Задачи по стереометрии как решать: Задачи по стереометрии

Содержание

Задачи по стереометрии

Задачи по стереометрии. Друзья!  В предыдущей статье были представлены основные формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии на экзамене по математике, и не только. Эти формулы знать НЕОБХОДИМО! Если вас интересует какая либо задача — вы можете ввести начало условия в строку ПОИСКА на карте блога или пройтись по рубрикам «СТЕРЕОМЕРИЯ». В этой публикации некоторые теоретические факты.

По ходу учебного процесса, при систематическом решении задач, все они запоминаются и откладываются в памяти крепко и надолго. Учите их, практикуйтесь в решении задач, они запомнятся, ни куда не денутся ;). К домашнему заданию добавляйте ещё пару задач самостоятельно. Понимаю, что никому не хочется создавать себе дополнительную работу, но ваш результат на будущем ЕГЭ целиком зависит только от вас.

В этой статье хочу напомнить вам некоторые моменты, которые необходимы для  решения ряда задач по стереометрии. В этих примерах речь идёт о площади поверхности тел и объёме (относится к призме, параллелепипедам и другим телам). Данные факты используются во многих типах заданий. Уверен, представленная ниже информация вам известна, но всё же...

Не буду их здесь делить на теоремы, свойства, следствия и объяснять что из чего исходит. Предлагаю вам освежить их в памяти и запомнить  именно как факты.

Немало задач, где при решении необходимо помнить, что:

1. У прямоугольного треугольника вписанного в окружность гипотенуза совпадает с диаметром. Центр этой окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Если в окружность вписан треугольник и одна его сторона совпадает с диаметром этой окружности, то треугольник является прямоугольным.

То есть, если мы на диаметре окружности построим треугольник, вершина которого будет лежать на любой точке окружности, то такой треугольник будет являться прямоугольным.

 

 

2. Во многих типах задач часто говорится об отрезке, который соединяет середины двух соседних сторон треугольника. Понятно, что речь идёт о средней линии треугольника. Что мы о ней знаем?

Средняя линия треугольника – это отрезок, концы которого лежат на серединах двух соседних сторон данного треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине

Что нам это даёт?

— Она отсекает от исходного треугольника подобный ему.

— Коэффициент подобия равен k = 0,5. Так как стороны отсечённого треугольника равны половине сторон исходного.

— Все линейные элементы отсечённого треугольника равны половине соответствующих им элементам исходного (стороны, высоты, медианы, биссектрисы, а также  периметр треугольника).

— Площадь отсечённого треугольника равна одной четвёртой площади исходного треугольника. Это подтверждается формулой взаимосвязи площадей подобных фигур:

 

*А также равенством треугольников, посмотрите  рисунок:

AD = DB, BE = EC, AF = FC, DE = AF, EF = AD, DF= EC

Треугольники равны по третьему признаку (по трём сторонам). Хотя и остальные признаки равенства треугольников также применимы.

4. Есть не мало задач, где речь идёт об изменения объёма (пирамиды, куба, параллелепипеда, шара), путём увеличения или уменьшения рёбер (радиуса)  в определённое количество раз. То есть  речь идёт о подобных телах. Помните о том, что есть формула, которая связывает объёмы подобных тел:

Пример подобных тел:

*Ещё пример: плоскость параллельная основанию конуса и  проходящая перпендикулярно его высоте отсекает  конус подобный исходному

5. Кроме того, есть много задач, в которых фигурируют правильные пирамиды. Напомню, что это пирамиды в основании которых лежит правильный многоугольник (в наших задачах – правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник). Что необходимо запомнить здесь?

Высота опущенная из вершины к основанию пирамиды проходит через середину этого основания

или

Отрезок соединяющий вершину правильной пирамиды и середину её основания является высотой пирамиды

 

6. Есть группа задач, где речь идёт о правильной шестиугольной призме (в основании  лежит правильный шестиугольник). Условия и вопросы  различные, но знание следующих фактов о правильном шестиугольнике считаю необходимым:

1. Стороны правильного шестиугольника равны.

2. Углы при вершинах равны 120 градусам.

3. Около правильного шестиугольника можно описать окружность.

4. Радиус окружности описанной около правильного шестиугольника равен сторонам этого шестиугольника.

5. Расстояние между двумя диаметрально противоположными вершинами (это диаметр описанной окружности) равно двум сторонам этого шестиугольника. 

*Правильный шестиугольник как бы состоит из шести сложенных друг с другом равносторонних треугольников. 

Ещё стоит отметить некоторые моменты. Их нетрудно вывести, но предлагаю запомнить их и положить в копилку ваших математических навыков. Простыми словами можно сказать так:

Отрезок соединяющий две вершины правильного шестиугольника (при чём этот отрезок не проходит через центр), отсекает треугольник площадь которого равна одной шестой площади данного шестиугольника

Нетрудно сделать и следующие выводы:

Я не говорю о том, что если вы не запомните представленную информацию, то задачи вам этой группы не решить. Нет! При наличии хорошей математической базы, и владения навыками решения стереометрических и планиметрических задач проблем при решении не будет никаких. Вы с лёгкостью вспомните теорию и быстро сделаете необходимые выводы. Но помня указанные выше моменты, вы сэкономите время и проведёте решение в два раза быстрее.

Отмечу, что для решения ряда задач, связанных с увеличением (уменьшением) ребра в параллелепипеде, пирамиде, кубе, либо радиуса конуса или шара, и стоит вопрос об изменении объёма, существует более рациональный метод, чем тот который используется при обучении в школьной программе. Мы с вами его изучим. Вы удивитесь простоте подхода, задачи решаются практически в одну строчку, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Как решать задачи по геометрии. Часть 1

Геометрическая логика при решении задач

Геометрия… Страшное слово для бесчисленного множества учеников. Они знают свойства фигур и выучили определения и теоремы, но задачи по геометрии все равно остаются какой-то китайской грамотой.

Это про тебя? Тогда ты попал туда, куда нужно!

Проблема подавляющего большинства учеников в том, что они не умеют обдумывать задачу по геометрии. Их этому не научили (ну, или они не захотели научиться, когда была возможность). Именно в этой статье, я объясню саму технологию обдумывания и, в конечном счете, нахождения решения ПРАКТИЧЕСКИ ЛЮБОЙ задачи по геометрии.

Сразу оговорюсь - без знания теории в геометрии никак. В смысле, вообще никак, от слова «совсем». Чтоб тебе было полегче при чтении этой статьи, я буду внутри решений задач в скобках курсивом указывать используемые свойства и теоремы. Но помни: если вдруг в знании теории у тебя пробел – закрытие его за тобой! Бери учебник и читай. Причем главные вещи – заучивай (или понимай). Знать теорию – обязательно!

Ладно, к делу.

Ты играл когда-нибудь в квесты? Неважно в реальной жизни или в компьютере. Во всех квестах принцип один – у тебя есть что-то (вещи, знания, навыки) и есть цель (раскрыть какую-нибудь тайну, найти некий предмет, «спасти принцессу» и т.д.). При этом путь к цели – неизвестен. И зачем нужны эти самые имеющиеся у тебя «вещи, знания, навыки» – тоже непонятно. Что делать? Как достичь цели?

Известно как: использовать то, что есть, и искать, куда это применить, чтоб продвинуться к цели. То есть, делать шаги от своего текущего местонахождения – к цели. При этом понятно, что некоторые шаги будут вести нас не туда, куда надо, а совсем даже в тупик. А иногда мы будем находить вещи или информацию, вроде бы напрямую к цели не ведущие, но как выяснится в дальнейшем – необходимую.

Более того, порой можно логически двигаться и наоборот – от цели к твоей текущей позиции. Например, если нужно «спасти принцессу из замка», то понятно, что, скорее всего, надо будет как-то попасть в замок. А для этого надо оказаться на острове, где этот замок стоит. Как попасть? Может быть на лодке. Или найти телепорт. Или использовать магию. Но на остров – надо. Начинаем искать пути на остров. Это уже логические шаги от цели к текущей позиции.

К чему весь этот разговор? Решение задачи по геометрии это точно такой же «квест», только математический . Вдумайся: у нас всегда есть некоторые исходные данные и есть то, что нужно найти (или доказать – разницы на самом деле практически нет). И наша задача – построить логическую цепочку от исходных данных к цели. Строительным материалом при этом у нас будут данные (исходные и полученные при рассуждениях), а также теоремы и свойства.

Ладно, давай уже конкретный пример разберем.

Задача. В треугольнике \(ABC\) из точки \(B\) проведена высота \(BH\). Найти длину отрезка \(AH\), если известно, что сторона \(AC\; =\; 14\) см и угол \(A\) равен углу \(C\).

Так. С чего начинается решение геометрической задачи? Ну, а с чего начинается решение квеста? Правильно, осматриваемся по сторонам, изучаем, что у нас есть и куда нас жизнь закинула.

В геометрии это означает:

  1. построить чертежа выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.
  2. выделить из условия задачи исходные данные, то есть, выяснить, что нам дано.

Хорошо. Значит, текущая ситуация у нас такова:


Давайте потихоньку развеивать туман. Нам известно, что углы \(А\) и \(С\) равны, а это значит, что треугольник \(АВС\) – равнобедренный с основанием АС (теория – «признак равнобедренного треугольника: равенство углов при одной из сторон. Она и является основанием»). Это новая информация, новые данные, изначально неизвестные. Делаем шаг.


Отлично. Теперь смотрим, что у нас есть еще? Еще у нас есть информация, что \(BH\) – высота. А раз треугольник \(ABC\) – равнобедренный, то значит \(BH\) еще и медиана (теорема о высоте в равнобедренном треугольнике: высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является медианой и биссектрисой

). То есть, мы, используя новые, полученные на предыдущем шаге данные, а также исходные данные и знание теории, делаем еще один шаг и опять получаем новую информацию.


А что мы знаем про медиану? Она делит противоположную сторону на две равные части (определение медианы: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Но тогда получается, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам. То есть \(AH = HC\).

Стоп. Так у нас же есть длина стороны \(AC\)! И если мы знаем, что точка \(H\) делит сторону \(AC\) пополам, значит, \(AH\) равен половине \(AC\)! Таким образом, получаем, что \(AH = AC/2 = 14/2=7\) см.


Готово. Ответ получен.

Естественно, такие конструкции с «пятном тумана» рисовать каждый раз не нужно, эта схема показывает логическую цепочку решения у нас в голове. А записывается примерно так:

ЕГЭ. Задание 14. Стереометрия - Сайт Трушина Б.В.

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по стереометрии, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео и онлайн-курсы

Как решать стереометрию

Теорема о трёх перпендикулярах

Как найти объем. Принцип Кавальери

Видеоразборы задач

В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt{17}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.

 

В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt{41}$. Точки $A$ и $B$ -- концы образующих, $M$ -- середина $SA$, $N$ -- точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.

а) Докажите что угол $ANO$ -- прямой.
б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.

 

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 2. Точка $M$ -- середина ребра $AA_1$.
а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.

 

На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.

 

Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.

 

Длина диагонали куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 3. На луче $A_1C$ отмечена точка $P$ так, что $A_1P = 4$.
a) Докажите, что грань $PBDC_1$ -- правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка $AP$.

 

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. 
a) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат. 
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.

 

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 3. На ребре $AB$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 1$. Точки $M$ и $L$ -- середины ребер $A_1C_1$ и $B_1C_1$ соответственно. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\gamma$.

 

Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.

 

Подборка заданий прошлых лет

  1. В прямом круговом конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен 13, а высота равна $3\sqrt{41}$. Точки $A$ и $B$ -- концы образующих, $M$ -- середина $SA$, $N$ -- точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB$.
    а) Докажите что угол $ANO$ -- прямой.
    б) Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно что $AB = 10$.
    (ЕГЭ-2019, досрочная волна, резервный день)
  2. В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=AC=AB=\sqrt{17}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
    а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $SA$.
    (ЕГЭ-2019, досрочная волна)
  3. В треугольной пирамиде $SABC$ $SB=SC=\sqrt{17}$, $AB=AC=\sqrt{29}$, $SA= BC = 2\sqrt5$.
    а) Докажите, что прямые $BC$ и $SA$ перпендикулярны.
    б) Найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.
    (ЕГЭ-2019, досрочная волна)
  4. Дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $AA_1$ отмечена точка $K$ так, что $AK : KA_1 = 1 : 2$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $K$ параллельно прямой $AC$. Эта плоскость пересекает ребро $DD_1$ в точке $M$.
    а) Докажите, что $DM : MD_1 = 2 : 1$.
    б) Найдите площадь сечения, если $AB = 4$, $AA_1 = 6$.
    (ЕГЭ-2018, досрочная волна)
  5. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны~2. Точка $M$ -- середина ребра $AA_1$.
    а) Докажите, что прямые $MB$ и $B_1C$ перпендикулярны.
    б) Найдите расстояние между прямыми $MB$ и $B_1C$.
    (ЕГЭ-2018, досрочная волна, резервный день)
  6. На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
    а) Докажите, что угол $C_1BA$ прямой.
    б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, если $AB=12$, $BB_1=4$ и $B_1C_1 = 3$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  7. На окружности одного из оснований прямого кругового цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания -- точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ -- образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.{\circ}$.
    б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $BC_1$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна)
  8. На ребре $AB$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $Q$, причём $AQ:OB=1:2$. Точка $P$ -- середина ребра $AS$.
    а) Докажите, что плоскость $DPQ$ перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
    б) Найдите площадь сечения $DPQ$, если площадь сечения $DSB$ равна 6.
    (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  9. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $H$ -- центр грани $ABC$, а точка $M$ -- середина ребра $CD$.
    а) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.
    б) Найдите угол между прямыми $DH$ и $BM$.
    (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)
  10. Основанием прямой четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, $AB = AA_1$.
    а) Докажите, что прямые $A_1C$ и $BD$ перпендикулярны.
    б) Найдите объем призмы, если $A_1C = BD = 2$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  11. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 5. На ребрах $SA$, $AB$, $BC$ взяты точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $PA = AQ = RC = 2$.
    а) Докажите, что плоскость $PQR$ перпендикулярна ребру $SD$.
    б) Найдите расстояние от вершины $D$ до плоскости $PQR$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  12. В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB = 17$, $PB = 10$, $\cos \angle PBA = \dfrac{32}{85}$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
    б) Найдите объем пирамиды $PABC$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)
  13. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точки $K$, $L$ и $M$ -- центры граней $ABCD$, $AA_1D_1D$ и $CC_1D_1D$ соответственно.
    а) Докажите, что $B_1KLM$ -- правильная пирамида.
    б) Найдите объём $B_1KLM$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  14. В треугольной пирамиде $SABC$ известны боковые рёбра: $SA = SB = 7$, $CS = 5$. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы $CM$ треугольника $ABC$. Эта высота равна 4.
    а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.
    б) Найдите объём пирамиды $SABC$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  15. Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны 15 и 9 соответственно, $AB = 13$.
    а) Докажите, что треугольник $BA_1C_1$ прямоугольный.
    б) Найдите объём пирамиды $AA_1C_1B$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  16. Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.
    а) Докажите, что $AA_1 = AC$.
    б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 6$, $BC = 3$.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  17. На ребрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB = CN:NB = 1:3$. Точки $P$ и $Q$ -- середины сторон $DA$ и $DC$ соответственно.
    а) Доказать, что $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
    б) Найти отношение объемов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
    (ЕГЭ-2017, основная волна)
  18. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$ содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
    а) Докажите, что грань $ABCD$ -- квадрат.
    б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 6$, $AB = 4$.
    (ЕГЭ-2017, досрочная волна)
  19. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах $B_1C_1$ и $AB$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $PC_1 = 3$, а $AQ = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $BC$ в точке $M$.
    а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $BC$.
    б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $A_1PQ$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  20. На рёбрах $DD_1$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 12 отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP = 10$, а $B_1Q = 4$. Плоскость $A_1PQ$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
    а) Докажите, что точка $M$ является серединой ребра $CC_1$.
    б) Найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $A_1PQ$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  21. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt{3}$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ -- середины рёбер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ -- высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.
    а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.
    б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  22. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
    а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
    б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  23. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
    а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
    б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  24. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
    а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
    б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  25. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB$ основания равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt2$. На ребрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK = 4$, $C_1L = 5$. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L$.
    а) Докажите, что прямая $AC_1$ перпендикулярна плоскости $\gamma$;
    б) Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $\gamma$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  26. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах $AB$, $CD$ и $AS$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = DN = 4$ и $AK = 3$.
    а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $SBC$ параллельны.
    б) Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $SBC$.
    (ЕГЭ-2016, основная волна)
  27. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 8. На рёбрах $AA_1$ и $CC_1$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM = 3$, $CN = 1$.
    а) Докажите, что плоскость $MNB_1$ разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
    б) Найдите объём тетраэдра $MNBB_1$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  28. Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все рёбра которой равны 6. Через точки $A$, $C_1$ и середину $T$ ребра $A_1B_1$ проведена плоскость.
    а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.
    б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью $ABC$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  29. В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания $AB = 6$, а боковое ребро $AA_1 = 4\sqrt3$. На рёбрах $AB$, $A_1D_1$ и $C_1D_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM = A_1N = C_1K = 1$.
    а) Пусть $L$ -- точка пересечения плоскости $MNK$ с ребром $BC$. Докажите, что $MNKL$ -- квадрат.
    б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $MNK$.
    (ЕГЭ-2016, досрочная волна)
  30. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 24, а боковое ребро $SA$ равно 19. Точки $M$ и $N$ -- середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
    а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5 : 1$, считая от точки $C$.
    б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
    (ЕГЭ-2015, основная волна)
  31. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны 4. На его ребре $BB_1$ отмечена точка $K$ так, что $KB = 3$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.
    а) Докажите, что $A_1P: PB_1 = 2:1$, где $P$ -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$.
    б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани $BB_1C_1C$.
    (ЕГЭ-2015, досрочная волна)

Math.ru

Виктор Васильевич Прасолов, Игорь Фёдорович Шарыгин

М., Наука, 1989. 288 с.
ISBN 5-02-013921-1; Тираж 163000 экз.
Серия Библиотека математического кружка, выпуск 19

Загрузить (Mb)
djvu (4.52) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Содержит около 560 задач, снабженных подробными решениями, и 60 задач для самостоятельной работы. Большинство задач по своей тематике близки к школьной программе. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
Для школьников, преподавателей, студентов педагогических институтов.


Содержание

Предисловие.

Знакомство со стереометрией.
Решения.

Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве.
    ? 1. Углы и расстояния между скрещивающимися прямыми.
    ? 2. Углы между прямыми и плоскостями.
    ? 3. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями.
    ? 4. Скрещивающиеся прямые.
    ? 5. Теорема Пифагора в пространстве.
    ? 6. Метод координат.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 2. Проекции, сечения, развертки.
    ? 1. Вспомогательные проекции.
    ? 2. Теорема о трех перпендикулярах.
    ? 3. Площадь проекции многоугольника.
    ? 4. Задачи о проекциях.
    ? 5. Сечения.
    ? 6. Развертки.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 3. Объем.
    ? 1. Формулы для объема тетраэдра и пирамиды.
    ? 2. Формулы для объема многогранников и круглых тел.
    ? 3. Свойства объема.
    ? 4. Вычисление объема.
    ? 5. Вспомогательный объем.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 4. Сферы.
    ? 1. Длина общей касательной.
    ? 2. Касательные к сферам.
    ? 3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере.
    ? 4. Разные задачи.
    ? 5. Площадь сферической полоски и объем шарового сегмента.
    ? 6. Радикальная плоскость.
    ? 7. Сферическая геометрия и телесные углы.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 5. Трехгранные и многогранные углы. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов.
    ? 1. Полярный трехгранный угол.
    ? 2. Неравенства с трехгранными углами.
    ? 3. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов.
    ? 4. Разные задачи.
    ? 5. Многогранные углы.
    ? 6. Теоремы Чевы и Менелая для трехгранных углов.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 6. Тетраэдр, пирамида и призма.
    ? 1. Свойства тетраэдра.
    ? 2. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами.
    ? 3. Прямоугольный тетраэдр.
    ? 4. Равногранный тетраэдр.
    ? 5. Ортоцентрический тетраэдр.
    ? 6. Достраивание тетраэдра.
    ? 7. Пирамида и призма.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 7. Геометрические преобразования и векторы.
    ? 1. Скалярное произведение. Соотношения.
    ? 2. Скалярное произведение. Неравенства.
    ? 3. Линейные зависимости векторов.
    ? 4. Разные задачи.
    ? 5. Векторное произведение.
    ? 6. Симметрия.
    ? 7. Гомотетия.
    ? 8. Поворот. Композиции преобразований.
    ? 9. Отражение луча света.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 8. Выпуклые многогранники и пространственные многоугольники.
    ? 1. Разные задачи.
    ? 2. Признаки невписанности и неописанности многогранников.
    ? 3. Формула Эйлера.
    ? 4. Обходы многогранников.
    ? 5. Пространственные многоугольники.
Решения.

Глава 9. Правильные многогранники.
    ? 1. Основные свойства правильных многогранников.
    ? 2. Взаимосвязи между правильными многогранниками.
    ? 3. Проекции и сечения правильных многогранников.
    ? 4. Самосовмещения правильных многогранников.
    ? 5. Различные определения правильных многогранников.
Решения.

Глава 10. Геометрические неравенства.
    ? 1. Длины, периметры.
    ? 2. Углы.
    ? 3. Площади.
    ? 4. Объемы.
    ? 5. Разные задачи.
3адачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 11. Задачи на максимум и минимум.
    ? 1. Отрезок с концами па скрещивающихся прямых.
    ? 2. Площадь и объем.
    ? 3. Расстояния.
    ? 4. Разные задачи.
Задачи для самостоятельного решения.
Решения.

Глава 12. Построения и геометрические места точек.
    ? 1. Скрещивающиеся прямые.
    ? 2. Сфера и трехгранный угол.
    ? 3. Разные ГМТ.
    ? 4. Построения на изображениях.
    ? 5. Построения, связанные с пространственными фигурами.
Решения.

Глава 13. Некоторые методы решения задач.
    ? 1. Принцип крайнего.
    ? 2. Принцип Дирихле.
    ? 3. Выход в пространство.
Решения.

Глава 14. Центр масс. Момент инерции. Барицентрические координаты.
    ? 1. Центр масс и его основные свойства.
    ? 2. Момент инерции.
    ? 3. Барицентрические координаты.
Решения.

Глава 15. Разные задачи.
    ? 1. Примеры и контрпримеры.
    ? 2. Целочисленные решетки.
    ? 3. Разрезания. Разбиения. Раскраски.
    ? 4. Задачи-одиночки.
Решения.

Глава 16. Инверсия и стереографическая проекция.
    ? 1. Свойства инверсии.
    ? 2. Сделаем инверсию.
    ? 3. Наборы касающихся сфер.
    ? 4. Стереографическая проекция.
Решения.

Приложение. Задачи для самостоятельного решения.

Список рекомендуемой литературы.


Загрузить (Mb)
djvu (4.52) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)


Стереометрия (Геометрия в пространстве) - Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы - Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению...

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению...

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению...

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению...

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению...

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению...

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению...

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению...

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению...

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению...

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению...

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению...

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению...

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению...

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению...

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению...

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению...

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению...

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению...

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению...

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению...

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению...

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению...

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению...

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению...

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению...

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению...

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению...

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры - высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.
Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению...

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению...

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Основные типы базовых задач по стереометрии




 

·        Расстояние от точки до плоскости.

         Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

·        Расстояние между двумя прямыми.

         Расстоянием между двумя непересекающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми используют следующие теоремы.

         Теорема 1.

Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями.

Теорема 2.

Если ортогональная проекция на плоскость π переводит прямую а в точкуА’, а прямую bв прямую b’, то расстояние AB между скрещивающимися прямыми a и равно расстоянию A’B’ от точки A’до прямой b’.

Угол между прямыми, прямой и плоскостью.

·        Угол между двумя прямыми.

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами, лежащими на этих прямых, с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚.

·        Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Угол между плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями.           

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным углом.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90˚.


 




















Методические подходы к организации пошагового решения обучающимися средней школы задач по стереометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.1 ББК 22.151.1

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОРГАНИЗАЦИИ ПОШАГОВОГО РЕШЕНИЯ ОБУЧАЮЩИМИСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

СЕРЮКОВА А.С., ПОДПЯТНИКОВА С.А. ФГБОУВО ЮУрГГПУ, Челябинск, Россия e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация

В статье рассмотрены проблемы, возникающие при решении стереометрических задач и предложены пути их решения на основе выделенных этапов по организации работы с требованиями задачи. На конкретных примерах показана структура деятельности учителя и обучающихся при формировании умения пошагового решения задач по стереометрии.

Ключевые слова: методика обучения математики, стереометрия, пространственное воображение, этапы решения.

Актуальность. Стереометрия формирует и развивает у обучающихся пространственные представления и воображение, логическое мышление, формирует умение выделять пространственные свойства и отношения объектов и оперировать ими в процессе решения задачи. Умение решать стереометрические задачи является одним из основных показателей уровня сформированности у выпускников школ математического мышления и глубины понимания изученного учебного материала. Поэтому контрольно-измерительные материалы (КИМ) по математике содержат задачу повышенного и высокого уровня сложности по стереометрии. На едином государственном экзамене (ЕГЭ) около 98% старшеклассников допускают ошибки при решении весьма несложной стереометрической задачи [2]. Многие обучающиеся испытывают большие трудности не только в поиске решения задачи, дополнительных построениях

пространственных объектов с учетом предлагаемых задач, но и в понимании методов построения объемных фигур, их взаимного расположения в трехмерном пространстве [5]. Отсутствие понимания объясняется тем, что на уроках многие учащиеся стремятся просто выучить изучаемый материал, не желая понимать его полностью [4, 10].

По мнению Саниной Е.И.: "Проведение определения стереометрических отношений должно основываться не просто на изучении наглядного материала, а в совокупности с интенсивным обдумыванием и перестройкой имеющихся данных, т.е. осуществление

определенной "интеллектуализации" [6]. В данном ракурсе под образом следует понимать определенную единицу пространственного мышления. Такие расчеты основываются на активной мыслительной деятельности, позволяющей создать ряд пространственных образов, которые лежат в рамках плоскости решения задач. Сам процесс осуществления разбора и решения задач, связанных с расположением пространственных фигур основан на мыслительных действия по формированию в сознании образов стереометрического расположения в пространстве фигур с определением взаимосвязи между двумерным образом и реальным положением фигур в пространстве. В процессе такой деятельности может возникнуть проблемы, не позволяющие довести решение до логического завершения.

Учитывая, что решение некоторых задач ученые-математики искали несколько лет. Но также есть некоторые задачи, которые, спустя не один десяток лет, до сих пор небыли решены. Одним из ярких примеров таких задач является Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера, которой не одна сотня лет. За доказательство данной гипотезы в США математический институт Клэя намерен вручить один миллион долларов. Сущность гипотезы основана на том, что ранг кривой можно определить, зная порядок нуля дзета-функции. За счет доказательства данной гипотезы современная наука может далеко продвинуться вперед. Большого прогресса в доказательстве достигли несколько математиков из США и Англии в 1977 году. Но они смогли

найти доказательство лишь для единственного частного случая [7]. На этапе стимулирования преодоления трудностей при решении стереометрических задач можно привести данные исторические сведения или использовать другие методические подходы.

Цель работы. Выявить и описать методические подходы к организации пошагового решения обучающимися средней школы задач по стереометрии.

Во время изучения стереометрии принято выделять следующие этапы:

1. в 1-9 классах создание условий для формирования начальных представлений о пространственных фигурах;

2. в 10-11 классах ведение систематического курса стереометрии.

В систематический курс стереометрии входят следующие темы:

1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

4. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

5. Многогранники.

6. Тела вращения.

7. Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

8. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Для достижения планируемых результатов изучения раздела "Стереометрия" учителю необходимо:

- использовать различные формы организации учебно-познавательной деятельности обучающихся;

- сконструировать банк заданий, способствующих формированию у обучающихся умения решать задачи, в том числе представленные в КИМ ЕГЭ;

- применять алгоритмическое предписание по этапному решению задач, развивая тем самым аналитические и логические умения обучающихся, расширяя их познавательный интерес и формируя у них творческие способности.

Материалы и методы. С целью ликвидации причин, связанных с неумением обучающимися решать стереометрические задачи высокой сложности без вмешательства педагога, необходимо определить алгоритм решения.

Следует выделить основные этапы обучения и разложить сложное решение на несколько более простых задач. Также нужно чтобы обучающиеся смогли научиться решать трудные задачи не только без посторонней помощи, но и без применения аналогий.

Обучение учащихся старших классов самостоятельному решению сложных стереометрических задач возможно через формирование у них навыков, нацеленных на применение общего подхода и адаптацию его под ту или иную задачу с правильным выбором направлений поиска способа решения неизвестных им ранее алгоритмов решения, для чего необходимо:

1. Сформировать у учащихся глубокие знания по теории решения задач. При этом преподнесение теории не должно отрываться от практики. Не стоить выделять отдельные теоретические темы, необходимо вводить теоретические знания вместе с решением задач на протяжении всего периода обучения, но при этом регулярно возвращаться к тому или иному понятию и повторять его.

2. Выработать у учеников и закрепить на практике четкие умения и навыки для реализации простых действий, выступающих частью решения сложных стереометрических задач, к которым следует отнести такие этапы работы: проведение анализа условий задачи, построение чертежей стереометрических фигур, поиск способа решения через систематизацию условий, проверку полученного результата, конечный анализ полученного решения.

3. Проработать с учениками основные способы решения стереометрических задач высокой сложности с обязательным закреплением полученных умений через решение ряда геометрических задач с применением каждого способа [8, 9, 10].

Управление процессом решения

стереометрических задач основывается на ряде поэтапных действий, которые берут свою основу в геометрии, но в первую очередь до учащихся необходимо довести информацию по разделу стереометрии, т.е. необходимо разложить весь сложный мыслительный процесс решения стереометрических задач на более простые подзадачи [1]. В качестве первого этапа решения задач выступает анализ условия задачи, который можно разделить на несколько более простых действия: а) определение точной области условий задачи с выявлением всех ее структурных элементов; б) определение

зависимостей элементов каждой области задачи и их свойств; в) выявление сути условий задачи. На втором этапе решения стереометрической задачи определяется план ее решения, а также формируется основная идея ее решения. К тому же второй этап решения задачи выступает ведущим в определении искомых величин и выборе направлений и способов решения, построение стратегии. Переходя к третьему этапу решения стереометрических задач в работу включается уже выстроенный план решения, т.е. план получает реализацию на практике. Подробно описывается решение, при необходимости корректируется, выбирается методика решения, решение задачи записывается и оформляется. Четвертый этап деятельности, направленной на решение стереометрической задачи, направлен на обсуждение и анализ процесса решения. Приводится итоговое решение задачи, осуществляется анализ решения и систематизация полученных в процессе решения знаний. На основе описанного алгоритма решения стереометрической задачи можно более четко выделить следующие этапы: этап 1 - осуществление анализа условий задачи;

этап 2 - построение схемы условий задачи; этап 3 - выбор способов решения задачи; этап 4 - осуществление деятельности по решению задачи;

этап 5 - проведение проверки полученного решения;

этап 6 - окончательное формулирование ответа задачи.

Обратим внимание на первый этап. При внимательном прочтении любой задачи по геометрии, можно заметить, что в задаче прослеживается либо требование, либо вопрос, требующий ответа, основываясь на условиях, которые указаны в задаче. Поэтому при изучении условий стереометрической задачи, необходимо провести анализ ее условий, определить поставленные требования, на основе которых задача и будет решена. Приведем пример стереометрической задачи:

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза в точке касания с вписанной окружностью делится на отрезки длинной 7 см и 10 см [3].

После прочтения задачи сразу же можно заметить, что в ней присутствует определенное утверждение, а именно: "в прямоугольном треугольнике гипотенуза в точке касания с

вписанной окружностью делится на отрезки длинной 7 см и 10 см". Далее необходимо выяснить, что надо найди или доказать. Требование данной стереометрической задачи заключается в том, что нужно найти катеты прямоугольного треугольника. Теперь на основе формулировки задачи необходимо вывести ее условия. Особенностью стереометрической задачи выступает то, что ее условие содержит несколько условий по решению отдельных элементарных задач, т.е. исходное задание подлежит расчленению на несколько более простых заданий. Поэтому утверждение и требования, установленные в условиях задачи, необходимо разделить на более простые условия и элементарные части.

В рассматриваемом варианте задачи можно выделить ряд следующих простых условий:

1) рассматриваемый треугольник является прямоугольным;

2) в данный треугольник вписана окружность;

3) гипотенуза точкой касания с окружностью делится на два отрезка;

4) длина первого отрезка составляет 7 см;

5) длина второго отрезка 10 см.

Требование данной задачи можно разделить

на два простых:

1) найти длину первого катета треугольника;

2) найти длину второго катета треугольника.

Глубина анализа в основном зависит от того,

знаком ли учащийся со стереометрическими задачами, и знает ли он общий способ их решения. Если да, то достаточно провести простой анализ, который сводится к определению вида задачи; если нет, то для отыскания решения стереометрической задачи необходим более подробный анализ.

В некоторых случаях анализ решения задачи должен быть оформлен письменно. В данном случае следует использовать различные схемы, позволяющие представить условия задачи в более простом виде. Схематическая запись решения стереометрических задач представляет собой второй этап. Схематическая запись стереометрических задач заключается в необходимости использования чертежа той фигуры, которая рассматривается в задаче. В момент построения такого чертежа нужно придерживаться следующих требований.

В основе чертежа лежит схематический рисунок основного объекта задачи, т.е. рисунок геометрической фигуры, нескольких фигур или их частей, которые имеют буквенное

обозначение или иных знаков, используемых для обозначения частей рисунка, представленного на схеме. Если в условиях задачи присутствуют обозначения фигуры или какой-либо ее части, то данные обозначения также переносятся на чертеж, если же обозначения специально не введены, то на чертеже используются произвольные обозначения, которые могут быть основаны на наборе наиболее распространенных опознавательных знаков.

Рассмотрим на примере одной из стереометрических задач, как строятся их схематические записи при помощи чертежей.

Задача 2. Представлена трапеция, диагональ которой проходит перпендикулярно к основаниям. Большое основание имеет длину 13 см, а тупой угол, который принадлежит ей составляет 120о. К тупому углу принадлежит боковая сторона, равная также 13 см. Необходимо определить среднюю линию трапеции [3].

Рис. Трапеция

Проводя анализ условий задачи, необходимо отметить, что основным объектом задачи является трапеция, в которой одна диагональ имеет перпендикулярное положение по отношению к ее основаниям. Следует обратить внимание, что при начертании трапеции, начав ее построение с боковых сторон, обязательно будет допущена ошибка. Поэтому построение чертежа трапеции необходимо начать с начертания диагонали, указанной в условиях задачи, так как она перпендикулярна основаниям трапеции. Обозначение диагонали можно осуществить через указание прописной буквы "а". Данную диагональ следует определить как вертикальный отрезок, из концов которого выходят основания трапеции -два горизонтальных отрезка. При таком алгоритме начертания трапеции видно, что углы, принадлежащие вершинам трапеции -тупые. На основе условий задачи можно определить, что тупой угол, принадлежащий

большому основанию, имеет 120о.DAB = 120°;

5) AD = 13 см;

6) АВ = 6 см;

7) АМ = MB.DN = NC.

Найти: MN.

Сразу же после того, как были сделаны анализ задачи и ее чертеж, которые считаются обязательными этапами для нахождения способа решения стереометрической задачи, необходимо осуществить сам поиск способа ее решения. Это и есть третий этап процесса решения стереометрической задачи. Рассмотрим его на примере последней задачи. Прежде чем приступить к поиску способа решения данной задачи, необходимо вспомнить, средняя линия трапеции расположена параллельно к основаниям. Поэтому MN параллельна AD и MN параллельна ВС. При дальнейшем решении необходимо применение теоремы о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ее равна полу сумме длин оснований. Данная теорема выступит основным правилом для решения рассматриваемой задачи.

Нахождение способа решения задачи становится переходом к следующему, четвертому этапу решения задачи по стереометрии. Продолжим рассмотрение данного этапа на примере этой же задачи. Реализация этапов решения второй задачи имеет достаточно простую схему:

1) Осуществить определение оснований трапеции, приведенной в задаче, по длине;

2) Найти полу сумму оснований. Найденная полу сумма и будет являться длиной средней линии.

Теперь необходимо записать решение данной

задачи.

Рассмотрим треугольник 5СД:

АЛС =

^С = 90°, ^АЛС = 120° - 90° = 30° ^

^ АС = 0,5 • ЛД (катет, лежащий напротив угла в 30°) ^ 5С = 0,5 •б см = 3 см.

= (££+££)= (3+13) = 8 см.

2 2

В процессе решения задач учащиеся совершают многочисленные ошибки, исправление которых часто вызывает большие затруднения. Основной причиной является не столько непонимание учащимся сути допущенной ошибки, сколько неумение их обнаружить. В связи с этим, после решения задачи нужно удостовериться в том, что найденное решение верное, что оно соответствует и удовлетворяет всем условиям и требованиям задачи. Это и есть пятый этап процесса решения стереометрических задач. В методической литературе всего существует два способа проверки стереометрических задач:

- составить и решить обратную задачу;

- решить данную задачу совершенно другим способом.

Для проверки задачи чаще всего используют первый способ. Данный метод довольно универсален, так как для любой задачи возможно составить обратную. Решение задачи другим способом - метод довольно сложный, потому что данная работа является по большей мере творческой, помимо этого не каждый учащийся способен найти хотя бы один способ решения стереометрической задачи.

Рассмотрим на примере второй задачи другой способ ее решения. Для отыскания другого способа решения стереометрической задачи, существуют различные методы: построение другой модели задачи, отличной от используемой; дополнение условия задачи сведениями, которые не повлияют на конечный результат; описание практического решения ситуации, представленной в задаче. В данной задаче возможно дополнение сведеньями. Изначально решить вторую задачу нам помогло свойство средней линии трапеции. Также осуществить решение данной задачи возможно, воспользовавшись теоремой Пифагора и синусом угла. Это и будет другой способ решения.

2 способ решения. ЛС = •

cos 30° = 7 • — = 3,5V3.

2

Из прямоугольного А ЛСД: ЛД2 = CD2 ЛС2 = 144 - 36,75 = 107,75 ЛД = 0,5 • V429 см.

„ (ВС+ЛО) 3,5+0,5 • V429

Средняя линия =-=-=

1,75 + 0,25 • V429 = 6,9 см.

Проверив решение и определив его верность, необходимо четко сформулировать и записать его. Данный этап является завершающим в решении стереометрической задачи (шестой этап).

Если учащиеся будут придерживаться данных этапов, то это даст им возможность узнать приемы решения стереометрических задач, сформировать умение использовать полученные знания в " измененных" ситуациях, "нетипичных" задачах. Процесс решения по данным, рассмотренный в разрезе приведенных этапов, дает возможность формирования и развития таких качеств у обучающихся, которые формируют аналитическую склонность, развивают способность освоения новой информации, логическое мышление,

основанное на алгоритмах исследовательской работы. К тому же приобретенные при решении стереометрических задач навыки, позволят повысить эффективность подготовки к ЕГЭ по геометрии, а также при определении профессиональных интересов учащихся, связанных с математикой.

Стремление к введению инновационных

методов обучения подталкивает педагогов к созданию более эффективных и продуктивных способов решения задач по данному разделу. Данный метод обосновывается своей структурированностью. Использование этого алгоритма на уроках по геометрии в 10 классе поможет педагогу научить решать стереометрические задачи более эффективно и

быстро, так как данный способ позволяет выстраивать новую программу обучения для старшеклассников. Главная идея данного метода направлена на результат более детального способа изучения и решения геометрических задач, путем их непосредственного поэтапного анализа.

Список литературы

1. Бордовская Н.В. Педагогика: учебное пособие /Н.В. Бордовская, А.А. Реан. - СПб.: Питер, 2006. - 304 с.

2. Журавлева Н.А. Интерпретация критериев проверки заданий с параметром ЕГЭ по математике /Н.А. Журавлева // Современная система образования: опыт прошлого, взгляд в будущее. - 2013. - №2. - С. 62-67.

3. Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс: базовый и профил. уровни / Б.Г. Зив. - М.: Просвещение, 2011. - 159 с.

4. Крайнева С.В. Психологические особенности процесса решения прикладных естественнонаучных задач / С.В. Крайнева, О.Р. Шефер //Психология обучения. - 2018. - №6. - С. 139-145.

5. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике / М.Г. Макарченко // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. - 2008. - №11. - С. 268-276.

6. Санина Е.И. Развитие пространственного мышления в процессе обучения стереометрии /Е.И. Санина, О.А. Гришина // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Психология и педагогика. - 2013. - №4. - С. 99-102.

7. Фильчев Э.Г. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера / Э.Г. Фильчев //Проблемы науки. - 2016. - №4. - С. 19-21.

8. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи /Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий. - М.: Просвещение. 1989. - 192 с.

9. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: учеб. пособ. /Л.М. Фридман. -М.: Едиториал УРСС, 2005. - 248 с.

10. Шефер О.Р. Комплексные задачи по физике как средства достижения обучающимися метапредметных и предметных результатов: монография / О.Р. Шефер, Ю.Г. Ваганова. - Челябинск: Край Ра, 2014. - 196 с.

METHODICAL APPROACHES TO ORGANIZING A STEP-BY-STEP SOLUTION FOR STUDENTS OF SECONDARY SCHOOL OF PROBLEMS BY STEREOMETRY

SERYUKOVA A.S., PODPYATNIKOVA S.A. FSBEI HE SUSHPU, Chelyabinsk, Russia e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract

The article discusses the problems that arise when solving stereometric problems and suggests ways to solve them based on the steps outlined for organizing work with the requirements of the problem. The concrete examples show the structure of the teacher and students in the formation of the ability to step-by-step solving problems in stereometry.

Keywords: mathematics teaching methodology, stereometry, spatial imagination, solution steps.

математических упражнений и математических задач: стереометрия

Найдите объем и площадь поверхности куба, если площадь его одной грани равна 40 см 2 .

Найдите объем и площадь поверхности куба, если вам известна длина его пространственной диагонали d = 216 см.

Квадратная призма имеет базовую кромку a = длиной 7,1 см и боковую кромку h = 18.2 см в длину. Определите его объем и площадь поверхности.

Найдите объем и площадь поверхности треугольной призмы с основанием прямоугольного треугольника, если длина ножек основания призмы составляет 7,2 см и 4,7 см, а высота призмы - 24 см.

Найдите объем и площадь поверхности столба в форме призмы с ромбическим основанием, диагонали которого составляют d 1 = 102 см, d 2 = 64 см.Высота столба 1,5 м.

Бассейн глубиной два метра имеет форму призмы с равнобедренным трапециевидным дном. Размеры оснований трапеции - 10 м и 18 м, длина ног - 7 м. Во время генеральной уборки необходимо покрасить дно и боковые стенки бассейна. Сколько м 2 нам нужно покрасить?

Ваза цилиндрическая, высота 28 см. Его внутренний диаметр d = 1,1 дм. Сколько литров воды наполнит ваза, если толщина ее дна равна 1.5 см?

Цилиндрическая емкость диаметром 1,8 м вмещает 2 000 л воды. На какую высоту достигает вода?

Дорожный каток имеет диаметр 1,2 м и ширину 180 см. Сколько метров 2 дороги он сровнял бы, если повернет 35 раз?

Какой вес 1000 м медной проволоки диаметром 5 мм, если плотность меди ρ = 8,8 г / см 3 ?

Найдите объем и площадь поверхности квадратной пирамиды, у которой длина основания 45 см и высота пирамиды 7 см.

Пирамида имеет прямоугольное основание с размерами a = 6 см, b = 8 см. Боковые кромки все одинаковой длины s = 12,5 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Куб с длиной ребра 12 дм имеет вписанную пирамиду с вершиной в центре верхней грани куба. Определите объем и площадь пирамиды.

Сколько литров воздуха находится под крышей башни замка, имеющей форму правильной шестиугольной пирамиды с длиной ребра основания 3.6 м и высотой 2,5 м, если опорные столбы занимают около 7% пространства под крышей?

Конус и цилиндр имеют одинаковый объем 180 см. 3 и одинаковую высоту h = 15 см. Какое из этих двух твердых тел имеет большую площадь поверхности?

Найдите объем и площадь поверхности конуса с радиусом основания r = 2,3 дм, если высота конуса составляет h = 46 мм.

Мы должны окрасить без основания снаружи сорок таких же конусов с диаметром основания d = 36 см и высотой h = 46 см.Сколько евро мы заплатим за цвет, если нам нужно 500 см 3 краски для окраски 1 м 2 и 1 литр краски стоит 8 евро?

Михаил вылепил из пластилина пирамиду высотой 15 см с прямоугольным основанием с размерами a = 12 см и b = 8 см. Джейн переделала пирамиду Майкла в конус с диаметром основания d = 10 см. Какой была высота конуса Джейн?

Чайник высотой 35 см имеет форму усеченной пирамиды с длиной кромки квадратного нижнего основания a = 50 см и верхних граней прямоугольного основания b 1 = 20 см и b. 2 = 30 см.Сколько литров воды может вместить чайник?

Зазор глубиной 2 м имеет форму усеченной пирамиды с прямоугольными основаниями. Длина и ширина верхнего основания 3x1,5 м, нижнего основания 1x0,5 м. Чтобы покрасить один квадратный метр поверхности зазора, нам понадобится 0,25 литра зеленой краски. Сколько литров краски нам понадобится, если мы хотим покрасить только боковые стенки и нижнюю основу зазора?

В коллекции Мишель две вазы.Первая ваза имеет форму конуса с диаметром основания d = 20 см, вторая - форму усеченного конуса с диаметром нижнего основания d 1 = 25 см. диаметр верхнего основания d 2 = 15 см. Какая ваза может вместить больше воды, если высота обеих ваз 0,5 метра?

20 деревянных чаш в форме усеченного конуса необходимо окрасить изнутри и снаружи лаком для дерева.Для покраски 200 см 2 нам понадобится 0,1 литра лака. Сколько литров лака нужно покупать, если высота чаш 25 см, диаметр дна 20 см и диаметр верхнего дна 30 см?

Газгольдер имеет форму шара диаметром 14 м. Сколько м 3 газа поместится в него?

Какой процент объема куба с длиной ребер 6 м занимает объем сферы, вписанной в куб?

Какой процент площади поверхности сферы радиусом 12 см занимает площадь поверхности куба, вписанного в сферу?

Вас также может заинтересовать:

Вся элементарная математика - онлайн-математическая школа...

Программа уроков

Урок 1. Арифметика

Урок 2. Алгебраические преобразования

Урок 3. Алгебраические уравнения

Урок 4.Логарифмические и экспоненциальные уравнения

Урок 5. Неравенство

Урок 6. Задачи по составу уравнения

Урок 7. Последовательности и прогрессии

Урок 8.Планиметрия (геометрия плоскости)

Урок 9. Стереометрия (Твердотельная геометрия)

Урок 10. Тригонометрические функции и преобразования

Урок 11. Тригонометрические уравнения

Урок 12.Тригонометрические неравенства

Урок 13. Векторы и комплексные числа

Урок 14. Функции и графики

Урок 15. Лимиты

Урок 16. Производная

Урок 17.Интеграл

Урок 18. Наборы

Урок 19. Теория комбинаций и ньютонов. бином

Урок 20. Принципы теории вероятностей

Урок 21. Принципы аналитической геометрии

Урок 22. Разные проблемы

Тесты

Урок 1.Арифметика

Теория: Целые (натуральные) числа. Арифметические операции. Порядок операций. Кронштейны. Законы сложения и умножения. Критерии делимости. Простые и составные числа. Факторизация. Разрешение на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьший общий множитель. Вульгарные (простые) дроби. Операции с пошлыми дробями. Десятичные дроби (десятичные). Операции с десятичными дробями. Преобразование десятичной дроби в банальную дробь и обратно. Проц. Соотношение и пропорция. Пропорциональность.

Задачи: Арифметика.

Урок 2. Алгебраические преобразования

Теория: Рациональное число. Операции с отрицательными и положительными числами . Мономы и многочлены. Формулы сокращенного умножения. Деление многочленов. Деление многочлена на линейный двучлен. Делимость двучленов. Факторинг многочленов. Алгебраические дроби. Пропорции.

Задачи: алгебраические трансформации.

Урок 3. Алгебраические уравнения

Теория: Уравнения: общая информация. Основные способы решения уравнений. Линейные уравнения с одним неизвестным. Система двух одновременных линейных уравнений с двумя неизвестными. Система трех одновременных линейных уравнений с тремя неизвестными. Силы и корни. Арифметический корень. Иррациональные числа. Формула сложного радикала. Квадратное уровненеие. Мнимые и комплексные числа. Решение квадратного уравнения. Свойства корней квадратного уравнения.Теорема Вите. Факторинг квадратного трехчлена. Уравнения высших степеней.

Задачи: алгебраические уравнения.

Урок 4. Логарифмические и экспоненциальные уравнения

Теория: Логарифмы.

Задачи: логарифмические и экспоненциальные уравнения.

Урок 5. Неравенство

Теория: Математическая индукция. Неравенства: общие сведения. Расстойка и решение неравенств.

Проблемы: неравенство.

Урок 6. Задачи о составе уравнений

Теория: А успешный отбор неизвестных - главный момент при решении задачи о композиции уравнений. Необязательно выбирать как неизвестные значения, которые могут быть найдены в соответствии с проблемой формулировка.Иногда бывает выгодно выбрать другой значения как неизвестные, решить полученные уравнения и после этого найти требуемые значения, используя постановку задачи.

Проблемы: Проблемы по составу уравнений.

Урок 7. Последовательности и прогрессии

Теория: Арифметические и геометрические прогрессии.

Проблемы: Последовательности и прогрессии.

Урок 8. Планиметрия (геометрия плоскости)

Теория: Теоремы, аксиомы, определения. Прямая, луч, отрезок. Углы. Параллельные прямые. Аксиомы евклидовой геометрии. Многоугольник. Треугольник. Параллелограмм и трапеция. Подобие плоских фигур. Критерии подобия треугольников. Геометрический локус. Круг и окружность. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Площадки плоских фигур.

Проблемы: Самолет геометрия.

Урок 9. Стереометрия (твердотельная геометрия)

Теория: Общие понятия. Углы. Прогнозы. Многогранные углы. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей. Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида. Цилиндр. Конус. Шар (сфера). Касательная плоскость шара, цилиндра и конуса. Телесные углы. Правильные многогранники. Симметрия. Симметрия плоских фигур. Сходство тел. Объемы и площади поверхностей тел.

Проблемы: твердые геометрия.

Урок 10.Тригонометрические функции и преобразования

Теория: Радианы и градусы углов . Преобразование градусной меры в радиан и обратно. Тригонометрические функции острого угла. Решение прямоугольных треугольников. Отношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла. Тригонометрические функции любого угла. Формулы приведения. Формулы сложения и вычитания. Формулы двойных, тройных и половинных углов. Преобразование тригонометрических выражений в произведение. Некоторые важные соотношения. Основные отношения между элементами треугольника. Решение косых треугольников. Обратные тригонометрические функции. Основные соотношения для обратных тригонометрических функций.

Задачи: тригонометрические трансформации.

Урок 11. . Тригонометрические уравнения

Теория: Тригонометрические уравнения. Основные методы решения. Системы совместных тригонометрических уравнений.

Задачи: тригонометрические уравнения.

Урок 12. Тригонометрические неравенства

Теория: Тригонометрические неравенства.

Задачи: тригонометрические неравенства.

Урок 13.Векторы и комплексные числа

Теория: Принципы векторного исчисления. Комплексные числа.

Проблемы: Векторы и комплексные числа.

Урок 14.Функции и графики

Теория: Константы и переменные. Функциональная зависимость между двумя переменными. Представление функции формулой и таблицей. Обозначение функций. Координаты.Графическое представление функций. Основные понятия и свойства функций. Обратная функция. Составная функция. Элементарные функции и их графики. Графическое решение уравнений. Графическое решение неравенств.

Проблемы: Функции и графики.

Урок 15. Лимиты

Теория: Последовательности. Пределы числовых последовательностей. Некоторый замечательные пределы. Пределы функции.

Проблемы: Пределы.

Урок 16. Производная

Теория: Производная. Геометрический и механический смысл производной. Дифференциал и его связь с производной. Основные свойства производных и дифференциалов. Производные элементарных функций. Правило Де Л'Оспитальса . Применение производной в исследовании функций. Точки выпуклости, вогнутости и перегиба функции .

Проблемы: Производные.

Урок 17. Интеграл

Теория: Примитивный. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Методы интеграции. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Некоторые определенные интегралы. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования .

Проблемы: Интеграл.

Урок 18. Наборы

Теория: Основные понятия. Примеры наборов . Операции с множествами.

Проблемы: Наборы.

Урок 19. Теория комбинаций и бином Ньютона

Теория: Теория комбинаций. Бином Ньютона.

Проблемы: Теория комбинаций. Бином Ньютона.

Урок 20.Принципы теории вероятностей

Теория: События. Определение и основные свойства вероятности. Условная возможность. Независимость событий. Случайные переменные. Характеристики случайных величин. Нормальное (гауссово) распределение.

Проблемы: Вероятность.

Урок 21. Основы аналитической геометрии

1. Теория (аналитическая геометрия на плоскости) : Преобразования координат. Прямая линия. Круг. Эллипс. Гипербола . Парабола.

2. Теория (аналитическая геометрия в пространстве) : Преобразования координат. Самолет. Прямая линия. Сфера.

Проблемы: Аналитические геометрия.

Урок 22.Разные проблемы

Теория: Могут использоваться любые понятия из любого раздела элементарной математики. здесь.

Проблемы: Разное проблемы.

Тесты

Выполнение каждого теста 3 часа.Решая тесты, отмечают «чистое» время, использованное для выполнения контрольная работа. Необходимо проверить, пройдете ли вы обследование время или нет.

Тесты: Выбирать тест

Solid Geometry on SAT Math: Полное руководство

Геометрия - это раздел математики, который занимается точками, линиями, формами и углами.Вопросы по геометрии SAT проверят ваши знания форм, размеров и объемов различных фигур, а также их положения в пространстве.

25–30% задач SAT Math будут связаны с геометрией , в зависимости от конкретного теста.

Поскольку геометрия в целом охватывает множество различных математических понятий, существует несколько различных подразделов геометрии (включая плоские, твердотельные и координатные). Мы рассмотрим каждую ветвь геометрии в отдельных руководствах с пошаговым подходом к вопросам и примерами задач.

Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по твердотельной геометрии на SAT . Мы расскажем вам о значении твердотельной геометрии, формулах и представлениях, которые вам необходимо знать, а также о том, как решать некоторые из самых сложных задач твердотельной геометрии, связанные с кубами, сферами и цилиндрами на SAT.

Прежде чем продолжить, имейте в виду, что обычно будет только 1-2 вопроса по твердотельной геометрии на любом заданном SAT, , поэтому вам следует в первую очередь уделить внимание изучению плоской (плоской) геометрии и координатной геометрии.Сохраните изучение этого руководства напоследок с точки зрения подготовки к SAT.

Прежде чем погрузиться в царство твердотельной геометрии, убедитесь, что вы хорошо разбираетесь в геометрии плоскости и координатной геометрии!

Что такое твердотельная геометрия?

Твердая геометрия - это трехмерная геометрия. Это означает, что к плоской (плоской) геометрии добавляется еще одно измерение - объем, в котором используются только высота и длина.

Вместо плоских форм, таких как круги, квадраты и треугольники, твердотельная геометрия имеет дело со сферами, кубами и пирамидами (наряду с любыми другими трехмерными формами). И вместо того, чтобы использовать периметр и площадь для измерения плоских форм, твердотельная геометрия использует площадь поверхности и объем для измерения своих трехмерных форм.

Круг - это плоский объект. Это плоская геометрия.

Сфера - это трехмерный объект.Это твердая геометрия.

На SAT большинство задач твердотельной геометрии расположены в конце каждого раздела. Это означает, что задачи с твердой геометрией считаются одними из наиболее сложных вопросов (или теми, на которые уйдет больше всего времени, поскольку их часто приходится решать по нескольким частям). Используйте эти знания, чтобы направить свое внимание на наиболее продуктивные направления.

Если вы неправильно задаете несколько вопросов в начальном и среднем разделах каждого математического раздела, возможно, вам будет более продуктивно потратить время на то, чтобы сначала освежить свое общее понимание математических концепций, охватываемых SAT.Вы также можете узнать, как улучшить свой результат по математике или освежить свое понимание всех необходимых формул.

Примечание. Большинство формул SAT Math по твердотельной геометрии даются вам во время теста либо в поле формул, либо в самом вопросе. Если вы не уверены, какие формулы приводятся или нет в математическом разделе, обновите свои знания формул.

Это поле с формулами, которое будет отображаться во всех разделах SAT по математике.Вам даны формулы для объема прямоугольного твердого тела и объема цилиндра. Другие формулы часто будут даны вам в самом вопросе.

Но хотя многие формулы приведены, вам все же важно понимать, как они работают и почему . Так что не беспокойтесь об их запоминании, но обращайте на них внимание, чтобы углубить ваше понимание принципов, лежащих в основе твердой геометрии на SAT.

В этом руководстве я разделил подход к твердотельной геометрии SAT на три категории:

# 1: Типовые вопросы по твердотельной геометрии SAT

# 2: Типы геометрических тел и их формулы

# 3: Как решить задачу твердотельной геометрии SAT с помощью наших математических стратегий SAT

Приключение с твердой геометрией, вот и мы!


Типичные вопросы по твердотельной геометрии в SAT

Прежде чем мы рассмотрим формулы, которые вам понадобятся для твердотельной геометрии, важно ознакомиться с типами вопросов, которые вам задаст SAT о твердых телах.Вопросы SAT по твердой геометрии будут представлены в двух форматах: вопросы, в которых вам дается диаграмма, и вопросы со словами.

Независимо от формата, существует каждый тип вопроса о твердой геометрии SAT для проверки вашего понимания объема и / или площади поверхности фигуры. Вас спросят, как найти объем или площадь поверхности фигуры, или вам будет предложено определить, как смещаются и изменяются размеры фигуры.

Проблемы со схемой

Задача схемы твердого тела предоставляет вам чертеж геометрического тела и просит вас найти недостающий элемент изображения.Иногда они просят вас найти объем фигуры, площадь поверхности фигуры или расстояние между двумя точками на фигуре. Они также могут попросить вас сравнить объемы, площади поверхности или расстояния нескольких разных фигур.

Это типичный вопрос SAT для «сравнения твердых веществ». Мы рассмотрим, как решить эту проблему позже в руководстве.

Проблемы со словами

В текстовых задачах с твердой геометрией обычно предлагается сравнить площади поверхности или объемы двух фигур.Они часто дают вам размеры одного твердого тела, а затем предлагают сравнить его объем или площадь поверхности с твердым телом с разными размерами.

На сколько кубических футов коробка высотой 2 дюйма, шириной 6 дюймов и глубиной на 1 дюйм больше, чем цилиндр высотой 4 дюйма и диаметром 6 дюймов?

Это типичный вопрос со словами, который может появиться в разделе сетки SAT math

Другие проблемы со словами могут попросить вас поместить одну фигуру в другую.Это просто еще один способ заставить вас задуматься об объеме фигуры и способах его измерения.

Каков минимально возможный объем куба в кубических дюймах, на котором можно вписать сферу радиусом 3 дюйма?

A) 12√3 $ (примерно 20,78 $)

B) 24√3 $ (примерно 41,57 $)

C) 36√3 $ (примерно 62,35 $)

D) 216 долларов США

долларов США

E) $ 1728 $

Это типичная проблема с написанием твердых слов.Мы рассмотрим, как решить эту проблему позже в руководстве.

Задачи со словами с твердой геометрией могут сбивать с толку многих людей, потому что может быть трудно визуализировать вопрос без изображения.

Как всегда, когда речь идет о задачах со словами, описывающих формы или углы, рисуйте сами! Простая возможность увидеть, что описывает вопрос, может творить чудеса, помогая прояснить вопрос.

Общий стиль вопросов по твердой геометрии

Каждый вопрос о твердой геометрии в SAT касается либо объема, либо площади поверхности фигуры, либо расстояния между двумя точками на фигуре.Иногда вам придется комбинировать площадь поверхности и объем, иногда вам придется сравнивать два твердых тела друг с другом, но в конечном итоге все вопросы о твердотельной геометрии сводятся к этим концепциям.

Итак, теперь давайте рассмотрим, как найти объемы, площади поверхности и расстояния всех различных геометрических тел на SAT.

Идеальный пример геометрических тел в дикой природе

Призмы

Призма - это трехмерная форма, имеющая (как минимум) два конгруэнтных параллельных основания.По сути, вы можете взять призму и нести ее, положив ее противоположные стороны на ладони.

Некоторые из множества различных видов призм.

Прямоугольные тела

Прямоугольное тело - это, по сути, коробка. У него есть три пары противоположных сторон, которые равны и параллельны.

Объем

$ \ Объем = lwh $

Объем фигуры - это мера ее внутреннего пространства.

  • $ l $ - длина фигуры
  • $ w $ - ширина фигуры
  • $ h $ - высота фигуры

Обратите внимание, что эта формула аналогична нахождению площади квадрата ($ A = lw $) с добавленным измерением высоты, поскольку это трехмерная фигура

Во-первых, определите тип вопроса - объем или площадь поверхности? Вопрос касается внутреннего пространства твердого тела, так что это объемный вопрос.

Теперь нам нужно найти прямоугольный объем, но это несколько сложный вопрос. Обратите внимание, что мы выясняем, сколько воды находится в конкретном аквариуме, но вода не заполняет весь аквариум. Если мы просто сосредоточимся на воде, мы обнаружим, что она имеет объем:

.

$ V = lwh $ => $ (4) (3) (1) = 12 \ кубических \ футов $

(Почему мы умножили футы и ширину на 1 вместо 2? Потому что вода достигает только 1 фута; она не заполняет все 2 фута высоты резервуара)

Теперь мы собираемся налить эти 12 кубических футов воды во второй резервуар.Этот второй резервуар имеет общий объем:

$ V = lwh $ => $ (3) (2) (4) = 24 \ кубических \ футов $

Хотя второй резервуар может вместить 24 кубических фута воды, мы добавляем только 12. Таким образом, 12/24 доллара = 1/2 доллара.

Вода поднимется ровно на половину высоты второго резервуара, что означает , ответ будет D , 2 фута.

В любом случае эти рыбы не будут очень довольны в половинном резервуаре с водой

Площадь

$ \ Поверхность \ площадь = 2lw + 2lh + 2wh $

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольной призмы, вы находите площади для всех плоских прямоугольников на поверхности фигуры (граней), а затем складываете эти площади вместе.

В прямоугольном твердом теле есть шесть граней снаружи фигуры. Они разделены на три равные пары противоположных сторон.

Если вам сложно изобразить площадь поверхности, помните, что кубик имеет шесть сторон.

Итак, вы находите площади трех комбинаций длины, ширины и высоты (lw, lh и wh), которые затем умножаете на два, потому что у каждой из этих комбинаций есть две стороны.2] $

Диагональ прямоугольного твердого тела является самой длинной внутренней линией твердого тела. Он касается от угла одной стороны призмы к противоположному углу на другой.

Вы можете найти эту диагональ, используя приведенную выше формулу или разбив фигуру на два плоских треугольника и применив теорему Пифагора для обоих. Вы всегда можете сделать это, если не хотите запоминать формулу или если вы боитесь неправильно запомнить формулу в день теста.3 = 216 $

Или вы можете использовать формулу, чтобы найти объем любого прямоугольного твердого тела:

$ \ Объем = lwh $ => $ (6) (6) (6) = 216 $

Теперь найдите объем одного из меньших прямоугольных тел:

. 2 $

Это те же формулы, что и для площади поверхности прямоугольного твердого тела ($ SA = 2lw + 2lh + 2hw $).2 $


Длина по диагонали

$ \ Диагональ = s√3 $

Как и в случае с прямоугольным телом, вы можете разбить куб на два плоских треугольника и использовать теорему Пифагора для обоих в качестве альтернативы формуле.

Это тот же процесс, что и поиск диагонали прямоугольного твердого тела.

Сначала найдите длину диагонали (гипотенузы) основания твердого тела с помощью теоремы Пифагора.

Затем используйте эту длину как одну из меньших сторон нового треугольника с диагональю твердого прямоугольного тела в качестве новой гипотенузы.

Найдите диагональ, снова используя теорему Пифагора.

Цилиндры

Цилиндр - это призма с двумя круглыми основаниями на противоположных сторонах

Обратите внимание, что для решения этой проблемы вам нужно знать только основную форму цилиндра. Нарисуйте фигуру, которую они описывают.

Если диаметр его круглых оснований равен 4, это означает, что его радиус равен 2. Теперь у нас есть две стороны прямоугольного треугольника.2 ч. $

  • $ π $ - универсальная константа, также представленная как 3,14 (159)
  • $ r $ - радиус круглого основания. Это любая прямая линия, проведенная от центра круга к окружности круга.
  • $ h $ - высота круга. Это прямая линия, соединяющая два круглых основания.

Эта задача требует от вас понимания того, как получить объем прямоугольного твердого тела и объем цилиндра, чтобы сравнить их.2) (4) = 16π $ или 50,27 $

Объемы для прямоугольных тел находятся по:

$ V = л / ч

$

Таким образом, объем твердого тела A составляет $ (3) (3) (3) = 27 $

Solid B имеет объем $ (4) (3) (3) = 36 $

Solid C имеет объем $ (5) (4) (3) = 60 $

Solid D имеет объем $ (4) (4) (4) = 64 $

А твердый E имеет объем $ (4) (4) (3) = 48 $

Итак, ответ: E , 48

Площадь

$ \ Поверхность \ площадь = 2πr ^ 2 + 2πrh $

Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, вы складываете объем двух круглых оснований ($ 2πr ^ 2 $) плюс поверхность трубы, как если бы она была развернута ($ 2πrh $).

Поверхность трубки также можно записать как $ SA = πdh $, потому что диаметр в два раза больше радиуса. Другими словами, поверхность трубки - это формула длины окружности с дополнительным измерением высоты.


Непризменные тела

Непризменные тела - это формы в трех измерениях, которые не имеют параллельных конгруэнтных сторон. Если вы возьмете эти формы рукой, максимум одна сторона (если таковая имеется) будет прилегать к вашей ладони.

Конусы

Конус похож на цилиндр, но имеет только одно круглое основание вместо двух. Его противоположный конец заканчивается точкой, а не кругом.

Есть два вида конусов - прямые и косые. Для целей SAT вам нужно только позаботиться о правильных конусах. Наклонные конусы используются только в предметных тестах I и II по математике.

У правого конуса есть вершина (конечная точка наверху), которая находится прямо над центром круглого основания конуса. 2 $) и площади боковой поверхности ($ πrl $)

Поскольку правые конусы образуют прямоугольный треугольник с длинами сторон: $ h $, $ l $ и $ r $, вы часто можете использовать теорему Пифагора для решения задач.

Пирамиды

Пирамиды - это геометрические тела, похожие на конусы, за исключением того, что у них есть многоугольник в основании и плоские треугольные стороны, которые встречаются в вершине.

Есть много типов пирамид, определяемых формой их основания и углом их вершины, но для SAT вам нужно только позаботиться о правильных квадратных пирамидах.

Правая квадратная пирамида имеет квадратное основание (каждая сторона имеет равную длину) и вершину прямо над центром основания.2h $, так как основание - квадрат, поэтому длина каждой стороны одинакова.

Сферы

Сфера - это, по сути, трехмерный круг. В круге любая прямая линия, проведенная от центра к любой точке окружности, будет равноудалена. 3 $

Твердые тела с надписью

Самыми распространенными твердыми телами, вписанными в SAT, будут: куб внутри сферы и сфера внутри куба.Вы можете получить совершенно другую форму, но основные принципы работы с вписанными формами все равно будут применяться. Чаще всего вопрос заключается в проверке того, что вам часто нужно знать принципы и формулы твердой геометрии для каждой формы в отдельности, чтобы иметь возможность соединить их вместе.

Имея дело с вписанными формами, рисуйте по схеме, которую они вам дают. Если они не дают вам диаграмму, сделайте свою собственную! Рисуя своими собственными линиями, вы сможете лучше преобразовать трехмерные объекты в серию двухмерных объектов, что чаще всего приведет вас к решению.

Поймите, когда вам дают твердое тело внутри другого твердого тела, на это есть причина. Это может показаться вам запутанным, но SAT всегда предоставит вам достаточно информации для решения проблемы.

Например, одна и та же линия будет иметь разное значение для каждой формы, и это часто является ключом к решению проблемы.



Итак, у нас есть твердое тело с надписью, а рисунок отсутствует. Итак, первым делом сделайте свой рисунок!

Теперь, поскольку у нас есть сфера внутри куба, вы можете видеть, что радиус сферы всегда равен половине длины любой стороны куба (потому что куб по определению имеет все равные стороны).3 $.

Для подавляющего большинства вопросов о вписанных телах радиус (или диаметр) круга будет ключом к решению вопроса. Радиус сферы будет равен половине длины стороны куба, если куб имеет форму. внутри сферы (как в вопросе выше). Это означает, что диаметр сферы будет равен одной стороне куба, потому что диаметр в два раза больше радиуса. .

Но что произойдет, если у вас есть сфера внутри куба? В этом случае диаметр сферы фактически становится диагональю куба.

Каков максимально возможный объем куба в кубических дюймах, который можно вписать в сферу радиусом 3 дюйма?

A) 12√3 $ (примерно 20,78 $)

B) 24√3 $ (примерно 41,57 $)

C) 36√3 $ (примерно 62,35 $)

D) 216 долларов США

долларов США

E) $ 1728 $

Сначала нарисуйте свою фигуру.

Вы можете видеть, что, в отличие от того, когда сфера была вписана в куб, сторона куба не в два раза больше радиуса круга, потому что между сторонами куба и окружностью сферы есть зазоры.3 = 12√12 = 24√3 $

Хотя сплошная геометрия поначалу может показаться запутанной, практика и внимание к деталям помогут вам найти правильный ответ

На вынос

Вопросы о твердой геометрии на SAT всегда будут спрашивать вас об объеме, площади поверхности или расстоянии между точками на фигуре. Они усложняют задачу, заставляя вас сравнивать элементы разных фигур или заставляя вас выполнять несколько шагов для решения каждой задачи.

Но вы всегда можете разбить любой вопрос SAT на более мелкие части.

Шаги к решению задачи твердотельной геометрии

№ 1: Определите, что проблема просит вас найти.

Проблема в кубах или сферах? Оба? Вас просят определить объем или площадь фигуры? Оба?

Убедитесь, что вы понимаете, какие формулы вам понадобятся и с какими элементами геометрического тела (тел) вы имеете дело.

# 2: Нарисуйте

Нарисуйте картинку каждый раз, когда они описывают твердое тело, не предлагая вам изображения. Это часто упрощает представление о том, какой именно информацией вы располагаете и как вы можете использовать эту информацию, чтобы выяснить, какой вопрос вас просят предоставить.

# 3: Используйте свои формулы

После того, как вы определили формулы, которые вам понадобятся, часто достаточно просто ввести предоставленную вами информацию.

Если вы не можете вспомнить свои формулы (например, формулу для диагонали), используйте альтернативные методы, чтобы найти ответ, например теорему Пифагора.

# 4: Сохраняйте ясность и дважды проверяйте свою работу

Вы обязательно отметили свою работу? Создатели теста знают, что ученики легко проявляют неряшливость в условиях высокого стресса, и соответственно добавляют ответы на приманку. Поэтому убедитесь, что объем вашего цилиндра и объем вашего куба обозначены соответствующим образом.

И не забудьте еще раз проверить свой ответ, если у вас есть время! Имеет ли смысл говорить, что коробка высотой 20 футов может поместиться внутри коробки объемом 15 кубических футов? Точно нет! Прежде чем закончить, убедитесь, что все элементы вашего ответа и вашей работы находятся в нужном месте.

Следуйте инструкциям по решению проблем с твердой геометрией, и вы получите золото

Сплошная геометрия часто не так сложна, как кажется; это просто плоская геометрия, перенесенная в третье измерение.Если вы поймете, как каждая из этих форм изменяется и соотносится друг с другом, вы сможете справиться с этим разделом SAT с большей легкостью, чем когда-либо прежде.

Что дальше?

Теперь, когда вы сделали свой шаг в твердой геометрии, было бы неплохо просмотреть все математические темы, протестированные на SAT, чтобы убедиться, что вы их прочно закрепили. Хотите получить высший балл? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 800 баллов по SAT Math от идеального тестировщика SAT.

Сейчас забиваете в среднем диапазоне? Не хватает времени на математический раздел? Не ищите дальше наших статей о том, как улучшить свой результат, если вы в настоящее время набираете меньше 600 баллов, и как перестать не хватать времени на математику SAT.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.

Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач SAT Math, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:

Часть I - 5.Использование компьютерных технологий для поддержки решения проблем и содействия пониманию


На каждом уровне учебной программы некоторые курсы должны включать упражнения который поможет всем учащимся прогрессировать в обучении использованию технологий:

  • Правильно и эффективно как инструмент для решения проблемы;
  • В помощь пониманию математических идей.

Количество сайтов предоставить ссылки на программные инструменты, которые можно использовать для демонстраций в классе или что студенты могут исследовать самостоятельно, чтобы получить конкретное ощущение математические понятия.Многие из них являются частью Национального научного фонда. Инициатива цифровых библиотек, NSDL.

MathDL, электронная библиотека математических наук MAA, содержащая ряд полезных ресурсов: Журнал онлайн-математики и ее приложений (JOMA) издает рецензируемые веб-материалы, содержащие динамическую, полноцветную графику для изучение математики. Цифровой MathDL В разделе "Классные ресурсы" предлагаются дополнительные бесплатные рецензируемые и учебные материалы, проверенные в классе, Конвергенция предоставляет обширный набор ресурсов для преподавания истории математики, Классные капсулы и заметки объединяет лучшее за 12 лет коротких учебных материалов от Печатные издания МАА, МАА Обзоры - это большая база данных книг и книжных обзоров, а в настоящее время награды MAA Writing Awards в стадии разработки, будет содержать pdf-копии статей, получивших MAA награды за написание журналов.

Все разбирательства с 1994 года ежегодных встреч Международной конференции по Технологии в университетской математике (ICTCM) доступны на Интернет. Сюда входят как аннотации, так и полные тексты выступлений на конференциях.

Центр технологий в обучении Математика (CTTM) в Университете Род-Айленда способствует обмен идеями, материалами, информацией и опытом между тремя государственные высшие учебные заведения в Род-Айленде.Сайт предлагает Java апплеты, видеоклипы, слайд-шоу, учебники на основе JavaScript и более того, в областях предварительного исчисления, исчисления и инженерной математики.

Александр Bogomolny’s Interactive На сайте "Математика и головоломки", пожалуй, самый крупный коллекция апплетов Java и Flash для математики, которая существует на Интернет и содержит много дополнительной информации по математике и преподавание математики.

Проект Connected Curriculum, при поддержке NSF создал интерактивную среду обучения для широкий спектр математических и математических приложений.Материалы сочетать гибкость и возможность подключения к Интернету с мощностью системы компьютерной алгебры. Они могут использоваться группами учащихся в качестве интегрированная часть курса, или отдельными лицами как независимые проекты или дополнения к аудиторным обсуждениям. Большинство учебных материалов CCP попадают в одну из трех категорий: модули, проекты или учебники. Все используют не менее некоторые из следующего: гипертекстовые ссылки, Java-апплеты, сложная графика, система компьютерной алгебры, реалистичные сценарии, наводящие на размышления вопросы требующие письменных ответов и сводных вопросов, предназначенных для учащихся чтобы увидеть лес, а также деревья.Продукция CCP нацелена на предварительное исчисление, линейная алгебра, исчисление с одной и несколькими переменными, дифференциальные уравнения и математика для техники.

MERLOT, Мультимедийные образовательные ресурсы для Обучение и онлайн-обучение, представляет собой сборник бесплатных рецензируемых материалов, который включает математика. Он был основан Центром государственного университета Калифорнии. для распределенного обучения и коллекций оценок, а также индивидуальных программные инструменты. «Стратегическая цель MERLOT - улучшить эффективность преподавания и обучения за счет увеличения количества и качество рецензируемых онлайн-учебных материалов, которые можно легко включены в курсы, разработанные факультетами.”

Веб-сайт Manipula Math с Java из международного Education Software содержит 279 математических апплетов по геометрии (расположено под заголовком «Средняя школа»), тригонометрия, исчисление, векторы, комплексные числа, коники и прочее. Веб-сайт Вальтера Фендта содержит Java апплеты для арифметики, элементарной алгебры, плоской геометрии, стереометрии, сферическая геометрия, тригонометрия, векторный анализ, анализ и комплекс числа.

Дэвид Хилл, Университет Темпл, и Лила Робертс, Южный университет Джорджии, создали веб-сайт. чья цель - «соединить преподавателей математики с эффективными инструменты обучения ", которые вовлекают учащегося на более высокий уровень, чем диалог.ДЕМО с проектом ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ собирает и публикует демонстрации, которые можно включить в лекцию и которые используют ту или иную форму учебных технологий, где технология интерпретируется очень широко, от физического оборудования до калькулятора и компьютера программное обеспечение.

Math Tools - это "сообщество библиотека технологических инструментов, уроков, мероприятий и вспомогательных материалов для преподавание и изучение математики ". Это проект математического форума, финансируемый частично в рамках инициативы NSF NSDL, и в настоящее время включает более 3000 программные инструменты и вспомогательные материалы, начиная с уровня расчетов и ниже в дошкольный.Исходя из предположения, что несовершенный, но полезный инструмент лучше, чем никакого инструмента, материал не рецензируется, но Пользовательский рейтинг в стиле Amazon, и дискуссии об использовании инструментов - это важная часть форума. Следовательно, жалобы пользователей иногда заставляли разработчиков программного обеспечения улучшать свои продукты.

Библиотека Матрайта - это собрание интерактивная, электронная математика и естественные науки "Рабочие тетради" и «Микромиры». Члены библиотеки могут бесплатно скачивать материалы. в течение периода их подписки, а также доступны подписки на год за символическую плату, как частными лицами, так и организациями.Цель Библиотека приглашает школьников в мир математики и естествознания. через структурированные микромиры и рабочие книги, которые позволяют им задавать свои собственные вопросы, читайте в своем собственном темпе, экспериментируйте и играйте с различными математические темы. Рабочие книги были разработаны колледжами и средними школами. учителей математики и естественных наук при первоначальном финансировании со стороны Национального Научный фонд и поддержка со стороны IBM Corporation.

Классные ресурсы по использованию программного обеспечения динамической геометрии пакеты, такие как Geometer’s Скетчпад, Кабри Геометрия, Золушка, и GeoGebra (бесплатно), доступно на математическом форуме Геометрия Веб-сайт программного обеспечения.

Высокотехнологичный подход к математике инструкция с использованием ресурсов Java, файлов Excel и разнообразного динамического программного обеспечения источников, описывается в « Динамический класс в колледже »Дугласа Батлера, школа Oundle, Великобритания.

Бернхард Кутцлер, управляющий директор bk Teacherware, написал статью, в которой он считает, с какими математическими задачами студенты должны решать технологии и какие проблемы следует решать без нее. На веб-сайте Кутцлера есть актуальная, доступная для поиска список конференций по использованию технологий в математическом образовании.

OpenOffice имеет бесплатный офисный пакет, включающий приложение для работы с электронными таблицами (Calc) который можно читать, редактировать и сохранять в формате Excel. В комплект также входят текстовый процессор, совместимый с MSWord, программа для презентаций, совместимая с PowerPoint и программой для работы с базами данных.

Технологии в учебной программе

Элементарный Курсы обслуживания

Самая университетская алгебра учебники по предварительному расчету и многие курсы теперь включают использование графические калькуляторы.Некоторые также включают программы для работы с электронными таблицами, обычно Excel, системы компьютерной алгебры, такие как Derive или Maple, и динамическая геометрия программы, такие как Sketchpad Geometer или Cabri Geometry. Например, программа по математике Моделирование и решение проблем I из Университета Фрэнсиса Мариона заявляет, что «новый график TI-83 Plus калькулятор будет широко использоваться в этом курсе ... Мы также будем использовать другие такие технологии, как программа Excel, Microsoft Word, Graph-Link и Maple на компьютерах для вычислений и графиков.”Программа по алгебре в колледже в Государственном университете Дакоты включает предложение «Студенты будут использовать Sketchpad, Excel и Maple от Geometer в этом курсе ».

Книжные издательства для курсов начального обслуживания разработали пакеты программного обеспечения для обучения сопровождают многие их тексты более низкого уровня. Эти пакеты включают систему ALEKS от McGraw-Hill, The Уравнение обучения от Thomson Learning, MyMathLab и MathXL от Pearson Эддисон-Уэсли и Пирсон Прентис Холл.

В 1995/96 г. Проект INPUT (инновационные программы с использованием технологий) запросил заявки на участие первый конкурс INPUT. Результат работы проекта - справочник. Образцовый Вводная программа колледжа по математике , которая была разработана для предоставить конкретные подробные описания того, что некоторые инструкторы-новаторы делают, как они это делают и какие технологии используют.

Элементарный Статистика

Элементарный учебники по статистике, особенно по бизнес-статистике, в настоящее время обычно включать электронные наборы данных для анализа с использованием статистических данных и таблиц программное обеспечение, такое как Excel, SPSS или Minitab.Обзор учебных программ по Интернет указывает, что это программное обеспечение включено в значительную доля этих курсов.

Джон К. Пецзулло поддерживает коллекцию веб-страниц, которые вместе составляют свободно доступный многоплатформенный статистический программный пакет. Это также содержит ссылки на книги онлайн-статистики, учебные пособия, загружаемые программное обеспечение и сопутствующие ресурсы.

Робин Лок, Университет Св. Лаврентия, создал список Интернета веб-сайты с Java-апплетами, иллюстрирующими статистические концепции.

Книга Статистика преподавания: Ресурсы для инструкторов бакалавриата , под редакцией Томаса Мура (MAA, 2000) содержит раздел об использовании технологий, который начинается с серии заданий, призванных помочь учителям оценивать и сравнивать статистические программные пакеты. Также есть разделы по использованию графических калькуляторов. в обучении статистике и информации об Интернет-ресурсах и инновационное использование технологий (в том числе видео) в классе.

Исчисление

При поддержке Национальным научным фондом, несколько проектов по реформе математического анализа в 1990-е годы привели к использованию калькуляторов и компьютерных технологий в инструкция по исчислению. Теперь упражнения с использованием графической технологии включены практически во все учебники по математике и предложения в ряде школ включают компьютерные лабораторные занятия с использованием Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB или Derive.В то время как некоторые инструкторы используют лаборатории они придуманы сами или получены от коллег, другие используют один из количество опубликованных сборников вычислительных лабораторий. Альтернатива подход можно найти в исчислении & Mathematica (C&M) курс, начатый в Университете Иллинойса, Урбана-Шампейн, 1989 год Джерри Улем и Орасио Порта. В этом конечно, большая часть обучения проводится в лабораторных условиях, а текст курса представляет собой записную книжку Mathematica, к которой студенты получают доступ и взаимодействовать с Интернетом.

Международное образование Веб-сайт программного обеспечения содержит 279 Java-апплетов, которые динамически иллюстрируют математические понятия и находятся в свободном доступе для просмотра. Большинство из них относится к исчислению с одним и несколькими переменными. Аннотированный список дополнительная информация о технологии в инструкции по исчислению дана в веб-сайт поддерживается Мартин Флэшман, Государственный университет Гумбольдта.

Том Литрам, Государственный университет Джексонвилля, разработал коллекцию Mathlets: Java-апплеты для математических исследований, которые предоставляют набор интерактивных обучающие инструменты для предварительного вычисления, исчисления и не только.

Пока учился студентка Иллинойского университета в Урбана-Шампейн, Лиза Дениз Мерфи написал оценочную статью: Компьютер Системы алгебры в реформе исчисления.

Журнал онлайн-математики (JOMA) имеет по крайней мере 81 элемент по расчету, который можно получить на его веб-сайте ввод "исчисления" в качестве ключевого слова.

Элементарный Дискретная математика

Дополнение к Текст Кеннета Розенса Дискретный Математика и ее приложения , 5-е издание, использует Maple, чтобы сосредоточиться на вычислительные аспекты предмета.Веб-сайт текста Розена также содержит ссылки на несколько интерактивных демонстрации по дискретным математическим темам.

Дуг Энсли из Университета Шиппенсбурга размещает веб-страницу, содержащую различные Flash Приложения для сопровождения Введение в дискретную математику: Математическое мышление с помощью головоломок, шаблонов и игр s , автор: Дуг Энсли и Дж. Уинстон Кроули. Некоторые из этих приложений помогают в разработке доказательства, а другие иллюстрируют дополнительные концепции дискретной математики.

Сюзанна Эпп, Университет ДеПола, составила аннотированный список Java-апплетов и другого учебного программного обеспечения для дискретных математика, включая набор лабораторий Derive, разработанных Нэнси Хагельганс, Колледж Урсинус.

Линейная алгебра

Проект ATLAST (Дополнение преподавание линейной алгебры с использованием программных средств), финансируется Национальным научным фондом был создан для поощрения и облегчить использование программного обеспечения при обучении линейной алгебре.Книга АТЛАСТ Компьютерные упражнения для линейной алгебры , 2-е издание, под редакцией Стивена Леона, Юджина Германа и Ричард Фолкенберри является продуктом проекта и использует MATLAB. Файлы данных можно загрузить с Сайт АТЛАСТ. Также доступны версии большинства упражнений для Mathematica и может быть разработан для Maple.

Текст по линейной алгебре Дэвида Лэя из Мэрилендского университета разработан для использования с MATLAB, Maple, Mathematica или Калькулятор TI-83 +, TI-86, TI-89 или HP48G.Наборы данных, привязанные к упражнениям в текст можно загрузить из Интернета.

Книга, Интерактивная Линейная алгебра: лабораторный курс с использованием Mathcad , подготовленный Джеральдом Портером, Университет Пенсильвании, и Дэвидом Хиллом, Университет Темпл, предназначен для использования в курс с форматом компьютерной лаборатории и акцентом на изучение открытий.

Математический форум сайт Выбор Текст линейной алгебры содержит дополнительную информацию о линейной алгебре. книги, изданные в период с 1985 по 2005 год, в которых для обучения используются технологии.

Дифференциал Уравнения

ODE Architect Companion, созданный Консорциумом обычных Эксперименты с дифференциальными уравнениями при поддержке Национального научного фонда и теперь доступно в высшем образовании Wiley, это интерактивное обучение, учебная и исследовательская среда для построения и изучения математических модели явлений реального мира. Руководство об использовании ODE Architect написал Майкл Муди.

Большие коллекции Java-апплеты для многомерного исчисления и дифференциальных уравнений были разработан рядом людей: Ричард Уильямсон, Дартмутский колледж, при содействии Скотта Рэнкина и Сьюзан Шварц, и группа, состоящая из Беверли Уэст, Корнельский университет, Стивен Строгац, Корнельский университет, Джин Мари МакДилл, Калифорнийский политехнический университет, Сан-Луис-Обиспо, Джон Кантуэлл, Сент-Луис Университет.

Согласно обзор Яна Э.Холли, оборотов в дифференциальных уравнениях: изучение ОДУ с помощью современных технологий , Майкл Дж. Каллахер (ред.) "Состоит из статей, представляющих множество идеи по использованию технологий в обучении дифференциальным уравнениям. Включены идеи для примеров в классе, упражнения для учащихся и способы структурировать курс. Также включены описания доступного программного обеспечения и ссылки на Интернет-ресурсы ».

в обучении и преподавании Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 Крис Расмуссен и Карен Уайтхед обсудить использование технологий, заключив, что «нам нужно в том, как и почему мы решили внедрять технологии в классе." Они напишите: «Использование системы компьютерной алгебры в качестве отдельного лабораторного компонента или только как демонстрационный инструмент с меньшей вероятностью достигнет намеченного учебные цели "чем" интеграция технологий в студенческие опыты в классе ».

История Математика

Конвергенция журнала MAA предоставляет большое количество онлайн-ресурсов для преподавания курсов в история математики. Все элементы Евклида вместе с объяснения, обсуждения и Java-апплеты содержатся на веб-сайте разработан Дэвидом Джойсом, Университет Кларка. Исторические модули для преподавания и изучения математики , под редакцией Виктора Каца и Карен Ди Михалович - компакт-диск с огромной коллекцией PDF-файлов с описания индивидуальных уроков, организованных по предметам, по темам обучения в истории математики.


Дополнительные ресурсы

Дополнительные примеры использования технологий на верхнем уровне курсы математики находятся в Части 2, Разделе C.2.

Векторное исчисление и твердотельная геометрия при обучении математике

Acta Didactica Universit at is ComenianaeM at hem at ics, выпуск 6, 2006 г. ВЕКТОРНЫЙ РАСЧЕТ И ТВЕРДАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ 1LUCIA RUMANOVÁAbstract.В статье присутствует при ионном анализе проблемы в теории дидактических ситуаций на ионе и оценка at ion эксперимента с использованием st at спортивной программы CHIC. Анализ проблемы - это задача стереометрии для учащихся средних школ. Целью эксперимента было упомянуть о проблемах с применением в знания различных частей m на кромке на ics на решении задачи стереометрии.Резюме. Эта статья представляет собой анализ проблем, связанных с теорией положения и исследований и выводов об опыте использования и логики CHIC. Le problèmeanalysé est une tâche de la stéréométrie donnée pour les étudiants de l´école secondaire. Le butde l´expérience - это индикатор проблем, связанных с применением в рассуждении о различиях между темами, на его и iques dans la solution d´ un problème stéréométrique.Zusammenfassung. Der Artikel ist eine Vorführung der Analyze eines Problems mittelsder Theorie der didaktischen Ситуация в ionen und des Auswertens mit Nützung des st at istischenProgramms CHIC. Das analysierte Problem ist ein Beispiel der darstellenden Geometriefür Studenten der Mittelschulen bestimmt. Ziel des Experiments ist auf Problemeder Applik at ion der Kenntnisse von verschiedenen Them at ischen Einheiten der M at hem at ikbeim Lösen eines Beispiels der darstellenden Geometrie zu zeigen.Риассунто. Il presente pone l’analisi di un проблема teorico, di una situazione сделал на ticae della valutazione di un esperimento con l’uso del programma st на istico CHIC. Анализируйте проблему стереометрии для студентов второй школы. Lo scopodell'esperimento is st at o quello di s of fermarsi su issues con application di conoscenzedi different parti della m at em at ica и решение проблемы стереометрии.Аннотация. Чланок, если вы хотите проанализировать проблему в теориях дидактических ситуаций и исходить из экспериментов с вьюжитим на истицкой программе CHIC. Analyzovaným problémom jeúloha zo stereometrie určená pre študentov stredných škôl. Cieľom expertu je poukázať1 Эта статья была частично поддержана Европейскими социальными фондами JPD 3 BA-2005 / 1-063 и SOPLZ-2005 / 1-225

Stereometry (Геометрия в пространстве) - WhatMaster

Основные теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

Некоторые определения:

  1. Многогранник - это геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имея общую сторону, не лежат в одной плоскости.Причем сами многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами многогранника, а их вершины - вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью ( полная поверхность ), а сумма площадей всех его граней называется площадью (полной) поверхности .
  3. Куб представляет собой многогранник с шестью гранями, равными квадратам. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины - вершинами куба.
  4. Параллелепипед - это многогранник с шестью гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Стороны параллелограмма называются ребрами параллелепипеда, а их вершины - вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются напротив , если у них нет общего края, а те, которые имеют общий край, называются смежными . Иногда любые две противоположные грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями , тогда другие грани являются боковыми гранями , а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, являются его боковыми гранями .
  5. Прямой параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками. Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Обратите внимание, что каждый прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не каждый прямой параллелепипед является прямоугольным.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются напротив . Отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда .У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (угол n- ) - это многогранник, две грани которого равны n -счетчиков, а другие n граней являются параллелограммами. Равные n -угольников называются основаниями , а параллелограммы называются боковыми гранями призмы . Прямая призма - это призма, боковые грани которой прямоугольные. Обычная призма n - это призма, у которой все боковые грани являются прямоугольниками, а ее основания - правильными счетчиками n .
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначена S, , , сторона ). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначена как S full ).
  9. Пирамида ( n- угловая) - это многогранник с одной гранью, у некоторых n -угольник, а у другой n граней, треугольники с общей вершиной; N -угольник называется основанием ; треугольники с общей вершиной называются боковыми гранями , а их общая вершина называется вершиной пирамиды .Стороны пирамиды называются ее ребрами , а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми .
  10. Сумма площадей боковых сторон пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначена как S, , , сторона ). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается как S полная ).
  11. Правильная n -фунтовая пирамида - такая пирамида, основание которой представляет собой правильный n -угольник, а все боковые грани равны между собой.У правильной пирамиды боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники, равные друг другу.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром , если все ее грани равны правильным треугольникам. Тетраэдр - это частный случай правильной треугольной пирамиды (то есть не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат на плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то у них есть общая линия, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Последствия аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Отдельная плоскость проходит через линию, а не лежит на ней.
  • Теорема 2. Одна плоскость проходит через две пересекающиеся прямые.
  • Теорема 3. Одна плоскость проходит через две параллельные прямые.

Построение сечений в стереометрии

Для решения задач стереометрии необходимо срочно построить сечение многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) на фигуре с определенной плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое секция:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призма, параллелепипед, куб) является такая плоскость, по обе стороны от которой находятся точки данной пирамиды (призма, параллелепипед, куб).
  • Сечение пирамиды (призма, параллелепипед, куб) - это фигура, состоящая из всех точек, общих для пирамиды (призма, параллелепипед, куб), и секущей плоскости.
  • Режущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипед, призма, куб) по сегментам, поэтому сечение представляет собой многоугольник, лежащий в плоскости сечения, стороны которого являются указанными сегментами.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды (призма, параллелепипед, куб ) и соедините каждые два из них, лежащие на одной грани. Обратите внимание, что последовательность построения вершин и сторон сечения не имеет значения. Построение поперечных сечений многогранников основано на двух конструктивных задачах:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Чтобы построить прямую, по которой пересекаются две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), необходимо построить две общие точки, затем прямую, проходящую через эти точки являются линией пересечения плоскостей α и β .

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α, необходимо построить точку пересечения прямой l и прямой l 1 , вдоль которой расположена плоскость α. и любая плоскость, содержащая линию l , пересекаются.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

Определение: При решении задач стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.Если строки a и b или AB и CD параллельны , то напишите:

Некоторые теоремы:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, которая не лежит на данной прямой, проходит единственная прямая линия, параллельная этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает эту плоскость, то другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (знак параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагональ параллелепипеда пересекается в одной точке и делит эту точку пополам.

Существует три случая взаимного расположения линии и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит на плоскости (каждая точка прямой лежит на плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными , если у них нет общих точек. Если прямая a является параллельной плоскости β , то напишите:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости).Если прямая, не лежащая в этой плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке - α ) проходит через прямую (на рисунке - c ) параллельную другой плоскости (на рисунке - β ) и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке - d ) параллельна этой прямой:

Если две разные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны.Однако в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда нет плоскости, в которой лежат две прямые (они не пересекаются и не параллельны).

Определение: Две прямые называются пересеченными , если нет плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (знак пересечения линий). Если одна из двух прямых лежит в определенной плоскости, а другая прямая линия пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то эти прямые пересекаются.
  • Теорема 2. Через каждую из двух пересеченных прямых проходит одна плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь мы вводим понятие угла между пересекающимися прямыми. Пусть a и b будут двумя наклонными линиями. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a 1 и b 1 , параллельные прямым a и b, соответственно.Угол между линиями пересечения a, и b, представляет собой угол между построенными пересекающимися линиями a, , 1, и b, , , 1 .

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Обычно это не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между пересеченными прямыми дадим следующее определение:

Определение: Пусть a и b будут двумя наклонными линиями.Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае на прямой b ) и проведем через нее прямую, параллельную другой из них (в нашем случае a 1 это параллель до a ). Угол между пересекающимися прямыми a и b - это угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a 1 и b ).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90 °. И пересекающиеся прямые, и прямые, лежащие и пересекающиеся в одной плоскости, могут быть перпендикулярными. Если линия a находится на перпендикулярно линии b , то напишите:

Определение: Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются, т.е.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны , то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым линиям другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противоположных граней параллелепипеда). Противоположные грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечениях двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то их прямые пересечения параллельны друг другу.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку за ее пределами). Через точку, не лежащую в этой плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная этой.

Определение: Линия, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a расположена на перпендикулярно плоскости β , то запишите, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая линия перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (на плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная этой прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной этой плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная этой плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда).Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны друг другу.

Теорема о трех перпендикулярах

Пусть точка A не лежит в плоскости α . Проведите прямую линию через точку A , перпендикулярную плоскости α , и обозначьте буквой O точку пересечения этой линии с плоскостью α .Перпендикуляр, проведенный из точки A к плоскости α , называется отрезком AO , точка O называется основанием перпендикуляра. Если AO перпендикулярно плоскости α , а M - произвольная точка этой плоскости, отличная от точки O , то отрезок AM называется наклонным, проведенный от точки и к плоскость α , а точка M - основание наклонное.Отрезок OM - это ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонного AM на плоскость α . Приведем теорему, которая играет важную роль в решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): прямая линия, проведенная на плоскости и перпендикулярная проекции, наклоненной на эту плоскость, перпендикулярна наиболее наклонной. Верно и обратное:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): прямая линия, проведенная на плоскости и перпендикулярная наклонной, также перпендикулярна своей проекции на эту плоскость. Эти теоремы для обозначений на рисунке выше можно резюмировать следующим образом:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, провести к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные линии, то:

  • два косых, имеющих равные выступы, равны;
  • из двух наклонных больше, чем тот, у которого выступ больше.

Определение расстояний по объектам в космосе:

  • Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки в эту плоскость.
  • Расстояние между параллельными плоскостями - это расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстояние между прямой линией и параллельной ей плоскостью - это расстояние от произвольной точки прямой линии до плоскости.
  • Расстояние между пересекающимися линиями - это расстояние от одной из пересекающихся линий до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельную первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональная проекция линии a на плоскость α является проекцией этой линии на плоскость α , если линия, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α .

Примечание: Как видно из предыдущего определения, существует множество прогнозов. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость могут быть построены, если прямое, определяющее направление проекции, не перпендикулярно плоскости. Однако именно с ортогональной проекцией прямой на плоскость в будущем мы столкнемся в задачах. А ортогональную проекцию мы будем называть просто проекцией (как на рисунке).

Определение: Угол между прямой линией, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью - это угол между прямой линией и ее ортогональной проекцией на эту плоскость (угол AOA на рисунке выше).

Теорема: Угол между прямой линией и плоскостью - это наименьший из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

Двугранный угол

Определения:

  • Двугранный угол - это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей линией границы и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейный угол двугранного угла - это угол, стороны которого представляют собой лучи с общим началом на краю двугранного угла, которые удерживаются на его гранях перпендикулярно краю.

Таким образом, линейный угол двугранного угла - это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его краю.Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусная мера двугранного угла - это градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым углом (острым, тупым), если его градус составляет 90 ° (менее 90 °, более 90 °). В дальнейшем при решении задач стереометрии под двугранным углом всегда будем понимать тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранный угол на ребре многогранника - двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, пересекающиеся по этому ребру многогранника.
  • Угол между пересекающимися плоскостями - это угол между линиями, проведенными, соответственно, в этих плоскостях, перпендикулярными линии их пересечения через некоторые из ее точек.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними составляет 90 °.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую линию, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, на которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

Формы симметрии

Определения:

  1. Точки M и M 1 называются симметричными относительно точки O , если O является средней точкой сегмента MM 1 .
  2. Точки M и M 1 называются симметричными относительно прямой l , если прямая l проходит через середину отрезка MM 1 и перпендикулярна к нему.
  3. Точки M и M 1 называются симметричными относительно плоскости α , если плоскость α проходит через середину сегмента MM 1 и перпендикулярна этому сегмент.
  4. Точка O (линия l , плоскость α ) называется центром (ось, плоскость) симметрии фигуры , если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (линия l , плоскость α ) до определенной точки того же рисунка.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани являются правильными многоугольниками, равными друг другу и одинаковое количество ребер сходится в каждой вершине.

Призма

Определения:

  1. Призма представляет собой многогранник, две грани которого представляют собой равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а другие грани являются параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания - это две грани, которые представляют собой равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Чертеж: ABCDE и KLMNP .
  3. Боковые грани - все грани, кроме оснований.Каждая боковая грань обязательно представляет собой параллелограмм. Чертеж: ABLK , BCML , CDNM , DEPN и EAKP .
  4. Боковая поверхность - соединение боковых граней.
  5. Полная поверхность - совмещение основания и боковой поверхности.
  6. Боковые кромки являются общими сторонами боковых граней. Чертеж: AK , BL , CM , DN и EP .
  7. Высота - отрезок, соединяющий основания призм и перпендикулярный им. На чертеже, например, KR .
  8. Диагональ - это сегмент, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной грани. На чертеже это, например, ВР .
  9. Диагональная плоскость - это плоскость, проходящая через боковой край призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость - это плоскость, проходящая через два боковых края призмы, которые не принадлежат одной и той же грани.
  10. Диагональное сечение - пересечение призмы и диагональной плоскости. В поперечном сечении образуется параллелограмм, в том числе иногда его частные случаи - ромб, прямоугольник и квадрат. На чертеже, например, это EBLP .
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение - это пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому краю.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы - равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы - параллелограммы.
  • Боковые края призмы параллельны и равны.
  • Объем призмы равен произведению ее высоты на площадь основания:

где: S D - площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE ), h - высота (на чертеже это MN ).

  • Общая площадь поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и площади двойного основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым краям призмы (на рисунке ниже перпендикулярное сечение составляет A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 ).
  • Углы перпендикулярного сечения - это линейные углы двугранных углов на соответствующих боковых кромках.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение, перпендикулярное всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину боковой кромки:

где: S Sich - площадь перпендикулярного сечения, l - длина боковой кромки (на рисунке ниже это, например, AA 1 или BB 1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину боковой кромки:

где: P Sech - периметр перпендикулярного сечения, l - длина боковой кромки.

Типы призм в стереометрии:

  • Если боковые грани не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (показано выше).Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые грани не перпендикулярны этим плоскостям, а параллельны друг другу. Боковые грани - параллелограммы.
  • Прямая призма - это призма, у которой все боковые края перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые грани имеют высоту. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. А площадь и периметр основания равны, соответственно, площади и периметру перпендикулярного сечения (для прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение полностью совпадает с фигурой основания).Следовательно, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания и длины бокового края (или, в данном случае, высоты призмы):

где: P bas - периметр основания прямой призмы, l - длина бокового края, равная высоте призмы ( h ). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = S основание h = S основание л .

  • Правильная призма - это призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (то есть такой, у которого все стороны и все углы равны друг другу), а боковые грани перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы - правильные многоугольники.
  2. Боковые грани правильной призмы представляют собой равные прямоугольники.
  3. Боковые края обычной призмы равны.
  4. Правильная призма прямая.

Параллелепипед

Определение: параллелепипед - это призма, основание которой - параллелограмм. В этом определении ключевое слово - «призма». Таким образом, параллелепипед - это частный случай призмы, который отличается от общего случая только тем, что у него в основании не произвольный многоугольник, а параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения, касающиеся призмы, остаются актуальными для параллелепипеда.Однако есть несколько дополнительных свойств, характерных для параллелепипеда.

Прочие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, у которых нет общего края, называются напротив , а те, которые имеют общий край, - смежными .
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются напротив .
  • Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда .
  • У параллелепипеда шесть граней, и все они параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда представляют собой прямоугольники (а основания - произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и в случае с прямой призмой, все боковые грани перпендикулярны основаниям).Все свойства и формулы прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется косым , если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда равен , рассчитанному по общей формуле для объема призмы, т.е. равному произведению площади основания параллелепипеда на его высоту ( V = S база ч ).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники (то есть, кроме боковых граней, тоже прямоугольники), называется прямоугольником . Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его края a , b , c связаны соотношением:

d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда :

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого представляют собой равные квадраты, называется кубом . Помимо прочего, куб - это правильная четырехугольная призма и, как правило, правильный многогранник. Для куба действуют все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все ребра куба равны друг другу.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба :

Пирамида

Определения:

  • Пирамида - это многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной.По количеству углов основания пирамиды различают треугольные, четырехугольные и так далее. На рисунке показаны примеры: четырехугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание - многоугольник, не принадлежащий вершине пирамиды. На чертеже базой является BCDE .
  • Кромки, отличные от основания, называются стороной . Чертеж: ABC , ACD , ADE и AEB .
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (а именно вершиной всей пирамиды, а не только вершиной, как все остальные вершины). Чертеж A .
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются стороной , стороной . Чертеж: AB , AC , AD и AE .
  • Обозначая пирамиду, сначала назовите ее вершину, а затем - вершину основания.Для пирамиды с чертежа обозначение будет: ABCDE .

  • Высота пирамиды называется перпендикулярной и проводится от вершины пирамиды к ее основанию. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H . На чертеже высота AG . Примечание: только если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на рисунке), высота пирамиды приходится на диагональ основания.В других случаях это не так. В общем случае для произвольной пирамиды точка пересечения высоты и основания может находиться где угодно.
  • Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды , начерченная с ее вершины. На чертеже это, например, AF .
  • Диагональное сечение пирамиды - это сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE .

Другой стереометрический рисунок с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые грани ( SA , SB , SC , SD на рисунке ниже) пирамиды равны, то:

  • Окружность может быть описана около основания пирамиды, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр (точка O ).Другими словами, высота (сегмент SO ), опущенная от вершины такой пирамиды к основанию ( ABCD ), попадает в центр описанной окружности, т.е. база.
  • Боковые кромки образуют равные углы с базовой плоскостью (на рисунке ниже это углы SAO , SBO , SCO , SDO ).

Важно: Верно и обратное, то есть, если боковые края образуют равные углы с базовой плоскостью или если можно описать круг около основания пирамиды, а вершина пирамиды проецируется в ее центр, тогда все боковые грани пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к базовой плоскости на один угол (углы DMN , DKN , DLN на чертеже равны ниже), то:

  • В основании пирамиды можно вписать круг, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр (точка N ). Другими словами, высота (сегмент DN ), опущенная от вершины такой пирамиды к основанию, попадает в центр круга, вписанного в основание, т.е.е. на пересечении биссектрис основания.
  • Высота боковых граней (апофем) равна. На рисунке ниже DK , DL , DM являются равными апофемами.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофемы).

где: P - периметр основания, a - длина апофемы.

Важно: Верно и обратное, то есть если в основании пирамиды можно вписать круг и вершина пирамиды проецируется в ее центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания одновременно. угол и высота боковых граней (апофемы) равны.

Правильная пирамида

Определение: Пирамида называется правильным , если ее основание является правильным многоугольником, а вершина проецируется в центр основания.Тогда он имеет следующие свойства:

  • Все боковые грани правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное примечание: Как видите, правильные пирамиды - это одна из тех пирамид, с которыми связаны описанные выше свойства. Действительно, если основание правильной пирамиды - правильный многоугольник, то центр вписанной и описанной окружностей совпадает, и вершина правильной пирамиды проецируется в этот центр (по определению).Однако важно понимать, что не только обычные пирамиды могут обладать упомянутыми выше свойствами.

  • В правильной пирамиде все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники.
  • В любой обычной пирамиде вы можете войти в сферу или описать сферу рядом с ней.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы.

Формулы объема и площади пирамиды

Теорема (об объеме пирамид, имеющих одинаковую высоту и равные площади оснований).Две пирамиды, которые имеют равную высоту и равные площади основания, имеют равные объемы (конечно, вы, вероятно, уже знаете формулу объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строками ниже, и вы думаете, что это утверждение очевидно, но на самом деле, судя по «глазу», эта теорема не так очевидна (см. рисунок ниже). Это касается и других многогранников и геометрических фигур: их внешний вид обманчив, поэтому в математике нужно доверять только формулам и правильным вычислениям.

  • Объем пирамиды можно рассчитать по формуле:

где: S осн - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды формально можно записать следующую стереометрическую формулу:

где: S сторона - площадь боковой поверхности, S 1 , S 2 , S 3 - площадь боковых граней.

  • Общая площадь пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Тетраэдр

Определения:

  • Тетраэдр - это простейший многогранник, грани которого представляют собой четыре треугольника, другими словами, треугольную пирамиду.Для тетраэдра любая его грань может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
  • Тетраэдр называется правильным , если все его грани представляют собой равносторонние треугольники. В правильном тетраэдре:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны друг другу.

На чертеже показан правильный тетраэдр, в котором треугольники ABC , ADC , CBD , BAD равны .Из общих формул для объема и площади пирамиды, а также знаний из планиметрии несложно получить формулы для объема и площади правильного тетраэдра ( a - длина ребра ):

Прямоугольная пирамида

Определение: При решении задач стереометрии пирамида называется прямоугольной , если один из боковых краев пирамиды перпендикулярен основанию. В данном случае это ребро - высота пирамиды.Ниже приведены примеры треугольных и пятиугольных прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA - это край, который также является высотой.

Усеченная пирамида

Определения и свойства:

  • Усеченная пирамида - это многогранник, заключенный между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной ее основанию.
  • Форма, полученная на пересечении плоскости сечения и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды .Итак, усеченная пирамида на чертеже имеет два основания: ABC и A 1 B 1 C 1 .
  • Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции. Чертеж имеет вид, например, AA 1 B 1 B .
  • Боковые края усеченной пирамиды - это части краев исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже, например, AA 1 .
  • Высота усеченной пирамиды называется перпендикуляром (или длиной этого перпендикуляра), проведенным из некоторой точки плоскости одного основания в плоскость другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной , если это многогранник, обрезанный плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды .
  • Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции.
  • Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной пирамиды .
  • Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды - это сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды:

где: S 1 и S 2 - площади основания, h - высота усеченной пирамиды.Однако на практике объем усеченной пирамиды удобнее искать так: можно завершить усеченную пирамиду до пирамиды, расширив боковые грани до пересечения. Тогда объем усеченной пирамиды можно найти как разницу между объемами всей пирамиды и завершенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковых поверхностей всей пирамиды и завершенной части. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров ее оснований и апофемы:

, где: P 1 и P 2 - периметры основания правильной усеченной пирамиды , и - длина апофемы.Общая площадь любой усеченной пирамиды, очевидно, определяется как сумма площадей основания и боковой поверхности:

Пирамида и шар (сфера)

Теорема: Вокруг пирамиды можно описать сферу , когда вписанный многоугольник лежит в основании пирамиды (то есть многоугольник, около которого можно описать сферу). Это условие необходимо и достаточно. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды, перпендикулярных им.

Примечание: Из этой теоремы следует, что сферу можно описать как около любого треугольника, так и около любой правильной пирамиды. Однако список пирамид, вокруг которых можно описать объем, не ограничивается этими типами пирамид. На рисунке справа на высоте SH, необходимо выбрать точку O , равноудаленную от всех вершин пирамиды: SO = OB = = OD = OA .Тогда точка O является центром описываемого шара.

Теорема: Сфера может быть вписана в пирамиду , когда биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Примечание: Вы явно не поняли то, что прочитали в строке выше. Однако главное помнить, что любая правильная пирамида - это пирамида, в которую можно вписать сферу .Более того, список пирамид, в которые можно войти в сферу, не исчерпывается правильными.

Определение: Биссектриса делит двугранный угол пополам, и каждая точка биссектрисы равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссектрисой двугранного угла, образованного плоскостями α и β .

На стереометрическом рисунке ниже показан шар, вписанный в пирамиду (или пирамиду, описанную рядом с шаром), а точка O является центром вписанного шара.Эта точка O находится на равном расстоянии от всех граней шара, например:

OM = OO 1

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду , если их вершины совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причем вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны друг другу (необходимое и достаточное условие).

Конус описывается так, как описано около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описывается возле основания пирамиды. Более того, описать конус возле пирамиды можно только тогда, когда все боковые грани пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Такие конусы и пирамиды по высоте равны друг другу.

Пирамида и цилиндр

Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если его одно основание совпадает с кругом, вписанным в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр описывается так, как описано рядом с пирамидой , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а его другое основание описывается рядом с основанием пирамиды. Более того, описать цилиндр возле пирамиды можно только при наличии вписанного многоугольника в основание пирамиды (необходимое и достаточное условие).

Сфера и шар

Определения:

  1. Сфера - это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, которые равноудалены от данной точки, называемая центром сферы .Сфера - это также тело вращения, образованное вращением полукруга вокруг своего диаметра. Радиус сферы - это сегмент, соединяющий центр сферы с точкой сферы.
  2. Хорда сферы - это отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметр сферы называется хордой, проходящей через ее центр. Центр сферы делит любой ее диаметр на два равных сегмента. Любой диаметр шара радиусом R равен 2 R .
  4. Мяч представляет собой геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара . Шар формируется путем вращения полукруга около фиксированного диаметра. Обратите внимание, что поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать такое определение шара: шар - это геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиус , хорда , диаметр и шара называются радиусом, хордой и диаметром сферы, которая является границей шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и кругом. Круг - это линия, а круг - это все точки внутри этой линии. Сфера - это оболочка, а шар - это все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью .
  8. Поперечное сечение сферы (шара) с диаметральной плоскостью называется большим кругом (большой круг ).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Поперечное сечение шара плоскостью представляет собой круг. Отметим, что утверждение теоремы остается верным, даже если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью).Сечение мяча плоскостью представляет собой окружность, а основанием перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, является центр окружности, полученной в сечении.

Самый большой круг из числа тех, которые можно получить в сечении плоскости сферы, лежит в сечении, проходящем через центр шара O . Затем он созвал большой круг. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB .Этот диаметр также является диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A, и B, ), можно провести бесконечное количество больших окружностей. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное количество меридианов.

Определения:

  1. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая имеет только одну общую точку со сферой, и их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательная плоскость к шару называется касательной плоскостью к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая линия, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной линией к сфере (шару) . По определению касательная плоскость имеет только одну общую точку со сферой, следовательно, касательная линия также имеет только одну общую точку со сферой - точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере).Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через ее конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному до точки касания.

Многогранники и сфера

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере.В этом случае сфера называется описанной возле многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. Более того, шар описывается так, как описано рядом с многогранником.

Важное свойство: центр сферы, описанной рядом с многогранником, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник - это , описанный как , описанный рядом со сферой (шаром) , если сфера (шар) касается всех граней многогранника.В этом случае шар и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры многогранников, описываемых около сферы:

Объем и площадь мяча

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы).Площадь сферы:

где: R - радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиуса R равен , рассчитывается по формуле:

Сегмент шара, пласт, сектор

Сегмент шариковый

В стереометрии сферический сегмент представляет собой часть шара, отрезанную режущей плоскостью. Соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h - высота сегмента, r - радиус основания сегмента, R - радиус шара.Площадь основания сегмента шара:

Площадь внешней поверхности сегмента шара:

Общая площадь сегмента шара:

Объем сегмента шара:

Слой шарика

В стереометрии сферический слой является частью сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности слоя шара:

где: h - высота слоя шара, R - радиус шара.Общая площадь слоя шара:

где: h - высота сферического слоя, R - радиус шара, r 1 , r 2 - радиусы оснований сферического слоя, S 1 , S 2 - площади этих баз. Объем слоя шара проще всего определить по разнице объемов двух сегментов шара.

Сектор шара

В стереометрии сферический сектор - это часть сферы, состоящая из сферического сегмента и конуса, вершина которого находится в центре сферы, а основание совпадает с основанием сферического сегмента. Это означает, что сегмент шара меньше половины шара. Общая площадь сектора шара:

где: h - высота соответствующего сегмента шара, r - радиус основания сегмента шара (или конуса), R - радиус шара.Объем сектора шара рассчитывается по формуле:

Цилиндр

Определения:

  1. В некоторых рассмотрим плоскую окружность с центром O и радиусом R . Через каждую точку круга проводим прямую линию, перпендикулярную плоскости круга. Цилиндрическая поверхность представляет собой фигуру, образованную этими линиями, а сами линии называются образующими цилиндрической поверхности .Все они образуют цилиндрические поверхности, параллельные друг другу, так как они перпендикулярны плоскости круга.

  1. Прямой круговой цилиндр или просто цилиндр - это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными образующей цилиндрической поверхности. Неформально цилиндр можно представить как прямую призму с кругом в основании. Это поможет легко понять и при необходимости вывести формулы для определения объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковая поверхность цилиндра - это часть цилиндрической поверхности, расположенная между плоскостями резания, перпендикулярными его образующим, а части (окружности), срезанные цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. цилиндр . Основания цилиндра - две равные окружности.
  3. Формирование цилиндра называется сегментом (или длиной этого сегмента), образующим цилиндрическую поверхность, расположенную между параллельными плоскостями, в которых лежит основание цилиндра.Все образующие цилиндры параллельны и равны друг другу, а также перпендикулярны основанию.
  4. Ось цилиндра - это отрезок, соединяющий центры окружностей, которые являются основаниями цилиндра.
  5. Высота цилиндра называется перпендикуляром (или длиной этого перпендикуляра), проведенным из некоторой точки плоскости одного основания цилиндра в плоскость другого основания. В цилиндре высота равна генератору.
  6. Радиус цилиндра - это радиус его основания.
  7. Цилиндр называется равносторонним , если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить, повернув прямоугольник вокруг одной из его сторон на 360 °.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого являются образующими, а две другие - хордами оснований цилиндра.
  10. Осевое сечение цилиндра называется сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого образуют цилиндр, а две другие - диаметры его оснований.
  11. Если плоскость разреза перпендикулярна оси цилиндра, то поперечное сечение образует окружность, равную основаниям. На рисунке ниже: слева - осевой разрез; в центре - участок, параллельный оси цилиндра; справа - сечение, параллельное основанию цилиндра.

Цилиндр и призма

Призма называется вписанной в цилиндр , если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описываемым возле призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые грани призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его формовкой. Поскольку мы понимаем под цилиндром только прямой цилиндр, мы также можем включить в такой цилиндр только прямую призму.Примеры:

Призма описывается как описанная рядом с цилиндром , если ее основания описаны рядом с основаниями цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые грани призмы будут параллельны цилиндру. Поскольку мы понимаем под цилиндром только прямой цилиндр, такой цилиндр можно ввести только в прямую призму. Примеры:

Цилиндр и сфера

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр , если он касается оснований цилиндра и каждого из его образующих.В этом случае цилиндр описывается так, как описано около сферы (шара). Сфера может быть вписана в цилиндр только в том случае, если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центр вписанной сферы будет серединой оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Говорят, что цилиндр вписан в сферу , если окружности оснований цилиндра являются частями сферы.Говорят, что цилиндр вписан в шар, если его основания являются частями шара. В этом случае шар (сфера) называется описываемым возле цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центр описываемой сферы также будет серединой оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы ( R ), высоту цилиндра ( h ) и радиус цилиндра ( r ):

Объем и площадь боковых и полных поверхностей цилиндра

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R - радиус основания цилиндра, h - его высота.Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадь полной поверхности цилиндра , как обычно в стереометрии, представляет собой сумму площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь основания каждого цилиндра (т.е.просто площадь круга) рассчитывается по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S составляет . цилиндр рассчитывается по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h - радиус и высота цилиндра соответственно.Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимед): Объем шара в полтора раза меньше объема, описанного вокруг него, цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше, чем общая площадь того же цилиндра:

Конус

Определения:

  1. Конус (точнее, круговой конус) - это тело, состоящее из окружности (называемое основанием конуса ) , точка , не лежащая в плоскости этого круга (называемая вершиной конуса ) и всевозможные отрезки, соединяющие вершину конуса с точками основания.Неформально конус можно воспринимать как правильную пирамиду, в основании которой находится круг. Это поможет легко понять и при необходимости вывести формулы для определения объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются конусообразующими . Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круг) и боковой поверхности (состоит из всех возможных форм).
  3. Объединение образующей конуса называется образующей (или стороной) конуса . Поверхность, образующая конус, представляет собой коническую поверхность.
  4. Конус называется прямым , если прямая линия, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Далее мы будем рассматривать только прямой конус, для краткости назовем его просто конусом.
  5. Визуально прямой круговой конус можно представить как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его ноги в качестве оси.При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание - вращением ножки, не являющейся осью.
  6. Радиус конуса - это радиус его основания.
  7. Высота конуса называется перпендикуляром (или его длиной), опущенным от его вершины к плоскости основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Ось правого кругового конуса называется прямой линией, содержащей его высоту, т.е.е. прямое прохождение через центр основания и верх.
  8. Если режущая плоскость проходит через ось конуса, то поперечное сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а сторонами - образующий конус. Эта секция называется осевой .

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечение конуса представляет собой окружность, центр которой является точкой пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота ( h ), радиус ( R ) и длина образующей ( l ) правого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению генератора на половину длины окружности основания:

где: R - радиус основания конуса, l - длина образующей конуса.Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (то есть просто площадь круга) равна: S основание = πR 2 . Следовательно, площадь полной поверхности конуса S составляет полных. конус рассчитывается по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса).Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

.

где: R - радиус основания конуса, h - его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы объема пирамиды.

Frustum

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус.Остальное называется усеченным конусом .

  1. Основание исходного конуса и окружность, образующая поперечное сечение этого конуса плоскостью, называются основаниями , а отрезок, соединяющий их центры, представляет собой высоту усеченного конуса .
  2. Прямая линия, проходящая через высоту усеченного конуса (то есть через центры его оснований), является его осью .
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью , а сегменты, образующие конус, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его константами .
  4. Все образующие усеченный конус равны между собой.
  5. Усеченный конус можно получить, повернув прямоугольную трапецию на 360 ° вокруг своей стороны, перпендикулярно основанию.
Формулы усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсеченного плоскостью, параллельной основанию конуса. Объем усеченного конуса рассчитывается по формуле:

где: S 1 = π r 1 2 и S 2 = π r 2 2 - площади оснований, h - высота усеченного конуса, r 1 и r 2 - радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса.Однако на практике объем усеченного конуса все же удобнее искать как разность объемов исходного конуса и отрезанной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковых поверхностей исходного конуса и обрезанной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, срезанного плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна , рассчитывается по формуле:

где: P 1 = 2 π r 1 и P 2 = 2 π r 2 - периметры оснований усеченного конуса, l - длина генератора. Общая площадь усеченного конуса , очевидно, определяется как сумма площадей основания и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены из формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

Конус и сфера

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а базовая окружность (сама основа) является частью сферы (шара). В этом случае сфера (шар) описывается так, как описано рядом с конусом. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описываемой сферы будет лежать на прямой, содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу описанной окружности около осевого сечения конуса (это сечение представляет собой равнобедренный треугольник). .Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус , если сфера (шар) касается основания конуса и каждого из его образующих. В этом случае конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно войти в сферу. Его центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение - равнобедренный треугольник).Примеры:

Конус и пирамида

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида - описывается рядом с конусом), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус - описывается рядом с пирамидой), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые грани образуют конус.
  • Высота таких конусов и пирамид равна.

Примечание: Подробнее о том, как конус вписывается в пирамиду в стереометрии или как он описан рядом с пирамидой, уже упоминавшейся ранее здесь.

Математическая программа - Студия занимательной математики

ДЕТСКИЙ САД: обучение в игре

Наша программа для детского сада - это веселая и веселая программа, которая знакомит самых маленьких учеников с важными абстрактными понятиями.

Многие дети считают математику скучной и сухой, и у них начинает развиваться математическая тревога уже в первом классе.Мы хотим привлечь внимание детей сейчас, пока у них нет предубеждений по этому поводу. Обучение через игру как ничто другое привлекает внимание детей. Дети могут забыть то, чему они научились с помощью бездумных тренировочных упражнений, но концепции, которые они усвоили с помощью игр, остаются с ними на всю жизнь.

ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА
Понимание того, что означают числа и операции, является основой для изучения все более сложной математики. Мы учим студентов считать вперед и назад, пропускать счет и выполнять простые арифметические операции.Вводя переменные с самого начала, мы обеспечиваем развитие у учащихся алгебраического мышления. Мы используем забавные математические игры, чтобы сделать счет интересным и применимым в реальной жизни.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗУМНЕНИЕ
Наша большая коллекция конструкторов и мозаик помогает учащимся развивать мелкую моторику и пространственное мышление. Пока студенты строят модели и создают красивые конструкции, они также развивают трехмерное мышление и творческое мышление. Эти навыки неоценимы для более поздних уроков геометрии и многих стандартных тестов.

ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
Многие ученики сталкиваются с трудностями при изучении продвинутых классов геометрии в средней школе и колледже. Очень важно подготовить детей к этим занятиям путем раннего ознакомления с геометрией. Наши геометрические игры помогают учащимся приобрести знания о формах и их свойствах.

КРИТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ
Математика - это не только счет! Дети любят решать наши веселые логические задачи, которые тренируют их творческое и нестандартное мышление.Наши небольшие классы позволяют учителям проводить обсуждения, а учащиеся вместе в группе обсуждают решение.

НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА

MENTAL MATH
Сильное восприятие чисел - бесценный навык. Ученые и инженеры ежедневно используют мысленную математику для оценки своих результатов. Медсестры должны проверить свои результаты преобразования (масса, объем, время, скорость внутривенного потока), чтобы рассчитать дозировку. Архитекторы рассчитывают параметры конструктивной безопасности зданий.Большинство людей считают, что базовые математические навыки необходимы каждый день, независимо от того, оставляют ли они чаевые в ресторане или получают ипотеку в банке.

Ментальная математика имеет решающее значение для решения проблем. Когда учащиеся обладают сильными умственными математическими навыками, они могут быстро проверить несколько подходов к проблеме и определить, какой путь ведет к жизнеспособному решению. Умение быстро рассчитывать также позволяет студентам оценить свои результаты. Хорошая оценка предлагает точку сравнения, по которой можно судить о том, является ли результат разумным для данной ситуации.Оценка - важный навык, который необходимо включить в набор инструментов учащихся, независимо от того, выполняют ли они вычисления карандашом и бумагой или на калькуляторе.

К сожалению, студентов часто учат запоминать процедуры, при этом они мало понимают, почему эти процедуры работают. Если учащиеся забывают шаг в алгоритме, они больше не могут решить проблему. Вместо того, чтобы запоминать алгоритмы, мы сосредотачиваемся на основных принципах. Если студенты понимают материал и применяют его на конкретных примерах, они с большей вероятностью сохранят свои навыки.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Решение задач со словами - самый важный и применимый навык, который учащиеся усваивают в школе. Если вам нужно оставить чаевые официанту, посчитать, достаточно ли у вас денег, чтобы купить продукты, или оценить расход бензина вашего автомобиля, вам нужно знать, как решать проблемы со словами.

Вместо того, чтобы сосредотачиваться на процедурах или ключевых словах, мы просим детей подумать о значении каждой проблемы.

Визуализация словесных задач - ключ к решению новых и незнакомых проблем.Рисование модели стержня или изготовление стола упрощают решение сложных задач. На протяжении всего учебного плана мы знакомим студентов с множеством мировых проблем, таких как скорость, движение, дроби, соотношение, процент и т. Д. К тому времени, когда студенты заканчивают нашу программу, они привыкли видеть новые и незнакомые проблемы и готовы к их решению. используйте инструменты, которым они научились, чтобы найти решение.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА
Прочная алгебра - это путь к успешной карьере, независимо от того, собираетесь ли вы стать инженером, плотником или профессиональным медиком.Использование переменных для обозначения количеств позволяет нам кратко выражать закономерности и взаимосвязи. Неудивительно, что большинство стандартизированных тестов включают разделы по алгебре.

Программа студии знакомит с алгебраическими понятиями еще в детском саду. В начальной школе учащиеся учатся работать с переменными и решать уравнения и неравенства.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗУМЕНИЕ
Мы используем зрительно-пространственные навыки в повседневной жизни. Независимо от того, используете ли вы карту, смотрите на план этажа или представляете себе новый диван в своей гостиной, вы решаете проблему пространственного мышления.

Пространственные способности также важны для успеха во многих областях обучения. Математика, инженерия, естественные науки и архитектура требуют использования пространственных навыков. Например, архитектор должен визуализировать здание в трех измерениях. Инженер изображает взаимодействие частей машины. Стоматологи могут интерпретировать изображение на рентгеновском снимке и визуализировать полости внутри зубов.

Студенты могут улучшить свои пространственные навыки, практикуясь. Наша программа включает в себя десятки геометрических игр, головоломок и конструкторов.Эти манипуляции требуют от учащихся мысленно переворачивать и вращать объекты. Студенты учатся представлять предметы с разных точек зрения.

ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
Логические задачи оживляют математический класс. Даже студенты, которые не любят математику, всегда задают другую логическую задачу. Это потому, что поиск творческих решений по сути своей приносит удовлетворение.

В программе студии логические блоки всех классов. Мы делаем упор на творческие решения и нестандартное мышление.Студенты становятся экспертами в подходе к новым и трудным задачам. Часто они вместе в группе обсуждают решение и учатся работать в команде.

Стороннее мышление - важнейший навык для успеха в любой работе. Вот почему многие стандартизированные тесты включают логические разделы, а соискателей просят разгадывать загадки во время собеседований. Независимо от того, сдаете ли вы LSAT или подаете заявку на работу в ведущей консалтинговой фирме, творческое мышление является жизненно важным навыком.

Наша программа помогла сотням студентов достичь измеримых результатов.На протяжении более десяти лет наши ученики неизменно показывают лучшие результаты на международных математических соревнованиях, на стандартных тестах и ​​поступают в лучшие колледжи.

ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия является наиболее наглядной частью учебной программы по математике, и все же многие ученики в старших классах с трудом сталкиваются с формальными доказательствами.

Ключ к успеху курса геометрии - это начать рано и использовать спиралевидный учебный план. Наши студенты изучают свойства 2D- и 3D-форм, создавая прочную основу для более продвинутых классов.Студенты развивают понимание обычно используемых формул для периметра, площади и объема. Студенты учатся делать простые доказательства, так что они готовы столкнуться с формальными доказательствами и дедуктивной логикой позже в старшей школе. На протяжении всего курса наши студенты получают много практических навыков рисования фигур и использования таких инструментов, как линейки, циркуль и транспортир.

СРЕДНЯЯ ШКОЛА

MENTAL MATH
Вступительные экзамены в колледж обычно включают в себя раздел без калькулятора, а четкое распознавание чисел - бесценный навык.Ученые и инженеры ежедневно используют мысленную математику для оценки своих результатов. Медсестры должны проверять результаты своей конверсии, чтобы рассчитать дозировку. Архитекторы рассчитывают параметры конструктивной безопасности зданий. Большинство людей считают, что базовые математические навыки необходимы каждый день, независимо от того, оставляют ли они чаевые в ресторане или получают ипотеку в банке.

Ментальная математика имеет решающее значение для решения проблем. Когда учащиеся обладают сильными умственными математическими навыками, они могут быстро проверить несколько подходов к проблеме и определить, какой путь ведет к жизнеспособному решению.Умение быстро рассчитывать также позволяет студентам оценить свои результаты. Хорошая оценка предлагает точку сравнения, по которой можно судить о том, является ли результат разумным для данной ситуации. Оценка - важный навык, который необходимо включить в набор инструментов учащихся, независимо от того, выполняют ли они вычисления карандашом и бумагой или на калькуляторе.

К сожалению, студентов часто учат запоминать процедуры, при этом они мало понимают, почему эти процедуры работают. Если учащиеся забывают шаг в алгоритме, они больше не могут решить проблему.Вместо запоминания алгоритмов мы сосредотачиваемся на основных принципах, которые помогают учащимся сохранить свои математические навыки.

ЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
Логические задачи оживляют математический класс. Даже студенты, которые не любят математику, всегда задают другую логическую задачу. Это потому, что поиск творческих решений по сути своей приносит удовлетворение.

В программе студии логические блоки всех классов. Мы делаем упор на творческие решения и нестандартное мышление.Студенты становятся экспертами в подходе к новым и трудным задачам. Часто они вместе в группе обсуждают решение и учатся работать в команде.

Стороннее мышление - важнейший навык для успеха в любой работе. Вот почему многие стандартизированные тесты включают логические разделы, а соискателей просят разгадывать загадки во время собеседований. Независимо от того, сдаете ли вы LSAT или подаете заявку на работу в ведущей консалтинговой фирме, творческое мышление является жизненно важным навыком.

Наша программа помогла сотням студентов достичь измеримых результатов.На протяжении более десяти лет наши ученики неизменно показывают лучшие результаты на международных математических соревнованиях, на стандартных тестах и ​​поступают в лучшие колледжи.

ГЕОМЕТРИЯ и ИНЖЕНЕРИЯ
Геометрия - это наиболее наглядная часть школьной математики, и все же многие ученики в старших классах с трудом сталкиваются с формальными доказательствами.

Ключ к успеху курса геометрии - это начать рано и использовать спиралевидный учебный план. Наши студенты изучают свойства 2D- и 3D-форм, создавая прочную основу для более продвинутых классов.Студенты развивают понимание обычно используемых формул для периметра, площади и объема. Учебная программа средней школы знакомит учащихся с простыми доказательствами, чтобы они были готовы столкнуться с формальными доказательствами и дедуктивной логикой позже в старшей школе. На протяжении всего курса наши студенты получают много практических навыков рисования фигур и использования таких инструментов, как линейки, циркуль и транспортир.

Наша программа обучения геометрии также включает в себя элементы инженерии. Студенты учатся мысленно переворачивать и вращать объекты, а также визуализировать трехмерные формы с разных точек зрения.Это бесценный навык для стереометрии.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ
Решение задач со словами - самый важный и применимый навык, который учащиеся усваивают в школе. Если вам нужно оставить чаевые официанту, посчитать, достаточно ли у вас денег, чтобы купить продукты, или оценить расход бензина вашего автомобиля, вам нужно знать, как решать проблемы со словами.

Вместо того, чтобы сосредотачиваться на процедурах или ключевых словах, мы просим детей подумать о значении каждой проблемы.

Визуализация словесных задач - еще один ключ к решению новых и незнакомых проблем. Рисование модели стержня или изготовление стола упрощают решение сложных задач. На протяжении всего учебного плана мы знакомим студентов с множеством мировых проблем, таких как скорость, движение, дроби, соотношение, процент и т. Д. К тому времени, когда студенты заканчивают нашу программу, они привыкли видеть новые и незнакомые проблемы и готовы к их решению. используйте инструменты, которым они научились, чтобы найти решение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск