Задача на производительность: Задачи на совместную работу. Подробная теория с примерами. – Задачи на совместную работу. ЕГЭ по математике

Задачи на работу: подробный разбор

Еще одним классическим примером текстовых задач, которые могут встретиться в 11 задании профильного ЕГЭ, — это задачи на работу. Это всевозможные задачи про рабочих, которые делают детали, про трубы, которые наполняют бассейны, а также про совместную работу.

Научиться решать такие задачи довольно просто, главное – выучить одну единственную формулу, знать основные правила решения задач этого типа  и следовать трем простым шагам.

  1. Формула, которую обязан знать каждый
  2. Как решать задачи на работу: основные правила
  3. Решение задачи на работу: 3 простых шага
  4. Примеры решения задач на работу: от простого к сложному
  5. Пример решения задачи на совместную работу – 2 способа

Формула, которую обязан знать каждый

Формула, без которой не получится решить не одну задачу на работу:Работа – это, по сути, объем выполненной работы, например, количество изготовленных деталей или количество построенных домов.

Время – это время, за которое выполняется заданный объем работы.

Производительность – это, по сути, скорость выполнения заданного объема работы за определенное время. Например, рабочий делает 10 деталей в час – это и есть его производительность.

Из данной формулы нужно уметь выражать производительность и время:

Как решать задачи на работу: основные правила

При решении задач на работу нужно знать следующие правила:

  1. Если работу выполняют двое рабочих, то их производительности складываются
  2. Если объем работы в задаче не задан и нет данных, позволяющих его найти, и при этом объем работы не важен для решения задачи, то работа принимается за единицу.
  3. За переменную Х, как правило, удобнее всего брать производительность

Решение задачи на работу: 3 простых шага

Решение задачи на работу сводится к трем шагам:

  1. Задаем переменную Х и составляем таблицу
  2. Составляем уравнение на основании таблицы и условий задачи, решаем его
  3. Возвращаемся к условиям задачи, вспоминаем, что требовалось найти и находим ответ

Не забывайте про третий шаг, так как часто ученики, верно решив уравнение, сразу записывают ответ к задаче, забывая о том, что требовалось найти по условиям задачи. И по сути правильная решенная задача не получает заслуженного балла.

Примеры решения задач на работу: от простого к сложному

Задача 1

Первый рабочий выполняет заказ из 120 деталей на 2 часа быстрее, чем второй. Также известно, что первый рабочий делает на 3 детали в час больше, чем второй. Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?

Решение:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Производительность первого рабочего примем за Х. Тогда производительность второго рабочего будет х — 3, так как второй рабочий делает на 3 детали в час меньше первого. Время выполнения всей работы получаем путем деления всей работы на производительность.2. Также из условий задачи нам известно, что всю работу (120 деталей) первый рабочий выполняет быстрее, чем второй на 2 часа. Следовательно, получаем следующее равенство:Решаем полученное уравнение. Для этого приводим все дроби к общему знаменателю:

120 (х- 3) + 2х (х-3) = 120х

120х – 360 + 2х2 – 6х – 120х =0

2 – 6х – 360 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

х2 – 3х – 180 = 0

D = 729

х1 =  15

х2 = -12

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно было найти, сколько деталей изготавливает первый рабочий. Именно эту величину мы обозначали за Х. Х

2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первый рабочий изготавливает 15 деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час

 Задача 2 

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литра. При этом известно, что одна из труб  пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары наполняются одновременно.

Решение:

1. На основании условия задачи составляем таблицу. Производительность первой трубы, то есть сколько воды она пропускает в минуту, обозначим за Х. Тогда производительность второй трубы будет либо на 1 литр в минуту больше, либо на 1 литр в минуту меньше. Это мы можем обозначить, как х ± 1. Время рассчитываем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи нам известно, что обе трубы выполняют свою работу за одинаковое количество времени. Следовательно, время работы первой и второй трубы мы можем приравнять, тогда получим: Теперь решаем два уравнения:Решаем первое уравнение:

180/х = 120/ (х -1)

180 (х-1) = 120х

180х – 120х = 180

60х = 180

х1 = 3

Решаем второе уравнение:

180/х = 120/ (х +1)

180 (х+1) = 120х

180х – 120х = -180

60х = -180

х2 = -3

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба. Именно это – производительность первой трубы мы и обозначали за Х. Х2 нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 3 литра в минуту.

Ответ: 3 литра в минуту

Задача 3

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Определить сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если известно, что бассейн объемом 300 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая.

Решение:

1. На основании условий задачи составляем таблицу. Производительность второй трубы обозначим за Х. Тогда производительность первой трубы Х – 5, так как она пропускает на 5 литров воды в минуту меньше. Объем бассейна (это объем работы труб) равен 300 литрам. Время работы труб определяем по формуле и заносим в таблицу:

2. Из условий задачи известно, что первая труба заполняет бассейн на три минуты дольше, чем вторая труба. Следовательно:Решаем полученное уравнение:

300х – 3х (х-5) = 300 (х — 5)

300х – 3х2 + 15х – 300х + 1500 = 0

-3х2 + 15х + 1500 = 0

Делим обе части уравнения на -3:

х2 — 5х — 500 = 0

Находим дискриминант:

D = 2025

х1 = 25

х2 = -20

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам необходимо было найти производительность первой трубы, которую мы обозначили, как (х – 5).

Подставляем полученное значение Х:

Подставляем х1: 25 – 5 = 20

Подставляем х2: -20 – 5 = -25

Второй результат нам не подходит по смыслу задачи. Следовательно, производительность первой трубы равна 20 литров в минуту.

Ответ: 20 литров в минуту.

Примеры решения задачи на совместную работу

Задача 4

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 часов. За сколько часов, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 4 часа выполняет такую же часть работы, какую второй — за 5 часов.

Решение. Способ 1:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Так как общий объем работы нам не дан в задачи, то принимаем его за единицу. Этот объем работы двое рабочих выполняют за 15 часов, следовательно, их производительность труда равна 1/15. Обозначим за Х время, которое потребуется первому рабочему для выполнения всей работы. Тогда его производительность будет равна 1/х. Следовательно, за 4 часа первый рабочий выполнит 4 * 1/х= 4/х части работы. Эту же часть работы 4/х второй рабочий может выполнить за 5 часов, следовательно, его производительность труда равна 4/х / 5 =4/5х. Заносим полученные данные в таблицу:

2. Итак, мы получили, что производительность труда первого рабочего 1/х, производительность второго рабочего 4/5х. А их общая производительность при совместной работе складывается и при этом равна 1/15:Решаем полученное уравнение. Для этого умножаем каждый член уравнения на 15х и получаем:

15 + 12 = х

х = 27

3. Возвращаемся к условиям задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Именно это мы и обозначали за Х. Следовательно, первый рабочий выполнит всю работу, работая один, за 27 часов.

Ответ: 27 часов.

Теперь разберем, как эту же задачу можно решить с помощью системы уравнений.

Решение. Способ 2:

1. Составим таблицу на основании условий задачи. Обозначим производительность труда первого рабочего за х1, а производительность второго рабочего – за х2. Следовательно, их общая производительность равна х1 + х2. А их общая работа, выполненная за 15 часов, равна 15 (х1 +  х2) = 1.

Также по условию задачи известно, что одинаковое количество работы первый работник выполняет за 4 часа (т.е. его работа равна 4х1), а второй работник за 5 часов (т.е. его работа равна 5х2). Таким образом:

1 = 5х2

2. Сведем в систему уравнений, полученные в первом пункте уравнения:Из второго уравнения выразим х1 = 5х2 / 4 и подставим в первое уравнение:

15 * (5х2 / 4) + 15 х2 = 1

75 х2 / 4 + 15 х2 = 1

Умножаем обе части уравнения на 4:

3. Возвращаемся к условию задачи. Нам нужно определить, за какое время выполнит всю работу первый рабочий. Производительность труда первого рабочего мы обозначали за х

1. Вся работа равна 1. Следовательно, время первого рабочего равно 1/ х1. Таким образом, время, за которое выполнит всю работу первый рабочий:Ответ: 27 часов.

 Таким образом, мы решили задачу на совместную работу двумя способами: с помощью уравнения и с помощью системы уравнений. Выбирайте тот, который вам понятнее.

 Надеюсь, мы достаточно подробно разобрали, как решать задачи на работу и теперь вы легко с ними справитесь. Еще больше материалов по подготовке к ЕГЭ в нашей группе Вконтакте.

Решение задач по экономике. Расчет производительности труда

Решение задач по экономике. Расчет производительности труда

Задача №1

На машиностроительном заводе произведено 1000 шестеренок. При этом на производство одной шестеренки у рабочих уходило 4 часа. Требуется рассчитать производительность труда рабочих.

Решение задачи

Производительность труда определяется по формуле:

Производительность труда = Количество произведенной продукции / время, затраченное на производство единицы продукции.

Рассчитаем производительность труда рабочих машиностроительного завода.

Производительность труда = 1000/4=250 (штук в час).

Ответ: Рабочие работают с производительностью 250 шт/час.

Задача по экономике №2

На автомобильном заводе произведено 20 автомобилей Ваз. Общее время производства (производственный цикло) составило 50 дней. Простой за период составил 2 дня. Изготовлением автомобилей занималось 15 сотрудников. Необходимо рассчитать производительность труда рабочих.

Решение

Производительность труда можно найти по формуле:

Производительность труда = Количество произведенной продукции / время, затраченное на производство единицы продукции.

Найдем производительность труда рабочих машиностроительного завода.

Если всего затрачено 50 дней, и изготовлено 20 автомобилей, но на один автомобиль потрачено в среднем 50/20=2,5 (дня).

Тогда производительность труда = 20/2,5=8 (штук в день).

Производительность труда можно рассчитать по более уточненной формуле, учитывающей простои и перерывы в работе.

В данном случае она рассчитывается следующим образом:

Производительность труда = [Количество произведенной продукции * (1-время простоя/общее время производства) ] / [время, затраченное на производство единицы продукции одним работником * Общее число работников, занятых в производстве].

Поскольку производством занимались 15 сотрудников, всего затрачено 50 дней, и за период произвели 20 авто, то время, затраченное на производство единицы продукции одним сотрудником, будет равно 50/15/20= 0,167 (дней).

Следовательно, производительность труда = [20 * (1-2/50)] / [0,167*15]=19,2/2,505=7,7 (штук в день).

Ответ: Рабочие изготавливают 7,7 изделий в день.

Задачи на работу

Вопросы занятия:

·  вспомнить, как решаются задачи на работу и на совместную работу.

Материал урока

И прежде чем мы приступим к решению ключевых задач, давайте вспомним основную формулу, которую используют для решения задач на работу.

Теперь давайте попробуем разобраться, как же понимать эту формулу.

Определение.

Производительность – это объём работы, который выполняется за единицу времени (например, за час или за день).

Другими словами, можно сказать, что производительность – это скорость выполнения той или иной работы.

Из формулы, нетрудно получить ещё две формулы, которые позволяют выразить время выполнения работы через объем работы и производительность, а также формулу, для выражения объёма работы через производительность и время.

P – производительность, А – работа, t – время.

Рассмотрим задачу.

Пример.

Решим ещё одну задачу.

Пример.

Пример.

В таких задачах очень важно понимать, что исходные данные разные и их нельзя сравнивать друг с другом. Сравнивать друг с другом мы можем только производительность и только при условии, что она вычисляется в одних и тех же единицах.

Часто приходится решать задачи на совместную работу. Их отличие от задач просто на работу, в том, что в этих задачах работа выполняется одновременно или другими словами совместно несколькими рабочими или трубами или и т. д. в зависимости от условия задачи. В этом случае общая производительность равна сумме производительности каждого, кто выполняет эту работу.

Давайте решим такую задачу.

Решим ещё одну задачу.

Пример.

Решим ещё одну задачу.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Пример.

Рассмотрим ещё одну задачу.

Решим ещё одну задачу.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы рассмотрели задачи на работу, совместную работу.

Учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме: Задачи на производительность

1. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

2. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

3. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

4. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

6. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

7. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

8. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

9. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

10. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

11. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

12. Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра туннеля. Определите, сколько метров туннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

13. Васе надо решить 490 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

14. Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено на девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

15. Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

16. Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

17. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

18. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

19. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

20. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

21. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

22. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

23. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

24. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

25. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

26. Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

27. Заказ на 195 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 2 детали больше?

28. На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

29. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 238 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

30. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 238 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о