Вывод производных arctg(x) и arcctg(x)
Вывод производной арктангенса
Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арктангенс:
y = arctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg y.
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная тангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arctg x;
x = tg y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого воспользуемся формулой и выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
.
Второй способ
Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .
Из таблицы производных имеем:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккотангенса
Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом
Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом:
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арккотангенс:
y = arcctg x.
Здесь независимая переменная x может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg y.
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Считаем, что производная котангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arcctg x;
x = ctg y.
Выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Для этого выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
.
Второй способ
Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7) .
Из таблицы производных находим:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.
Подставим в (7):
.
Отсюда
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
sin (2 arctg x)
Чтобы найти sin (2 arctg x), воспользуемся формулой синуса двойного угла. По формуле sin 2α = 2sinαcosα имеем: sin (2 arctg x) = 2sin(arctg x)cos(arctg x). Как найти sin(arctg x) и cos(arctg x), рассматривали ранее.
Примеры.
1) Найти sin (2 arctg 3).
Решение:
sin (2 arctg 3)=2sin(arctg 3)cos(arctg 3).
По определению арктангенса, арктангенс альфа — это такое число, тангенс которого равен альфа. Значит, arctg 3 — это число, тангенс которого равен 3. В прямоугольном треугольнике тангенс — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, в нашем примере
Нам нужен синус этого же угла альфа. Так как синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, находим по теореме Пифагора гипотенузу
затем — синус:
Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, отсюда
Таким образом,
2) Найти sin (2 arctg 1/2).
Решение:
sin (2 arctg 1/2)=2sin(arctg 1/2)cos(arctg 1/2).
www.uznateshe.ru
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Свойства функций
arcsin x + arccos x = /2
arctg x + arcctg x = /2 |
fgraphiks.narod.ru
1 arctg x
Вы искали 1 arctg x? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 arctg x, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 arctg x».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 arctg x,2 arctg x,arcctg,arcctg arctg,arcctg график,arcctg и arctg таблица,arctg,arctg 1 x,arctg 2 pi,arctg 2 x,arctg arcctg,arctg tg,arctg x 1,arctg x график,arctg x график функции,arctg график,arctg график функции,arctg значения,arctg чему равен,arctg что такое,arctg что это,arctg что это такое,arctg это,arctg это что,pi 2 arctg x,tg arctg,tg arctg x формула,x arctg 1,x arctg x 1,y arctg 1 x,y arctg x график,y arctg x график функции,y arctg x график функции y,арктангенс,арктангенс график,арктангенс график функции,арктангенс от тангенса,арктангенс отрицательного числа,арктангенс пи,арктангенс таблица,арктангенс таблица значений,арктангенс тангенса,арктангенс х,арктангенс х график,арктангенс чему равен,арктангенс четная или нечетная,арктангенс числа,арктангенс что это,арктангенс это,арктангенс это что,арктангенсы,график arcctg,график arctg,график y arctg x,график арктангенс,график арктангенса,график функции arctg,график функции arctg x,график функции арктангенс,значения arctg,значения арктангенса,значения арктангенса таблица,как выразить арктангенс через арктангенс,как найти arctg,область определения x arctg x,таблица arcctg и arctg,таблица арктангенса,таблица значение арктангенса,таблица значений arctg,таблица значений арктангенса,у x arctg x,функции arctg график,функция arctg x ее свойства и график,функция x arctg x,функция арктангенс ее свойства и график,чему равен арктангенс,что такое arctg,что такое арктангенс угла. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 arctg x. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, arcctg).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 arctg x Онлайн?
Решить задачу 1 arctg x вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
www.pocketteacher.ru
Ответы@Mail.Ru: Интеграл x*arctg(x)dx. Интеграл x*arctg(x)dx
<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/freedomf1ghter/_animated/i-5.gif» > Считается по частям, совсем не сложно. Главное все внимательно делать Интегралы можно считать здесь: <a href=»/» rel=»nofollow» title=»13251137:##:integralcalculator.php»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>
Сергей, могли бы и объяснить…. обозначаем xdx=du,arctg x=v,тогда x^2/2=u,dx/(1+x^2)=dv….тогда интеграл равен x^2/2*arctg x-1/2*инт. от x^2dx/(1+x^2)….второй интеграл представим как разность 0.5(инт. от dx-инт. от dx/(1+x^2)) и второй инт. примет вид 0.5*(x-arctg(x))…ответом будет x^2/2*arctg x-0.5*(x-arctg(x))…раскроем скобки и получим x^2/2*arctg(x)-0.5x+actg(x)/2,внесём арктангенс за скобку и получим arctg(x)*(x^2+1)/2-x/2+C…ЖЕЛАЮ УДАЧИ!!!!а куда делась после преобразования второго интеграла х^2, которое было в числителе?
touch.otvet.mail.ru
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
I. Взаимно обратные функции:
О: Две функции f и g называются взаимно обратными, если равенство y = f(x) верно тогда и только тогда, когда верно равенство x = g(y).
|
|
|
|
1. f(g(y)) = y или g(f(x)) = x
2. D(f) =E(g) и E(f) = D(g)
3. если f возрастает, то и g возрастает
если f убывает, то и g убывает
4. Графики симметричны относительно
прямой y = x
5. Свойство производной: g‘(x) = 1/ f ‘(g(x))
II. Обратные тригонометрические функции:
Рассмотрим функцию y = sin x
на промежутке [-p /2; p /2]
Тогда существует обратная:
y = arcsin x
Рассмотрим функцию y = cos x
на промежутке [ 0; p ]
Тогда существует обратная:
y = arccos x
Рассмотрим функцию y = tg x
на промежутке [-p /2; p /2]
Тогда существует обратная:
y = arctg x
Рассмотрим функцию y = ctg x
на промежутке [ 0; p ]
Тогда существует обратная:
y = arcctg x
III Формулы
arcsin(-x) = — arcsin x
arccos(-x) = p — arccos x
arctg(-x) = — arctg x
arcctg(-x) = p — arcctg x
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x
sin(arccos x) = Ö 1 — x2
cos(arcsin x) = Ö 1 — x2
cos(arctg x) = 1/Ö 1+ x2
sin(arctg x) = x /Ö 1+ x2
tg(arcsin x) = x /Ö 1— x2
arcsin x + arccos x = p /2
arctg x + arcctg x = p / 2
tg(arcctg x) = ctg(arctg x) = 1/ x
IV. Производные обратных триг. ф-ий:
|
arccos’ x = -1 /Ö 1— x2
arctg’ x = 1/(1+ x2)
arcctg’ x = -1/(1+ x2)
chernovskoe.narod.ru