Вычислить корень из числа: Калькулятор квадратных корней

Posted on by alexxlab

Содержание

Вычисление корня в Python – квадратный, кубический, n-степени

Содержание:развернуть

Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().

Но обо всём по порядку.

Что такое квадратный корень

Корнем квадратным из числа «X» называется такое число «Y», которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число «X».

Операция нахождения числа «Y» называется извлечением квадратного корня из «X». В математике для её записи применяют знак радикала:

Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора «**»:

a = 2 b = a ** 2 print(b) > 4

А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:

import math

Функция sqrt() принимает один параметр — то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения —

float.

import math import random # пример использования функции sqrt() # отыщем корень случайного числа и выведем его на экран rand_num = random.randint(1, 100) sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num) print('Случайное число = ', rand_num) > Случайное число = 49 print('Корень = ', sqrt_rand_num) > Корень = 7.0

Квадратный корень

Положительное число

Именно на работу с неотрицательными числами «заточена» функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:

import math print(math.sqrt(100)) > 10.0

А можете — из вещественных:

import math print(math.sqrt(111. 5)) > 10.559356040971437

Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:

print(math.sqrt(70.5)) > 8.396427811873332 # возвести в степень можно так print(8.396427811873332 ** 2) > 70.5 # а можно с помощью функции pow() print(pow(8.396427811873332, 2)) > 70.5

Отрицательное число

Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.

Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.

Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:

print(math.sqrt(-1)) > ValueError: math domain error

Ноль

Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе.

Результат тривиален и ожидаем:

print(math.sqrt(0)) > 0.0

Кубический корень

Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:

Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида 1/n.

# Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**" a = 4 b = a ** 0.5 print(b) > 2.0

В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:

👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:

print(pow(8, 1/3)) > 2. 0

Или же:

print(8 ** (1/3)) > 2.0

Корень n-степени

То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.

# извлечём корень 17-й степени из числа 5600 x = 5600 y = 17 z = pow(x, (1/y)) print(z) > 1.6614284717080507 # проверяем корректность результата print(pow(z, y)) > 5600.0

Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:

import random # точность можно задать на ваше усмотрение x = random.randint(1, 10000) y = random.randint(1, 100) z = pow(x, (1 / y)) print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z) # при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений print('Проверка', pow(z, y)) # но специально для вас автор накликал целочисленный результат > Корень степени 17 из числа 6620 равен 1.
6778624404513571 > Проверка 6620.0

Решение реальной задачи с использованием sqrt

Корень — дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.

Соотношение a2 + b2 = c2, где «a» и «b» — катеты, а «c» — гипотенуза — естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.

📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:

  1. Ваше местоположение;
  2. Центр Земли;
  3. Пиковая высота вышки.

Модель готова, приступаем к написанию кода:

import math # расстояние от вас до вышки from_you_to_base_station = 23 # радиус земли earth_radius = 6371 # расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2) # расчет высоты вышки(км) base_station_height = height - earth_radius print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) > Требуемая высота(м): 42

Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.

Квадратный корень из 3;2;5 — Квадратный Корень

Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

Геометрия

Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

является длиной диагонали куба со стороной 1.

Использование в других областях

Энергетика

При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

  • 3/2 = 1. 5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.[1]

Его приблизительное значение с 59 цифрами после запятой является:

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.[2]

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

Золотое сечение

√5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.[3]

() алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:[4]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле  — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями. [5][6]

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

Как вычислить корень из числа без калькулятора? —

Как извлечь квадратный корень из числа без калькулятора?

Рекомендуемый клип · 108 сек.

Как вычислять корни без Калькулятора ЕГЭ Математика 2018

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как вычислить корень из числа?

0:33

2:28

Рекомендуемый клип · 77 сек.

Как извлечь квадратный корень — YouTube

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как вычислить квадратный корень из числа?

0:13

1:48

Рекомендуемый клип · 91 сек.

Как найти квадратный корень — YouTube

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как решать без калькулятора?

Рекомендуемый клип · 79 сек.

Как научиться считать без калькулятора | Осторожно, спойлер

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как взять кубический корень из числа?

Запишите задачу.

  • Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой.
  • Возле и над числом нарисуйте знак корня.
  • Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую.

Как извлечь квадратный корень из Пятизначного числа?

Рекомендуемый клип · 98 сек.

Извлечение квадратного корня из пятизначного числа — YouTube

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как вычислить корень из 100?

0:44

1:48

Рекомендуемый клип · 48 сек.

Как найти квадратный корень — YouTube

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Какой корень из 6?

Корень квадратный из 6 равен 2. 4494897427832

степени→ числа↓78
61.291711.25103
71.320471.27537
81.34591.29684
91.368741.31607

Ещё 6 строк

Как извлечь корень из десятичного числа?

Рекомендуемый клип · 118 сек.

Квадратный корень из десятичной дроби без калькулятора

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как решить корень?

Рекомендуемый клип · 80 сек.

Математика | Корни — YouTube

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Как извлечь квадратный корень в столбик?

Рекомендуемый клип · 105 сек.

#140. КАК ИЗВЛЕКАТЬ КОРНИ В СТОЛБИК? В ШКОЛЕ НЕ

YouTube

Начало рекомендуемого клипа

Конец рекомендуемого клипа

Что такое корень из числа?

Квадра́тный ко́рень из числа (корень 2-й степени, ) — число , дающее при возведении в квадрат. Равносильное определение: квадратный корень из числа — решение уравнения Операция вычисления значения называется «извлечением квадратного корня» из числа .

Как вычислить квадратный корень числа в Excel —

Микрофост Эксель это чрезвычайно мощный инструмент, который можно использовать для решения сложных расчетов. Однако многие случайные пользователи используют Excel только для базовых потребностей в табулировании, не используя его для выполнения даже самых простых математических операций. Но есть ситуации, когда вы вынуждены делать вычисления в Excel, чтобы ускорить процесс. Один из наиболее распространенных расчетов, которые пользователи Excel должны сделать, это выяснение квадратного корня числа.

Имея это в виду, мы создали статью с пятью различными методами, которые помогут вам вычислить квадратный корень из числа в Excel. Все они приведут к одному и тому же результату, но некоторые из них легче, чем другие. Приведенные ниже методы упорядочены по сложности, поэтому попробуйте придерживаться первых трех методов, если вы не заядлый пользователь Excel.

Давай начнем!

Метод 1: Расчет квадратного корня с использованием функции SQRT

Использование функции SQRT — один из самых простых способов узнать квадратный корень числа. Его чрезвычайно легко использовать, поскольку все, что вам нужно сделать, это передать номер (или ссылку) ячейки, содержащей номер, в функцию SQRT.

Синтаксис для этого метода есть:

SQRT (число)

Заметка: число является заполнителем для фактического номера или для ссылки на ячейку, которая содержит номер.

пример

Для простоты, скажем, мы хотим узнать квадратный корень из числа 9 (расположен на A2). Чтобы сделать это с помощью функции SQRT, все, что нам нужно сделать, это вставить следующую формулу в ячейку результата (БИ 2): ‘= SQRT (А2)».  

Использование функции SQRT

Замечания: Имейте в виду, что мы могли бы также использовать номер напрямую, вместо ссылки на ячейку —= SQRT (9)

Тем не менее, есть одна небольшая проблема в использовании функции SQRT напрямую — если вы попытаетесь передать отрицательное число, он покажет #NUM! ошибка вместо фактического результата.

Пример #NUM! ошибка

Избежать #NUM! При ошибках при использовании функции SQRT рекомендуется использовать функцию ABS вместе с функцией SQRT. Функция ABS конвертирует число в абсолютное число. В нашем случае он преобразует отрицательные числа в положительные числа. Вот пример:

Пример с использованием функции ABS

Метод 2: Расчет квадратного корня с использованием функции Power

Использование функции POWER — это еще один способ вычисления квадратного корня числа в Excel. Тем не менее, он работает немного по-другому по сравнению с функцией SQRT. Используя функцию POWER, мы можем найти квадратный корень определенного числа, увеличив число до N-й степени.

Вот синтаксис для метода:

МОЩНОСТЬ (число, мощность)

Замечания: число является заполнителем для фактического номера или ссылки на ячейку, в то время как мощность это показатель, чтобы поднять число до этой степени.

Учитывая тот факт, что мы хотим найти квадратный корень числа, мы можем использовать атрибут power как «1/2». В этом случае формула становится МОЩНОСТЬ (число 1/2).

пример

Для простоты давайте снова предположим, что нам нужно найти квадратный корень числа ячейки A2 (в нашем случае это 9). Чтобы сделать это, мы можем использовать аргумент власти как 1/2 в полученной ячейке (B2).

Пример использования функции Power для поиска квадратного корня

Метод 3: Использование оператора экспоненты, чтобы найти квадратный корень числа

Многие опытные пользователи Excel считают этот метод самым простым способом найти квадратный корень числа. (1/2) в ячейке результата даст нам число квадратного корня.

Пример использования оператора экспоненты для нахождения квадратного корня числа

Способ 4: использование сценариев VBA найти квадратный корень числа

Этот метод немного продвинут, поэтому, если вы не знакомы со сценариями VBA, попробуйте придерживаться первых трех методов. Четвертый способ найти квадратный корень числа — использовать коды VBA.

Для решения этого конкретного сценария есть два разных кода, которые вы можете использовать для возврата квадратного корня из числа. Продолжайте читать ниже для кодов, а также инструкции о том, как обеспечить их соблюдение.

Код VBA 1: возвращение квадратного корня при выделении ячейки

Всякий раз, когда вы запустите этот код VBA, он проверит значение выбранной ячейки. Если это значение является числом, оно непосредственно вычислит квадратный корень этого числа и покажет его в окне сообщения.

Но имейте в виду, что этот код будет работать только до тех пор, пока вы не выберете более одной ячейки

Код:

Sub getSquareRoot ()
Dim Rng As Range
Dim sqr As Long
Если Application.  (1/2)
MsgBox "Квадратный Корень"  кв  " является "  sqr, vbOKOnly, "Квадратное корневое значение"
еще
MsgBox "Пожалуйста, введите номер.", VbOKOnly, "Ошибка"
End If
End Sub
Как вставить и запустить код VBA в Excel

Если вы решите использовать код VBA, вы можете выбрать один из двух приведенных выше вариантов — выбрать тот, который имеет больше смысла для всего, что вы пытаетесь сделать.

Но чтобы использовать этот код, вам нужно знать, как его вставить и запустить. Вот краткое руководство по всему на случай, если вам понадобится дальнейшее руководство:

  1. Откройте таблицу, к которой вы хотите применить код VBA, и нажмите Alt + F11 открыть Visual Basic Editor (VBE).
  2. Как только вы находитесь внутри Visual Basic Editor, щелкните правой кнопкой мыши таблицу, на которую вы нацеливаетесь, и выберите Вставить> Модуль (используя контекстное меню).
    Вставка кода VBA
  3. После того, как код был вставлен. Нажмите Ctrl + S сохранить изменения. Затем выберите местоположение для вашего измененного документа Excel и нажмите Сохранить кнопка.
    Сохранение измененного документа Excel
  4. Если вам будет предложено не сохранить проект VB как книгу без макросов, нажмите нет по подсказке.
    Выбор типа файла с поддержкой макросов
  5. Под Сохранить как тип, установите тип файла Книга с поддержкой макросов Excel.
    Задание типа файла в качестве книги Excel с поддержкой макросов
  6. После сохранения кода нажмите Alt + Q, чтобы закрыть редактор VBA и вернуться к своей книге.
  7. Теперь, чтобы открыть ранее созданный код VBA, нажмите Alt + F8 открыть макрос Диалог. Как только вы попадете туда, выберите макрос, который вы хотите запустить, и нажмите Бежать кнопка.
    Выполнение кода VBA, который мы ранее создали
  8. Через некоторое время вы увидите результат вашего кода VBA.
    Результат кода VBA 1

Метод 5: Использование Power Query для преобразования чисел в квадратные корни

Это самый продвинутый метод из множества, но у этой стратегии есть огромное преимущество — она ​​позволяет конвертировать несколько чисел в их квадратные корни.

Создание мощного запроса, способного сделать это, немного трудоемко, но сэкономит вам много времени, если у вас много чисел, которые нужно преобразовать в квадратные корни.

Другое большое преимущество этого мощного запроса состоит в том, что вы получите динамический метод — это означает, что каждый раз, когда вы вводите новое значение в таблицу, он автоматически возвращает квадратный корень из этого числа.

Если вы решили создать мощный запрос, способный сделать это, следуйте инструкциям ниже:

  1. Сначала выберите любую ячейку в таблице и перейдите на ленту вверху, чтобы выбрать Данные> Получить Преобразовать данные, затем нажмите на Из таблицы.
    Выбрав любую ячейку, перейдите к данным и нажмите «Из таблицы / диапазона» (в разделе «Получить»). Преобразовать данные)
  2. Как только вы нажмете на это, Excel откроет мощный редактор запросов, который включает вашу таблицу. Нажмите Хорошо чтобы подтвердить создание вашей таблицы.
    Создание таблицы из ваших чисел
  3. В редакторе Power Query перейдите на ленту вверху и нажмите на Добавить столбец Вкладка. Затем нажмите на Пользовательский столбец.
    Перейти к Добавить столбец и нажмите на Пользовательский столбец
  4. Это откроет новое окно Custom Column. Как только вы попадете туда, введите Квадратный корень под Имя новой колонки. Затем перейдите вниз и вставьте следующую формулу в поле формулы столбца «Пользовательский»:
    = Number.Sqrt ([Числа])
    Квадратная формула для Power Query
  5. Нажмите Хорошо подтвердить создание этого нового пользовательского столбца. Вы заметите, что таблица только что получила дополнительный столбец с квадратными корнями чисел, которые у нее были ранее.
    Конечный результат запроса POWER квадратного корня

Извлечение квадратного корня из суммы или разности

При работе с иррациональными числами наибольшие затруднения возникают в случае, когда необходимо извлечь корень из суммы или разности двух чисел: чаще одного рационального, а другого — иррационального. Рассмотрим на примере:


Так как отсутствует формула, позволяющая разбить данный корень на разность двух корней, 

мы воспользуемся следующими формулами: 

 и

Таким образом, выделив под корнем три слагаемых и свернув их в формулу квадрата разности (в нашем случае), извлечем корень из квадрата, что упростит дальнейшие вычисления.

Итак, начнем с иррационального числа, в нашем случае это -16√3. То, что число отрицательное, показывает нам, что сворачивать будем в квадрат разности. Число -16√3 содержит в себе удвоенное произведение двух чисел. Т.е. -16√3=-2ab. Это означает, что ab=8√3. Переберем все возможные варианты:

  1. 8√3=8*√3;
  2. 8√3=2*4√3;
  3. 8√3=4*2√3;
  4. 8√3=1*8√3.

Для формулы необходимо к удвоенному произведению добавить сумму квадратов выражений a и b. Выполним это для каждого из вариантов и определим, в каком из случаев сумма будет составлять 28, чего требует условие.

  1. -2*8*√3+64+3=67-16√3;
  2. -2*2*4√3+4+48=52-16√3;
  3. -2*4*2√3+16+12=28-16√3;
  4. -2*1*8√3+1+192=193-16√3.

Получается, что нам подходит третий случай, в котором выражение 28-16√3 раскладывается в формулу квадрата разности двух выражений: 4 и 2√3. Свернем по формуле и продолжим вычисления: 

Теперь необходим раскрыть модуль, используя определения модуля. Для этого нужно определить знак подмодульного выражения. Т.к. 4>2√3 (чтобы узнать, какое число больше, можно просто возвести оба этих числа в квадрат. И т.к. квадрат 4 равен 16, а квадрат 2√3 равен 12 и 16>12, то и 4>2√3), то модуль раскрывается с тем же знаком, т. е. |4-2√3|=4-2√3.

Для закрепления данной темы предлагаю вам самостоятельно извлечь корень из следующих выражений: 

чисел — квадратные корни — глубина

Многие математические операции имеют обратную или противоположную операцию. Вычитание противоположное сложения, деления является обратным умножению и т. д. Квадрат, о котором мы узнали на предыдущем уроке (экспоненты), есть и обратное, называемое «нахождение квадратного корня». Помните, квадрат числа — это число, умноженное на само число. Идеальные квадраты — это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Квадратный корень числа, n, написано

это число, которое дает n при умножении на себя.Например,

потому что 10 х 10 = 100

Примеры

Вот квадратные корни из всех полных квадратов от 1 до 100.

В поисках квадрата корни чисел, которые не являются точными квадратами без калькулятора

1. Оценка — во-первых, подойдите как можно ближе, найдя два идеальных квадратных корня из ваших число находится между.

2.Разделять — разделите ваше число на один из этих квадратных корней.

3. Среднее — возьмите среднее значение результата шага 2 и корень.

4. Используйте результат шага 3, чтобы повторять шаги 2 и 3, пока не получите точное число достаточно для вас.

Пример: Вычислите квадратный корень из 10 () до 2 знаков после запятой.

1. Найти между двумя точными квадратами.

Решение:
3 2 = 9 и 4 2 = 16, поэтому находится между 3 и 4.

2. Разделить 10 на 3. 10/3 = 3,33 (ответ можно округлить)

3. Среднее 3,33 и 3. (3,33 + 3) / 2 = 3,1667

Повторить шаг 2: 10 / 3,1667 = 3,1579
Повторите шаг 3: Среднее значение 3,1579 и 3,1667. (3,1579 + 3,1667) / 2 = 3,1623

Попробуй ответ -> Это 3.1623 в квадрате равно 10? 3,1623 x 3,1623 = 10,0001

Если это верно хватит тебе, можешь остановиться! В противном случае вы можете повторить шаги 2 и 3.

Примечание : Есть несколько способов вычислить квадратные корни без использования калькулятора. Это только один из них.

назад наверх

Как определить корни с помощью научного калькулятора — видео и стенограмма урока

Квадратный корень

Чтобы вычислить квадратный корень, воспользуйтесь кнопкой квадратного корня на вашем научном калькуляторе.Чтобы использовать эту кнопку, вам необходимо знать, как работает ваш калькулятор. В некоторых калькуляторах сначала нужно ввести число, а затем нажать кнопку извлечения квадратного корня. В других случаях вы сначала нажимаете кнопку извлечения квадратного корня, а затем свое число. Так, например, чтобы найти квадратный корень из 5, вы нажмете эти кнопки, если в калькуляторе вы сначала вводите число.

Квадратный корень из 5 должен быть около 2,236.

Пользовательская кнопка корня

Чтобы найти другие корни, вы воспользуетесь специальной кнопкой, которая позволит вам выбрать корень.Если вы не видите такой кнопки, возможно, она находится в меню одной из функциональных клавиш.

Вы можете использовать настраиваемую корневую кнопку , чтобы найти кубический, четвертый и пятый корни или любой положительный целочисленный корень. Чтобы использовать эту кнопку, вам нужно посмотреть руководство к своему калькулятору. В некоторых калькуляторах вы сначала вводите число, затем кнопку корня, а затем желаемый корень. В других случаях вы выполняете эти операции в обратном порядке, начиная с желаемого корня, за которым следует кнопка корня и номер.

Чтобы найти кубический корень из 5 с помощью калькулятора, в который вы вводите желаемый корень последним, вы нажимаете следующие кнопки:

Кубический корень из 5 должен быть около 1,7.

Кнопка экспоненты

Если в вашем калькуляторе нет настраиваемой кнопки корня, вы можете использовать кнопку настраиваемой степени, чтобы найти корень.

Чтобы использовать кнопку настраиваемой экспоненты , преобразуйте желаемый корень в показатель степени, инвертируя его или используя 1 в качестве числителя и корня в качестве знаменателя дроби.Таким образом, кубический корень становится показателем 1/3, квадратный корень становится показателем или степенью 1/2, а корень пятой степени становится 1/5 и так далее.

После преобразования желаемого корня используйте кнопки в круглых скобках, чтобы сообщить калькулятору, что у вас есть дробная экспонента. Итак, чтобы ввести квадратный корень из 9, вы должны нажать эти кнопки:

Помните, что в зависимости от вашего калькулятора вам может потребоваться сначала ввести дробную экспоненту, прежде чем нажимать кнопку настраиваемой степени.символ). Если у вас есть, вы можете использовать его вместо кнопки настраиваемой экспоненты. Обе кнопки означают, что базовое число взято в степень.

Практическая задача

Давайте попробуем вычислить седьмой корень из 24. Если в вашем калькуляторе вы выбираете корень в последнюю очередь, вы будете нажимать на такие кнопки.

Вы должны получить ответ около 1,5746.

Краткое содержание урока

На этом уроке вы узнали, как использовать научный калькулятор для вычисления корней. Корень в математике относится к этому символу:

Например, когда вы берете квадратный корень из числа, вы ищете число, которое при умножении само на себя дает заданное число. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 умножения на себя равно 9.

Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает данное число. Кроме того, любое положительное целое число может иметь корень.

При использовании научного калькулятора для нахождения корня вам необходимо следовать его руководству и посмотреть, вводите ли вы сначала число, а затем нажимаете кнопку корня, или наоборот. Настраиваемая кнопка корня может использоваться для вычисления кубического, четвертого и пятого корней или любого положительного целочисленного корня. Используя кнопку настраиваемой экспоненты , вы можете преобразовать корень в дробь, инвертируя его. В некоторых калькуляторах также есть кнопка курсора (которая представляет символ вставки ^), которую можно использовать вместо кнопки настраиваемой экспоненты.

Функция квадратного корня Python — настоящий Python