Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений – Метод вспомогательного угла в тригонометрии

Содержание

Метод вспомогательного угла в тригонометрии

На уроках алгебры учителя рассказывают, что существует небольшой (на самом деле — очень даже большой) класс тригонометрических уравнений, которые не решаются стандартными способами — ни через разложение на множители, ни через замену переменной, ни даже через однородные слагаемые. В этом случае в дело вступает принципиально другой подход — метод вспомогательного угла.

Что это за метод и как его применять? Для начала вспомним формулы синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

\[\begin{align}& \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end{align}\]

Думаю, эти формулы хорошо знакомы вам — из них выводятся формулы двойного аргумента, без которых в тригонометрии вообще никуда. Но давайте теперь рассмотрим простое уравнение:

\[3\sin x+4\cos x=5\]

Разделим обе части на 5:

\[\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1\]

Заметим, что ${{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}=1$, а это значит, что обязательно найдётся такой угол $\alpha $, для которого эти числа являются соответственно косинусом и синусом. Поэтому наше уравнение перепишется следующим образом:

\[\begin{align}& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left( \alpha +x \right)=1 \\\end{align}\]

А это уже легко решается, после чего останется лишь выяснить, чему равен угол $\alpha $. Как это выяснить, а также как правильно подбирать число для деления обеих частей уравнения (в данном простом примере мы делили на 5) — об этом в сегодняшнем видеоуроке:

Сегодня мы будем разбирать решение тригонометрических уравнений, а, точнее, один-единственный прием, который называется «метод вспомогательного угла». Почему именно этот метод? Просто потому, что за последние два-три дня, когда я занимался с учениками, которым рассказывал о решении тригонометрических уравнений, и мы разбирали, в том числе, метод вспомогательного угла, и все ученики как один допускают одну и ту же ошибку. А ведь метод вообщем-то несложный и, более того, это один из основных приемов в тригонометрии. Поэтому многие тригонометрические задачи иначе как методом вспомогательного угла вообще не решаются.

Поэтому сейчас для начала мы рассмотрим пару простеньких задач, а потом перейдем к задачам посерьезней. Однако все эти они так или иначе потребуют от нас применение метода вспомогательного угла, суть которого я расскажу уже в первой конструкции. 

Решение простых тригонометрических задач

Пример № 1

\[\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x-1\]

Немного преобразуем наше выражение:

\[\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x=-1\left| \left( -1 \right) \right.\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Как мы будем решать его? Стандартный прием состоит в том, чтобы раскрыть $\sin 2x$ и $\cos 2x$ по формулам двойного угла, а затем переписать единицу как ${{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$, получить однородное уравнение, привести его к тангенсам и решить. Однако это долгий и нудный путь, который требует большого объема вычислений.

Предлагаю задуматься вот на чем. У нас есть $\sin $ и $\cos $. Вспомним формулу косинуса и синуса суммы и разности:

\[\sin \left( \alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left( \alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left( \alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Вернемся к нашему примеру. Все сведем к синусу разности. Но для начала уравнение необходимо немного преобразовать. Найдем коэффициент:

\[l={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=3+1=4\]

\[\sqrt{l}=2\]

$\sqrt{l}$ — это тот самый коэффициент, на который необходимо разделить обе части уравнения, чтобы перед синусом и косинусом появились числа, которые сами по себе являются синусами и косинусами. Давайте разделим:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

Посмотрим на то, что у нас получилось слева: существует ли такой $\sin $ и $\cos $, чтобы $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin \alpha =\frac{1}{2}$? Очевидно существует: $\alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$. Поэтому мы можем переписать наше выражение следующим образом:

\[\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \sin 2x-\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}-\cos 2x\cdot \sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\frac{1}{2}\]

Теперь перед нами формула синуса разности. Мы можем написать так:

\[\sin \left( 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}} \right)=\frac{1}{2}\]

Перед нами простейшая классическая тригонометрическая конструкция. Напомню:

\[\sin x=a\]

\[x=\arcsin a+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\arcsin a-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Это и запишем для нашего конкретного выражения:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align}& 2x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\]

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[n\in Z\]

Нюансы решения

Итак, что нужно делать, если вам попалось подобный пример:

  1. Преобразовать конструкцию, если нужно.
  2. Найти поправочный коэффициент, взять из него корень и разделить обе части примера на него.
  3. Смотрим, какие значения синуса и косинуса получаются у чисел.
  4. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса разности или суммы.
  5. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

В связи с этим у внимательных учеников наверняка возникнет два вопроса.

Что нам мешает на этапе нахождения поправочного коэффициента записать $\sin $ и $\cos $? — Нам мешает основное тригонометрическое тождество. Дело в том, что полученные $\sin $ и $\cos $, как любые другие при одном и том же аргументе, должны при возведении в квадрат в сумме давать ровно «единицу». В процессе решения нужно быть очень внимательным и не потерять «двойку» перед «иксами».

Метод вспомогательного угла — это инструмент, который помогает свести «некрасивое» уравнение к вполне адекватному и «красивому».

Пример № 2

\[\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1=2\cos x\]

Мы видим, что у нас есть ${{\sin }^{2}}x$, поэтому давайте воспользуемся выкладками понижения степеней. Однако прежде чем ними воспользоваться, давайте их выведем. Для этого вспомним, как найти косинус двойного угла:

\[\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x\]

Если мы запишем $\cos 2x$ в третьем варианте, то получим:

\[\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\]

\[2{{\sin }^{2}}x=1-\cos 2x\]

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{x}\]

Я выпишу отдельно:

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\]

То же самое можно сделать и для ${{\cos }^{2}}x$:

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\]

Нам потребуется только первые выкладки. Давайте приступим к работе над задачей:

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Теперь воспользуемся выкладками косинуса разности. Но для начала посчитаем поправку $l$:

\[l={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=4\]

\[\sqrt{l}=2\]

Перепишем с учетом этого факта:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\cos x\]

В этом случае мы можем записать, что $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, а $\frac{1}{2}=\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$. Перепишем:

\[\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \sin 2x-\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos x\]

Внесем «минус» в скобку хитрым способом. Для этого заметим следующее:

\[\cos \left( \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ +}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\]

\[=\cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right)=\cos \left( \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Возвращаемся к нашему выражению и вспоминаем, что в роли $\varphi $ у нас выражение $-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x$. Поэтому запишем:

\[-\left( -\cos \left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left( 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=\cos x\]

Чтобы решить подобною задачу, нужно вспомнить такое:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin{align}& \alpha =\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& \alpha =-\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Разберемся с нашим примером:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=-x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Давайте посчитаем каждое из этих уравнений:

\[x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

И вторую:

\[3x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\]

\[x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2\pi n}{3}\]

Запишем окончательный ответ:

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{9}+\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n}{3} \\\end{align} \right.\]

Нюансы решения

На самом деле, это выражение решается множеством различных способов, однако именно метод вспомогательного угла является в данном случае оптимальным. Кроме того, на примере данной конструкции хотелось бы обратить ваше внимание еще на несколько интересных приемов и фактов:

  • Формулы понижения степеней. Эти формулы не нужно запоминать, однако нужно знать, как их выводить, о чем я вам сегодня и рассказал.
  • Решение уравнений вида $\cos \alpha =\cos \beta $.
  • Добавление «нуля».

Но и это еще не все. До сих пор $\sin $ и $\cos $, которые мы выводили в качестве дополнительного аргумента, мы считали, что они должны быть положительными. Поэтому сейчас мы решим более сложные задачи.

Разбор более сложных задач

Пример № 1

\[\sin 3x+4{{\sin }^{3}}x+4\cos x=5\]

Преобразуем первое слагаемое:

\[\sin 3x=\sin \left( 2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

Второе:

\[4{{\sin }^{3}}x=4\cdot {{\sin }^{2}}x\cdot \sin x=4\cdot \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{2}\cdot \sin x=\]

\[=2\left( 1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

А теперь подставим все это в нашу исходную конструкцию:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname{cosx}-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left( 2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

\[3\sin x+4\cos x=5\]

Давайте введем нашу поправку:

\[l=9+16=25\]

\[\sqrt{l}=5\]

Записываем:

\[\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1\]

Таких $\alpha $, для которых $\sin $ или $\cos $ был бы равен $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ в тригонометрической таблице нет. Поэтому давайте просто так и напишем и сведем выражение к синусу суммы:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left( x+\varphi \right)=1\]

Это частный случай, простейшая тригонометрическая конструкция:

\[x+\varphi =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}-\varphi +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Осталось найти, чему равен $\varphi $. Именно в этом месте многие ученики ошибаются. Дело в том, что на $\varphi $ накладываются два требования:

\[\left\{ \begin{align}& \cos \varphi =\frac{3}{5} \\& \sin \varphi =\frac{4}{5} \\\end{align} \right.\]

Начертим радар и посмотрим, где такие значения встречаются:

Возвращаясь к нашему выражению, мы напишем следующее:

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}-\arcsin \frac{4}{5}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Но и эту запись можно немного оптимизировать. Поскольку мы знаем следующее:

\[\alpha :\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}},\]

то в нашем случае можно записать так:

\[x=\arccos \frac{4}{5}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Пример № 2

Здесь потребуется еще более глубокое понимание методик решения стандартных задач без тригонометрии. Но для решения этого примера мы также используем метод вспомогательного угла.\[\]

\[5+2\sin 2x-5\cos x=5\sin x\]

Первое, что бросается в глаза — здесь нет степеней выше первой и поэтому ничего нельзя разложить по формулам разложения степеней. Воспользуется обратными выкладками:

\[5+4\sin x\cos x-5\cos x-5\sin x=0\]

\[3+2+4\sin x\cos x-5\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

Зачем я разложил $5$. Вот смотрите:

\[3+2\left( 1+2\sin x\cos x \right)-5\left( \sin x\cos x \right)=0\]

Единицу по основному тригонометрическому тождеству мы можем расписать как ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x$:

\[3+2\left( {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+co{{s}^{2}}x \right)-5\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

Что дает нам такая запись? Дело в том, что в первой скобке стоит точный квадрат. Свернем его и получим:

\[3+2{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}-5\left( \sin x+\cos x \right)=0\]

Предлагаю ввести новую переменную:

\[\sin x+\cos x=t\]

В этом случае мы получим выражение:

\[3+2{{t}^{2}}-5t=0\]

\[2{{t}^{2}}-5t+3=0\]

\[D=25-24=1\]

\[{{t}_{1}}=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}\]

\[{{t}_{2}}=\frac{5-1}{4}=1\]

Итого мы получаем:

\[\left[ \begin{align}& \sin x+\cos x=\frac{3}{2} \\& \sin x+\cos x=1 \\\end{align} \right.\]

Разумеется, знающие ученики сейчас скажут, что такие конструкции легко решаются с помощью сведения к однородному. Однако мы решим каждое уравнение методом вспомогательного угла. Для этого сначала посчитаем поправку $l$:

\[l={{1}^{2}}+{{1}^{2}}=2\]

\[\sqrt{l}=\sqrt{2}\]

Разделим все на $\sqrt{2}$:

\[\left[ \begin{align}& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Все сведем к $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\sin x\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}\]

\[\left[ \begin{align}& \cos \left( x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \cos \left( x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Разбираемся с каждым из этих выражений.

Первое уравнение корней не имеет, и для доказательства этого факта нам поможет иррациональность в знаменателе. Заметим следующее:

\[\sqrt{2}<1,5\]

\[\frac{3}{2\sqrt{2}}>\frac{3}{3\cdot 1,5}=\frac{3}{3}=1\]

Итого мы четко доказали, что требуется, чтобы $\cos \left( x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)$ был равен числу, которое большее «единицы» и, следовательно, у этой конструкции корней нет.

Разбираемся со вторым:

\[x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

Решаем эту конструкцию:

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\pm \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

В принципе, можно оставить ответ таким, а можно его расписать:

\[x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[x=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n\]

\[n\in Z\]

Важные моменты

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на работу с «некрасивыми» аргументами, т.е. когда $\sin $ и $\cos $ не являются табличными значениями. Проблема состоит в том, что если мы утверждаем, что в нашем уравнении $\frac{3}{5}$ — это $\cos $, а $\frac{4}{5}$ — это $\sin $, то в итоге, после того как мы решим конструкцию, нужно учитывать оба этих требования. Мы получаем систему из двух уравнений. Если мы не будем это учитывать, то получим следующую ситуацию. В этом случае мы получим две точки и на месте $\varphi $ у нас окажется два числа: $\arcsin \frac{4}{5}$ и $-\arcsin \frac{4}{5}$, однако последний нас ни в коем случае не устраивает. То же самое будет и с точкой $\frac{3}{5}$.

Такая проблема возникает только тогда, когда речь идет о «некрасивых» аргументах. Когда у нас табличные значения, то ничего такого нет.

Надеюсь, сегодняшний урок помог вам разобраться, что такое метод вспомогательного угла и как его применять на примерах разного уровня сложности. Но это не единственный урок, посвященный решению задач методом вспомогательного угла. Поэтому оставайтесь с нами!

Смотрите также:

  1. Как решать тригонометрические уравнения? Основные приёмы и методы.
  2. Решаем однородные тригонометрические уравнения
  3. Решение задач B12: №448—455
  4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

www.berdov.com

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла

Уравнения вида a{sin{x}}+b{cos{x}}=c решаются с помощью введения вспомогательного угла.

Давайте рассмотрим, как приводить выражение a{sin{x}}+b{cos{x}} к  sin (x+{varphi})

1. Вынесем за скобки sqrt{a^2+b^2}:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})

2.  Выражения a/{sqrt{a^2+b^2}} и b/{sqrt{a^2+b^2}}  обладают очень важным для нас свойством:

{(a/{sqrt{a^2+b^2}})}^2+{(b/{sqrt{a^2+b^2}})}^2=1 (проверьте это самостоятельно).

Следовательно, точка с координатами (a/{sqrt{a^2+b^2}};b/{sqrt{a^2+b^2}} ) принадлежит единичной окружности. (Уравнение единичной окружности x^2+y^2=1). Значит, существует угол varphi такой, что cos{varphi}=a/{sqrt{a^2+b^2}}, и sin{varphi}=b/{sqrt{a^2+b^2}}.

Подставим тригонометрические функции угла varphi в наше выражение:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})=sqrt{a^2+b^2}(cos{varphi}sin{x}+sin{varphi}cox{x})=sqrt{a^2+b^2}sin(x+{varphi})

Рассмотрим пример решения уравнения такого типа:

cos{x}-sqrt{3}sin{x}=sqrt{3}

1. Вынесем за скобку sqrt{1^2+{(sqrt{3})}^2}=sqrt{4}=2

Получим:

2(1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x})=sqrt{3}

Разделим обе части уравнения на 2:

1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x}=sqrt{3}/2

Пусть угол  varphi такой, что cos{varphi}=1/2  ,   sin{varphi}=sqrt{3}/2  . Очевидно, что varphi={pi}/3

Перепишем уравнение:

cos{{pi}/3}cos{x}-sin{{pi}/3}sin{x}=sqrt{3}/2

Мы получили формулу косинуса  суммы. Заметьте, все равно, какое число принимать за синус дополнительного угла, а какое за косинус - мы просто получим другую формулу.

cos{(x+{{pi}/3})}=sqrt{3}/2

x+{{pi}/3}={pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

Отсюда: x=-{{pi}/3}{pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с объяснением решения тригонометрического  уравнения уровня С1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

k{in}bbZ  

 

ege-ok.ru

Введение вспомогательного аргумента в тригонометрическом уравнении

Категория: Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства

рл При решении уравнений вида asinx+bcosx=c, a^2+b^2\neq 0 (относительно переменной x) применяют прием, называемый введением вспомогательного аргумента.

Начнем знакомство с этим приемом с примера.

Пример 1. 

Пусть нам нужно решить вот такое уравнение:

\sqrt3 cosx-sinx=-1;

Мы разделим обе части уравнения на 2:

\frac{\sqrt3}{2}cosx-\frac{1}{2}\cdot sinx=-\frac{1}{2};

Что мы замечаем? Коэффициент перед косинусом можно представить, например, как cos\frac{\pi}{6}, а коэффициент перед синусом, соответственно, как sin\frac{\pi}{6}.

Перепишем с учетом этого наше уравнение:

cos\frac{\pi}{6}\cdot cosx-sin\frac{\pi}{6}\cdot sinx=-\frac{1}{2};

Теперь мы можем применить формулу «косинус суммы»

cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta:

cos(\frac{\pi}{6}+x)=-\frac{1}{2};

Откуда

\frac{\pi}{6}+x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;

x=-\frac{\pi}{6}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z;

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n \in Z; или  x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;

Ответ: \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\;n \in Z;

Но здесь нам «повезло». Пришлось работать с табличными значениями… А как быть в общем случае?

В общем случае, имея уравнение asinx+bcosx=c, следует сначала обе части разделить на \sqrt{a^2+b^2}.

Мы получим

 \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};

Заметьте, при этом у нас коэффициенты перед синусом и косинусом обладают следующими свойствами:

1) \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};, \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt {a^2+b^2}}cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};;

 2)  (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1;

То есть мы можем обозначить, например, \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}   за   cos\varphi ,  а   \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}  за  sin\varphi , где \varphi – и есть вспомогательный угол.

Тогда уравнение приобретет следующий вид:

sin(x+\varphi )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}};

Откуда

x=-\varphi +(-1)^narcsin(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})+\pi n,\;n\in Z,

где \varphi =arccos(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})  или \varphi =arcsin(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}).

Заметим при этом, что если \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}>1, то решений нет.

Пример 2.

Решим уравнение: 3cosx+5sinx=4.

Делим обе части уравнния на \sqrt{3^2+5^2}, то есть на \sqrt{34}:

\frac{3}{\sqrt{34}}cosx+\frac{5}{\sqrt{34}}sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};

Пусть, например,  \frac{3}{\sqrt{34}}=sin\varphi,  тогда \frac{5}{\sqrt{34}}=cos\varphi.

Имеем:

sin\varphi cosx+cos\varphi sinx=\frac{4}{\sqrt{34}};

sin(\varphi +x)=\frac{4}{\sqrt{34}};

x=(-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-\varphi +\pi n,\; n\in Z,

где \varphi =arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}).

Ответ: (-1)^narcsin(\frac{4}{\sqrt{34}})-arcsin (\frac{3}{\sqrt{34}}) +\pi n,\; n\in Z.

 

egemaximum.ru

Метод введения вспомогательного угла

Преобразование выражения a sin х + b cos х путем введения вспомогательного угла

Лемма. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а2 + b2 = 1, то существует угол φ, такой, что

а = cos φ; b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

$$ (\frac{\sqrt3}{2})^2 + (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 $$

Поэтому существует угол φ, такой, что \( \frac{\sqrt3}{2} \) = cos φ; 1/2 = sin φ.

В качестве φ в данном случае можно выбрать любой из углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.

Доказательство леммы:

Рассмотрим вектор \(\vec{0А}\) с координатами (а, b). Поскольку а2 + b2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ - угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

$$ a sinx + b cosx = \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}cosx) $$

Поскольку

$$ (\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}})^2 = 1 $$

первое из чисел \( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) и \( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) можно рассматривать как косинус некоторого угла φ, а второе - как синус того же угла φ:

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = cos\phi, \;\; \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = sin\phi $$

Но в таком случае

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\)(cos φ sin х + sin φ cos х) = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin ( x + φ )

Итак,

a sin х + b cos х = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) sin (x + φ) , где угол φ определяется из условий

$$ sin\phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \;\; cos\phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

Примеры.

1) \( sin x + cos x = \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} sin x + \frac{1}{\sqrt2}cos x) = \sqrt2 (cos\frac{\pi}{4}sin x + sin\frac{\pi}{4}cos x ) =\\= \sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4}) \)

Полученную формулу sin x + cos x = \(\sqrt2(sinx + \frac{\pi}{4})\)полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt{9+16}(\frac{3}{\sqrt{9+16}}sinx - \frac{4}{\sqrt{9+16}}cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac{3}{5} - cosx\cdot\frac{4}{5}) = 5sin(x - \phi), $$

где под φ можно подразумевать любой угол, удовлетворяющий условиям:

cos φ = 3/5 , sin φ = 4/5

В частности, можно положить φ = arctg 4/3. Тогда получим:

3 sin х - 4 cos x = 5 sin (x - arctg 4/3).

razdupli.ru

Тема урока: Метод введения вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс

Тема урока «Теорема Виета» 8 класс Тема урока «Теорема Виета» 8 класс Учитель: Демина Т.В. Цели урока: 1. Познакомить учащихся с теоремой Виета; 2. Научить применять теорему Виета для составления квадратных уравнений; 3. Сформулировать

Подробнее

Урок алгебры в 10-м классе

Урок алгебры в 10-м классе Урок алгебры в 10-м классе Тема урока: «Тригонометрические тождества». Тип урока: Формирование умений и навыков. Цель урока: Повторение и закрепление понятия тождества на примере тригонометрических формул,

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ Учитель: Вихрова Оксана Николаевна Класс: 4. Дата проведения: 13.10.15 г. Тема: Доли. Получение и образование долей. Тип урока: Открытие нового знания. Цели урока: Предметные:

Подробнее

Урок математики в 3 «б» классе

Урок математики в 3 «б» классе Урок математики в 3 «б» классе Тема: Переменная. Запись выражений и предложений с помощью переменной Цели: 1. Дать понятие о переменной, как букве, обозначающей меняющиеся (переменные) значения элементов

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока Организационная информация Автор/ы урока/занятия/мероприятия Латышева Наталья Алексеевна, учитель математики (ФИО, должность) Образовательное учреждение МОУ «Лицей 1» Предмет

Подробнее

Ягубов.РФ. Решение. 2

Ягубов.РФ. Решение. 2 Данное пособие по математике предназначено для учителей выпускающих класс общеобразовательных школ и ориентировано на подготовку учащихся старшей школы к решению задач по теме «Уравнения» и в частности

Подробнее

Конспект урока алгебры в 10 классе

Конспект урока алгебры в 10 классе Конспект урока алгебры в 10 классе Тема: Основные тригонометрические формулы. Тип урока: систематизация и обобщение изученного материала. Тригонометрический турнир. Цель урока: обобщить и систематизировать

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

действия деятельности

действия деятельности Технологическая карта урока Предмет алгебра Класс 9 Автор УМК Алгебра 9 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, М.Н. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин Москва «Просвещение»

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ Изучение математики на базовом уровне среднего общего образования направлено на достижение следующих целей: формирование представлений о математике как универсальном

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, [email protected], (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 1 Алгебраические уравнения: рациональные (содержат только целые степени неизвестной) и иррациональные (содержат дробные степени неизвестной) ) Показательные и логарифмические (неизвестная

Подробнее

docplayer.ru

Введение вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений. Методы решения тригонометрических уравнений. Введение вспомогательного аргумента

Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».

Цели урока:

образовательные:

Сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;

Углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

воспитательные:

Воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

Формирование умения анализировать поставленную задачу;

развивающие:

Формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду

ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.

В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.

Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:

соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).

При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.


4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:

Как видим, получается тот же результат.

Рассмотрим еще один пример:

В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:

Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:

asinx + bcosx = c ,

тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:


которое легко решается.

Решим еще одно уравнение:

Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:

Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:

что тоже легко решается.

Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:

Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.

Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).

Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида (см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

(метод замены переменной и подстановки).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево:

Sin x + cos x – 1 = 0 ,

Преобразуем и разложим на множители выражение в

Левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

Sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

Sin x · (cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е. cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

Cos 4x · (cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

Cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

Уравнение называется однородным от носительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos (или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

Sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

Tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

Корни этого уравнения: y 1 = - 1, y 2 = - 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р. Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е. 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos ² (x / 2) + 5 sin ² (x / 2) =

7 sin ² (x / 2) + 7 cos ² (x / 2) ,

2 sin ² (x / 2) – 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) + 12 cos ² (x / 2) = 0 ,

tan ² (x / 2) – 3 tan (x / 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида :

a sin x +

realartist.ru

Конспект урока по алгебре на тему "Решение тригонометрических уравнений. Метод введения вспомогательного аргумента"

План-конспект урока по предмету

Алгебра

«Решение тригонометрических уравнений.

Метод введения вспомогательного аргумента»

Автор: Ишмухаметова Р.Р.

Конспект урока по теме

«Решение тригонометрических уравнений. Метод введения вспомогательного аргумента»

1. Организационный момент.

Приветствие, создание позитивного эмоционального настроя.

( На уроке учащиеся будут работать в группах, поэтому нужно представить старших групп, рассказать о правилах работы в группе и о самооценке своей работы на уроке.).

У.: У нас сегодня будет с одной стороны обычный урок, т.к. мы с вами будем решать, решать и решать, но с другой стороны он будет и необычным. Как вы думаете почему?

Ответ: открытый урок.

А вот и не угадали. Мы с вами будем решать почти весь урок только одно уравнение. Но об этом немного попозже.

2.Актуализация знаний.

А сейчас давайте вспомним методы решения тригонометрических уравнений.

Ответ: Метод замены переменной, метод разложения на множители вынесением за скобки, метод разложения на множители с помощью формул суммы и разности синусов и косинусов, т.е. преобразование суммы в произведение и решение уравнений с использованием однородности.

(на экране появляются тригонометрические уравнения, учащиеся называют способы решения уравнений и по мере называния способы появляются на экране, справа от столбца уравнений )

sin x + cos x = 0

Б. Метод разложения на множители

  1. sin 5x - sin x = 0

В. Метод преобразования суммы в произведение

  1. 4sin2x - cos x = 1

Г. Метод однородных уравнений

  1. sin2x -5sinxcosx + 6cos2x=0

Д. Другой метод

Работа в группах: 2. 1. Решение задания на соответствие тригонометрических уравнений и методов решения.

Задание группам: соединить стрелочками метод решения и уравнение. Обсуждают в группах, а затем проверяем, спрашиваю например 1 группу, а остальные проверяют и обсуждаем решение.

Даю время 2 мин, на самооценку 1 задания. На экране появляются критерии самооценки:

2.2. Решение данных тригонометрических уравнений и проверка их на доске.

Задание: решить данные тригонометрические уравнения (каждая группа решает все уравнения, но внутри группы распределяют, кто какое будет решать уравнение). Затем каждая группа записать решение на доске и объяснить метод решения одного уравнения на выбор.

Даю время 2 мин на самооценку. На экране появляются критерии самооценки:

2 балл - за решенное уравнение, но с допущенной ошибкой;

1 балл - за недорешенное уравнение;

И плюс 1 балл за ответ у доски.

3. Открытие новых знаний.

3.1.Постановка проблемы: проблемная ситуация с затруднением

  • Мы с вами при решении уравнений чаще всего не сразу видели, какой это способ решения.

  • Что мы для этого делали?

  • Сейчас я каждой группе предложу свой метод решения этого уравнения, а вы попробуете, выполнив какие-либо преобразования решить уравнение и отметить решение уравнения на единичном тригонометрическом круге. Затем разберем решение на доске. Если вы не сможете догадаться какое преобразование нужно выполнить, вы можете взять подсказку. Подсказки будут платные. Стоят они 0,5 балла.

Подсказки напечатаны на карточках и разложены на столе учителя. Метод решения и шпаргалки к этому методу решения уравнения определенного цвета.

3.2. .Обсуждение и решение проблемы по группам.

3.3.Обсуждение проблемы у доски.

Записывают решения на доске и объясняют. Сделать вывод о решении после каждого объяснения.

На экране появляются 5 единичных тригонометрических круга, на которых отмечены решения уравнения.

hello_html_m4dc39362.gif

hello_html_6ebe5360.gif

hello_html_7436e1ba.gif

hello_html_m714dfd00.gifhello_html_m513dc7bd.gifhello_html_m271f681d.gifhello_html_m5d99129a.gif

hello_html_m6949ec68.gif

hello_html_10555d91.gif

hello_html_25a065e1.gif

hello_html_10555d91.gifhello_html_7436e1ba.gifhello_html_m5d99129a.gif

hello_html_m5d99129a.gif

hello_html_10555d91.gif

hello_html_25a065e1.gif

3.4. Выводы и предложения по решению уравнения.

Почему такое произошло?

-Что мы делаем в этом случае? Как проверить кто прав?

Как выполняется проверка?

  • 4 ответа одинаковые, а один ответ - другой.

  • Допустили ошибку при решении

или возник посторонний корень при возведении в квадрат

  • Сделать проверку.

  • подставить в уравнение и если получим верное равенство, значит, этот корень является решением уравнения.

У.: Давайте выполним проверку корней уравнения. Каждая группа проверит одно решение.

Раздать листы с заданием, какой корень проверить, а затем результат вывешиваем на доску и делаем вывод о достоверности решений.

Вывод: Значения х = 0 и 2П и х = П\2 являются решениями уравнения, а значения х = П и х =3 П\2 не являются решениями данного уравнения или это так называемые посторонние корни.

У.: почему они возникли и при решении каким способом?

О.: при возведении в квадрат.

У.: Как можно уточнить ответ уравнения или что можно исключить из множества всех действительных чисел?

При каких значениях n у нас получаются верные решения, а при каких – не верные или посторонние?

Ответ: при п четных - верные, а при п нечетных – неверные.

3.5.Введение нового метода решения данного типа уравнения.

  • Если назовут несколько способов, то сначала проанализировать какие способы применяли при решении этого уравнения, и только потом этот способ появится как новый.

  • Как вы думаете как в общем виде можно записать уравнение, которое мы решали?

  • У кого какие идеи, гипотезы?

  • У кого какие мнения?

  • Откройте учебники и найдите параграф, где говорится о решении уравнений такого вида. Прочитайте его.

  • А теперь давайте попробуем составить алгоритм решения уравнений такого вида.

На экране появляется постепенно алгоритм решения уравнения.

a cos x + b sin x = c,

1) делим мы на hello_html_1f2c01f6.gif

2) Уравнение принимает вид

hello_html_419b797e.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

3) Вводим вспомогательный аргумент (угол), такой, что hello_html_1e2c74cd.gif и hello_html_7abff854.gif

Т.о. уравнение можно записать в виде

hello_html_m7701b382.gif

hello_html_m7ac7a5f0.gif , а это простейшее тригонометрическое уравнение.

Запишите себе в тетрадь.

Чему равны а, в и с в нашем уравнении?

Как можно получить в нашем случае из а и в hello_html_20329080.gif

a cos x + b sin x = c,

делим мы на hello_html_1f2c01f6.gif

а=1, в=1 и с=1

hello_html_20329080.gif= hello_html_48bf5eb3.gif

.

4. Закрепление изученного материала.

4.1.Работа с учебником по поиску подобных уравнений.

Найдите на с.189 номер с подобным типом уравнений и давайте выберем уравнения, которые будем решать

4.2.Решение найденных уравнений изученным методом.

Выбираем и решаем в зависимости от времени.(№ 625 1,3 или 4)

Ответы записывают на листах и вывешиваем на доску. Анализируем решение и ставим оценки.

5. Подведение итогов.

После уточнения вывешиваю тему на доску.

  • И все таки какой метод из примененных вами вам больше всего понравился?

  • Почему?

  • Как видим этот тип уравнений можно решать любым из данных методов, лишь бы он был вам понятен.

  • Решение тригонометрических уравнений

  • Предложения студентов

  • Молчание или неточная формулировка

нений. Метод введения вспомогательного аргумента (или угла)

Самооценка.

Каждая группа с учетом набранных баллов оценивает свой вклад в работу на уроке.

Проставьте на листе оценки за работу на уроке.

6. Задание для внеаудиторной самостоятельной работы.(появляется на экране)

Прочитать §.36 п.2 и решить № 664.

На «3» - решить новым способом уравнения этого номера.

На «4» - решить 2 способами уравнения этого номера;

На «5» - решить всевозможными способами эти уравнения.

Рефлексия:

А теперь выразите свое отношение к уроку. Понравился он вам или нет, получили ли вы новые знания, или этот урок оставил вас равнодушными к математике.

Прикрепить к синусоиде (она вывешивается на доску) кружочки желтого, зеленого и коричневого цвета. Желтые крепятся сверху, коричневые – снизу синусоиды, а зеленые на ось Ох.

Посмотрите как мы сегодня поработали . Молодцы!

Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания.

Домашнее задание:

Прочитать §36 п.2

и решить №664

На «3» - решить новым способом уравнения этого номера.

На «4» - решить 2 способами уравнения этого номера;

На «5» - решить всевозможными способами эти уравнения.

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск