Задачи на работу как решать – Задачи на совместную работу. Подробная теория с примерами.

Задачи на работу

     Задачи на работу. В этой статье мы с вами рассмотрим задания условия которых связаны с работой. Алгоритм решения задач на работу входящих в состав  ЕГЭ идентичен алгоритму решения задач на движение. Перед дальнейшим изучением материала посмотрите статью, где мы рассмотрели задания на движение.

Для решения необходимо знать одну-единственную формулу:

Работа равна произведению производительности и времени
Здесь A — работа, t — время, а величина p, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, Вася красит забор. Количество метров, которые он красит за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу:

1. А = р∙t, из этой формулы легко найти t или p.

2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти  — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар. А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды  —  работа как раз и равна этому количеству.

3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно)  — их производительности складываются. Очень логичное правило.

4. В качестве переменной х удобно взять (в абсолютном большинстве задач) именно производительность. Так же, как в задах на движение мы за х принимаем скорость.

Вы убедитесь, что задачи на работу  и движение очень схожи.

Рассмотрим задачи:

Работа равна произведению производительности и времени

Заказ на 240 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: 240. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем её  за х. Тогда производительность первого рабочего равна  х + 1 (он делает на одну деталь в час больше).

Поскольку t = A/p,  время работы первого рабочего равно  t2 = 240/(х + 1),  время работы второго равно t2 = 240/х.

Работа равна произведению производительности и времени

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй, то есть t1   на 1 меньше, чем t2,  значит

Работа равна произведению производительности и времени

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Работа равна произведению производительности и времени

Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной величиной.  Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: 15

Решить самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

На изготовление 40 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов  меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Данная задача практически не отличается от предыдущей, разница лишь в объёме работы. Примем производительность второго рабочего за х.

Тогда производительность первого рабочего равна х + 3 (он делает  в час  на три детали больше).  Заполним графу «время» в таблице:

Работа равна произведению производительности и времени

Сравнение будем проводить по времени. Сказано, что первый затрачивает на 6 часов меньше, чем второй. Значит

Работа равна произведению производительности и времени

Таким образом, второй рабочий в час делает 7 деталей.

Ответ: 7

Решить самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Примем производительность первой трубы за (литров в минуту). Тогда производительность второй трубы равна . Работа это объём резервуара – 192  литра.

Заполним графу «время» в таблице:

Работа равна произведению производительности и времени

Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше, чем вторая. То есть времени уходит больше

Работа равна произведению производительности и времени

Первая труба в минуту пропускает 12 литров.

Ответ: 12

Решите самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 19 часов. Через 1 час после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Сразу отметим, что производительность каждого рабочего 1/19 (заказа в час). Заказ это работа, она равна 1. Пусть х это время совместной работы. Тогда один работал х часов,  другой  х + 1.

Заполним графу «работа» для каждого:

Работа равна произведению производительности и времени

Сумма сделанных ими объёмов работы составляет всю работу, равную 1.

Работа равна произведению производительности и времени

Совместно рабочие работали 9 часов.

Значит, на весь заказ ушло 9 + 1 = 10 часов.

Можно выстроить рассуждение таким образом:

В условии сказано, что рабочий может выполнить заказ за 19 часов, то есть его производительность равна 1/19 заказа в час. Значит, за первый час один рабочий выполнит 1/19 заказа.

Получается, что на двоих останется 1– 1/19 = 18/19 заказа.

Далее они работают  вдвоём, значит, на каждого из рабочих придётся

(18/19):2 = 9/19 заказа

так как их производительность  одинаковая.

Имеем: рабочий выполняет 1/19 заказа в час, значит 9/19 заказа  он выполнит за 9 часов.

То есть совместно они будут работать 9 часов.

Таким образом, на выполнение всего заказа потребуется 9 + 1 = 10 часов.

Ответ: 10

Решить самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

Один мастер может выполнить заказ за 36 часов, а другой — за 12 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Пусть х это время, за которое мастера выполнят работу вместе.

Производительность первого 1/36 (заказа в час), второго 1/12 (заказа в час),  этот  вывод мы сделали из условия задачи.

При совместной работе производительности складывают:

Работа равна произведению производительности и времени

Оба мастера выполнят заказ за 9 часов.

Ответ: 9

Решить самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

В помощь садовому насосу, перекачивающему 9 литров воды за 4 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 6 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 30 литров воды?

Сразу,  исходя из условия, можно определить производительности насосов:  у первого 9/4 (литра в минуту), у второго 9/6 (литра в минуту).

Пусть совместно они будут работать х  минут. 

Работа равна произведению производительности и времени

Насосы совместно должны работать 8 минут.

Ответ: 8

Решить самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

Работа равна произведению производительности и времени

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 12 вопросов теста, а Ваня — на 20. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 90 минут. Сколько вопросов содержит тест?

В данной задаче производительности даны: у Пети 12 (вопросов в час), у Вани 20. Количество вопросов это и есть работа, принимаем за её за х.

В таблице заполним графу «время»:

Работа равна произведению производительности и времени

Конечно же, сравнение будем проводить по времени.

Петя закончил свой тест на 90 минут позже Вани, то есть Петя затратил больше времени. Не забываем перевести минуты в часы: 90 минут это 1,5 часа.

Работа равна произведению производительности и времени

Тест содержит 45 вопросов.

Ответ: 45

Решите самостоятельно:

Работа равна произведению производительности и времени

Посмотреть решение

На этом всё. В будущем мы рассмотрим задачи на работу, которые несколько отличаются от представленных выше.  Но вы увидите, что и в них нет ничего особо сложного, не пропустите!  Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Задачи на работу на ЕГЭ по математике

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь — работа, — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

  1. , то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .
  2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
  3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
  4. В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Покажем, как все это применяется на практике.


1. Заказ на деталей первый рабочий выполняет на час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?

Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.

В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за . Тогда производительность первого рабочего равна (он делает на одну деталь в час больше). , время работы первого рабочего равно , время работы второго равно .

Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, на меньше, чем , то есть

Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:

Дискриминант равен . Корни уравнения: , . Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их 🙂 Значит, отрицательный корень не подходит.

Ответ: .


2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.

А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за .

По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, . Отсюда .

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,

.

Итак, первый рабочий за день выполняет всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится дней.

Ответ: .


3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров?

Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.

Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, . Составим уравнение:

и решим его.

Ответ: .

. Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,


Тогда


.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Ответ: .


Читаем дальше: Задачи на проценты

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Производительность

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел, вызывать их движение, менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

Примеры сил:

  • ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;
  • на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;
  • далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.


Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской  буквой A.


Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

4 > 3

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.


Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть  на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из общего количества страниц (100) количество прочитанных страниц (48)

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность».


Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

632 > 507

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.


Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.


Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек


Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

8 : 2 = 4 нед.

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.


Задача 6. Принтер работает с производительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

A = 350 страниц


Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал  . То есть работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:


Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

350 : 70 = 5 ч.

Либо с помощью формулы нахождения времени:


Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.


Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.


Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

A = 1

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

Дробь  выражает  часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

Выражать выполненную работу через единицу часто приходится при решении задач на совместную работу.


Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть сложим их производительности:

32 дет./час  + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов


Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

A = 1

Производительность первого мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

А производительность второго мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть за одну минуту мастера вместе покрасят  часть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью 

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.


Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

A = 1

Тогда первый рабочий за один час может выполнить  часть работы, а второй рабочий  часть работы. А вместе за один час они могут выполнить  часть работы

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

Остальную часть работы, а именно  работы заканчивал один второй рабочий:

Второй рабочий за один час мог выполнить  часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся  часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна , переменная v — 

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

2 + 2,5 = 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.


Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

A = 1

Тогда первая труба за один час выполнит  часть работы, а вторая труба —  часть работы. Работая вместе за один час они выполнят  часть работы:

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

2,4 = 2 ч + 0,4 ч

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Первая бригада может выполнить некоторое задание за 12 часов, вторая – за 4 часа. За сколько часов они выполнят задание, если будут работать вместе?

Решение

Обозначим работу через единицу:

A = 1

Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Задача 2. Лошадь съедает копну сена за 1 сутки, корова может съесть такую же копну за 3 суток, а овца за 6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

A = 1

Тогда производительность лошади будет выражáться единицей, производительность коровы — дробью , производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Задача 3. Сосуд наполняется шлангом за 12 мин, а полный сосуд опорожняется при открытии крана за 20 мин. За какое время наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг?

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет наполняться на .

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Задача 4. Через первую трубу бассейн можно заполнить за 20 ч, через вторую за 30 ч. Какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 ч?

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражáться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражáться дробью

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение , а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Ответ: за один час заполнится часть бассейна.

Задача 5. На прокладку траншеи требуется затратить 10 ч. Экскаватор проработал 8 ч, после чего ему осталось пройти 50 м. Найти общую длину траншеи.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

50 : 2 = 25 м./ч

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

25 × 10 = 250 м

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Задача 6. Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 мин 20 с. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

A = 1

Производительность первого крана будет выражáться дробью , производительность второго крана — дробью . Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражáться дробью .

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Ванна наполнится за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

300 : 60 = 5 мин

Ответ: ванна заполнится за 5 мин.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

spacemath.xyz

Решение задач на работу в 9 классе

Задачи на работу

1. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый опе­ра­тор может вы­пол­нить дан­ную ра­бо­ту за  hello_html_277729cd.png  часов, а вто­рой за  hello_html_m5a356915.png  часов. За один час пер­вый опе­ра­тор вы­пол­ня­ет  hello_html_m3796e5d3.png  часть всей ра­бо­ты, а вто­рой  hello_html_m2418058.png. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:


hello_html_2f7dcab6.png

 

hello_html_m6970f41f.png

 
Ответ: пер­вый опе­ра­тор за 12 ч, вто­рой опе­ра­тор за 24 ч.

2. На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что уче­ник де­ла­ет hello_html_277729cd.png де­та­лей в час. Тогда ма­стер де­ла­ет hello_html_2970ff65.png де­та­ли в час. 
На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник по­тра­тит hello_html_m4bd7f75d.pngч, а ма­стер тра­тит hello_html_1608a81a.pngч на из­го­тов­ле­ние 462 де­та­лей.
Со­ста­вим урав­не­ние по усло­вию за­да­чи:

hello_html_m287216bb.png

Решим урав­не­ние:

hello_html_1c2e86e1.png

Корни по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния: −28 и 3. От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что уче­ник де­ла­ет в час 3 де­та­ли.

Ответ: 3.

3. Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

Ре­ше­ние.

Пусть за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся hello_html_277729cd.png лит­ров воды. Тогда за ми­ну­ту вы­ка­чи­ва­ет­ся hello_html_m57b0d778.png л воды.
По усло­вию за­да­чи со­ста­вим урав­не­ние:

hello_html_41aa48ce.png

от­ку­да

hello_html_789b7ead.png 

По­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние

hello_html_775e0702.png

име­ю­щее корни: hello_html_48e17991.png и hello_html_75a033de.png.
От­бра­сы­вая от­ри­ца­тель­ный ко­рень, на­хо­дим, что за ми­ну­ту в бак на­ка­чи­ва­ет­ся 9 л воды.
Ответ: 9.

4. Дима и Саша вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Дима от­ве­ча­ет за час на 12 во­про­сов теста, а Саша — на 22. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Дима за­кон­чил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

Ре­ше­ние.

Пусть x — ко­ли­че­ство во­про­сов теста через. Тогда по­лу­ча­ем: 

hello_html_724fdfe4.png 

от­ку­да на­хо­дим x = 33 . 

Ответ: 33

5. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров?

Ре­ше­ние.

Пусть вто­рая труба про­пус­ка­ет hello_html_277729cd.png лит­ров воды в ми­ну­ту, тогда пер­вая труба про­пус­ка­ет hello_html_me090854.png литра в ми­ну­ту. Вто­рая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров за hello_html_m57da6933.png минут. По­сколь­ку пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров за hello_html_789b106c.png минут, что по усло­вию за­да­чи на 4 ми­ну­ты боль­ше, чем hello_html_df3cf7c.png по­лу­ча­ем урав­не­ние: 

hello_html_m7c19bb1.png 

Решим урав­не­ние: 

hello_html_1d5f6605.png 

hello_html_m7592ba9f.png или hello_html_4dc0b2ff.png 

От­бра­сы­вая по­сто­рон­нее ре­ше­ние −6,5, по­лу­ча­ем, что вто­рая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров в ми­ну­ту. 

Ответ: 10 лит­ров в ми­ну­ту.

6. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 6 часов 18 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 9 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет hello_html_7b902862.png часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют hello_html_3acdbc42.png часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет hello_html_m6a65cefe.png часть бас­сей­на, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 21 час.

Ответ: 21.

7. Три бри­га­ды из­го­то­ви­ли вме­сте 266 де­та­лей. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла де­та­лей в 4 раза боль­ше, чем пер­вая и на 5 де­та­лей мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко де­та­лей боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть hello_html_277729cd.png — число де­та­лей, из­го­тов­лен­ных вто­рой бри­га­дой, тогда пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла hello_html_6c87f475.png де­та­лей, а тре­тья —hello_html_mab15f41.png де­та­лей. Вме­сте три бри­гад из­го­то­ви­ли 266 де­та­лей, со­ста­вим урав­не­ние:

hello_html_3d06d37e.png

Вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 116 де­та­лей, сле­до­ва­тель­но, пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла hello_html_m1975cb72.png де­та­лей, а тре­тья — 121 де­таль. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 121 − 29 = 92 де­та­ли боль­ше.

Ответ: 92.

8. Три бри­га­ды вме­сте из­го­то­ви­ли 114 син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач. Из­вест­но, что вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла син­хро­ни­за­то­ров в 3 раза боль­ше, чем пер­вая, и на 16 син­хро­ни­за­то­ров мень­ше, чем тре­тья. На сколь­ко син­хро­ни­за­то­ров пе­ре­дач боль­ше из­го­то­ви­ла тре­тья бри­га­да, чем пер­вая.

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла x ра­ди­а­то­ров. Тогда вто­рая бри­га­да из­го­то­ви­ла 3x ра­ди­а­то­ров, а тре­тья 3x +16 ра­ди­а­то­ров. Из урав­не­ния 7x +16 =114 на­хо­дим, что пер­вая бри­га­да из­го­то­ви­ла 14 ра­ди­а­то­ров, а тре­тья 58 ра­ди­а­то­ров. Таким об­ра­зом, тре­тья бри­га­да из­го­то­ви­ла на 44 ра­ди­а­то­ра боль­ше, чем пер­вая. 

Ответ: 44.

infourok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Алгебра

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

Производительность труда

      В задачах на выполнение работ, когда человек или механизм выполняет некоторую работу, причем выполняет её так, что за равные промежутки времени выполняются равные объемы работы, используется следующее важное понятие.

      Производительностью труда называют объем работы, выполняемой человеком или механизмом за единицу времени.

      Если   A   – объем работы, а   t   – время, за которое человек или механизм выполняет эту работу, то производительность труда выражается по формуле

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Производительность труда в задачах на выполнение работ играет роль скорости в задачах на движение.

Примеры решения задач на выполнение работ

      Задача 1. (РЭА) Каждый из двух самосвалов перевез по   600   тонн груза. Известно, что первый самосвал приступил к работе на   4   дня позже второго самосвала и перевозил ежедневно на   5   тонн груза больше, чем второй самосвал. Сколько тонн груза перевозил ежедневно каждый самосвал, если они закончили работу одновременно?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первого самосвала, т.е. количество тонн груза, который перевозил первый самосвал за   1   день;

        y   – производительность второго самосвала, т.е. количество тонн груза, который перевозил второй самосвал за   1   день.

      Тогда

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – количество дней, за которое первый самосвал перевёз   600   тонн груза;

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – количество дней, за которое второй самосвал перевёз   600   тонн груза.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из двух уравнений с двумя неизвестными   x , y :

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(1)

      Для решения системы уравнений (1) выразим   x   через   y   из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение системы:

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Далее получаем:

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Поскольку производительность не может быть отрицательной, то первый случай должен быть отброшен.

      Во втором случае получаем

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Ответ. Первый самосвал перевозил ежедневно по   25   тонн, второй самосвал перевозил ежедневно по   20   тонн.

      Задача 2. (МФТИ) Бассейн, к которому подведены две трубы, через первую трубу наполняется на   5   часов быстрее, чем через вторую. За   5   часов через первую трубу и за   4   часа через вторую трубу проходит в сумме   20   кубометров воды. Если сначала открыть вторую трубу, а через   8   часов открыть ещё и первую трубу, то бассейн будет заполнен за   18   часов. Каков объем бассейна и сколько воды проходит через каждую трубу за   1   час?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первой трубы, т.е. количество кубометров воды, проходящих через первую трубу за   1   час;

        y   – производительность второй трубы, т.е. количество кубометров воды, проходящих через вторую трубу за   1   час;

        V   – объём бассейна в кубометрах.

      Тогда

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – время, выраженное в часах, за которое заполняет бассейн первая труба,

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – время, выраженное в часах, за которое заполняет бассейн вторая труба.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из трех уравнений с тремя неизвестными   x , y , V :

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(2)

      Подставляя в первое уравнение системы (2) выражение переменной   V   через переменные   x   и   y   из третьего уравнения системы, получаем систему уравнений

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(3)

      Преобразуем первое уравнение системы (3):

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Если ввести обозначение

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

то уравнение

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

можно записать в виде

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(4)

      Решим уравнение (4):

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Поскольку отношение   s   производительностей труда   x   и   y   не может быть отрицательным, то первый случай должен быть отброшен.

      Во втором случае получаем:

      Подставим выражение (5) во второе уравнение системы (3):

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Следовательно,

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Ответ. Через первую трубу за   1   час проходит   2,4   кубометра воды, через вторую трубу за   1   час проходит   2   кубометра воды, объём бассейна равен   60   кубометрам.

      Задача 3. (МГТУ) Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за   30   дней. Работа так же может быть выполнена, если первые   6   дней рабочие будут работать вместе, а после этого первый рабочий   40   дней будет работать один. За сколько дней каждый из рабочих выполнит эту работу, работая один?

      Решение. Введем следующие обозначения:

        x   – производительность первого рабочего, т.е. объем работы, который выполняет первый рабочий за   1   день;

        y   производительность второго рабочего, т.е. объем работы, который выполняет второй рабочий за   1   день;

        V   – объём всей работы.

      Тогда

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – время, выраженное в днях, за которое выполняет весь объем работы первый рабочий, работая один;

     задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач – время, выраженное в днях, за которое выполняет весь объем работы второй рабочий, работая один.

      С помощью введенных обозначений условие задачи можно записать в форме следующей системы из двух уравнений с тремя неизвестными   x , y , V :

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(6)

      По условию задачи мы должны из системы уравнений (6) найти величины

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач   и   задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Для того, чтобы это сделать, разделим каждое из уравнений системы (6) на   V :

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(7)

      Вводя обозначения

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(8)

запишем систему (7) в виде

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач(9)

     Решим систему (9):

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задачзадачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Из соотношений (8) находим интересующие нас величины задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач и задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач:

задачи на составление уравнений задачи на выполнение работ производительность труда примеры решения задач

      Ответ. Первый рабочий, работая один, выполнит работу за   50   дней, второй рабочий, работая один, выполнит работу за   75   дней.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки»,а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

      С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

      С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

     С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

www.resolventa.ru

Текстовые задачи. Задачи на работу с решениями

Задачи на работу с решениями

перейти к содержанию курса текстовых задач

  1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 ч больше, чем  первому? Решение
  2. Две бригады, работая одновременно, обрабатывают участок земли за 12 ч. За какое время этот участок могла бы обработать первая бригада отдельно, если скорости выполнения работы первой и второй бригадами относятся как 3 : 2? Решение
  3. Одна бригада может убрать поле за 12 дней, а другая выполняет ту же работу за 75% времени, необходимого первой бригаде. После того как в течение 5 дней работала первая бригада, к ней присоединилась вторая и они вместе закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе? Решение
  4. Два мастера, из которых второй начинает работать на 1,5 дня позже первого, могут выполнить задание за 7 дней. Если бы это задание выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мастер в отдельности выполнил бы это задание? Решение
  5. Бассейн может наполнится водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй - на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 мин, а второй - на 15 мин, то заполнится 3/5 бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн? Решение
  6. Двум машинисткам было поручено выполнить некоторое задание. Вторая приступила к работе на 1 ч позже первой. Через 3 ч после того как первая начала работу, им осталось выполнить еще  всего задания. По окончании работы оказалось, что каждая машинистка выполнила половину всего задания. За сколько часов каждая из них в отдельности могла бы выполнить все задание? Решение
  7. Имеются два двигателя одинаковой мощности. Один из них, работая, израсходовал 600 г бензина, а второй, работавший на 2 ч меньше, израсходовал 384 г бензина. Если бы первый двигатель расходовал в час столько бензина, сколько второй, а второй, наоборот, столько, сколько первый, то за одно и то же время работы расход бензина в обоих двигателях был бы одинаковым. Сколько бензина в час расходует каждый двигатель? Решение
  8. Двое выполняют работу. Сначала первый работал  времени, за которое второй выполняет всю работу. Затем второй работал  времени, за которое первый закончил бы оставшуюся часть работы. Они выполнили только  все работы. Сколько времени требуется каждому для выполнения этой работы, если известно, что при совместной работе они сделают ее за 3 ч 36 мин? Решение
  9. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать некоторый участок дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только первая бригада, а заканчивала ремонт участка одна вторая бригада, производительность которой выше, чем у пер-вой бригады. В результате ремонт участка продолжался 40 дней, при-чем первая бригада в свое рабочее время выполнила  всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно? Решение
  10. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стену, причем причем первый проработал 6 ч, второй — 4 ч, а третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй —2 ч, третий — 5 ч, то было бы выполнено лишь всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время? Решение
  11. В котлован равномерно поступает вода. Десять одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов - за 6 часов. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котлована 25 таких насосов при совместной работе? Решение
  12. В резервуар поступает вода из двух труб различных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м3 воды. Во второй день работала лишь малая труба и подала также 14 м3 воды, поскольку проработала на 5 ч дольше, чем в предыдущий день. В третий день обе трубы сначала подали 21 м3 воды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м3 воды, причем общая продолжительность времени подача воды была такой же, как и во второй день. Определить производительность каждой трубы. Решение

Задачи для самостоятельного решения

  1. Бассейн наполняется двумя трубами за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая труба. За какое время каждая труба, действуя отдельно, наполнить бассейн? Ответ: 10 ч; 15 ч
  2. Школьник прочел книгу в 480 страниц. Ежедневно он прочиты-вал одинаковое количество страниц. Если бы ежедневно он читал на 16 страниц больше, то прочел бы книгу за 5 дней. Сколько дней школьник читал книгу? Ответ: 6 дней
  3. Для разгрузки парохода выделено две бригады. Если сложить промежутки времени, за которые могут самостоятельно разгрузить пароход первая и вторая бригады, то получится 12 ч. Определить эти промежутки, если их разность составляет 45% времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно. Ответ: ч; ч
  4. Бригада монтеров могла бы окончить проводку в 16 ч, прокладывая в час по 8 м кабеля. После выполнения половины всего задания один рабочий выбыл из бригады. В связи с этим бригада стала прокладывать по 6 м кабеля в час и закончила запланированную на день работу в 18 ч. Сколько метров кабеля было проложено и за сколько часов? Ответ: 96 мин, за 14 ч
  5. К бассейну подключены две трубы. Через первую бассейн наполняется, а через вторую вода из бассейна вытекает. Спустя полчаса после одновременного начала работы труб первую из них также переключи-ли на спуск воды из бассейна. Через какое время после переключения первой трубы уровень воды в бассейне станет первоначальным, если производительность первой трубы вдвое больше производительности второй? Ответ: через 10 мин
  6. Некоторое число рабочих выполнили работу за несколько дней. Если число рабочих увеличится на 3, то работа будет сделана на 2 дня скорее, а если число рабочих увеличится на 12, то на 5 дней скорее. Определите число рабочих и время, необходимое для выполнения этой работы. Ответ: 12 рабочих, 10 дней
  7. Бассейн может наполняться водой с помощью двух насосов раз-ной производительности. Если половину бассейна наполнить, включив лишь первый насос, а затем, выключив его, продолжить наполнение с помощью второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч 30 мин. При одновременной работе обоих насосов бассейн наполнится за 1 ч 12 мин. Какую часть бассейна наполняет за 20 мин работы насос меньшей производительности? Ответ: 1/9
  8. Пять человек выполняют некоторое задание. Первые три из них, работая вместе, выполнят все задание за 7,5 ч; первый, третий и пятый — за 5 ч; первый, третий и четвертый — за 6 ч; второй, четвертый и  пятый — за 4 ч. За какое время выполнят это задание все пять человек, работая вместе? Ответ: за 3 часа
  9. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сначала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой - остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить эту работу каждый рабочий в отдельности? Ответ: 16 ч, 16/3 ч
  10. Мастера A и B работали одинаковое количество дней. Если бы A работал на один день меньше, а B — на 7 дней меньше, то A заработал бы 7200 р, а B — 6480 р. Если бы, наоборот, A работал на 7 дней меньше, а B — на один день меньше, то B заработал бы на 3240 р. больше A. Сколько заработал каждый мастер в действительности? Ответ: 7500 р.;  9000 р.
  11. Для заполнения резервуара были открыты две трубы, по которым подавали воду 20 мин, затем открыли третью трубу, и через 5 мин после этого резервуар был заполнен, а все трубы закрыты. Производительность второй трубы в 1,2 раза больше производительности первой. Через вторую и третью трубы, открытые одновременно, резервуар заполняется за 0,9 того времени, которое требуется для заполнения его через первую и третью трубы при их совместной работе. За какое время заполнится резервуар, если одновременно открыть все три трубы? Ответ: 16 мин
  12. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действующих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работающих одновременно. Вторая и третья линии, работая одновременно, могут выполнить сменное задание первой линии на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой. Найти время выполнения первой линией своего сменного задания. Ответ: 8 ч

 

Метки работа, текстовые задачи. Смотреть запись.

www.itmathrepetitor.ru

Решение задач на "работу". 8-й класс

№ 614.

Один инструктор может выполнить задание на 5 ч. быстрее другого. Оба вместе они выполняют это задание за 6ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

В задачах "на работу" три величины:

1) работа; 2)время; 3)производительность - работа, выполненная за единицу времени.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности Работа

(1)

Время

(ч)

Производительность

Первый инструктор 1 X
Второй инструктор 1 Х+5
Совместно 1 6

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе части на 6Х (Х + 5) ? 0, при Х ? 0 и Х ? -5, получим:

6 (Х+5) + 6Х = Х (Х+5),

6Х + 30 + 6Х = Х2 + 5Х,

Х2 - 7Х - 30 = 0;

Х1 = -3; Х2 = 10.

2) -3 и 10являются корнями уравнения =.

3) -3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. время не может быть отрицательным, значит, первый инструктор выполнит задание за 10 ч, а горой за 15 ч.

Ответ: 10ч; 15ч.

№615. Можно предложить учащимся решить самостоятельно.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности Работа

(1)

Время

(дни)

Производительность

Первый рабочий 1 X
Второй рабочий 1 Х+10
Совместно 1 6

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе части на 12Х (Х + 10)

12Х + 120 + 12Х = Х2 + 10Х;

Х2 - 14Х - 120 =0;

Х1 = -6; Х2 = 20;

2) -6 не удовлетворяет условию задачи, значит, за 20 дней выполнит всю работу первый рабочий, а второй - за 30 дней.

Ответ: 20дней, 30 дней.

№616. Предложить задачу на дом.

Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной для этого требуется на 5 дней больше чем другой?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности Работа

(1)

Время

(дни)

Производительность

Первая бригада 1 X
Вторая бригада 1 Х+5
Совместно 1 6

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) =;

Ответ: 10 дней, 15 дней.

Используя этот способ, можно решить задачу.

№703*.

Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=; умножив на Х (Х+9) + (Х+4) ? 0, получим:

2 + 13Х = Х2 + 4Х +9Х + 36,

Х2 = 36;

Х1,2 = +6;

2) - 6 не удовлетворяет условию задачи. За 6 дней соберут весь хлопок два комбайна; за 10 дней - второй комбайн и за 15 дней - первый.

Ответ: 15 и 10 дней.

№704*.

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9ч. больше времени, чем при пополнении через первую и вторую трубы, и на семь меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполниться бассейн через обе трубы?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=;

х1,2 = +12.

x = -12 - не удовлетворяет условию задачи. За 12 часов наполнится бассейн.

Ответ: 12ч.

№706*.

Два слесаря получили заказ. Сначала 1ч работал первый слесарь, затем 4ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Первый слесарь, работая один, за 1 час выполнил работу , и работая совместно, выполнили работу , что по условию равно 40% всего заказа, т.е.

2,5 не удовлетворяет условию задачи, т.к. второй слесарь работал на 5 ч меньше, то есть 2,5 - 5 = - 2,5, что не выполнимо.

2) За 25 ч. может выполнить заказ первый слесарь и за 20 ч. второй слесарь.

Ответ: 25ч и 20ч.

Алгебра 9 класс. Учебник авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, СБ. Суворова.

№1150. (Задачи повышенной трудности).

За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч., то для окончания работы первому требовалось бы 10ч., а второму 15ч.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Вид деятельности Работа

(1)

Время

(ч)

Производительность

Первый рабочий 1 10 Х
Второй рабочий 1 15 Y
Третий рабочий 1 48

1) работа, выполненная вторым и третьим рабочими.

работа, выполненная первым и третьим рабочими.

Составим и решим систему:

2)

Таким образом,

- производительность первого рабочего,

- производительность второго рабочего,

- производительность третьего рабочего.

3) = 50ч - время первого рабочего,

= 75ч - время второго рабочего,

= 60ч - время третьего рабочего.

Ответ: 50ч; 75ч; 60ч.

№324*

Бассейн наполняется через первую трубу на 5ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5ч, а затем одну вторую на 7,5ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Составим и решим уравнение:

- 2,5 не удовлетворяет условию задачи.

Тогда первая труба заполняет бассейн за 10 ч и производительность первой трубы.

Вторая труба заполняет бассейн за 15 ч и ее производительность .

- совместная производительность.

Следовательно, две трубы наполняют бассейн при совместной работе за 6ч.

Ответ: 6ч.

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *