Y x Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ y 1: Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

2

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Полная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ находится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ΅ Ρƒ мСтодистов Skysmart.
Если Π²Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, сообщитС ΠΎΠ± этом Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‡Π°Ρ‚
(Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ экрана).

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная ΠΈ Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½Π° Π½ΡƒΠΆΠ½Π°

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ для вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ΠΎ Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Если ΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ простыми словами, Ρ‚ΠΎ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ описываСт, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ эта функция мСняСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Объясним Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅: допустим, Маша Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎ ΡƒΡ‚Ρ€Π°ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ зарядку ΠΈ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ»Π°Π½ΠΊΠ΅.

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ нСдСлю ΠΎΠ½Π° Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π»Π°ΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь ΠΏΠΎ 10 сСкунд, Π½ΠΎ начиная со Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈ смогла ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ»Π°Π½ΠΊΠ΅ с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π΄Π½Π΅ΠΌ Π½Π° 3 сСкунды дольшС. УспСхи Маши ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ нСдСлю Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Маши Π½Π΅ мСнялись (Ρ‚. Π΅. Π±Ρ‹Π»ΠΈ константой), ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ прироста ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ. Если ΠΌΡ‹ заглянСм Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная константы Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Ρƒ = 10

Ρƒβ€² = 0

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ нСдСлю врСмя выполнСния ΠΏΠ»Π°Π½ΠΊΠΈ с 10 сСк Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° 3 сСк Π΅ΠΆΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ.

Ρƒ = 10 + 3Ρ…

Π‘Π½ΠΎΠ²Π° смотрим Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ диффСрСнцирования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π³Π΄Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная ΠΎΡ‚ Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° 1.

Ρƒ = 10 + 3Ρ…

Ρƒβ€² = 0 + 3

Ρƒβ€² = 3

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ элСмСнтарной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ успСхи Маши росли со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3 сСк Π² дСнь.

Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π» ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ Π°Π·Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Но Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π³Π΄Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ мСняСтся Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ просто.

БыстрСС ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° курсах ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-школС Skysmart.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ основных элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… для 10 ΠΈ 11 класса ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ элСмСнтарныС часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

Ѐункция f (x)

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ f’ (Ρ…)

Π‘ (Ρ‚. Π΅. константа, любоС число)

0

Ρ…

1

xn

nxn-1

√x

1/(2√x)

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(Ρ…)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ частноС β€” словом, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ матСматичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Но для этого ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΡƒ) ΠΏΡΡ‚ΡŒ нСслоТных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

(c β‹… f)β€² = c β‹… fβ€²

(u + v)β€² = uβ€² + vβ€²

(u — v)β€² = uβ€² — vβ€²

(u β‹… v)β€² = uβ€²v + vβ€²u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС u, v, f β€” это Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° c β€” константа (любоС число).

Π‘ константой всС просто β€” Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ смСло Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ придСтся лишь Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π³Π΄Π΅ трСбуСтся Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°.

НапримСр: трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = (5 β‹… x3).

yβ€² = (5 β‹… x3)β€²

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ константу, Π° Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС это 5, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

yβ€² = (5 β‹… x3)’ = 5 β‹… (x3)β€² = 5 β‹… 3 β‹… Ρ…3-1 = 15Ρ…2

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ всС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выглядят Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

Как Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ с Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: y = (3 + 2x2)4?

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½Π° функция словно Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(y) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅: (f(y))β€² = fβ€²(y) β‹… yβ€². Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, условно говоря, внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y(x) = (3 + 2x2)4.

Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ 3 + 2x2 Π½Π° u ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ y = u4.

Богласно ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ диффСрСнцирования слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ нас получится:

y = yβ€²

u β‹… uβ€²x = 4u3 β‹… u’x

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ ΠΈ подставим исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

4u3 β‹… uβ€²x = 4 (3 + 2x2)3 β‹… (3 + 2x2)β€² = 16 (3 + 2x2)3 β‹… Ρ…

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = (x3 + 4) cos x.

Для диффСрСнцирования этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (UV)β€² = Uβ€²V + Vβ€²U.

yβ€² = (x3 + 4)β€² β‹… cos x + (x3 + 4) β‹… cos xβ€² = 3x2 β‹… cos x + (x3 + 4) β‹… (-sin x) = 3x2 β‹… cos x – (x3 + 4) β‹… sin x

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной Π΅ΡΡ‚ΡŒ 0

y = C => y’ = 0

ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: y = 5, y’ = 0

Если y Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° y = x

n, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ:

y = xn => y’ = nxn-1

ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4

Из Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ y’ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x = x1 that:

Ссли y = x Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° y’=1

y = f1(x) + f2(x) + f3(x) …=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) . ..

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° прСдставляСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ суммой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Если ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) = x2 + x + 1 ΠΈ g(x) = x5 + 7 ΠΈ y = f(x) + g(x) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° y’ = f'(x) + g'(x) => y’ = (x2 + x + 1)’ + (x5 + 7)’ = 2x1 + 1 + 0 + 5x4 + 0 = 5x4 + 2x + 1

Если функция Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

y = f(x).g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Если f(x) = C(C Π΅ΡΡ‚ΡŒ постоянной) ΠΈ y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

y =Β Β y’ =
f'(x)g(x) — f(x)g'(x)
g2(x)

y = ln x => y’ = 1/x

y = ex => y’ = ex

y = sin x => y’ = cos x

y = cos x => y’ = -sin x

y = tg x => y’ = 1/cos2x

y = ctg x => y’ = —1/sin2x

Ссли функция Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: u = u(x)

y = f(u) => y’ = f'(u). u’

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция y = sin(x

2)
Π² этом случаС u = x2, f(u) = sin(u), ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ f'(u) = cos(u), u’ = 2x
y’ = (sin(u))’.u’ = cos(x2).2x = 2.x.cos(x2)

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ

1) f(x) = 10x + 4y. НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f'(x)
ΠžΠ’Π’Π•Π’: ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для суммы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f2(x) = 4y, y Π΅ΡΡ‚ΡŒ постоянной, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ f2(x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ x. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ f’2(x) = (4y)’ = 0. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ: f'(x) = 10 + 0 = 10.


Β Β Β Β Β 2) ВычислитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f(x) =

ΠžΠ’Π’Π•Π’: Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ h(x) = x10 ΠΈ g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ h(x), раздСлСнная Π½Π° g(x). h'(x) = 10x9 g'(x) = 0 — sin x = -sin x

f'(x) =
h'(x). g(x) — h(x).g'(x)
(g(x))2
f'(x) =
10x9(4.15 + cos x) — x10(-sin x)
(4.15 + cosx)2
=
x10sin x + 10(60 + cos x)x9
(60 + cosx)2

3) f(x) = ln(sinx). Какая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)?
ΠžΠ’Π’Π•Π’: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эту Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ послСднюю Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, f(x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: f(x) = h(g(x)), Π³Π΄Π΅ h = ln ΠΈ g = sin x

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° страницах матСматичСского Ρ„ΠΎΡ€ΡƒΠΌΠ°

Π€ΠΎΡ€ΡƒΠΌ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… простых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ПояснСниС:
ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (Ρ…) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° вычислСний) увСличиваСтся Π½Π° эту ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° скорости измСнСния значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

3. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ мноТитСля Ρ€Π°Π²Π½Π° этому ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ
сx´ = с
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
(3x)Β΄ = 3
(2x)Β΄ = 2
ПояснСниС:
Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Ρ…) Π΅Π΅Β Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (y) растСт Π² с Ρ€Π°Π·. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ скорости измСнСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ с.

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
(cx + b)’ = c
Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=kx+b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ коэффициСнту Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой (k).


4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Ρ€Π°Π²Π½Π° частному этой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ
|x|’ = x / |x| ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ… β‰  0
ПояснСниС:
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ производная ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ (см. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ 2) Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Ρ‚ΠΎ производная модуля отличаСтся лишь Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ скорости измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ пСрСсСчСнии Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = |x| ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² этом сами. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Β Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β x / |x| . Когда x 0 — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… — Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, возрастаСт, Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² стСпСни Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ числа этой стСпСни ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² стСпСни, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ
( xc )’= cxc-1, ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ xc ΠΈ сxc-1,ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π° с β‰  0
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
(x2 )’ = 2x
(x3)’Β  = 3x2
Для запоминания Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:
БнСситС ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ «Π²Π½ΠΈΠ·» ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚Π΅ саму ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ. НапримСр, для x2 Β — Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠ° оказалась Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ икса, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ (2-1=1) просто Π΄Π°Π»Π° Π½Π°ΠΌ 2Ρ…. Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ для x3 — Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ «ΡΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠ·», ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ вмСсто ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 3x2 . НСмного «Π½Π΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎ», Π½ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ.

6. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ 1/Ρ…
(1/Ρ…)’ = — 1 / x2
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ
(1/x)’ = (x-1 )’ , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 5 Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…
(x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / Ρ…2

7.Β ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ дроби с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅
( 1 / xc )’ = — c / xc+1
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
( 1 / x2 )’ = — 2 / x3

8.Β ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ корня (производная ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ) Β 
( √x )’ = 1 / ( 2√x )Β Β  ΠΈΠ»ΠΈ 1/2 Ρ…-1/2
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
( √x )’ = ( Ρ…1/2 )’Β Β  Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 5
( Ρ…1/2 )’ = 1/2 Ρ…-1/2 = 1 / (2βˆšΡ…)

9. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни
( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )
. 3+ 1$.

1. Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (0,1). Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ, ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΏΠΎ оси OY (см. рис. 3).

Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нСявно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НСявная функция β€” это функция Ρƒ ΠΎΡ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° x, заданная ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ F(x;y)=0,Β  Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y.Β 

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нСявно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1. Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ x ΠΎΡ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния F(x;y)=0, с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ β€” функция ΠΎΡ‚ x;

2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y’, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ y’ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· y ΠΈ x.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нСявно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1) xΒ³+xyΒ²+yΒ³=0.

1. Π­Ρ‚ΠΎ β€” нСявная функция. Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ x Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части равСнства с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y β€” функция ΠΎΡ‚ x:

(xΒ³+xyΒ²+yΒ³)’=3xΒ²+x’·yΒ²+(yΒ²)’·x+3yΒ²Β·y’=3xΒ²+yΒ²+2yΒ·y’·x+3yΒ²Β·y’

2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ y’:

3xΒ²+yΒ²+2yΒ·y’·x+3yΒ²Β·y’=0

3xΒ²+yΒ²+y'(2xy+3yΒ²)=0

y'(2xy+3yΒ²)=-3xΒ²-yΒ²

Β  Β 

2) siny=xy

1. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ F(x;y)=0. Для этого пСрСносим всС слагаСмыС Π² Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ: siny-xy=0. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ x ΠΎΡ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части (Π½Π΅ забывая ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y β€” функция ΠΎΡ‚ x):

(siny-xy)’=cosy-(x’·y+y’·x)=cosy-y-xy’.

2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΊ 0 ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ y’:

cosy-y-xy’=0

xy’=cosy-y

Β  Β 

Β  Β 

1. ΠŸΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ F(x;y)=0:

Β  Β 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎ x Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части (y=y(x)!):

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

2. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y’:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для самопровСрки. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ нСявно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1) xyΒ²+xΒ²y=5;

2) arctg(x+y)=y.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

1) 1. xyΒ²+xΒ²y-5=0

(xyΒ²+xΒ²y-5)’=x’·yΒ²+(yΒ²)’·x+(xΒ²)’·y+y’·xΒ²-0=yΒ²+2yy’·x+2xy+xΒ²y’=y'(2xy+xΒ²)+yΒ²+2xy.

2. y'(2xy+xΒ²)+yΒ²+2xy=0

y'(2xy+xΒ²)=-yΒ²-2xy

Β  Β 

2) arctg(x+y)-y=0

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β 

НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ «ПошаговоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Β»


Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = x 2 + 1 явно опрСдСляСт y ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ x, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это, написав y = f (x) = x 2 + 1. Если ΠΌΡ‹ запишСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = x 2 + 1 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ y — x 2 -1 = 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y нСявно являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x. Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° функция явно просто Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ для y. Однако ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° приходится ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с уравнСния, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ y с x, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ слоТны, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для y Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x.(НапримСр, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ инь ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y y + xy = 10.) Если ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСявно опрСдСляСт y ΠΊΠ°ΠΊ функция ΠΎΡ‚ x, Π΅ΡΡ‚ΡŒ способ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ dy / dx Π±Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ явного нахоТдСния y ΠΊΠ°ΠΊ функция ΠΎΡ‚ x, называСмая нСявным Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.


ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y — x 2 — 1 = 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΡƒ. ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ явно Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ для y, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для y Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x; Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΡƒΡŽΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y (x) для простоты.Π’ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон ΠΏΠΎ x посрСдством суммы ΠΈ стСпСни ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Π’ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ y = x 2 + 1, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° dy / dx = 2x. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ сначала Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для y Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ всСгда.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

НайдитС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ уравнСния xy — x = 1 ΠΏΡ€ΠΈ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, пСрвая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ соотвСтствуСт x = 1).

РСшСниС

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ dy / dx ΠΏΡ€ΠΈ x = 1. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, y являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x, y = y (x). Π’ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xy (x) — x = 1.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,


ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ мощности


ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ эти Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

РСшаСм это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ dy / dx:

ΠžΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎ! ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (3) ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнныС значСния x ΠΈ y, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (3), Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ‚Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ исходному ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ 2x 2 + xy — 3y 2 = Ρ….НапримСр, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ x = 1, y = 4, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ (dy / dx) = (1 — 4 — 2) / (1 — 12) = 5/1; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ (1, 2) Π½Π΅ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ 2x 2 + xy — 3y 2 = x, поэтому вычислСниС dy / dx Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ бСссмыслСнно.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ — 3y 2 + xy + (2x 2 — x) = 0 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Ay 2 + By + C = o, Π³Π΄Π΅ A = -3, B = x ΠΈ C = 2x 2 — x).Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²


Π₯отя ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ y явно Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ довольно слоТноС, ΠΈ всС ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ dy / dx нСявно, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 Найти dy / dx, Ссли y 4 + xy = 10.

РСшСниС для y Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… x Π² этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ слоТно, Ссли Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Однако нСявным Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ нСявныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dx n / dx = nx n-1 i Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° n Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f (x) = x 2/3 . Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ нСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ f (x) = x 2/3 , кубизируя, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ
[f (x)] 3 = x 2 .

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ x.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

MATH0043 Β§2: Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС

MATH0043 Β§2: Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС

МногиС ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ связаны с поиском Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, которая максимизируСт ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Одним ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² являСтся поиск ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ — это, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, прямая линия Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ?), Но ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ очСвидная, Ссли Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° искривлСнной повСрхности (ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° поиска гСодСзичСскиС .)
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, всС вмСстС извСстны ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС .

Випичная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° : Рассмотрим ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ зависит ΠΎΡ‚ нСизвСстной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (y (x) \), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ \ (y ‘(x) = \ frac {{\ rm d} y} {{ \ rm d} x} \), \ [% \ Renewcommand {\ dx} {{\ rm d} x} I (y) = \ int_a ^ b ~ F (x, y, y ‘) ~ {\ rm d} x. \] Випичная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (y (x) \) для максимизации ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° \ (I (y) \) с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… условий \ (y (a) = A \ ) ΠΈ \ (y (b) = B \).

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» \ (I (y) \) являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π° , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ (Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ смыслС) являСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° допустимых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² вСщСствСнныС числа.

ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (I (y) \) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмум , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \ (I (y) \) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ максимальноС ΠΈΠ»ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ поиска ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ \ (y (x) \) наимСньшСй Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, которая соСдиняСт Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \ ((0,0) \) ΠΈ \ ((1,1) \) Π½Π° плоскости.2 [a, b] \) такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y (a) = A, y (b) = B \), Ρ‚ΠΎ \ (Y (x) \) удовлСтворяСт ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка \ [\ label {ele } \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) — \ frac {\ partial F} {\ partial y} = 0. \]

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ([ele]) — это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° , ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° просто ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° .

Π’Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ интСрСсно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \): ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ? ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ± этом Ρ‚Π°ΠΊ: \ (F \) даСтся Π²Π°ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ функция Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, скаТСм, \ (F (u, v, w) \), ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π» \ (I \), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ \(Икс, y (x), y ‘(x) \) для \ (u, v, w \), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ.ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \) — это просто частная производная ΠΎΡ‚ \ (F \) ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ \ (v \). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ \ (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \), просто ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y’ \) являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ .

Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ стСпСни сущСствуСт Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ \ (\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} \) ΠΈ \ (\ frac {\ partial F} {\ partial x} \). ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ \ (F \) ΠΏΠΎ \ (x \) с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y = y (x) \) ΠΈ \ (y ‘= y’ (x) \) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (x \) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅.2 + Ρ…ΡƒΡƒ \ простоС \ простоС + 2Ρƒ \ простоС \ простоС y \ prime + {y \ prime} \ end {align} \] ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° – Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ \ [y + xy ‘+ 2 {y’} ‘= xy’ + 1 \ qedhere \]

\ (Y \), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° – Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°, являСтся Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ, Π½ΠΎ Π½Π΅ достаточным условиСм для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ \ (I (Y) \) Π±Ρ‹Π»ΠΎ экстрСмумом. 2 [a, b] \) удовлСтворяСт \ (\ eta (a) = \ eta (b) = 0 \), Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (Y_ \ epsilon (a) = A \) ΠΈ \ (Y_ \ epsilon (b ) = Π’ \), Ρ‚.b_a \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) ~ {\ rm d} x \] Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \ (F \) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \ (\ epsilon \). Для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… \ (F (u (\ epsilon), v (\ epsilon), w (\ epsilon)) \), Ρ‚Ρ€ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ зависят ΠΎΡ‚ \ (\ epsilon \), Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} = \ frac {\ partial F} {\ partial u} \ frac {{\ rm d} u} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial v} \ frac {{\ rm d} v} {{\ rm d} \ epsilon} + \ frac {\ partial F} {\ partial w} \ frac {{\ rm d} w} {{\ rm d} \ epsilon}.\] Π’ нашСм случаС ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ \ (x \) Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ \ (\ epsilon \), поэтому \ (\ frac {{\ rm d} x} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \) , Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ \ (Y_ \ epsilon = Y + \ epsilon \ eta \), ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta \) ΠΈ \ (\ frac {{\ rm d} Y_ \ epsilon ‘} {{\ rm d} \ epsilon} = \ eta’ \). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \ [\ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} \ epsilon} (x, Y_ \ epsilon, Y_ \ epsilon ‘) = \ frac {\ partial F} {\ partial y} \, \ eta (x) + \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \, \ eta’ (x). \] Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (\ frac {{\ rm d} I} {{\ rm d} \ epsilon} = 0 \), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° \ (\ epsilon = 0 \) .2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, ~~~~ \ left [\ mbox {ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:} ~~ y (x) = 2 \ frac {\ sinh {x}} {\ sinh {1}} \ right]. \ qedhere \]

Учитывая \ (y + g \), Π³Π΄Π΅ \ (y \) — Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· упраТнСния 1, Π° \ (g (x) \) — Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π² \ (y (x) \), ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ \ (g (0) = g (1) = 0 \), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, учитывая \ (I (y + g) \), ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ явно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y (x) \) ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ \ (I (y) \) Π² ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ 1. Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. (Подсказка: ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ частям ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° – Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ удовлСтворяСт \ (y (x) \), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для \ (I (y + g) \)).b ~ y (x) \ eta (x) ~ {\ rm d} x = 0. \] Π’ΠΎΠ³Π΄Π° \ (y (x) = 0 \) для всСх \ (a \ le x \ le b \).

Π’ΠΎΡ‚ набросок Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°. 4 & \ alpha_0

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния являСтся поиск брахистохрона , опрСдСляСмого ΠΊΠ°ΠΊ гладкая кривая, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ B (Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ), ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ частица Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ A ΠΊ B ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм силы тяТСсти с максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. врСмя.{-1} {\ left (\ sqrt {\ frac {x} {\ alpha}} \ right)} — ​​\ sqrt {x} \ sqrt {\ alpha-x}. \]

Π­Ρ‚Π° кривая называСтся Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΈΠ΄ΠΎΠΉ .

ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° \ (\ alpha \) нСявно опрСдСляСтся ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΌΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ условиСм \ (y (h) = a \). Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΈΠ΄Ρ‹ часто приводится Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ парамСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ (которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° подстановкой Π² ​​интСграл) \ [\ begin {align} Ρ… (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (1- \ cos {2 \ theta}) \\ y (\ theta) & = & \ frac {\ alpha} {2} (2 \ theta- \ sin {2 \ theta}) \ end {align} \] ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ построСн, слСдуя гСомСтричСскому мСсту Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³ радиуса \ (\ alpha / 2 \) катится (ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ (2 \ theta \)) ΠΏΠΎ прямой.2 [a, b] \) такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y (a) = A, y (b) = B \), Ρ‚ΠΎ \ (Y (x) \) удовлСтворяСт \ [\ label {belt} F — y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = C \] для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ константы \ (C \).

([пояс]) называСтся тоТдСством Π‘Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π‘Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

Рассмотрим \ [\ label {dif} \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (F- y ‘\ frac {\ partial F} {\ partial y’} \ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ) = \ frac {{\ rm d} F} {{\ rm d} x} — {y ‘}’ \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} -y’ \ frac {{\ rm d}} {{\ rm d} Ρ…} \ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right). {\ prime \ prime} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} — y’ \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} = y ‘\ left (\ frac {\ partial F} {\ partial y} — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ frac {\ partial F} {\ partial y ‘} \ right) \] ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ \ (Y \) — ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒ, это Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° – Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°, ΠΈ поэтому ΠΎΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ для \ (y = Y \).2 ~ {\ rm d} x, ~~~~~~ y (0) = 0, ~ y (1) = 2, \] ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: \ [y = f (x) = 2 \ frac {\ sinh { x}} {\ sinh {1}} \] (снова).

Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ условиями Π²ΠΈΠ΄Π° \ (y (a) = A, y (b) = B \) ΠΈΠ»ΠΈ \ (y (a) = A, y ‘(b) = B \). Для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ СстСствСнныС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ условия Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ — ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π”ΠΈΠ΄ΠΎΠ½Ρ‹ : Ссли Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ кусок Π²Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΊΠΈ фиксированной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ? Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ пытаСмся Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ \ (y \), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» \ (I (y) \), Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² \ (y \), Π½ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ фиксированной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ выраТаСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ \ (Ρƒ \). b ~ F (x, y, y ‘) + \ lambda G (x, y, y’) \; {\ rm d} x \] для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ константы \ (\ lambda \).

Π’Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ мноТитСлях Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: см. Π Π°Π·Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΠΎ Moodle (константа \ (\ lambda \) окаТСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (I (Y) \) являСтся максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ условии \ (J (y) = L \), ΠΈ рассмотрим двухпарамСтричСскоС сСмСйство Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ \ [Y (x) + \ epsilon \ eta (x) + \ delta \ zeta (x) \], Π³Π΄Π΅ \ (\ epsilon \) ΠΈ \ (\ delta \) — константы, Π° \ (\ eta (x) \) ΠΈ \ (\ zeta (x) \) — Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (\ eta (a) = \ zeta (a) = \ eta (b) = \ zeta (b) = 0 \), с \ (\ zeta \), Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ \ (Y + \ epsilon \ eta + \ delta \ zeta \) подчиняСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ.Π± G (Ρ…, Y + \ эпсилон \ eta + \ delta \ zeta, Y ‘+ \ epsilon \ eta’ + \ delta \ zeta ‘) \, {\ rm d} x. \] ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ \ (I \) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² \ (Y (x) \ ) ΠΏΡ€ΠΈ условии \ (J = L \), Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \ ((\ epsilon, \ delta) \) = \ ((0,0) \) наша функция \ (I [\ epsilon, \ delta] \) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ условии \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \).

Из Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ \ (I [\ epsilon, \ delta] \) Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \ (J [\ epsilon, \ delta] = L \) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² \ ((0,0) \), Ссли сущСствуСт постоянная \ (\ lambda \) (называСмая ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°) такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ [\ begin {align} \ frac {\ partial I} {\ partial \ epsilon} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ epsilon} & = 0 \\ \ frac {\ partial I} {\ partial \ delta} + \ lambda \ frac {\ partial J} {\ partial \ delta} & = 0 \ end {align} \] Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \ (\ epsilon = \ delta = 0 \).b \ eta \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y} \ left (F + \ lambda G \ right) — \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} \ left (\ frac {\ partial} {\ partial y ‘} \ left (F + \ lambda G \ right) \ right) \ right) \, {\ rm d} x ~~~~ \ mbox {(ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ частям)} \\ & & \\ & = & 0 ~~~~~ {\ mbox {ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ \ epsilon = \ delta = 0 $, Π½Π΅Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ $ \ eta $.}} \ End {align} \] Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для любого \ (\ eta \), ΠΏΠΎ FLCV (Π»Π΅ΠΌΠΌΠ° [flcv]) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ \ [(F_y + \ lambda G_y) (x, Y, Y ‘) + \ frac {{\ rm d}} ​​{{\ rm d} x} (F_ {y ‘} + \ lambda G_ {y’}) (x, Y, Y ‘) = 0 \], Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (Y \) являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° – Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° для \ (K \), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ трСбуСтся. 2+ \ frac {5} {2}. \ right] \]

(ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡ Π·Π°Π³ΠΎΠ½Π° для ΠΎΠ²Π΅Ρ†): Π—Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ \ (l \) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ ΠΊ прямой стСнС Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… A ΠΈ B (Π½Π° расстоянии \ (a \) Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, Π³Π΄Π΅ \ (a

БущСствуСт мноТСство Π²Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… содСрТит Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС матСматичСских Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»Π΅ΠΉ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… для MATH0043.Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ΅ имССтся Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС Π“Π΅Π»ΡŒΡ„Π°Π½Π΄Π° ΠΈ Π€ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°. МСнСС тСхничСский источник — Π³Π»Π°Π²Π° 9 Boas Mathematical Methods in the Physical Sciences . Π’ сСти Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΡ… Π²Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… свСдСний ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ исчислСнии, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

, хотя всС ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π² MATH0043. НаконСц, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° Moodle, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ

пригодится Π² качСствС напоминания ΠΎ мноТитСлях Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ°.

KryssTal: Introduction to Calculus

KryssTal: Introduction to Calculus

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, примСняСмая ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°ΠΌ (Π³Ρ€Π°Ρ„Π°ΠΌ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠ²). Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° аспСкта:
  • Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ (поиск ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ)
  • Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ (поиск Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ вычислСниС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ²)
Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΎ СвропСйскими ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Исаак ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ ΠΈ Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† .

Π­Ρ‚ΠΎ эссС Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ДиффСрСнциация .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ позволяСт Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ P. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ находится производная, называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ΅ прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ y = x 2 .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ присвоСн символ

dy / dx

. Π­Ρ‚ΠΎ произносится ΠΊΠ°ΠΊ d y Π½Π° d x ΠΈΠ»ΠΈ dy dx .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ — это функция, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ (ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π² любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ измСряСт ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния y ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ x . Он описываСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ измСняСтся y ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ x. Π­Ρ‚ΠΎ понятиС ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅.

МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли y = x 2 , Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π°

. dy / dx = 2x

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, для этой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 1, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2; Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΈ x = 3 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ y = x 3 оказываСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ dy / dx = 3x 2 .
Для y = x 4 производная Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = 4x 3 . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. НайдитС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = x 3 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = -1 ΠΈ x = 2, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 3x 2 .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ этой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = 3x 2 .

Когда x = -1, dy / dx = 3; когда x = 2, dy / dx = 12.


Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ я ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° поиска ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ стСпСни x

Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = a dy / dx = 0
y = ax n dy / dx = Ρ‚Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ³Π° n-1
Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ n (a ΠΈ n — числа).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ числа Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ax n — это функция, состоящая ΠΈΠ· числа (a), ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° x Π² стСпСни n. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ число Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ (an) ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ индСкса Π½Π° 1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

(i) y = 3x 3 ; (ii) y = 1 / x; (iii) y = 2√x.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (dy / dx = Ρ‚Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ³Π° n-1 ), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

(i) ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° y = 3x 3 , dy / dx = 9x 2
(ii) ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° y = 1 / x , это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y = x -1 .Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, dy / dx = -x -2 = -1 / (x 2 )
(iii) ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° y = 2√x , это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y = 2x (1/2) . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, dy / dx = x — (1/2) = 1 / (√x)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: НайдитС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = -2x 3 , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = -2.

Когда y = -2x 3 , dy / dx = -6x 2 .

Для x = -2, dy / dx = -24.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ y = 3x ΠΈ y = 2 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ постоянный Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½.

y = 3x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ y = 3x 1 ; dy / dx = 3x 0 = 3 , Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся константой. Β«ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°ΡΒ» y = 3x прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 3.

y = 2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ y = 2x 0 , dy / dx = 0 (другая константа). Β«ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°ΡΒ» y = 2 — это прямая линия, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ оси x (Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½).

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = u + v dy / dx = du / dx + dv / dx
y = u — v dy / dx = du / dx — dv / dx
Π’ этих уравнСниях u ΠΈ v ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ функциями x.

Если Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вмСстС, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.Если Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ уравнСния (i) y = 4x 2 + 2x + 3 ΠΈ (ii) y = x 5 — 5 / x.

(i) Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 4x 2 + 2x + 3 производная Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = 8x + 2

(ii) Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x 5 — 5 / x производная Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = 5x 4 + 5 / x 2

Бинус ΠΈ косинус

Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ синусов ΠΈ косинусов.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = aSin (u) dy / dx = a (du / dx) Cos (u)
y = aCos (u) dy / dx = -a (du / dx) Sin (u)
Π’ этих уравнСниях u являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x. (Π° — число).
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ u (ΠΈΠ»ΠΈ x) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ синуса — косинус. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ косинус Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ исходного синуса.ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ косинуса минус синус. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ синус Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ исходного косинуса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: НайдитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚: (i) y = Sin (x), (ii) y = 3Cos (2x), (iii) y = Sin (x 2 ), (iv) y = x — Cos (Икс).

(i) y = Sin (x) ; dy / dx = Cos (x)

(ii) y = 3Cos (2x) ; dy / dx = -6Sin (2x)

(iii) y = Sin (x 2 ) ; dy / dx = 2xCos (x 2 )

(iv) y = x — Cos (x) ; y = 1 + Sin (x)

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹ — это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = uv dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx)
Π’ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ u ΠΈ v ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ функциями ΠΎΡ‚ x, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вмСстС.
Π­Ρ‚ΠΎ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ².

Если Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, производная находится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ функция умноТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Вторая функция умноТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ вмСстС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7: Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ y = xSin (x)

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ (uv), поэтому ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ².

dy / dx = xCos (x) + Sin (x) .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ y = (x 2 + 1) √x 3

y = (x 2 + 1) √x 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ y = (x 2 + 1) x (3/2)

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ²,

dy / dx = (x 2 + 1) (3/2) x (1/2) + x (3/2) (2x) = (3/2) (x 2 + 1) √x + 2x√x 3

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = u / v (v (du / dx) — u (dv / dx)) / v 2
Π’ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ u ΠΈ v ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ функциями x Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ дСлСния.
Π­Ρ‚ΠΎ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ частных.

Если Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹, производная находится ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Ѐункция знамСнатСля (Ρ‚Π°, которая находится ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ) умноТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числитСля (Ρ‚Π°, которая находится Π½Π°Π΄ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ).Ѐункция числитСля умноТаСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ знамСнатСля. Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вмСстС ΠΈ дСлятся Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ исходного знамСнатСля.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9: Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ y = Tan (x).

y = Tan (x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y = Sin (x) / Cos (x) . Π­Ρ‚ΠΎ частноС.

dy / dx = [Cos (x) .Cos (x) — Sin (x) .- Sin (x)] / Cos 2 (x) , (ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ частного)

= [Cos (Ρ…).Cos (x) + Sin (x) .Sin (x)] / Cos 2 (x) = [Cos 2 (x) + Sin 2 (x)] / Cos 2 (x)

= 1 / Cos 2 (x)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° косинуса называСтся сСкущСй (Sec): 1 / Cos (x) = Sec (x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, производная ΠΎΡ‚ y = Tan (x) Ρ€Π°Π²Π½Π°

dy / dx = Sec 2 (x) . (ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Cos 2 (x) + Sin 2 (x) = 1 ) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10: НайдитС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, y = Sin (x) / (x 2 + 1).

ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ частного для y = Sin (x) / (x 2 + 1) ,

dy / dx = [(x 2 + 1) Cos (x) — 2xSin (x)] / [(x 2 + 1) 2 ]

Когда x = 0, dy / dx = (0 + 1 — 0) / (0 + 1) 2 = 1/1 = 1.

(ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Cos (0) = 1 )

НСявная диффСрСнциация

Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ содСрТат y, ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ с x.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
(Ѐункция Π² y) (ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ y) (dy / dx)
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΎΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° dy / dx.
Π­Ρ‚ΠΎ называСтся нСявной Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Если Π² y Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция, Π΅Π΅ всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° dy / dx.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11: НайдитС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ окруТности с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравнСния x 2 + y 2 = 4 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0, -2).

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ y, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Но ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ нСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅:

2x + 2y (dy / dx) = 0 .

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ‚: dy / dx = -2x / 2y = — x / y

Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 0, y = -2, dy / dx = 0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12: Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ dy / dx Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x для уравнСния Sin (y) = x 2 .

НСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ (dy / dx) Cos (y) = 2x .ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° (dy / dx) = 2x / Cos (y) .

Помня, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Cos 2 (y) + Sin 2 (y) = 1, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Cos (y) = √ [1 — Sin 2 (y)] .

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π΄Π°Π΅Ρ‚ (dy / dx) = 2x / √ [1 — Sin 2 (y)] = 2x / √ [1 — x 4 ] .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Sin (y) = x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ y = ArcSin (x) , Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ArcSin (x) — это Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ синус x.Π£ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ свои ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
y = ArcCos (x) dy / dx = -1 / [1 — x 2 ] 1/2
y = ArcSin (x) dy / dx = 1 / [1 — x 2 ] 1/2
y = ArcTan (x) dy / dx = 1 / [1 + x 2 ]
Π£Π³Π»Ρ‹ (x) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13: НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ dy / dx для уравнСния y = ArcCos (x), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0,5.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = -1 / [1 — x 2 ] 1/2 .

ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ значСния x = 0,5 Π΄Π°Π΅Ρ‚ dy / dx = -1 / [1 — 0,5 2 ] 1/2 = -1,154.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
Ln (u) (1 / u) (du / dx)
Π’ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ u являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x.
Ln — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (ΠΏΠΎ основанию e).

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это обратная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, умноТСнная Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 14: НайдитС dy / dx для уравнСния y = Ln (x).

Π­Ρ‚ΠΎ просто Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ dy / dx = 1 / x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 15: Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ y = Ln (Cos (x)).

ИспользованиС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π°Π΅Ρ‚ dy / dx = (1 / Cos (x)).-Sin (x) = -Sin (x) / Cos (x) = -Tan (x)

Для различСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 16: Найти dy / dx, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° 2 y = 3 Sin (x) .

2 y = 3 Sin (x) Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон:

Ln (2 y ) = Ln (3 Sin (x) ) .

Помня логарифмичСскиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° индСксов, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ:

yLn (2) = Sin (x) Ln (3) .Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ нСявно Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ:

(dy / dx) Ln (2) = Ln (3) Cos (x) , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ dy / dx = Ln (3) Cos (x) / Ln (2) .

Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ содСрТат ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ индСкс.
Ѐункция ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
a u (du / dx) a u Ln (a)
e u (du / dx) e u
Π’ этом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ u являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x, a — числом.
Число e являСтся основаниСм Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ числа, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, — это число, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа. Если число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ e, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ просто умноТаСтся Π½Π° e ΠΈ возводится Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 17: Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ: y = 2 3x .

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для y = 2 3x Π΄Π°Π΅Ρ‚ dy / dx = 3.Ln (2) .2 3x . ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 18: Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: (i) y = e Sin (x) , (ii) y = e x .

(i) ИспользованиС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для y = e Sin (x) Π΄Π°Π΅Ρ‚ dy / dx = Cos (x) .e Sin (x) .

(ii) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ y = e x Ρ€Π°Π²Π½Π° dy / dx = e x .

y = e x — СдинствСнная функция, равная своСй ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.


РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°)

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для получСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для вычислСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ для получСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ алгСбраичСски.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, я ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ сокращСнныС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹:

Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹
f (x) Ѐункция x x 2 — 3x + 5 ΠΈΠ»ΠΈ
Sin (3x) — 2x
f (a) Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x, f (x), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x установлСно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Если f (x) = x 2 — 3x + 5,
f (0) = 5 (ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 0 Π² f (x)),
f (1) = 3 (ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 1 Π² f ( x))
F (x) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x, f (x) Если f (x) = x 2 — 3x + 5,
F (x) = 2x — 3
(производная)
F (a) Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x, F (x), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = a Если f (x) = x 2 — 3x + 5,
F (x) = 2x — 3 ΠΈ F (1) = -1
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ (Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x) ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, f (x) = 0

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a)

Π³Π΄Π΅ f (x) — функция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π° a — ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:
  • Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ помСститС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x = a. Π­Ρ‚ΠΎ f (a).
  • Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F (x) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x = a. Π­Ρ‚ΠΎ F (a).
  • Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° значСния: f (a) / F (a).
  • Π’Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ это ΠΈΠ· прСдполоТСния, a.
  • Π­Ρ‚ΠΎ даст ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x для исходного уравнСния, f (x) = 0.

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для x основано Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΌ для a.Π§Π΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ исходноС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для a, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ a Π½Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΈ процСсс Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ достигнута ТСлаСмая Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π§Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Π°) ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС Ρ€Π°Π· потрСбуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ процСсс называСтся ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ .

НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡƒΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 19: НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ √10 с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния x 2 = 10 , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² x 2 — 10 = 0 . Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ это Π² ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅, f (x) = 0 . Ѐункция f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: f (x) = x 2 -10

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ F (x) Ρ€Π°Π²Π½Π°:

F (x) = 2x

. Глядя Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Β«ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈΒ»), ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ 3 (ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 2 = 9), поэтому ΠΌΡ‹ устанавливаСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ прСдполоТСния, a, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 3.Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ для использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

  • a = 3
  • f (a) = f (3) = 3 2 — 10 = -1
  • F (Π°) = F (3) = 2 Γ— 3 = 6

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 3 — f (3) / F (3) = 3 — (-1 / 6) = 3 + 1/6 = 3,1666

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ с прСдполоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3, ΠΈ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (3,1666). Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

  • Π° = 3,1666
  • f (a) = f (3,1666) = 3,1666 2 — 10 = 0,0273
  • F (Π°) = F (3,1666) = 2 Γ— 3,1666 = 6,3332

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ использованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 3,1666 — f (3,1666) / F (3,1666) = 3,1666 — (0,0273 / 6,3332) = 3,1622

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ процСсса с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΊΠ°ΠΊ 3,1623 с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.ПослС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ получится ΠΊΠ°ΠΊ x = 3,162 с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: приблиТСния ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° — это общая вСрсия ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€Π΅Π²Π½ΠΈΠΌΠΈ вавилонянами для нахоТдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· чисСл. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 20: НайдитС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для x, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ удовлСтворяСт кубичСскому ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ, x 3 — 5x + 3 = 0

НачнСм с записи Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ: f (x) = x 3 — 5x + 3 ΠΈ F (x) = 3x 2 — 5

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π² Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (1) = -1 ΠΈ f (2) = 1, поэтому Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊ 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст f (x) = 0. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ нашС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Π°) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 2; фактичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшС.

  • Π° = 2
  • f (a) = f (2) = 2 3 — (5 Γ— 2) + 3 = 1
  • F (a) = F (2) = (3 Γ— 2 2 ) — 5 = 7

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 2 — f (2) / F (2) = 2 — (1/7) = 1,857

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1,857 являСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ x, Ρ‡Π΅ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 2.Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ 1.857 ΠΈ снова Π·Π°ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ процСсс:

  • Π° = 1,857
  • f (a) = f (1,857) = 1,857 3 — (5 Γ— 1,857) + 3 = 0,1187
  • F (a) = F (1,857) = (3 Γ— 1,857 2 ) — 5 = 5,3453

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·):

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 1,857 — f (1,857) / F (1,857) = 1,857 — (0,1187 / 5,3453) = 1,834

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

  • a = 1.834
  • f (a) = f (1,834) = 1,834 3 — (5 Γ— 1,834) + 3 = -0,0012
  • F (a) = F (1,834) = (3 Γ— 1,834 2 ) — 5 = 5,0906

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° (Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·):

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 1,834 — f (1,834) / F (1,834) = 1,834 — (-0,0012 / 5,0906) = 1,834

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ (с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²) Π½Π° x = 1,834.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этой кубичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ сущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 1.ПолоТив a Π½Π° 0 ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠΆΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ 0,656.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня. БущСствуСт Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, установив для прСдполоТСния (a) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ -2. Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ приятно ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ это Π² качСствС упраТнСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 20: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Cos (x) = x с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

НС сущСствуСт простого ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° алгСбраичСского Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этого уравнСния.ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это графичСски, построив Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ y = Cos (x) ΠΈ y = x Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ листС Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ ΠΈ найдя Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° схСмС Π½ΠΈΠΆΠ΅. ΠŸΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСстановки ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Cos (x) — x = 0 , поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ f (x) = Cos (x) — x ΠΈ F (x) = -Sin (x) — 1 соотвСтствСнно Из нашСго знания косинуса ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ колСблСтся ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ y = 1 ΠΈ y = -1 для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎ прямых Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y = x — это прямая линия с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Из этого Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° (ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ встрСтятся Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ мСстС рядом со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x = 1. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ нашС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (a) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 1.

НапоминаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, , Π° Π½Π΅ Π² градусах. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.

  • Π° = 1
  • f (a) = f (1) = Cos (1) — 1 = -0,4596
  • F (a) = F (1) = -Sin (1) — 1 = -1,8414

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 1 — f (1) / F (1) = 1 — (-0,4596 / -1,8414) = 0,7504

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

  • Π° = 0,7504
  • f (a) = f (0,7504) = Cos (0,7504) — 0,7504 = -0,0189
  • F (a) = F (0.7504) = -Π“Ρ€Π΅Ρ… (0,7504) — 1 = -1,6819

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·:

x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ = a — f (a) / F (a) = 0,7504 — f (0,7504) / F (0,7504) = 0,7504 — (-0,0189 / -1,6819) = 0,7391

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

  • a = 0,7391
  • f (a) = f (0,7391) = Cos (0,7391) — 0,7391 = -0,0000 (Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой)
  • F (a) = F (0,7391) = -Sin (0,7391) — 1 = -1,6735

Из Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (0. 7391) составляСт ΠΎΡ‚ нуля Π΄ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², поэтому Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ приблиТСния Π½Π΅ измСнится.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² x = 0,739 послС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π’Π΅ΠΌΠΏ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ измСряСт ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅.

Если сущСствуСт связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ расстояниСм (с) ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ (t), Ρ‚ΠΎ производная расстояния ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ds / dt , Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ (v) Π² любоС врСмя.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 21: Частица двиТСтся Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ расстояниС (Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ…) ΠΎΡ‚ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ
. s = 2t 2 — 3t + 1, Π³Π΄Π΅ t — врСмя Π² сСкундах. НайдитС Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 4 сСкунды.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, v, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ds / dt, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ t:

v = ds / dt = 4t — 3 . Когда t = 4 с, v = 13 ΠΌ / с.

Если сущСствуСт связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ частицы (v) ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ (t), Ρ‚ΠΎ производная v ΠΏΠΎ t, dv / dt , Π΄Π°Π΅Ρ‚ ускорСниС (a) ΠΏΡ€ΠΈ любом врСмя.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 22: Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ частицы Ρ€Π°Π²Π½Π° v = 4t — 3. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 с.

УскорСниС a опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ dv / dt, поэтому ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ t:

Π° = dv / dt = 4 . УскорСниС постоянноС ΠΈ составляСт 4 ΠΌ / с 2 .

Если сущСствуСт связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ энСргиСй (E) ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ (t), Ρ‚ΠΎ производная E ΠΏΠΎ t, dE / dt , Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (P) Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 23: Устройство потрСбляСт ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ: E = t 3 , Π³Π΄Π΅ E — энСргия Π² дТоулях, Π° t — врСмя Π² сСкундах. НайдитС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2 с.

ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ P опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ dE / dt, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ t:

P = dE / dt = 3t 2 . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 2 сСкунды составляСт 12 Π’Ρ‚.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, диффСрСнциация являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· самых ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹Ρ… инструмСнтов ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ.

Β© 2001, 2009 ΠšΡ€Ρ‹ΡΡΠ’Π°Π»

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ ΠΈ способы Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ простых ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ — это способ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ выглядят алгСбраичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ИндСкс ΠΈ Π±Π°Π·Π°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. Π‘Π°Π·Π° 10 ΠΈ Π±Π°Π·Π° e. ИспользованиС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π² расчСтах. Ряды для Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ². ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, синусы, косинусы, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. ИспользованиС тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, рядов ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… использованиС ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ систСмных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. НСполныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Limits, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ L’HΓ΄pital.

Π˜ΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ I — НСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… устройств ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ устройство с «ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ» ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ экрана ( i. Π΅. Π²Ρ‹, вСроятно, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½ΠΎΠΌ). Из-Π·Π° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° этом сайтС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Если вашС устройство Π½Π΅ находится Π² альбомном Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ уравнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ сбоку ΠΎΡ‚ вашСго устройства (Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ элСмСнты мСню Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ экрана.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 3-10: НСявная диффСрСнциация

К этому ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΌΡ‹ сдСлали довольно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° \ (y = f \ left (x \ right) \).К соТалСнию, Π½Π΅ всС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ собираСмся Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄ΡƒΡ‚ Π² эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ взглянСм Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 НайдитС \ (y ‘\) для \ (xy = 1 \). ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.

РСшСниС 1:

Π­Ρ‚ΠΎ простой способ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ для \ (y \), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅.2}}} \]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ достаточно просто. Однако Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… это Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π’ΠΎΡ‚ здСсь ΠΈ вступаСт Π² ΠΈΠ³Ρ€Ρƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

РСшСниС 2:

Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ оставим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ, ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с Π½Π΅ΠΉ Π² этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Однако Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ части этого Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для \ (y \), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹ \ (y \) ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ \ (x \).Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для \ (y \) (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π² этом случаС, Π½ΠΎ Π½Π΅ всСгда смоТСм это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ \ (y = y \ left (x \ right) \). Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

\ [xy = x \, y \ left (x \ right) = 1 \]

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ пишСм \ (y \ left (x \ right) \), ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ \ (y \) Ρ€Π°Π· \ (x \). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y \) являСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, нСизвСстной) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ \ (x \). Об этом Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ этой Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ шагом Π² этом Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ являСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \ (x \) ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({x \, y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (1 \ right) \ ]

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ сторона лСгкая. Π­Ρ‚ΠΎ просто производная ΠΎΡ‚ константы. ЛСвая сторона Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ проста, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚, \ (x \) ΠΈ \ (y \ left (x \ right) \). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ произвСсти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°.Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚

\ [\ left (1 \ right) y \ left (x \ right) + x \ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ способ записи ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{dy}} {{dx}} = y ‘\]

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

\ [Ρƒ + Ρ…Ρƒ ‘= 0 \]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€ΠΎΠ½ΠΈΠ»ΠΈ \ (\ left (x \ right) \) Π½Π° \ (y \), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Ρ‚Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y \) Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \ (x \), ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ взяли ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, ΠΎΠ½Π° большС Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Π°. ΠœΡ‹ просто Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ. ΠœΡ‹ искали ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ \ (y ‘\) ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \ (y’ \). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для \ (y ‘\).

\ [y ‘= — \ frac {y} {x} \]

Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.{2}}} \]

, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. НСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ использовали Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, называСтся нСявным Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ являСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°. Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ смогли просто Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для \ (y \) ΠΈ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ нСявного диффСрСнцирования. Однако Π² ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ смоТСм Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для \ (y \), Π»ΠΈΠ±ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ \ (y \) Π½Π° \ (y \ left (x \ right) \), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ сдСлали ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Напомним, ΠΌΡ‹ сдСлали это, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y \) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \ (x \). ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это довольно часто Π² этих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, хотя Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ пишСм \ (y \ left (x \ right) \). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ фактичСски займСмся ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ нСявного диффСрСнцирования, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сдСлаСм быстрый Π½Π°Π±ΠΎΡ€ «простых» ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΌΡ‹ надССмся, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π² создании ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ содСрТат \ (y \ left (x \ right) \).{Ρƒ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Ρ… \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)}} \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Они написаны Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ здСсь Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, каТдая ΠΈΠ· этих частСй ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ нСсколько Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ, начиная с ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ слСдуСт общая функция. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΌ с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ частями процСсса нСявной Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. 2} — 7} \ right) \]

ΠΈ это всСго лишь Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. ΠœΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ внСшнюю Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 5), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ скобок).

Для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π² основном Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΡΡ функция ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни 5, Π° внутрСнняя функция Π½Π° этот Ρ€Π°Π· просто \ (f \ left (x \ right) \). Π£ нас Π½Π΅Ρ‚ здСсь ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.4} Π΅ ‘\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Ρ… \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \]

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ \ (f \ left (x \ right) \), поэтому, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, , Ρ‚.Π΅. \ (f ‘ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Ρ… \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \).

Π’ послСднСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ просто Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ \ (f \) Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° \ (y \), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ большая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ нашСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ \ (y \) вмСсто \ (f \). с. Π’ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ эта функция ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ.4} Ρƒ ‘\ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Ρ… \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \]
b \ (\ sin \ left ({3 — 6x} \ right) \), \ (\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ функция, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ здСсь, — это снова ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ быстрой Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ производная,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({3 — 6x} \ right)} \ right] = — 6 \ cos \ left ({3 — 6x} \ right) \ ]

Для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° этот Ρ€Π°Π· ΠΌΡ‹ Π½Π΅ стали ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \ (f \ left (x \ right) \) ΠΈ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ»ΠΈ прямо ΠΊ \ (y \ left (x \ right) \) для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ вСрсии.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ° всСго лишь общая вСрсия Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ сдСлали для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΡΡ функция ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ являСтся синусом, Π° внутрСнняя задаСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (y \ left (x \ right) \), ΠΈ хотя Ρƒ нас Π½Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для \ (y \ left (x \ right) \), поэтому ΠΌΡ‹ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ производная для этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,

\ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right)} \ right] = y ‘\ left (x \ right) \ cos \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \]
c \ ({{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} — 9x}} \), \ ({{\ bf {e}} ^ {y \ left (x \ right)}} \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ этой части ΠΌΡ‹ просто Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈ опустим объяснСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… частях. {Ρƒ \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Ρ… \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ)}} \]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ просто Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с Ρ†Π΅ΠΏΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π³Π΄Π΅ внутрСнняя функция Π±Ρ‹Π»Π° \ (y \ left (x \ right) \) вмСсто ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ постоянно проявляСтся ΠΏΡ€ΠΈ нСявном Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ, поэтому Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ сдСлали это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ здСсь.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎ врСмя Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΡˆΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π³Π΄Π΅ трСбуСтся нСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ фактичСски ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ нСявного диффСрСнцирования, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ для \ (y \).2}} \]

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, ΠΌΡ‹ заявили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ просто Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для \ (y \), ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ сдСлали. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ здСсь Β«Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽΒ» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ? ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π² Β«\ (\ pm \)Β». ИмСя это Π² Β«Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ» для \ (y \), ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y \) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅? Нам Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° функция для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ Π² Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΌ случаС Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.1} y ‘\ left (x \ right) = 0 \]

На этом этапС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ \ (\ left (x \ right) \), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ с процСссом диффСрСнцирования. ПослСдний шаг — просто Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для \ (y ‘\).

\ [\ begin {align *} 2x + 2yy ‘& = 0 \\ y’ & = — \ frac {x} {y} \ end {align *} \]

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ просто ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ \ (y \), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.2} = 9 \]

Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \ (\ left ({2, \, \, \ sqrt 5} \ right) \).

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ всСх Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ…, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ значСния ΠΊΠ°ΠΊ \ (x \), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ \ (y \) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, подставив Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΈ поэтому Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для записи ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ, — это Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈ это Π½Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ производная, вычислСнная Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, поэтому всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

\ [m = {\ left. {y ‘} \ right | _ {x = 2, \, y = \ sqrt 5}} = — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \]

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая.

\ [y = \ sqrt 5 — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \ left ({x — 2} \ right) \]

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Π’ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… ΠΌΡ‹ большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ \ (y \ left (x \ right) \) вмСсто \ (y \).Π­Ρ‚ΠΎ просто Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y \) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \ (x \), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π£Π²ΠΈΠ΄Π΅Π² \ (y \ left (x \ right) \), ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для этой части ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. Π‘ этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΌΡ‹ оставим \ (y \) записанными ΠΊΠ°ΠΊ \ (y \), ΠΈ Π² нашСй Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ \ (y \ left (x \ right) \ ) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.

Π•ΡΡ‚ΡŒ простой способ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π² этих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ….Π¦Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π±Ρ‹, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ нСявном Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌ с \ (y \) Π² Π½Π΅ΠΌ, внутрСнняя функция — это \ (y \), ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ \ (y ‘\) ΠΊ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρƒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ — производная Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 НайдитС \ (y ‘\) для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.3} + 1 \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ \ (x \) ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ \ (y \) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ \ (y \ left (x \ right) \), ΠΌΡ‹ просто большС Π½Π΅ собираСмся ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ слСва Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°.

ΠœΡ‹ Ρ€Π°Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ эти Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… \ (y \) ’, Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ вспомнитС обсуТдСниС этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ \ (y \) ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ \ (y ‘\), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся Π½Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Β«Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β».2} Π³ ‘\]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ \ (y ‘\). Π­Ρ‚ΠΎ всСго лишь базовая Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. Основная ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ бСспорядочно, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ, ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ с \ (y ‘\) Π² Π½ΠΈΡ… с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ всС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ Π±Π΅Π· \ (y’ \) с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ \ (y ‘\) ΠΈΠ· всСх Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², содСрТащих Π΅Π³ΠΎ, ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° «коэффициСнт» \ (y’ \). Π’ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для этого,

\ [\ begin {align *} 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = 24 {y ^ 2} y ‘- 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y’ \\ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = \ left ({24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \ right) y ‘\\ y’ & = \ frac {{ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3}} {{24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}}} \ end {align *} \]

АлгСбра Π² этих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ довольно Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны. 3}} \ right) \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТнСС. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ здСсь, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ…, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.

И Π² экспонСнтС, ΠΈ Π² Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ «стандартноС» Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ экспонСнты ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ просто \ (x \) ΠΈΠ»ΠΈ \ (y \). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \ (y \) ‘s.{- 1}}}} \ end {align *} \]

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ производная хотя Π±Ρ‹ выглядСла Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ всС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСявного диффСрСнцирования Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Однако Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅.

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях Ρƒ нас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся функциями Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ \ (x \ left (t \ right) \) ΠΈ \ (y \ left (t \ right) \), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈ Π² этих случаях ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ \ (t \) . Π­Ρ‚ΠΎ просто нСявноС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°.

Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ \ (x \) ’s ΠΈ \ (y \)’ s, ΠΈ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ \ (y \) ΠΊΠ°ΠΊ \ (y \ left (x \ right) \). Π’ этих Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎ \ (x \), ΠΈ поэтому, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ с \ (x \) Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ с \ (y \), ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ» \ (y ‘\) ΠΊ этому Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρƒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ примСняли Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ.

Π’ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (x = x \ left (t \ right) \) ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (y = y \ left (t \ right) \) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ \ (Ρ‚ \). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ сталкиваСмся с \ (x \) ΠΈΠ»ΠΈ \ (y \), ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ \ (x \), Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ \ (x ‘\), ΠΈ всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ \ (y \), ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ \ (y’ \).

Π­Ρ‚ΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ обсуТдали Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅.{1 — x}} + 5y ‘\ sin \ left ({5y} \ right) = 2yy’ \]

Π’ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. Когда ΠΌΡ‹ займСмся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

На Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, каТдая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² сСбя Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ΡΠ²Π½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.y $ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция $ y $ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ a производная. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, это Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Ссли ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° эта производная Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ $ 1 / x $. ΠŸΡ€ΠΈ использовании этого ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ всСгда Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ТСлаСмая производная сущСствуСт, Π½ΠΎ ΠΊ ΡΡ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, это бСзопасноС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ.

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ $ y = \ ln x $ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ нСявно опрСдСлСнная обратная функция, Π½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ нСявно, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для нСявного опрСдСлСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ функция.2) \ cr 0 & = 2x + 2yy ‘\ cr y ‘& = {- 2x \ over 2y} = — {x \ over y} \ cr } $$ Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для $ y ‘$, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ содСрТит $ y $, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ $ x $. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ $ y ‘$ для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ x $ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ $ y $ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ $ x $ ΠΊΠ°ΠΊ Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ. ИмСнно Π² этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ $ y $ $ U (x) $ ΠΈΠ»ΠΈ $ L (x) $. Иногда оказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ явноС использованиС $ U (x) $ ΠΈΠ»ΠΈ $ L (x) $ ΠΏΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. 2 $ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ \ ds (1, — \ sqrt {3}) $.2}}, $$ Π±Π΅Π· явного вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ $ L (x) $. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ $ x = 1 $ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅. $ \ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ $

Π’ случаС ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ U (x) $ ΠΈ $ L (x) $ явно, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прСимущСства использования Π² любом случаС нСявная диффСрСнциация. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях это слоТнСС ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для $ y $ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ²Π½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ — СдинствСнный способ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.y = x $ для $ y $, поэтому, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, послС вычислСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слоТно Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° $ y ‘$. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. ВсС вхоТдСния $ y ‘$ происходят ΠΈΠ·-Π·Π° примСнСния Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΈ всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ†Π΅ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠ½ вносит ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ $ y ‘$ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сгруппируйтС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, содСрТащиС $ y ‘$, ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ $ y’ $ Π·Π° скобки, просто ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Если Π²Ρ‹ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТноС Π²Ρ‹ сдСлали ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ. 2} = 2a.2 $ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.4 $ \ ds 4 \ соз Ρ… \ Π³Ρ€Π΅Ρ… Ρƒ = 1 $ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.5 $ \ ds \ sqrt {x} + \ sqrt {y} = 9 $. (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.6 $ \ ds \ tan (Ρ… / Ρƒ) = Ρ… + Ρƒ $ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.7 $ \ ds \ sin (Ρ… + Ρƒ) = Ρ…Ρƒ $ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.8 $ \ ds {1 \ over x} + {1 \ over y} = 7 $ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.9 Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π°, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· $ (8,6) $, состоит ΠΈΠ· всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, расстояниС Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° константу большС, Ρ‡Π΅ΠΌ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (5,2).2 = 9 $ — эллипс. НайдитС прямыС, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊ этой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния с осью $ x $. ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти строки ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.13 ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эллипс пСрСсСкаСт ось $ y $. (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.14 НайдитС Π½Π° эллипсС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π³Π΄Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. 2 = k $ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ $ yx = c $.2 = 0 $ ΠΈ $ yx = 0 $ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.8.21 ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ m \ neq 0 $. ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСмСйство ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… $ \ ds \ {y = mx + b \ mid b \ in \ R \} $ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ сСмСйство ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… $ \ ds \ {y = — (x / m) + c \ mid c \ in \ R \} $.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ y = xΒ³. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ y = 1 / x

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 5, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 2: ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹

Π’Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ f ( x ) = 2 x — 5

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ f ( x ) = x 3

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1.ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f ( x ) = 2 x — 5.

a) Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт разности ΠΈ упроститС Π΅Π³ΠΎ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ сами!

f ( x + h ) — f ( x )
h
= 2 ( x + h ) — 5 — (2 x -5)
h
= 2 x + 2 h -5-2 x + 5
h
= 2 Ρ‡
Ρ‡
= 2.

b) ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ f ‘ ( x ) ΠΏΡ€ΠΈ x = 9 ΠΈ x = βˆ’9.

f ‘ ( x ) = 2
= 2,

согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 4 ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° 2.

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния f ( x ) Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x . f ‘ ( x ) постоянно. Но это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. y = 2 x — 5 — это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. (Π’Π΅ΠΌΠ° 9 Precalculus). А Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой — это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния y ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ x — ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† y для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ x .

К прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ касаСтся ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

a) РассчитайтС Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ прямой, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y = x 2 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅
a) Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ x = 4.

Π±) Каково ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ?

РСшСниС.

a) Наклон ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x = 4 являСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
a) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x = 4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ y = x 2 Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 x . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ
Π°) x = 4 Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 8.

Π±) Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

y = ax + b ,

, Π³Π΄Π΅ a — Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ прямой.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ a = 8, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ составляСт

y = 8 x + b .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ b , ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 1 Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ 1 Π² Π£Ρ€ΠΎΠΊΠ΅ 34 Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x = 4 Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x 2 , Ρ‚ΠΎ y = 16. ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (4, 16) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

16 = 8 Β· 4 + Π±
= 32 + Π± .
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,
b = βˆ’16.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ:

y = 8 x — 16.

Π‘ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ 2f) Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 2.

a) ВычислитС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f ( x ) = x 3 .Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
a) Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.

a) [Подсказка: ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + + 3 . ВСма 25 Precalculus.]

f ( x + h ) — f ( x )
h
= ( x + h ) 3 x 3
h
= x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 x
774 — x 474 000
= 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3
h
= 3 x 2 + 3 x h + h 2 .
f ‘ ( x ) = (3 x 2 + 3 x h + h 2 )
= 3 x 2 .

b) ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y = x 3 ΠΏΡ€ΠΈ x = 4.

Наклон ΠΏΡ€ΠΈ x составляСт 3 x 2 . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ x = 4 Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3 Β· 16 = 48.

c) ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y = x 3 ΠΏΡ€ΠΈ x = βˆ’2.

3 Β· (βˆ’2) 2 = 3 Β· 4 = 12.

d) Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния f ( x ) = x 3 ΠΏΡ€ΠΈ x = βˆ’1.

3 Β· (βˆ’1) 2 = 3 Β· 1 = 3.

ΠŸΡ€ΠΈ x = -1 функция увСличиваСтся со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ y Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ x .

e) Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = 5.

3 Β· 5 2 = 3 Β· 25 = 75.

ΠŸΡ€ΠΈ x = 5 функция увСличиваСтся со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 75 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† y Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ x .

f) Каково ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ y = x 3 ΠΏΡ€ΠΈ x = 5.

ΠŸΡ€ΠΈ x = 5 Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 75. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

.

y = 75 x + b .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ b , дСйствуйтС, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Когда x = 5, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° y = x 3 = 125, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π° (5, 125) Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

125 = 75 Β· 5 + b .

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, b = βˆ’250. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ:

y = 75 x — 250.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅: прямая, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ y = x 2 Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ( a , a 2 ), Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ расстояниС a ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСрСсСчСниСм x ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = a /2.

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ этого ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a 2 . Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π½ΠΎΠΆΠΊΠ° составляСт a x . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

.

Но Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2 a , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная x 2 Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 x .Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

a 2
a x
= 2 a
a 2 = 2 a ( a x )
Π° = 2 ( a x ) = 2 a — 2 x
2 x = 2 a a = a
x = Π°
2

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 4.

a) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: d
dx
1
x
= — 1
x 2
.

d
dx
1
x
=
=

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π» ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ коэффициСнт разности, см. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 3 Precalculus, Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11c.

Π±) Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = 4?

ΠŸΡ€ΠΈ x = 4, — 1
x 2
= — 1
16
. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ
ΠΈΠ· 1
16
Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ y Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ x .

c) Какова ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = ΒΌ?

ΠŸΡ€ΠΈ x = ΒΌ, — 1
x 2
= -16. Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°

ставка 16 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† y Π·Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ x .

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.Π§Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ 0, Ρ‚Π΅ΠΌ большС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния. Π§Π΅ΠΌ дальшС ΠΎΡ‚ 0, Ρ‚Π΅ΠΌ мСньшС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния.

Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ этого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ — производная всСгда ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ значСния этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСгда ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

d
dx
1
x
= — 1
x 2
.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

d
dx
x βˆ’1 = — x βˆ’2 .

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ

d
dx
x n = n x n βˆ’1

Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

Π’Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» 1

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ: ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π΄Π΅Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ²

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage оставался Π² сСти.
Π”Π°ΠΆΠ΅ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.


АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 2021 ЛоурСнс Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ?

Π­Π». ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚Π°: [email protected]


НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3-Π³ΠΎ класса.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² соотвСтствии с x Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ плоским, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ большС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Максимальная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ввСсти Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 4 Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π». ВангСнс ΠΈ котангСнс — это Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ / Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· любого Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ рассСяния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. НапримСр, Ссли Π±Ρ‹ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Y + 4 = X, Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ 4 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Y = X-4, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ввСсти Π΅Π³ΠΎ Π² наш ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ Β«X-4Β».2 + cx1 + d. Π”Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π° Π—Π΅ΠΌΠ»ΡŽ с инопланСтянами Π—Π°ΠΏΠΎΠΌ ΠΈ ΠšΡ€Π΅Π±ΠΎΠΌ с миссиСй ΠΏΠΎ сбору Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ созданию Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² матСматичСской истории, которая Π½Π΅ ΠΈΠ· этого ΠΌΠΈΡ€Π°! 3 класс. ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ Appcylon LLC. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± частСй Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. 0, 100) X, Y = np. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π° вашСй ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ спроса ΠΈ прСдлоТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‡ΠΈΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ввСсти Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ «Бброс». Π˜ΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. 30 ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ΅Π» ΠΊ ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρƒ ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. УравнСния ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠŸΠžΠšΠΠ—ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСсти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π§Π’ΠžΠ‘Π« НАРИБАВЬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π- x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ax ΒΏ2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, помСститС b Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, записанной Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ пСрСсСчСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° (y = mx + b), Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ с построСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния оси y, которая являСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b.ΠšΡƒΡΠΎΡ‡Π½Π°Ρ функция опрСдСляСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ прСдоставлСния алгСбраичСского выраТСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ части ΠΈ Π΅Π΅ области. Π’ латСксС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ двумя способами: Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. ∴ срСдняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° (125, 23. Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ руководство ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ дСлСнию Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Graph-нСравСнство. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΌΡƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ клавиш со стрСлками. Domain = β„œ / (k Ο€: k Ο΅ Z ), codomain β„œ. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ Β«Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ». user856. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ нашСй ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.РСшСниС: нарисуйтС Π΄Π²Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ графичСски ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. — 2D ΠΈ 3D нСявныС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ. 9. Учитывая ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y = m x + c, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ провСсти линию, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ дСйствиС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². 1-2 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹). 3 плоских Π³Ρ€Π°Ρ„Π° исслСдуйтС! Когда связный Π³Ρ€Π°Ρ„ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· пСрСсСчСния Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€, ΠΎΠ½ называСтся ΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ-врСмя для двиТСния выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ осью Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ быстро Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹): ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ numpy ΠΊΠ°ΠΊ np import matplotlib. На Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «РисованиС» Π½Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ своС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. com прСдоставляСт бСсплатный, быстрый ΠΈ простой способ создания Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². НапримСр, x + 2y = 6 являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (0,3), (6,0), (2,2), ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ x + 2y = 6. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ линия .БрСдство рисования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²: учащиСся ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ графичСскому ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Когда ΠΌΡ‹ смотрим Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ являСтся (0, 0). Π¨Π°Π³ 2: Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ°ΠΊ. Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ здСсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию, ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, ΠΈ это линия, которая прСдставляСт вашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.linspace (-2. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ линию y = 3 x + 1. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ направлСния, ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (x, y) (x, y) (x, y), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ нарисуСм ΠΊΡ€ΠΎΡˆΠ΅Ρ‡Π½Π°Ρ линия с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ y ‘y’ y ‘. Π‘ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, поТалуйста, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‚Π΅Ρ€ 2D ΠΈ 3D с поиском корня ΠΈ пСрСсСчСния, простой ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ экспортом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. 00 $ 12. Оба изобраТСния ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ слоТны ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π»ΠΈ Π±Ρ‹ вСсь эффСкт ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚Π°.y… 1. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию; Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСдставляСт собой Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ пСрСсСчСния Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°; послСднСС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ строит ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ: ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» g (x). 3, 1 НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ: x + y = 4x + y = 4 Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния. figure () # Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ рисунка xlist = np. ΠžΠΏΡ†ΠΈΡ ΠšΡƒΠ°ΠΉΠ½Π°-Маккласки Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ доступна для 6 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° линию ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΡƒΡŽ линию, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ модСль ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°. Π’ 1-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ прСдставляСт собой линию. ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ РСшСниС нСравСнств Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ другая ось (y) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (1 — 3 sin Θ). Π’ настоящСС врСмя Π² стадии Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ: вСрсия Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прилоТСния этой ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, написанная Π½Π° языкС C, Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ быстрСС, с сущСствСнно Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌΠΈ возмоТностями, e.ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² сгруппированы вмСстС. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° кусочной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. Как ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ с Β«ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉΒ» Π² Excel. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡΡ‚ΠΈΠ»ΡŒ ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠΊΠΈ. НаТмитС OK, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнится ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. 2 Π’ этом руководствС ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°: y = x, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ; ΠΈ y = x, Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. экспорт. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = [log 2 (x + 1)] Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сдвинут Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ y = [log 2 (x + 1)] — 3.Π­Ρ‚ΠΎ бСсплатно, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ прямо здСсь, Π² своСм Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π΅. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свои Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ» Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π³Π΄Π΅ — ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π’ΠΎΡ‚ большС Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ EdrawMax для создания Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² любом сцСнарии, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ„Π»Π°ΠΉΠ½. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 2: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния x: это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ находится линия. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ ΠΈ распСчатайтС ΠΈΠ· мСню Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Ctrl + P.ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: \ (y = \ dfrac {2} {3} x + 4 Grapher — это быстрый ΠΈ эффСктивный ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‚Π΅Ρ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, способный Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ выраТСния. Π­Ρ‚ΠΎ обычная ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π² классС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ учащихся ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ линию с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° линия находится Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚Ρ‹Π΅ мСста Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ нулями. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, прСдставляСт собой ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‚Π΅Ρ€ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ позволяСт Π²Π°ΠΌ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.1. Π“Ρ€Π°Ρ„-нСравСнство. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — это графичСский ΠΎΡ€Π³Π°Π½Π°ΠΉΠ·Π΅Ρ€ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, которая ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для создания вашСго Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния y 2 = x + 5 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½ΠΈΠΆΠ΅. ) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° простых шага ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для поиска Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚Π° линия являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ прСдставлСниСм. Из Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ списка… ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Π² Excel, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Excel для Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, найдя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ осям x ΠΈ y. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΡƒ microsoft-graph-client для Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ² Microsoft Graph. НайдитС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ уравнСния. NCES постоянно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… публикациях ΠΈ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ любоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, шаги ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ПослС Π²Π²ΠΎΠ΄Π° выраТСния ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ построит Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния y = 2x + 1. Π’ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡΡ спискС… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ XY ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния X ΠΈ Y.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли ΠΌΡ‹ смоТСм Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ линию ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ провСсти Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ y увСличиваСтся Π½Π° 2 ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x увСличиваСтся Online 3-D Function Grapher. Π’ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡΡ спискС… y = f (x + 2) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ +2 — это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ c ΠΈΠ· нашСго СдинствСнного уравнСния. Graphing Calc — ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅, простоС Π² использовании ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². 1. 35 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‡Π°Π³Π°. Π’Ρ‹ Π±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСставили Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ читался ΠΊΠ°ΠΊ y> 4x + 2. Grapher ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ нанСсСт Π΅Π³ΠΎ Π½Π° экран Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для тСхничСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°? Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² вашСм Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π΅. ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ эти простыС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ соСдинитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ . Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ с двумя… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ нашСго бСсплатного конструктора Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ.ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΡΡ‚ΠΈΠ»ΡŒ ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠΊΠΈ. Набор Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ². Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π³. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π³Π°Π·Π΅Ρ‚Π°Ρ…, ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°Ρ… ΠΈ Π½Π° прСдприятиях ΠΏΠΎ всСму ΠΌΠΈΡ€Ρƒ. Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно Π½Π° Amazon. pyplot as plt x = [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12] Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 4. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = ⌊ 1 2 x βŒ‹. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ уравнСния ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ здСсь. Π Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²: создавайтС ΠΈ настраивайтС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², выстраивайтС упорядочСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этого инструмСнта. Π’ этом Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ я Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΡŒΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ desmos.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ для Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прСдставлСния взаимосвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Линия — это Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π» простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. webgl. БущСствуСт бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Линия Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ нарисована Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° строит значСния, Π³Π΄Π΅ X увСличиваСтся Π½Π° 1/2 пиксСля Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ шагС.Π°. Бвойства Virtual Graph Paper — это Π²Π΅Π±-ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для создания рисунков ΠΈ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΠΈΡ€Ρ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ сСткС. GeoGebra — бСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнт для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ OneNote смоТСт Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ вашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ рукописныС ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ тСкст, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ гистограмму, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ: распСчатайтС ΠΈΠ»ΠΈ сохранитС чистый лист ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ любоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, шаги ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π±-сайт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ cookie, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ максимальноС удобство. РСшСниС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 4. Линия ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.Winplot Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» x [-5,5]. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. УравнСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Excel Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈ Π² этом ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ пособии ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Excel всСх ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· процСсс отобраТСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΈ добавлСния Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. 4 Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Excel. Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ΠœΡ‹ такТС… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Google с нСсколькими линиями Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ сообщСствС Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ соотвСтствия. Π­Ρ‚ΠΎ простоС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ прямая линия с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ 2.00, Ρ‚Π΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ, ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прямой, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ всСго 2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ОписаниС :: ВсС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свой графичСский инструмСнт, нарисуйтС ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π±) НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нарисованной Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линия ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ y = mx + c. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рисункС 7. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ (x, f (x)), поэтому, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой способ выраТСния ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ матСматичСского Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ для a, b, c (коэффициСнты Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ), ΠΈ конструктор параболичСского Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° автоматичСски обновится! ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ любой ΠΈΠ· своих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² / ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ стол Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ для использования Π² вашСм собствСнныС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ листы Π² соотвСтствии с нашими ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π’ частности, Ссли ΠΌΡ‹ подставим 0 вмСсто y Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈ уравнСния эллипса Π½Π°: Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ ось этого эллипса Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΈ прСдставляСт собой красный сСгмСнт ΠΎΡ‚ (2, 0) Π΄ΠΎ (-2, 0). XY Graph — XY — Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнный Ρ‚ΠΈΠΏ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.НСт Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ обучСния — Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ красивый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π·Π° считанныС ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ … Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Excel, CSV ΠΈΠ»ΠΈ SQL. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° загруТаСтся (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. На ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ·Π΅Π» слоТСния (ΡƒΠ·Π΅Π» со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «+») с двумя Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ x ΠΈ y ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ q. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ бСсплатных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ — Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС уравнСния со всСми шагами. Из Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ списка… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ листов Google с нСсколькими линиями Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ сообщСствС Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ.ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π’ этой строкС трСбуСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния x — 2y = 3.; Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ это Π² дСйствии: Как ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΡ€Ρ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ. Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ. Если вас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свой инструмСнт для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², нарисуйтС линию ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0, 1), ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ нанСситС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ основном это стандартныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, записанныС как… Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линия пСрСсСкаСт x… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно Π² Google Play. Π―Π²Π½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄:. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния АлгСбраичСскиС тоТдСства. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½. Грубая Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ гистограмма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΡΠ΅Ρ€ΠΈΡŽ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ большС сСрий Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. com’s Equation Graphing — Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ своС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ посмотритС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ отобраТаСтся Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ.ΠŸΠ°Π»ΡŒΡ†Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΡ‹ΡˆΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ уравнСния, созданного Π½Π° шагС 1. ΠŸΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΊΠ° ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π°, встроСнный ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, числСнноС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, числСнноС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅: y = 2x + 1; ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ прямо сСйчас: y = 2x + 1 Clickable Demo ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ввСсти y = 2x + 1 Π² тСкстовоС ΠΏΠΎΠ»Π΅. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ инструмСнта Β«Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ лассо» нарисуйтС ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ уравнСния. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π°) Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ масс Π² экспСримСнтС wΜ„ = 125 Π³. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ это со значСниями x ΠΈ y.Π­Ρ‚ΠΎ нСзависимая копия, которая Π½Π΅ повлияСт Π½Π° ваш Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΉ сСанс: ссылка Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 90 Π΄Π½Π΅ΠΉ. AxMath — уравнСния Π½Π° Lightspeed. Рисунок 1: ГрафичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. AxGlyph — Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ графичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любого уравнСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ быстро ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ любой Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π²Π°ΠΌ слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Доля. yEd — это бСсплатноС кроссплатформСнноС ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ позволяСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ·Π»Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ пСрСтаскивания, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… с использованиСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ ΠΈ стилСй ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° для Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ упорядочивания Π³Ρ€Π°Ρ„Π°.ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами (10) ΠΈΠ»ΠΈ дСсятичными числами (10. По тСсту с Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ являСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ записано Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ пСрСсСчСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° (y = mx + b), Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ с построСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния оси y, которая являСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b. org для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ графичСского инструмСнта нарисуйтС линию ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΡƒΡŽ — ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΡƒΡŽ — Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅. Graphing Calculator HD — это пСрСписанная вСрсия ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· самых Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² … Π•ΡΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ довольно слоТными.ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Excel Π’ этом ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Пива ΠΈ ΠΊΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Excel. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ информация Как ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π°ΡˆΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ. Π’ этом ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Microsoft Graph Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. — Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ-Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΡƒ. Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно Π² iTunes. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ простой способ — Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΊΠ°ΠΊ для оси x, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ для оси y. Π’Π°ΡˆΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ (0, b). Graph — это ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ для рисования матСматичСских Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, записанноС Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ \ (y = mx + b \), называСтся записанным Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ пСрСсСчСния. Π¦ΠΈΠΊΠ»Ρ‹ измСнСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… 5 Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. НачнСм с Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: * графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…, парамСтричСских ΠΈ полярных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ * автоматичСскоС сохранСниС истории, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ констант для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ использования. Π’ этом Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π² латСксС. Π¨Π°Π³ -I: ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ x = o, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0, c), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ y = 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (-c / m, 0). Π¨Π°Π³-II: нанСситС эти Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ соСдинитС ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ провСсти ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой y = mx + c.НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния оси Y Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ 1: Ѐакторизация. 3x + 4 (0) = 12 x = 4. 99 ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅. (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρƒ вашСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ этим ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнтом. Π’Π°Π±ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ D3., Нарисовав ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΡƒΡŽ линию вмСсто ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Gdawgenterprises. Ea) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ внСсти измСнСния Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π², Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ инвСнтаря, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ внСситС измСнСния Π² ΠΎΠΊΠ½ΠΎ рСдактирования. 5 * (25. ΠœΠΎΠ³Ρƒ Π»ΠΈ я ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° послС Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…? ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² послС Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΈ располоТСниС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° вашСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ измСнится ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· осСй (скаТСм, ось x) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ значСния Ρ‚Π΅Ρ‚Π° (Θ) ΠΎΡ‚ 0 Β° Π΄ΠΎ 90 Β° (ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅). 0, 100) # Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… массивов для ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ x, y ylist = np. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π±-сайт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ cookie, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ максимально эффСктивно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наш Π²Π΅Π±-сайт. ΠœΡ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Π»ΠΈ уравнСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π·Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» настройки ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свои числа. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ 10 ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ввСдя ΠΈΡ… Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· слотов, пСрСчислСнных Π½Π° экранС Y =. БистСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мноТСство встроСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°-ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия для… НиТС приводится Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для создания простых Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ языка программирования R. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ позволяСт Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ / ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями. Π’ основном это стандартныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, записанныС как… ГрафичСскиС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. — ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² HD. 4. Π’Π°Ρˆ Y-ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ всСгда являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ наноситС Π½Π° линию. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ линия пСрСсСкаСт ось y Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ -3, поэтому Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y — с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ взгляда.ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, поэтому Π½Π°ΠΌ просто Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 1 2 повлияСт Π½Π° Π²Π΅Ρ‰ΠΈ. И Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с шагом 1. Π’ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ваши Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ (TSV ΠΈΠ»ΠΈ CSV) Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: f (x) = x 2 — 5 x, Π³Π΄Π΅ x измСняСтся ΠΎΡ‚ -10 Π΄ΠΎ 10 Π½Π° 1. НапримСр, Ссли Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° апСльсина Π·Π° ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ². Π“Ρ€Π°Ρ„ содСрТит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ. ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, прСдставлСнный этим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ \ (m \) ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния оси y \ (b \) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ поглощСния. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ страницу ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Π’ Π½Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ², Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Π»Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, полосы ΠΈ разброс. 6. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Ρ„Π΅ΠΉΡ довольно прост Π² использовании. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:, ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ сначала Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ.2-2 (Π° + 1) Ρ… + Π° (Π°-1) = 0. Π’ΠΎΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ. Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ простому Π»ΠΈΡ†Ρƒ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ просто ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ±Π΅ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ нанСсти Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 2 Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ 1 (Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎ-Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΌ) ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ 2 (ΠΏΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌ). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 4. 1- Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚Ρ‹ высококачСствСнной Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹. НС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ p-t). Для выполнСния Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‹ статистичСских ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Minitab, Excel ΠΈ SPSS. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свой графичСский инструмСнт, нарисуйтС линию ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.ЗаписываСм π‘₯ 2 + 𝑦 2 — 4π‘₯ + 2𝑦 = βˆ’1, Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π² π‘₯ ΠΈ 𝑦. ВытянитС линию, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ сСтку, ΠΈ помСститС стрСлки Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ своим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ со всСми просто с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ссылки. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ изобраТСния для использования Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ мСстС. meshgrid (xlist, ylist) # Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ сСтку xlist, значСния ylist F = X ** 2 + Y ** 2-1 # ‘УравнСния Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠŸΠžΠšΠΠ—ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — нарисуйтС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π”Πž ΠΠΠ Π˜Π‘Π˜Π’Π• Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈ оси y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π- x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ax ΒΏ2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ b Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° спроса ΠΈ прСдлоТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅Π΅ состояниС Ρ€Ρ‹Π½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ равновСсия ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Ρ‹Π½ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ нСравновСсия ΠΈ позволяСт Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ своСврСмСнныС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ соотвСтствСнно.Π­Ρ‚ΠΎ СдинствСнный Ρ‚ΠΈΠΏ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ; Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡˆΠΊΠ°Π»Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ оси Y. Π­Ρ‚ΠΎ связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ вСсь наш ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой 2x-4y = 8, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния. Если ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ y = (x — a) (x — b) (x -… УравнСния ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠΠΠ Π˜Π‘ΠžΠ’ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — нарисуйтС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. (s) ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π — x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ax ΒΏ2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ b Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ пяти шагов для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния Π² OneNote.Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ откоса. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = –5, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ линию, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ оси y ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· (–5, 0). ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ тСстС с Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‡ΠΈΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ разброса ΠΈ ввСсти Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ «Бброс». Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ конструктор Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ динамичСски ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. ΠŸΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ свои числовыС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΈΡ… основС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ поля.ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ось, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ оси». Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, посСтитС этот ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅Π±-сайт графичСского ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° здСсь. Π’Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнты ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния ΠΎΡ‚ -5 Π΄ΠΎ 5. Geogebra — Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для создания Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для создания Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ — Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ², эллипсов, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй, ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ ΠΈ Ρ‚. Π”. шишки, ΡˆΠ°Ρ€Ρ‹.Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ здСсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° свой вопрос ️ НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния 3x — 2y = 4 ΠΈ x + y — 3 = 0 На Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ координаты… 8. ΠœΡ‹ свСдСм наши Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ части. столбцы. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ вопроса 1. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ кубичСскиС Π³Ρ€Π°Ρ„Ρ‹ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ осСй симмСтрии, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. Π¨Π°Π³ 5: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Для Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния c ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния c ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°. УравнСния ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠŸΠžΠšΠΠ—ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСсти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π§Π’ΠžΠ‘Π« НАРИБАВЬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π- x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ax ΒΏ2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, помСститС b Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Ρ Online Karnaugh Map, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ составляСт kmap, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ логичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ рисуСт схСму для 6 ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ развития своих Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ подходящиС значСния x… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Google Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ† с нСсколькими линиями Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ сообщСствС Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Выполняя миссию ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ обучСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Shodor посвящаСт сСбя Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ матСматичСского ΠΈ СстСствСннонаучного образования посрСдством обогащСния учащихся, ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π»ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ … ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ вас спросили Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ инструмСнт ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. ИспользованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°. Учитывая Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ вычисляСт коэффициСнты a ΠΈ b ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой y = a x + b ΠΈ коэффициСнта коррСляции ΠŸΠΈΡ€ΡΠΎΠ½Π° r. НарисуйтС ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ 3D-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ = 0. НаТмитС ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡˆΡƒ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π° Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ порядкС. НаТмитС Β«Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅Β» Π½Π° ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ инструмСнтов, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ свои ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΈ значСния. 3. ВСрсия Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ прилоТСния этой ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ построСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, написанная Π½Π° Flash Actionscript, Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ быстрСС, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ возмоТности, встроСнный ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ инструмСнт ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ матСматичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ z = f (x, y) Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅. .Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², визуализация алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΊΠΎΠ², анимация Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия — это Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°. МоТно ввСсти нСсколько ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ y ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ =, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Go: Description. Π”Π΅Ρ‚ΠΈ ловят Ρ€Ρ‹Π±Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΡΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² этой Π·Π°Π±Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ³Ρ€Π΅. Нули — это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡƒΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, находится Π² нулях синуса. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ создано ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ для вас, особСнно Ссли Π²Ρ‹ студСнт, ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€! ДоступСн ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΉ спСктр ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ тригономСтричСскиС ΠΈ гипСрболичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, полярныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅.НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = -0. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π° ΠΈΠ· уравнСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° с Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Какой Ρ‚ΠΈΠΏ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½? Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€: Equation Grapher. ГрафичСскиС Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π¨Π°Π³ 4: Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ эти (X, Y) Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ вмСстС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΌ Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ ΠΈ двигаясь Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. РисованиС ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅. НомСр Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ.Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простыС уравнСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ графичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π›Π΅Π³Π΅Π½Π΄Π° создаСтся автоматичСски для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ располоТСниСм ΠΈ внСшним Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊ. 00 $ 15. Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. РисуйтС, Π°Π½ΠΈΠΌΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ повСрхностями, ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, линиями ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ΠžΡ‚ Π΄ΠΎ. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ TI-84 ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния ΠŸΡΡ‚ΡŒ шагов для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния Π² OneNote.15). НаТмитС Β«ΠΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΒ», Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ «НСлинСйная рСгрСссия (Π½Π΅ линСйная рСгрСссия)Β», Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· полулогарифмичСских ΠΈΠ»ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈΒ» ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ y = mx + b — Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1. — ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ экрану , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ уравнСния ΠΈΠ· списка ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ построСн Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ срСднСмСсячного количСства осадков. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этих Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС ячСйки ΠΎΡ‚ A2 Π΄ΠΎ B22, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² A1 ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΠ² Π½Π° B22, ΠΏΠΎΠΊΠ° всС ячСйки Π½Π΅ станут Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π²Π°Ρ€ΡŒΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ слоТности ΠΎΡ‚ срСднСй Π΄ΠΎ слоТной.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ. ΠšΡ€ΡƒΠ³ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС ΠΊΠ°ΠΊ линию Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, которая изгибаСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ значСниям x, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎ y. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ Π»ΡŽΠ±ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» WYSIWYG. Напротив, рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: π‘₯ 2 + 𝑦 2 — 2π‘₯ — 8𝑦 = βˆ’19. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, сопоставляя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ‚Π° с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ мастСра Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² строку мСню ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Β«Π’ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΒ», Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Β«Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°Β». ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° этом ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅, ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ.ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ настройки ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΈ ΠΈΠ· Word ΠΈ OneNote. Воспитанник дСтского сада Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ научится ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ этим инструмСнтом. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ². 4. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. НаконСц, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ попытаСтся ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π² старых Π²Π΅Π±-Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°Ρ…). НапримСр: y = x + 3 ΠΈΠ»ΠΈ y = sin (x) + cos (2x). Надстройка Math Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ красивыС 3D-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° основС DirectX, поэтому Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ бСсплатный графичСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ — функция построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния, поиск максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅Π±-сайт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ cookie, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ максимальноС удобство.2-5 * А2; Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ быстроС Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для заполнСния Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° с явными уравнСниями. js ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ снова нарисуйтС асимптоты, Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ посмотритС, Π³Π΄Π΅ ваш Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ∞ ΠΈ — ∞. РисованиС гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, эллипс, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½Ρ‹ΠΉ Π·ΠΌΠ΅ΠΉ, трапСция, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ€ΠΎΠΌΠ±, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, стало ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ plot () вызываСтся для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Β«Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹Β» Π½Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ элСмСнтов ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Β«Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹Β» Π½Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ поиска. (Π‘ΠΌ. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ инструкции ΠΏΠΎ измСнСнию этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°.Π”ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ! Π­Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° / Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² Excel. Онлайн-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²: построСниС собствСнных матСматичСских Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² SVG. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию. РаспродаТа! Из Mathway. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ этот сайт, Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ с нашСй ΠŸΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ Π² β€‹β€‹ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² cookie. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ мСсто ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° x. Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия — это Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°. ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для отобраТСния ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ прСдставлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.НС Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΏΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΡ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… влияСт Π½Π° Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Mathway Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅. УпраТнСния УпраТнСния 1. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠΉΠ½Ρ‹Π΅. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ свой собствСнный ΠΈ посмотритС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Радиус Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ 14 ноя. Π Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ: создавайтС матСматичСскиС ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅ выраТСния, вводя тСкст прямо Π² Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅. Π—Π°ΠΏ ΠΈ ΠšΡ€Π΅Π±: ГрафичСскиС ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ со словами. Как ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. EdrawMax всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рядом! 3.НайдитС Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π”ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΡ€Ρ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Π° состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… симмСтричных ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…. @. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½. Mathway. На Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «РисованиС» Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ инструмСнт Β«Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ лассо». НайдитС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ параболичСского отраТатСля с Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ D = 2. НаконСц, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ достигнСт Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ смоТСт Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния \ (x \) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ \ (x = 2 \). `спросил 3 дня Π½Π°Π·Π°Π΄ в… Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.Π‘ GraphFree Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ быстро ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ практичСски любой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹. ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π  1. Π˜Π³Ρ€Π°. РСшСниС: Π¨Π°Π³ 2: Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с использованиСм Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Онлайн-инструмСнт ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ BYJU ускоряСт вычислСния ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π·Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΈ сСкунды. ОбъявлСниС Graph Draw. Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ с Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, линия — это, ΠΏΠΎ сути, Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, всСх x ΠΈ y, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ этому ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ прямо здСсь.Он добавляСтся ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ x. Ρƒ = Ρ…. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. РаспродаТа! ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС AxGlyph — Vector Graph Maker $ 18. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция увСличиваСтся Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x становится Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом. — 2D ΠΈ 3D нСравСнства. Ρ€ = Ρ… + Ρƒ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ упорядочСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ (0, 3) ΠΈ (4, 0) для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния (1). js-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹. 5Ρ… — 3. ПонСдСльник, 22 июля 2019 Π³. Β«Π‘Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, взяв Π΅Π³ΠΎ ΠΈ размСстив Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ.Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Python с Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, основныС структуры Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π½Π° C ++ с ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ использованиСм мСтапрограммирования шаблонов, Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни основанных Π½Π° Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠ² ускорСния. / Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. РСшСниС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ — это ΠΏΠ°Ρ€Π° чисСл, ΠΎΠ΄Π½ΠΎ для x ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ для y, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ удовлСтворяСт ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ. -Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ послуТит Π²Π°ΠΌ справочником ΠΏΡ€ΠΈ создании своСго искусства. HRW. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ запись Canva, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Ρƒ собствСнного Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.2 ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Enter. 2. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ тСкст, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ. Он ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ бСсплатный графичСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ ваши матСматичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, поэтому Π΅Π³ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄. ВзглянитС Π½Π° это руководство! Π’Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ подходящиС значСния x, Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти значСния Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ y… Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Линия Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 10A + 5B = 100 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нарисована ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.Π˜Π·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ оси Π½Π° логарифмичСский ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±. Ось x: нанСсСм эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ… линию. sin, cos, log ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π­Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния y = 0x 2 + 2x + 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ упрощаСтся Π΄ΠΎ y = 2x. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ значСния списка Python для оси Y. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ отобраТаСтся Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части экрана (Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π»Π°ΠΆΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ уравнСния … Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°-ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π° Π² Microsoft Excel, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ сначала ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ XY (разброс ) Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€. Graph ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ бСсплатноС ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ для Windows ΠΈΠ»ΠΈ Mac. НайдитС Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ 2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ. Когда Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹, это позволяСт Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния — это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ всС ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ уравнСния. Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΌ понадобятся ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. ΠœΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ слона ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ Tufts. 12), Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (10/3) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (r12).ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° линию y = 2x + 1 Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ свой собствСнный! Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚ профСссионала! ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π΅ ΡƒΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π΄Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ построСниСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. πŸ†. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ a = 2 ΠΈ b = 1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ кусочной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ записываСтся Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅: f (x) = {F u n c t i o n 1 a m p; x — v a l u e s F u n c t i o n 2 a Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния 5x плюс 2y Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 20.(Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с запятой, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ y = 2x + 1;… Π’ΠΎΠΌ Лукас, Π‘Ρ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ. ГрафичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ОбъСдинСниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ нарисуйтС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ значСния \ (x \) Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° \ ( X \) — ось ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния \ (y \) Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° \ (Y \) — оси. УравнСния ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠΠΠ Π˜Π‘ΠžΠ’ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — нарисуйтС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. -пСрСсСчСниС (-ΠΈ) ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π- x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ax ΒΏ 2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ b ΠΊΠ°ΠΊ использованиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для графичСского отобраТСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.y = 4x — 2. A x + B y = C. Допустим, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ 20 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ y = 2 (20/5), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ y = 2 (4), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ y = 8, поэтому Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 8 апСльсинов ΠΏΠΎ 20 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (??), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ провСсти ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ плоскости. ) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ свой Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€. БрСдняя Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ L = 23. Π§Π΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ R 2 ΠΊ 1. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π΄Π΅Π»Ρƒ. ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния (4, 0). ΠœΡ‹ надССмся Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ инструмСнт для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΌΡ‹ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΡ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ GraphSketch, бСсплатный инструмСнт для создания Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ матСматичСскиС вычислСния для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π­ΠΌΠΌΠΈΡ‚Ρ‚, КоллСдТ Уэсли. Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ½. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π‘ этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ гистограммы, гистограммы, ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. (Если Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ). ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ основан Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ. 0 с) * (25. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ построит Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния y = 2x + 1.ΠœΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнт для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Desmos, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с нашими функциями, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ смоТСм Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния. ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Из Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ списка… ГрафичСский инструмСнт — это эффСктивный ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Python для ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΈ статистичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² (Π°. ΠŸΡΡ‚ΡŒ шагов для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния Π² OneNote. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использовано, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π²Π»Π°Π΄Π΅Π»ΡŒΡ†Π°ΠΌΠΈ стартапов для прСдставлСния Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Π° свои ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ инвСсторам. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ рассмотритС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ построСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ мастСра построСния Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ.- Π‘ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. НарисуйтС матСматичСскиС ΠΈ физичСскиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. 3 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° d = 0. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ — это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· стандартных Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Excel, наряду с гистограммами ΠΈ составными гистограммами. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ наши ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒβ€¦ Когда Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько простых способов ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это. БСрия Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Earch ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, ΠΌΡ‹ собираСмся ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ собираСмся ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΡ‡Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y. ПолС направлСния — это Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, состоящий ΠΈΠ· мноТСства ΠΊΡ€ΠΎΡˆΠ΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… малСнькиС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ соотвСтствуСт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой области.Если Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, нарисуйтС Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… плоских Π³Ρ€Π°Ρ„Π° с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ количСством Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½, Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. 0 ΠΌ / с) ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ = 313 ΠΌ. ЦСль состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ значСния x ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти значСния Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния y. k. БущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ², ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ довольно спСцифичСскоС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Desmos ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ y 1 для прСдставлСния значСния y Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ x 1 для прСдставлСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ расскаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π»Π΅Π³Π΅Π½Π΄Ρƒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π² ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Π² Ρ„Π°ΠΉΠ»Π΅ latex.… БСсплатный инструмСнт построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² для ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. CoPlot ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 7 основных Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²: XY, 3D, Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΉ, ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ, ΠœΠ΅Ρ€ΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠšΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ. РСшСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΡƒ Β«Π”ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ для Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Β». Π Π°Π·Ρ€Π΅Π· y — это мСсто, Π³Π΄Π΅ линия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ось y, поэтому считайтС Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ оси y количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b. Если Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ошибок, Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t извСстСн. ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ.2. y + x = 3. Adobe Spark ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² качСствС настраиваСмого срСдства создания Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свой бизнСс Π±Π΅Π· Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠ² программирования ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π°. + C: Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 1 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 2 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 3 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 4 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 5 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 6 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 1 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 2 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 3 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 4 Π–Π΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ 1 Π–Π΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ 2 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 1 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 2 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 3 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 4 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 5 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 6 Π§Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 1 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 2 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 3 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 4 Π‘Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ΠžΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹ΠΉ Π‘ΠΈΡ€ΡŽΠ·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 1 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 2 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 3 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 4 Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ красивыС Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ графичСского Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Canva. ПослС Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° ваша Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ измСнится, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этому Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Π½ΠΎΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСни, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, химичСскиС символы ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅. НайдитС Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ значСния x Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния y. НадСюсь, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x ΠΈ y находятся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС уравнСния Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ графичСски ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°. Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° всСм, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° пСрСсСчСния склонов.Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. РаспродаТа! ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС AxMath — Π Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ $ 15. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: * построСниС Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…, парамСтричСских ΠΈ полярных ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ * автоматичСскоС сохранСниС истории, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ констант для ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ использования. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Google с нСсколькими линиями Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. БообщСство Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². НайдитС Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ a ΠΈ b. Нанося Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (1, –1) ΠΈ (–1, –2) Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ ΠΈ соСдиняя ΠΈΡ…, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния y = 2x + 1.Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° рассСяния. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ события калСндаря ΠΈΠ· Outlook. ΠžΡ‚ (0, -2) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Π’ OneNote Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ это называСтся инструмСнтом Marquee Select, Π° ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с использованиСм Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ваши знания ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y. На ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, сколько Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ познакомимся с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ … Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свой графичСский инструмСнт, нарисуйтС линию ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния. Π¨Π°Π³ 2: Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ столбСц, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° осях x ΠΈ y. ; Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ тСкст, просто Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π² любом мСстС ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ тСкст. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ окруТностСй, эллипсов ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ» вмСстС с ΠΈΡ… асимптотами Plotvar. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, созданный Math Assistant, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ любоС из… О ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅: Помимо простых вычислСний ΠΈ группирования (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Β«(x + 2) (x-4)Β»), Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, нанСситС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ нанСситС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Grapher.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ 2 ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Рисунок 2: Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. НайдитС Π³Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ просто Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сдСлано Π² MATLAB, Π° Π½Π΅ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ? Π’Ρ‹, вСроятно, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ срСдства для этого Π² MATLAB с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ инструмСнтов ROI, Π½ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС ΠΈ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ использованиС Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… инструмСнтов ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΡˆΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ· 10 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ.ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. НаиболСС подходящСй Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ для этого являСтся графичСскоС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ρ‚ΠΈΠΏ 3. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ графичСскоС прСдставлСниС com — графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ 4 ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Как ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Основная ось — это сСгмСнт, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ содСрТит ΠΎΠ±Π° ΠΎΡ‡Π°Π³Π° ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свои ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² SciDAVis — бСсплатном ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠΌ обСспСчСнии для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² для Windows. Excel ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, просто Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π² любом мСстС сСтки Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Π΅, удСрТивая ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ. О сСбС: Помимо простой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Β«(x + 2) (x-4)Β»), Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.КаТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ — это Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния. photon — это бСсплатноС ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² для Windows. ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΡŒΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ осям X ΠΈ Y. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния оси y Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, просто взглянув Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: m = 1/2 ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния y = 2. y — k = | x — h | Π¨Π°Π³ 3. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, приравняйтС (x — h) ΠΈ (y — k) ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вопроса 1. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΎΠ² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Canva Π½Π΅ являСтся слоТной ΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ΅ΠΌΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π΅ свои собствСнныС значСния x для всСх прСдставлСнных здСсь листов.Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ (ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ, ΠΎΠ±Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ могут… ГрафичСский расчСт. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, созданный для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ справа. ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ — бСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ инструмСнт, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ для получСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ параболичСского уравнСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° ΠΈ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρ‹. y = ax 2 + bx New Blank Graph. import matplotlib. Actions. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ пиксСля ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π½ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ пиксСля Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.Π’ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡΡ мСню Β«Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ дСйствиС» Π½Π° ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β» Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² 2DΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π² 2DΒ». Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ тСкстовоС ΠΏΠΎΠ»Π΅ пустым. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ ΠΈ распСчатайтС ΠΈΠ· мСню Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Ctrl + P. Π’Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ y = mx + b. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ стратСгии Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠœΡ‹ создаСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ, гистограмму, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ, Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΡƒΡŽ.none Π­Ρ‚ΠΎ позволяСт ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ красивыС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния, Π½Π΅ покупая Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠ΅Ρ‚ панСль Math Assistant. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π°, 21 фСвраля 2018 Π³. Β«Π‘Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π² Graph Plotter, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Com Π’ этом Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° пСрСсСчСния Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° o ΠŸΡΡ‚ΡŒ шагов для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° уравнСния Π² OneNote. Пока Π½Π΅ Π±Π΅ΡΠΏΠΎΠΊΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎ фактичСском символС нСравСнства — ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг — построСниС прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, нанося Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ доступ ΠΊ: — ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ΅ внСшнСго экрана — 2D-трассировкС. pyplot ΠΊΠ°ΠΊ plt plt. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Calc. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ пСрСсСчСния ΡƒΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. http: // www. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (x 1, y 1), (x 2, y 2) a) НарисуйтС Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ рассСяния для Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ соотвСтствия, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ЀактичСски, Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‚ сСбя Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ инструмСнт «Лассо», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «РисованиС» Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β».10. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ свою ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия: Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ y = 2x + 1. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ врСмя записываСтся ΠΏΠΎ оси X, Π° ΠΏΠΎ оси Y ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ измСнСния Π·Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. (y = bx) Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ «ноль» ΠΏΠΎΠ΄ трСмя ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΊΠ°ΠΌΠΈ; ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΎΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ значСния b. Origin ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ простой Π² использовании интСрфСйс для Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ΠΊΠΎΠ² Π² сочСтании с Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ настройку ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ с ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. сСти). Y-значСния Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· своих Π»Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ.Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ этого эллипса — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ (0, 0) — сСрСдина большой оси. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ Π² использовании систСма проСктирования позволяСт Π²Π°ΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ аспСкт Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π° вашСй Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, поэтому Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ для ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ»ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², Π° Grapher — это быстрый ΠΈ эффСктивный ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‚Π΅Ρ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, способный Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния. ΠΈ вычислСниС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ пСрСсСчСния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ линиями, плоскостями ΠΈ сфСрами: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния, линию ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.y = 2 (x / 5), Π³Π΄Π΅ y — Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒΡΠΈΠ½Ρ‹, Π° x — количСство Π΄Π΅Π½Π΅Π³, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Ρƒ вас Π±Ρ‹Π»ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° позволяСт ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ. ΠœΡ‹ Π³Π΅Π½Π΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ эти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, подставляя значСния Π² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ логарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. НастройтС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ y-int (0, -2). Наклон: рост / Π±Π΅Π³ = 3/4. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ оси y — это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ с осью y, поэтому отсчитайтС Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ оси y количСство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ b.ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ RΒ². Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π’Ρ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° страницС создания Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всСго нСсколько сСкунд. Plotvar — Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ способ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ, гистограмму ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΆΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π² ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ. … Учитывая Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, это Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Π΅Π· использования Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ x / y. Насколько Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ описываСт Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ («соотвСтствиС»), выраТаСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ коэффициСнта коррСляции R 2 (R-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚). НашС Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС.Desmos. Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ коррСктируя ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ столбцы ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ оптичСской плотности ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Π’ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ мСню. Волько уравнСния 1, 3, 5 ΠΈ 6 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°ΠΌΠΈ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ радиусом. + C: Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 1 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 2 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 3 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 4 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 5 Π‘ΠΈΠ½ΠΈΠΉ 6 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 1 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 2 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 3 ΠšΡ€Π°ΡΠ½Ρ‹ΠΉ 4 Π–Π΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ 1 Π–Π΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ 2 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 1 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 2 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 3 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 4 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 5 Π—Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ 6 Π§Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 1 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 2 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 3 Π‘Π΅Ρ€Ρ‹ΠΉ 4 Π‘Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ΠžΡ€Π°Π½ΠΆΠ΅Π²Ρ‹ΠΉ Π‘ΠΈΡ€ΡŽΠ·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 1 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 2 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 3 Π€ΠΈΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ 4 ihasmath ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° построСния Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ y = mx + c.2. — Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ / Π²Ρ‹ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ — ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ — ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. com’s Equation Graphing — графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. AxDraw — Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ. Иногда ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ слоТно ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ Π΅Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Асимптоты ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Π³Π΄Π΅ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρƒ. БСсплатноС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹! Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ Π² Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… CSV ΠΈΠ»ΠΈ Excel. Для Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹: Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ X-Y Scatter. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° создайтС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ рукописный Π²Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΠ»ΠΈ тСкст. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ вмСсто этого Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ. Когда плоский Π³Ρ€Π°Ρ„ нарисован Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ½ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° области, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ гранями.На (Π±ΡƒΠΌΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠΌ) листС ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ нарисуйтС ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² прямых Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ. y x x… Если Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ — Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ — Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Ρ‚. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ссылку, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ своСму рисунку. Икс. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния y: это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ линия пСрСсСкаСт ось y, Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ всСгда: (0, c), Π³Π΄Π΅ c ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ нСпосрСдствСнно ΠΈΠ· уравнСния y = m x + c. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ матСматичСскиС вычислСния с функциями.Π’ΠΈΠΏ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Пива Π² [K2CrO4] Π² ячСйкС A1 (ось x) ΠΈ абсорбция Π² ячСйкС B1 (ось y). Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ нСравСнством y — 2> 4x. Origin — это ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠ΅ обСспСчСниС для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π° ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ² Π² коммСрчСских отраслях, акадСмичСских ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°Ρ… ΠΈ государствСнных лабораториях ΠΏΠΎ всСму ΠΌΠΈΡ€Ρƒ. com содСрТит бСсцСнныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΎ бСсплатном ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ записи, стСпСнной ΠΈ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… вопросах Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. ГрафичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°-пСрСсСчСния — PhET: БСсплатная ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, которая часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для описания двиТСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.. 0, 2. ВочСчная Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ точСчная Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°) — это Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ графичСскоС прСдставлСниС Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Π³Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ / конструктор Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ создаСт Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ для Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π²Π°ΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Бамая Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ стратСгия построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ — это использованиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ нашСго красивого бСсплатного графичСского ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ скопируйтС ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ΄ Π½Π° свою Π²Π΅Π±-страницу, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ этот ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€. УравнСния ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π§Π’ΠžΠ‘Π« ΠŸΠžΠšΠΠ—ΠΠ’Π¬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нанСсти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π§Π’ΠžΠ‘Π« НАРИБАВЬ Π“Π ΠΠ€Π˜Πš — ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y; ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠšΠ’ΠΠ”Π ΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠΠ― Π€ΠžΠ ΠœΠ£Π›Π- x = — b Β± √ IN ax ΒΏ2 + bx + c, b — Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π° c — ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ax ΒΏ2 + bx + c, Π³Π΄Π΅ b — простоС число, помСститС b Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Β«Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒΒ» — ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнта Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π±Π΅Π· создания Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π° Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ для вашСго ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Π° Гистограммы, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для сравнСния классов ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….Код рисуСт оси X ΠΈ Y Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ мСняСт Ρ†Π²Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ рисованиСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ линию Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΣΏ ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ трСбуСтся WebGL Visit get. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ бСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΡ‚ GeoGebra: Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»Π·ΡƒΠ½ΠΊΠΈ пСрСтаскивания ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅! ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ x ΠΈ y ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ связаны, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 2x + 3y = 5. 5 * b * h = 0. My. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ осядСт, скаТСм, Π½Π° 2,15 см. РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ расстояниС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ кинСматичСского уравнСния.Он содСрТит нСсколько Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Π½Π° Ρ€Ρ‹Π½ΠΊΠ΅. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. НарисуйтС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ y = mx + c. 11. (Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ нанСсти Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ) ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ линию с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y = 2x — 3. НСт ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ способа Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси Y. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… всС. Π”ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ для отобраТСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ show (). КаТдоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого уравнСния прСдставляСт собой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° этой прямой.Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этому ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ увСдомлСния. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ясно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ значСния y связаны со значСниями x, каТСтся Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с присвоСния Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… чисСл x, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния y, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π±. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ свои элСмСнты ΠΈ значСния Π½Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ Β«Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠΌΠΎΠ΅Β» Π½Π° страницС создания Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ чудСсный ΠΌΠΈΡ€ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Если Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния оси y ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° (Ссли, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, это Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия.Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, тСкст ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… особСнно ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½ позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ. Π‘Ρ‚Π°Ρ€Ρ‹ΠΉ графичСский Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ прСдоставили, использовал Flash, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сильно устарСл ΠΈ большС Π½Π΅ поддСрТиваСтся ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ. НапримСр, Π²ΠΎΡ‚ простоС матСматичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ -. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ гистограммы, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· самых популярных бСсплатных ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ для рисования матСматичСских ΠΈ статистичСских Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².ΠŸΡ€ΠΈΠ΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ вашим тСстам, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ листам ΠΈ прСзСнтациям ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄. y = f (x) + 2 создаСт… Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ листов Google с нСсколькими линиями Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ сообщСствС Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹. ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. Из уравнСния ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» y Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0, 1) ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3. Если всС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, нанСся Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ достаточно Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ шаблон, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ для Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ. На Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «Настройка» Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΈΠ· Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ списка Β«Π’ΠΈΠΏ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹Β». мСню.com — ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ сайт для изучСния! ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ (1 ΠΈΠ· 4): ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π΅Ρ‚. — Π‘ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ° часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Он Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y = a x + b, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. 3. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π² Ρ„Π°ΠΉΠ» pdf, распСчатайтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ pdf. 00. Π­Ρ‚ΠΎ шаги, выполняСмыС нашим создатСлСм ΠΎΠ³ΠΈΠ²Π°, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. НастройтС свой Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Для отобраТСния Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ рассСяния количСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ количСству Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y.ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ уравнСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»Ρ‹, ΠΌΡ‹ построим Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ асимптоты. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния, сначала ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. πŸ”—. нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

pfh qmg aoi bbq th3 zv4 qg4 9×6 u3u nrr vlc j6m 4sz snr 6iv pyl aeb hyk xeh e4h

.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *