Уравнения 9 класс как решать – Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Уравнения, неравенства и их системы

Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Уравнения, неравенства и их системы

Решение любой задачи можно разбить на три основных этапа:

1-й этап – составление математической модели задачи;

2-й этап – решение математической модели;

3-й этап – возврат к задаче, проверка корректности решения.

Сегодня мы поговорим о технике, то есть о втором этапе. Математическая модель может представлять собой уравнение, неравенство или систему уравнений или неравенств. Вы уже знакомы с методами решения некоторых видов уравнений, неравенств и их систем из следующих уроков: Линейное уравнение с одной переменной, Линейное уравнение с одной переменной, Практика. Линейные уравнения и их системы, Квадратные уравнения, Практика. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, Системы уравнений, Линейные неравенства. Системы и совокупности неравенств, Решение квадратных неравенств. Метод интервалов, Практика. Решение неравенств.

Если вы забыли методы решения тех или иных уравнений и неравенств, пересмотрите соответствующие уроки. На сегодняшнем занятии мы разберем решения более сложных математических моделей и покажем, что никакой «сложности» на самом деле в них нет. Мы рассмотрим методы, которые помогут свести различные уравнения и неравенства к видам, которые мы уже умеем решать.Начнем с линейных уравнений.

 

Задание 1. Длину окружности  можно вычислить по формуле , где  – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если ее длина равна  м (cчитать 

).

Решение

В формуле есть целых две переменных ( и ) и еще константа . Но значение  нам задано, то есть неизвестная величина у нас одна – радиус окружности . Подставив значения, получим обычное линейное уравнение:

В полученном уравнении неизвестная обозначена буквой , а не привычным . Но это условности – неважно, как мы обозначили переменную. Ход решения от этого никак не изменится. Так что решаем как и любое другое линейное уравнение:

Ответ:

 м.

Чтобы решить уравнение, нужно понять, к какому типу оно относится. Тогда мы сможем выбрать нужный алгоритм. Вспомните: алгоритмы решений линейных и квадратных уравнений отличаются:

  1. В линейных уравнениях мы переносим неизвестные слагаемые в одну сторону, известные – в другую.
  2. В квадратных мы переносим все слагаемые в одну сторону.

Но с первого взгляда не всегда можно правильно определить вид уравнений.

 

Задание 2. Решить уравнение:

Решение

На первый взгляд, это уравнение квадратное, т. к. оно содержит неизвестную во второй степени. Поэтому будем действовать по алгоритму решения квадратного уравнения: перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим выражение:

Приведя подобные слагаемые, получим:

Видим, что слагаемые со второй степенью неизвестной сократились и уравнение превратилось в линейное. Так что используем алгоритм решения линейного уравнения:

Ответ: .

Одним из методов решения уравнений является разложение на множители. Вспомним: переносим все слагаемые в одну сторону, полученный многочлен раскладываем на множители. Произведение этих множителей будет равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

 

Задание 3. Решить уравнение:

Решение

Эта уравнение 6-й степени (есть ), общих методов решений уравнений 6-й степени не существует (то есть нет такого универсального метода, использование которого позволяло бы решить любое уравнение 6-й степени, независимо от его вида). Но мы можем попробовать применить метод разложения на множители. Перенесем все слагаемые в левую часть:

Используем формулу разности кубов:

Произведение равно нулю, значит:

Первое уравнение квадратное, мы знаем алгоритм его решения:

По теореме Виета:

Подходят числа:

Второе уравнение – уравнение 4-й степени. Можно попробовать раскрыть скобки и разложить на множители, но из этого ничего не выйдет. Это уравнение не имеет решений. Доказательство этого утверждения вы можете увидеть ниже.


 

Почему уравнение не имеет решений

Вынесем из выражения  общий множитель :

Представим выражение  следующим образом:

В первых трех слагаемых видим полный квадрат, свернем его по формуле :

Каждое из полученных слагаемых – неотрицательная величина. Их сумма может быть равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

Второе слагаемое равно нулю только при :

Но при  первое слагаемое равно , а не нулю. Таким образом, сумма этих двух слагаемых не равна нулю ни при каких действительных значениях :

Уравнение не имеет решений.


Получаем ответ:

Ответ: .

Отметим, что исходное уравнение  получилось эквивалентно уравнению . Или, еще можно сказать, уравнение  эквивалентно уравнению . То есть если равны кубы выражений, то равны и сами выражения:

Это утверждение можно строго доказать, например, используя свойство кубической функции (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции

Функция  является монотонно возрастающей, и каждому значению  соответствует ровно одно значение . Поэтому равные значения функции  могут быть только при равных аргументах:

Для сравнения: функция  не является монотонной (см. рис. 2).

Рис. 2. График функции

Каждому положительному значению  соответствуют два противоположных значения . Поэтому если значения функции равны, то аргументы или равны, или противоположны:

Так, решая уравнение , мы получаем  решения:

Полученные выводы можно обобщить. Любая функция вида  при нечетных  будет монотонно возрастающей. Поэтому для нечетных :

А вот график функции  при четных  будет похож на квадратичную параболу. И каждому значению функции будет соответствовать два противоположных значения аргумента. Для четных :

Примеры решений уравнений с использованием этих свойств вы можете увидеть ниже.


 

Решение некоторых уравнений высших степеней

Пример 1. Решить уравнение:

Решение

Степени нечетные, значит, из равенства пятых степеней следует:

Получили квадратное уравнение:

Корни полученного уравнения можем подобрать по теореме Виета:

Подходят значения:

Ответ: .

 

Пример 2. Решить уравнение:

Решение

Степени четные, значит, из равенства шестых степеней следует:

Получили два линейных уравнения. Из первого:

Из второго:

Ответ:


 

Мы знаем алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Для кубических уравнений также существуют универсальные алгоритмы решения, но для них описания необходимо использовать понятие комплексных чисел (то есть расширенное множество чисел, в котором определено значение ).

Поэтому общие алгоритмы решения кубических уравнений в школьном курсе мы рассматривать не будем. Но для кубических уравнений с целыми коэффициентами, которые имеют хотя бы один целый корень, задачу можно свести к решению квадратного уравнения. Посмотрим, как это сделать.

Для начала отметим, что если некоторое число  является корнем кубического уравнения , то левую часть этого уравнения можно разложить на множители:

Это аналогично тому, как многочлен  можно разложить на множители:

,

где  и  – корни этого многочлена.

Анализируя разложение кубического многочлена, можно сделать два важных вывода, которые мы будем использовать для решения кубических уравнений:

1. Если раскрыть скобки, то свободный член . Из этого следует, что если уравнение имеет хотя бы  целый корень, то его следует искать среди делителей свободного члена .

2. Чтобы найти второй множитель в разложении, необходимо  разделить на :

Разделить многочлены можно в столбик аналогично делению чисел в столбик. Если вы забыли, как это делать, посмотрите ниже.


 

Деление многочленов

Деление многочлена на многочлен производится по тому же принципу, что и деление чисел – столбиком (уголком). Это подбор, только подбор алгоритмизируемый. В частности, для деления многочленов нам пригодится понятие степени многочлена, которое мы вводили.

 

Пример 1. Выполнить деление:

Решение

Заметим:

Запишем в столбик:

 

Таким образом:

Ответ: .

Могут ли многочлены делиться друг на друга нац

interneturok.ru

Решение уравнений 9 класс онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Решение уравнений девятого класса подразумевает применение множества разнообразных способов решения: графических, методов алгебраического сложения, введение новых переменных, применение функций и преобразование уравнений из одного вида в более простой и многое другое. Метод решения уравнения выбирается на основании исходных данных, поэтому лучше всего разбирать методы наглядно на примерах.

Допустим, дано уравнение следующего вида:

\[\frac {18}{x^2-6x}-\frac{12}{x^2+6x}=\frac {1}{x}\]

Чтобы решить данное уравнение поделим левую и правую части на \[x.\]

\[\frac{18}{x-6}-\frac{12}{x+6}=1\]

Далее приведем дробные члены левой части к НОЗ:

\[\frac {6x+180}{x^2-36}=1\]

Далее:

\[6x+180=x^2-36\ne 0\]

\[x^2 -6x-216=0\]

\[x_1=18, x_2 = -12\]

Полученные два корня являются решением данного уравнения.

решить уравнение 9 класс онлайн

Так же читайте нашу статью «Решить графическую систему уравнений онлайн решатель»

Решим уравнение:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Необходимо найти сумму всех корней данного уравнения. Для этого необходимо выполнить замену:

\[x_2 — 2х = t\]

Получим:

\[t^2- 3t — 4= 0\]

Корнями данного уравнения будут 2 числа: -1 и 4. Следовательно:

\[\begin{bmatrix} x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end{bmatrix}\]

Сумма всех 3 корней равна 4, что и будет являться ответом в решении данного уравнения.

Где можно решить уравнения онлайн 9 класс?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Мастер-класс «Решение целых уравнений в 9 классе»

Урок математики в 9 классе

Тема урока: « Решение целых уравнений»

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент. (1 слайд)

  2. Актуализация знаний.

-О каких уравнениях мы вели речь на предыдущих уроках? ( О целых уравнениях)

-Какие уравнения называются целыми? (Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.)

Внимание на экран (2 слайд) Какие из уравнений не являются целыми? Почему ?

  1. hello_html_m561684e9.gifх2=0

  2. 2-6х5+1=0

  3. hello_html_m5d9cedde.gif— hello_html_m3317db85.gif =5

  4. hello_html_4efe5d69.gif+ 3х = 18

  5. х( х – 1)(х – 2) =0

  6. hello_html_m2db0cd2d.gif= 0

  7. х3 – 25х = 0

  8. х= 49

— Как определяется степень уравнения? (Если уравнение с одной переменной, записано в видеР(х) = о, где Р(х) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения видаР(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида.)

Внимание на экран (3 слайд) Определите степень уравнения. Дайте ответ и прокомментируйте его.

  1. 5 – 5х4 +2 = х (5)

  2. + 6х-3х+1 = х + 2 (7)

  3. -11х + 79х2 = 17 (2)

  4. х5 + 3х– х+ 1 = 0 (6)

  5. (х + 4)(х – 7)(х + 8) = 0 (3)

  6. (5 – х)(х + 5) + х(х – 10) (1)

  7. х2 (х + 4) –(х – 2)(х2 +1) = 3 (2)

  8. – 2)(3х2 + 1) – 3(х– 2) = 4 (3)

— Сколько корней может иметь каждое целое уравнение п- й степени? (Уравнение п- й степени имеет не более п корней.)

3. Основная часть урока.

Рассмотрим известные вам способы решения целых уравнений. Какие способы вы знаете?1)уравнения, приводимые к линейным и квадратным

2) разложение на множители

3) Введение новой переменной

4) биквадратные уравнения)

Внимание на экран: (4 слайд) Каждый из вас решит одно уравнение и затем объяснит остальным ход его решения. При решении можете пользоваться учебниками, записями предыдущих уроков.

Способы решения целых уравнений

Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2)= 10

Разложение на множители

х– 3х = 3,5х2

Введение новой переменной (х2 +2х)– 2(х+ 2х) – 3 = 0

Биквадратные уравнения х-13х2 + 36 = 0

Внимание на экран, проверим решение ваших уравнений.

(5 слайд) Приведение уравнения к линейному или квадратному

(12х + 1)(3х – 1) – (6х +2)= 10

36х2 – 12х + 3х – 1 – 36х2 – 24х – 4 = 10

— 33х – 15 = 0

-33х = 15

х = hello_html_4d92ddb4.gif

Ответ: х = hello_html_4d92ddb4.gif

(6 слайд) Разложение на множители

х– 3х = 3,5х2

х– 3х — 3,5х2 = 0

х(х2 -3 -3,5х) = 0

Х1 = 0 и х2 -3,5х -3 – 0

Д = (-3,5)2— 4*1*(-3) = 12,25 — 12 = 0,25

Хhello_html_685ebe5c.gif = 2

Х3 =hello_html_4f268a14.gif = 1,5

Ответ: Х1 = 0 ; Х= 2; Х3 = 1,5

(7 слайд) Введение новой переменной

2 +2х)– 2(х+ 2х) – 3 = 0 Пусть (х+ 2х) = у, тогда

у2 – 2х – 3 = 0

Д = (-2)2 – 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

У1 = hello_html_m1ae47dd7.gif = 3

У2 = hello_html_m36dcd7b1.gif = -1

+ 2х) = 3 (х+ 2х) = -1

х+ 2х- 3 = 0 х+ 2х +1 = 0

Д = 2– 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16 Д = 22 – 4*1*1 = 4 – 4 = 0

х1 = hello_html_m7746ba53.gif = 1 х3 = hello_html_47c346af.gif = -1

х2 = hello_html_mcca3a0d.gif = -3

Ответ: Х1 = 1 ; Х= -3; Х3 = -1

(8 слайд) Биквадратные уравнения

х-13х2 + 36 = 0 Пусть х2 = у, тогда

у2 – 13у +36 = 0

Д = (-13)– 4*1*36 = 169-144 = 25

У1 = hello_html_295b3dc8.gif = 9

У1 = hello_html_m1b9cb353.gif = 4

х2 = 9 х= 4

х= 3 х2 = -3 х3 = 2 х= -2

Ответ: Х1 = 3 ; Х= -3; Х3 = 2; Х4 = -2;

4. Самостоятельная работа. Самостоятельная работа состоит из двух частей: обязательного минимума и дополнительных заданий, так же она предполагает два уровня сложности. Подумайте, какой вам уровень выбрать и приступаем к решению. (9 слайд)

1 уровень

2 уровень

Основная часть

Основная часть

  1. Реши уравнения

а) (5 – х)(5 + х) + х(х – 10) = 25

б) 9х3 – 27х2 = 0

в) (х – 7)2 – 4(х – 7) – 45 = 0

г) х4— 5х2 + 4 = 0

  1. Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) hello_html_47551050.gif + hello_html_m34ebe18d.gif = 1

б) х3 – 4х2 – 9х + 36 = 0

в) (х2 – х + 1)(х2 – х -7) = 65

г) х+ 9х+ 8 = 0

Дополнительное задание

Дополнительное задание

Найди координаты точек пересечения функции у = х2 – 26х + 25 с осью ОХ

Найди координаты точек пересечения функции у = 12 – 23х – 9х2 с осями координат

— Закончили выполнение задания, поменяйтесь с учащимися с тем же вариантом и проверим друг у друга решения, сверяясь с ответами на доске. (10 слайд)

1 уровень

2 уровень

Основная часть

Основная часть

  1. Реши уравнения

а) х = 0

б) х= 0, х= 3

в) х= 16, х= 2

г) х= 2, х= -2, х= 1, х= -1

  1. Найди все корни уравнения или докажи, что их нет

а) х = hello_html_m62d81c19.gif

б) х= 4, х= -3, х= 3

в) х= 4, х= -3

г) корней нет

Дополнительное задание

Дополнительное задание

Функция у = х2 – 26х + 25 пересекается с осью ОХ в точках с координатами (25;0) и (1;0)

Функция у = 12 – 23х – 9х2 пересекается с осью ОУ в точке с координатами (0;12)

с осью ОХ в точках с координатами (hello_html_m62d81c19.gif; о) и (-3; 0)

infourok.ru

Урок математики по теме «Решение целых уравнений». 9-й класс

Цели:

  1. Изучить и систематизировать знания учащихся о рациональных способах решения целых уравнений.
  2. Развивать умение применять полученные знания на практике: умение делать выводы; умение работать в должном темпе; умение осуществлять самоконтроль.
  3. Воспитание положительной мотивации к обучению.

Ход урока

І. Организационный момент.

Вступительное слово учителя

У каждого человека три характера: тот, который ему приписывают; тот, который он сам себе приписывает, и, наконец тот, который есть на самом деле.
В. Гюго

– Человек становится человеком, личностью только среди людей, с их помощью осознавая самого себя, окружающий мир, свои возможности, с их помощью овладевают речью.

Мать, окружающие люди учат его говорить, знакомят с различными предметами, их значением. В общении с членами семьи, близкими, сверстниками, затем в школе и, наконец, самостоятельно с помощью книг человек познает мир, овладевает опытом, накопленным предшествующими поколениями.

Надпись над Дельфийском храме гласит: «Познай самого себя». Именно с познания самого себя начинается определение цели жизни. Человеку нужно знать: каков он? кто он? знает ли он себя?

Давайте на сегодняшнем уроке докажем, что каждый из нас человек с большой буквы.

ІІ. Устная работа.

1. Определите, сколько корней имеет уравнение(работа в парах):

а) 4х + 8 = 0;
б) х2 – 46 = 0;
в) х5 + 8 = 0;
г) х6 + 7 = 0;
д) 3х + 6 = 9 + 3х;
е) х2 + 2х + 1 = 0;
ж) х2 + х + 10 = 0;
з) 1 – 4х = 1 – 4х.

2 . Какие из следующих чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения (работа в группах):

а) х3 – 4х = 0;
б) х2 (х + 1) + (х + 4) = 4;
в) х4 – 5х2 + 4 = 0?

ІІІ. Изучение нового материала.

Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:

Метод разложения на множители
Пример:
х5
– 9х3 = 0;
х3 (х2 – 9) = 0;
Метод введения новой переменной
Пример:
9х4 – 10х2 + 1 = 0.
Пусть х2 = а, тогда
9а2 – 10а + 1 = 0;
х3 = 0;
х
= 0.
или х2 – 9 = 0;
х2
= 9;
х = ± 3.
а1 = 1;
х2 = 1;
х
= ± 1.
и а2 = 1/9;
х2
= 1/9;
х = ±1/3.
Ответ: –3; 0; 3. О т в е т: ± 1, ±1/3

ІV. Обобщение и закрепление изученного материала.

А) Работа в тетрадях, 2 ученика решают у доски:

  1. 2 – 9)2 – 8(а2 – 9) + 7= 0
  2. 2+2х+3)2 – 2(х2+2х+3) =3

Б) Решение уравнений совместно с учителем:

1)

х4 – 25х2 + 60х – 36 = 0.
х4 – (25х2 – 60х + 36) = 0;
х4 – (5х – 6)2 = 0;
(х2 – 5х + 6) (х2 + 5х – 6) = 0;

х2 – 5х + 6 = 0; или
х
1 = 2, х2 = 3
х2 + 5х – 6 = 0;
х
1 = 1, х2 = –6

Ответ: –6; 1; 2; 3.

2)

(2х2х + 1)2 + 6х = 1 + 9х2.
(2х2х + 1)2 – (9х2 – 6х + 1) = 0;
(2х2х + 1)2 – (3х – 1)2 = 0;
(2х2х + 1 – 3х + 1) (2х2х + 1 + 3х – 1) = 0;
(2х2 – 4х + 2) (2х2 + 2х) = 0;

х2 – 2х + 1 = 0; или
(х – 1)2 = 0;
х = 1.
2х2 + 2х = 0;
2х (х + 1) = 0;
х = 0 или х = –1.

Ответ: –1; 0; 1.

3) (х2 – 4) (х2 + 2х – 3) = 60.

Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители.

(х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 3) = 60.

Найдем произведение крайних и средних множителей:

(х2 + х – 6) (х2 + х – 2) = 60.
х2 + х – 6 = а.
а (а + 4) = 60;
а2 + 4а – 60 = 0;
а1 = –10, а2 = 6.

1) х2 + х – 6 = –10; или
х2 + х + 4 = 0;
D = 1 – 16 = –15.
Корней нет.
2 )х2 + х – 6 = 6;
х2 + х – 12 = 0;
х1 = –4, х2 = 3.

Ответ: –4; 3.

V. Проверка знаний учащихся. Игра «Слалом».

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. х4 + 7х2 – 44 = 0;
  6. х3 – 4х2 – 9х + 36 = 0;
  7. (х2х + 1) (х2х – 7) = 65;
  8. х5 + х4 – 6х3 – 6х2 + 5х + 5 = 0.
  9. (2х2 + 3)2 – 12 (2х2 + 3) + 11 = 0.

VІ. Итог урока. Выставление оценок.

Стремление познать себя, сформировать свой характер, развивать способности и волю на благо людей– всё это необходимо для полноценной жизни. У человека есть рефлекс к преодолению преград. Так будем развивать этот рефлекс у себя.

urok.1sept.ru

«Целые уравнения» 9 класс

9 класс

Глава II. §5 п. 12. Урок 1

Тема: Целое уравнение и его корни.

Цель: 1. Ввести понятие целого уравнения, степени уравнения, корней уравнения.

2. Закрепить навыки решения уравнения первой и второй степени, формировать навыки решения уравнений степени выше второй.

3. Воспитывать логическое мышление, формировать культуру математической речи.

План и ход урока

1.

1. Разложите на множители квадратный трехчлен.

а) х2 – 2х – 63; б) 5х2 – 30х + 35; в)17 х2 – 425.

Вариант 2

1. Разложите на множители квадратный трехчлен.

а) х2 + х – 72; б) 3х2 – 12х + 3; в)12 х2 – 588.

2. Сократите дробь.

hello_html_2f517c00.gif

2. Сократите дробь.

hello_html_m35177c29.gif

  1. Объяснение нового материала.

а) Ввести понятие целого уравнения (слайд 3;4)

hello_html_m3a397611.gif

hello_html_m51b3dea3.gif

целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

б)Раскроите скобки и приведите подобные слагаемые. hello_html_m3a397611.gif

получим hello_html_m29a23160.gif

Выполним аналогичные преобразования. hello_html_m51b3dea3.gif

Получим. hello_html_680fc8d8.gif. ( слайд 5;6)

в) Ввести понятия степени уравнения:

Если уравнение с одной переменной записано в виде Р) =0, где Р) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

г) Устно № 265

д) Рассмотреть уравнения.

hello_html_m10d1ee25.gif

И решить вопрос корней уравнений. Способы решения.

е) №266- 4 человека у доски.

ж) №272- решить вместе с классом.

Итоги урока.

Домашнее задание п12. № 267; 273а.б.в.

infourok.ru

Системы уравнений. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

Вход ЯКласс лого Вход Регистрация Начало Начало Поиск по сайту Поиск по сайту ТОПы ТОПы Учебные заведения Учебные заведения Предметы Предметы Проверочные работы Проверочные работы Обновления Обновления Новости Новости Переменка Переменка Отправить отзывОтправить отзыв ЯКласс лого
  • Предметы
  • Алгебра
  • 9 класс
  1. Основные понятия

  2. Методы решения систем уравнений

  3. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2019 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

www.yaklass.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск