Характеристическое свойство геометрической прогрессии – Урок по теме «Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии»

Геометрическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn), в
которой Геометрическая прогрессия, формула для любого натурального n, bn ? 0, q ? 0.

q — знаменатель геометрической прогрессии (заданное число).

Пример
ДаноГеометрическая прогрессия
1.b1 = 0,5; q = 20,5; 1; 2; 4; 8; 16; …
2.b1 = 7; q = -17; -7; 7; -7; 7; -7; …
3.b1 = 100; q = 0,2100; 20; 4; 0,8; 0,16; 0,032; …
Формула
Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии:

Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии

Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов геометрической прогрессии:

Формулы суммы Sn n первых членов геометрической прогрессии

Где: S1 = b1.   Sn = b1 + b2 + … + bn.

Пример решения
b1 = 12, b2 = -6.   Найти b7 и сумму S8.

Знаменатель q = b2b1 = — 12.

Тогда b7 = b1 • q6 = 12 • (- 12)6 =   3   

16 • S8 = b1(q8 — 1)q — 1 = 7 3132.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Правило
Характеристическое свойство геометрической прогрессии

formula-xyz.ru

Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

На этом уроке мы познакомимся с характеристическим свойством арифметической прогрессии и решим ряд задач с его использованием.
Вначале вспомним, что такое числовая последовательность, арифметическая прогрессия, формулы n-го члена и суммы членов конечной прогрессии. Далее докажем прямую и обратную теоремы для арифметической прогрессии и сформулируем характеристическое свойство. В конце решим ряд задач на использование формулы характеристического свойства арифметической прогрессии.

Тема: Прогрессии

Урок: Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью:  

 В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности. Они выражены в следующих  важных формулах.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

.

Первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

 .

Вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:  .

Доказать, что каждый  член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.

Доказательство.

Из определения арифметической прогрессии следует, что

 .

Значит,  ,  ,  .

причем это свойство справедливо для всех n=2, 3,4, …

Таким образом, если мы имеем арифметическую прогрессию, то в ней справедливо доказанное характеристическое свойство.

Справедливо обратное утверждение, а именно: если в последовательности () каждый  член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность (

) – арифметическая прогрессия.

Действительно, из равенства , получаем

interneturok.ru

Показательно-геометрическая прогрессия и некоторые ее свойства

Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессией. Из определения арифметической и геометрической прогрессий, мы видим, что данные прогрессии основаны на арифметических действиях суммы (разности) и умножения (деления). Возникает вопрос: существует ли прогрессия, которая основана на действии возведение в степень число. Отвечая на этот вопрос, автором был определен новый вид прогрессии — показательная прогрессия.

Определение 1 [1]. Пусть дана последовательность положительных чисел

.                                                                                                   (1)

Последовательность (1), первый член которой отличен от единицы, называется показательной прогрессией, если ее каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, возведенному в положительную степень

 ().

Таким образом,

,  (),                                                                                   (2)

где  и  соответственно n— и n+1-й члены прогрессии; r — знаменатель показателя прогрессии, которая вычисляется по формуле

.

Показательную прогрессию будем обозначать следующим образом:

 .

В данной статье был определен новый вид числовой прогрессии — показательно-геометрическая прогрессия. Доказаны некоторые свойства введенной прогрессии, как общая формула -го члена, формула нахождения знаменателя и знаменателя показателя прогрессии, характеристическое свойство, а также установлена связь с показательной прогрессией.

Прежде чем дать определение рассматриваемой прогрессии, хотелось бы поговорить о характеристическом свойстве показательной прогрессии. В [1] в качестве характеристического свойства взята следующая теорема.

Теорема. Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство

.                                                                                                                 (3)

Хотя соотношение (3) и выражает связь между соседними тремя членами показательной прогрессии, оно связано со знаменателем показателя прогрессии r. Однако если вспомнить, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, которые не зависят соответственно от разности и знаменателя, можно сказать, что существует соотношение, которое будет связывать подряд идущих три члена показательной прогрессии, не завися от знаменателя показателя. Покажем ее с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (характеристическое свойство показательной прогрессии). Для каждого члена показательной прогрессии, начиная со второго, выполняется равенство

.                                                                                                 (4)

Доказательство. По определению показательной прогрессии

 и .

Отсюда следует, что

 или

т. е.

или

что и требовалось доказать.

Перейдем к основной части статьи.

Определение 2. Пусть дана последовательность положительных чисел

.                                                                                                  (5)

Последовательность (5), первый член которой отличен от единицы, называется показательно-геометрической прогрессией, если ее каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, возведенному в одну и ту же положительную степень  () и умноженному на одно то же положительное число  .

Таким образом,

,  (),  ,                                              (6)

где  и  соответственно n— и n+1-й члены прогрессии; q — знаменатель, r — знаменатель показателя прогрессии, которая вычисляется по формуле.

Показательную прогрессию будем обозначать следующим образом:

.

Пример 1. Следующая прогрессия является показательно-геометрической с , , :

4, 8, 32, 512, 131072,….

Из определения 2 следуют замечания.

Замечание 1. Если в показатеьльно-геометрической прогрессии , то можно получить геометрическую прогрессию.

Замечание 2. Если в показатеьльно-геометрической прогрессии , то можно получить показательную прогрессию.

Определим знаменатель показателя показательно-геометрической прогрессии. По (6) запишем n+1-ый и n+2-ой члены прогрессии

 и .

Разделим почленно данные равенства и прологарифмируем обе части получившегося равенства по основанию .

 или .

А от этого следует наше искомое равенство

.                                                                                                             (7)

Замечание 3. Если , то из (7) можно получить характеристическое свойство геометрическрй прогрессии, т. е.

 при .

Рассмотрим следующие равенства

 және .

Отсюда следует, что

По свойству логарифмов

                                                                                   (8)

Итак, знаменатель показательно-геометрической прогрессии q можно найти по формуле (8).

Замечание 4. Если q=1, то из (8) можно получит характеристическое свойство показательной прогрессии.

.

Формула (2) неудобна тем, что для вычисления п-го члена необходимо знать все предыдущие члены прогрессии. Выведем формулу общего члена показательно-геометрической прогрессии. По определению показательной прогрессии

Мы видим, что здесь есть закономерность: индекс каждого члена прогрессии больше показателя степени  на единицу, и больше степени многочлена — показателя q на две единицы. Поэтому мы можем предположить, что n+1-й член прогрессии вычисляется по формуле

или

.                                                                                                    (9)

Доказательство данной формулы можно провети методом математической индукции.

Теорема 2.1. Пусть  показательно-геометрическая прогрессия, тогда последовательность , n-член которой определяется следующим образом

,

будет показательной прогрессией.,

Для  ее характеристическое свосйтво будет следующее равенство:

.

Если выполнить следующие замены:

Тогда получим:

.                                                                                     (10)

(10) формулу можно принять за харктеристическое свосйтво показательно-геометрической прогрессии.

 

Литература:

 

1.         Н. К. Гульманов / Определение нового вида прогрессии, основанной на операции возведения в степень, и изучение ее основных свойств / Н. К. Гульманов, Н. А. Марчук // «Высокое качество и лидерство в образовании»: сборник докладов Международной научно-практической конференции (13–15 ноября 2013 года)/ АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы». Часть 1. — Астана, 2013. — С. 120–124

moluch.ru

Геометрическая прогрессия Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1{\displaystyle b_{1}}, b2{\displaystyle b_{2}}, b3{\displaystyle b_{3}}, …{\displaystyle \ldots } (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (называемое знаменателем прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1{\displaystyle b_{1}}, b2=b1q{\displaystyle b_{2}=b_{1}q}, b3=b2q{\displaystyle b_{3}=b_{2}q}, …{\displaystyle \ldots }, bn=bn−1q{\displaystyle b_{n}=b_{n-1}q}[1].

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

bn=b1qn−1.{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b1>0{\displaystyle b_{1}>0} и q>1

ruwikiorg.ru

Геометрическая прогрессия — это… Что такое Геометрическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : [1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при  — знакочередующейся[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8-9.
  • Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  •  — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

Доказательство

Пусть — последовательность :

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

Доказательство

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
    ,

Доказательство

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

  • Сумма первых членов геометрической прогрессии:

Доказательство

  • Через сумму:

Примечания

См. также

biograf.academic.ru

Геометрическая прогрессия Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1{\displaystyle b_{1}}, b2{\displaystyle b_{2}}, b3{\displaystyle b_{3}}, …{\displaystyle \ldots } (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (называемое знаменателем прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1{\displaystyle b_{1}}, b2=b1q{\displaystyle b_{2}=b_{1}q}, b3=b2q{\displaystyle b_{3}=b_{2}q}, …{\displaystyle \ldots }, bn=bn−1q{\displaystyle b_{n}=b_{n-1}q}[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

bn=b1qn−1.{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b1>0{\displaystyle b_{1}>0} и q>1{\displaystyle q>1}, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1{\displaystyle 0<q<1}, — убывающей последовательностью, а при q<0{\displaystyle q<0} — знакочередующейся[2], при q=1{\displaystyle q=1} — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

|bn|=bn−1bn+1,{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
  • Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]:8—9.
  • Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
  • 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
  • 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
  • 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
  • π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi }, π{\displaystyle \pi } — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
  • 3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -2.
  • 1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем -1.

Свойства

  • Формула знаменателя геометрической прогрессии:
q=bn+1bn{\displaystyle q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}}

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Доказательство

log⁡(bn)=log⁡(b1qn−1)=log⁡(b1)+(n−1)⋅log⁡(q){\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)} Формула общего члена арифметической прогрессии: an=a1+(n−1)⋅d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}.
В нашем случае
a1=log⁡(b1){\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})},
d=log⁡(q){\displaystyle d=\log(q)}.

  • bn2=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}, если 1<i<n{\displaystyle 1<i<n}.

Доказательство

bn2=bnbn=b1qn−1b1qn−1=b1qn−1−ib1qn−1+i=bn−ibn+i.{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}

  • Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
    Pn=(b1⋅bn)n2.{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}.}

Доказательство

  • Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
    Pk,n=PnPk−1.{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

Доказательство

Pk,n=∏i=knbi=∏i=1nbi∏j=1k−1bj=PnPk−1.{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}

  • Сумма n{\displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии
    Sn={∑i=1nbi=b1−b1qn1−q=b1(1−qn)1−q,if q≠1nb1,if q=1{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}

Доказательство

  • Сумма всех членов убывающей прогрессии:
|q|<1{\displaystyle \left|q\right|<1}, то bn→0{\displaystyle b_{n}\to 0} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }, и
Sn→b11−q{\displaystyle S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}} при n→+∞{\displaystyle n\to +\infty }.

Доказательство

Примечания

См. также

wikiredia.ru

Обучающий модуль по алгебре на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессия»

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретический материал

1. Понятие прогрессии

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Число, которое прибавляется к предыдущему члену прогрессии для получения следующего, называется разностью арифметической прогрессии. Обозначается d.

Пример: (аn):2;4;6;8;… аn+1= аn + 2 , d=2

n):17; 15,5; 14; 12,5;… хn+1 = хn — 1,5, d= -1,5

аn+1= аn +d

Рекуррентная формула арифметической прогрессии

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, в которой каждый следующий ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Число, на которое умножается предыдущий член прогрессии для получения следующего, называется знаменателем геометрической прогрессии. Обозначается q.

Пример: (bn):2;4;8;16;… bn+1= 2bn , q=2

(yn):5; -5; 5; -5;… yn+1 = -yn , q= -1

bn+1= bnq

Рекуррентная формула геометрической прогрессии

2. Формула n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Выведем формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

Пусть (аn)-некоторая арифметическая прогрессия. Пусть(bn)-некоторая геометрическая прогрессия

Значит аn+1= аn +d , т.е. Значит bn+1= bnq , т.е

hello_html_m78d758c1.gif

b2= b1 q

b3= b2 q= b1 q2

b4= b3 q= b1 q3

bn= bn-1 q= b1 qn-1

hello_html_m78d758c1.gif

а2= а1 +d

а3= а2 +d= а1 +2d

а4= а3 +d= а1 +3d

аn= аn-1 +d= а1 +(n-1)d

аn= а1 +(n-1)d

bn= b1 qn-1

Примеры.

Составим формулу n-го члена последовательности (аn):5;3;1;-1;…

Заметим, что данная последовательность является арифметической прогрессией, т.к. аn+1= аn -2, в которой а1 =5, d=-2. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид аn= 5 +(n-1)(-2). Преобразовав данное выражение, получим: аn= -2n+7.

Составим формулу n-го члена последовательности (хn):1;0,5;0,25;0,125;…

Данная последовательность является геометрической прогрессией, т.к. хn+1= 0,5хn , в которой х1 =1, q=-0,5. Значит формула n -го члена этой последовательности имеет вид хn= 1 0,5n-1. Преобразовав данное выражение, получим: хn= hello_html_2708d061.gif.

3. Характеристическое свойство членов прогрессии

□ Легко доказать что:

  • любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е. hello_html_6b812908.gif.

  • любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому равноотстоящих от него членов этой прогрессии, т.е.hello_html_76040091.gif.

Также можно доказать, что hello_html_m2045edd8.gif, а hello_html_3e1eeb40.gif. ( Проверьте эти равенства самостоятельно!)

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: определение арифметической и геометрической прогрессии

рекуррентное задание арифметической и геометрической прогрессии

формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии

характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.16,18.

  1. Из приведенных ниже последовательностей выпишите те, которые являются а)арифметической прогрессией; б)геометрической прогрессией. Запишите рекуррентную формулу каждой из них Укажите ее первый член и разность или знаменатель:

1 (хn): 10;20;30;… 3 (хn): hello_html_17d2b6ec.gif 5 (хn): 0,3; 0,03; 0,003;…

2 (хn): 1;2;4;7;11;… 4 (хn): hello_html_m760f6e98.gif 6 (хn): hello_html_57b51b03.gif

  1. Запишите первые пять членов арифметической прогрессии, в которой а)а1=2, d=-3; б) а1=-3, d=2. Составьте формулу n-го члена и найдите а10, а20 , а100..

  2. Запишите первые пять членов геометрической прогрессии, в которой а)с1=2, q=-3; б) c1=-3, q=2. Составьте формулу n-го члена и найдите с6.

  3. Найдите члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

-6; -4; х3; х4; х5;…

х1; 3; 7; х4, х5;…

х1; х2; 3; х4; 7;…

3; х2; х3; х4; -13;…

  1. Найдите члены геометрической прогрессии, обозначенные буквами:

3; 1; у3; у4; у5;…

у1; 2; 8; у4, у5;…

у1; 4; у3; у4; 0,032;…

5; у2; у3; у4; 0,3125;…

  1. n) – арифметическая прогрессия. Найдите:

с1, если d=5 с7=2

d, если с1=4 с15=48

с1, если с5=2 с11=3

  1. n) – геометрическая прогрессия. Найдите:

у1, если q=-2 y6=50

q, если y3=4 y5=8.

  1. Вставьте между числами 2 и 3 три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли арифметическую прогрессию.

Ключ для проверки

  1. Арифметической прогрессией является первая и последняя последовательность, причем для первой справедливо: хn+1=xn+10, x1=10, d=10,а для последней — хn+1=xnhello_html_m6df86869.gif, x1=3,d =hello_html_m6df86869.gif.

Геометрической прогрессией является четвертая и пятая последовательность. для четвертой последовательности выполняется: хn+1=xnhello_html_m6df86869.gif,x1=hello_html_m6df86869.gif,q=hello_html_m6df86869.gif.

для пятой последовательности справедливо: хn+1= 0,1 xn ,x1=0,3,q=0,1.

  1. a) 2; 1; -4; -7; -10;… аn=-3n+5 a10=-25, a20=-55, a100=-295

б)-3; -1; 1; 3; 5;… аn=2n-5 a10=15, a20=35, a100=195

  1. а) 2; -6; 18; -54; 162;… cn=2(-3)n-1c6=-486

б)-3; — 6; -12; -24; -48;… cn=-32n-1c6=-96

  1. -6; -4; -2; 0; 2;… -1; 3; 7; 11; 15;-1; 1; 3; 5; 7;… 3; -1; -5; -9; -13;…

  2. hello_html_m791e358.gif hello_html_m179de3c7.gif 20; 4; 0,8; 0,16;0,032;… 5; ±2,5; 1,25; ±0,625; 0,3125;…

  3. с17-6d=-28 d=hello_html_2070e9dc.gif d=hello_html_5f48956c.gifc1=c5-4d=hello_html_m291bc923.gif

  4. hello_html_4817a67a.gif hello_html_m4f8051e1.gif

  5. 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику ∆

Ответьте на вопросы.

  1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Приведите примеры.

  2. Что такое разность арифметической прогрессии? Объясните, как найти ее, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а8; а3 и а12?

  3. Объясните, как в арифметической прогрессии найти первый ее член, зная пятый и разность прогрессии; пятый и двенадцатый ее член?

  4. Объясните на примере последовательности (хn): 3; 7; 11;…, как составить формулу ее n-го члена.

  5. Поясните, при каких условия арифметическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.

  6. Объясните на примере характеристическое свойство членов арифметической прогрессии.

  7. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите примеры.

  8. Что такое знаменатель геометрической прогрессии? Объясните, как найти его, зная а1 и а2; а8 и а9; а1 и а4; а10 и а12?

  9. Объясните, как в геометрической прогрессии найти первый ее член, зная пятый член и знаменатель прогрессии; пятый и седьмой ее член?

  10. Объясните на примере последовательности (хn): 3; 6; 12;…, как составить формулу ее n-го члена.

  11. Поясните, при каких условиях геометрическая прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей. Приведите примеры.

  12. Объясните на примере характеристическое свойство членов геометрической прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Проверочная работа

А1

  1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn) и найдите а11, если а1=2,4; d=-0.8

  2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn):3; -6;…

  3. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-1,2; с5=-0,4

  4. В геометрической прогрессии (уn) у3=hello_html_m6df86869.gif, у5=hello_html_m64bf1ad2.gif. Найдите у2 и у6.

  5. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а6=23; а11=48..

А2

  1. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn):-2,4;-1,6;… и найдите а11.

  2. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии (хn), если х1=81;q=hello_html_m6df86869.gif:.

  3. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с1=-2,7; с4=-1,8

  4. В геометрической прогрессии (уn) у3=hello_html_m6df86869.gif, у5=hello_html_5083bb97.gif. Найдите у4 и у7.

  5. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если а4=4; а12=36..

Б1

  1. Дана арифметическая прогрессия (аn): -22,5;-21;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

  2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (bn), если b3=hello_html_668426b0.gif,q=hello_html_77efce13.gif.

  3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а4=1,8; а7=0,6.

  4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 22, если а3=-2; d=3.

  5. Между числами hello_html_668426b0.gif и 9 вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

Б2

  1. Дана геометрическая прогрессия (аn): 30,-3;… Составьте рекуррентную формулу и формулу n-го члена этой прогрессии.

  2. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (bn), если b3= -25,d=0,7.

  3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аn), если а3= -2,3; а8= -0,8.

  4. Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 47, если а4= -3; d=5.

  5. Между числами 16 и hello_html_m7ba30320.gif вставьте три таких числа, чтобы вместе с данными они составляли геометрическую прогрессию.

В1

  1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии (аn), если а5=-9,1; а12=-7.

  2. Найдите шестой и n-й члены геометрической прогрессии (сn), если с1=8 с4; с5=hello_html_m7f402c7b.gif.

  3. Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=11n-78, является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой прогрессии. Найдите ее первый положительный член.

  4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 4х и 16х-12 составляют геометрическую прогрессию.

В2

  1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (аn), если а4= -4; а6= -8.

  2. Найдите n-й член арифметической прогрессии (сn), если с3 с4=80;hello_html_m4299cdb1.gif..

  3. Докажите, что последовательность, заданная формулой xn=n2+2n, не является арифметической прогрессией. Опишите свойства этой последовательности. Найдите ее наименьший и наибольший член.

  4. Найдите значения х, при которых числа х+1, 2х+1 и х2-3 составляют арифметическую прогрессию.

Ключ для проверки

А1

1. аn= -0.8n+32, a11= -5.6

2. bn=3(-2)n

3. d=0.2

4. y2=±2/3, y6=±1/24

5. a1=2

Б1

1. an+1=an+1.5, a1= -22.5,

an=1.5n-24

2. b7=1

3. d= -0.4, a1=3

4. n=11

5. ±1/3; 1; ±3

B1

1. a17= -4.3

2. c6=3/32, cn=3/2n-1

3. c a8>0, a8=10

4. x=3; 4;12;36

A2

1. аn= -3.2+0.8n, a11= 5.6

2. bn=81/3n-1

3. d=0.3

4. y2=±2/3, y6=16/3

5. a1= -8

Б2

1. an+1=an(-0.1)n-1, a1= 30,

an=30(-0.1)n-1

2. b17=15.2

3. d= 0.3, a1= -2.9

4. n=14

5. ±4; 1; ±1/4

B2

1. a7= hello_html_m4fd2bc47.gif

2. cn= -2n-16, cn= -2n+16

3. наименьшее x1=3, наиб. нет

4. x=4 и -1; 5;9;13 или 0; -1; -2

Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

1. Понятие суммы n первых членов последовательности.

Пусть в последовательности (аn) известны первые n ее членов: а1, а2, а3,… аn. Выражение а1+ а2+ а3+…+ аn. Называется суммой n первых ее членов. Обозначается Sn.

Sn= а1+ а2+ а3+…+ аn.

Пример. Сумма пяти первых членов некоторой последовательности – это сумма всех ее членов с первого по пятый, т.е. S5= а1+ а2+ а3+ а4+ а5.

Сумма двадцати первых членов последовательности – это сумма всех ее членов в первого по двадцатый, т.е. S20= а1+ а2+ а3+…+ а19+ а20.

2. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Для того, чтобы в некоторой последовательности найти сумму ее первых n членов необязательно знать все эти члены. Можно воспользоваться формулами.

Дhello_html_22419a44.gifля арифметической прогрессии hello_html_m2e35103.gif или hello_html_m5ba99ee1.gif

hello_html_22419a44.gif

Для геометрической прогрессии hello_html_m1cf14010.gif или hello_html_m49a4ec8e.gif

В этих формулах: а1 и b1 – первые слагаемые в сумме

an и bn— последние слагаемые в сумме

n- количество слагаемых (совпадает с номером последнего слагаемого)

d и q- соответственно разность и знаменатель прогрессии

(□ Объясните, как из одной формулы получить вторую)

( Разберите вывод формул по учебнику)

Примеры.

  • Найдем сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, в которой с1=3; q=2. Для этого удобнее воспользоваться второй формулой нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии. Т.к. нужно найти сумму пяти первых ее членов, т.е. сумму с первого члена по пятый, то n=5. Значит hello_html_19e03b66.gif. Проверим! Для этого найдем все члены этой прогрессии с первого по пятый: 3; 6; 12; 24;48. Найдем их сумму 3+ 6+12+24+48=93. Т.е. hello_html_m12fece5a.gif.

  • Найдем сумму всех двухзначных чисел, не превосходящих 50. Выпишем числа – члены некоторой последовательности – сумму которых необходимо найти: 10; 11; 12; 13;…50. Заметим, что эти числа составляют арифметическую прогрессию, в которой а1=10; d=1, значит для нахождения суммы этих чисел можно применить одну из приведенных выше формул. Применим первую формулу hello_html_m2e35103.gif. Первое слагаемое в искомой сумме а1=10, последнее слагаемое аn=50. необходимо знать количество слагаемых, т.е. n, которое совпадает с номером последнего слагаемого. Т.к. для членов арифметической прогрессии справедливо равенство аn= а1+d(n-1), то применив его, найдем номер члена аn равного 50. 10+1(n-1)=50, откуда n=41. Т.е. в искомой сумме 41 слагаемое, а значит 50 – это а41. Найдем сумму hello_html_m6fc75431.gif. Можно применить и вторую формулу hello_html_7f7907db.gif.

Использовать нужно ту формулу, которая наиболее удобна в зависимости от условия,

3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия, в которой hello_html_m7bbe6280.gif, т.е.-1<q<1, является убывающей.

Например. Последовательность (аn):2; 1; 0,5; 0,25; 0,125;… является бесконечной убывающей геометрической прогрессией знаменатель которой равен 0,5 (0,5<1). Геометрическая прогрессия (сn):3; -0,3; 0,03; -0,003;… также является убывающей, q=-0.1 (-1<0.1<1).

Ясно, что с увеличением номера члены последовательности уменьшаются, становясь все меньше и меньше отличными от нуля. Говорят, что с возрастанием n члены прогрессии bn стремятся к нулю. Значит, члены прогрессии с большими номерами практически не влияют на сумму n первых ее членов. Поэтому, при больших n сумма hello_html_2e68ae99.gif.

Дhello_html_4c6f1ad.gifля бесконечной убывающей геометрической прогрессии сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле hello_html_215ade0c.gif

Пример.

Найдем сумму 0,3+0,03+0,003+0,0003+… Заметим, что слагаемые данной суммы являются членами геометрической прогрессии, в которой а1=0.3, q=0.1. q<1, прогрессия убывающая, а значит сумма бесконечного числа слагаемых находится по формуле hello_html_m6a8f9a50.gif

О

!

братите внимание, что 0,3+0,03+0,003+0,0003+…=0,3333…=hello_html_m6df86869.gif. Это можно использовать для перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную.

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.

Разберите примеры, приводимые в учебнике.

Выполните задания для самостоятельной учебной деятельности

По учебнику △

Сумма членов арифметическая и геометрическая прогрессии

Задания для разработки темы

Необходимо знать: понятие суммы n первых членов последовательности

формулы, для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

формулы, для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии

понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Источник информации: учебник Алгебры, 9 кл., под ред. С.А.Теляковского, п.17,19,20.

Обязательный уровень

  1. Запишите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии (аn): 2; 7;12;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

  2. Запишите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (хn): 2; 10;50;…. Найдите эту сумму непосредственно сложением и по формуле.

  3. Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии,( аn) в которой а1=5; d=3.

  4. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии,( хn) в которой х1=5; q=1/2.

  5. Найдите сумму 2+4+6+…+20

3+6+9+…+99

-50+(-45)+(-40)+…+40+45+50.

(Подсказка: найдите номер последнего слагаемого в сумме)

  1. Найдите сумму: всех двухзначных чисел

двухзначных чисел, кратных 5

  1. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена хn=12n-3; сумму шести первых членов геометрической прогрессии заданной формулой уn=4n.

  2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии, проверив сначала, что ее знаменатель q удовлетворяет условиюhello_html_m1a969a91.gif: 10; 2; 0,4;…

  1. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q=3, S4=560.

  2. Представьте бесконечную периодическую дробь 0,(8) в виде обыкновенной.

  3. В арифметической прогрессии а1=1, а сумма первых восьми ее членов равна 120. Найдите разность этой прогрессии.

  4. В арифметической прогрессии сумма первых четырех ее членов равна 42, а сумма восьми первых членов в 3 раза больше. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии.

  5. Арифметическая прогрессия задана формулой хn=10-7n. Найдите сумму ее членов с десятого по двадцатый.

  6. Сколько надо сложить последовательных натуральных чисел, кратных 7, чтобы их сумма была равна 546?

  1. В геометрической прогрессии разность между шестым и четвертым членами равна 192, а разность между третьим и первым равна 24. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

  2. Решите уравнение, в котором слагаемые составляют арифметическую прогрессию: 4+7+10+…+ъ=116; 26+24+22+…+х=136.

  3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (хn), если известно, что hello_html_5f348a24.gif и S3=42.

  4. Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых n ее членов которой вычисляется по формуле а) Sn=3n2 ; б) Sn=n2-4n.

Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессии

Задание для разработки темы

Ключ для самопроверки

Обязательный уровень

  1. hello_html_4ddb19f.gif

  2. hello_html_448ef416.gif

  3. hello_html_24bc1f62.gif

  4. hello_html_61962dc7.gif

  5. а) hello_html_1d9692c5.gif б) hello_html_m1e5d70da.gif в) 0

  6. а) hello_html_m46de356f.gif б) hello_html_4333e437.gif

  7. а) hello_html_1f049d76.gif б) hello_html_3ecfb031.gif

  8. hello_html_6de45f8a.gif

  1. hello_html_mff3551d.gif

  2. 8/9

  3. d=4

  4. a1=6, d=3

  5. hello_html_mb79c94b.gif

  6. hello_html_34e415b5.gif

  1. hello_html_m59cca1e.gif

  2. а) х=25 б)х=16; х=-14

  3. hello_html_m4bed6c15.gif

  4. а) да, d=6 б)нет

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *