| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника. Поделиться:
|
dpva.ru
Треугольник. Виды треугольников и их свойства. — Математика
Треугольник
Треугольник — это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.
В дальнейшем используются следующие обозначения:
a ,b, c — длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;
— полупериметр треугольника ABC;
Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b c, b +c a, a + c b
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: 
, 
.
Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда: если c² a² + b² , то треугольник остроугольный; если, c² = a² +b², то треугольник прямоугольный; если c² a² +b² , то треугольник тупоугольный.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 
: 
Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.
Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: 
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .
Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: 
.
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.
Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника.
Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: 
, 
.
Биссектриса треугольника
Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части.
Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.
Теоремы:
Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.
Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: 
.
Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: 
.
Длина биссектрисы равна: 
.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: 
Медиана треугольника
Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.
Теоремы:
Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: 
.
Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: 
.
Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: 
.
Длина медианы, проведенной к стороне 
равна: 
.
Признаки равенства треугольников
Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки подобия треугольников
Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: 
, 
, где 
— коэффициент подобия.
I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.
II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: 
.
Равносторонний треугольник и его свойства
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: 
.
Теоремы:
Равнобедренный треугольник и его свойства
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.
Теоремы:
Углы при основании равны:
.Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой:
.Площадь равнобедренного треугольника:
.
.
.
. 
Прямоугольный треугольник и его свойства
Теорема Пифагора: .
Решение прямоугольного треугольника:
;
;
.
Теоремы:
Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику
Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .
Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .
Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: или вычисляется по любой из формул для вычисления площади произвольного треугольника.
Формулы для вычисления площади треугольника Площадь треугольника равна: .
Площадь треугольника равна: .
Формула Герона: .
Площадь треугольника равна: .
Площадь треугольника равна: .
Если в треугольнике одну из сторон изменить в раз, а другую в раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в раз.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.
urokidoma.org
«Виды треугольников и их свойства». 5-й класс
Тип урока: усвоение новых знаний.
Цель: Создать условия для формирования свойств углов и сторон треугольника, умения использовать их для различных видов треугольников.
Планируемые результаты учащиеся выведут правило треугольника и свойство углов треугольника; научатся рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в группе; излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.
Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение слушать, ясно и точно излагать свои мысли, развитие инициативы и активности при решении математических задач. Формировать умения работы в группах.
Метапредметные: умение понимать и использовать средства наглядности (чертежи, рисунки, модели и т. п.).
Развитие понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом .
Предметные: овладение геометрическим языком, развитие изобразительных умений. Умение измерять углы с помощью транспортира, вычислять углы треугольника, используя свойство углов треугольника и определять существование треугольника по правилу треугольника. Умение анализировать, обобщать и делать выводы.
Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.
Техническое оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, учебники по математике, раздаточный материал, интерактивный плакат, электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.
Задачи:
– формирование познавательных УУД: научить в процессе реальной
ситуации использовать свойства треугольников. Решать задачи, используя свойство
углов и правило треугольника.
– формирование коммуникативных и личностных УУД: умение слушать и
вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, выстраивать в
группе сверстников продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность.
– формирование регулятивных УУД: развивать умение анализировать,
сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать
коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в
зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия,
контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
Методы:
- по источникам знаний: словесные, наглядные;
- по степени взаимодействия учитель – ученик: эвристическая беседа;
- относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;
- относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.
Технологии: коз, системно-деятельностная.
Метод обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Технологическая карта урока
Деятельность учителя1. Организационный момент.
Создать благоприятный психологический настрой на работу.
Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.
Деятельность учащихся
Включаются в деловой ритм урока.Записывают дату урока.
УУД
Личностные: самоопределение.Регулятивные: целеполагание.
Коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
2. Актуализация и самоопределение.
Актуализация опорных знаний и способов действий.
Интерактивная таблица (“ Наглядная математика”)
В: какие виды углов вы знаете?
В: дайте определение каждому из видов.
Презентация. Слайд 1, 2.
Распределить учащихся по группам с помощью теста :
что вы видите на данном рисунке?
1 – “Топологи”– прямоугольник.
2 – “Проективисты” – конверт.
3 – “Метристы”– пирамида вид сверху или крыша.
4 – “Порядковцы”– 4 треугольника
5 – “Алгебраисты”– по два равных треугольника.
Отвечают на поставленные вопросы
О: прямые, острые, тупые, развернутые.
О: дают определение каждому из видов.
Учащиеся с помощью теста делятся на группы (по уровню восприятия).
Регулятивные: Целеполагание, постановка учебной задачи; определение и осознание того, что уже известно
Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
Познавательные: анализ объектов, выбор оснований, критериев для сравнения, классификации объектов.
| Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
УУД | ||||||||||||||||
| 3. Целеполагание и мотивация. Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. 1) Отметьте в тетради три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и соедините попарно эти точки. Какая фигура у вас получилась? Что вы знаете о треугольнике? 2) Слайд 3
3) ‹А=400, ‹В=600,‹С=? (Слайд 4) Узнаем новое о треугольнике, так как он обладает большим количеством свойств, каким не обладает ни одна геометрическая фигура. Сформулируйте тему урока. (Слайд 5, 6) Поставьте цели урока. |
1) Треугольник – определение. Стороны, углы, вершины. Составляют треугольники из палочек. Не всегда получается. 3) некоторые учащиеся не знают ответ. Формулируют тему урока и цели урока: “Треугольники и их виды”. Цель: узнать новые свойства углов и сторон треугольников. Научиться использовать эти свойства при решении дидактических задач. |
Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: постановка вопросов. Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; Личностные – формулирование проблемы. |
||||||||||||||||
| 4. Введение новых знаний. Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изучаемой темы. Практическая работа в группах Задание № 1. Распределите данные треугольники на группы. По какому принципу вы будете это делать . Опишите полученные группы моделей треугольников. Задание № 2. 1)Выяснить связь между длинами сторон треугольника (измерьте стороны треугольника и установите зависимость между длинами сторон ∆). 2) Найти сумму углов в треугольнике (с помощью транспортира и без него – оторвав углы бумажного треугольника и сложив их, получить развернутый). 3)Какие результаты получились? Слайд 7. 4) Сделайте общий вывод. |
Задание № 1. Выполняют работу в группах, проверяя друг друга: делят пластиковые модели треугольников на 2 группы по следующему принципу 1. по величине углов – остроугольный, прямоугольный, тупоугольный; 2. по количеству одинаковых сторон – равносторонний, равнобедренный, разносторонний. Описывают полученные группы моделей треугольников. Результаты записывают в тетрадях. Делают вывод о видах треугольников. Задание № 2. 1) измеряют стороны треугольника. Сравнивают, анализируют и устанавливают зависимость между длинами сторон . Делают вывод: сторона всегда меньше суммы 2-х других сторон. 2) измеряют углы в треугольнике с помощью транспортира и без него – оторвав углы и сложив их. Находят их сумму. 3) Каждая группа учащихся высказывает свои предположения (по своим треугольникам). Делают вывод о сумме углов треугольника. (У всех результаты разные, но близкие к 1800) Формулируют свойство углов треугольника.
4) Общий вывод: сторона треугольника всегда меньше суммы длин других сторон и сумма углов в треугольнике равна 1800 . |
Коммуникативные: постановка вопросов,
инициативное сотрудничество. Познавательные: построение логической цепи рассуждений. Регулятивные: саморегуляция. |
||||||||||||||||
| 5. Первичное закрепление. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу. Задание 3. Слайд 8. В: определите какие из следующих треугольников существуют и назовите виды этих треугольников. 1 гр. 7см, 7см, 7см; 4м, 9м, 4м. 2 гр. 12дм, 3дм, 8дм; 7м, 8м, 7м. 3 гр. 1дм, 14см, 22см; 3см,4см, 5дм. 4 гр. 2 см; 5 см, 8 см; 6 дм, 7 дм, 8 дм. 5 гр. 11 дм, 11дм,1 дм; 12см,25 см,25 см. Задание № 4. Слайд 9. Найдите все углы в заданном треугольнике.
Задание № 5. Слайд 10. Все группы делают одно задание. Сколько треугольников вы видите на рисунке? Назовите виды этих треугольников.
Задание № 6. (Дополнительное.) Слайд 11. Найди треугольники разных видов. Тупоугольные треугольники закрасить красным цветом. Прямоугольные треугольники закрасить зеленым цветом. Остроугольные треугольники закрасить желтым цветом. |
1 гр. Да, равносторонний. Нет,9›4+4. Выполняют, по группам обсуждая решение. Ответы: 1. по 600; 2. 900, 450,450;
3.500; О: 1). 8 – все прямоугольные и равнобедренные. 2) 8–4 прямоугольных,2 остроугольных и равнобедренных, 2 – тупоугольных и равнобедренных. 3).8-2-тупоугольных и равнобедренных,4 остроугольных, 2-тупоугольных.
Каждая группа раскрашивает своего “человечка”. Проверка. У всех должно получиться одинаково. |
Регулятивные: контроль, оценка, коррекция. Познавательные: умение структуризировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, рефлексия способов и условий действия. Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, отстаивать свою точку зрения, контроль, коррекция . |
||||||||||||||||
| 6. Организация первичного контроля.
Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков. Тест “Да и нет не говорите, лучше сразу напишите”. Слайд 12, 13. 1. Существует ли треугольник, у которого
два прямых угла? |
Проверка по ключу. Ключ.
Отчет о работе в группах (лист самооценки). Подсчитать количество баллов у каждого и в группе в целом. |
Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и
осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание
качества и уровня усвоения.
Познавательные: освоение способа действий, моделируют, оценивают результат своей деятельности; Личностные: самоопределение. |
||||||||||||||||
| 7. Информация о домашнем задании. Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Каждому учащемуся в группе раздается фигура, состоящая из 10 правильных одинаковых треугольников. Задание: Изготовить интересную геометрическую фигуру, которая состоит из треугольников и меняется, выворачиваясь на изнанку. Эта игрушка называется “Флексагон” |
Записывают домашнее задание в дневнике.
|
|||||||||||||||||
| 8. Подведение итогов урока. Рефлексия учебной
деятельности. Осуществляет самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия. Рефлексия учебного материала и деятельности учащихся. Листок настроения. Слайд 13.
|
В начале урока у первого человечка нарисовать свое настроение, а в конце – у второго. |
Регулятивные: оценка –осознание уровня и
качества усвоения; контроль Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; Личностные: интерес к учебному материалу. |
urok.1sept.ru
3 вида треугольников
3 вида треугольников:
Равнобедренный треугольник и его свойства
Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя равными сторонами.
Равные стороны — это боковые стороны, третья сторона — это основание.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
А биссектриса, проведенная к основанию, будет и медианой и высотой.
Если все три стороны треугольника равны, то это равносторонний треугольник.
Если один из углов в треугольнике прямоугольный (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Сторона напротив прямоугольного угла называется гипотенузой, а другие стороны катетами.
Если один из углов в треугольнике тупой, то этот треугольник называется тупоугольным.
Если все углы в треугольнике острые, то этот треугольник называется остроугольным.
Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянноДобавить новость и получить деньги
Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников
uchilegko.info
стороны, вершины и углы. Виды треугольников
Треугольник – это выпуклый многоугольник с наименьшим числом углов и сторон. Треугольник образуется замкнутой ломаной, состоящей из трёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.
В тексте треугольники обозначаются символом Δ и тремя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах – ΔABC:
В треугольнике ABC точки A, B и C – это вершины треугольника, отрезки AB, BC и CA – стороны треугольника. Углы, образованные сторонами треугольника, называются углами треугольника.
Нижнюю сторону треугольника обычно называют основанием. В треугольнике ABC сторона AC – основание.
Виды треугольников
Треугольники различаются между собой, во-первых, по характеру углов, во-вторых, по характеру сторон.
По характеру углов треугольник называется:
- Остроугольным, если все его углы являются острыми.
- Прямоугольным, если один угол прямой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенузой.
- Тупоугольным, если один из его углов тупой.
По характеру сторон треугольник называется:
- Разносторонним, если все его стороны имеют различную длину.
- Равнобедренным, если две его стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
- Равносторонним, если все три его стороны равны между собой. В равносторонних треугольниках все три угла равны.
Равные стороны стороны на чертежах отмечаются одинаковым количеством чёрточек.
naobumium.info
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным. Свойства и особенности треугольниковТрём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости. Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляция. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия. Типы треугольниковПо величине углов Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:
По числу равных сторон
|
www.terminologija.ru