Случаи систем уравнений с тремя неизвестными
67. Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:
3x + 4y + 5z = 17
2x + 3y + 4z = 15
5x + 7y + 9z = 32
Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5x = 3x + 2x, 7y = 4y + 3y; 9z = 5z + 4z; 32 = 17 + 15), и само собою понятно, что если
3x + 4y + 5z должно равняться 17,
2x + 3y + 4z должно равняться 15,
то (3x + 4y + 5z) + (2x + 3y + 4z) должно равняться 32.
Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения с 3 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.
Можно составлять такие системы и более сложным путем. Возьмем два уравнения:
x – 2y + 3z = 7
2x + y – z = 5
Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или вычтем) по частям полученные уравнения. Умножим обе части 1-го уравнения, например, на 3 и обе части второго на (–2) и полученные уравнения сложим. Тогда получим уравнения:
–x – 8y + 11z = 11.
Это уравнение является следствием двух первых и поэтому все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно много решений.
Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложением по частям исключим x; 2) из 2-го и 3-го, умножив предварительно третье на 2, также исключим x:
Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравнений на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же уравнение, а именно:
–5y + 7z = 9.
Это обстоятельство и является признаком того, что наша система имеет бесконечно много решений.
Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 3-го уравнений определим x и y через z; 2) подставим полученные выражения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевидное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или –11 = –11 и т. п.
В самом деле:
то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться 17 + 15 или 32, но не может равняться 33.
Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычитанием) полученных уравнений, причем известный член должно как-либо изменить. Например, если первое из взятых уравнений умножим на 2 (получим: 6x + 8y + 10z = 34), второе на 3 (получим: 6x + 9y + 12z = 45), сложим полученные уравнения по частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо получающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение
12x + 17y + 22z = 100
не совместимо с первыми двумя.
Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых уравнений, то пришел к результату явно нелепому, например:
0 = 5 или 7 = 11 или –5 = +5 и т. п.
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
| Результат решения диофантового уравнения с тремя неизвестными |
| Целочисленные корни такого уравнения следующие |
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать линейное диофантово уравнение с двумя переменными, возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги.
Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными.
Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть 🙂
Обновление от 11 декабря 2019 года: Расчет общего решения системы из двух диофантовых уравнений.Просьба оценить.
Обновление от 17 сентября 2019 года: Есть калькулятор который высчитывает частное решение линейного диофантового уравнения с любым количеством неизвестных. Просьба оценить и если есть замечания написать.
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид
где целые числа
Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так
Подставим наше общее решение в уравнение
получим
Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим
Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d
Значит, от t ( она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит
Логично предположить что и от z оно не зависит а значит
а вот от постоянных значений A3 и B3 оно зависит напрямую , то есть
Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными, которые решать мы можем легко и непринужденно.
Попробуем решить?
В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение
Первое уравнение будет вот такое
корни его
Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. ( Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет.
тогда
Решаем второе уравнение
и его корни
здесь пусть k=0 ( так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях)
получим
И последнее третье уравнение
Корни тут такие
то есть
Подставим теперь все найденные значения в общий вид
получим
Вот и все!
Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел.
Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
| Результат решения диофантового уравнения с тремя неизвестными |
| Целочисленные корни такого уравнения следующие |
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение
Как пример
При попытке решить уравнение
в нашем случае
мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное.
Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так
и получаем ответ
| Целочисленные корни такого уравнения следующие |
Дополнение от 23 ноября 2015 года
Зашел спор как решать уравнение подобное этому
Мол, позволяет ли методика которая была описана выше определить существует ли целочисленные решения этому уравнению?
Я не могу доказать, но предполагаю, что если при всех циклических перестановках слагаемых как это было показано на примере уравнения у нас получаются нерешаемые линейные уравнения, то такое уравнение нерешаемое.
В нашем примере так и получается что при любых переставновках, в левой части линейного уравнения всегда(!) будут НЕ взаимно простые числа, и НОД их не является делителем числа в правой части уравнения ( =8 )
Таким образом утверждается что такое диофантовое уравнение нерешаемое в целых числах, но зато оно решается в случае рациональных дробей
при любых значениях z и t уравнение будет верным
По горячим следам, окончательное дополнение от 23 нобяря 2015
Все таки я ошибся в последнем примере… решаемое оно
Так что вышеописанная методика и бот, применим ТОЛЬКО для тех случаев, когда хотя бы одна пара слагаемых из левой части являются взаимно простыми числами.
Если конечно не воспользуетесь новым калькулятором который лишен, всех этих недостатков
Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными
Удачных расчетов!!
- Дробно-рациональная функция. Разложение на простейшие >>
Решение уравнений с тремя неизвестными онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Уравнения с тремя неизвестными частое явление в математике. Способов решений данного рода уравнений довольно много и в большинстве случаев львиная их часть дополняется еще 2 уравнениями/условиями. Выбор способа решения напрямую зависит от конкретного уравнения.
Если в вашей системе имеются только 2 неизвестные из 3, то, скорее всего удобным решением данной системы будет выражение одних переменных через другие с их подстановкой в уравнение с 3 неизвестными. Все это делается для того, чтобы преобразовать его в обычное уравнение только с 1 неизвестной, решение которого даст число, которое можно будет подставить на место неизвестного и получить конечный результат по всем остальным неизвестным.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с 4 неизвестными онлайн решателем»
Существуют системы уравнений, решаемых вычитанием из одного уравнения другого. Это возможно в том случае, если есть возможность умножения одного из выражений на переменную/значение, позволяющее при вычитании сократить несколько неизвестных. Однако стоит помнить, что при умножении и вычитании на число нужно выполнять действия с обеими частями выражения.
Где решить уравнение с 3 неизвестными онлайн?
Решить уравнение с тремя неизвестным онлайн решателем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
Система 3 уравнений с 3 неизвестными как решить?
Дальше не бред, а можно решить методом сложения (умножить 1 уравнение на -19, а второе на 5 и сложить, останется одна переменная зет, ее найдешь, затем найдешь у, затем х. Учись сразу решать методом исключения переменных (метод Гаусса) . Сначала исключаем переменную х. Первое уравнение переписываешь ( за первое лучше взять второе х+3у-зет=1). Затем умножаешь его на -2 и складываешь со вторым (чтобы переменная х ушла) , записываешь. Вместо третьего уравнения тоже записываешь сумму (первое умножаешь на -7 и складываешь с третьим) . Затем первое и второе уравнения переписываешь, а вместо третьего записываешь сумму (второе умножаешь на -19, третье на 5 и складываешь, чтобы переменная у ушла) . В третьем уравнении остается одна переменная зет, ее находишь. Затем ее значение подставляешь во второе уравнение и находишь у. Затем значения зет и у подставляешь в первое уравнение и находишь х. Таким методом можно решать системы не только трех уравнений, но и больше.
Не просто сложения, а алгебраического сложения!
Математика… японская… 😀