Задачи решаемые с конца с ответами 5 класс – Заседание математического кружка «Задачи, решаемые с конца» — ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ — МЕТОДИЧЕСКИЕ НАРАБОТКИ — Каталог файлов

Задачи решаемые с конца

Задачи, решаемые с конца

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

 

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

 

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

 

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

 

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

у.

2118486.mya5.ru

Задачи решаемые с конца занятие 15


Задачи, решаемые с конца
Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной и понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают в человеке сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей. К классу логических задач относятся также задачи на переливания.
Задача 1
Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын?
Решение
Так как сын родился тогда, когда отцу было 25 лет, то разница в их возрасте будет 25 лет. Тогда 65 – 25 = 40 (лет) – будет удвоенный возраст сына, а значит, сыну будет 20 лет, а отцу 45.
Задача 2
Одну овцу лев съел за 2 дня, волк за 3 дня, собака за шесть дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?
Решение
Так как лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел ½ овцы.
Так как волк съел овцу за 3 дня, то за 1 день он съел 1/3 овцы.
Так как собака съела овцу за 6 дней, то за 1 день она съела 1/6 овцы.
Вместе лев, волк и собака за 1 день съедят ½+1/3+1/6=1, то есть 1 овцу.
Задача 3
Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет;  в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.
Сколько яблок было у каждого мальчика в начале?
Решение
Решаем задачу с конца с помощью таблицы.
Номер мальчика 1 2 3
Число яблок в конце 8 8 8
Число яблок до передачи их третьим мальчиком 8 : 2 = 4 8 : 2 = 4 8 + 4 + 4 = 16
Число яблок до передачи их вторым мальчиком 4 : 2 = 2 4 + 2 + 8 = 14 16 : 2 = 8
Число яблок первоначально 2 + 4 + 7 = 13 14 : 2 = 7 8 : 2 = 4
Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно  13, 7 и 4.
Разминка. Устные упражнения.
Одно из необходимых умений, которое важно для правильного решения текстовых задач,- это внимательное чтение условия   задачи.
Вы – шофер автобуса. В автобусе первоначально было 23 пассажира. На первой остановке вышло 3 женщины и зашло 5 мужчин. На второй остановке зашло 4 мужчины и вышло 7 женщин.Сколько лет шоферу?
Какое слово из 11 букв все отличники пишут неправильно?
Продавая в магазине попугая, п

educontest.net

Задачи, решаемые с конца, 6 класс

6 класс Задачи, решаемые  с конца

6 класс

Задачи, решаемые с конца

Разминка Спортсмен прыгает с трамплина в воду: сначала трамплин подбрасывает его вверх на 1 метр, затем он летит вниз на 6 метров и, выныривая, поднимается на 2 метра до поверхности. На какой высоте над водой находится трамплин?

Разминка

Спортсмен прыгает с трамплина в воду: сначала трамплин подбрасывает его вверх на 1 метр, затем он летит вниз на 6 метров и, выныривая, поднимается на 2 метра до поверхности. На какой высоте над водой находится трамплин?

Разминка Спортсмен прыгает с трамплина в воду: сначала трамплин подбрасывает его вверх на 1 метр, затем он летит вниз на 6 метров и, выныривая, поднимается на 2 метра до поверхности. На какой высоте над водой находится трамплин? 4-1 =3м Ответ: 3 метра. "

Ответ:

Или

Расстояние от его подпрыгнутого состояния до

2-ух метровой глубины равняется 6 метрам. Значит, расстояние от его подпрыгнутого состояния до поверхности воды равно 4 метрам. А спортсмен подпрыгнул на 1 метр, поэтому трамплин, с которого прыгал спортсмен, находится на высоте - 3 метра над поверхностью воды.

Всего летел 6 м, тогда

6-1-2=3 (м) Объяснение: Пролетел 6 метров с верхней точки до нижней значит: 6-2=4 м от верхней точки и поверхности. Трамплин подбрасывает на метр =

4-1 =3м Ответ: 3 метра.

Разминка Сумма трёх чисел чётна. Чётно или нечётно их произведение? Например, возьмём 5+6+3=14 – получилось чётное число.  Умножим 5*6*3=90, значит произведение – чётно.

Разминка

Сумма трёх чисел чётна. Чётно или нечётно их произведение?

Например, возьмём 5+6+3=14 – получилось чётное число. Умножим 5*6*3=90, значит произведение – чётно.

Разминка За х принимаем возраст Насти. Тогда возраст Лизы=х+8. 2 года назад насте было х-2 лет, а Насте (х+8)-2 лет, но (х-2)х3 (т.к. в 3 раза больше) . Составляем равенство: (х-2)х3=(х+8)-2.   3х-6=х+6   3х-х=6+6   2х=12   х=6   Ответ: Насте 6 лет, Лизе 14. Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?

Разминка

За х принимаем возраст Насти. Тогда возраст Лизы=х+8. 2 года назад насте было х-2 лет, а Насте (х+8)-2 лет, но (х-2)х3 (т.к. в 3 раза больше) . Составляем равенство:

(х-2)х3=(х+8)-2. 3х-6=х+6 3х-х=6+6 2х=12 х=6 Ответ: Насте 6 лет, Лизе 14.

Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?

Разминка Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 5 поленьев дров, вторая – 4 полена, а у третьей дров не было – она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны разделить яблоки по справедливости? Третья соседка взяла у первой два полена, а у второй - одно полено. Ведь они пользовались теплом сообща, значит каждая как бы потратила на него по три полена. Значит ей следует дать яблоки взамен этих трёх поленьев. Яблок девять, так что получается по три яблока за полено. Итого шесть первой и три второй.

Разминка

  • Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 5 поленьев дров, вторая – 4 полена, а у третьей дров не было – она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны разделить яблоки по справедливости?

Третья соседка взяла у первой два полена, а у второй - одно полено. Ведь они пользовались теплом сообща, значит каждая как бы потратила на него по три полена. Значит ей следует дать яблоки взамен этих трёх поленьев. Яблок девять, так что получается по три яблока за полено. Итого шесть первой и три второй.

Решение задач Я задумала число, умножила его на 3, к результату прибавила 7. полученную сумму разделила на 2 и получила 11. какое число я задумала? Ответ: 5

Решение задач

Я задумала число, умножила его на 3, к результату прибавила 7. полученную сумму разделила на 2 и получила 11. какое число я задумала?

Ответ: 5

Решение задач Мама купила сливы для своих детей – Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить между собой сливы поровну. Ваня пришёл первым, сосчитал сливы, взял третью часть и ушёл. Потом пришла Нина и, полагая, что она пришла первой, сосчитала оставшиеся сливы, взяла третью часть этих слив и ушла. Наконец пришёл Миша и взял третью часть оставшихся слив. После этого осталось 8 слив. Сколько слив купила мама для своих детей?  Начнем решать с конца. Осталось 8 слив поле того как Миша взял свою 1/3, следовательно осталось 2/3.  8:2*3=12 слив - осталось после ухода Нины  12:2*3=18 слив - осталось после ухода Вани  18:2*3=27 слив - купила мама

Решение задач

Мама купила сливы для своих детей – Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить между собой сливы поровну. Ваня пришёл первым, сосчитал сливы, взял третью часть и ушёл. Потом пришла Нина и, полагая, что она пришла первой, сосчитала оставшиеся сливы, взяла третью часть этих слив и ушла. Наконец пришёл Миша и взял третью часть оставшихся слив. После этого осталось 8 слив. Сколько слив купила мама для своих детей? 

Начнем решать с конца. Осталось 8 слив поле того как Миша взял свою 1/3, следовательно осталось 2/3. 8:2*3=12 слив - осталось после ухода Нины 12:2*3=18 слив - осталось после ухода Вани 18:2*3=27 слив - купила мама

Олимпиадные задачи Решите уравнение: 2+180 : (х-11)=22 Ответ: 20

Олимпиадные задачи

Решите уравнение:

2+180 : (х-11)=22

Ответ:

20

Пусть x - количество месяцев внучки. Тогда количество месяцев деду равно 12x. В сумме им 91 год, т. е. 91*12=1092 месяца. Решим уравнение:  x+12x=1092  13x=1092  x=1092:13  x=84  Т. е. деду 84 года. Значит внучке 91-84=7 лет.  Ответ: внучке 7 лет, деду 84 года. Олимпиадные задачи Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

Пусть x - количество месяцев внучки. Тогда количество месяцев деду равно 12x. В сумме им 91 год, т. е. 91*12=1092 месяца.

Решим уравнение: x+12x=1092 13x=1092 x=1092:13 x=84 Т. е. деду 84 года. Значит внучке

91-84=7 лет. Ответ: внучке 7 лет, деду 84 года.

Олимпиадные задачи

Внучке столько месяцев, сколько лет дедушке. Вместе им 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?

Олимпиадные задачи Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырёхугольника?

Олимпиадные задачи

Можно ли треугольник разрезать так, чтобы получилось три четырёхугольника?

Олимпиадные задачи Даны числа от 1 до 9. расставьте их в кружки так, чтобы сумма трёх чисел вдоль каждой линии была равна 15. какое число должно быть в центре?

Олимпиадные задачи

Даны числа от 1 до 9. расставьте их в кружки так, чтобы сумма трёх чисел вдоль каждой линии была равна 15. какое число должно быть в центре?

Олимпиадные задачи Собрался Иван-Царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. «Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — два новых вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет».  Какие удары и в какой последовательности должен наносить Иван Царевич, чтобы как можно быстрее срубить Змею все головы и все хвосты?

Олимпиадные задачи

Собрался Иван-Царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым. «Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — два новых вырастут, срубишь два хвоста — голова вырастет, срубишь две головы — ничего не вырастет». Какие удары и в какой последовательности должен наносить Иван Царевич, чтобы как можно быстрее срубить Змею все головы и все хвосты?

Ответ:  Имеем змея с тремя головами и тремя хвостами 1) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (3-1+2)=4 хвоста 2) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (4-1+2)=5 хвостов 3) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (5-1+2)=6 хвостов 4)  Рубим 2 хвоста    остаток (3+1)=4 головы и (6-2)=4 хвоста 5) Рубим 2 хвоста    остаток (4+1)=5 голов и (4-2)=2 хвоста 6) Рубим два хвоста    остаток (5+1)=6 голов и (2-2)=0 хвостов 7)Рубим две головы    остаток (6-2)=4 головы 8) Рубим две головы    остаток (4-2)=2 головы 9) Рубим две головы    остаток (2-2)=0 голов  То есть всего 9 ударов

Ответ:

Имеем змея с тремя головами и тремя хвостами

1) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (3-1+2)=4 хвоста

2) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (4-1+2)=5 хвостов

3) Срубаем 1 хвост    остаток: 3 головы и (5-1+2)=6 хвостов

4)  Рубим 2 хвоста    остаток (3+1)=4 головы и (6-2)=4 хвоста

5) Рубим 2 хвоста    остаток (4+1)=5 голов и (4-2)=2 хвоста

6) Рубим два хвоста    остаток (5+1)=6 голов и (2-2)=0 хвостов

7)Рубим две головы    остаток (6-2)=4 головы

8) Рубим две головы    остаток (4-2)=2 головы

9) Рубим две головы    остаток (2-2)=0 голов 

То есть всего 9 ударов

Спасибо за внимание!

Спасибо за внимание!

multiurok.ru

Иногда полезно решать задачи с конца...: wigner — LiveJournal

Сегодня как-то больше о задачах будем. Точнее о методах их решения.

Первый предлагаемый вариант - решать задачу с конца. Он весьма прост и лёгок в применении. Если вам предлагают какую-либо задачу, имеет смысл, прежде чем бросаться в дебри логических построений, глянуть в конец ситуации и посмотреть, не видно ли там решение.

Например, такая простенькая задачка:

Сказочная любовь полностью заполняет сердце юной студентки ровно за сто дней, увеличиваясь каждый день ровно в два раза.
За сколько дней такая любовь заполнит сердце студентки только на половину?


Решать задачку сначала, как-то и непонятно как... Начальный размер любви не указан и от чего отталкиваться непонятно. Есть искус предположить, что на пол-сердца потребуется 50 дней (половина всего срока), но что-то подсказывает, рост любви идёт неравномерно... =)

Заглянем в конец ситуации, рассмотрим тот день, когда непоправимое уже произошло, и сердце юной студентки заполнено полностью. А что было день назад? Ну то бишь ответ - 99 дней. И думать не пришлось ни о чём.

С таким методом (на примере как раз подобной задачки) я познакомился у Владимира Шеломовского. Как-то мне всё время везло на учителей...

Ещё раньше, в детстве меня знакомил с таким методом решения задач Владимир Лёвшин в своей книге "Магистр рассеянных наук":

Книжка замечательная, в детстве шла на ура, да и сейчас полезно перечитать - всё позабылось, решения разбираются заново, аж стыдно...

"Единичка допустила очередную бестактность, сказав громко, что ей очень захотелось бананов. Хозяину дома ничего не оставалось, как пообещать принести огромную кисть спелых бананов. При этом он попросил нас поступить с ними так:

— Три банана отдайте, пожалуйста, Краку — обезьяны очень любят бананы. Остальные разделите на три равные части: для вас, для Единички и для моего шалуна Трака.

В ожидании бананов я прилёг на диван и немедленно уснул. А когда проснулся, в комнате никого не было. Кроме бананов. Бананы лежали на столе.

Как было условлено, я взял три банана и пошёл разыскивать обезьянку, которая мирно играла в соседней комнате.

Увидев бананы, она немедленно выхватила их у меня и тут же принялась уплетать. Вернувшись в свою комнату, я разделил оставшиеся бананы на три части и тоже съел свою треть.

Только я покончил с бананами, как прибежала Единичка и удивилась, почему я не доел своей доли. Я ответил, что оставил ей и Траку, как было уговорено. Но Единичка заахала и сказала, что свою треть давно уже съела. Оказывается, когда я спал, она убегала на улицу искать пропавшего Трака. Не найдя его, вернулась и увидела на столе бананы. Три банана она отдала обезьянке, а остаток разделила на три части и одну часть съела.

Только она все это рассказала, как появился Трак и тоже удивился, почему на столе остались два несъеденных банана. Дело в том, что бананы принёс он. Три из них отдал обезьянке, а оставшиеся, как и мы с Единичкой, честно разделил на три части и тоже съел свою треть.

Единичка страшно развеселилась из-за всей этой путаницы. А я глядел на два оставшихся банана и пытался сосчитать, сколько же бананов съел каждый из нас четверых и сколько бананов прислал хозяин.

Это была сложная задача. И я бы её решил, если бы… если бы не раздался мощный гудок. Это капитан дизеля сообщал, что судно готово к отплытию. Мы поспешили на пристань и вскоре оказались на борту корабля."

Ну и далее решение последовало как раз-таки с конца:

На этот раз Нулик внимательно слушал чтение и пообещал активно участвовать в разборе. Но… так как речь пойдёт о бананах, сказал он, то ему лично хотелось бы, чтобы они и в самом деле лежали на столе.
— Бананов нет, — сказал я.
— Как же быть? — огорчился Нулик.
— Не беда, — утешил его Олег. — Бананов у нас нет, зато есть воображение. Итак, вообразим, что на этой тарелке лежат два банана.
— Почему два? — надулся Нулик. — Воображать, так с начала. Пусть здесь лежит столько бананов, сколько прислал Магистру хозяин.
— Но ведь это как раз то, чего мы не знаем и должны вычислить, — сказала Таня.
— А мама учила меня все начинать с начала.
— Мама, конечно, права, — согласился Олег, — но иногда решать задачу удобнее с конца. Зацепить кончик нитки и размотать весь клубок.
— С конца так с конца, — повеселел Нулик. — Только давайте все это разыграем в лицах. Чур, я буду Краком. Я теперь знаю, как ведут себя обезьяны.
— Я, конечно, буду Единичкой, — сказала Таня.
— А я — Траком, — включился в игру Сева. — Магистром пусть будет Олег.
— Идёт, — согласился тот. — Начнём крутить киноленту в обратную сторону. Итак, на столе лежат два банана, и я, Магистр, жду ребят. Внимание! Лента пошла назад. Я ложусь на диван и засыпаю. И вот уже на тарелке не два банана, а…
— Три! — выпалил Нулик.
— А если подумать? Ведь когда я, Магистр, проснусь, то первым делом отдам три банана тебе, уважаемый Крак. А потом разделю остаток на три части. И раз я оставил два банана, стало быть, съел один, то есть одну треть.
— Ясно, — сообразил Нулик. — Магистр спит, а на столе лежат шесть бананов.
— Правильно, — сказала Таня. — А лента все вертится обратно. В комнату вхожу я, Единичка, и вижу на столе 12 бананов. Почему? Потому что три я отдала Нулику, то есть обезьянке, а из оставшихся девяти съела свою порцию — три банана. А на столе осталось шесть. А теперь я ухожу. Таня действительно попятилась к двери, из которой тотчас же вышел Сева — Трак.
— Посмотрите, как много бананов я принёс! — театрально завопил он. — Магистр спит. Единички нет… Положу-ка я бананы на стол. Сколько бананов нашла на столе Единичка? Вспомнил: 12. Стало быть, я съел шесть. Да три отдал обезьянке. 12+6+3=21. Вот сколько бананов прислал мой папа!
— Задача решена, — подытожил Олег. — К сожалению, из-за того, что я проспал, мне достался всего-навсего один банан.
— А мне — целых девять, — похвастался Нулик, — только воображаемых…

Кстати именно после этой книги у меня появился небольшой бзик. Меня жутко воротит, когда по ТВ, на радио или просто в речи называют числа цифрами. Просто мозг выносит. Так и хочется схватить очередного такого дядечку в костюмчике за грудки и трясти его с криками: "Не бывает таких цифр, слышишь?! Не бывает! Цифр вообще только десять! Ноль, один, два и так далее, до девяти! И с их помощью записываются числа! И 152 тысячи - это число, а не цифра, запомни ж ты наконец!"
И главное никто не называет слова буквами... Вот никто и никогда не ляпнет что-то вроде "А ну-ка напишите нам правильно букву "параллелепипед" не заглядывая в шпаргалки!" Все, заразы, помнят, что "параллелепипед" это слово, а не буква! А вот, допустим, что 42 500, это число, а не цифра, ну никто не помнит почти...
Выговорился, полегчало... =)

А началось у меня это оттуда же:

"— Конечно, суеверие — предрассудок, — подтвердила Таня, — и всё-таки ошибка Магистра совсем в другом. Цифра не может быть ни огромной, ни шестизначной. Цифры — знаки. С их помощью записываются числа, совсем как слова буквами. И цифр всего десять. Поэтому номер самолёта — не цифра, а шестизначное число."

Ну и последний пример на тему решения задач с конца. На этот раз будут путанные суждения, которые тем не менее помогли мне решить задачу с сайта про мегамозгов =)

У Мегамозга есть два одинаковых стеклянных шарика. За какое минимальное число бросков можно гарантированно определить, начиная с какого этажа 100-этажного здания шарики разбиваются? 1 и 2 правильными ответами не являются! Пишите решение.

Тут я далеко не сразу догадался использовать метод... В начале долго шёл от 50 к 34... Делил эту чёртову сотню этажей то так то эдак, лепил таблички в экселе и всё время появлялись варианты оптимальнее и оптимальнее... Когда додумался заглянуть в конец всё стало просто и красиво. Хотя излагал сумбурно. Но админы зачли...

Зачтенный ответ юзера: 14
Стратегия следующая. Имея 2 шарика удобно первый шарик бросать с этажа, делящего оставшиеся этажи на части в определённом соотношении.
Если он не разбивается, то вновь бросается ещё с более высокого этажа.
Если разбивается, то второй шарик бросается последовательно с каждого этажа в пределах между этажом, на котором первый шарик разбился и этажом, с которого он последний раз падал не разбиваясь, не включительно, начиная с наименьшего по высоте.
Остаётся оптимальным образом выбрать интервалы этажей с которых последовательно бросать первый шарик.
С одной стороны, они должны быть достаточно большими, чтобы эффективно сужать круг поиска нужного этажа.
С другой стороны - достаточно компактными на тот случай, если нужно будет искать внутри этого интервала требуемый этаж с помощью второго шарика.

Задачу удобней решать с конца.
Представим, что мы находимся уже на 100 этаже вместе с 1 и 2 шариками. Здесь мы производим последний бросок. Зададимся вопросом, с какого этажа мы могли попасть сюда?
Видимо с 99, так как на предыдущем шаге мы уже максимально сузили круг поиска до радиуса в 1 этаж. К тому же подниматься с на 100 этаж не побывав на 99 смысла нет, 99-й всё равно нужно будет проверить. Итак с 100 этажа мы сдвигаемся на 1 этаж вниз на 99.
Видно, что как только мы попали на 99 от нас на одинаковом расстоянии и 100 и 98. Разница только в том, что на 98 этаж мы пойдём если 1 шарик разобьётся на 99, а на 100 - если не разобьётся. Таким образом видно, что с 98 на 99 подниматься смысла нет, можно это делать прямо с 97 без ущерба для количества ходов.
Теперь, с 99 этажа можно спускаться вниз сразу на 2 этажа - на 97.
Если мы стоим на 97 этаже с 2 шариками, то можем проверить за 2 хода этажи выше: 98, 99, 100 (97 - 99 - 100 или 97 - 99 - 98, если на 99-м 1 шарик разбился). Сколько этажей мы можем за те же 2 хода проверить ниже (если здесь, на 97-м 1 шарик разбился)?
Очевидно, что два - 95 и 96. Значит на 97 этаж удобнее попадать не с 95 или 96, а сразу с 94, то есть мы движемся вниз уже на 3 этажа.
На 94 этаже мы можем проверить все верхние этажи (если тут 1 шарик не разбился) за 3 хода: 94 - 97 - 99 - 100 94 - 97 - 99 - 98 94 - 97 - 95 - 96 Этажи ниже, которые можем отсюда проверить за 3 хода (если 1 шарик разобьётся): 93, 92, 91.
Поэтому на 94 этаж мы видимо попали с 90-го, то есть идём дальше вниз уже на 4.
Итак, очевидно, что с 100 этажа интервал между этажами, с которых кидаем 1-й шарик растёт начиная с 1, увеличиваясь на каждом шаге:
Этаж - Число этажей до предыдущего:
100 - 1
 99 -  2
 97 -  3
 94 -  4
 90 -  5
 85 -  6
 79 -  7
 72 -  8
 64 -  9
 55 - 10
 45 - 11
 34 - 12
 22 - 13
  9 -  14
 -5 - такого этажа у нас уже нет.
Итак, видно, что вполне хватает 14 бросков, чтобы гарантированно найти минимальный этаж, на котором шарики разбиваются. Более того, этого числа бросков хватило бы и для 105-этажного дома.
По этому стратегия такова: Бросить шарик с 9 этажа. Если разобьётся - бросить второй шарик с 1 этажа, если не разобьётся - со 2 и т.д. до 8 этажа.
Если шарик бьётся на 9 этаже, то хватает и 9 бросков, чтобы найти нужный этаж.
Если не разобьётся - подняться на 13 этажей выше на 22 этаж и снова бросить 1 шарик. Если разобьётся - проверить этажи с 10 по 21 при помощи 2 шарика. 1-й шарик мы бросили 2 раза (9 и 22 этажи), 2-й - максимум 12 раз (10, 11, 12 ... 21 этажи). Если на 22 этаже щарик остаётся цел - идём уже только на 12 этажей выше - на 34 этаж.
Если шарик разбивается на 34 этаже, то проверяем вторым шариком этажи с 23 по 33. Таким образом, 1-й шарик мы кинули 3 раза (9, 22, 34 этажи), 2-ё - максимум 11 (23, 24, 25...33)
Как видим, число бросков 1-го шарика увеличивается с каждым шагом на 1, а число возможных бросков 2-го шарика - уменьшается тоже на 1.
Сумма бросков остаётся неизменной и равной 14 при любом номере искомого этажа.

Пока всё, на горизонте новая командировка а вообще я планирую написать об ещё одном интересном методе решения задач...

wigner.livejournal.com

Старинные задачи для учащихся 5 класса

Старинные задачи для учащихся 5 класса

Задачи из раздела «тексты старинных задач» интересны учащимся, как среднего возраста, так и старшего. Когда же решать старинные и занимательные задачи, развивающие логическое мышление, вызывающие большое любопытство у многих ребят? А что если сделать решение этих задач небольшой частью урока? Так «родилась» идея «Задача дня». Для неё отводится крайняя правая часть доски, на которой пишется задача «сегодняшнего дня». Ребята могут решать её, а могут и не решать. Просто те, кому она интересна, могут решить её дома или на перемене. На следующем уроке к этой задаче обязательно возвращаемся, уделяя её решению небольшую часть урока (а на доске может быть записана новая задача). Обычно решать её выходят 2-3 человека и предлагают иногда несколько способов решения одной и той же задачи – «бенефис одной задачи». Не беда, что кто-то не решил задачу, ведь он пытался это сделать, на уроке он увидит правильное решение.

Задачи на составление уравнения

1. «Кому пасти овец?» (задача из старинной русской рукописи XVII века).

 У пятерых крестьян — Ивана, Петра, Якова, Михея и Гаврилы — было 10 овец. Не могли они найти пастуха и решили пасти по очереди: по столько дней, сколько овец».

Известно, что у Ивана овец было вдвое меньше, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана, Михей имеет овец вдвое больше, чем Яков, а Гавриил — вчетверо меньше, чем Петр. Смекника-ка, по скольку дней следует пасти овец каждому?

2. Старинная задача.

Летела стая гусей, а навстречу ей – один гусь. Говорит гусь: "Здравствуйте, 100 гусей!" А вожак стаи в ответ: "Нас не 100 гусей. Вот было бы нас столько, сколько теперь, да еще столько, да ещё полстолька, да четверть столько, да еще ты, гусь, вот тогда нас было бы 100". Сколько в стае гусей?

3. Старинная русская задача.

Вопросил некто некого учителя: «Сколько имеешь учеников у себя, так как хочу отдать тебе сына в училище». Учитель ответил: «Если ко мне придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолька, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько было у учителя учеников?

4. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Задумайте какое-нибудь число, умножьте его на 2, прибавьте к произведению 30, полученное число разделите на 2, от результата отнимите задуманное число, и тогда в ответе получится 15. Объясните, почему при любом заданном числе ответ всегда равен 15?

5. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.).

Бутылка с пробкой стоят 12 копеек. Бутылка стоит на 10 копеек дороже, чем пробка. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?

6. Древнекитайская задача.

Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал головы: их оказалось 15, затем он сосчитал ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

7. Из учебника Эйлера «Основания алгебры» (1707-1773гг.)

Отец, у которого было трое сыновей, оставил им 1600 крон. Старший сын получил на 200 крон больше среднего, а средний – на 100 крон больше младшего. Сколько получил каждый из сыновей?

Задачи, решаемые с конца

8. «Мальчики и яблоки» (из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого).

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; в свою очередь, и третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

9. Старая легенда гласит, что чешская королева Либуша обещала выйти замуж за того из трех добивавшихся её руки рыцарей, кто первый решит задачу: «Сколько слив помещается в корзине, из которой половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому, половину оставшегося и еще одну сливу – второму и, наконец, третьему – половину оставшихся и еще три сливы, после чего корзина опустела?»

10. Задача из «Курса чистой математики» Войтяховского(1811 г.).

Разносчик продал первому покупателю половину имевшихся у него апельсинов и ещё пол-апельсина, второму покупателю – половину оставшихся апельсинов и еще пол-апельсина; таким же образом продал он апельсины и остальным покупателям. Когда же подошел седьмой покупатель, то у разносчика уже ничего не осталось. Сколько апельсинов было у разносчика и сколько взял каждый из покупателей?

11. Из старинных рукописей.

В трёх кучках лежит 24 камешка. Если из первой кучки переложить во вторую столько, сколько находится во второй, а затем из второй в третью столько, сколько находится в третьей, наконец, из третьей в первую столько, сколько в первой осталось, то во всех кучках будет поровну. Сколько камешков в каждой кучке?

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ

1. Решение:

Пусть х овец – у Якова, 2х овец – у Ивана, 4х овец – у Петра, 2х овец – у Михея, х овец – у Гаврилы.

х + 2х + 4х + 2х + х = 10

х = 1

Ответ: Якову – 1 день, Ивану – 2 дня, Петру – 4 дня, Михею – 2 дня, Гавриле – 1 день.

2. Решение:

Пусть было х гусей.

х + х + 0,5х + 0,25х + 1 = 100

2,75 х = 99

х = 36

Ответ: 36 гусей.

3. Ответ: 36 учеников.

4. Решение:

Пусть х - задуманное число.

2 + 30) : 2 – х = х + 15 – х = 15

5. Решение:

Пусть х коп. – пробка, тогда (х + 10) коп. – бутылка.

х + (х + 10) = 12

х = 1.

Ответ: пробка – 1 копейка, бутылка – 11 копеек.

6. Решение:

Пусть х – кроликов, тогда (15 – х) – фазанов.

4х + 2(15 – х) = 42

х = 6

Ответ: 6 кроликов, 9 фазанов.

7. Пусть х крон получил младший сын, тогда (х + 100) – средний, (х + 100) + +200 = (х + 300) крон – старший.

х + (х +100) + (х + 300) = 1600

х = 400

Ответ: 400, 500, 700 крон.

8. Решение:

Представим в виде таблицы и начнем ее заполнение с последней строки, зная, что у каждого мальчика оказывается по 8 яблок.

1 м. 2 м. 3 м.

13 7 4

2 14 8

4 4 16

8 8 8

Ответ: 13, 7, 4 яблока.

9. Решение:

((3 2 + 1) ) (слив).

Ответ: 30 слив.

10. Решение:

Всего было (((((0,5 2 +0,5) апельсина. Первый взял 63 : 2 + 0,5 = 32 апельсина, второй: 31 : 2 + 0,5 = 16, третий: 15 : 2 + 0,5 = 8, четвертый: 7 : 2 + 0,5 = 4, пятый: 3 : 2 + 0,5 = 2, шестой: 1

Ответ: 32, 16, 8, 4, 2, 1.

11. Решение:

Оформим в виде таблицы:

I II III

11 7 6

4 14 6

4 8 12

8 8 8

Ответ: 11, 7, 6 камешков.

multiurok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *