Виды ошибок в математике – Методическая разработка по алгебре по теме: Ошибки учащихся при изучении математики, их предупреждение и объяснение

Доклад"Деятельность учителя математики по предупреждению ошибок"

Деятельность учителя математики по предупреждению ошибок

В ходе обучения математике популярная поговорка «умные люди учатся на чужих ошибках» практически не работает, так как ошибка в большинстве случаев является необходимой и полезной, ведь она позволяет определить пробелы в знаниях школьника и своевременно их устранить. Главное – правильно относится к ошибке и правильно ее использовать.

Любому учителю обидно видеть в работах учеников ошибки, которые вызваны невнимательностью, пропусками переменных, случайными потерями знаков, скобок и так далее.

Для того чтобы снизить вероятность ошибок, необходимо использовать различные методики предупреждения типичных ошибок, что будет в итоге способствовать повышению уровня математической подготовки школьников.

Ошибка – результат неправильного (ошибочного) действия.

В свою очередь, ошибочное действие – это действие, которое не достигло своей цели.

Ошибочные действия различают по нескольким критериям:

  • по степени выраженности, то есть определяется величина отклонения от принятой нормы;
  • по причинам, которые привели к ошибкам;
  • по степени грубости. Важное значение имеет то, на каком этапе обучения совершаются ошибочные действия;
  • степень повторяемости;
  • наличие связи с другими ошибочными действиями, что в итоге перетекает в синдром неуспеваемости.

Под сущностью ошибки принято понимать определенное объективное условие, правило или требование, которое было нарушено или обучающийся его не выполнил.

Причина появления ошибки – это уже субъективные ситуации, процессы либо состояния, которые свойственны интеллектуальной области человека, приведшие к несоблюдению или нарушению правил.

С точки зрения психологического анализа математических ошибок требуется выявить механизм появления конкретной ошибки в рамках конкретной психологической системы усвоения знаний. При анализе ошибки осуществляется ее демонстрация, то есть происходит выявление ее математической сущности, а также указание наиболее вероятных причин ее появления.

Необходимо учитывать, что все ошибки характеризуются содержанием и причиной появления. При этом содержание находится на поверхности явления, а причину следует искать более глубоко.

Ошибки разделяются на два основных вида:

  • случайные ошибки – появляются однократно и встречаются только у нескольких человек в классе;
  • систематические (устойчивые) ошибки – ошибки, которые возникают постоянно у одного и того же или нескольких обучающихся, или же те ошибки, которые возникают однократно, но у значительного количества обучающихся.

В соответствии с подходами современной дидактики работа над ошибками должна производиться в обязательном порядке. При этом над случайными ошибками проводится индивидуальная работа, а над систематическими – фронтальная.

Работа над ошибками – это организация работы учеников, направленная на анализ и исправление допущенных недочетов.

Основной целью работы над ошибками является разбор, анализ и проработка ошибок и неточностей, допущенных при выполнении задания.

Правильно организованная работа:

  • обеспечивает дифференцированный подход к обучению;
  • является профилактикой будущих ошибок;
  • позволяет своевременно ликвидировать пробелы в знаниях и навыках детей;
  • формирует умение систематизировать и обобщать, закреплять полученные знания.

Грамотный, творческий подход учителя к организации работы над ошибками создает условия для развития адекватного отношения обучающегося к своим ошибкам, умение работать с ними.

Можно говорить о том, что, после проведения работы над ошибками итоговая оценка отражает действительный уровень усвоения знаний и умений обучающихся. Существует практика, когда некоторые учителя практикуют выставление оценок за каждую проведенную работу. При этом часто бывает, что после работы над ошибками, отметка за проверяемую работу повышается (как правило, на один бал).

Обычно работа над ошибками проводится в классе, под руководством учителя, но может проводиться и дома, возможно, под контролем родителей.

Если учитель считает возможным дать выполнение работы над ошибками в качестве домашнего задания, он должен убедиться, что все обучающиеся знают и помнят основной алгоритм действий по выполнению работы. Целесообразно, каждому ребенку выдать памятку с порядком выполнения действий. Кроме этого, необходимо предварительно на уроке провести общий анализ допущенных ошибок.

В классе, работу над ошибками проводят, как правило, после контрольных, самостоятельных или творческих работ. Работе над ошибками может быть посвящен как весь урок, так и его часть. Это зависит от характера и количества видов ошибок, от уровня самостоятельности обучающихся и т.п.

При работе на уроке выделяют несколько основных этапов

:

  • консультация;
  • коррекция знаний и умений;
  • диагностика результатов;
  • оценочная деятельность.

По усмотрению учителя возможны: фронтальная, групповая, индивидуальная работа.

Рассмотрим несколько вариантов проведения работы над ошибками.

В начале урока, после проведения общего анализа проверенной работы, учитель просит поднять руку тех обучающихся, которые допустили ошибки при выполнении задания.

К доске приглашается один из обучающихся, который будет выполнять и комментировать аналогичное задание у доски. Обучающийся определяется либо по его желанию, либо по решению учителя.  Остальные ученики выполняют работу у себя в тетрадях. Затем все самостоятельно решают задание проверочной работы.

Таким образом, дети «прорешивая» аналогичное задание, прорабатывают ошибки, допущенные не только ими самими, но и остальными обучающимися. Такой подход целесообразен, когда в данном задании большинство учеников допустили ошибку.

Следующая форма работы используется, когда один или несколько обучающихся допустили ошибки в задании, которое большинство обучающихся выполнили правильно. При данной форме организации урока один обучающийся выполняет работу над своими ошибками у доски, остальные обучающиеся исправляют свои недочеты в тетрадях или выполняют индивидуальные задания.

С одной стороны, этот метод позволяет экономить время, затрачиваемое на данную деятельность, с другой — учитель не может контролировать деятельность других детей. Для исправления возникшей ситуации нужно обеспечить каждому обучающемуся возможность обратиться к учителю за помощью, за консультацией.

Бывают ситуации, когда часть обучающихся выполнила проверочную работу на «отлично», т.е. возникает необходимость организовать деятельность этих обучающихся и одновременно организовать выполнение работы над ошибками остальными школьниками.

В этом случае, есть несколько вариантов организации работы на уроке.

Во-первых, «отличникам» можно предложить выполнение индивидуальных заданий повышенного или углубленного уровней, творческие задания, работу по подготовке, например, информационного сообщения к следующему уроку. С остальными обучающимися проводится работа над ошибками.

Во-вторых, обучающихся, показавших высокий уровень усвоения учебного материала, можно привлечь к консультированию других детей. В этом случае возможна организация групповой и (или) парной работы.

Имеют место случаи, когда педагог, в целях экономии времени, выделяет только типичные ошибки, допущенные обучающимися при выполнении проверочной работы, и на уроке проводит работу только с таким видом ошибок. В этом случае работа организовывается фронтально, анализ и исправление типичных ошибок и недочетов выполняет весь класс вместе. При этом у доски работают обучающиеся по желанию, по очереди или по решению учителя, в зависимости от того, кто какие ошибки допустил.

Для того чтобы школьник сознательно усвоил знания, самим обучающимся должен производиться глубокий анализ содержания каждой допущенной им ошибки, а также поиск причин ее появления. В таком случае совершенная ошибка пойдет обучающемуся только на пользу, ведь она будет своего рода сигналом для педагога о том, что не понимает обучающийся. Однако учитель должен правильно понять ход мыслей обучающегося, который привел его к совершению данной ошибки. Поэтому каждая ошибка должна использоваться для глубокого и более детального понимания правил, теорем или понятий.

В то же время необходимо в каждой ошибке различать ее содержание и причину появления. В содержание ошибки включается то, что объективно является неверным или неадекватно выполнено. Причиной же ошибки является какое-то обстоятельство либо совокупность обстоятельств, которые привели к неправильному выполнению обучающимся каких-то действий.

И если содержание ошибки несложно определить по внешним признакам (некорректно выполнено определенное действие, неправильное произношение или написание и т.д.), то причина ошибки внешне себя никак не выдает. Поэтому основной задачей учителя является выявление глубинных причин появления ошибки, в противном случае ему не удастся грамотно выстроить работу по ликвидации данной ошибки и профилактике последующих возможных ошибок.

Алгоритм действий по выполнению работы над ошибками

Алгоритм действий по проведению работы над ошибками определяется учителем самостоятельно, исходя из особенностей класса, общего уровня обученности и т.д.

Например, алгоритм действий обучающегося может выглядеть следующим образом:

1)         просмотреть всю работу, обратить внимание на исправления учителя;

2)         найти ошибку, выписать задание, в котором она допущена, проанализировать причину ее возникновения:

  • ошибка в вычислении – перерешать;
  • ошибка в применении формулы (правила, закона) - вспомнить нужную формулу (правило, закон) по данной теме, применить при решении;
  • ошибка в построении рисунка – повторить материал в учебнике и выполнить рисунок правильно;

3)         решить аналогичное задание.

В практике работы некоторых учителей встречается использование памятки

, в которой пронумерованы и записаны основные группы ошибок.

Памятка заранее изготавливается педагогом, тиражируется и по одному экземпляру раздается каждому обучающемуся. Памятки могут быть индивидуальными. Работа с памятками выполняется под контролем педагога.

Если учитель планирует проводить работу над ошибками, с использованием памяток, то при проверке работы на полях тетради, напротив задания, в котором допущена ошибка, ставится номер соответствующего задания в памятке. Это не только облегчает работу обучающихся, но и совершенствует систему обучения. Обучающийся неоднократно обращается к данной памятке, что способствует лучшему запоминанию учебного материала.

В конце работы над ошибками необходимо провести проверку. Существует несколько форм ее организации.

  • самопроверка;
  • парная работа;
  • групповая работа, когда «сильные» обучающиеся выступают в роли консультантов;
  • фронтальная работа со всем классом.

Во всех случаях, необходимо обеспечить возможность каждому обучающемуся консультирование и помощь учителя.

В конце работы над ошибками, как и в конце любого урока, необходимо провести рефлексию. Дети анализируют свои ошибки, отмечают, как изменились собственные умения, отмечают моменты, которые остались непонятыми, говорят о том, что вызвало трудности и высказывают свои предложения.

Следует отметить, что проведение работы над ошибками является обязательным и систематическим действием после каждой контрольной и проверочной работы. При этом необходимо обращать внимание и прорабатывать все ошибки, допущенные обучающимися, тщательно проводить отбор задач и примеров для отработки знаний и умений, для закрепления пройденного материала.

Большая часть ошибок, допускаемых обучающимися, не связана с отсутствием или наличием знаний, хотя, конечно, доведение до уровня автоматизма ряда вычислительных операций позволяет существенно снизить вероятность появления ошибок. Однако при этом необходимо, чтобы ученик все равно руководствовался нужными правилами и постоянно сохранял концентрацию внимания.

Знание определенных правил нужно и для того, чтобы обучающийся мог проверить правильность решения и дать его обоснование. В тоже время многие школьники воспринимают алгебру в качестве набора правил, которые абсолютно не связаны между собой, поэтому они заучиваются исключительно для решения какой-то конкретной задачи, а по истечению незначительного промежутка времени просто забываются. В этой связи требуется организовывать процесс обучения правилам с использованием приемов, которые активизируют рефлексивную деятельность школьников по предупреждению и исправлению ошибок, возникающих при формальном усвоении правил.

Если процесс поиска и исправления ошибок сделать максимально поучительным для обучающихся, то анализ ошибок может стать эффективным средством для развития познавательного интереса к математике.

Наиболее распространенными ошибками являются:

  • незнание или непонимание правил, формул и определений;
  • неправильное применение формул или неумение правильно применять определения и правила;
  • совершение вычислительных ошибок;
  • невнимательное чтение условия задачи;
  • отказ от использования свойств фигур при решении геометрических задач;
  • неправильное раскрытие скобок;
  • совершение логических ошибок при решении текстовых задач;
  • применение формул сокращенного умножения.

К основным причинам совершения ошибок по математике относят:

  • пропуски уроков, в результате чего появляются пробелы в знаниях;
  • поверхностное изучение нового материала;
  • повышенная усталость, вызванная чрезмерной нагрузкой или недостаточным сном, в результате чего понижается скорость мышления и снижается уровень внимания;
  • неаккуратный почерк, из-за чего учитель часто не понимает, что написал обучающийся;
  • скорость работы. При этом на появление ошибок влияет как высокая скорость работы, из-за которой ученик просто не стремится вникнуть в суть задания, так и медленная. В этом случае замедленная скорость мыслительных операций не позволяет ученику в полной мере контролировать себя, а из-за «зависания» нужная информация просто удаляется из «оперативной памяти»;
  • полное либо кратковременное переключение внимания с одной деятельности на другую;
  • низкая мотивация, в результате которой теряется внимание, появляются ошибки.

С точки зрения психологии действия учителя при выявлении ошибки, которые проявляются в снижении оценки, являются абсолютно неверными. Ведь это не ведет к ее исправлению, а у ребенка формируется чувство досады и неуверенности в своих силах. В результате обучающиеся продолжают совершать одни и те же ошибки.

Как ни парадоксально звучит следующий тезис, но для того чтобы перестать совершать ошибки, необходимо делать ошибки, находить их и исправлять, ведь «неубитая» ошибка в ходе самостоятельной работы, неизбежно «убивает» обучающегося во время контрольной или на экзамене.

Еще один нюанс, который обязательно следует учитывать учителю, заключается в том, что обучающийся перестает делать ошибки в случаях, когда ответственность за их совершение лежит исключительно на самом школьнике. Поэтому, когда обучающийся на уроке задает, например, такой вопрос: «А можно здесь возвести в квадрат?», – то он старается разделить ответственность за возможную ошибку с учителем. Учитель в таких случаях должен правильно реагировать и говорить, что решение должно приниматься исключительно самим обучающимся. Такой подход позволяет почувствовать школьнику ответственность за свои действия и понять, что только он сам может помочь себе при решении различных задач. Здесь работает тезис о том, что кто не ошибается, тот не учится.

Таким образом, ошибка является полезной, главное – правильно к ней относиться, эффективно и грамотно ее использовать.

 

mega-talant.com

Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе

Ошибки учителя на уроке математики

Этап «Самоопределение к деятельности»

1. Нечеткость в постановке целей и задач урока.

    Формулируйте цели и задачи в деятельностной форме, например: «Сформировать умение делить двузначные числа на однозначные с остатком». Всегда знакомьте детей с планом урока: зная точно, какие будут темы и какие задания ждут в конце занятия, ученики лучше усваивают материал.

    2. Нечеткость в формулировке метапредметных и личностных результатов обучения на этапах урока.

      Также формулируйте их для ребят в деятельностной форме: «Ставить цели», «Классифицировать числа», «Проявлять интерес».

      3. Затянутое начало урока.

        Отводите не больше 5 минут на игровое мотивационное задание, если такое есть. Не ждите всех учеников — достаточно получить ответ от самых активных ребят. Также не тратьте слишком много драгоценного времени на обсуждение девиза урока.

        Этап «Актуализация опорных знаний»

        4. Нелогичная актуализация знаний: задания из разных разделов математики.

          В начале урока выполняйте с ребятами только те задания, которые связаны с новой темой. Актуализация нужна для того, чтобы вспомнить базовые понятия, на которые будут опираться новые знания.

          Этап «Постановка учебной задачи»

          Математика. 4 класс. Рабочая тетрадь №1

          Тетрадь предназначена для работы во 4 классе по учебнику "Математика" (авт. М.И. Башмаков, М.Г. Нефёдова) в течение 1-го полугодия. Задания разбиты на блоки, соответствующие разделам и темам учебника. Тетрадь содержит задания на отработку навыка устных вычислений (в том числе с многозначными числами), формирование умения прогнозировать результат вычислений, моделировать задачи на движение. Проектные задания нацелены на формирование познавательной инициативы учащихся и универсальных учебных действий: моделирование реальной ситуации, планирование деятельности, распределение ролей при выполнении сложной работы, применение заданий в нестандартной ситуации.

          Купить 5. Отсутствие постановки проблемы или, наоборот, затянутость этого этапа.

            Обязательно обсудите с детьми учебную задачу, но — быстро, с использованием наводящих вопросов. Не стоит предлагать ребятам сформулировать проблему на листочках: это сложно для детей и, тем более, для учеников начальной школы.

            Этап «Изучение нового материала»

            6. Работа исключительно на аудиалов.

              Если учитель объясняет все устно (дает много занимательной наглядности, но мало учебной наглядности) — дети-визуалы и ребята с другими типами восприятия плохо усваивают информацию. Дублируйте все важное на доске, примеры решений прописывайте развернуто.

              7. Отсутствие совместной работы.

                Педагоги часто берут всю инициативу в свои руки, из-за чего ученики не производят собственный анализ. Подключайте детей к проговариванию нового материала. Если на доске представлен новый пример по теме, которая частично знакома детям, пусть ученики попробуют сами объяснить то, что видят.

                Этап «Первичное закрепление»

                8. Недостаточное внимание к алгоритму решения.

                  Часто алгоритм дается условно, проговаривается вскользь. Но алгоритм — это основа решения, порядок действий для достижения результата. Сформулируйте каждый шаг, зафиксируйте шаги на доске, проработайте их. Когда ученики выполняют задания по новой теме, лучше оставить алгоритм на доске.

                  9. Обилие фронтальной работы.

                    Так создается ошибочное впечатление, что все дети одинаково включены в рабочий процесс. Не пренебрегайте работой в тетрадях — она помогает определить эффективность урока, сократить домашнее задание, продемонстрировать родителям успехи и сложности в учебе ребенка.

                    Этап «Контроль и самоконтроль»

                    Математика. 3 класс. Рабочая тетрадь №1

                    Тетрадь предназначена для работы в 3 классе по учебнику "Математика" (авт. М.И. Башмаков, М.Г. Нефёдова) в 1-м полугодии. Задания разбиты на блоки, соответствующие разделам и темам учебника. Рабочие тетради построены в соответствии с учебником. Тетрадь содержит задания на повторение (вычисления в пределах 100, задачи на все арифметические действия), на отработку разрядного состава трёхзначных чисел, устных вычислений в пределах 1000 (умножение и дееление двузначного числа на однозначное, умножение и деление круглых чисел), письменных алгоритмов сложения и вычитания в пределах 1000. Рассматриваются новые типы текстовых задач: задачи на кратное сравнение, задачи с инверсией условия "это на (в) больше (меньше), чем...", задачи на определение длины пути, скорости, времени движения и другие. Приводятся тестовые задания с выбором ответа по основным учебным темам.

                    Купить 10. Разные задания при групповой работе.

                      Выдав группам разные задачи, после вы можете потратить слишком много времени на разбор решений. Лучше дать всем группам одну и ту же задачу по теме, и выделить больше времени на обсуждение ее решения.

                      Этап «Рефлексия деятельности и домашнее задание»

                      11. Затянутость рефлексии или, наоборот, отсутствие этого этапа.

                        Для быстрого подведения итогов вы можете предложить ученикам, например, листы самооценки.

                        12. Демонстрация двоечников.

                          После того как дети провели самооценку, предложите поднять руки только тем, кто получил «пять» и «четыре». Попросить двоечников показать себя классу — значит создать в конце урока некомфортную обстановку.

                          Дополнительно

                          13. Отсутствие описания при публикации открытого урока.

                            Выкладывая запись открытого урока в интернет, укажите ФИО, город, номер школы, класс, тему урока, учебник — это интересно вашим коллегам.

                            Учителю на вооружение

                            Издания корпорации «Российский учебник» составлены таким образом, чтобы помочь учителям избежать ошибок в преподавании математики и сделать каждый урок максимально продуктивным. Вы можете взять на вооружение некоторые пособия бесплатно прямо сейчас:

                            Математика. 1 класс. Рабочая тетрадь №1

                            Тетрадь предназначена для работы по учебнику "Математика. 1 класс" (авт. М.И. Башмаков, М.Г. Нефёдова). Каждому уроку (развороту учебника, часть 1) соответствует страница тетради. Пособие содержит дополнительные задания на развитие мелкой моторики, прописи цифр, задания общеращзвивающего характера, а также задания, направленные на отработку вычислений в пределах десятка. Использование тетради заменяет обычную тетрадь, чистые строчки предназначены для выполнения заданий из учебника. В тетради есть ссылки на соответствующие задания из учебника.

                            Купить

                            rosuchebnik.ru

                            Классификация ошибок, влияющих на снижение оценки

                            При проверке математических знаний следует различать грубые и негрубые ошибки.

                            К грубым ошибкам относятся:

                            -Вычислительные ошибки в заданиях;

                            -Ошибки в определении порядка выполнения арифметических действий;

                            -Неправильное решение задачи (пропуск действий (действия)), неправильный подбор действий (действия), лишние действия;

                            -Незаконченное решения задачи или примера;

                            -Невыполненное задание (не приступил к его выполнению) ;

                            -Незнание или неправильное применение свойств, правил, алгоритмов, существующих зависимостей, которые лежат в основе задач или используются в ходе их выполнения;

                            -Несоответствие пояснительного текста, задания, названия величин выполненным действиям и полученным результатам;

                            -Несоответствие выполненных измерений и геометрических построений данным параметрам задачи.

                            Негрубыми ошибками являются:

                            -Нерациональные приемы вычисления, если ставились требования воспользоваться такими приёмами;

                            -Неправильное построение или постановка вопросов к действиям (действия) при решении задачи;

                            -Неправильное или неграмотное с точки зрения стилистики или по содержанию формулировки ответа задачи;

                            -Неправильное списывание данных (цифр, знаков) задачи с правильным ее решением;

                            -Не закончено (не доказано) до логического конца преобразования;

                            -Ошибки в записях математических терминов, символов;

                            -Отсутствие ответа в задании или ошибки в записи ответа.

                            Две негрубым ошибки считают одной грубой ошибки.

                            Опрятные исправления являются недостатками работы.

                            За грамматические ошибки, допущенные в работе, оценка по математике не снижается.

                            За неаккуратно оформленную работу оценка по математике может быть снижена на 1 балл, но не ниже «3», и не в контрольной работе.

                            Продолжительность выполнения проверочных письменных работ: во 2-м классе начальной школы: I семестр — до 20 мин, II семестр — до 30 мин, 3 — 4-й классы — до 35 мин. За это время ученикам нужно успеть не только полностью выполнить работу, но и проверить ее.

                            Работа, состоящая из примеров

                            Отметка Характеристика учебных достижений обучающихся
                            Ученикдопускает 4 и более грубых ошибок.
                            Ученикдопускает 2–3 грубые и 1–2 негрубые ошибки или 3 и более негрубых ошибки.
                            Ученикдопускает 1 грубую и 1–2 негрубыеошибки.
                            Ученик выполняет работубез ошибок.

                            Работа, состоящая из задач

                            Отметка Характеристика учебных достижений обучающихся
                            Ученикдопускает 2 и более грубых ошибки.
                            Ученикдопускает 1 грубую и 3–4 негрубыеошибки, правильно выполнено не менее 50% работы.
                            Ученикдопускает 1 грубую и 1–2 негрубыеошибки.
                            Ученик выполняет работубез ошибок.

                            Комбинированная работа (1 задача, примеры и задание другого вида)

                            Отметка Характеристика учебных достижений обучающихся
                            Ученикдопускает ошибки в ходе решения задачи и хотя быодна вычислительная ошибка или при решении задачи и примеров допущено более 5вычислительных ошибок.
                            Ученикдопускает ошибки в ходе решения задачи при правильном выполнении всехостальных заданий или допущены 3-4 вычислительные ошибки, при этом ходрешения задачи должен быть верным.
                            Ученикдопускает 1-2 вычислительные ошибки.
                            Ученик выполняет работубез ошибок и исправлений.

                            Контрольная работа диагностического характера

                            • Оценка 5 ставится за безошибочное выполнение всех заданий, допускается 1 негрубая ошибка и исправления. Уровень высокий: 90% -100%.
                            • Оценка 4 ставится, если ученик безошибочно выполнил не менее 3/4 заданий. Уровень выше среднего: 65%- 89%.
                            • Оценка3 ставится, если ученик правильно выполнил не менее 1/2 заданий. Уровень средний: 51% — 64%.
                            • Оценка 2 ставится: если ученик не справился с большинством заданий. Низкий уровень: менее 50 .

                            Егор Вышегородцев | Ошибки танцевальных пар, влияющие на судейскую оценку


                            csaa.ru

                            Репетитор по математике о «дурацких» ошибках — Колпаков Александр Николаевич

                            Обидно получать плохие оценки из-за ошибок «на ровном месте«. Глупые ошибки – проблема многих учеников: случайная потеря знака, скобки, необоснованное изменение чисел, пропуски переменных и всевозможные ляпы. Сами ученики эти ошибки называют «дурацкими» и часто не могут объяснить, чем они вызваны. В своей практике репетитор по математике частенько сталкивался с такими проблемами. Как же их решать? Отчего возникают «дурацкие» ошибки?

                            Большинство ошибок напрямую не связаны с наличием или отсутствием знаний, хотя доведение некоторых вычислительных операций до автоматизма несколько снижает вероятность их появления. Снижает, но не исключает.

                            Может ли на не вынужденные ошибки повлиять репетитор по математике? Вопрос очень сложный. Но отвечать на него приходится, ведь перед репетитором математики родители ставят задачу улучшения оценки, а она напрямую зависит от случайно пропущенного знака, исчезнувшего икса в уравнениях или в выражения. Как правило, репетитор ограничивается только тем, что просто предупреждает ученика. «Не допускай ляпов, пиши внимательнее, не отвлекайся», — стандартный набор просьб, не более того. В реальности они не спасают. Ученик и сам знает, что нужно решать внимательно, но ничего не может с собой поделать и мажет. Пропускает числа, скобки и т.д. Потеря знак – настоящий бич.

                            К сожалению, репетитору по математике недостаточно просто сказать: «не допускай глупых ошибок» Нужно учить ребенка, как минимум, их выявлять. Для этого как нельзя лучше подходят готовые решения задач, в которые сам репетитор по математике эти ошибки и закладывает. Практика показывает, что систематические проверки чужих записей формируют у ученика привычку критически относиться к своим и несколько улучшает ситуацию.

                            Для большего эффекта репетитор математике маскирует ошибку объемными записями. Важно предоставить для поиска достаточно времени и дождаться результатов самостоятельного поиска. Подсказывать не нужно. Как правило, систематические задания такого рода приносит репетитору по математике некоторое улучшение процента брака ученика, ибо привычка во всем искать ляпы прекрасно его организует.

                            Профилактика ошибок возможна только в тех ситуациях, в которых есть объективные предпосылки для их возникновения. Обычно репетитор по математике наблюдает их у целой группы учеников в одних и тех же ситуациях. Например, при сложении сложных обыкновенных дробей с разными знаками дети часто пропускают знак «-». Причина этого кроется обычно в плотном потоке обрабатываемой информации, в оформлении записей и высокой (для 5-классника) степени нагрузки на правила. Ребенку приходится выполнять сразу несколько задач: вспоминать алгоритм для сравнения дробей, для вычитания дробей с разными знаменателями, а затем с равными знаменателями, вспоминать правило, по которому занимают единицу у целой части. Сами дроби каждый раз переписываются, а ответ еще и сокращается. Естественно, что можно минус пропустить. Что должен предпринять репетитор по математике для борьбы с потерей знака? Нужно объяснить ученику, в каком порядке выводить записи. Во всех сложных преобразованиях сначала переписывается то, что при выполняемом преобразовании не поменяется. В нашем случае это поставленный знак. Думать над выполнением основной операции нужно в последнюю очередь. То есть сначала пишем знак «минус», затем открываем скобку и только тогда начинаем думать, что делать дальше. Если ребенок сразу возьмется за дроби, он может забыть про знак.

                            Прежде чем пытаться влиять на ошибки, нужно изучить наиболее популярные из них, а также понять причины тех или иных промахов у конкретного ученика.

                            Какие причины ошибок выделяет репетитор по математике?

                            1) Неряшливый, неаккуратный подчерк ученика.
                            Дети не всегда сами понимают, что именно они написали. Точка на проверку оказывается знаком «минус». Вот он и появляется. За подчерком надо следить. Чем младше ученик у репетитора математики, тем больше возможностей повлиять на аккуратность оформления.

                            2) Усталость.
                            Вряд ли стоит объяснять, что чрезмерная нагрузка приводит к снижению внимания, скорости мышления и, как следствие, к многочисленным ошибкам. Причем не только к «дурацким».

                            3) Ребенок не выспался.
                            Дети должны спать не менее 8-10 часов. Следите за этим временем. С сонным учеником невозможно работать.

                            4) Кратковременное или полное переключение внимания с одной деятельности на другую (учебную или внеучебную).
                            Если ребенок выполняет одновременно несколько операций, то вероятность промаха будет довольно значительной. Для снижения этого эффекта репетитору по математике можно посоветовать готовить задания, не предполагающие длинного оформления решения.

                            5) Скорость работы
                            Низкая скорость выполнения мыслительных операций часто мешает ученику контролировать себя и это может стать еще одной причиной ошибки. «Зависание» с какой-нибудь одной частью задания удаляет из «оперативной памяти» информацию о другой, в которой допускается не вынужденная ошибка. Скорость работы определяется физиологией конкретного школьника и навыками выполнения тех или иных операций. Поэтому для снижения вероятности возникновения «дурацкой» ошибки важно знать, проводится ли репетитором по математике развивающая работа с учеником.

                            Еще одна причина – низкая мотивация. Ее следствием будет потеря внимания и ошибка. Сложно советовать репетитору по математике что-то конкретное, так как каждый ученик приносит свой математический интерес к математике.

                            Все «дурацкие» ошибки можно условно делить на две группы:
                            1) Типичные ошибки, возникающие у разных школьников.
                            2) Уникальные ошибки.

                            Важно выявить постоянство. Если ошибка повторяется — можно говорить о ее системности и пробовать изменить эту систему. С повторениями репетитору по математике легче бороться, ибо они возникают по вполне определенным и понятным причинам. Например, если ученик переписывает буквенное выражение и при этом систематически пропускает какие-то его части, списывает с разных точек тетрадного листа, то репетитор по математике должен рекомендовать ему пропускать одну – две строки между записями и не разрывать преобразуемое буквенное выражение переносом с одной строки на другую... В прошлом году к одному моему знакомому репетитору математики пришел чрезмерно разговорчивый ученик, у которого дурацкие ошибки сыпались одна за другой. Я посоветовал репетитору запретить своему воспитаннику комментировать производимые им преобразования. Как только это вошло в правило занятий – проблема снялась.

                            Большая часть ошибок рождается в процессе переписывания математических записей. Как правило, одновременно с этими занятием ребенок совершает какую-либо мыслительную операцию. Его внимание сосредотачивается на формулах или ходе решения, поэтому он просто забывает переписать.

                            Некоторые из ошибок связаны с особенностями физиологии школьника, с его моторикой письма, речи и мышления. Как правило, физиологические проблемы снижают скорость обработки информации и мешают удержанию ее в голове в полном виде. Рассеянность – распространенная причина разных необъяснимых ляпов. Репетитором по математике эти ошибки чаще всего никак не предупреждаются. Можно только надеяться на возрастные изменения в его организме в будущем.

                            Александр Николаевич, репетитор по математике Москва — Строгино.

                            Метки: Ошибки

                            ankolpakov.ru

                            Типичные ошибки на уроках математики - мои выступления - Каталог статей

                                 Анализируя программу по математике в 5-ом классе, можно отметить, что важнейшими вычислительными умениями и навыками являются:

                             

                            - умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами;

                             

                            - выполнять основные действия с десятичными числами;

                             

                            - применять законы сложения и умножения к упрощению выражений;

                             

                            - использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3 и 9;

                             

                            - округлять числа до любого разряда;

                             

                            - определять порядок действий при вычислении значения выражения.

                             

                            Большое количество учащихся не владеют данными вычислительными навыками, допускают различные ошибки в вычислениях. Формирование вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из самых «трудоёмких» тем.

                             

                            Среди причин невысокой вычислительной культуры учащихся можно назвать:

                             

                            - низкий уровень мыслительной деятельности;

                            - отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;

                            - отсутствие надлежащего контроля за детьми при подготовке домашних заданий со стороны родителей;

                            - неразвитое внимание и память учащихся;

                            - недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной школы;

                            - отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.

                             

                            На уроках математики использую следующие приемы, направленные на преодоление причин возникновения ошибок: 1) игры, игровые моменты и занимательные задачи; 2) тесты «Проверь себя сам»; 3) математические диктанты; 4) творческие задания и конкурсы; 5) исследовательские работы.

                             

                            Часть приемов применяю при работе со всем классом, часть, направленная на развитие внимания, памяти и мышления, подбираю для группы учеников по результатам тестирования.

                             

                            В своей работе учителя придерживаюсь определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работу в классе на каждом уроке выполняю всем классом, а не группой успевающих учеников. То есть стараюсь создать такую ситуацию – ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса.

                             

                            В целях выполнения этой задачи на уроках математики часто используются игры.

                            Но в отличие от начальной школы назначение дидактических игр изменяется. Они начинают применяться для проверки полученных знаний посредством решения нестандартных задач в привлекательной, интересной для детей форме. При этом во время игры в группе главным действующим лицом на уроке становятся сами дети, а не учитель.

                             

                            Игра «Запомни числа». Цель игры: развитие внимания, памяти учащихся и коммунальных способностей.

                             

                            Условия игры. Учитель называет какое-либо число. Первый ученик повторяет это число и называет свое. Каждый следующий повторяет ранее названные числа и называет свое. Интерес игры в ее соревновательном характере: кто сможет запомнить больше чисел. Игра продолжается до первой ошибки.

                             

                            Эту игру можно использовать в самом начале урока, так как она помогает ученикам настроится на рабочий лад, создать хорошее настроение.

                             

                            Игра «Пропусти число». Цель игры: развитие внимания учащихся и оценка знаний, полученных на предыдущих уроках.

                             

                            Условия игры. Учитель предлагает учащимся по очереди называть вслух в порядке возрастания числа, начиная с 0,1, причем числа, содержащие 3 или кратные 3, следует пропускать. Ученик, назвавший запрещенное число, выбывает. Побеждает тот, кто остается последним.

                             

                            В данной игре условия можно менять, в зависимости от изучаемой темы, например, при счете пропускать простые числа или числа, кратные 5,10 и т. д. Эту игру хорошо использовать в начале урока вместо опроса.

                             

                            Игра «Исправляем ошибки». Цель игры: развитие критичности мышления, самоконтроля, внимания, умения обосновывать свою точку зрения.

                             

                            Условия игры. Все учащиеся класса делятся на несколько команд и жюри, в которое входит учитель и несколько учеников. Каждой команде выдают одни и те же задания с математическими выражениями и определениями, в которых допущены ошибки, с таким расчетом, чтобы число заданий было равно числу участников каждой из команд. Важно, чтобы при подготовке данной игры использовать картотеку типичных ошибок. Командам дается некоторое время для нахождения ошибки и подготовки к ответу. Та команда, которая первой успела подготовиться, дает свою версию ошибки. Если ее ответ был неверным, с точки зрения других команд или жюри, то другим командам дается возможность доказать свою точку зрения. За верный ответ команде присваивается балл (или несколько баллов в зависимости от сложности задания). Побеждает та команда, которая наберет больше баллов. Данную игру можно использовать при проведении повторительно-обобщающих уроков.

                             

                            Приведу пример заданий для такой игры по теме «Натуральные числа».

                             

                            «-Сегодня героем нашей игры будет Незнайка. Он будет сравнивать числа, решать примеры, уравнения и задачи. Не все у Незнайки будет получаться. Вам придется ему помочь».

                             

                            1. Незнайка сравнил числа. Внимательно посмотрите, все ли он сделал правильно. Найдите ошибки и объясните их.

                             

                            32568>32658;                             4589<4588;               

                            1523650>152365;                       *****<****                   

                             

                            2. Незнайка решил несколько примеров на сложение и вычитание натуральных чисел. Найдите ошибки и объясните их.

                             

                               72568             98561                2345

                            + 25351          - 74540              - 1541

                               97819             25021                3886

                             

                            3. Незнайка решил уравнение 125 – (25 + х) = 20 двумя способами, но ответы не совпали. Почему? Найдите ошибки и объясните их.

                             

                            Способ I.   (125 – 25) – х = 20

                                               100 – х = 20

                                               х = 100 – 20

                                               х = 80.

                             

                             

                            Способ II.  25 + х = 125 –  20

                                               25 + х = 105

                                               х = 105 + 25

                                               х = 130.

                             

                            Но не всегда использование игры полностью целесообразно. Это может быть связано, например, с большим количеством времени, которое требуется на проведение всей игры. В этом случае оправдано использование игровых моментов или занимательных задач, которые имеют непривычную форму или необычны в организации выполнения задания. Игровые моменты несут те же функции, что и игры, но требуют меньше времени на подготовку и проведение. Они являются элементами игры, не требующими обучению правилам. К тому же использование игровых моментов и занимательных задач полностью согласуется со вторым принципом – разнообразия видов деятельности; смена вида деятельности – лучший отдых.

                             

                             

                            Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в школе. Школа всегда уделяла большое внимание проблеме формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков. Программы по математике включают большой интересный материал по проблеме формирования прочных навыков вычислений, однако, по-прежнему некоторые вопросы понимания и отработки навыка арифметических вычислений являются для школьников довольно сложными.

                             

                            Формирование устных вычислительных навыков у учащихся в процессе изучения ими математики – это длительный процесс, и является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики в современной школе.

                            marinakitaeva.my1.ru

                            Ошибки в математических рассуждениях.

                                  ОГЛАВЛЕНИЕ
                                 
                                  Из предисловия к первому изданию 3
                                  Предисловие ко второму изданию 4
                                 
                                  Глава I. Об упражнениях на опровержение ошибочных математических рассуждений и их классификации.
                                  Введение 6
                                  I. Математические софизмы и их педагогическая роль 7
                                  II. Классификация упражнений на опровержение ложных математических рассуждений 11
                                  1. Неправильности речи 14
                                  2. Распространение па исключительные случаи 16
                                  3. Приписывание свойств определенного вида всему роду 17
                                  4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения 18
                                  5. Подмена точных определений геометрической интуицией 21
                                  6. Ошибки построения 23
                                  7. Ошибки, являющиеся следствием буквального толкования сокращенной (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений 31
                                  8. Нарушение смысла условных записей 32
                                  9. Уклонение от тезиса 33
                                 
                                  Глава II. Арифметика.
                                  I. Примеры ложных рассуждений 36
                                  1. Размещение по одному тринадцати человек в двенадцати комнатах
                                  2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев
                                  3. Квадратные рубли 37
                                  4. ...
                                  5. ...
                                  6. Дважды два — пять!
                                  7. Есть ли здесь пропорциональность? 89
                                  8. 100% экономии 39
                                  9. Как вычислять средний процент? 40
                                  10. Что даст ежегодной прирост в 40% за пять лет?
                                  11. Новое правило умножения дробей 41
                                  12. Куда делся рубль? 42
                                  13. Откуда появился лишний гривенник?
                                  14. Завещание отца
                                  15. 2-3=4 43
                                  II. Анализ примеров 43
                                 
                                  Глава III. Алгебра
                                  I. Примеры ложных рассуждений 57
                                  16. Половина рубля равна пяти копейкам
                                  17. ...
                                  18. 12=6=0 58
                                  19. Делимость многочленов и делимость чисел
                                  20. Произвольно взятое число а равно нулю 59
                                  21. 7=13 60
                                  22. Положительная единица равна отрицательной единице
                                  23. Другое «доказательство» равенства положительной
                                  и отрицательной единиц 61
                                  24. Мнимая единица и действительная отрицательная единица равны
                                  25. ...
                                  26. Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение . . —
                                  27. Если ...
                                  28. Если а и б положительные числа, то ..
                                  29. Положительное число меньше нуля 64
                                  30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения . —
                                  31. Чему равен квадратный корень из числа 65
                                  32. Еще одно сдоказательство» равенства нулю произвольно взятого числа
                                  33. Число не изменяется, если в нем переставить любые цифры 66
                                  34. Что говорит теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел?
                                  35. Об одном способе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности 67
                                  36. О сумме ...
                                  37. Всегда ли целое больше своей части? 71
                                  38. Еще одно «доказательство» равенства двух произвольно взятых чисел 72
                                  39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна нулю 73
                                  40. Число не изменится, если к нему прибавить единицу
                                  41. Ахиллес и черепаха 74
                                  42. О некоторых ученических ошибках
                                 
                                  II. Анализ примеров 78
                                 
                                  Глава IV, Геометрия.
                                  I. Примеры ложных рассуждений 108
                                  43. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны .
                                  44. Отрезок прямой равен своей правильной части
                                  45. Все треугольники равновелики
                                  46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю
                                  47. Объемлемая и объемлющая 112
                                  48. Еще о пропорциональности ИЗ
                                  49. Две окружности разного радиуса имеют одну и ту же длину
                                  50. Сумма катетов равна гипотенузе
                                  51. Длина полуокружности равна ее диаметру 45
                                  52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания ...
                                  53. В данной точке на прямой можно восставить два перпендикуляра к этой прямой 48
                                  54. Через одну точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой 119
                                  55. Окружность имеет два центра
                                  56. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра
                                  57. Через две данные точки можно провести две прямые 121
                                  58. Любой треугольник — равнобедренный
                                  59. Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе 123
                                  60. Прямой угол равен тупому
                                  61. ...
                                  62. Задача о заплате 125
                                  II. Анализ примеров
                                  111, Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений 139
                                  63. Подобные треугольники с равными сторонами
                                  64. Трисекция угла
                                  65. Еще о трисекции угла
                                  66. Квадратура круга
                                  67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника
                                  68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?
                                 
                                  Глава V. Тригонометрия.
                                  I. Примеры ложных рассуждений 152
                                  69. ...
                                  70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить 360° 153
                                  71. Косинус любого острого угла больше единицы
                                  72. ...
                                  73. ...
                                  74. Площадь прямоугольника равна нулю 155
                                  75. Существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны 156
                                  76. Каждый треугольник — прямоугольный 157
                                 
                                  II. Анализ примеров 158
                                 
                                  Глава VI. Приближенные вычисления. Рассказы-объяснения по поводу ошибочных рассуждений 162
                                  77. Сколько лет древней статуе?
                                  78. Все большие числа приближенно равны между собой 163
                                  79. О точности произведения приближенных чисел 164
                                  80. Верна ли формула ... 167
                                  81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью? . 168
                                  82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе? 169
                                 
                                 
                                  ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
                                 
                                  Бесконечно разнообразны те ошибки, которые совершались и совершаются в различных математических рассуждениях. Рассмотреть с учащимися средней школы хотя бы некоторые такие ошибки полезно по двум причинам: во-первых, хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем; во-вторых, самый процесс разыскания ошибки легко сделать весьма увлекательным для учащихся, и изучение ошибок становится средством поднять интерес к изучению математики.
                                  Рассуждение, в котором допущена та или другая ошибка, в большинстве случаев легко довести до получения явно неверного вывода. Получается видимость доказательства какой-нибудь явной нелепости, или так называемый софизм. Разобрать софизм — это значит указать ту ошибку, которая была допущена в рассуждении и из-за которой получился нелепый вывод.
                                  Известен целый ряд подобных ошибочных рассуждений из разных разделов математики, и существует несколько сборников таких рассуждений. Однако эти издания давно разошлись, и этим оправдывается выпуск в свет настоящего сборника. Он предназначен для учащихся неполных средних и средних школ и содержит материал разной трудности, который учителя могут рекомендовать в соответствующих классах школы от V до X включительно. Этот материал удобнее всего использовать в работе школьных математических кружков, но некоторые вопросы можно разобрать с пользой для дела и на обычных классных занятиях, особенно при повторении.
                                  Отмстим, что при работе по разбору ошибок безусловно необходимо добиваться полной ясности: учащиеся должны
                                  з
                                  совершенно отчетливо установить, в чем заключается допущенная в рассуждении ошибка и как ее исправить. Учитывая это, авторы снабдили подробным разъяснением почти каждое ошибочное рассуждение, приведенное в настоящем сборнике. Разумеется, читать это разъяснение следует не сразу после ознакомления с постановкой вопроса, а после настойчивых попыток разобраться в вопросе самостоятельно. Во многих случаях читатели найдут разъяснение самостоятельно или после небольших указаний со стороны учителя. Особое внимание следует обращать на точность формулировок. Дело в том, что недостаточная точность обычной у учащихся словесной формулировки теоремы может быть иногда причиной недоразумения (хороший пример такого недоразумения дает § 1 главы III*), а неточности встречаются не только в ответах учащихся, но и в общепринятых формулировках...
                                  Основой настоящего сборника послужило сочинение Харчевой А. К. «Математические софизмы и их применение в школе», представленное ею при окончании Калининского педагогического института в качестве дипломной работы **. Окончательная редакция книги и несколько добавлений к первоначальному тексту принадлежат Брадису В. М.
                                  1937 год Авторы: В. М. Брадис, А. К. Харчева
                                 
                                  * В настоящем втором издании это пункт 7 второго раздела гл. I.
                                  ** В те годы, до введения государственных экзаменов, выпускники педагогических институтов должны были выполнять н защищать дипломные работы.
                                 
                                 
                                  ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
                                 
                                  Книга В. М. Брадиса и А. К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях», изданная в 1938 году и давно исчезнувшая из продажи, имела в свое время значительный успех среди учителей. По договоренности с авторами я предпринял ее переработку для переиздания. При подготовке нового издания использована моя статья «Опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений», напечатанная в 1956 году в «Ученых записках кафедр физико-математического факультета Орловского государственного педагогического института» (том XI, вып. II, стр. 122—148), исключены некоторые менее удачные разделы первого издания книги, добавлено несколько новых
                                 
                                  ошибочных рассуждений, а разъяснения вынесены в отдельные разделы соответствующих глав.
                                  В предлагаемой вниманию читателя книге «Ошибки в математических рассуждениях» ложные доказательства расположены по предметно-классификационному принципу. Это означает, что традиционное деление материала на арифметический, алгебраический, геометрический и тригонометрический сохранено, но внутри названных разделов школьного курса математики осуществлено распределение предлагаемых упражнений в соответствии с изложенной в первой главе классификацией.
                                  При составлении настоящего сборника авторами были использованы различные источники, в том числе:
                                  Обреимов В. И., Математические софизмы, изд. 3, Пб„ 1898.
                                  Горячев Д. Н. и Воронец А. М., Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики, М., 1903.
                                  Лямин А. А., Математические парадоксы и интересные задачи, М., 1911.
                                  Лянченков М. С., Математическая хрестоматия, Пб., 1911—1912.
                                  Надеюсь, что лица, ознакомившиеся с книгой и имеющие замечания, не откажутся поделиться ими, направляя их в редакцию математики Учпедгиза, по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.
                                  В. П. Минковский
                                 
                                 
                                  Глава I.
                                  ОБ УПРАЖНЕНИЯХ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ
                                  ОШИБОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ.
                                  ВВЕДЕНИЕ.
                                  В науке принято всякое доказываемое или опровергаемое утверждение называть тезисом. Например, Доказывая какую-либо теорему, мы имеем тезис — текст этой тео ремы.
                                  Оправдать тезис — это значит установить его истинность; опровергнуть тезис — показать его ложность.
                                  Проверка тезиса состоит в его оправдании или опровержении
                                  Опровержение доказательства не означает еще опровер жения тезиса Если тезис истинен, то опровержение доказа тельства свидетельствует лишь о том, что в его защиту при ведены неудачные аргументы или допущена оплошность в рас суждении Однако истинность тезиса до тех пор остается под вопросом, пока не будут представлены должные аргу менты и логически безупречная схема доказательства
                                  При просмотре доказательства, подтверждающего истин ный или кажущийся истинным тезис, далеко не во всех случаях легко заметить наличие ошибки Задача значительно облегчается, когда мы, зная заранее, что в доказательстве содержится ошибка, исходим из специальной установки на ее обнаружение.
                                  Если тезис выражает ложное суждение, то и любое доказательство этого тезиса всегда оказывается ложным. Умение опровергнуть доказательство тезиса в случае его ложности столь же необходимо, как и умение доказать тезис в случае его истинности.
                                  В ходе политических, научных и житейских споров, в процессе судебного следствия и разбирательства, в поисках решения различных задач приходится не только доказывать но и опровергать.
                                  В. И. Ленин, анализируя сознательные и бессознательные ошибки в области логического мышления своих политических противников, напоминал о тех рассуждениях, «..которые математики называют математическими софизмами и в которых,-—строго логичным, на первый взгляд, путем,— доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.», и указывал, что «Существуют сборники таких м iтематических софизмов, и учащимся детям они приносят свою пользу»*.
                                  * В. И. Л е н и н, Сочинения, т. 7, изд. 4, М., 1946, стр 78.
                                  В методическом письме Министерства просвещения РСФСР «О преподавании математики в V — X классах» (1952, стр. 41) указывается, что «весьма полезным подспорьем для развития логических способностей учащихся являются всевозможные софизмы».
                                 
                                  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ и их педагогическая роль
                                 
                                  Софизм — слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о «доказательстве», направленном на фор мально-логическое установление абсурдного положения.
                                  Математические софизмы представляют собой тот частный случай ошибок в математических рассуждениях, когда при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована. Раскрыть софизм — это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противо поставлением ложному рассуждению истинного.
                                  В основном математические софизмы строятся на невер ном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или предположений с помощью геометрической «очевидности», В. И. Ленин дает обобщающую формулировку, характеризуя софистику, как «...выхватывание внешнего сходства случаев вне связи событий...»*.
                                  * В. И. Ленин, Сочинения, т. 21, изд. 4, М., 1948, стр. 100.
                                  Математический софизм тем более замысловат, чем более тонкого характера проводимая в нем ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки обычно усложняют завязку софизма, т. е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению того лица, кто ищет ошибку, на ложный путь В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.
                                  Основная цель введения софизмов в школу заключается в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждений в соответствии с усвоенными принципами математического мышления и вычислительной практики.
                                  Практика преподавания убедительно подтверждает, что возможности целесообразного использования математических софизмов возрастают по мере продвижения учащихся по ступеням классной лестницы, по мере роста их интереса к логической структуре науки. Особенно серьезно и углубленно эта работа может быть поставлена в математическом кружке учащихся старших классов, где обычно проявляется повышенный интерес к логическим основам методов математического доказательства.
                                  Математические софизмы заставляют особо внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условий применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формальному, для которого «характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта» (А. Я- Хинчин).
                                  Прочность же усвоения математического факта значительно повышается усилением элемента эмоции при восприятии, вызываемым абсурдным утверждением формулировки софизма.
                                  Упражнения в раскрытии софизмов не гарантируют от появления подобных же ошибок в самостоятельных рассуждениях учащихся, но дают возможность в случае появления ошибки скорее ее обнаружить и в ней разобраться. В педагогическом плане высказанная мысль реализуется в том, что математические софизмы, предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не столько для предупреждения ошибок, сколько для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.
                                  Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом типичных ученических ошибок, причин их возникновения и материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели. Степень подготовленности в этом направлении педагога ощутительно сказывается в подборе примеров, в выявлении всех существенных в пределах данного типа вариаций с целью предупреждения возникновения односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.
                                  Большинство педагогов сходится на том мнении, что при объяснении нового материала в подавляющей массе случаев следует избегать фиксации внимания учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, чтобы не создавать ложных наглядных представлений.
                                  КОНЕЦ ФРАГМЕНТА КНИГИ

                            sheba.spb.ru

                            Консультация (3 класс) на тему: Анализ контрольной работы по математике

                            Анализ годовой

                            контрольной работы   по математике

                             за 2012-13  уч. год , обучающихся   3 «б » класса.

                              Данная контрольная работа проводилась  в соответствии с графиком школы и содержала  материал  по изученным темам  и разделам. 

                            Работа содержит  5   обязательных заданий. 6 задание -повышенной трудности- обозначено пунктом Б, выполняли по выбору.

                            Цель работы:  понимание смысла арифметических действий и использование их при вычислении многозначных чисел,

                             умение использовать знания табличного умножения, внетабличные способы деления  и законов  сложения в практической работе;  

                            решение     составной   арифметической  задачи, задачи  геометрического содержания.

                               

                            В классе по списку 28 человек. Работу выполняли все.

                            Результаты: «5»- 3 чел. – 11% ( Хлопцева В.  ПоповаЛ.  Архипова В.)

                                                        «4»-14 чел.-50%

                                                     «3»-7 чел.-25%

                                                     «2»-4 чел. -14% (Черемисин А.  Яваева М. Несмачнова К.   Бурка А.)

                            КАЧ  ≈61%                                            УО  ≈  86%                                                      СОК≈54%

                            п\п

                            Виды работ

                            чел

                            %

                            1.

                            Задача

                            1. Решили задачу правильно

                            17

                            61

                            2. Выбор действий правильный, допустили ошибки в вычислениях

                            4

                            14

                            3. Неправильный выбор действий

                            9

                            32

                            4. Не приступили к выполнению задания

                            1

                            4

                            2

                            Указать порядок действий, найти значения выражений.

                            1.Правильно выполнили работу

                            11

                            39

                            2.Верно указан порядок действий, допущены ошибки в вычислениях

                            13

                            46

                            3.Неверно выполнено задание.

                            2

                            7

                            4 Не приступили к выполнению задания

                            -

                            --

                            *5 . Изменили выражение и верно нашли значение нового выражения.

                            6

                            21

                                   Изменили выражение , допустили ошибки в вычислениях.

                            3

                            11

                            3.

                            Найти корень уравнения

                            1.Задание выполнили верно.

                            23

                            81

                            2.Допустили ошибки в вычислениях

                            4

                            14

                            3.Не приступили к выполнению задания

                            -

                            -

                            4.

                            Задача на нахождение периметра и площади прямоугольника

                            1.Задачу решили правильно

                            19

                            68

                            2. Выбор действий правильный, ошибки в вычислениях

                            4

                            14

                            3. Не приступили к выполнению задания.

                            4

                            14

                            5.

                            На смекалку.

                            1. Задание выполнили правильно.

                            22

                            79

                            2. Ошибки в подборе выражений

                            4

                            14

                            3. Не приступили к выполнению задания

                            1

                            4

                             Указать порядок действий, найти значение выражения     -задание Б( повышенной трудности)  выполняли только 9 человек (32%)

                            Данная работа показала : 86% обучающихся программный материал усвоили. Типичны ошибками  являются  вычислительные навыки ( внетабличные способы деления).Учащиеся  в достаточной мере не владеют  данными вычислительными навыками. Формирование вычислительных  умений и навыков традиционно считается одной из самых «трудоёмких» тем     Причиной ошибок является низкий уровень мыслительной деятельности, неразвитое внимание и память учащихся, недостаточный контроль за выполнение домашних заданий со стороны родителей, недостаточно отведено времени учителем на отработку вычислительных навыков в период изучения темы «Внетабличное умножение и деления»

                            Учитель   Хворост Е.В.          Ассистент Нидченко Е.А.                                     май, 2013г

                            отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.

                             

                            На уроках математики использую следующие работу

                            реди причин невысокой вычислительной культурыучащихся можно назвать:

                             

                            - низкий уровень мыслительной деятельности;

                            - отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;

                            - отсутствие надлежащего контроля за детьми при подготовке домашних заданий со стороны родителей;

                            - неразвитое внимание и память учащихся;

                            - недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной школы;

                            - отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.

                             

                            На уроках математики использую следующие приемы, направленные на преодоление причин возникновения ошибок: 1) игры, игровые моменты и занимательные задачи; 2) тесты «Проверь себя сам»; 3) математические диктанты; 4) творческие задания и конкурсы; 5) исследовательские работы.

                             

                            Часть приемов применяю при работе со всем классом, часть, направленная на развитие внимания, памяти и мышления, подбираю для группы учеников по результатам тестирования.

                             

                            В своей работе учителя придерживаюсь определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работу в классе на каждом уроке выполняю всем классом, а не группой успевающих учеников. То есть стараюсь создать такую ситуацию – ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса.

                             

                            В целях выполнения этой задачи на уроках математики часто используются игры.

                            Но в отличие от начальной школы назначение дидактических игр изменяется. Они начинают применяться для проверки полученных знаний посредством решения нестандартных задач в привлекательной, интересной для детей форме. При этом во время игры в группе главным действующим лицом на уроке становятся сами дети, а не учитель.

                             

                            Игра «Запомни числа». Цель игры: развитие внимания, памяти учащихся и коммунальных способностей.

                             

                            Условия игры. Учитель называет какое-либо число. Первый ученик повторяет это число и называет свое. Каждый следующий повторяет ранее названные числа и называет свое. Интерес игры в ее соревновательном характере: кто сможет запомнить больше чисел. Игра продолжается до первой ошибки.

                             

                            Эту игру можно использовать в самом начале урока, так как она помогает ученикам настроится на рабочий лад, создать хорошее настроение.

                             

                            Игра «Пропусти число». Цель игры: развитие внимания учащихся и оценка знаний, полученных на предыдущих уроках.

                             

                            Условия игры. Учитель предлагает учащимся по очереди называть вслух в порядке возрастания числа, начиная с 0,1, причем числа, содержащие 3 или кратные 3, следует пропускать. Ученик, назвавший запрещенное число, выбывает. Побеждает тот, кто остается последним.

                             

                            В данной игре условия можно менять, в зависимости от изучаемой темы, например, при счете пропускать простые числа или числа, кратные 5,10 и т. д. Эту игру хорошо использовать в начале урока вместо опроса.

                             

                            Игра «Исправляем ошибки». Цель игры: развитие критичности мышления, самоконтроля, внимания, умения обосновывать свою точку зрения.

                             

                            Условия игры. Все учащиеся класса делятся на несколько команд и жюри, в которое входит учитель и несколько учеников. Каждой команде выдают одни и те же задания с математическими выражениями и определениями, в которых допущены ошибки, с таким расчетом, чтобы число заданий было равно числу участников каждой из команд. Важно, чтобы при подготовке данной игры использовать картотеку типичных ошибок. Командам дается некоторое время для нахождения ошибки и подготовки к ответу. Та команда, которая первой успела подготовиться, дает свою версию ошибки. Если ее ответ был неверным, с точки зрения других команд или жюри, то другим командам дается возможность доказать свою точку зрения. За верный ответ команде присваивается балл (или несколько баллов в зависимости от сложности задания). Побеждает та команда, которая наберет больше баллов. Данную игру можно использовать при проведении повторительно-обобщающих уроков.

                             

                            nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *