При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

, (11.1) где .

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:

.

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

.

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

Упражнения

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

< Предыдущая		Следующая >

Решение комбинаторных задач Размещения перестановки сочетания Задача

Решение комбинаторных задач Размещения, перестановки, сочетания

Задача. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различны ми способами они могут встать в круг? Решение. Если бы они стояли на месте, то получилось бы Pn=P 7=7! = 5040 перестановок. Перестановки кругу n различных предметов можно расположить по (n-1)! cпособами Pn=(7 -1)! = 6!=720 перестановок.

А теперь сосчитаем, сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин? По аналогии с только что решенной задачей можно подумать, что число различимых ожерелий равно 720. Но ожерелье можно не только повернуть по кругу, но и перевернуть (см. рис. ). Поэтому ответом на эту задачу является 720 : 2=360.

Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: «красный», «желтый», «зеленый»? (Размещения с повторениями N=36=729)

Пример. Из урны, в которой находятся 3 красных шара, 3 синих и 2 зеленых, вынимают шар, отмечают его цвет и возвращают в урну. Всего эта операция проводится 5 раз. Сколько существует вариантов вытягивания шаров? (Размещения с повторениями. Всего 3 цвета шаров, вытаскивают 5 раз N=35=243)

Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, так, чтобы цифры в числе не повторялись? Перестановки без повторений Решение. Из данных четырех цифр можно составить Р = 3*3*2*1 перестановок. Числа, начинающиеся на нуль, не являются четырехзначными.

Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись? Размещения без повторений Решение. 6!/(6 -4)!=3*4*5*6=360 = все возможные комбинации. 5!/(5 -3)!=3*4*5=60 – кол-во комбинаций, где 0 на 1 месте. Ответ: 360 -60=300

Пример. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски? Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2, 2, 2). Получаем способов :

Сколькими способами можно выбрать к предметов из n? Например: а) одновременно вынимают две карты из колоды: C = 36! / (36 — 2)!2! = (36 ∙ 35) / 2 = 630; б) наугад зачеркивают 6 чисел из 49: C = 49! / (43! ∙ 6!) = 13 980 000; в) случайно отбирают трех человек из 25: C = 25! / (22! ∙ 3!) = 2 300.

1. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев 2. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой? 3. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов? 4. Сколько существует различных номеров автомашин? 5. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков? 6. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5? 7. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана? 8. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5? 9. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?

«Основные понятия комбинаторики при решении задач. Перестановки, размещения и сочетания»

Министерство образования и науки Республики Бурятия

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«БУРЯТСКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ТЕХНИКУМ СТРОИТЕЛЬНЫХ И ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ»

Методическая разработка открытого занятия

по УД МАТЕМЕТИКА

«Основные понятия комбинаторики при решении задач. Перестановки, размещения и сочетания»

г.Кяхта, 2018г

Рассмотрено на заседании ЦК Общеобразовательных дисциплин

«___»__________________2018г

Протокол №_______

Председатель ЦК: ______ / Цыдыпова Т.С./

Согласовано

методист «БРТСиПТ»: _____________________ С.Ц. Дылгырова

«Утверждаю»

Зам директора по УМР

__________/Бурантарова Е.А./ «____»____________2018г

Разработала: Цыдыпова Т.С., преподаватель математики.

СОДЕРЖАНИЕ

2. Технологическая карта учебного занятия ……………………………

6

3. План учебного занятия ………………………………………………..

8

4. Ход занятия …………………………………………………………….

8

5. Список литературы ……………………………………………………

16

Аннотация методической разработки

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Основа хорошего понимания комбинаторики умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности можно выработать, если быть настойчивым, трудолюбивым и внимательным на уроках, самостоятельно и с интересом заниматься.

Открытое занятие по теме «Основные понятия комбинаторики при решении задач. Перестановки, размещения и сочетания». Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов знакомит обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика», основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека.

Задачи с использованием элементов комбинаторики входят в состав экзамена по математике. Поэтому у обучающихся должны формироваться первоначальные представления о комбинаторных задачах.

На занятии будут использованы такие виды деятельности, как практические, самостоятельные работы, решение задач. Данный урок поможет обучающимся по-другому посмотреть на окружающий мир. После данного занятия они смогут объективно оценивать некоторые вещи, опираясь на математические подсчеты.

Они учатся решать комбинаторные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, что развивает логическое мышление.

Данная тема является вторым занятием в разделе «Комбинаторика» рабочей программы.

Предварительно была подготовлена презентация по теме. Решение задач на повторение метода перебора вариантов, дерева возможных вариантов, правила произведения, которые наглядно демонстрирует основные шаги объяснения предыдущего материала. Так же были подготовлены листы с таблицами «Верите ли вы, что…», где ребята должны ответить на вопросы в начале занятия и вернуться к ним в конце занятия. Карточки с самостоятельной работой.

Современное общество живёт в ситуации постоянных изменений ценностей и идеалов, при высокой степени неопределённости условий принятия решений и неоднозначности многих жизненных выборов. В связи с этим большое значение приобретает целенаправленная работа техникума по формированию у подрастающего поколения целостного взгляда на мир и место человека в этом мире.

Открытое занятие по теме «Основные понятия комбинаторики при решении задач. Перестановки, размещения и сочетания» было проведено в рамках недели общеобразовательных дисциплин в группе КАМ1.

Проведённый мною открытое занятие осуществляет в первую очередь задачу системности использованию полученных знаний в жизни человека. На уроке применила мультимедийный проектор, компьютер, материалы презентации, дидактический материал для индивидуальной и групповой работы на занятии.

Данная методическая разработка может быть использована учителями общеобразовательных школ, преподавателями СПО. При воплощении можно опираться на основную идею или фрагменты данной методической разработки, вносить изменения и дополнения, учитывая свой опыт.

Данная методическая разработка опубликована на сайте: https://infourok.ru/user/cidipova-tatyana-sergeevna.

Технологическая карта учебного занятия

Цель: повторить основные понятия комбинаторики с помощью решения задач. Ввести формулы перестановки, размещения и сочетания.

Задачи:

Образовательная:

— создать условия для осознанного понимания решения простейших задач на применение элементов комбинаторики;

— изучить формулы размещения, перестановки и сочетания;

— сформировать у студентов первичные умения и навыки решения задач.

— продолжить формирование у студентов представления о комбинаторике и ее применении в жизни человека.

Развивающая:

— развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения;

— развивать умения сравнивать, систематизировать, обобщать.

Воспитательные:

— воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

— формировать культуру математической речи;

— воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать коллективе.

Тип учебного занятия: комбинированный.

Форма учебного занятия: урок.

Используемые технологии: элементы проблемного обучения.

Используемые методы обучения: активные и интерактивные методы обучения. Проблемно-поисковый, метод беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности. 

— словесный: устный опрос; эвристическая беседа

— наглядный: показ иллюстраций, карточка с самостоятельной работой.

— практический: решение задач.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная; индивидуальная форма организации познавательной деятельности.

Развитие общих компетенций:

• ОК 4. Осуществлять поиск и использовать информацию, необходимую для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

• ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами, социальными партнерами.

• ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

Учебно-методическое обеспечение урока:

• дидактические средства и методические средства: тексты самостоятельной работы;

• технические средства: проектор, экран, ноутбук с презентацией, листы с опорным конспектом, задачами, учебная доска.

Учебно-материальное оснащение:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 класса: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). – 5-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2014.

2. Башмаков М.И. Математика: 10 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. – 3-е изд. – М.: Издательский центр «Академия», 2017г.

Планируемые образовательные результаты:

личностные

-умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи,

-умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

-способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

метапредметные

-умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

-умение применять теоретические знания в реальных жизненных ситуациях

предметные

— овладение навыками устных и письменных вычислений;

— умение точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии;

— вычислять значения выражений, выбирая удобный порядок действий

План учебного занятия:

1. Организационный момент.

2. Мотивация учебной деятельности (постановка цели и задач занятия).

3. Актуализация знаний

1. Фронтальный опрос.

2. Решение задач на повторение.

4. Изучение нового материала

1. Введение понятия перестановка, формулы перестановки, решение задач.

2. Введение понятия размещение, формулы размещения, решение задач.

3. Введение понятия сочетание, формула сочетания, решение задач.

5. Закрепление (решение задач).

6. Подведение итогов (домашнее задание, рефлексия).

7. Самостоятельная работа.

Ход занятия

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии у нас гости, мы их всех прекрасно знаем, поприветствуем наших гостей. Садитесь. Отметка студентов отсутствующих на занятии.

2. Мотивация учебной деятельности (слайд 1).

Вперед поедешь – голову сложишь,

направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься.

— Какая проблема возникла перед богатырем? (Проблема выбора дальнейшего пути движения (слайд 2)).

— Как богатырь выходит из данной ситуации? (А дальше говорится о том, как он выходит из данного положения, в которое попал в результате выбора).

— А вы когда-нибудь находились перед выбором? И как часто это происходит в вашей жизни?

Выбирать разные пути или варианты приходится каждому человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации.

— Какой раздел математики занят поисками ответов на эти вопросы? (комбинаторика).

(Слайд 3) «Учимся не для техникума, а для жизни»

Сенека Люций Анней

Эти слова, я хочу взять эпиграфом к нашему занятию. Так как постоянно вы задаете вопросы: «А зачем она нам нужна?», «Может ли она чем-то помочь в реальной жизни?»…

Перед вами листочек с таблицей «Верите ли вы, что…»

«Верите ли вы, что…»

Да

Нет

Не знаю

в нач

в кон

в нач

в кон

в нач

в кон

С этой наукой вы сталкиваетесь каждый день?

Комбинаторика поможет стать востребованным в реальной жизни?

Достаточно купить три билета для «крупного» выигрыша в лото?

И в игре, и в жизни можно предугадать действия соперника?

Комбинаторика применима во всех сферах жизнедеятельности человека?

— Раз мы говорим о комбинаторике, сегодня мы повторим основные понятия, правила комбинаторики, и их применение при решении задач. Введем понятия перестановки, размещения и сочетания. Тема будет написана на доске.

3. Актуализация знаний.

1. Фронтальный опрос:

— Дайте определение комбинаторики. (На каждой парте лежат листочки с опорными конспектами, ребята внимательно читают определения, один зачитывает громко всей группе, каждый повторяет еще раз и проговаривают между собой). (Комбинаторика – это раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных элементов).

— Дайте определение факториала числа. (Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число) или n –факториалом называется произведение первых подряд идущих n натуральных чисел).

— Как обозначается факториал? (Обозначается факториал восклицательным знаком-!).

— Чему равен факториал 0 и 1? (Факториал 0 и 1 равен единице).

— Сформулировать правило произведения и суммы.

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно

n + m способами.

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

2. Решение задач

1) Вычислите факториалы следующих чисел.

3! =6 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 0!=1

2) Вычислите значения выражений.

а) 5!+6! = 120+720=840

б) .

3) Упростить выражение: а) ; б) .

4) Решить задачу: а) Из пункта A в B ведут три дороги, из B в C пять дорог, из С в D четыре дороги. Сколько вариантов проезда у водителя из пункта А в В? (Слайд 4)

Решение: .

б) Значение цветов флага России: (Слайд 5-11)

белый цвет — символизирует мир, чистоту, непорочность, совершенство;

синий цвет –символизирует веру, верность и постоянство;

красный цвет — символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

Задача: Сколько можно получить различных флагов, состоящих из 3-х горизонтальных цветных полос: красной, белой и синей? (первый ряд методом перебора, второй ряд – методом дерева возможных вариантов, третий ряд – по правилу произведения).

— Как называются задачи такого типа? (Задачи такого типа называются комбинаторными задачами).

— Вы сейчас предложили несколько способов решения выше указанной задачи. Но есть еще способ решения данной задачи – это решение с использованием основных понятий комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания). Давайте более подробно остановимся на каждом понятии.

IV. Изучение нового материала. Перестановки, размещения, сочетания. (слайд 12)

1. Перестановки. Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. (слайд 13)

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляется по формуле: Pn = n!

Вернемся к нашей задаче.

Задача 1. Сколько можно получить различных флагов, состоящих из 3-х горизонтальных цветных полос: красной, белой и синей? (слайд 14)

Pn = n! = 3! = 1*2*3=6 (способов)

Ответ: 6 способов.

Задача 2. (Слайд 15-17)

Проказница-Мартышка,

Осёл,

Козёл

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки —

Пленять своим искусством свет.

Сколькими способами герои могли пересесть?

Решение: Pn = n! = 4! = 1*2*3*4=24 (способа).

2. Размещения. Размещениями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения. Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле

. (Слайд 18)

Задача 3. Сколько различных двузначных чисел можно составить из множества цифр , причем так, чтобы цифры числа были различны? 
Решение: Искомое число чисел. (слайд 19)

3. Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Количество сочетаний обозначается  и вычисляется по формуле. (Слайд 20)

Задача 4. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали? (Слайд 21)

Решение:

.

V. Закрепление знаний

1) Решение простейших комбинаторных задач

(Студенты работают у доски, решают простейшие комбинаторные задачи).

А) Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Б) В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

 способами. 

В) Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?

2) Найти ошибки в решениях задач: Сейчас каждый из вас выступит в роли учителя. Студент решил задачу. Проверьте, верно, ли решена задача:

А) Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

С =

Ответ: 56. (верно)

Б) Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир?

P₄=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

(А).

VI. Подведение итогов (домашнее задание, рефлексия).

1) Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

2. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

2) Рабочая тетрадь: Стр. 52-55, С/р 4.1 «Элементы комбинаторики».

Рефлексия: В качестве домашнего задания было найти ответы на вопросы: области применения комбинаторики.

учебные заведения (составление расписаний)

сфера общественного питания (составление меню)

лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

география (раскраска карт)

биология (расшифровка кода ДНК)

криптография (разработка методов шифрования)

Я предлагаю вернуться к нашей таблице «Верите ли вы, что…» и еще раз ответить на данные вопросы.

Перед вами листочек с таблицей «Верите ли вы, что…»

«Верите ли вы, что…»

Да

Нет

Не знаю

в нач

в кон

в нач

в кон

в нач

в кон

С этой наукой вы сталкиваетесь каждый день?

Комбинаторика поможет стать востребованным в реальной жизни?

Достаточно купить три билета для «крупного» выигрыша в лото?

И в игре, и в жизни можно предугадать действия соперника?

Комбинаторика применима во всех сферах жизнедеятельности человека?

— Так может ли комбинаторика помочь в реальной жизни? В чем?

VII. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

№ задания 1 2 3

№ ответа 3 2 4

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

№ задания 1 2 3

№ ответа 4 1 2

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

№ задания 1 2 3

№ ответа 1 2 4

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

№ задания 1 2 3

№ ответа 2 1 4

Вариант 5

1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

1. 10 2) 20 3) 120 4) 50

2. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

1. 35 2) 30 3) 70 4) 45

3. На соревнованиях по лёгкой атлетике наш техникум представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

1. 120 2) 1560 3) 4800 4) 5040

№ задания 1 2 3

№ ответа 3 1 4

Спасибо за урок! До свидания.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учебное пособие для студентов учреждений сред. проф. Образования/М.И. Башмаков. — 5-е изд., стер. -М.: Издательский центр «Академия», 2014.

2. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебное пособие для студентов учреждений сред. проф. Образования/М.И. Башмаков -М.: Издательский центр «Академия», 2016.

3. Мордкович А.Г. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 классы. В 2ч./А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. — М.: Мнемозина, 2015г.

4. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1999.

5. Валуцэ И.И. и др. Математика для техникумов на базе средней школы: учеб. пособ. – М.: Наука, 1990.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва «Высшая школа» 1998.

7. Дадаян А.А. Математика: учеб. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

8. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2т. учеб. пособ. – М.: Высш. шк., 1998

9. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. – М., 1972

10. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: В 2-х частях. учеб. /Каченовский М.И. и др. под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, 1987

Уроки по комбинаторике. Урок 1. Логика перебора. Перестановки и размещения

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Перестановки и размещения.»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 1/8.

Тип урока: Урок формирования новых знаний

Цели урока:

Образовательные:

• ввести понятие «комбинаторика», «перестановки», размещения;

• сформировать представление о комбинаторных задачах и применении их в жизненных ситуациях;

• ознакомить с типами задач на перестановки и методами их решения;

• научить строить дерево возможных вариантов;

• сформировать умения решать задачи на перестановки различными представленными методами.

Развивающие:

познавательного интереса учащихся,

памяти, внимания,

умения сравнивать и анализировать,

Воспитательные:

трудолюбия,

культуры учебного труда,

культуры речи, самостоятельности,

умения работать в коллективе.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый, репродуктивный, самостоятельная работа.

Формы познавательной деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, самопроверка.

УМК: Математика: учебник для 6 кл. под редакцией Г.В.Дорофеева, И.Ф.Шарыгина и др., изд-во «Просвещение», 2008 г., Математика, 5-6 : кн. для учителя / [С. Б. Суворова, [ Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006, рабочая тетрадь,

Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран, презентация.

Программное обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку.

Дидактический материал: цветные полоски бумаги (синяя, красная и белая) для всех учащихся, карточки для самостоятельной работы, карточки для работы на доске.

Литература:

1. Математика : учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.]; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2008.—302 с.: ил. — (Академический школь­ный учебник).

2. Математика, 5—б : кн. для учителя / [С. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева, Л. О. Рослова]. — М. : Просвещение, 2006. — 191 с. : ил.

3. Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г. В, Дорофеева, С. Б. Суворовой, И. Ф. Шарыгина и др. Часть II / авт.-сост. Т. Ю. Дюмина. — Волгоград: Учитель, 2006. — 247 с.

4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7—9 классы. / авт.- сост. В. Н. Студенецкая. Изд. 2-е, испр. — Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5. Уроки математики с применением информационных технологий. 5-10 классы. Методическое- пособие с электронным приложением / Л.И. Горохова и др. 2-е изд., стереотип. -М.: Издательство «Глобус», 2010. — 266 с. (Coвременная школа).

6. Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

7. Автор-составитель — Р.И. Махиня, главный методист ПИППКРО, заслуженный учитель РФ, Рецензенты: Г.К. Пак, кандидат физико-математических наук ДВГУ; Е.А. Ланкина, кандидат физико-математических наук ДВГУ.

8. http://mmmf.math.msu.su/

9. http://portfolio.1september.ru/

10. http://combinatorica.narod.ru/

План урока:

1. Оргмомент

2. Актуализация знаний.

3. Объяснение нового материала

4. Физкультминутка

5. Формирование знаний и умений

   • самостоятельная обучающая работа с самопроверкой,

   • решение задач у доски по карточкам и в тетради по учебнику с обсуждением.

6. Итоги урока

7. Дом. задание

Ход урока.

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

(Слайд 2)

3. Объяснение нового материала

Учитель. — В старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора

Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций. Примером мог бы послужить сказочный герой Барон Мюнхгаузен, который находил выход из любой сложной и трудной ситуации. В жизни эти умения очень часто помогают человеку. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

Сегодня рассмотрим с вами некоторые задачи комбинаторики. Мы научимся определять ход их решения, а также познакомимся и научимся применять на практике несколько методов решения комбинаторных задач.

Задача 1. У вас на парте лежат полоски красного, белого и синего цвета.

Соберите, пожалуйста, флаг Российской Федерации.

Как вы расположили полоски?

Молодцы! А какое значение имеют цвета флага нашей страны?

(белый — благородство, синий – честность, красный – смелость)

Замечательно, что вы хорошо знаете флаг своей Родины!

Вы настоящие граждане нашей страны.

Интересно, сколькими способами можно составить флаг из горизонтальных полос белого, красного и синего цвета, если флаг двухцветный?

Эта проблема будет нашей первой задачей, из множества тех задач, решением которых мы сегодня займемся.

Откройте тетради, запишите число и тему урока.

Тема урока: «Решение комбинаторных задач. Перестановки и размещения»

(Слайд 1)

Рассмотрим задачу.

(Слайд 3)

Из полосок, лежащих на ваших партах, красного, белого и синего цвета, соберите все виды флагов, состоящих из двух горизонтальных полос.

Решение: Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага.
Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим ещё два варианта флага.
Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага.
Всего получили 6 комбинаций – шесть вариантов флагов.

(Слайд 4)

Перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных решений. Обычно одни из них нас устраивают, а другие — нет. Чтобы сделать верный вы­бор, надо рассмотреть все возможные варианты решения. А для этого прежде всего надо найти удобный способ перебора возможных вариантов.

. (Слайды 5,6,7)

Эти методы носят следующие названия: метод перебора, построение дерева возможных вариантов, таблицы. (Слайд 7)

Запишите в словарь новое понятие «комбинаторика», комбинаторные задачи.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 2.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7 (цифры в числе не повторяются).

(Слайд 8)

Решение.

Будем выписывать числа в порядке возрастания. Такой спо­соб перебора позволит нам не пропустить никакое из чисел и в то же время не повторить ни одно из них.

Сначала запишем в порядке возрастания все искомые чис­ла, начинающиеся с цифры 1, затем — начинающиеся с циф­ры 4 и, наконец, — с цифры 7.(Слайд 9)

11, 14, 17,

41, 44, 47,

71, 74, 77.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить 9 двузначных чисел.

Часто процесс перебора удобно осуществлять путем построения специальной схемы — так называемого дерева возможных вариантов.

(Слайд 10)

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7.

Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Откройте учебник на стр. 189. Рассмотрим задачу 1.

Задача 1. Туристическая фир­ма планирует посещение туристами и Италии трех городов: Венеции, Ри­ма и Флоренции. Сколько существу­ет вариантов такого маршрута?

Обозначим города их первыми буквами: В, Р и Ф.

(Замена предметов их условными обозначениями называется кодированием).

Тогда код каж­дого маршрута будет состоять из трех букв, каждая из которых должна ныть использована только один раз, например ВФР или ФРВ.

На рисунке 199 представлено дерево возможных вариантов путешествия.

Учитель: Сравним решения этих задач и скажите в чем их сходство.

Учащиеся обсуждают решения задач и делается вывод.

Вывод: решение первой задачи сводилось к подсчету, сколькими спо­собами можно переставить три цвета по два, во второй три цифры по две, в третьей задаче своди­лось к подсчету, сколькими способами можно переставить буквы К, Ж и 3, не меняя количество элементов. (Слайд 12)

Учитель. Задачи, в которых количество мест и количество предметов равны, являются задачами на перестановки. (Слайд 11)

Задачи, в которых дается какое-то количество предметов и требуется посчитать число всевозможных их перестановок с выборкой из этих предметов, называются задачами на размещение. (Слайд 12)

Все эти задачи достаточно просто решаются с помо­щью дерева возможных вариантов или путем перестановки закодированных элементов.

(Рассмотреть задачу 4 из учебника.)

4. Физкультминута (Слайд 13)

IV. Закрепление нового материала, формирование умений решать задачи.

Самостоятельная обучающая работа: учащиеся решают задачи на местах по карточкам, лежащим на партах.

1. С помощью цифр 0 и 9 запишите в порядке возрастания все натуральные числа, меньшие 10 000. Сколько таких чисел?

9, 90, 99, 900, …………………………….

………………. Ответ: ……………………………………..

2. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

3.В студии современного танца лучше всех танцуют четы­ре девочки — Аня, Ира, Оля и Яна и три мальчика — Боря, Володя и Гриша. Руководитель студии должен отправить на кон­курс одну танцевальную пару, составленную из мальчика и девочки. Из скольких вариантов он должен выбирать?

Решите эту задачу, закончив построение дерева возможных вариантов.

Проверим решения задач. Внимание на экран. (Слайд 14)

(Слайд 16,17)

(Слайд18.19)

(Слайд 20)

Вызвать к доске 4 учащихся для решения задач по карточкам.

Карточка 1.

Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и5?

(Ответ: 8

Карточка 2.

На полке лежат 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке эти книги?

Ответ: 6

3. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

Подсказка: Обозначить буквами певцов — П₁, П₂, гитаристов — Г₁, Г₂, фокусника — Ф.

Ответ: 6

Карточка 4.

Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили читать ее по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариан­тов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте?

Ответ:6

Остальные учащиеся в тетрадях решают задачи № 867, 878. Коллективно обсудить условие задачи № 867(а).

5. Итоги урока.

Вопросы учащимся: (Слайд 21)

— Какие обозначения удобно вводить при решении комбинаторных задач?

— В чем состоит особенность задач на перестановки?

— В чем состоит особенность задач на перестановки?

— Как решаются задачи на перестановки и размещения?

— Сколько можно составить перестановок из трех элементов?

Выставление оценок за урок. (Слайд 22)

Домашнее задание: № 864 решить и нарисовать в тетрадях, 877,881.

Подумать: решаем ли мы комбинаторные задачи в повседневной жизни и где?

Спасибо за урок (Слайд 23)

Урок «Решение комбинаторных задач. Перестановки»

Тема «Решение комбинаторных задач. Перестановки».

Цель урока:

• Совершенствовать навыки решения комбинаторных задач; выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; ввести понятие «перестановки», продолжать подготовку к экзамену в новой форме в процессе планового урока;

• развивать логическое мышление, интерес к познавательной деятельности, творческие способности обучающихся, самоконтроль и взаимоконтроль, опыт общения при работе в парах.

• .

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

Актуализация опорных знаний.

В русских сказках повествуется, как, доехав до распутья, богатырь читает на камне: «Прямо поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься». Ребята, с какой проблемой сталкивается богатырь? (с проблемой выбора пути). Но выбирать разные пути приходиться и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в разнообразные комбинации. На прошлых уроках мы с вами познакомились с разделом математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, считали число комбинаций. Ребята, как же называется этот раздел? Как называются такие задачи? А сегодня на уроке мы проверим, как вы применяете полученные знания на практике, и познакомимся с простейшими комбинациями, которые называются перестановки.

Итак, тема нашего урока «Решение комбинаторных задач. Перестановки». Знания по этой теме вам понадобятся не только при выполнении контрольной работы, но и на экзамене, а затем в 10, 11 классах, в специальных и высших учебных заведениях. Поэтому цель нашего урока: повторить и проверить знания и умения по теме «Комбинаторные задачи» и познакомиться с простейшей комбинацией «перестановки». А эпиграфом нашего урока будет восточная мудрость: «Приобретать знания – это храбрость, приумножать знания – это мудрость, а умело применять – великое искусство».

А начнем мы с теоретической разминки.

II. Теоретическая разминка

1. Что называется комбинаторикой?

2. Что означает слово «комбинаторика»?

3. Какие вы знаете методы комбинаторики?

III. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

Задача
Сколько видов бутербродов может приготовить на завтрак Саша, если у него имеется белый хлеб, черный хлеб, сыр, колбаса и варенье?

Решите задачу, используя

первому – способ перебора возможных вариантов,

второму – дерево возможных вариантов,

третьему – комбинаторное правило умножения.

Ответ: 6

В жизни очень важно, порой сделать правильный выбор, выбрать правильное решение. Ребята выполняют задание и разбирают плюсы и минусы представленных способов.

Название метода

Достоинства метода

Недостатки метода

Метод перебора

Наглядность, возможность увидеть все варианты. «Теоретически» можно решить любую комбинаторную задачу

Очень длительный, можно пропустить варианты

Дерево вариантов

Наглядность, возможность увидеть все варианты

Очень громоздкий и длительный. Не все задачи могут быть решены с его помощью

Правило умножения

Компактность, быстрота решения.

«Не видно» самих вариантов, можно посчитать только их количество. Не все задачи могут быть решены с его помощью.

Способы решения (перебор вариантов и дерево возможных вариантов) применяют тогда, когда элементов перебора немного.

V.Объяснение нового материала.

-Комбинаторика изучает три вида комбинаций элементов: перестановки, размещения и сочетания. Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки. И сегодня на уроке мы познакомимся и будем применять при решении задач вид комбинации элементов, который называется перестановкой.

Определение: перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Р _n = n! Что такое n! ?

Произведение натуральных чисел от 1 до n в математике называют факториалом числа n и обозначают n!

Символ n! от латинского factor, что значит множитель.

n! =1 · 2 · 3 · … · n

Например:

0! = 1,

1! =1,

2! = 1 ∙2 = 2,

3! = 1 ∙2 ∙3 = 6,

4! = 1 ∙2 ∙3 ∙4 =24.

Рассмотрим решение задачи. Сколько трёхсловных предложений можно составить из трёх слов: сегодня, солнце, светит?

Решение: Р₃ = 3! = 1×2×3 = 6

Ответ: 6

-А теперь проверим, как вы усвоили новую тему.

Установи соответствие

А) 2!= 1) 6

Б) 3!= 2) 24

В) 4!= 3) 2

Г) 5!= 4) 720

Д) 6!= 5) 120

А

Б

В

Г

Д

3

1

2

5

4

VI. Математический диктант с последующей взаимопроверкой

1. Какой раздел математики изучает перестановки?

а) Логика б) Алгебра

в) Геометрия г) Комбинаторика

2. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение _________ в определённом порядке.

а) других элементов б) этих элементов

в) части элементов г) дополнительных элементов

3. Значение 4! =

а) 2 б) 36 в)24 г)20

4. Сколькими способами можно разместить на трёхместной скамье троих учеников?

а) 24 б) 8 в) 12 г) 6

5. Сколько различных четырёхзначных числа можно составить из цифр 9,8,7 и 6 без повторения их в записи числа?

а) 24 б) 120 в) 30 г) 12

Проверка:

1

2

3

4

5

г

б

в

г

а

IX .Задание на дом: Повторить п. 31; № 734; № 748.

Составить интересную задачу практической направленности по данным школьной жизни (по желанию)

X I. Дополнительное задание

«Величие человека в его способности мыслить» Блез Паскаль.

XII. Итог урока.

Стадия рефлексии. Вопросы учителя:

• Что сегодня на уроке мы повторили?

• Что показалось наиболее интересным?

• Чему научились?

• Для чего вы это делали?

• Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

• Что такое «перестановки»?

• Какие из задач оказались наиболее трудными?

Сегодня вы еще больше убедились, как важно уметь применять полученные знания, ведь они вам нужны будут и на выпускных экзаменах. Не беда, если у вас сегодня что – то не получилось. Не зря говорится: «Не стыдно не знать, стыдно не учиться».

И закончить урок мне хочется притчей. Ребята послушайте, пожалуйста, притчу: Шел мудрец, а навстречу ему три человека, везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства Храма. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил: « Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкою ответил, что целый день возил проклятые камни.

У второго спросил: « А ты что делал целый день? И тот ответил: « Я добросовестно выполнял свою работу».

А третий улыбнулся ему, лицо засветилось радостью и удовольствием, и ответил «А я принимал участие в строительстве Храма».

-Ребята! Кто работал, так как первый человек?

-Кто работал добросовестно?

-А кто принимал участие в строительстве Храма знаний?