Тождественные преобразования выражений, их виды

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи. Основные виды тождественных преобразований мы рассмотрим в этой теме.

Тождественное преобразование выражения. Что это такое?

Впервые встречаемся с понятием тождественных преобразованный мы на уроках алгебры в 7 классе. Тогда же мы впервые знакомимся с понятием тождественно равных выражений. Давайте разберемся с понятиями и определениями, чтобы облегчить усвоение темы.

Определение 1

Тождественное преобразование выражения – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Часто это определение используется в сокращенном виде, в котором опускается слово «тождественное». Предполагается, что мы в любом случае проводим преобразование выражения таким образом, чтобы получить выражение, тождественное исходному, и это не требуется отдельно подчеркивать.

Проиллюстрируем данное определение примерами.

Пример 1

Если мы заменим выражение x+3−2 на тождественно равное ему выражение x+1, то мы проведем при этом тождественное преобразование выражения x+3−2.

Пример 2

Замена выражения 2·a6  на выражение a3 – это тождественное преобразование, тогда как замена выражения x на выражение x2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x2 не являются тождественно равными.

Обращаем ваше внимание на форму записи выражений при проведении тождественных преобразований. Обычно мы записываем исходное и полученное в ходе преобразования выражения в виде равенства. Так, запись x+1+2=x+3 означает, что выражение x+1+2 было приведено к виду x+3.

Последовательное выполнение действий приводит нас к цепочке равенст

zaochnik.com

Выражения с переменными

Вопросы занятия:

·  ввести понятие «выражение с переменными»;

·  ввести понятие «область определения выражения».

Материал урока

Вспомним, что на прошлом уроке мы говорили о числовых выражениях и значениях числовых выражений.

Числовым выражением называется запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Значением числового выражения называется число, которое получается при выполнении всех действий числового выражения.

Определение.

Буквенным выражением называется запись, состоящая из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, указывающих на порядок выполнения действий.

Строчные буквы латинского алфавита чаще всего используют при записи буквенных выражений.

Следует также знать, что и одна буква является буквенным выражением.

Давайте решим задачу.

Велосипедист двигается со скорость 15 километров в час. Какой путь он проедет за время t?

Известно, что путь можно найти скорость умножив на время. Тогда путь, который проедет велосипедист, будет равен 15t.

Теперь, если нам нужно будет узнать, какое расстояние проехал велосипедист, например, за 3 часа, мы подставим в выражение 15 ∙ t вместо буквы t число 3, то есть найдём значение выражения при t = 3, и получим 45 километров.

В нашем случае буква t называется переменой, а само выражение – выражением с переменной.

То есть, переменная – это буква, входящая в буквенное выражение, которая может принимать различные значения.

Например,

Если мы в выражение с переменной вместо переменной подставим число, то получим числовое выражение.

Например,

Теперь, прежде, чем перейти к решению упражнений, вернёмся к выражению 15t, которое мы получили при решении первой задачи. Здесь переменная t может принимать только положительные значения, так как время не может быть отрицательным, и это множество значений называется

областью определения выражения 15t.

Таким образом, важно помнить, что в область определения любого выражения могут входить только те значения переменных, при которых получается числовое равенство, имеющее смысл.

А сейчас давайте решим некоторые упражнения.

Пример.

Следующее упражнение.

Пример.

И последнее упражнение.

Пример.

videouroki.net

§ 2. Числовые выражения и выражения с переменными Основные сведения

Выражения, составленные из чисел, знаков действий и скобок, называются числовыми выражениями. Число, являющееся результатом выполнения всех действий в числовом выражении, называют значением числового выражения. О числовых выражениях, которые не имеют значения, говорят, что они не имеют смысла.

Для сравнения чисел используют знаки ,,,,

,. При этом могут использоваться двойные неравенства видаи т.п. Неравенства, в которых используются знакии, называютстрогими, в которых используют знаки и, –нестрогими.

Выражения, составленные из чисел, букв, знаков действий и скобок, называются буквенными выражениями или выражениями с переменной или с переменными. Множество значений переменной, при которых выражение с переменной имеет числовое значение (имеет смысл), называют

областью допустимых значений переменной данного выражения.

Выражения с переменными используются для записи чисел определенного вида. Например, запись означает любое трехзначное число, у которогосотен,десятков иединиц, т.е.. С помощью буквенных выражений удобно записывать математические правила, законы, определения. Например,определение модуля (абсолютной величины) числа можно записать так:

.

Элементы статистики

Ряд чисел, полученных в результате статистического исследования, называется статистической выборкой или просто выборкой, а каждое число этого ряда – вариантой выборки. Количество чисел в ряду называют объемом выборки. Запись выборки, когда последующая варианта не меньше предыдущей, называется упорядоченным рядом данных (или вариационным рядом).

Средним арифметическим выборки называется частное суммы всех вариант выборки и количества вариант (т.е. частное суммы всех вариант и объема выборки). Количество появлений одной и той же варианты в выборке называют частотой этой варианты. Варианта выборки, имеющая наибольшую частоту, называется модой выборки. Разность наибольшей и наименьшей вариант выборки называют размахом

выборки. Если в упорядоченном ряду данных нечетное число вариант, то средняя по счету варианта называется медианой. Если в упорядоченном ряду четное число вариант, то среднее арифметическое двух средних по счету вариант называется медианой.

Подготовительный вариант

1. Используя характеристическое свойство, запишите: а) множество A натуральных чисел, кратных 11; б) множество B натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3.

2. Найдите значение выражения при.

3. При каких значениях переменной выражение имеет смысл?

4. При каком значении переменной выражение

   не имеет смысла?

5. Составьте выражение для решения задачи. Моторный катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, вниз по течению и такое же расстояние вверх по течению. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь равно 4 ч.

6. Для ряда данных 3; 4; 4; 4; 5 найдите: а) размах; б) объем; в) среднее арифметическое; г) моду; д) медиану.

7. Заполните таблицу значений выражения с шагом 1 для.

8. Известно, что . Чему равно значение выражения: а); б); в)?

studfile.net

§ 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество.

Записи 2а+ 8, 3а+ 5b,а⁴–bсназывают выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А(х),В(х, у) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а+ 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменнойаподставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример. 8 : (4 –х) – область определенияR\{4}, т.к. прих= 4 выражение 8 : (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, хиу, то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а;b) таких, что при заменех нааиунаbполучается числовое выражение, имеющее значение.

Пример., область определения множество пар (а;b) │а ≥b.

Определение. Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А(х),В(х) тождественно равны на множествеХ, если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х₀их множества допустимых значений, значения выражений прих₀совпадают, т.е.А(х₀) =В(х₀) – верное числовое равенство.

Пример. (2х+ 5)²и 4х²+ 20х+ 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А(х)В(х). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множествеЕ, то они тождественно равны и на любом подмножествеЕ₁ Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7х+ 2 + 3х= 10х+ 2 — тождественное преобразование,не является тождественным преобразованием наR.

studfile.net

Выражения с переменными. Буквенные равенства и неравенства.

Выражениями с переменными называются выражения содержащие переменные.

В качестве переменных в выражениях используются буквы, поэтому их также называют буквенными выражениями. Буквенные выражения могут содержать как несколько букв, так и одну букву.

Например:

 

 

В задачах и примерах буквенные выражения используются для вычисления выражений с заданными переменными. То есть вместо букв надо подставить заданные значения:

Вычислить выражение

Подставляем в выражение значения вместо букв:

Произведения с переменными записывают без знака умножения (·):

Если в выражениях участвует деление, такие выражения записывают в виде дроби:

Соответственно выражение в предыдущем примере можно записать следующим образом:

Давайте рассмотрим ещё один пример:

при x = 2

Если в выражении встречается несколько раз одна и та же буква (переменная), то ей соответствует одно и то же значение.

В таком случае решение будет следующим:

 

Буквенными равенствами или равенствами с переменными называют выражения, которые содержат буквы (переменные).

В предыдущей статье мы рассматривали свойства числовых равенств и приводили выражение:

Это и есть пример буквенного равенства.

Буквенные равенства применяют, например, для записи различных физических или математических формул:

 

Например, вычисление периметра треугольника:

При подстановке численных значений переменных получаются верные или неверные числовые равенства.

Пример:

Это равенство верно при y = 4. А при y = 5 это равенство неверно.

Буквенные равенства обладают теми же свойствами, что и числовые.

Буквенными неравенствами называют неравенства с переменными.

Пример:

Это равенство будет верно при n = 10, и неверным при n = 2.

Спасибо, что Вы с нами!

 

 

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Выражения с переменными. 7-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: познакомить с понятиями выражение с переменными, значение выражения с переменными, формула, учить различать выражения, которые не имеют смысла.

Вид урока: комбинированный урок.

Оборудование: карточки для индивидуального опроса, карточки для игры «Математическое лото», презентация.

Ход урока

I. Инициация.

А) Проверка готовности к уроку.

Б) Приветствие.

II. Домашнее задание.

с.7 № 25, 31, 44.

III. Актуализация знаний.

А) Проверка домашнего задания.

№ 25

840=23*3*5*7; 1260=22*3*5*31

НОД (840, 1260)=23*3*5*7*31=26040.

Ответ: 26040.

№ 28

120=23*3*5

280=23*5*7

320=26*5

НОД (120, 280, 320)=23*5=40

40>30, 40 (уч.) – в первом классе.

Ответ: 40 учащихся.

№ 8

1 способ

х=3,2*200/1000; х=0,64.

0,64 (%) – жира

х=2,5*200/1000; х=0,5.

0,5 (%) – белка

х=4,7*200/1000; х=0,94.

0,94 (%) – углеводов

2 способ

1л=1000г

1000/200=5 (раз) – уменьшился объем молока

1. 3,2:5=0,64 (%) – жира
2. 2,5:5=0,5 (%) – белка
3. 4,7:5=0,94 (%) – углеводов

Ответ: 0,64 %,0,5 %, 0,94 %.

№ 18

а) 28+15; б) 6*3; в) 3-8,7; г) 0,8:0,4.

Б) Индивидуальные карточки.

К-1.

1. Найти НОД чисел 24 и 34.
2. Найти значение выражения: а) 69,95+27,8; б) 54,5-6,98.

К-2.

1. Найти НОД чисел 27 и 19.
2. Вычислить: а) 85-98,04; б) 65,7*13,4.

К-3.

1. Найти НОД чисел 17 и 36.
2. Вычислить: а) 0,48*5,6; б) 67,89-23,3.

В) Математическое лото.

Выполнить действия и получить изображение.

8,5-7,3	5,6+0,9	2,5-(3,2+1,8)
4,7*12,3	2*9,5+14	6,1*(8,4:4)
65:1,3	(10-2,7):5	(6,4+7):2

1,2	6,5	-2,5
57,81	33	12,81
50	1,46	6,7

IV. Формирование новых понятий и убеждений.

1. Новый материал.

Выражения с переменными

Двигаясь со скоростью 70 км/ч, автомобиль за 3 ч пройдет 70*3 км, за 4 ч – 70*4 км, за 5 ч – 70*5 км, за 5,5 ч – 70*5,5 км.

– А какое расстояние пройдет автомобиль за t часов? Вообще за t ч он пройдет 70t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 70t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить ее значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 70t называют переменной, а само выражение 70t – выражением с переменной.

Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны а см и в см. Тогда его площадь равна ав см2. Выражение ав содержит две переменные а и в. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях а и в. Например:

если а = 8 и в = 11, то ав = 8-11 = 88;

если а = 25 и в = 4, то ав = 25-4=100.

Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.

Так, число 88 есть значение выражения ab при а = 8 и 6=11, чис­ло 100 есть значение этого выражения при а = 25 и 6 = 4.

Некоторые выражения не имеют смысл при некоторых значениях переменной, а другие имеют смысл при всех значениях перемен­ных. Примерами могут служить выражения

х(х + 1), ау – 4.

Выражения с переменными используются для записи формул. Рассмотрим примеры.

Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е. m=2n.

Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значе­ниями переменной m будут четные числа. Формулу m= 2n называют формулой четного числа.

Формулу m= 2n + 1, где n – целое число, называют формулой не­четного числа.

Аналогично формуле четного числа можно записать формулу чис­ла, кратного любому другому натуральному числу.

Например, формулу числа, кратного 3, можно записать так: m=3n, где n – целое число.

V. Применение полученных знаний на практике.

Выполнение №№ 19-24 по учебнику.

Резерв №26.

VI. Рефлексия.

1. Что называется выражением c переменными?
2. Что такое значение выражения с переменной?
3. Приведите примеры выражения с переменными.

urok.1sept.ru

Урок на тему:»Выражение с переменной»

Тема урока: Цель урока: Планируемый результат обучения, в том числе формируемые УУД. Основные понятия

«Выражения с переменной» Объяснить детям, что такое выражение с переменной, как его читать, записывать и находить значения при определённых значениях переменной. Закреплять умение выделять высказывание, различать истинные и ложные высказывания. Повторять и закреплять знание табличных случаев сложения и вычитания в пределах Закреплять умение решать задачи. Познавательные УУД: самостоятельно «читать» и объяснять информацию, заданную с помощью схематических рисунков, схем, кратких записей; составлять, понимать и объяснять простейшие алгоритмы (план действий) при работе с конкретным заданием; Коммуникативные УУД: активно участвовать в обсуждениях, возникающих на уроке; вносить свой вклад в работу для достижения общих результатов; ясно формулировать вопросы и задания к пройденному на уроках материалу; ясно формулировать ответы на вопросы других учеников и педагога; участвовать в обсуждениях, работая в паре; ясно формулировать свои затруднения, возникшие при выполнении задания; не бояться собственных ошибок и участвовать в их обсуждении; Регулятивные УУД: принимать участие в обсуждении и формулировании цели конкретного задания; принимать участие в обсуждении и формулировании алгоритма выполнения конкретного задания; выполнять работу в соответствии с заданным планом; Личностные УУД:понимать и оценивать свой вклад в решение общих задач;быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению; не бояться собственных ошибок и понимать, что ошибки – обязательная часть решения любой задачи. Выражения, переменная, высказывания, выражение с переменной

Ход урока:

Звенит звонок веселый
Завет нас на урок.
Такой порядок в школе.
Не забывай дружок.
Все у парты ровно встали,
Улыбнулись, подравнялись
Тихо сели за свой стол.
Начинаем разговор.

Коммуникативные

II.Актуализация

знаний

Устный счет. Учебник стр. 14 №5

Найдите значение х.

Открываем свои тетрадки, 4 клеточки вниз, пишем число 19 сентября. Пропускаем клетку вниз, пишем Классная работа. Пропускаем 2 клетки вниз и посередине пишем – М.д. (Математический диктант).

К 7 прибавить 3

Найдите сумму чисел 6 и 4

Из 10 вычесть 2

К 9 прибавить 1

Из 10 вычесть 5

Уменьшаемое 10, вычитаемое 8, найдите разность

Запишите число,в котором 2 дес. И 3 ед.

10

10

8

10

5

2

23

Познавательные.

Регулятивные

Личностные

Регулятивные

(контроль)

III. Постановка темы урока

Скажите, как называется запись

9-7; 8-5; 9-в; 9+х.

А что такое выражение?

Давайте найдём значения этих выражений.

Выполнили задание?

Почему?

А как вы думаете, как называются буквенные значения.

А где мы уже с вами встречались с переменными?

А как можно назвать выражения, содержащие буквенные значения?

Так как называется тема нашего урока?

Открываем учебник на стр.20 №1

Катя придумала задачу: в вазе лежало 4 яблока. Несколько яблок взяли. Сколько яблок осталось?

Как вы думаете, как же можно записать выражение к задаче?

Ребята, а Петя, решая задачу Кати, начал рассуждать так: количество яблок взятых из вазы, не названо, значит, это неизвестное число. Обозначим его х. При этом х не может быть больше 4.

Продолжите рассуждение Пети.

А почему х не может быть больше 4?

Что же такое х в этом выражении?

Как называется выражение 4-х

Переменные обозначают не только буквами х и у, но и другими латинскими буквами, чаще всего строчными. Например: а, в, с.

Физкультминутка

Выражения

Выражение – это запись, в которой числа соединены знаками действия. Знаков сравнений в выражениях нет.

( Не смогли решить последнее выражение. Не умеем находить значение таких выражений.)

Переменные

В уравнениях

Выражения с переменной.

Выражения с переменной.

Предположения детей

Т.к в вазе лежало 4 яблока. (если в вазе лежало 4 яблока, а взяли х яблок, то можно записать такое выражение 4-х

Это переменная

Выражение с переменной

Познавательные.

(логические действия)

Познавательные

Регулятивные

(целеполагание)

Регулятивные

(прогнозирование)

IV.Применение полученных знаний

Открываем учебник на стр. 20,№ 3

Запишите выражения с переменной: а)разность а и восьми; б) разность одиннадцати и с; в) сумма в и трёх.

Найдите значения выражений, если а = 12, в=10, с = 6.

Перечислите все возможные значения переменной в выражении 11-с.

№4.

Сравните ( >,<=).

13-х *14-х

Подставьте вместо переменной числа 0,1,2,10.

Какие еще значения может принимать переменная х?

Придумайте вопросы к условию и решите задачи.

На стоянке стоят 5 красных грузовых машин, 2 красные легковые машины, 3 зеленные легковые машины и 4 зеленые грузовые машины.

Что нам известно в задаче?

Какой вопрос мы можем придумать к задаче?

Какой еще можно придумать вопрос?

№6

Найдите истинное высказывание.

а) б)

Это –ломаная Это – ломаная

в) Это – ломаная

№8.

Найдите сумму длин сторон квадрата со стороной а см, асли а= 2, а = 3.

Начертите квадрат со стороной 3 см.

На доске:

а) а-8

б) 11-с

в) в+3

Если а =12, то а-8

12-8=4;

Если в=10,то в+3

10+3=13

Если с =6, то 11-с

11-6=5

От 0 до 11

х=0

13-0 < 14-0

х =1

13-1 < 14-1

х =2

13-2 < 14-2

х=10

13-10 < 14-10

( 3,4,5,6,7,8,9,11,12,13)

В гараже стоят грузовые и легковые машины. Что грузовых 5 красных и 4 зеленые машины. Еще легковых – 2 красные и 3 зеленые легковые.

Сколько в гараже было грузовых и легковых машин?

1)5 +4=9(м.) грузовых

2) 2+3=5(м.) легковых

Ответ: в гараже было 9 грузовых и 5 легковых машин.

Сколько всего машин было в гараже?

5+4+2+3=14(м.) всего

Ответ: Всего в гараже было 14 машин.

б) – истинное высказывание

в) – истинное высказывание

У квадрата все стороны равны. Сторона квадрата равна а см. Значит сумма длин квадрата = а+а+а+а (см)

Если а= 2

2+2+2+2= 8(см)

Если а =3

3+3+3+3=12 (см).

Чертят квадрат со стороной 3 см.

Регулятивные

Коммуникативные

Познавательные

(формирование умений решать выражения )

Коммуникативные

Познавательные

Коммуникативные

Регулятивные

Личностные

Личностные

Регулятивные

Коммуникативные

V.Рефлексия учебной деятельности.

Чем мы занимались на сегодняшнем уроке?

Над какой темой работали?

Если ли вопросы по данной теме ?

Оцените работу класса на данном уроке.

Мы изучали новую тему: «Выражения с переменной».

Дети задают вопросы, оценивают работу класса.

Регулятивные

(оценка)

VI. Домашнее задание

Учебник стр. 21. №5, №7.

infourok.ru