Статья по математике на тему: Решение задач путем составления уравнения

Решение задач путём составления уравнения

        Современное содержание математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие младших школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.

        Данный аспект является главным в развитии личности ученика, так как мышление влияет на воспитанность человека. Достаточная подготовленность к мыслительной деятельности снимает психологические нагрузки в учении, предупреждает неуспеваемость, сохраняет здоровье.

        Важнейшим фактором в развитии мыслительных операций служат педагогические системы развивающего обучения. К такой системе относится методика обучения по УДЕ.

        Одна из основных целей технологии УДЕ – создание действенных и эффективных условий для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала, расширение математического кругозора.

        В основу технологии УДЕ положен принцип: чтобы обучать ускоренно и при высоком уровне знаний, необходимо рассматривать целостные группы взаимосвязанных понятий. В триадах задач реализуется фактор дополнительности подсознательных механизмов познания.

        Триада означает выполнение учеником на одном уроке:

1. готового упражнения;
2. обращение этого задания и самостоятельное обобщение решенной задачи;
3. составление новой задачи и её решение.

        Этот приём даёт хороший эффект в обучении, так как он побуждает учащихся осмысливать и усваивать материал на основе более высокой степени обучения.

        Вопрос преемственности между начальным и средним звеньями обучения очень актуален.

        В среднем звене школы ученики, например, на уроках математики обучаются решению задач путём составления уравнения, и учителя сталкиваются с недопониманием учащимися этой темы. А решать задачи путём составления уравнения можно уже в начальной школе с использованием технологии УДЕ.

        Сделаем срез методики обучения решению задач путём составления уравнения.

1. Подготовительный этап

а) Выражение с окошечками:         3 + 1 = 4                    + 1 = 4

                                        3 + 1 =                    3 +    = 4

б) Знакомство с понятиями «слагаемое» и «сумма»:

3 + 1 = 4

        3 и 1 – слагаемые. Числа, которые складываются, называются слагаемыми.

        4 – сумма. Число, которое получается в результате сложения, называется суммой.

в) четверка примеров:

3 + 1 = 4                4 – 1 = 3

1 + 3 = 4                4 – 3 = 1

2. Триада задач (на нахождение суммы и неизвестного слагаемого)

Прямая задача	Обратная задача	Обратная задача
на нахождение суммы	на нахождение неизвестного слагаемого	на нахождение неизвестного слагаемого
У Ромы 4 тетради в клетку, 3 тетради в линейку. Сколько всего тетрадей у Вити?	У Ромы 4 тетради в клетку, остальные в линейку. Всего 7 тетрадей. Сколько у Ромы тетрадей в клетку?	У Ромы 3 тетради в линейку, остальные в клетку. Всего у него 7 тетрадей. Сколько У Ромы тетрадей в клетку.
4, 3,	4,    , 7	, 3, 7
Решение: 4 + 3 = 7 (т.)	Решение: 7 – 4 = 3 (т.)	Решение: 7 – 3 = 4 (т.)

3. Решение задач путём составления уравнения

        

Решим пример:         5 + 3 = 8         Числа 5 и 3 – слагаемые.         Результат сложения – число 8.

Пусть неизвестно второе слагаемое. Обозначим неизвестное слагаемое х (икс). Мы получили равенство – уравнение.         5 + х = 8         Требуется найти число х. используем правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы (8) вычесть известное слагаемое (5)         5 + х = 8         х = 8 – 5         х = 3         Это задача на нахождение неизвестного слагаемого.

        

        Далее предлагается ребятам составить третью задачу из триады, но с другим неизвестным компонентом (3). Решив триаду задач, ученики рассмотрели взаимосвязь взаимно-обратных задач и научились составлять уравнения для решения задач. На таком же принципе строится знакомство с решением задач на нахождение неизвестного уменьшаемого и неизвестного вычитаемого.

        Начиная с таких простейших задач, закрепляя умение выделять неизвестное в задаче и обозначать его алгебраически, умение составлять уравнение, и, решив это уравнение, найти неизвестное, можно уже без затруднения в четвертом классе (1 – 4) начальной школы решать с детьми более сложные задачи путём составления уравнения.

        Задача

        Две швеи шили одинаковые платья. Первая сшила 5 платьев, а вторая – 3 платья. Они израсходовали 32 м ткани. Сколько метров ткани израсходовали каждая швея в отдельности?

        Краткая запись задачи:

	Расход на 1 платье	Количество платьев	Общий расход
I швея	ОДИНАКОВЫЙ	5	? м                ? м      32 м
II швея		3

          

        Рассмотрим два способа решения задачи:

I способ: Сколько платьев сшили из 32 м ткани?         5 + 3 = 8 (пл.) Сколько метров ткани израсходовали на одно платье?         32 : 8 = 4 (м) Сколько метров ткани израсходовала каждая швея?         4 · 5 = 20 (м) – I швея         4 · 3 = 12 (м) – II швея

II способ:         Пусть на одно платье уходит х м ткани. (5 х) м ткани уходит на 5 платьев.         (3 х) м ткани уходит на 3 платья. Всего на все платья уходит 32 м ткани.         5 х +3 х = 32         8 х = 32         х = 32 : 8         х = 4 (м) – ткани израсходовали на одно платье         4 · 5 = 20 (м) – израсходовала I швея         4 · 3 = 12 (м) – израсходовала II швея

          Обратная задача

        Две швея сшили 8 одинаковых платье. Первая швея израсходовала 20 м ткани, а вторая – 12 м ткани. Сколько платьев сшила каждая швея?

        Рассмотрим решение задачи с помощью составления уравнения.

        Пусть на одно платье уходит х м ткани. На все платье ушло (8 х) м ткани.

        20 +12 = 8 х

        32 = 8 х

        х = 32 : 8

        х = 4 (м) – ткани израсходовали на одно платье

        20 : 4 = 5 (пл.) – сшила I швея

        12 : 4 = 3 (пл.) – сшила II швея

        Я надеюсь, что различные способы решения задач, а также решение задач уравнением заинтересуют учителей начальных классов. Но это маленькая часть из методики укрупнения дидактических единиц, решающая проблему преемственности в обучении математики учащихся начального и среднего звеньев общеобразовательной школы.

         

Уравнение. Решение задач с помощью уравнений

«Уравнение. Решение задач с помощью уравнений»

Тип урока: введение новых знаний.

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение ясно и точно излагать свои мысли.

Метапредметные: умение понимать и использовать средства наглядности. Предметные: научиться решать уравнения и составлять их при решении задач

Оборудование: проектор, ноутбук, учебник «Математика. 6-й класс», раздаточный материал для самостоятельной работы, карта самооценки.

личностные: самоопределение, смыслообразование;

коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

УУД: познавательные: анализ и классификация объектов

регулятивные: целеполагание; определение и осознание того , что уже известно и что нужно усвоить

коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

личностные: умение ясно и точно излагать свои мысли

познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели

ХОД УРОКА:

1.Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (выслушиваются варианты ответов учеников). Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный учёный Ал — Бируни:
«Знание – самое превосходное из владений.

Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

А Дистервег ответил:……… на слайде

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

2.Актуализация знаний

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с математическим языком, учились составлять числовые и буквенные выражения, а потом познакомились с понятием уравнение…

Вставьте пропущенные слова так, чтобы получилось верное высказывание(на листах)

Но умение решать уравнения необходимо для того, чтобы решать какие-то практические задачи.

3.Целеполагание и мотивация

Историческая справка:

А вы хотите узнать, кто и когда придумал уравнение?

Представьте себе, что первобытная мама сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать каждому из своих четырех детей. Вероятно, она не умела считать не только до 12 , но и до четырех, и уж несомненно не умела делить 12:4. А яблоки она делила так: сначала дала каждому по яблоку, потом еще по одному ,потом еще по одному и тут увидела, что яблок больше нет и дети довольны. Если записать эти действия на современном математическом языке, то получим x*4=12, т.е. мама решила задачу на составление уравнения. !!!! По-видимому, ответить на поставленный вопрос невозможно.

Задачи, приводимые к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла, с того времени, как они стали людьми. Еще за 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приемы были не похожими на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше…

Итак, сформулируем тему урока. (Уравнение. Решение задач.)(ребусы слайд)

Задача на слайде, решаем.

Такую задачу можно решить при помощи уравнений, давайте посмотрим как это сделали

4.Введение новых знаний
Как у любой задачи при решении задач с помощью уравнений есть свой алгоритм действий

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо последовательно выполнить следующие шаги:

* обозначить то, что нужно найти буквой (переменной, неизвестной)

* составляем краткое условие

* согласно условию задачи, используя математический язык, составить уравнение

* решить уравнение….

*ответить на поставленный вопрос…

Переведите условие задачи на математический язык(на листах)+ открытки на листах

ОТДОХНЁМ…

5.Первичное закрепление. Разберем задачи на листах

«Решение задач на составление уравнений»

Урок математики в 6-м классе по теме

«Решение задач на составление уравнений»

Цель деятельности учителя: создать условия для формирования навыков решения задач на составление уравнений.

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: осознают причины успеха/неуспеха учебной деятельности; понимают важность и необходимость знаний для человека.

Предметные: умеют составлять математическую модель реальной ситуации, решать уравнение по правилам.

Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

познавательные: владеют общим приемом решения задач; умеют проводить информационно-смысловой анализ текста, приводить примеры;

регулятивные: различают способ и результат действия;

коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Дидактические материалы:

1. Учебник авт. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович “Математика. 6 класс”. М.: Мнемозина, 2009 г.

2. И.И.Зубарева, М.С.Мильштейн, В.Г.Гамбарин “Мультимедийное приложение” к учебникам “Математика, 5 класс”, “Математика, 6 класс” авторов И.И.Зубаревой, А.Г.Мордковича.

3. Компьютерная презентация урока в POWER POINT.

Сценарий урока.

1. Организационный этап

Добрый день, присаживайтесь!

2. Этап актуализация знаний.

– Ребята. Сегодня у нас необычный урок. Мы начнём знакомство  с основами математического моделирования. Узнаем, как моделирование помогает решать задачи. С моделями мы встречаемся с детства. 

(Примеры приводят ученики) (Слайд №1)

“Откроем тетради, запишем тему урока. В начале урока не забудьте нарисовать в тетради смайлик. Какое у вас настроение?” Вы привели несколько примеров различных моделей. Но мы будем говорить о математических моделях.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов, выраженных в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. (Слайд №2)

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями.
Математическое моделирование – это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью.

– Сегодня на уроке мы научимся использовать математическое моделирование для решения задач.

Слайд №3 «Для начала мы начнем с разминки» (работа в парах с взаимной проверкой по образцу)

Один ученик получает индивидуальное задание на карточке:

Реши задачу: Мастер и ученик вместе за 1 час изготовили 120 деталей. Сколько деталей изготовил ученик за 1 час, если мастер сделал на 20 деталей больше?

3. Этап изучение нового материала

На прошлых уроках вы учились решать уравнения. А сегодня будите учиться решать задачи при помощи уравнения.

 Прочитаем  задачу (Слайд №4)

Мастер и ученик вместе за 1 час изготовили 120 деталей. Сколько деталей изготовил ученик за 1 час, если мастер сделал на 20 деталей больше?

Решая задачи в 5 классе, с чего вы начинали? (рисовали схемы, исходя из условия задачи), т.е. переводили текст задачи на математический язык и получали математическую модель ситуации.

Ученик, работавший по карточке, объясняет решение задачи:

Ученик — ?

Мастер – на 20 деталей больше

1. 1. 120-20 = 100 (дет.) – делает мастер и ученик

   2. 100: 2 = 50 (дет.) – делает ученик за 1 час

Ответ: 50 деталей

Но, кроме такого способа решения задач, существует еще один способ решения таких задач. И я вам сейчас о нем расскажу. В задачах, в которых обе величины неизвестны, одну из них обозначают переменной (чаще всего это меньшая из двух величин).

Составляем краткую запись в виде таблицы.

Итак получаем уравнение.

х+х+20 = 120

Решаем, полученное уравнение и получаем ответ на вопрос задачи.

Итак, решим еще одну задачу(слайд №5)

В классе 24 ученика. Известно, что девочек в 2 раза меньше, чем мальчиков. Сколько девочек и сколько мальчиков в классе?

Мальчики — ?

Девочки — ?, в 2 раза меньше, чем мальчиков

Девочек в два раза меньше, чем мальчиков. Отсюда, одна часть учащихся – девочки, а еще две такие части приходится на мальчиков.

1. 1 + 2 = 3 (части) – приходится на всех учеников класса;

2. 24 : 3 = 8 (уч.) – девочки;

3. 24 — 8 = 16(уч.) –мальчики.

Ответ : 8 девочек, 16 мальчиков.

Решим эту задачу другим способом.

Пусть х девочек в классе, тогда 2х — мальчиков.

Зная, что всего в классе 24 ученика, имеем уравнение:

2х + х = 24;

3х = 24;

х = 24:3;

х = 8.

8 девочек в классе;

24 – 8 = 16 мальчиков.

Ответ : 8 девочек, 16 мальчиков.

Сравните эти две задачи и назовите, что у них общего. Вывод делают ученики.

При решении задач: 1) Составили краткую запись, 2) Составили уравнение, 3) Решили уравнение и 4) Записали ответ.

Открываем учебники п.20, читаем «Проверь себя!» и делаем вывод.

4. Этап первичное осмысление и закрепление знаний

Слайд №6. Выполнение № 595(у доски и в тетради)

5. Физминутка (проводит физорг класса)

Дети, повторяйте: хлопать начинайте,
Дружно наклоняйтесь. Дружно покачайтесь.
Вместе покивайте, вместе поморгайте,
Ручки вы потрите, ручкой помашите!

(Читает стишок и все вместе выполняют то, что в нём говорится)

6. Этап закрепление изученного материала

Работа в парах. Выполните № 596 самостоятельно. По окончании поменяйтесь тетрадями с соседом и проверьте. Один ученик работает за доской.

Решение:

1. Составление математической модели

х+21,6 = (х+3,4)•3

2. Работа с математической моделью.

1) х – 3х = 10,2 – 21,6

-2х=-11,4

х = (-11,4):-2

х =5,7 (м) – глубина 1 скважины

2) 5,7+3,4 = 9,1 (м) – глубина 2 скважины

3. Ответ на вопрос задачи.

Ответ: 5,7м, 9,1м.

7. Этап подведение итогов. Домашнее задание.

— Наш урок подходит к концу, с начала запишем домашнее задание, затем подведем итоги.

На доске: Домашнее задание: П. 20, № 594(разобрать по учебнику), №597, тетрадь для см.р. стр. 73, упр. 3.

— А теперь подведем итоги: Что мы хотели узнать? Что мы узнали? На все ли вопросы мы получили ответы?

— Достигли ли вы поставленной цели?

— Давайте еще раз вспомним, как решить задачу с помощью уравнения? (Выделить три этапа математического моделирования)

Оценки за урок.

— Итог урока каждый из вас подведет с помощью телеграммы; то есть в виде одного краткого предложения, которое выразит ваше отношение к уроку

“Всем спасибо, урок окончен!”

Решение задач с помощью квадратных уравнений

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение задач сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений особых трудностей не вызывает, если знать основные формулы.

Поэтому очень важно при решении задач научиться составлять квадратные уравнения, т.е. переводить условия задач на математический язык.

Решение несколько задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Задача 1. В зрительном зале рядов в 2 раза больше, чем мест в каждом ряду. Если при перепланировке зала число рядов увеличить на 1, а число мест в каждом ряду увеличить на 8, то в зале будет 500 мест. Сколько мест в зале?

Решение:

Обозначим за  – число мест в ряду. Тогда  – число рядов. Число мест после перепланировки будет , а число рядов

. Так как по условию задачи после перепланировки число мест в зале будет равно , то можем составить уравнение:

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите его катеты, если их сумма равна 14 см.

Решение:

По теореме Пифагора , где

 и  – катеты,  – гипотенуза. Пусть  (см) – длина одного из катетов. Тогда  см – длина второго катета. По условию задачи известно что гипотенуза прямоугольного треугольника равна  см. Составим уравнение:

Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с в квадрате и не учитывая сопротивление воздуха, найдите, через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м.

Решение.

Итоги:

Итак, мы решили несколько разных текстовых задач. Обратите внимание, что оформлять решения задач можно и значительно короче. Только необходимо показать, какое неизвестное обозначается буквой. Записать уравнение. Решить его. И сделать вывод о том, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Ну и, конечно же, не забыть ответить на вопрос задачи.