Задачи на удвоенное число 4 класс: Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности

Содержание

Урок математики в 3-м классе по теме «Решение задач на нахождение двух величин по сумме и разности»

Основные цели урока:

1) формировать способность к решению задач на нахождение значений двух величин по их сумме и разности;

2) тренировать навыки устных вычислений, прием умножения многозначного числа на однозначное число, способность к составлению буквенных выражений и графических моделей к текстовым задачам;

3) развивать мыслительные операции, внимание, речь, коммуникативные способности, интерес к математике.

Демонстрационный материал:

1) презентация.

Раздаточный материал:

1) индивидуальное задание для затруднения;

2) карточка для этапа рефлексии;

3) конверты с полосками зелёного и чёрного цветов для этапа 4.

Ход урока

1. Самоопределение к учебной деятельности:

— Доброе утро всем.

Предлагаю сегодня работать под новым девизом.

1 слайд

Удача приходит тем, кто её добивается

— Как вы понимаете значение этого выражения?

— Какие качества характера понадобятся вам для успешной работы?

— Ждёт сегодня нас удача, если мы решим (хором) задачу.

— А какие знания понадобятся для решения задач?

— Сегодня на уроке мы будем решать задачи. Пусть каждому из вас сопутствует удача, а я вам помогу.

2.Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

2–4 слайды

— Начнем работу с решения примеров. Называем ответы примеров.

— Что привлекло ваше внимание?

12 2 156+25+44 (35 +15) 2

27 2 231+11+19 (44 +18) : 2

38 : 2 564-36-64

(58 — 34) : 2

Индивидуальное решение задач.

5 слайд

— Возьмите из конверта листки с задачами. Прочитайте и проанализируйте первую задачу. Заполните схему, запишите под схемой решение на листках.

В магазин для продажи завезли a пачек чёрного чая, а зелёного – на n пачек меньше. Сколько пачек чая завезли в магазин? (a+(a-n) (п.) – чая завезли в магазин)

— Вы хорошо справились с первой задачей, на обратной стороне листа – вторая задача.

Задание прежнее. Заполните схему, решите вторую задачу.

В магазин для продажи завезли a пачек чая, причём зелёного на n пачек меньше, чем чёрного. Сколько пачек чая каждого вида завезли в магазин? (a-n):2 (a-n):2+n

Появляются разные решения задач, так как задачи нового вида ещё не изучались.

На доске вывешиваются разные варианты работ.

— Что получилось?

3. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

— Какое задание выполняли?

— Почему так получилось?

— Чем похожи задачи?

— Чем вторая задача отличается от первой? (В первой задаче a — это число пачек чёрного чая, а во второй – a — это число пачек чёрного и зелёного чая вместе.)

— Давайте внимательнее рассмотрим задачу, которая вызвала затруднение.

-Что требуется найти? (Количество чёрного и зелёного чая, завезённого в магазин.)

— Сколько величин мы должны найти? (Две величины — количество чёрного и зелёного чая.)

— Вы правильно заметили, что во второй задаче неизвестно число и чёрного, и зелёного чая, то есть нам надо найти значение двух величин, должны получить два ответа.

— Что известно? (Сумма a и разность n чёрного и зелёного чая.)

6 слайд

— Как можно было бы назвать новый тип задач?

— Какова ваша цель? (Научиться решать задачи по сумме и разности. )

— Вы правильно догадались, тема сегодняшнего нашего урока.

Решение задач на нахождение значений двух величин по сумме и разности.

7 слайд

Появляется на экране тема урока.

4. Построение проекта выхода из затруднения.

— Как вы предлагаете действовать?

— Предлагаю убедиться в правильности хода решения второй задачи. Возьмите из конверта полоски бумаги.

У каждого ребёнка в руках 2 полоски цветной бумаги, изображающие число пачек соответственно чёрного и зелёного чая.

— Сколько полосок?

— Что вы можете сказать о длине полосок? Какую длину имеет чёрная полоска по отношению к зелёной полоске?

— Покажите полоску, которая могла бы соответствовать числу пачек чёрного чая.

— Покажите полоску, которая подходит число пачек зелёного чая.

— Что в задаче означает a?

— Вы сложили две полоски, а как называется результат при сложении?

— Как можно показать с помощью полосок, чему равна сумма a?

— А как показать на полосках разность n?

— А как уравнять количество разных пачек?

— Сколько стало пачек? Назовите буквенное выражение своего действия. a-n

— Обратите внимание на размер полосок.

— Значит, две эти маленькие полоски равны

a-n. А чему равна одна — меньшая? (a-n):2

Появляется запись на слайде.

— Что означает это выражение?

— А как теперь узнать большее число? (a-n):2+n

— Мы ответили на вопрос задачи? (Да.)

10–11 слайды

— Как мы шагали? Прочитайте первое действие или шаг.

Путь решения можно зафиксировать в виде последовательных операций: a-n —> (a-n):2 —> (a-n):2+n

(Для того, чтобы найти значение двух величин по сумме и разности, надо из суммы вычесть разность и поделить пополам, получим меньшее число, потом к меньшему числу прибавить разность, получится большее число.)

— Мы нашли сначала удвоенное меньшее число. А теперь попробуйте построить способ решения, когда вначале находится удвоенное большее число.

Кто сможет сделать?

Аналогично рассуждая, учащиеся строят последовательность операций: a+n —> (a+n):2 —> (a+n):2-n

(Для того, чтобы найти значение двух величин по сумме и разности, надо к сумме прибавить разность и поделить пополам, получим большее число, потом из большого числа вычитаем разность, получится меньшее число.)

Вывод: При вычитании суммы и разности получается удвоенное меньшее число, а при сложении – удвоенное большее число.

— Если из суммы вычесть разность и поделить на 2, находится какое число? Меньшее или большее? А если к сумме прибавить разность и поделить на 2, то какое число находится?

Физкультминутка.

5. Первичное закрепление во внешней речи.

Решение задачи с комментированием.

1 способ.

(Известна сумма и разность числа учеников обоих классов, можно искать числа учеников по алгоритму: сначала найдем разность 56 и 2, разделим её пополам – получим меньшее число, то есть число учеников второго класса, и прибавим к нему 2 – получим большее число, то есть число учеников второго класса.

)

2 способ.

(Известна сумма и разность числа учеников обоих классов, можно искать числа учеников в классах по алгоритму: сначала найдем сумму 56 и 2, разделим её пополам – получим большее число, то есть число учеников первого класса, и вычтем из него 2 – получим меньшее число, то есть число учеников второго класса.)

Запись решения задачи. (Один ученик – у доски, а остальные – в учебниках)

1) 56-2=54 (чел.) — удвоенное меньшее число (удвоенное число учеников во втором классе).

2) 54:2=27 (чел.) — во втором классе.

3) 27+2=29 (чел.) — в первом классе.

Ответ: 29 человек; 27 человек.

— Можно ли иначе найти число учеников во втором классе?

— А какой способ удобнее?

— А как можно проверить, верно ли решена задача? (Найти разность и сумму полученных чисел: 29+27=56, 29-27=2)

— А ещё каким другим способом можно решить задачу? (Сначала найти большее число, а затем - меньшее)

1) 56+2=58 (чел. ) — удвоенное число учеников в первом классе.

2) 58:2=29 (чел.) — в первом классе.

3) 29-2=27 (чел.) — во втором классе.

Ответ: 29 человек; 27 человек.

— Решение задачи № 3 (а) в тетради.

Совместно на доске заполним схему, а в тетрадях запишите решение.

1 способ

1) 248-8=240 (м.) — удвоенное число марок у Пети.

2) 240:2=120 (м.) — число марок у Пети.

3) 120+8=128 (м.) — число марок у Мити.

Ответ:120 марок; 128 марок.

2 способ

1) 248+8=256 (м.) — удвоенное число марок у Мити.

2) 256:2=128 (м.) — число марок у Мити.

3) 128-8=120 (м.) — число марок у Пети.

Ответ:128 марок; 120 марок.

6. Самостоятельная работа.

Выполнение № 2 на странице 8 в учебнике.

Самостоятельная работа детей с самопроверкой.

12 слайд

1 способ

1) 18-4=14 (кг) — удвоенная масса продуктов в первой сумке.

2) 14:2=7 (кг) — масса продуктов в первой сумке.

3) 7+4=11(кг) — масса продуктов во второй сумке.

Ответ: 7 кг; 11 кг.

2 способ.

1) 18+4=22 (кг) — удвоенная масса продуктов во второй сумке.

2) 22:2=11 (кг) — масса продуктов во второй сумке.

3) 11-4=7 (кг) — масса продуктов в первой сумке.

Ответ: 7 кг; 11 кг.

Организация взаимопомощи детей.

Домашнее задание: № 3 (б) на странице 8.

7. Включение в систему знаний и повторение.

Решение примеров № 5 со страницы 9.

Решение уравнений № 6.

8. Рефлексия деятельности.

— Два главных вопроса урока: что изучали и что узнали?

— Какова цель сегодняшнего нашего урока?

— Как называются задачи нового типа?

— Удалось ли достичь цели?

— Что помогло для достижения цели?

— Что обязательно должно быть известно для решения этих задач?

— Вы довольны своей работой?

— Вы сможете сказать, на сколько удача была с вами, как старательно вы её добивались?

— Оцените, свои успехи знаком “+” напротив близкой вам фразы.

13 слайд

Да, я умею решать задачи по сумме и разности.

Не хватает уверенности в решении задач по сумме и разности, но я стараюсь.

Пока я затрудняюсь в решении задач по сумме и разности.

— Над чем вам ещё можно поработать?

— Какие качества вам помогали, а какие качества мешали при работе?

— Дома несколько раз проговорите ещё раз алгоритм решения задачи и желающие могут составить задачу на нахождение значений двух величин по их сумме и разности.

14 слайд

Спасибо за работу на уроке и желание добиться успеха.

«Решение составных задач на нахождение величин по их сумме и разности»

Урок математики в 3 классе по теме:

«Решение составных задач на нахождение величин по их сумме и разности»

Математика, 3 класс, урок 4 (II часть) (Автор: Л. Г.Петерсон)

Цели: учить решать задачи нового вида; повторить нумерацию чисел, порядок выполнения действий; формировать вычислительные навыки; способствовать развитию внимания, памяти, мышления.

Тип урока: открытие нового знания.

Девиз урока: «Где есть желание, там всегда найдется путь».

Ход урока

  1. Организационный момент

У. Прочитайте незаконченное высказывание. (Последнее слово закрыто.)

Д. «Где есть желание, там всегда найдется …».

У. Как вы думаете, как можно продолжить эту фразу? (Ответы детей.)

Открыть продолжение фразы.

«Где есть желание, там всегда найдется путь».

У. Как вы понимаете смысл этого высказывания? Подходит ли оно к уроку математики? Почему? (Ответы детей. )

У. Скажите, пожалуйста, с желанием ли вы решаете задачи? Почему? (Ответы детей.)

У. У кого из вас есть желание отправиться дальше в путь по стране Математике и научиться решать задачи нового типа?

У. Тогда все вместе – в путь!

  1. Актуализация знаний

  1. Работа в парах по карточкам.

У. Выполните действия и вставьте числа в «окошки»».

Проверка по эталону.

  1. У. Прочитайте числа на доске.

40.150.763.007; 507.040 г; 5.000.007.

У. Какое число лишнее? Почему?

Д. 507.040 г – именованное число.

У. Вырази его в более крупных единицах измерения.

Один ученик работает с объяснением у доски.

  1. Постановка темы урока

У. Прочитайте задачу на доске.

В двух классах 56 человек, причём в первом классе на 2 человека больше, чем во втором. Сколько человек в каждом классе?

У. Подумайте, как вы будете решать задачу?

Д. Задачу решить не можем.

У. Сформулируйте цель урока.

Д. Научиться решать задачи нового вида.

  1. «Открытие» нового знания

У. Что надо сделать, если возникло затруднение?

Д. Надо остановиться и подумать.

У. Почему у вас возникло затруднение? Что необычного во второй задаче?

Д. Есть целое, а части неизвестны.

У. Что ещё известно?

Д. Что в первом классе на 2 человека больше, чем во втором.

У. А что было бы, если бы в первом классе этих двух человек не было?

Д. Детей в этих классах было бы поровну.

У. Тогда в двух классах было бы не 56, а сколько?

Д. 54 чел.

У. Выполнять задание вы будете в группах. Вспомним основные правила работы в группах.


У. Что обычно вам помогает при решении любой задачи?

Д. Схема.

У. Обратитесь к ней за помощью.

Учащиеся работают самостоятельно 5 минут.

Через пять минут представители каждой группы вывешивают результаты работы на доску. Одна из групп озвучивает, как они получили результат, остальные дополняют и уточняют.

Д. Наша группа считает, что надо решать задачу так…

Решение:

1. 56 – 2 = 54 (чел.) – удвоенное число учеников во 2 классе.

2. 54 : 2 = 27 (чел.) – во 2 классе.

3. 27 + 2 = 29 (чел.) – в 1 классе.

У. Такие задачи называют задачами на нахождение величин по их сумме и разности.

Д. Как бы вы назвали тему урока?

У. Решение задач на нахождение величин по их сумме и разности.

Д. Попробуем создать алгоритм решения задачи по сумме и разности.

Алгоритм решения задачи по сумме и разности

Повесить карточку доску.

У. Что вы можете найти, зная сумму одинаковых отрезков?

Д. Длину одного отрезка.

У. Длину какого отрезка вы получили?

Д. Длину меньшего отрезка.

Повесить карточку доску.

У. Как теперь найти длину большего отрезка?

Д. Надо к меньшему числу прибавить разницу.

Повесить карточку доску.

У. Итак, алгоритм чего вы сейчас создали?

Д. Алгоритм решения задачи по сумме и разности.

Физкультминутка

У. Прочитайте числа 56.789 и 98.765. Что заметили? Работаем с большим числом.

— Наклонитесь столько раз, сколько единиц в разряде десятков тысяч.

— Сколько раз наклонились? (9 раз.)

— Присядьте столько раз, сколько единиц в разряде сотен единиц.

— Сколько раз присели? (7 раз.)

— Подпрыгните столько раз, сколько единиц в разряде тысяч.

— Сколько раз подпрыгнули? (8 раз.)

  1. Первичное закрепление с проговариванием вслух

№ 4 (стр. 9)

У. Можете ли вы использовать новые знания при решении примеров из № 4 (стр. 9)?

Д. Да.

У. Верно. Так же можно решать не только задачи, но и примеры.

а) 15 – 3 = 12, 12 : 2 = 6, 6 + 3 = 9. (6 и 9)

б) 132 – 48 = 84, 84 : 2 = 42, 42 + 48 = 90. (42 и 90)

У. Составим алгоритм решения одним общим способом.

в) (c – d) : 2 – I число; (c – d) : 2 + d – II число.

г) (y – x) : 2 – I число; (y – x) : 2 + x – II число.

У. Вы готовы проверить себя?

Д. Да.

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону: № 2 (стр. 8).

Эталон

  1. 18 – 4 = 14 (кг.) — удвоенное число продуктов в 1 сумке.

  2. 14 : 2 = 7 (кг.) — в 1 сумке.

  3. 7 + 4 = 11 (кг.) — во 2 сумке.

Ответ: 7 кг. в 1 сумке, 11 кг. во 2 сумке.

У. Проверьте себя по эталону для самопроверки и зафиксируйте результат при помощи смайликов.

У. Поднимите руки, у кого задание не вызвало затруднение?

  1. Повторение ранее изученного материала

№ 8 (в паре) – 1 груша, т. к. 2 яблока = 1 груша.

№ 9 (а) (Проверка по эталону на доске.)

40.800 · (3.500 : 70) : 100 – 328 · 60 = 720.

1) 3.500 : 70 = 50; 2) 40.800 · 50 = 2.040.000; 3) 2.040.000 : 100 = 20.400;

4) 328 · 60 = 19.680; 5) 20.400 — 19.680 = 720.

  1. Подведение итогов урока

У. Какие новые знания получили?

— Сможете дома сами решить задачу на нахождение величин по их сумме и разности?

— Расскажите путь решения задачи по сумме и разности по алгоритму.

— Кто доволен своей работой?

— Оцените свою работу на уроке с помощью таблицы.

Учащиеся работают с таблицей для индивидуальной рефлексии.

У. Оцените цветом свою работу на уроке.

Я думаю, что сегодня все могут поздравить себя и друг друга с успехом, которого вы все добились в открытии нового знания. Урок окончен. Спасибо за работу.

Домашнее задание:

№ 9 (б), стр. 9.

Попробовать найти другой способ решения задач по сумме и разности и придумать алгоритм их решения, изобразить на листочке.

Попробовать придумать свою задачу по сумме и разности, записать ее условие на карточке и решить в тетради.

Шаги учебной деятельности

Конспект урока по математике по теме «Решение задач по сумме и разности» для 3 класса — Математика — Начальные классы

Подгайко Ирина Юрьевна

МОАУ для детей дошкольного и младшего школьного возраста прогимназия

Учитель начальных классов

Конспект урока по математике «Школа 2100», 3 класс

Тема: «Решение задач по сумме и разности»

Цель: Формировать способность к решению задач на нахождение значений двух величин по их сумме и разности.

Тренировать навыки устных вычислений, приём умножения многозначного числа на однозначное, способность к решению простых уравнений всех видов, составлению буквенных выражений и графических моделей к текстовым задачам.

Развивать мыслительные операции, внимание, речь, коммуникативные способности, интерес к математике.

Ход урока.

1.Орг. момент.

2.Актуализация знаний.

Класс разделён на группы по 4 человека в каждой. По одному человеку из трёх команд выходят к доске для индивидуальной работы. В это время класс пишет математический диктант, Причём по одному человеку из команд, не представленных у доски, получают для записи ответов переносные доски. В ходе урока за верные ответы команды получают фишки- очки, которые суммируются при подведении итога в конце урока.

2.1.Математический диктант.

-Уменьшите число 244 в 2 раза . (122)

-Найди произведение 57 и 2 .(114)

-Число 350 уменьшить на 230.(120)

-На сколько 134 больше 8? (128)

-Число 1280 уменьшите в 10 раз.(128)

-Чему равно частное 363 и 3.(121)

-Сколько сантиметров в 1м 2дм 4см?(124)

Учащиеся, работавшие на переносимых досках, показывают свои решения. Ответы сравниваются, ошибки разбираются. Карточки с правильными ответами, на обратной стороне которых написаны буквы, учитель выставляет на доске.

-Какое число можно считать лишним в ряду ответов?(120- круглое, а остальные нет; 121- нечётное, а остальные чётные; 114- количество десятков равно 1, а у остальных 2- и т.д.)

-Ребята, а хотите узнать, кто к нам сегодня придёт в гости? Расположите ответы в порядке возрастания.

114 120 121 122 124 126 128

З А Й Ч А Т А

2. 2.Поверка индивидуальных знаний у доски

1. 2. 3.

68:4+57:3 3 12 +14 2 2 (14+18):1

75- 34:2 (81- 53) 2 – 49 25+ 16 2 – 15

(29 +69):7 +22 7 13- 12:6 (62-25) 2+ 15

-Три зайчишки — плутишки получили в день рождения подарки. Посмотрите, нет ли среди них одинаковых подарков?? Учащиеся проверяют работу представителей команд, находят примеры с одинаковыми ответами.

-Какие числа без пары? (число 7)

-Дайте характеристику этому числу. ( Однозначное, нечётное, предыдущее число 8, имеет 2 делителя –1 и 7 и т.д.

2.3. «Блицтурнир»

-Каждый учащийся получает индивидуальный листок с задачами и схемами:

а) У одной зайчихе, а колец, а у другой — на n колец

меньше. Сколько колец у них вместе?

б) У двух зайчих, а колец, причём у первой зайчихи

на n колец меньше, чем у второй. Сколько колец

у каждой зайчихи?

а ?

1. 1.

n ? n а

2. 2.

? ?

Учитель предлагает каждому ребёнку подобрать к задачам подходящие схемы, составить буквенные выражения, обсудить решение в командах, по одному представителю каждой команды записывают свои выражения на доске.

При разборе первой задачи учащиеся достаточно быстро приходят к общему мнению: а+(а-n) . Для второй задачи получаются разные ответы.. Какая же из команд заработала очко?

3.Постановка проблемы.

-Чем похожи задачи? (В обоих говорится, что у одной из зайчих на n колец меньше, чем у другой)) Чем вторая задача отличается от первой?(В первой задаче а – это число колец только у первой зайчихи, а во второй- сразу у двух зайчих)

-Молодцы! Вы верно заметили, что во второй задаче не известно число колец ни у одной из зайчих. А что известно?(Сумма и разность колец)

-Как бы вы назвали этот новый тип задач?

-Дети предлагают свои варианты. Отталкиваясь от них, учитель сообщает им принятое название. Итак, цель урока— научиться решать задачи, в которых значения двух величин надо найти по их сумме и разности. На доске открывается тема урока: Решение задач «по сумме и разности»

4. «Открытие» детьми нового знания.

У каждого ребёнка в руках 2 полоски цветной бумаги, изображающие число колец соответственно первой и второй зайчих:

n a

-Покажите полоску, изображающую число колец у первой зайчихи, у второй, у них вместе. Что обозначает а? (Сумму колец.) Покажите с помощью полосок, чему равно а?? А как показать на полосках значение разности n? ( Дети накладывают одну полоску на другую, фиксируют конец меньшей полоски и закрашивают разность полосок.)

-А как уравнять количество колец у обеих зайчих? ( Дети отгибают часть длинной полоски так, чтобы оба отрезка стали равными. )) Сколько колец стало? (а-n)

-Значит, две эти маленькие полосочки равны а-n. А чему равна она одна ?

((а-n):2))

-А теперь как узнать большее число?( Нужно к полученному числу прибавить n)

Путь решения можно зафиксировать в виде последовательности операций:

a -n (a-n):2 (a-n):2+n

-Мы нашли сначала удвоенное меньшее число. А теперь попробуйте построить способ решения, когда вначале находится удвоенное большее число.

Какая группа сможет это сделать быстрее?

a +n (a+n):2 (a-n):2-n

Вывод: при вычитании суммы и разности получается удвоенное меньшее число, а при сложении — удвоенное большее число.

5.Первичное закрепление.

1.стр.9.№1(а)

-Что известно в задаче и что нужно найти?? « Оденьте» схему и проанализируйте задачу.

-запишите решение с комментированием.

2.Задания № 4(а, в), стр. 9 распределяются в группы по одному выполняют задание: один проговаривает условие и вопрос задачи, другой объясняет, как заполнить схему заготовку, третий проговаривает, найти большее (меньшее) число, а четвёртый — как найти меньшее (большее) число. Проверка решения по образцу.

6. Физкультминутка.

7. Самостоятельная работа с проверкой в классе.

Стр.8 № 2

Корректировка ошибок: стр.9 № 49(б)

7.1. Повторение.

  1. №5. Стр. 9

  2. №8 стр. 9

8. Итог урока.

  • Что нового узнали?

  • С помощью чего построили алгоритм решения (с помощью полосок)

  • Посчитайте свои очки, кто как поработал?

  • Д/з по выбору № 3 стр.8, №10 стр.9

Используемая литература:

  1. Методические рекомендации по математике Л. Г.Петерсон для 3 класса

Урок 49. решение задач при помощи систем уравнений первой степени — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 49

Решение задач при помощи систем уравнений первой степени

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение задач.

• Система уравнений.

• Решение системы уравнений.

Тезаурус:

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Решить систему – это значит найти все её решения.

Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения или системы уравнений и последующего решения уравнения или системы.

Основная литература:

  1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

  1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
  2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
  3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим задачу. Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Мы не знаем, сколько овец у Ивана, и сколько у Петра.

Обозначим за х число овец у Ивана, а за у – число овец у Петра.

Мысленно разделим условие задачи на две независимые части:

1. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!»

2. А Пётр ему отвечает: «Нет, лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Для каждой из частей составим уравнение с двумя неизвестными.

Начнем с первой части.

Если бы Пётр отдал Ивану одну овцу, то у Петра осталось бы (у – 1) овец.

А у Ивана стало бы (х + 1) овец.

Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра.

Можем составить уравнение x + 1 = 2(y – 1).

Составим уравнение с двумя неизвестными для второй части. Если бы Иван отдал Петру 1 овцу, то у Ивана осталось бы (x – 1) овец. А у Петра стало бы (y + 1) овец, и тогда они имели бы овец поровну. Можем составить уравнение: x – 1 = y + 1

Мы составили два уравнения.

И в первом и во втором уравнении х обозначает число овец у Ивана, а у – число овец у Петра. Другими словами, каждое неизвестное число обозначает одно и то же в обоих уравнениях. Значит, эти уравнения можно рассматривать совместно, то есть объединить их в систему уравнений:

Решим эту систему способом подстановки.

Раскроем скобки в правой части первого уравнения.

Выразим х через у.

Подставим (2у – 3) вместо х во второе уравнение системы. Получим уравнение с одним неизвестным у.

Решим его. Упростим левую часть уравнения.

Перенесем неизвестные в левую часть. уравнения, а числа – в правую.

Подставим у = 5 в первое уравнение.

Получим х = 7.

Система имеет единственное решение: х = 7, у = 5.

Вернемся к исходным обозначениям.

Получаем, что у Ивана было 7 овец, а у Петра 5 овец.

Таким образом, мы решили задачу при помощи системы уравнений первой степени.

Задачи с помощью системы уравнений можно решать по следующей схеме.

Сначала вводим обозначения неизвестных.

Мысленно разделив условие задачи на две части, составляем 2 уравнения и объединяем их в систему.

Решаем полученную систему уравнений.

Возвращаемся к условию задачи и использованным обозначениям.

Отбираем решения и записываем ответ.

Разбор заданий из тренировочного модуля.

1. Решим задачу алгебраическим способом.

Задача.

Даны 3 числа, сумма которых равна 23. Если к удвоенному первому числу прибавить второе число и вычесть третье, то получится 32. А если из первого числа вычесть удвоенное второе и прибавить третье, то получится 8.

В задаче 3 неизвестные, поэтому введем следующие обозначения:

Пусть х – первое число, у – второе число, z – третье число.

Мысленно разделим условие задачи на 3 части, по каждой из которых составим уравнение с тремя неизвестными:

Вернёмся к условию задачи: первое число 15, второе число 5, третье число 3.

Ответ: 15, 5, 3.

Составим систему уравнений по условию задачи.

В трех сосудах 54л воды. Если из первого перелить во второй сосуд 4л, то в обоих сосудах будет воды поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 17л, то во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Сколько воды в каждом сосуде?  

Пусть x л воды было в первом сосуде, y л воды – во втором, z воды – в третьем. Значит, всего в трёх сосудах было x + y + z л воды, что равно 54 л. Составим уравнение: x + y + z = 54.

Когда из первого сосуда перелили 4 л воды во второй сосуд, то во втором сосуде стало y + 4 л воды, а в первом сосуде x – 4 л воды. По условию задачи воды стало в сосудах поровну. Составляем уравнение:

y + 4 = x – 4.

Если из третьего сосуда перелить во второй 17 л, то в третьем останется z – 17 л, а во втором станет y + 17 л. По условию задачи во втором сосуде окажется в 4 раза больше воды, чем в третьем. Можем составить уравнение: y + 17 = 4(z – 17).

Записываем систему уравнений:

2. Система уравнений по условию задачи.

Составим систему уравнений по условию задачи: 5% одного числа и 4% другого вместе составляют 46, а 4% первого числа и 5% второго вместе составляют 44. Найдите эти числа.

Формулы сокращенного умножения 💣

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 
  1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

  2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

  5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

  6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

  7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Поехали:

  1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

    + a * b — a * b = 0

    a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab

  1. Сгруппируем иначе: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2

  2. Продолжим группировать: a2 — a * b — b2 +a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)

  3. Вынесем общие множители за скобки:

    (a2 — a * b) + (a * b — b2) = a *(a — b) + b *(a — b)

  1. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)

  2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)

  3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a2 — b2.

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+ 2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

  1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y2 + 7 * y * x — 7 * y * x — x2 = 49 * y2 — x2.
  2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)2 — x2 = 49 * y2 — x2.

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂



Математика. Учебник для 4 класса ОУЗ с обуч. на рус. языке: В 2 частях Скворцова С.А., Оноприенко О.В. (Ранок), цена 300 грн

Математика. Учебник для 4 класса ОУЗ с обуч. на рус. языке: В 2 частях Скворцова С.А., Оноприенко О.В. Код:123-Т470049Р Количество страниц:144 Формат, мм:170х240 Вес:0.3350 кг Обложка:Тверда Язык издания:Рус. В отечественном учебнике впервые развернуто содержание обучения математике по логике компетентностного подхода. Содержание дидактически обосновано и взвешено, что обеспечивает соответствие возрастным особенностям учащихся. Учебное издание нового поколения. От авторов Государственного стандарта начального общего образования и учебной программы по математике для 1-4 классов СОДЕРЖАНИЕ Часть 1 Предисловие Нумерация трёхзначных чисел Арифметические действия сложения и вычитания, умножения и деления Зависимость результатов арифметических действий от изменения одного из компонентов Приёмы сложения и вычитания в пределах 1 000 Приёмы устного умножения и деления в пределах 1 000 Сюжетные задачи Деление с остатком Математические выражения Уравнения. Неравенства с переменной Величины. Части величин Проверь свои достижения Учись рассуждать Письменное умножение Задачи на нахождение четвёртого пропорционального Письменное деление на однозначное число Письменное умножение и деление на круглое число Письменное умножение на двузначное число Задачи на двойное приведение к единице Письменное деление на двузначное число Деление трёхзначного числа на двузначное Деление на двузначное число Задачи с буквенными данными Деление с остатком Проверь свои достижения Учись рассуждать Счётная единица — тысяча. Разрядные числа Чтение и запись многозначных чисел Образование многозначных чисел Сравнение многозначных чисел Сложение на основе разрядного состава числа Сложение и вычитание многозначных чисел на основе нумерации Общее количество единиц определённого разряда Арифметические действия с круглыми числами Задачи на совместную работу Именованные числа Умножение и деление круглых чисел Проверь свои достижения Учись рассуждать Арифметические действия сложения и вычитания Письменное сложение и вычитание многозначных чисел Письменное сложение в случае трёх слагаемых Задачи на нахождение трёх чисел по их сумме и суммам двух слагаемых Сложение и вычитание именованных чисел Решение задач Скорость движения Правило нахождения пути; времени движения Простые задачи с величинами: путь, скорость движения, время движения Задачи с величинами: путь, скорость движения, время движения Составные задачи с величинами: путь, скорость движения, время движения Проверь свои достижения Учись рассуждать Геометрические фигуры на плоскости Геометрические фигуры в пространстве Арифметические действия умножения и деления Письменное умножение многозначного числа на однозначное Письменное деление многозначного числа на однозначное Часть 2 Предисловие Задачи на пропорциональное деление Задачи на пропорциональное деление Умножение чисел, одно из которых оканчивается нулём Задачи на пропорциональное деление Решение задач Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям Умножение и деление именованных чисел Деление с остатком Письменное деление на однозначное число Решение задач Задачи, содержащие одинаковую величину Проверь свои достижения Учись рассуждать Умножение и деление на круглые числа Письменное умножение на двузначное и трёхзначное числа Деление чисел, оканчивающихся нулём Письменное деление на двузначное число Задачи на одновременное движение двух тел в разных направлениях Письменное умножение на трёхзначное число Умножение и деление именованных чисел Деление с остатком Задачи на процессы Творческая работа над задачей Проверь свои достижения Геометрические фигуры на плоскости Площадь фигуры Площади прямоугольника и квадрата Задачи на нахождение площади прямоугольника и обратные к ним Единицы площади Части целого Дроби Сравнение дробей Нахождение дроби от числа Нахождение числа по величине его дроби Составные задачи, включающие нахождение дроби от числа Составные задачи, включающие нахождение числа по величине его дроби Решение задач Проверь свои достижения Учись рассуждать Единицы времени. Сложение и вычитание именованных чисел Задачи на время Повторение. Арифметические действия сложения, вычитания, умножения и деления Повторение. Сюжетные задачи Повторение. Математические выражения, равенства и неравенства Повторение. Геометрические фигуры. Дроби Повторение. Единицы времени. Сложение и вычитание именованных чисел Проверь свои достижения Учись рассуждать Повторение

Текстовые задачи. Задачи на числовые зависимости

Задачи на числовые зависимости с решениями

перейти к содержанию курса текстовых задач

  1. Найти двузначное число, зная, что число его единиц на 2 больше числа десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение
  2. Ученику надо было умножить 78 на двузначное число, в котором цифра десятков втрое больше цифры единиц; по ошибке он переставил цифры во втором сомножителе, отчего и получил произведение, на 2808 меньшее истинного. Чему равно истинное произведение? Решение
  3. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти искомое двузначное число. Решение
  4. Остаток от деления натурального числаnна 12 равен 5; остаток от деления n на 16 равен 9. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных чисел n на 24?
  5. При каких натуральных число также будет натуральным? Решение
  6. При каких натуральных дробь сократима? Решение
  7. Сумма квадратов крайних чисел четырехзначного числа M равна 58. Сумма квадратов средних цифр этого числа равна 68. Сумма числа M и числа 4536 равна числу, записанному теми же цифрами числа М, но в обратном порядке. Найдите число M. Решение
  8. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то новое число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
  9. Докажите, что при любом натуральном
  10. Ученик должен был перемножить два трехзначных числа. Однако он не заметил знака умножения и принял оба рядом стоящих множителя за одно шестизначное число. Поэтому получившееся ошибочное число оказалось в 3 раза больше истинного произведения. Какие числа должен был перемножить ученик?
  11. Знаменатель несократимой дроби на 2 больше, чем числитель. Если у дроби, обратной данной, уменьшить числитель на 3 и вычесть из этой новой дроби заданную, то получится . Найти первоначальную дробь.

Задачи для самостоятельного решения

  1. Сумма двух чисел, умноженная на сумму квадратов этих чисел, равна 369, а разность их, умноженная на разность их квадратов, равна 9. Найдите числа. Ответ: 5 и 4
  2. Число 128 представлено в виде суммы четырех слагаемых так, что первое слагаемое относится ко второму как 2:3, второе к третьему — как 3:5, а третье к четвертому — как 5:6. Найдите эти слагаемые. Ответ: 16, 24, 40, 48
  3. Числитель несократимой дроби на 1 меньше, чем ее знаменатель. Если умножить числитель на 6, а знаменатель увеличить на 19, то получится дробь, обратная исходной. Найдите произведение числителя и знаменателя исходной дроби. Ответ: 36
  4. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. После деления этого числа на произведение его цифр в частном получается 3, а в остатке 11. Найти это число. Ответ:  83
  5. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке получится 3. Найдите это число, если разность квадратов его цифр по модулю в 2 раза больше квадрата разности его цифр. Ответ: 39
  6. Первое число при делении на второе дает в частном 2 и в остатке 3. Второе при делении на третье дает в частном 1  и в остатке 8. Третье число при делении на четвертое дает в частном 2 и в остатке 1. Найдите эти четыре числа, если их сумма равна 76. Ответ: 41, 19, 11, 5
  7. Сумма двух чисел равна 17, а сумма их кубов равна 1547. Найдите большее из этих чисел. Ответ: 11
  8. Сумма двух чисел равна 495. Одно из них оканчивается нулем. Если его убрать, то получится второе число. Найдите эти числа. Ответ: 450, 45
  9. Задумано натуральное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Результат уменьшили на 75% и еще раз вычли задуманное число. В итого получился нуль. Найдите задуманное числа. Ответ: 7
  10.  Первая цифра трехзначного числа равна 8. Если эту цифру поставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите исходное натуральное число. Ответ: 890
  11. Задано некоторое двузначное число, кратное 3. Если между его цифрами вставить нуль и к полученному трехзначному числу прибавить удвоенную цифру его сотен, то получится число, которое в 9 раз больше, чем исходное двузначное число. Найдите это двузначное число. Ответ: 69
  12. Разность двух чисел равна 48, а разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел равна 18. Найти эти числа. Ответ: 49 и 1
  13. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке 15. Если же из данного числа вычесть 9, то получится сумма квадратов цифр, использованных для записи этого числа. Найти это число. Ответ: 91

 

Метки текстовые зада, числа. Смотреть запись.

Бесчисленные словесные задачи: Математика 4 класс

    Приборная доска

    4 класс

    Бесчисленные словесные задачи

    Перейти к содержанию Приборная доска
    • Авторизоваться

    • Приборная панель

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать