно т и у знак равно т 2 + 5 .

Пример 2:

Удалите параметр и найдите соответствующее прямоугольное уравнение.

Икс знак равно т + 5 у знак равно т 2

Решение:

Перепишите уравнение Икс знак равно т + 5 в виде т с точки зрения Икс .

т + 5 знак равно Икс т знак равно Икс — 5

Теперь замените т по ( Икс — 5 ) в уравнении у знак равно т 2 .

у знак равно ( Икс — 5 ) 2

Следовательно, соответствующее прямоугольное уравнение имеет вид у знак равно ( Икс — 5 ) 2 .

Существует еще один тип уравнений, называемых полярными уравнениями, которые необходимо изобразить на графике. полярная плоскость .

Параметрических уравнений: исключение параметров

Чтобы нарисовать график параметрических уравнений, необходимо получить координаты x и y. Это может быть выполнено путем выбора значений параметра и вычисления значений x и y по одному. Этот процесс, называемый точечным построением, хорошо работает, если задан небольшой конечный интервал для параметра.

x = 4t, y = 8t ² , когда 0≤t≤4

Время, т	0	1	2	3	4
Расстояние, x x = 4 т	0	4	8	12	16
Высота, y г = 8 т 2	0	8	32	72	128

Когда интервал не мал и не конечен, точечное построение становится утомительным и не всегда выявляет общее поведение графика.Создание эскиза кривой может быть менее утомительным, если преобразовать два параметрических уравнения в одно прямоугольное уравнение. Этот метод упоминается как , исключая параметр .

Чтобы исключить параметр, решите одно из параметрических уравнений для параметра. Затем замените этот результат на параметр в другом параметрическом уравнении и упростите.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСКЛЮЧЕНИЮ ПАРАМЕТРА:

1. Решите одно параметрическое уравнение в терминах параметра.

2. Подставьте полученное выражение для параметра в другое параметрическое уравнение.

3. Упростить

Давайте воспользуемся этим методом для пары параметрических уравнений выше. Решите одно из параметрических уравнений относительно параметра, скажем, x = 4t.

х = 4т → х4 = т

Подставьте полученное выражение для параметра в другое параметрическое уравнение и упростите.

y = 8t2 → y = 8 (x4) 2 → y = 8×216 → y = x22

Результирующее прямоугольное уравнение 12×2 представляет собой раскрывающуюся параболу, ось симметрии которой находится в точке x = 0, а вершина — в точке (0, 0).

Посмотрите, как это прямоугольное уравнение позволяет лучше понять кривую в целом.

Поймите, что удаление параметра — это всего лишь способ понять общее поведение кривой. Параметрические уравнения по-прежнему необходимы для описания параметра и ориентации кривой.

Одно предостережение при исключении параметра: область результирующего прямоугольного уравнения может нуждаться в корректировке для согласования с областью определения параметра, как указано в параметрических уравнениях.

В приведенном выше примере область определения параметра t в обоих параметрических уравнениях представляет собой набор всех действительных чисел, x = 4t и y = 8t ² . Область прямоугольного уравнения y = 12×2 также является набором действительных чисел. Поскольку область значений одинакова как для параметра, так и для прямоугольного уравнения, корректировка области не требуется.

Посмотрите на следующий набор параметрических уравнений:

x = t + 3

y = t — 49

Решите первое параметрическое уравнение для параметра.

x = t + 3 → x − 3 = t → (x − 3) 2 = t

Подставьте полученное выражение для параметра в другое параметрическое уравнение и упростите.

y = t — 49

y = (x-3) ² — 49

y = (x ² — 6x + 9) — 49

y = x ² — 6x + 40

Основываясь на полученном прямоугольном уравнении y = x ² — 6x + 40, доменом являются действительные числа. Однако параметрическое уравнение x = t + 3 ограничивает область значений t числами, где t> 0.Следовательно, область прямоугольного уравнения y = x ² — 6x + 40 должна быть ограничена всеми числами, где x> 0.

Давайте попробуем пару примеров.

Пример 1: Исключите параметр и получите прямоугольное уравнение, укажите область и нарисуйте кривую для пары параметрических уравнений.

х = t2−4 у = 3t2 + 5

Шаг 1. Решите одно из параметрических уравнений для параметра .	х = т 2 — 4 Оригинал x + 4 = t 2 Добавить 4 ± x + 4 = t Извлечь квадратный корень
Шаг 2: Подставьте полученное выражение для параметра в другое параметрическое уравнение и упростите.	y = 3t2 + 5 Другое уравнение y = 3 (± x + 4) 2 + 5 Заменить t y = 3 (x + 4) + 5 Квадрат y = 3x + 12 + 5 Умножить / Распределить y = 3x + 17 Добавить
Шаг 3: Определите область прямоугольного уравнения.	Область для t в обоих параметрических уравнениях — это все действительные числа, а область для x в прямоугольном уравнении — все действительные числа. Таким образом, никаких корректировок области прямоугольного уравнения не требуется. Домен: Все реальные числа
Шаг 4: Нарисуйте кривую.

Пример 2: Исключите параметр и получите прямоугольное уравнение, укажите область и нарисуйте кривую для пары параметрических уравнений.
х = 1т + 12 у = 1t2 + 10

Шаг 1. Решите одно из параметрических уравнений для параметра .	x = 1t + 12 Оригинал 1x = t + 12 Взять обратное 1x − 12 = tВычесть 1/2
Шаг 2: Подставьте полученное выражение для параметра в другое параметрическое уравнение и упростите.	y = 1t2 + 10 Другое уравнение y = 1 (1x − 12) 2 + 10 Заменить t y = 11×2−1x + 14 + 10 Квадрат. y = x2 − x + 4 + 10x на обратную y = x2 − x + 14 Добавить
Шаг 3: Определите область прямоугольного уравнения.	Область определения t в первом параметрическом уравнении, x = 1t − 12, равна t> 12. Область определения t во втором параметрическом уравнении y = 1t2 + 10 равна t> 0. Чтобы удовлетворить обоим ограничениям, область значений t должна быть t> 12. Следовательно, область прямоугольного уравнения x2 − x + 14 равна x> 12. Домен: х> 12
Шаг 4: Нарисуйте кривую.

8.3 — Параметрические уравнения

8.3 — Параметрические уравнения

В прошлом мы работали с прямоугольными уравнениями, то есть уравнениями, включающими только x и y, чтобы их можно было изобразить в декартовой (прямоугольной) системе координат.

У нас также был пример зависимости высоты свободно падающего тела от времени в секундах t.Эта функция была квадратичной функцией. Если объект не уронили или не бросили прямо в воздух, также будет горизонтальная составляющая его положения. Горизонтальная составляющая — это простая функция расстояния (d = rt).

Путь падающего объекта

y (t) = -16t ² — v ₀ t + y ₀

х (т) = г т

v ₀ = начальная вертикальная скорость

y ₀ = начальная высота

r = горизонтальная скорость

t = время в секундах

Обратите внимание, что обе эти функции, вертикальная высота и горизонтальное расстояние зависит от времени.Итак, чтобы полностью Чтобы описать путь объекта, нам понадобятся два уравнения. Один для вертикального компонента и один для горизонтального компонент. Обе эти функции являются функциями третья переменная, т.

Это дает нам параметрические уравнения. Параметр просто независимая переменная в функции.

Построение плоской кривой

Плоская кривая получается, когда упорядоченные пары (x (t), y (t)) отображаются на графике для всех значений t на некотором интервал.

Один из способов нарисовать плоскую кривую — составить таблицу значений.Параметр t имеет несколько значения, перечисленные для него, и соответствующие значения для x (t) и y (t) вычисляются. Затем заказанный пары построены, и кривая проведена между построенными парами.

Ориентация или направление

При построении плоской кривой «направление увеличения t» или «ориентация» кривой обозначается маленькими стрелками, указывающими, в каком направлении кривая продвигается, когда стоимость параметр t увеличивается.

Графический калькулятор

Графический калькулятор прекрасно справляется с графическим отображением параметрических уравнений.Ты должен, однако сообщите калькулятору, что вы хотите графически отображать параметрические уравнения, а не обычные функции. Для этого переведите калькулятор в параметрический режим, нажав [РЕЖИМ] и выбирая опцию [PAR]. Не забудьте сбросить калькулятор обратно на [УДОВОЛЬСТВИЕ] для режима функций. когда вы закончите с параметрическими уравнениями. Находясь в меню режима, вы можете установите калькулятор в режим [РАДИАН] вместо режима [ГРАДУСЫ]. Они используются для тригонометрические функции, которые мы не будем использовать, но они влияют на то, как клавиши масштабирования работай.

После настройки вашего калькулятора для параметрического режима, обратите внимание, что когда вы нажимаете клавишу Y =, вы не больше у ₁ =. Теперь у вас есть пара уравнений, x и y, которые являются функциями t. Просто введите параметрические уравнения для x и y. Обратите внимание, что ключ, который вы использовали для X также отмечен T. В параметрическом режиме вместо X автоматически появляется буква T.

Параметры окна

Теперь у вас будет три дополнительных окна, которых у вас не было раньше.Tmin, Tmax и Tstep. Tmin — наименьшее значение параметра, который вы хотите использовать. Если у вас нет веская причина не делать этого (например, в домене указано t> = 0), обязательно используйте отрицательные значения для Tmin. Tmax — это наибольшее значение параметра, который вы хотите использовать. Если у вас нет веской причины не делать этого, используйте положительное значение Tmax. Другими словами, убедитесь, что T может взять на себя оба положительные и отрицательные значения. Tstep — это изменение T, и оно должно быть разумным. для диапазона значений T вы указали.

TMin = -5, TMax = 5 и TStep = 0,1 обычно являются хорошими начальными значениями. Если вы обнаружите, что график не отображается, вы май нужно чтобы изменить эти значения.

Внимание! Zoom Standard сбросит настройки на T. Если вы сделаете стандартное масштабирование, ваш T будет находиться в диапазоне от 0 до 2 пи (в в радианах) на пи / 24 и от 0 до 360 (в градусном режиме) на 7,5. Ни один из них не содержит отрицательных значений и может не отображать весь график.

Направление увеличения t — это направление, в котором калькулятор рисует кривую. в.Обозначьте это стрелками, направленными вдоль кривой.

Удаление параметра

Другой способ нарисовать плоскую кривую — исключить параметр. Шаги к устранению параметр прост.

1. Решите одно из параметрических уравнений относительно t.
2. Подставьте вместо t другое параметрическое уравнение.

На шаге 1 вы должны решить относительно t в более простом уравнении. Легче решить не всегда означает меньшую степень.Если у вас есть t ² и t ³ , решить для t в t ³ (если возможно). При выполнении Таким образом, вы избегаете положительной / отрицательной ситуации, когда извлекаете квадратный корень из t.

Не всегда может быть необходимо полностью решить для t. Это ценно когда один из членов появляется в других уравнениях.

Пример 1

Удалите параметр из x = 3t ² — 4 и y = 2t.

Функция y определенно является более простой функцией для определения t, и когда вы это сделаете, вы получите t = y / 2.

Подставьте это в уравнение x для t, и вы получите x = 3 (y / 2) ² — 4. Упростите, чтобы получить x = 3/4 y ² — 4.

Пример 2

Рассмотрим систему уравнений x = e ^t и y = e ^3t .

Если бы вы решили эту проблему, используя шаги, перечисленные выше, вы бы предприняли x = e ^t уравнение и решите его относительно t, чтобы получить t = ln x. Затем подставьте это в уравнение y = e ^3t , чтобы получить y = e ^{3ln x} .С использованием свойства логарифмов, вы бы переместили 3 в степень на x а затем функции e и ln инвертируют, оставляя вас с y = х ³ .

Теперь рассмотрим это. y = e ^3t = (e ^t ) ³ . Поскольку x = e ^t , замените e ^t на x. у = (х) ³ или просто y = x ³ . Не было необходимости спускаться до t.

Еще одно замечание по поводу этой проблемы. Поскольку x и y являются экспоненциальными функциями, диапазон на каждом из них — положительные реалы.Однако это теряется, когда вы упрощаете до y = x ³ . Обязательно наложите ограничение на домен x, чтобы он был таким же, как оригинал. Это ограничение будет x> 0.

Параметрические уравнения и движение — Концепция

Иногда при построении графика формы или уравнения мы хотим добавить параметр, например время, что требует от нас использования параметрических уравнений. Одним из примеров использования параметрических уравнений является описание движения вдоль линии. Параметрические уравнения также могут использоваться для описания отрезков линий или окружностей. Параметрические уравнения представлены двумя функциями x и y, зависящими от t.

Одним из изящных приложений параметрических уравнений является использование демодельного движения. Предположим, что t представляет время в секундах, а положение xy в момент времени t задается уравнениями: x равно t в квадрате плюс 1, y = 4t для t больше или равно 0.Теперь давайте начнем с построения нескольких точек x и y для каждого из этих значений времени t, чтобы увидеть, где находится частица. Теперь сначала, когда t = 0, я получаю, что x равно 0 в квадрате плюс, x = 1 и y равно 4 умноженным на 0, 0. t = 1, я получаю 1 квадрат плюс 1 для x, 2 и 4 умножения на 1 для y, 4. Теперь позвольте мне пройти и просто поработать, это будет немного быстрее. Для x я возведу в квадрат значение времени и прибавлю 1. Итак, 2 в квадрате плюс 1 равно 4 + 1 5, 9 + 1 10, 16 + 1 17 и 25 + 1 26, а для значений y я умножаю время на 4, 2 раза. 4, 8, 3 раза по 4, 12, 16 и 20.Итак, теперь у меня есть список точек, и я могу построить эти точки и получить некоторое представление о том, как выглядит путь, и это следующее, что мне нужно сделать.
Вот уже нанесенные на график точки, позвольте мне просто соединить эти точки кривой, потому что, как вы можете себе представить, частица находится где-то между t = 0, t = 1, t = 1 и t = 2 и так далее, поэтому давайте заполните это полностью до t = 5, и теперь, когда я нарисовал этот путь, чего-то не хватает, у меня нет информации на этом графике о том, когда частица находится в каждой из этих точек.Так что иногда приятно на самом деле заполнить это, поэтому позвольте мне поставить здесь t = 0 для этой точки t = 1 для этой, t = 2, t = 3, t = 4 и t = 5. Вы лучше чувствуете движение, когда видите значения t, частица начинается здесь и движется вверх вправо по мере того, как время прогрессирует. Итак, часть c просит меня найти прямоугольное уравнение пути, поэтому у меня есть параметрические уравнения, прямоугольное уравнение будет уравнением, которое только в x any и не имеет параметра t.
Итак, что я собираюсь сделать, начну с этого уравнения и решу его относительно t, вычтем 1, я получу, что x-1 равно t в квадрате, и, заметив, что t больше или равно 0, я могу просто взять квадратный корень t, равный корень x-1, теперь y равно 4 умноженным на t, поэтому я могу заменить здесь t, t — это корень x-1, и поэтому мое прямоугольное уравнение y равно 4-кратному корню x-1.В этом уравнении нет значений t, но оно отображает фактическую форму пути. y равно 4 корня x-1 — это фактический путь частицы, но он ничего не говорит вам о времени. Итак, что-то теряется при нахождении прямоугольного уравнения пути, этот процесс, кстати, называется удалением параметра, и это часто значительно упрощает построение параметрической кривой. Так что мы будем много делать это в будущих сериях.

Calculus II — Параметрические уравнения и кривые

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от устройства (для их просмотра должна быть возможность прокручивать), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Параметрические уравнения и кривые

До этого момента (как в исчислении I, так и в исчислении II) мы рассматривали почти исключительно функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) ) \) и почти все формулы, которые мы разработали, требуют, чтобы функции были в одной из этих двух форм.2}} & \ hspace {0,15 дюйма} & \ left ({{\ mbox {left side}}} \ right) \ end {align *} \]

К сожалению, мы обычно работаем над всем кругом или просто не можем сказать, что будем работать только над его частью. Даже если мы можем сузить круг вопросов до одной из этих частей, работать с функцией все равно будет довольно неприятно.

Есть также очень много кривых, которые мы даже не можем записать в виде единого уравнения, используя только \ (x \) и \ (y \).Итак, чтобы справиться с некоторыми из этих проблем, мы вводим параметрические уравнения . Вместо определения \ (y \) в терминах \ (x \) (\ (y = f \ left (x \ right) \)) или \ (x \) в терминах \ (y \) (\ (x = h \ left (y \ right) \)) мы определяем как \ (x \), так и \ (y \) в терминах третьей переменной, называемой параметром, следующим образом:

\ [x = f \ left (t \ right) \ hspace {0,5 дюйма} y = g \ left (t \ right) \]

Эта третья переменная обычно обозначается как \ (t \) (как мы это делали здесь), но, конечно, это не обязательно.Иногда мы будем ограничивать значения \ (t \), которые мы будем использовать, а в других случаях — нет. Это часто будет зависеть от проблемы и от того, что мы пытаемся сделать.

Каждое значение \ (t \) определяет точку \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right ) \), которую мы можем построить. Набор точек, который мы получаем, позволяя \ (t \) быть всеми возможными значениями, является графиком параметрических уравнений и называется параметрической кривой .

Чтобы визуализировать, что такое параметрическая кривая, представьте, что у нас есть большой резервуар с водой, который находится в постоянном движении, и мы бросаем в резервуар шарик для пинг-понга. Точка \ (\ left ({x, y} \ right) = \ left ({f \ left (t \ right), g \ left (t \ right)} \ right) \) будет представлять местоположение мяч для пинг-понга в резервуаре в момент времени \ (t \), и параметрическая кривая будет отражать все положения шара для пинг-понга. Обратите внимание, что это не всегда правильная аналогия, но она полезна на начальном этапе, чтобы помочь визуализировать, что такое параметрическая кривая.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

На данный момент наш единственный вариант для построения параметрической кривой — это выбрать значения \ (t \), вставить их в параметрические уравнения и затем построить точки. Итак, давайте добавим несколько \ (t \) ‘s.

\ (т \)	\ (х \)	\ (у \)
-2	2	-5
-1	0	-3
\ (- \ frac {1} {2} \)	\ (- \ frac {1} {4} \)	-2
0	0	-1
1	2	1

Первый вопрос, который следует задать на этом этапе: как мы узнали, что использовать значения \ (t \), которые мы использовали, особенно третий вариант? К сожалению, на данный момент нет реального ответа на этот вопрос.Мы просто выбираем \ (t \), пока не будем достаточно уверены, что получили хорошее представление о том, как выглядит кривая. Именно эта проблема с выбором «хороших» значений \ (t \) делает этот метод построения параметрических кривых одним из худших вариантов. Иногда у нас нет выбора, но если у нас есть выбор, мы должны его избегать.

В следующих примерах мы обсудим альтернативный метод построения графиков, который поможет объяснить, как были выбраны эти значения \ (t \).

У нас есть еще одна идея, которую нужно обсудить, прежде чем мы нарисуем кривую.Параметрические кривые имеют направление движения . Направление движения задается увеличением \ (t \). Итак, при построении параметрических кривых мы также включаем стрелки, показывающие направление движения. Мы часто будем указывать значение \ (t \), которое дало определенные точки на графике, а также чтобы прояснить значение \ (t \), которое дало эту конкретную точку.

Вот эскиз этой параметрической кривой.

Итак, похоже, у нас есть парабола, которая открывается вправо.

Прежде чем мы закончим этот пример, есть несколько важный и тонкий момент, который мы должны обсудить в первую очередь. Обратите внимание, что мы включили часть эскиза справа от точек, соответствующих \ (t = — 2 \) и \ (t = 1 \), чтобы указать, что там есть части эскиза. Если бы мы просто остановили набросок в этих точках, мы указываем, что не было части кривой справа от этих точек, и она явно будет. Мы просто не вычисляли ни одну из этих точек.

Это может показаться неважным, но, как мы увидим в следующем примере, это более важно, чем мы думаем.

Прежде чем приступить к более простому способу построения наброска этого графика, давайте сначала рассмотрим вопрос об ограничениях для параметра. В предыдущем примере у нас не было ограничений на параметр. Без ограничений для параметра график будет продолжаться в обоих направлениях, как показано на скетче выше.

Однако у нас часто бывают ограничения на параметр, и это влияет на эскиз параметрических уравнений.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \ hspace {0,5 дюйма} — 1 \ le t \ le 1 \] Показать решение

Обратите внимание, что единственная разница здесь — наличие ограничений на \ (t \). Все эти ограничения говорят нам, что мы не можем брать какое-либо значение \ (t \) за пределы этого диапазона. Следовательно, параметрическая кривая будет только частью приведенной выше кривой. Вот параметрическая кривая для этого примера.

Обратите внимание, что с этим скетчем мы начали и остановили скетч прямо на точках, исходящих из конечных точек диапазона \ (t \) ‘s.Сравните это с эскизом в предыдущем примере, где у нас была часть эскиза справа от «начальной» и «конечной» точек, которые мы вычислили.

В этом случае кривая начинается в \ (t = — 1 \) и заканчивается в \ (t = 1 \), тогда как в предыдущем примере кривая действительно не начиналась в самых правых точках, которые мы вычислили. В наших набросках мы должны четко понимать, начинается ли / заканчивается ли кривая прямо в точке, или эта точка была просто первой / последней, которую мы вычислили.

Пришло время взглянуть на более простой метод построения эскиза этой параметрической кривой. Этот метод использует тот факт, что во многих, но не во всех случаях мы можем фактически исключить параметр из параметрических уравнений и получить функцию, включающую только \ (x \) и \ (y \). Иногда мы будем называть это алгебраическим уравнением , чтобы отличить его от исходных параметрических уравнений. При использовании этого метода возникнут две небольшие проблемы, но их будет легко решить.2} + t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2t — 1 \] Показать решение

Один из самых простых способов удалить параметр — просто решить одно из уравнений для параметра (в данном случае \ (t \)) и подставить его в другое уравнение. Обратите внимание: хотя это может быть самым простым способом устранить параметр, обычно это не лучший способ, как мы скоро увидим.

В этом случае мы можем легко решить \ (y \) относительно \ (t \). 2} + y + \ frac {3} {4} \]

Конечно, из наших знаний алгебры мы можем видеть, что это парабола, которая открывается вправо и будет иметь вершину в точке \ (\ left ({- \ frac {1} {4}, — 2} \ right) \) .

Мы не будем заморачиваться с наброском для этого, поскольку мы уже набросали его один раз, и смысл здесь был больше в том, чтобы все равно исключить параметр.

Прежде чем мы закончим этот пример, давайте быстро рассмотрим одну проблему.

В первом примере мы просто, по-видимому, случайно выбрали значения \ (t \) для использования в нашей таблице, особенно третье значение. На самом деле не было очевидной причины для выбора \ (t = — \ frac {1} {2} \).Однако, вероятно, это наиболее важный выбор \ (t \), поскольку именно он дает вершину.

Реальность такова, что при написании этого материала мы сначала решили эту задачу, а затем вернулись и решили первую задачу. Построение точек — это обычно способ, которым большинство людей сначала учатся строить графики, и он действительно иллюстрирует некоторые важные концепции, такие как направление, поэтому имело смысл сначала сделать это в примечаниях. Однако на практике этот пример часто выполняется первым.2} + t} \\ {- 2 = 2t — 1} \ end {array} \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ begin {array} {ll} {t = — \ frac {1 } {2} \, \, \, \ left ({{\ mbox {двойной корень}}} \ right)} \\ {t = — \ frac {1} {2}} \ end {array} \]

Итак, как мы видим, значение \ (t \), которое даст обе эти координаты, равно \ (t = — \ frac {1} {2} \). Обратите внимание, что параметрическое уравнение \ (x \) дало двойной корень, а этого часто не происходит. Часто из этого уравнения мы получали два разных корня. На самом деле, нет ничего необычного в том, чтобы получить несколько значений \ (t \) из каждого уравнения.

Однако мы можем сказать, что будут значения \ (t \), которые встречаются в обоих наборах решений, и это \ (t \), которые мы хотим для этой точки. В конце концов мы увидим пример, где это происходит, в следующем разделе.

Теперь из этой работы мы видим, что если мы используем \ (t = — \ frac {1} {2} \), мы получим вершину, и поэтому мы включили это значение \ (t \) в таблицу в примере 1. Как только мы получили это значение \ (t \), мы выбрали два целых значения \ (t \) с каждой стороны, чтобы завершить таблицу.

Как мы увидим в последующих примерах в этом разделе, определение значений \ (t \), которые дадут конкретные баллы, — это то, что нам нужно будет делать на довольно регулярной основе. Однако, как показал этот пример, это довольно просто. Все, что нам нужно, это решить (обычно) довольно простое уравнение, которое к этому моменту не должно быть слишком сложным.

Создание эскиза параметрической кривой после исключения параметра кажется довольно простым.Все, что нам нужно сделать, это изобразить уравнение, которое мы нашли, исключив параметр. Однако, как уже отмечалось, у этого метода есть две небольшие проблемы. Первый — это направление движения. Уравнение, включающее только \ (x \) и \ (y \), НЕ даст направление движения параметрической кривой. Однако, как правило, эту проблему легко решить. Давайте быстро посмотрим на производные параметрических уравнений из последнего примера. Их,

\ [\ begin {align *} \ frac {{dx}} {{dt}} & = 2t + 1 \\ \ frac {{dy}} {{dt}} & = 2 \ end {align *} \]

Теперь все, что нам нужно сделать, это вспомнить наши знания по Исчислению I.Очевидно, что производная \ (y \) по \ (t \) всегда положительна. Вспоминая, что одна из интерпретаций первой производной — это скорость изменения, мы теперь знаем, что по мере увеличения \ (t \) \ (y \) также должно увеличиваться. Следовательно, мы должны двигаться вверх по кривой снизу вверх по мере увеличения \ (t \), поскольку это единственное направление, которое всегда будет давать увеличение \ (y \) при увеличении \ (t \).

Обратите внимание, что производная \ (x \) не так полезна для этого анализа, поскольку она будет как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, \ (x \) будет как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от значения \ (t \).Это не очень помогает с направлением, поскольку следование кривой в любом направлении будет показывать как увеличение, так и уменьшение \ (x \).

В некоторых случаях только одно из уравнений, например, в этом примере, задает направление, в то время как в других случаях можно использовать любое из них. Также возможно, что в некоторых случаях для определения направления потребуются обе производные. Это всегда будет зависеть от индивидуального набора параметрических уравнений.

Вторая проблема с удалением параметра лучше всего проиллюстрирована на примере, поскольку мы столкнемся с этой проблемой в остальных примерах.

Пример 4 Постройте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко укажите направление движения. \ [x = 5 \ cos t \ hspace {0,5 дюйма} y = 2 \ sin t \ hspace {0,5 дюйма} 0 \ le t \ le 2 \ pi \] Показать решение

Прежде чем мы приступим к устранению параметра для этой проблемы, давайте сначала обратимся к еще раз, почему просто выбирать \ (t \) и наносить точки на график не очень хорошая идея.

Учитывая диапазон значений \ (t \) в формулировке задачи, давайте воспользуемся следующим набором \ (t \) ’.

\ (т \)	\ (х \)	\ (у \)
0	5	0
\ (\ frac {\ pi} {2} \)	0	2
\ (\ pi \)	-5	0
\ (\ frac {{3 \ pi}} {2} \)	0	-2
\ (2 \ pi \)	5	0

Вопрос, который нам нужно задать сейчас, заключается в том, достаточно ли у нас точек, чтобы точно нарисовать график этого набора параметрических уравнений? Ниже приведены некоторые эскизы некоторых возможных графиков параметрического уравнения, основанного только на этих пяти точках.

Учитывая природу синуса / косинуса, вы могли бы исключить ромб и квадрат, но нельзя отрицать, что это графики, проходящие через заданные точки. Последний график тоже немного глуп, но он показывает график, проходящий через заданные точки.

Опять же, учитывая природу синуса / косинуса, вы, вероятно, можете догадаться, что правильный график — это эллипс.Однако на данный момент это все, что нужно сделать. Догадка. На самом деле ничто не говорит однозначно о том, что параметрическая кривая представляет собой эллипс только из этих пяти точек. В этом опасность построения параметрических кривых на основе нескольких точек. Если мы не знаем заранее, какой график будет, мы на самом деле просто делаем предположение.

Итак, в общем, нам следует избегать нанесения точек на эскиз параметрических кривых. {- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right) \ hspace {0.{- 1}} \ left ({\ frac {x} {5}} \ right)} \ right) \]

Вы видите проблему с этим? Это определенно легко сделать, но у нас больше шансов правильно построить график исходных параметрических уравнений, построив точки, чем мы это делаем!

Есть много способов исключить параметр из параметрических уравнений, и решение для \ (t \) обычно не лучший способ сделать это. Хотя часто это легко сделать, в большинстве случаев мы получаем уравнение, с которым практически невозможно справиться.2}}} {4} \]

Итак, теперь мы знаем, что у нас будет эллипс.

А теперь продолжим пример. Мы определили, что параметрические уравнения описывают эллипс, но мы не можем просто набросать эллипс и покончить с ним.

Во-первых, то, что алгебраическое уравнение было эллипсом, на самом деле не означает, что параметрическая кривая представляет собой полный эллипс. Всегда возможно, что параметрическая кривая является только частью эллипса.Чтобы определить, какую часть эллипса будет покрывать параметрическая кривая, давайте вернемся к параметрическим уравнениям и посмотрим, что они говорят нам о любых ограничениях на \ (x \) и \ (y \). Основываясь на наших знаниях синуса и косинуса, мы имеем следующее:

\ [\ begin {align *} & — 1 \ le \ cos t \ le 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} — 5 \ le 5 \ cos t \ le 5 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0.25in} \, \, — 5 \ le x \ le 5 \\ & — 1 \ le \ sin t \ le 1 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} — 2 \ le 2 \ sin t \ le 2 \, \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, — 2 \ le y \ le 2 \ конец {выравнивание *} \]

Итак, начав с синуса / косинуса и «построив» уравнение для \ (x \) и \ (y \) с помощью основных алгебраических манипуляций, мы получим, что параметрические уравнения накладывают указанные выше ограничения на \ (x \) и \ (у \). В этом случае это также полные ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые мы получаем, построив график полного эллипса.

Это вторая потенциальная проблема, о которой говорилось выше.Параметрическая кривая не всегда может прослеживать полный график алгебраической кривой. Мы всегда должны находить ограничения на \ (x \) и \ (y \), налагаемые на нас параметрической кривой, чтобы определить, какая часть алгебраической кривой на самом деле нарисована параметрическими уравнениями.

Таким образом, в этом случае мы теперь знаем, что получаем полный эллипс из параметрических уравнений. Прежде чем перейти к остальной части примера, будьте осторожны, чтобы не всегда просто предполагать, что мы получим полный график алгебраического уравнения.Определенно бывают случаи, когда нам не удается получить полный график, и нам необходимо провести аналогичный анализ, чтобы определить, какую часть графика мы на самом деле получаем. Позже мы увидим пример этого.

Также обратите внимание, что любые ограничения на \ (t \), указанные в постановке задачи, также могут повлиять на то, какую часть графика алгебраического уравнения мы получим. Однако в этом случае, основываясь на таблице значений, которые мы вычислили в начале задачи, мы можем видеть, что действительно получаем полный эллипс в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \).Однако это не всегда так, поэтому обратите внимание на любые ограничения на \ (t \), которые могут существовать!

Далее нам нужно определить направление движения параметрической кривой. Вспомните, что все параметрические кривые имеют направление движения, а уравнение эллипса просто ничего не говорит нам о направлении движения.

Чтобы получить направление движения, заманчиво просто использовать таблицу значений, которую мы вычислили выше, чтобы получить направление движения.В этом случае мы бы предположили (и да, это все — предположение), что кривая идет против часовой стрелки. Мы были бы правы. В этом случае мы были бы правы! Проблема в том, что таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления движения, как мы увидим в следующем примере.

Следовательно, лучше не использовать таблицу значений для определения направления движения. Чтобы правильно определить направление движения, мы будем использовать тот же метод определения направления, который мы обсуждали после примера 3.Другими словами, мы возьмем производную параметрических уравнений и воспользуемся нашими знаниями Исчисления I и триггера для определения направления движения.

Производные параметрических уравнений равны,

\ [\ frac {{dx}} {{dt}} = — 5 \ sin t \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{dy}} {{dt}} = 2 \ cos t \]

Теперь, в точке \ (t = 0 \), мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте посмотрим, что произойдет, если мы начнем увеличивать \ (t \).Увеличим \ (t \) с \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \). В этом диапазоне значений \ (t \) мы знаем, что синус всегда положителен, и поэтому из производной уравнения \ (x \) мы можем видеть, что \ (x \) должно уменьшаться в этом диапазоне значений \ (t \)

Это, однако, не помогает нам определить направление параметрической кривой. Начиная с \ (\ left ({5,0} \ right) \), независимо от того, движемся ли мы по часовой стрелке или против часовой стрелки, \ (x \) должен будет уменьшаться, поэтому мы действительно ничего не узнали из \ (x \) производная.

С другой стороны, нам поможет производная от параметрического уравнения \ (y \). Опять же, когда мы увеличиваем \ (t \) от \ (t = 0 \) до \ (t = \ frac {\ pi} {2} \), мы знаем, что косинус будет положительным, и поэтому \ (y \) должен быть увеличивается в этом диапазоне. Однако это может произойти только в том случае, если мы движемся против часовой стрелки. Если бы мы двигались по часовой стрелке от точки \ (\ left ({5,0} \ right) \), мы могли бы увидеть, что \ (y \) пришлось бы уменьшаться!

Следовательно, в первом квадранте мы должны двигаться против часовой стрелки.Перейдем ко второму квадранту.

Итак, мы находимся в точке \ (\ left ({0,2} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ frac {\ pi} {2} \) до \ (т = \ пи \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус будет отрицательным, а синус — положительным. Следовательно, из производных параметрических уравнений мы можем видеть, что \ (x \) все еще уменьшается, и \ (y \) теперь также будет уменьшаться.

В этом квадранте производная \ (y \) ничего не говорит нам, поскольку \ (y \) просто должен уменьшаться, чтобы перейти от \ (\ left ({0,2} \ right) \).Однако для уменьшения \ (x \), как мы знаем, в этом квадранте, направление все еще должно двигаться против часовой стрелки.

Сейчас мы находимся в \ (\ left ({- 5,0} \ right) \), и мы увеличим \ (t \) с \ (t = \ pi \) до \ (t = \ frac {{3 \ пи}} {2} \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус отрицателен (и, следовательно, \ (y \) будет уменьшаться), а синус также отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Поэтому продолжим движение против часовой стрелки.

Для квадранта 4 ^-го мы начнем с \ (\ left ({0, — 2} \ right) \) и увеличим \ (t \) от \ (t = \ frac {{3 \ pi}} { 2} \) в \ (t = 2 \ pi \). В этом диапазоне \ (t \) мы знаем, что косинус положительный (и, следовательно, \ (y \) будет увеличиваться), а синус отрицателен (и, следовательно, \ (x \) будет увеличиваться). Итак, как и в предыдущих трех квадрантах, мы продолжаем двигаться против часовой стрелки.

На этом этапе мы охватили диапазон \ (t \), который был указан в постановке задачи, и в течение всего диапазона движение происходило против часовой стрелки.

Теперь мы можем полностью набросать параметрическую кривую, вот и эскиз.

Хорошо, это был действительно длинный пример. Большинство проблем такого типа не такие продолжительные. Нам просто нужно было многое обсудить в этом, чтобы мы могли выделить пару важных идей. Остальные примеры в этом разделе не займет много времени.

Теперь давайте взглянем на другой пример, который проиллюстрирует важную идею о параметрических уравнениях.

Пример 5 Постройте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко укажите направление движения. \ [x = 5 \ cos \ left ({3t} \ right) \ hspace {0,5 дюйма} y = 2 \ sin \ left ({3t} \ right) \ hspace {0,5 дюйма} 0 \ le t \ le 2 \ Пи \] Показать решение

Обратите внимание, что единственная разница между этими параметрическими уравнениями и уравнениями в примере 4 заключается в том, что мы заменили \ (t \) на 3 \ (t \). Здесь мы можем удалить параметр таким же образом, как и в предыдущем примере.2}}} {4} \]

Итак, мы получили тот же эллипс, что и в предыдущем примере. Также обратите внимание, что мы можем провести такой же анализ параметрических уравнений, чтобы определить, что у нас точно такие же ограничения на \ (x \) и \ (y \). А именно

\ [- 5 \ le x \ le 5 \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} — 2 \ le y \ le 2 \]

Начинает казаться, что изменение \ (t \) на 3 \ (t \) в тригонометрических уравнениях никоим образом не изменит параметрическую кривую.Однако это неверно. Кривая действительно меняется небольшим, но важным образом, который мы вскоре обсудим.

Прежде чем обсуждать то небольшое изменение, которое 3 \ (t \) вносит в кривую, давайте обсудим направление движения этой кривой. Несмотря на то, что мы сказали в последнем примере, что выбор значений \ (t \) и подключение к уравнениям для поиска точек для построения графика — плохая идея, давайте сделаем это любым способом.

Учитывая диапазон значений \ (t \) из условия задачи, следующий набор выглядит как хороший выбор для использования \ (t \).

\ (т \)	\ (х \)	\ (у \)
0	5	0
\ (\ frac {\ pi} {2} \)	0	-2
\ (\ pi \)	-5	0
\ (\ frac {{3 \ pi}} {2} \)	0	2
\ (2 \ pi \)	5	0

Итак, единственное изменение в этой таблице значений / точек из последнего примера — это изменение знака всех ненулевых значений \ (y \).При быстром взгляде на значения в этой таблице может показаться, что кривая в этом случае движется по часовой стрелке. Но так ли это? Напомним, мы говорили, что эти таблицы значений могут вводить в заблуждение, когда используются для определения направления, и поэтому мы не используем их.

Посмотрим, верно ли наше первое впечатление. Мы можем проверить наше первое впечатление, выполнив производную работу, чтобы получить правильное направление. Давайте работать с параметрическим уравнением \ (y \), так как \ (x \) будет иметь ту же проблему, что и в предыдущем примере.Производная параметрического уравнения \ (y \) равна,

\ [\ frac {{dy}} {{dt}} = 6 \ cos \ left ({3t} \ right) \]

Теперь, если мы начнем с \ (t = 0 \), как в предыдущем примере, и начнем увеличивать \ (t \). При \ (t = 0 \) производная явно положительна, и поэтому увеличение \ (t \) (по крайней мере, вначале) заставит \ (y \) также увеличиться. Единственный способ сделать это — если кривая изначально идет против часовой стрелки.

Теперь мы могли бы продолжить рассмотрение того, что происходит при дальнейшем увеличении \ (t \), но когда мы имеем дело с параметрической кривой, которая представляет собой полный эллипс (как эта), а аргумент триггерных функций имеет вид nt для любой константы \ (n \) направление не изменится, поэтому, как только мы знаем начальное направление, мы знаем, что оно всегда будет двигаться в этом направлении. Обратите внимание, что это верно только для параметрических уравнений в той форме, которая у нас есть. В последующих примерах мы увидим, что для различных типов параметрических уравнений это может быть неверно.

Хорошо, из этого анализа мы видим, что кривая должна быть начерчена против часовой стрелки. Это прямо противоречит нашему предположению из таблиц значений выше, и поэтому мы можем видеть, что в этом случае таблица, вероятно, привела бы нас в неверном направлении. Итак, еще раз, таблицы, как правило, не очень надежны для получения практически любой реальной информации о параметрической кривой, кроме нескольких точек, которые должны быть на кривой. В остальном таблицы редко бывают полезными и, как правило, не рассматриваются в дальнейших примерах.

Итак, почему наша таблица дала неверное представление о направлении? Хорошо напомним, что мы упоминали ранее, что 3 \ (t \) приведет к небольшому, но важному изменению кривой по сравнению с просто \ (t \)? Давайте посмотрим, что это за изменение, поскольку оно также даст ответ на вопрос, что «пошло не так» с нашей таблицей значений.

Начнем с \ (t = 0 \). В \ (t = 0 \) мы находимся в точке \ (\ left ({5,0} \ right) \), и давайте спросим себя, какие значения \ (t \) возвращают нас в эту точку.В Примере 3 мы видели, как определять значения \ (t \), которые ставят нас в определенные точки, и здесь будет работать тот же процесс с небольшими изменениями.

Вместо того, чтобы смотреть на уравнения \ (x \) и \ (y \), как мы это делали в этом примере, давайте просто посмотрим на уравнение \ (x \). Причина этого в том, что мы отметим, что на эллипсе есть две точки, координата которых будет равна нулю \ (y \): \ (\ left ({5,0} \ right) \) и \ (\ слева ({- 5,0} \ right) \). Если мы установим координату \ (y \) равной нулю, мы найдем все \ (t \), которые находятся в обеих этих точках, когда нам нужны только значения \ (t \), которые находятся в \ ( \ left ({5,0} \ right) \).{- 1}} \ left (1 \ right) = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, \ to \ hspace {0.25in} \, \, \, \, \, \ , t = \ frac {2} {3} \ pi n \, \, \, \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {align *} \]

Не забывайте, что при решении тригонометрического уравнения нам нужно добавить «\ (+ 2 \ pi n \)», где \ (n \) представляет количество полных оборотов против часовой стрелки (положительное значение \ ( n \)) и по часовой стрелке (отрицательное \ (n \)), которое мы поворачиваем от первого решения, чтобы получить все возможные решения уравнения.

Теперь давайте подставим несколько значений \ (n \), начиная с \ (n = 0 \). В этом случае нам не нужно отрицательное \ (n \), поскольку все они приведут к отрицательному \ (t \), а те выходят за пределы диапазона \ (t \), который мы были указаны в формулировке задачи. Тогда первые несколько значений \ (t \) равны

. \ [\ begin {align *} n & = 0 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = 0 \\ n & = 1 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ гидроразрыв {{2 \ pi}} {3} \\ n & = 2 \ hspace {0.25 дюймов}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ frac {{4 \ pi}} {3} \\ n & = 3 \ hspace {0,25 дюйма}: \ hspace {0,25 дюйма} t = \ frac {{6 \ pi}} {3} = 2 \ pi \ end {align *} \]

На этом мы можем остановиться, так как все дальнейшие значения \ (t \) будут выходить за пределы диапазона \ (t \), указанного в этой задаче.

Итак, о чем это нам говорит? В Примере 4, когда аргументом было просто \ (t \), эллипс был начерчен ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \). Однако, когда мы меняем аргумент на 3 \ (t \) (и помня, что кривая всегда будет трассироваться против часовой стрелки для этой задачи), мы проходим через «начальную» точку \ (\ left ( {5,0} \ right) \) в два раза больше, чем в предыдущем примере.

Фактически, эта кривая прослеживается три разных раза. Первая трассировка завершается в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ frac {{2 \ pi}} {3} \). Вторая трассировка завершается в диапазоне \ (\ frac {{2 \ pi}} {3} \ le t \ le \ frac {{4 \ pi}} {3} \), а третья и последняя трассировка завершается в диапазон \ (\ frac {{4 \ pi}} {3} \ le t \ le 2 \ pi \). Другими словами, изменение аргумента с \ (t \) на 3 \ (t \) увеличивает скорость следа, и кривая теперь будет прослеживаться три раза в диапазоне \ (0 \ le t \ le 2 \ pi \ )!

Вот почему таблица производит неправильное впечатление.Скорость трассировки увеличилась, что привело к неправильному впечатлению от точек в таблице. Таблица, кажется, предполагает, что между каждой парой значений \ (t \) четверть эллипса прослеживается по часовой стрелке, тогда как на самом деле она выводит три четверти эллипса против часовой стрелки.

Вот последний набросок кривой и обратите внимание, что он не так уж сильно отличается от предыдущего наброска. Единственные различия — это значения \ (t \) и различные точки, которые мы включили.Мы включили еще несколько значений \ (t \) в различных точках, чтобы проиллюстрировать, где находится кривая для различных значений \ (t \), но в целом они действительно не нужны.

Итак, в последних двух примерах мы видели два набора параметрических уравнений, которые каким-то образом давали один и тот же график. Тем не менее, поскольку они вычерчивали график разное количество раз, нам действительно нужно думать о них как о разных параметрических кривых, по крайней мере, в некотором роде.Это может показаться различием, о котором нам не нужно беспокоиться, но, как мы увидим в следующих разделах, это может быть очень важным различием. В некоторых из последующих разделов нам понадобится кривая, которая будет начерчена ровно один раз.

Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, давайте кратко рассмотрим, что происходит при изменении \ (t \) на nt в такого рода параметрических уравнениях. Когда мы имеем дело с параметрическими уравнениями, включающими только синусы и косинусы, и оба они имеют один и тот же аргумент, если мы изменим аргумент с \ (t \) на nt , мы просто изменим скорость, с которой выполняется трассировка кривой.2}}} {4} \]

В данном случае алгебраическое уравнение представляет собой параболу, которая открывается влево.

Однако нам нужно быть очень, очень осторожными при построении эскиза этой параметрической кривой. Мы НЕ получим всю параболу. Набросок параболы алгебраической формы будет существовать для всех возможных значений \ (y \). Однако параметрические уравнения определили как \ (x \), так и \ (y \) в терминах синуса и косинуса, и мы знаем, что их диапазоны ограничены, и поэтому мы не получим все возможные значения \ (x \ ) и \ (y \) здесь.2} t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & 0 \ le x \ le 1 \\ — 1 \ le \ cos t \ le 1 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le 2 \ cos t \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} & — 2 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, из этого ясно, что мы получим только часть параболы, которая определяется алгебраическим уравнением. Ниже приведен быстрый набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Чтобы закончить набросок параметрической кривой, нам также необходимо направление движения кривой. Однако, прежде чем мы перейдем к этому, давайте перейдем вперед и определим диапазон значений \ (t \) для одной трассы. Для этого нам нужно знать \ (t \), которые ставят нас в каждую конечную точку, и мы можем следовать той же процедуре, которую мы использовали в предыдущем примере. Единственная разница в том, что на этот раз давайте использовать параметрическое уравнение \ (y \) вместо \ (x \), потому что координаты \ (y \) двух конечных точек кривой различны, тогда как координаты \ (x \) одинаковы.{- 1}} \ left ({- 1} \ right) = \ pi + 2 \ pi n, \ hspace {0.25in} n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end {выровнять*}\]

Итак, мы видим, что мы будем в нижней точке на,

\ [t = \ ldots, — 3 \ pi, — \ pi, \ pi, 3 \ pi, \ ldots \]

Итак, если мы начнем, скажем, с \ (t = 0 \), мы находимся в верхней точке и увеличиваем \ (t \), мы должны двигаться по кривой вниз, пока не достигнем \ (t = \ pi \) в этот момент мы сейчас находимся в нижней точке.Это означает, что мы проведем кривую ровно один раз в диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \).

Однако это не единственный диапазон, по которому можно проследить кривую. Обратите внимание, что если мы будем увеличивать \ (t \) от \ (t = \ pi \), теперь нам придется возвращаться вверх по кривой, пока мы не достигнем \ (t = 2 \ pi \), и теперь мы снова наверху. точка. Увеличение \ (t \) снова, пока мы не достигнем \ (t = 3 \ pi \), вернет нас вниз по кривой, пока мы снова не достигнем нижней точки, и т. Д. .Из этого анализа мы можем получить еще два диапазона \ (t \) для одной трассы,

\ [\ pi \ le t \ le 2 \ pi \ hspace {0,5 дюйма} 2 \ pi \ le t \ le 3 \ pi \]

Как вы, вероятно, видите, существует бесконечное количество диапазонов \ (t \), которые мы могли бы использовать для одного следа кривой. Любой из них был бы приемлемым ответом на эту проблему.

Обратите внимание, что в процессе определения диапазона \ (t \) для одной трассы нам также удалось определить направление движения для этой кривой.В диапазоне \ (0 \ le t \ le \ pi \) мы должны были пройти вниз по кривой, чтобы добраться от верхней точки в \ (t = 0 \) до нижней точки в \ (t = \ pi \) . Однако в точке \ (t = 2 \ pi \) мы снова находимся в верхней точке кривой, и чтобы попасть туда, мы должны двигаться по пути. Мы не можем просто перепрыгнуть на верхнюю точку или выбрать другой путь, чтобы добраться туда. Все путешествие необходимо совершать по намеченному пути. Это означает, что нам пришлось вернуться вверх по пути. Дальнейшее увеличение \ (t \) возвращает нас обратно по пути, затем снова вверх по пути и т. Д. .

Другими словами, этот путь нарисован в обоих направлениях, потому что мы не налагаем никаких ограничений на \ (t \) ’, и поэтому мы должны предположить, что мы используем все возможные значения \ (t \). Если бы мы наложили ограничения на то, какие \ (t \) использовать, мы действительно могли бы двигаться только в одном направлении. Однако это будет результатом только диапазона \ (t \), который мы используем, а не самих параметрических уравнений.

Обратите внимание, что нам действительно не нужно было проделывать вышеуказанную работу, чтобы определить, идет ли кривая в обоих направлениях.в таком случае. Оба параметрических уравнения \ (x \) и \ (y \) включают синус или косинус, и мы знаем, что обе эти функции колеблются. Это, в свою очередь, означает, что как \ (x \), так и \ (y \) также будут колебаться. Единственный способ сделать это на данной кривой — это провести кривую в обоих направлениях.

Будьте осторожны с приведенными выше рассуждениями, что колебательный характер синуса / косинуса заставляет кривую прослеживаться в обоих направлениях. Его можно использовать только в этом примере, потому что «начальная» и «конечная» точки кривых находятся в разных местах.Единственный способ добраться от одной из «конечных» точек кривой до другой — вернуться назад по кривой в противоположном направлении.

Сравните это с эллипсом в примере 4. В этом случае у нас также были синус / косинус в параметрических уравнениях. Однако кривая прослеживалась только в одном направлении, а не в обоих направлениях. В Примере 4 мы строили график полного эллипса, и поэтому независимо от того, где мы начинаем рисовать график, мы в конечном итоге вернемся к «начальной» точке, даже не отслеживая никакую часть графика.В примере 4, когда мы обрисовываем полный эллипс, оба \ (x \) и \ (y \) фактически колеблются между своими двумя «конечными точками», но сама кривая не проходит в обоих направлениях, чтобы это произошло.

В принципе, мы можем использовать колебательный характер синуса / косинуса только для определения того, что кривая идет в обоих направлениях, если кривая начинается и заканчивается в разных точках. Если начальная / конечная точка совпадает, тогда нам обычно нужно пройти через аргумент полной производной, чтобы определить фактическое направление движения.

Итак, чтобы закончить эту проблему, ниже приведен эскиз параметрической кривой. Обратите внимание, что мы поместили стрелки направления в обоих направлениях, чтобы четко указать, что он будет прослеживаться в обоих направлениях. Мы также добавили несколько значений \ (t \), чтобы помочь проиллюстрировать направление движения.

К этому моменту мы видели примеры, которые могли бы проследить весь график, который мы получили, исключив параметр, если бы мы взяли достаточно большой диапазон \ (t \) ‘s.Однако в предыдущем примере мы увидели, что это не всегда так. Более чем возможно иметь набор параметрических уравнений, которые будут непрерывно отслеживать только часть кривой. Обычно мы можем определить, произойдет ли это, ища ограничения на \ (x \) и \ (y \), которые накладываются на нас параметрическим уравнением.

Мы часто будем использовать параметрические уравнения для описания пути объекта или частицы. Давайте посмотрим на это на примере.2} \ left ({2t} \ right) \]

Полностью опишите путь этой частицы. Для этого нарисуйте путь, определив пределы для \ (x \) и \ (y \) и указав диапазон значений \ (t \), для которых путь будет отслеживаться ровно один раз (при условии, что он трассирует более один раз конечно).

Показать решение

Удаление параметра на этот раз будет немного другим. На этот раз у нас есть только косинусы, и мы воспользуемся этим в наших интересах. Мы можем решить уравнение \ (x \) для косинуса и подставить его в уравнение для \ (y \).2} \ left ({2t} \ right) \ le 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & 1 \ le y \ le 2 \ end {array} \]

Итак, мы снова обрисовываем только часть кривой. Вот быстрый набросок части параболы, которую будет охватывать параметрическая кривая.

Теперь, как мы обсуждали в предыдущем примере, поскольку параметрические уравнения \ (x \) и \ (y \) включают косинус, мы знаем, что и \ (x \), и \ (y \) должны колебаться, и поскольку «начало »И« конечные »точки кривой не совпадают, единственный способ колебания \ (x \) и \ (y \) — это движение кривой в обоих направлениях.

Чтобы решить проблему, все, что нам нужно сделать, это определить диапазон \ (t \) для одной трассы. Поскольку «конечные» точки на кривой имеют одинаковое значение \ (y \) и разные значения \ (x \), мы можем использовать параметрическое уравнение \ (x \) для определения этих значений. Вот эта работа.

\ [\ begin {array} {ll} \ begin {align} x = 3: \\ \\ \\ \ end {align} & \ begin {align *} 3 & = 3 \ cos \ left ({2t} \ справа) \\ 1 & = \ cos \ left ({2t} \ right) \\ 2t & = 0 + 2 \ pi n \ hspace {0.25 дюймов} \, \ to \ hspace {0,25 дюйма} t = \ pi n \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end { выровнять *} \ конец {массив} \] \ [\ begin {array} {ll} \ begin {align} x = -3: \\ \\ \\ \\ \ end {align} & \ begin {align *} — 3 & = 3 \ cos \ left ( {2t} \ right) \\ — 1 & = \ cos \ left ({2t} \ right) \\ 2t & = \ pi + 2 \ pi n \ hspace {0,25 дюйма} \, \ to \ hspace {0,25 дюйма } t = \ frac {1} {2} \ pi + \ pi n \ hspace {0.25in} \, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ ldots \ end { выровнять *} \ конец {массив} \]

Итак, мы будем в правой конечной точке в \ (t = \ ldots, — 2 \ pi, — \ pi, 0, \ pi, 2 \ pi, \ ldots \), а мы будем в левом конце укажите на \ (t = \ ldots, — \ frac {3} {2} \ pi, — \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {1} {2} \ pi, \ frac {3} { 2} \ пи, \ ldots \).Итак, в этом случае существует бесконечное количество диапазонов значений \ (t \) для одной трассы. Вот несколько из них.

\ [- \ frac {1} {2} \ pi \ le t \ le 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} 0 \ le t \ le \ frac {1} {2} \ pi \ hspace { 0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {1} {2} \ pi \ le t \ le \ pi \]

Вот окончательный набросок траектории частицы с несколькими значениями \ (t \) на нем.

Здесь следует сделать небольшое предупреждение.Из-за заложенных в них идей мы сконцентрировались на параметрических кривых, которые повторяли части кривой более одного раза. Однако не зацикливайтесь на мысли, что это всегда будет происходить. Многие, если не большинство параметрических кривых могут быть построены только один раз. Первый, который мы рассмотрели, является хорошим примером этого. Эта параметрическая кривая никогда не повторится ни на одной своей части.

Перед тем, как двигаться дальше, в этом разделе необходимо обсудить еще одну тему. До сих пор мы начали с параметрических уравнений и устранили параметр для определения параметрической кривой.2}}} = 1 \]

набор параметрических уравнений для него будет,

\ [x = a \ cos t \ hspace {1.0in} y = b \ sin t \]

Этот набор параметрических уравнений будет обводить эллипс, начинающийся в точке \ (\ left ({a, 0} \ right) \), и прослеживать его против часовой стрелки, а также прослеживать ровно один раз в диапазоне \ ( 0 \ le t \ le 2 \ pi \). Это довольно важный набор параметрических уравнений, поскольку он постоянно используется в некоторых предметах, связанных с эллипсами и / или кругами.

Каждую кривую можно параметризовать более чем одним способом. Любой из следующих параметров также параметризует тот же эллипс.

\ [\ begin {align *} x & = a \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0,5in} & y & = b \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \\ x & = a \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0,5in} & y & = b \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \\ x & = a \ cos \ left ({\ omega \, t} \ right) \ hspace {0.5in} & y & = — b \ sin \ left ({\ omega \, t} \ right) \ end {выровнять*}\]

Наличие символа \ (\ omega \) изменит скорость вращения эллипса, как мы видели в примере 5.Также обратите внимание, что последние два очерчивают эллипсы с направлением движения по часовой стрелке (вы можете проверить это). Также обратите внимание, что все они не начинаются в одном и том же месте (если мы думаем о \ (t = 0 \) как о начальной точке).

Конечно, существует множество других параметризаций эллипса, но вы поняли идею. Важно помнить, что каждая параметризация будет отслеживать кривую один раз с потенциально другим диапазоном \ (t \) ‘s. Каждая параметризация может вращаться с разными направлениями движения и может начинаться в разных точках.

Вы можете обнаружить, что вам нужна параметризация эллипса, который начинается в определенном месте и имеет определенное направление движения, и теперь вы знаете, что с некоторой работой вы можете написать набор параметрических уравнений, которые дадут вам поведение, которое ты после.

Теперь давайте запишем пару других важных параметризаций, и все комментарии о направлении движения, начальной точке и диапазоне \ (t \) для одной трассы (если применимо) по-прежнему верны.

Во-первых, поскольку круг — это не что иное, как частный случай эллипса, мы можем использовать параметризацию эллипса, чтобы получить параметрические уравнения для окружности с центром в начале радиуса \ (r \). Один из возможных способов параметризации круга:

\ [x = r \ cos t \ hspace {1.0in} y = r \ sin t \]

Наконец, даже если может показаться, что для этого нет никаких причин, мы также можем параметризовать функции в форме \ (y = f \ left (x \ right) \) или \ (x = h \ left (y \ right) \).В этих случаях мы параметризуем их следующим образом:

\ [\ begin {align *} x & = t \ hspace {1.0in} & x & = h \ left (t \ right) \\ y & = f \ left (t \ right) \ hspace {1.0in} & y & = t \ end {выровнять *} \]

На данный момент может показаться не очень полезным выполнять параметризацию такой функции, но есть много случаев, когда на самом деле будет проще или даже может потребоваться работать с параметризацией вместо самой функции .К сожалению, почти все эти случаи встречаются в курсе Calculus III.

Круг — параметрическое уравнение

Этот урок будет охватывать параметрическое уравнение окружности .

Так же, как параметрическое уравнение линии, эта форма поможет нам найти координаты любой точки на окружности, связав координаты с «параметром».

Параметрическое уравнение стандартной окружности

Рассмотрим следующий круг, центр которого находится в точке O (0, 0) , а радиус равен r .

Пусть P (x, y) будет любой точкой на окружности, например, OP образует угол θ с осью X . Используя тригонометрию, получим:

x = rcosθ

y = rsinθ

И все! Мы получили так называемое параметрическое уравнение окружности. Здесь θ — это параметр, который представляет угол, образованный OP с осью X .

Другими словами, для всех значений θ точка (rcosθ, rsinθ) лежит на окружности x ² + y ² = r ² .Или любая точка на окружности — это (rcosθ, rsinθ) , где θ — параметр.

Можно также получить параметрическое уравнение окружности, центр которой не лежит в нуле.

Параметрическое уравнение для общей окружности

Рассмотрим общее уравнение круга:

x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0

Это можно записать как:

(x + g) ² + (y + f) ² = r ² (где r ² = g ² + f ² — c )

Опять же, пусть P (x, y) будет любой точкой на окружности, такой что CP составляет θ под углом X -оси.

В этом случае мы получим

x + g = rcosθ

y + f = rsinθ

Это дает нам

x = — г + rcosθ

y = -f + rsinθ

И это параметрическое уравнение окружности x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0 .

Вот симуляция, демонстрирующая параметрическое уравнение круга.

Вы можете перетащить ползунок, чтобы изменить значение θ и наблюдать за точкой (rcosθ, rsinθ) .Всегда ли он лежит по кругу?

Резюме урока

1. Параметрическое уравнение окружности x ² + y ² = r ² составляет x = rcosθ , y = rsinθ .
2. Параметрическое уравнение окружности x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0 равно x = -g + rcosθ , y = -f + rsinθ .

Здесь θ — это параметр, который представляет угол, образованный линией, соединяющей точку (x, y) с центром, с осью X .

На этом урок. Увидимся в следующем!

Мы не можем найти эту страницу

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{добавить в коллекцию.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.АВТОР}}

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}} .