Задачи геометрическая прогрессия – Задачи на геометрические прогрессии — задачи с решениями

Геометрическая прогрессия. Задачи на прогрессии и последовательности.


В этой статье рассмотрены задачи на геометрические прогрессии, и последовательности, которые нельзя отнести ни к арифметическим, ни  к геометрическим прогрессиям.

Сначала вспомним, что мы знаем о последовательностях.

Последовательность – это ряд чисел, который подчиняется определенному правилу. Если каждое последующее больше (или же меньше) предыдущего на определенное число, то это арифметическая прогрессия. Если числа отличаются во сколько-то раз, то такой ряд – геометрическая прогрессия. Если правило получения последующих членов ряда сложнее – то это просто последовательность.

Числа в геометрической прогрессии можно получить умножением (или делением) на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают обычно буквой b с индексом, указывающим на номер элемента в ряду. А знаменатель обозначают буквой q. Тогда, зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти n-ный член:

b_n=b_1q^{n-1}

Сумму нескольких членов прогрессии можно найти по формуле:

S_n=b_1{{1-q^{n}}/{1-q}}

Или еще можно использовать такую:

S_n={{b_n}q-b_1}/{q-1}

Свойства:

{b_1}{b_n}={b_2}{b_{n-1}}=...={b_{k+1}}{b_{n-k}}

delim{

Ну, к бою! Решаем задачи.

1. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми:b_1=3b_{n+1}=3b_n. Най­ди­те b_8.

Сначала определим знаменатель прогрессии: q=b_{n+1}/b_n=3

Теперь можем определить и восьмой член: b_n=b_1q^{n-1}=3*3^7=6561

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – геометрическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г)1/2; 1/3; 1/4; 1/5;....

Нужно выбрать последовательность, в которой каждое последующее число больше или меньше предыдущего в определенное количество раз. Из всех представленных последовательностей только во второй каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Именно она и является геометрической прогрессией. Такая закономерность более не наблюдается ни в одной из представленных последовательностей, поэтому ответ: б).

3. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а b_1=-3/4. Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

Воспользуемся формулой суммы:

S_6=b_1{{1-q^{6}}/{1-q}}={-3/4}{{1-{2}^{6}}/{1-2}}=47,25

Ответ: 47,25

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 40, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 120. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Дано следующее:

b_1+b_2=40;  b_2+b_3=120

Запишем условие, применяя формулу n-ного члена:

b_1+b_1q=40

b_1q+b_1q^2=120

Во втором уравнении вынесем за скобку q:

q(b_1+b_1q)=120

Оказывается, можно заменить выражение в скобках, воспользовавшись первым уравнением, и это позволит найти знаменатель прогрессии:

q(40)=120

q=3

Тогда из первого уравнения 4b_1=40b_1=10. Отсюда легко найти остальные члены: b_2=30b_3=90.

Ответ: 10, 30, 90.

5. Биз­не­смен Руб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 50000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 200% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Руб­ли­ков за 2003 год?

С первого прочтения может быть не ясно сразу, что эта задача – на геометрическую прогрессию. Увидев слова “на 200%” некоторые могут ошибиться, подумав, что тут надо применять формулы арифметической прогрессии. Давайте разберемся, что же означает это условие задачи. Если бы прибыль бизнесмена выросла на 100 %, то это значило бы, что он получил столько, сколько в прошлом году, да еще столько же – то есть в два раза больше. Прибыль увеличилась на 200 % – значит, бизнесмен заработал столько же, сколько в прошлом году, да еще в 2 раза больше – то есть всего в три раза больше! А на следующий год – еще в три раза,  вот и вырисовывается геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Первый ее член: b_1=50000

. Всего бизнесмен трудился три года, поэтому искомое – b_3:

b_3=b_1q^3=50000*3^3=1350000 – был Рубликов –  стал Миллиончиков!

Рассмотрим теперь задачи на последовательности.

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  b_n=n^2+3. Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)6                       б)16                 в)9              г)19

Чтобы выяснить, является ли какое-либо из чисел членом данной последовательности, нужно идти от обратного: подставить данное число в формулу и посмотреть, будут ли у полученного уравнения целые корни. Уравнение простое, решается устно. При вычитании 3 из 6, 16 и 9 квадрата целого числа не получится, а вот если вычесть 3 из 19 – получится 16, это и есть решение.

Ответ: 16

7. Последовательность задана формулой: c_n=12/{n+1}. Сколько членов в этой последовательности больше 2?

Можно перефразировать задачу: сколько членов данной последовательности удовлетворяют неравенству ? Поскольку неравенство строгое, то число 2 ему не удовлетворяет, поэтому знаменатель должен быть меньше 6. Решаем неравенство:

n+1<6n+1<6

n<5n+1<6

Получили n=4.

Можно было и сразу решать неравенство: .

easy-physic.ru

Решение задач по теме «Геометрическая прогрессия»

Цель: совершенствовать навыки решения задач на применение определения геометрической прогрессии, характеристического свойства, формул n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сообщить тему, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) Учитель: Ребята, скажите, какие анализаторы использует человек при восприятии информации? При восприятии информации человек использует анализаторы запаха, вкуса, осязания, зрения, слуха. Для рационального использования информации необходимо знать свой доминирующий анализатор, обычно это зрение и слух. А теперь давайте выясним, у кого какой доминирующий анализатор. Для начала проверим вашу зрительную память. На доске написано 2 ряда чисел, сейчас они закрыты. Я открою их на одну минуту, а вы постарайтесь запомнить и по моей команде запишите в тетрадь. Внимание! Начали!

На доске записаны числа: -12; -9; -6; -3; 0;3; 6; 9; 12.

4; -2; 1; —  — 

Проверяем правильность записи. Не огорчайтесь, если кто-то ошибся. Возможно, это случайность. Сейчас проверим еще раз. Теперь на доске будут записаны равенства, которые надо будет запомнить. Внимание! Начали!

Запись на доске:

(во время этой работы повторить с учащимися определение геометрической и арифметической прогрессии, характеристическое свойство геометрической прогрессии).

А теперь проверим слуховую память. Я прочту 2 раза определение, а вы должны записать его в тетради. Итак, слушайте:

При <1существует предел суммы первых n членов геометрической прогрессии при n ∞ , называемый суммой бесконечно убывающей прогрессии. Этот предел равен . Запишите.

После паузы проверяется запись.

Не огорчайтесь, если кто-нибудь допустил ошибку, значит, у вас лучше развита зрительная память, зрительные анализаторы, да есть же еще и другие анализаторы.

2) А теперь я хочу предложить следующую ситуацию.

(Вызвать 1 ученика к доске.) Ученик должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону: первый шаг он делает длиной 1 м, второй — м, третий — м и т.д. так, что длина следующего шага в 2 раза меньше предыдущего. Вопрос: дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3м? Какой путь пройдет ученик, если считать его движение бесконечным?

Ответ: 1 +  +  +…+ +… Sn 2 при n∞.

3) Учащимся раздаются заготовки листов для проверки знаний теории по теме «Геометрическая прогрессия»

п/п  Геометрическая прогрессия  Формулы
1 Определение  
2
Формула n первых членов
 
3 Сумма n первых членов  
4 Характеристическое свойство  

Ученики заполняют таблицу. Затем обмениваются работами, проверяют по образцу и оценивают друг друга по пятибалльной системе.

Оценки заносятся в лист взаимоконтроля.

Вид работы Оценка Ф.И. ученика Ф.И. проверяющего
Теория
     
Тест  

Учитель: зная эти формулы, можно решить много интересных задач.

III. Решение задач

на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

1) Между числами 1 и  вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.

Решение. .

, .

Получим геометрическую прогрессию 1, , , .

, .

Ответ: , .

2) Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии должно выполняться равенство:

.

При t = 0 имеем 0, 0, 8. Это не геометрическая прогрессия. При t = имеем ; 2; 8. Это конечная геометрическая прогрессия.

Ответ: t =.

3) Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14. а трех последних 112.

Решение.

Решая полученную систему, находим, что b1=2, q=2.

Имеем конечную геометрическую прогрессию 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

4) Решить уравнение

Решение. Последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем q = . По условию q ≠1 => х ≠1. Переформулируем задачу: сумма членов геометрической прогрессии равна 0. Найти х.

– не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: -1.

IV. Самостоятельная работа по тестам (тексты раздать учащимся).

Вариант 1.

1. Найдите первый член геометрической прогрессии: … .

a) 1; б) -1; в) 28; г) .

2. Дана геометрическая прогрессия:1; ; … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного .

a) 5; б) 6; в) 7; г) нет такого номера.

3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, заданной формулой .

a)  ; б) ; в) ; г) .

4.Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой равен 54. Найдите первый член прогрессии.

a) 1; б) 6; в) ; г) .

5. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого ее членов равна -20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?

a) 126; б) -42; в) -44; г) -48.

Вариант 2.

1. Найдите первый член геометрической прогрессии: 8, -4, … .

      a) 1; б) -1; в) 28; г) .

2. Дана геометрическая прогрессия:8; -4; … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного .

a) 8; б) 9; в) 7; г) нет такого номера.

3. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии, заданной формулой.

a) 511; б)1023; в) ; г) .

4. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 6, а знаменатель прогрессии равен 2. Найдите первый член прогрессии.

      a) 1; б) -1; в) 2; г) 4.

5. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна -6, а разность между третьим и вторым её членами равна 12. Чему равна сумма первых пяти членов прогрессии?

      a) -27; б) -33; в) 93; г) -93.

Ответы к тестам

  1 2 3 4 5
Вариант 1 а б г г б
Вариант 2 б б
г
а а

Учащиеся обмениваются тетрадями в парах, проверяют и выставляют оценки в листы взаимоконтроля.

V. Немного истории.

Учитель: Ребята! Мы изучили геометрическую прогрессию. При q=1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической прогрессией. Если q>1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах n получаются числа – гиганты. С древнейших времен известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, … . Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2, за третью – еще в 2 раза больше, т.е. 4, за четвертую – еще в 2 раза больше и т.д. В итоге общее число зерен на 64 клетках шахматной доски составило число 18 446 744 073 709 551 615 (18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615). Если бы царю удалось засеять пшеницей всю поверхность Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, за 5 лет он смог бы рассчитаться.

VI. Подводится итог урока,

выставляются оценки.

VII. Задание на дом.

Домашняя контрольная работа по учебнику Мордковича А.Г., Александровой Л.А. и др. «Алгебра. 9 класс».

urok.1sept.ru

Задачи для ОГЭ. Геометрическая прогрессия

Задачи для ОГЭ с ответами и решениями

Геометрическая прогрессия

 

перейти к содержанию задачника

  1. Дана геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен , . Найдите .
  2. Дана геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен , . Найдите .
  3. Геометрическая прогрессия задана условиями , . Найдите .
  4. Геометрическая прогрессия задана условиями , . Найдите .
  5. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: . Найдите элемент прогрессии, обозначенный буквой .
  6. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: . Найдите элемент прогрессии, обозначенный буквой .
  7. Геометрическая прогрессия задана условием . Найдите .
  8. Геометрическая прогрессия задана условием . Найдите .
  9. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее четвертый член.
  10. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее пятый член.
  11. В геометрической прогрессии , . Найдите знаменатель прогрессии .
  12. В геометрической прогрессии , . Найдите знаменатель прогрессии .
  13. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее пятый член.
  14. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите ее четвертый член.
  15. — геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен , . Найдите сумму первых пяти ее элементов.
  16. — геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен , . Найдите сумму первых четырех ее элементов.
  17. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых семи ее элементов.
  18. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых пяти ее элементов.
  19. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: . Найдите сумму первых пяти ее элементов.

перейти к содержанию задачника

Ответы

  1. -486
  2. 2315,25
  3. 48
  4. 0,4
  5. 1,5
  6. -3
  7. 4992
  8. -2,5
  9. 4736
  10. -3136
  11. 3
  12. 2
  13. -3136
  14. 2187

 

Метки ОГЭ. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

«Геометрическая прогрессии в заданиях ОГЭ»

9 класс по теме:

«Геометрическая прогрессии в заданиях ОГЭ»

Цель урока: отработка предметного навыка решения задач с геометрической прогрессией в формате ОГЭ.

Задачи:

1.Образовательные: актуализировать опорные знания учащихся по данной теме.

2.Воспитательные: воспитание умений слушать, воспитание желание работать до

конца, настойчивость, воспитание познавательного интереса.

3. Развивающие: развивать правильную математическую речь, логическое мышление,

умение аргументировать ответ, быстроту вычислительных навыков.

Ход урока.

1.Организационный момент: сегодня постараемся обобщить и систематизировать знания по данной теме.

2. Актуализация знаний: соотнести и сопоставить формулы прогрессий в таблице для проверки знаний теории.

, hello_html_13da6ac9.gif, hello_html_m20bbea01.gif

hello_html_m2f69e068.gif, (n=2,3…, hello_html_m616f2dd3.gif,hello_html_8110ed8.gif)

Формула n –го члена

hello_html_m572f53df.gif

Сумма n первых членов прогрессии

hello_html_m60100fad.gif, hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m55198ac8.gif

Знаменатель геометрической прогрессии

hello_html_m5dc7b9bc.gif

Свойства

hello_html_m338b97cd.gif,

hello_html_m25e41917.gif

Устно.

1. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Варианты ответа

2. Найти знаменатель геометрической прогрессии, первый член которой равен 8, второй -4. Ответ: q = —hello_html_m6de5d56e.gif
  1. Найдите третий член геометрической прогрессии, если первый член равен -9, второй 3. Ответ: b3 = -1

4.Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  hello_html_75e4a513.png  за­да­на фор­му­лой  n — го члена  hello_html_m69fa1c50.png.

Ука­жи­те тре­тий член этой про­грес­сии. Ответ: 12.

5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель равен – 2. Ответ: S5 = 11

6. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b3 = -3, а b8 = -96?

Ответ: 2.

ТЕСТ ( 10мин)

Вариант 1.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.

  1. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = 10, а b12 = 40?

    1. 2; 2) 2 и -2; 3) 4; 4) 15; 5) 10.

  2. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 5; hello_html_6cca05a7.gif; 125; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 25; 2) – 25; 3) 15 ; 4) -15; 5) 60.

Код ответов 23221

Вариант 2.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 3; 9;…. Найди b1.

  1. 5; 2) 1; 3) -1/4; 4) 1/3; 5) -1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 5 q = 1/5

1)– 1/25; 2) 1,25; 3) 1/625; 4)12,5; 5) – 6,25.

Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 5.

      1. 81; 2) 156; 3) 80; 4) 60; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b5 = 6, а b8 = 48?

1) 2 и -2; 2) 8; 3) 2; 4) 4; 5) 10.

5. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 10; hello_html_6cca05a7.gif; 90; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 55 ; 2) – 30 ; 3) 120; 4) 30; 5) 50.

Код ответов 43234

3 Практическая работа.

1. Последовательность задана условиями hello_html_3d410404.gif=6, hello_html_283326f1.gif= -2hello_html_34d2b0e2.gif. Найдите hello_html_m4c4b4e0b.gif.

2. В геометрической прогрессии 1,6;-3,2; … сравните b4 и b6.

q=-3.2/1.6=-32/16=-2

b4=b1*q3=1.6*(-2)3=-12.8

b6=b1*q5=1.6*(-2)5=-51.2

b4>b6.

3. Дана геометрическая прогрессия bn: 1/81, 1/27, 1/9… Записать формулу для вычисления ее n-го члена.

hello_html_m572f53df.gif, q=1/27 : 1/81=3

bn=1/81*3n-1=3-4*3n-1=3n-5.

Ответ: 3n-5.

4. Между числами 1 и 81 вставьте три числа так, чтобы все эти числа образовали геометрическую прогрессию.

5.Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равно 56, а сумма следующих трех ее членов равна 7. Определить а7.

a1+a2+a3=56

a4+a5+a6=7

hello_html_m3d18e835.gif

(2) q3(a1+a1q+a1q2)=7

Подставим (1) во (2)

q3*56=7

q3=7/56=1/8, q=1/2.

Из (1) а1*(1+q+q2)=56

а1*(1+1/2+1/4)=56

а1=56/(7/4)=(56*4)/7=8*4=32.

A7=a1q6=32*(1/2)6=32*(1/64)=1/2.

Ответ: ½.

6. В геометрической прогрессии ( bn ), первый член которой число положительное, b1* b2 = 27, а b3* b4 = 1/3. Найдите эти четыре члена геометрической прогрессии.

7. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если известно, что

hello_html_m403edef.gif=4, а hello_html_1052f849.gif=42

8. Сn – геометрическая прогрессия, знаменатель прогрессии равен -5, первый член -5. Найдите сумму первых четырех ее членов.

Домашнее задание. Тест

Часть А

А1 Какая из последовательностей чисел является геометрической прогрессией

1) hello_html_7c1b6c2d.gif; hello_html_m137b52a5.gif; 9; hello_html_37370ea.gif; 27; hello_html_1b9fee50.gif 2) 1; 3; 9; 27; 81; …

3) – 5; 0; — 15; 0; — 25; — 30 4) 3; 0; 0; 0; 0; 0;

А2 Последовательность hello_html_m561d463e.gif — геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_e700b82.gif, если hello_html_m61ed85fc.gif

1) hello_html_m25f56a79.gif 2) hello_html_332f045e.gif 3) hello_html_m51a1c247.gif 4) hello_html_m4330769a.gif

А3 Последовательность hello_html_18977ce.gif; 10; hello_html_6cca05a7.gif; 90; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 55 2) – 30 3) 120 4) 30

А4 Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии hello_html_m561d463e.gif: 5; -1; hello_html_57bf6a8.gif

1) 4,17 2) -4,17 3) hello_html_11764b8b.gif 4) hello_html_65a64a3f.gif

А5 Записано несколько последовательных членов геометрической прогрессии . Найдите член прогрессии обозначенной х

hello_html_m6f59d96b.gif

1) 2 2) -2 3) 6 4)-6

А6 Найдите знаменатель q геометрической прогрессии hello_html_18a5d02f.gif, если известно, что все ее члены положительны.

1) hello_html_m597e86c7.gif 2) hello_html_20329080.gif 3) —hello_html_20329080.gif 4) hello_html_2b2ed72.gif

Часть В

В1 Найдите первый член геометрической прогрессии hello_html_m561d463e.gif, если известно, что hello_html_2231d44a.gif

Ответ: __________.

В2 Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  hello_html_75e4a513.png  за­да­на фор­му­лой  hello_html_mea38d6d.png — го члена  hello_html_m30b40f52.png. Ука­жи­те чет­вер­тый член этой про­грес­сии.

Ответ: __________.

В3 Сумма второго и четвертого члена геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого члена -90. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Ответ: __________.

Часть С

С1 Между числами 2 и 18 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

Подведение итогов урока. После урока каждый обучающий должен:

Знать:

какая последовательность является геометрической,

формулу n – го члена геометрической прогрессии,

формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

Уметь:

выявлять, является ли последовательность геометрической, если да, то находить q,

вычислять любой член геометрической прогрессии по формуле,

знать свойства членов геометрической прогрессии, применять формулы при решении стандартных задач.

Формула n –го члена

Сумма n первых членов прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Свойства

Формула n –го члена

Сумма n первых членов прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Свойства

ТЕСТ ( 10мин)

Вариант 1.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.

  1. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = 10, а b12 = 40?

    1. 2; 2) 2 и -2; 3) 4; 4) 15; 5) 10.

  1. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 5; hello_html_6cca05a7.gif; 125; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 25; 2) – 25; 3) 15 ; 4) -15; 5) 60.

Вариант 2.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 3; 9;…. Найди b1.

  1. 5; 2) 1; 3) -1/4; 4) 1/3; 5) -1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 5 q = 1/5

1)– 1/25; 2) 1,25; 3) 1/625; 4)12,5; 5) – 6,25.

Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 5.

      1. 81; 2) 156; 3) 80; 4) 60; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b5 = 6, а b8 = 48?

1) 2 и -2; 2) 8; 3) 2; 4) 4; 5) 10.

5. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 10; hello_html_6cca05a7.gif; 90; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 55 ; 2) – 30 ; 3) 120; 4) 30; 5) 50.

ТЕСТ ( 10мин)

Вариант 1.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.

1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2

1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.

  1. Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 3.

1) 81; 2) 40; 3) 80; 4) –80; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = 10, а b12 = 40?

    1. 2; 2) 2 и -2; 3) 4; 4) 15; 5) 10.

  2. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 5; hello_html_6cca05a7.gif; 125; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 25; 2) – 25; 3) 15 ; 4) -15; 5) 60.

Вариант 2.

  1. В геометрической прогрессии b1; b2; 3; 9;…. Найди b1.

  1. 5; 2) 1; 3) -1/4; 4) 1/3; 5) -1.

  1. (bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 5 q = 1/5

1)– 1/25; 2) 1,25; 3) 1/625; 4)12,5; 5) – 6,25.

Найди S4 , (bn) – геометрическая прогрессия и b1 = 1, q = 5.

      1. 81; 2) 156; 3) 80; 4) 60; 5) – 40.

  1. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b5 = 6, а b8 = 48?

1) 2 и -2; 2) 8; 3) 2; 4) 4; 5) 10.

5. Последовательность положительных членов hello_html_18977ce.gif; 10; hello_html_6cca05a7.gif; 90; hello_html_e700b82.gif– геометрическая прогрессия. Найдите hello_html_6cca05a7.gif.

1) 55 ; 2) – 30 ; 3) 120; 4) 30; 5) 50.

infourok.ru

Свойства прогрессий. Решение задач. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Вспомним, что в арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему некоторого числа , которое называется разностью арифметической прогрессии:

В геометрической прогрессии, чтобы получить следующий член,  предыдущий необходимо умножить на некоторое число , называемое знаменателем геометрической прогрессии:

Такие соотношения называются рекуррентными, поскольку они выражают следующий член последовательности через предыдущие. Но для вычислений это не всегда удобно.

 

Задача 1. Тяжелоатлет Вася при подготовке к соревнованиям решил каждую неделю увеличивать массу штанги на  кг. Начал он со  кг. Штангу какой массы он будет поднимать к -й неделе тренировок?

Решение.

Отметим, что значения массы штанги в разные недели – это арифметическая прогрессия. Первый ее член , разность прогрессии . Нужно найти -й член этой прогрессии, т. е. . С помощью рекуррентной формулы это делать долго:

Можно ли как-то ускорить процесс подсчета?

Вспомним, что последовательность еще можно задать с помощью формулы n-го члена (аналитически). Попробуем это сделать для произвольной арифметической прогрессии. Выпишем первые члены:

Прибавляем еще  к :

Далее аналогично:

Видим, что для получения, например, -го члена нам нужно к первому члену прибавить   раза. Соответственно, чтобы получить -й член прогрессии, мы должны  прибавить  раз. Получаем формулу n-гочлена арифметической прогрессии:

С ее помощью мы легко решим задачу:

Тогда:

Ответ:  кг.

Аналогично можно получить и формулу -го члена геометрической прогрессии. Снова выпишем первые несколько членов:

Умножаем  еще на :

Аналогично:

Как и в случае с арифметической прогрессией, обобщим результат. Для получения n-го члена нужно умножить первый член на знаменатель прогрессии  раз. Получим формулу n-го члена геометрической прогрессии:

Итак, арифметическую и геометрическую прогрессию можно задать с помощью формулы n-го члена. В этих формулах присутствует два параметра – числа, которые определяют прогрессию: первый член () и разность  или знаменатель  в арифметической и геометрической прогрессии соответственно. Эти формулы можно преобразовать и получить в несколько другом виде. Подробнее об этом ниже.


 

Формулы -го члена прогрессий

Рассмотрим формулу n-го члена арифметической прогрессии:

Раскроем скобки около  и отдельно сгруппируем член с переменной  и отдельно – без него:

Обозначим:

Тогда:

Видим, что арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента (см. рис. 1).

Рис. 1. Арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента

Сравните со следующей функцией:

Аналогичным образом можно преобразовать и выражение для геометрической прогрессии – умножим и разделим правую часть формулы на :

Обозначим:

Тогда:

Если посмотреть на эту запись как на функцию натурального аргумента, то такая зависимость будет называться «показательной». Она имеет такое название, поскольку аргумент функции  является показателем степени. В старших классах вы еще будете изучать показательные функции, имеющие общий вид:

Сравните:

Т. е. геометрическую прогрессию еще можно назвать показательной функцией натурального аргумента (см. рис. 2).

Рис. 2. Геометрическая прогрессия является показательной функцией натурального аргумента


 

В целом формулы n-го члена прогрессии достаточно для работы с прогрессиями. Какие бы ни были условия, мы всегда можем записать каждый член прогрессии в общем виде. Затем получится система уравнений, неизвестными в которой могут быть номер члена прогрессии, первый член ( или ), разность  или знаменатель . Решаем систему, получаем ответ.

Задание 1. Определить знаменатель геометрической прогрессии , если:

Решение.

Записываем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

Соответственно:

С учетом условия получаем систему:

Осталось решить систему и найти .

Разделим почленно первое уравнение системы на второе:

Т. к. , то:

Ответ:.

Описанный метод сведения задачи к решению системы уравнений сработает всегда. Но иногда полученная система будет достаточно сложной или ее решение будет занимать много времени. Для облегчения задачи удобно использовать некоторые свойства, присущие членам арифметической или геометрической прогрессий.

Мы уже знаем, почему прогрессия называется арифметической: каждый ее член является средним арифметическим своих соседей:

Попробуем обобщить это свойство.

Рассмотрим члены прогрессии, равноудаленные от n-го, и преобразуем их сумму, используя формулу -го члена:

Обычно это свойство переписывают в виде:

и  формулируют так: любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Аналогичное свойство можно получить и для геометрической прогрессии. Мы обсуждали, что любой член геометрической прогрессии равен среднему геометрическому своих соседей:

Рассмотрим некоторый член прогрессии  и равноудаленные от него:

И для любых равноудаленных от n-го членов прогрессии:

Если извлечь квадратный корень из обеих частей равенства, получим:

Это свойство формулируют так: любой член геометрической прогрессии равен по модулю среднему геометрическому членов прогрессии, равноудаленных от него.

Интересно, что эти свойства прогрессий также являются и признаками этих прогрессий. Т. е. если указанные соотношения выполняются для всех членов последовательности, то она является, соответственно, арифметической или геометрической прогрессией.


 

Доказательство свойств

Рассмотренные свойства прогрессий можно еще обобщить. В арифметической прогрессии если сумма индексов двух членов прогрессии равна сумме индексов двух других, то суммы этих членов прогрессии также равны:

В геометрической прогрессии если сумма индексов двух членов прогрессии равна сумме индексов двух других, то произведения этих членов прогрессии также равны:

Докажем свойство для арифметической прогрессии:

Запишем в общем виде формулы каждого из членов:

Распишем суммы:

Поскольку , то:

Значит:

Аналогичным образом доказывается свойство и для геометрической прогрессии.

Доказано.


Задание 2. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию , в которой сумма крайних членов равна , а произведение средних – .

Решение.

Имеем геометрическую прогрессию : , в которой:

Задачу можно решить «в лоб», записав общий вид для каждого члена прогрессии и решив полученную систему:

Но проще воспользоваться свойством геометрической прогрессии. Сумма индексов , значит:

Получим систему, которую легче решить, чем предыдущую:

Решая систему, получаем два ответа:

Ответ: или .


 

Решение системы

Будем решать систему методом подстановки:

Из первого уравнения получаем:

Раскрываем скобки. Получили квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

Найдем корни квадратного уравнения:

Тогда:


Имеем две прогрессии:

  1. ;
  2. .

Найдем  и  в каждом случае.

1. Используя формулу -го члена геометрической прогрессии , получим:

Тогда:

Имеем прогрессию:

2. Аналогично:

Тогда:

Имеем прогрессию:

interneturok.ru

Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 1. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть число 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение. Пусть a_{1},a_{2},a_{3} — члены арифметической прогрессии; b_{1},b_{2},b_{3} — члены геометрической прогрессии. По условию a_{1}+a_{2}+a_{3}=30. Найдем связь между a_{1} и d — разностью прогрессии.

a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d \Rightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=30\Leftrightarrow 3a_{1}+3d=30\Leftrightarrow

\Leftrightarrow a_{1}+d=10\Leftrightarrow a_{1}=10-d.

Выразим все члены прогрессии через d: a_{2}=a_{1}+d=10,\; a_{3}=a_{1}+2d=10-d+2d=10+d. Таким образом, a_{1}=10-d,\; a_{2}=10,\; a_{3}=10+d.
По условию b_{1}=a_{1},\; b_{2}=a_{2}-2,\; b_{3}=a_{3}. Тогда 10-d;\; 8;\; 10+d — геометрическая прогрессия.
Поскольку

b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}\Leftrightarrow 8^{2}=(10-d)(10-d)\Leftrightarrow 64=100-d^{2} \Leftrightarrow d^{2}=36 \Leftrightarrow d_{1,2}=\pm 6.


Тогда a_{1}=10-d_{1}=4 или a_{1}=10-d_{2}=16.
Отсюда получаем две тройки чисел: 4;10;1б (d=6) и 16;10;4(d=-6).
Ответ: 4;10;16 или 16;10;4.

Задача 2. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 11, из второго 1, Из третьего 3, а из четвертого 9, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение. Обозначим искомые числа через b_{1},b_{2},b_{3},b_{4} — четыре первых члена геометрической прогрессии. Пусть a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} — соответствующие члены арифметической прогрессии. Ясно, что b_{2}=b_{1}q,\; b_{3}=b_{1}q^{2},\; b_{4}=b_{1}q^{3}.
Тогда

a_{1}=b_{1}-11,\; a_{2}=b_{2}-1=b_{1}q-1,\; a_{3}=b_{3}-3=b_{1}q^{2}-3,\; a_{4}=b_{4}-9=b_{1}q^{3}-9.


Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии:

a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2},\; a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}.


Тогда получаем систему уравнений, в которой неизвестными будут b_{1} и q:

\left\{\begin{matrix} b_{1}q-1=\frac{b_{1}-11+b_{1}q^{2}-3}{2},\\ b_{1}q^{2}-3=\frac{b_{1}q-1+b_{1}q^{3}-9}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b_{1}q-2=b_{1}+b_{1}q^{2}-14,\\ 2b_{1}q^{2}-6=b_{1}q+b_{1}q^{3}-10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b_{1}\left ( q^{2}-2q+1 \right )=12,\\ b_{1}q\left ( q^{2}-2q+1 \right )=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=27. \end{matrix}\right.


Запишем геометрическую прогрессию:

b_{2}=b_{1}q=27\cdot \frac{1}{3}=9;\; b_{3}=b_{1}q^{2}=27\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}=3;\; b_{4}=b_{1}q^{3}=27\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{3}=1.


Ответ: 27;9;3;1.

math-helper.ru

Урок алгебры по теме «Геометрическая прогрессия». 9-й класс

Цели урока:

  • образовательная – воспроизведение и коррекция опорных знаний по теме; формирование навыков решения экзаменационных задач на геометрическую прогрессию;
  • развивающая — развитие логического мышления, навыков самоконтроля в подготовке к ГИА;
  • воспитательная – воспитание культуры умственного труда, познавательного интереса к предмету; коммуникативности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: комплекты для устного счета, раздаточный дидактический материал – тесты, сборники экзаменационных заданий, компьютер, видеопроектор, листки самоконтроля.

Структура урока:

Этап урока Вид работы Содержание (цель) этапа Время
(мин)
I Оргмомент. Фронтально. Постановка цели урока.

Знакомство с планом работы на уроке.

1
II Устный счет. Фронтально, в парах. Отработка устных вычислительных навыков. 3
III Диктант по формулам. Взаимопроверка. Проверка и коррекция знаний формул геометрической прогрессии. 5
IV Работа с тестом. Работа в парах.

Самопроверка.

Формирование умений применять формулы для установления истинности или ложности утверждений.

Развитие навыков самоконтроля.

7
V Решение задач из сборника экзаменационных заданий. Работа в группах.

Проверка и коррекция решения через видеопроектор.

Совершенствование навыков решения задач на геометрическую прогрессию.

Воспитание коммуникативности.

15
VI Решение познавательных задач. Построение графика. Развитие навыков применения знаний по теме для решения познавательных задач. 6
VII Задание на дом. Запись в дневниках, чтение задания по учебнику. Комментирование содержания домашнего задания. 1
VIII Итог урока. Проверка листов самоконтроля. Обобщение полученных результатов работы через листы самоконтроля. Предварительное выявление проблем. 2

Ход урока

I. Оргмомент.

Объявить тему урока, дидактическую цель, сообщить план работы.

II. Устный счет.

Раздаточный материал для устного счета находится на столах учащихся. Каждый сидящий на 1 варианте отвечает по одному примеру, сосед по парте проверяет ответ.

Задания для устного счета.

Вычислите:

1) 53; 2) 24; 3) (-2)7; 4) (0,2)2; 5) (-0,2)3; 6) (-1)2; 7) (-1)5; 8) (-0,3)2; 9) 1,32; 10) 160;

16) 210 : 28; 17) 32 : 3; 18) 32n + 2 : 32n; 19) 24 * 23; 20) 0,5 * 23.

III. Диктант по формулам.

Класс пишет под диктовку учителя, один учащийся работает на обороте доски. Затем ответы открываются, учащиеся за партой меняются тетрадями, и проводится взаимопроверка.

Задание 1. Запишите рекуррентную формулу n-го члена геометрической прогрессии и выразите из нее знаменатель прогрессии.

Задание 2. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.

Задание 3. Запишите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Задание 4. Запишите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Задание 5. Запишите характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Ответы:

Дополнительный вопрос: Дать определение геометрической прогрессии и привести пример.

Выставление оценок в листы самоконтроля по количеству верных ответов по 5-бальной шкале.

IV. Работа с тестом.

Тест “Установите, истинны или ложны следующие утверждения”:

Задание 1. Последовательность, заданная формулой bn = 32n, — геометрическая прогрессия.

Решение:

Ответ: да.

Задание 2. Третий член геометрической прогрессии, у которой равен -18.

Решение:

Ответ: нет.

Задание 3. Сумма семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b1 = 3, q= 2, равна 384.

Решение:

Ответ: нет.

Задание 4. Геометрическая прогрессия, заданная формулой , является бесконечно убывающей.

Решение:

Ответ: нет.

Задание 5. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , если

Решение:

Ответ: да.

Проверка через видеопроектор и выставление оценок в листы самоконтроля по количеству верных ответов по 5-бальной шкале.

V. Решение задач из сборника экзаменационных заданий ГИА.

Задача 1. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 9, а сумма следующих трех ее членов равна -72. Найдите восьмой член этой прогрессии.

Решение:

Ответ: -384.

Задача 2. Существует ли геометрическая прогрессия, в которой

Решение:

Ответ: да.

Задача 3. Является ли число 64 членом геометрической прогрессии 0,5; 1; …?

Решение:

Ответ: да.

Задача 4. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии bn, если b2 b4 = 3 и b1 — b3 = 6.

Решение:

Ответ: 16.

Задача 5. При каком целом значении х последовательность х, х + 2, 5х – 2 является геометрической прогрессией?

Решение:

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем: (х + 2)2 = х(5х – 2).

Откуда х = — 0,5 – число не целое и х = 2 – число целое.

Ответ: 2.

Выставление оценок в листы самоконтроля по количеству верных ответов по 5-балльной шкале.

VI. Решение познавательных задач.

Задача 1. Один биолог “открыл” удивительную разновидность амеб. Каждая из них через минуту делится на две. В пробирку биолог кладет одну амебу, и ровно через час вся пробирка оказывается заполненной амебами. Сколько потребовалось бы времени, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее положили вначале не одну, а две?

Решение:

Запишем две геометрические прогрессии одна под другой:

1; 2; 4; 8; 16; 32; … и

2; 4; 8; 16; 32;…

Тогда очевидно, что задача решается с конца. Минуту назад колба с одной амебой была заполнена наполовину. Следовательно, нужно 59 минут, чтобы вся пробирка заполнилась амебами, если бы в нее положили вначале не одну, а две.

Ответ: 59 минут.

Задача 2. Построить график геометрической прогрессии 1; 2; 4; 8; 16;… .

Решение:

b1 = 1; q = 2; bn = b1* qn – 1 = (b1 : q) * qn = 0,5 * qn .

Заполним таблицу и нанесем точки на систему координат.

n 1 2 3 4 5
bn= 0,5 * 2n 1 2 4 8 16

Получаем точечный график. Точки графика лежат на кривой, которую в 10-м классе при изучении показательной функции назовем экспонентой.

VII. Задание на дом.

Задачи из учебника и сборника ГИА по теме “Геометрическая прогрессия”.

VIII. Итог урока.

Учащиеся оценивают свою работу как среднее арифметическое трех оценок, выставленных в листках самоконтроля.

Называются самые трудные задания, которые вызвали затруднения для дальнейшей коррекции на следующем уроке.

Примечание. Учащиеся обучаются по учебнику для общеобразовательных учреждений: Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 18-е изд. — М.: Просвещение, 2011.

urok.1sept.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск