Задачи с решением на окружность: Окружность. Типовые задачи. Видеоурок. Геометрия 7 Класс — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 13.03.202129.08.2020 by alexxlab

Содержание

Подбор задач по математике на тему»Окружность .Подготовка к ОГЭ»(9 класс)

Окружность.

На окружности с центром О отмечены точки А и В так ,что ∟АОВ =80⁰.Длина меньшей дуги АВ равна 58.Найти длину большей дуги АВ

На окружности отмечены точки А и В так ,что меньшая дуга АВ равна 152⁰.Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=103⁰ и ∟ОАВ=24⁰.Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

В угол С величиной 107⁰ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности .Найдите угол АОВ .Ответ дайте в градусах.

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 14,5.Найдите АС, если ВС=21

В треугольнике АВС известно, что АС=7,ВС=24,угол С равен 90⁰.Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=50⁰ и ∟ОАВ=35⁰.Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73⁰

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 17.Найдите АС, если ВС=30.

Центр окружности описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20.Найдите ВС, если АС=32.

Сторона равностороннего треугольника 14

.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Периметр треугольника равен 56,а радиус вписанной окружности равен 4.Найдите площадь этого треугольника

Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и

Площадь сектора круга радиуса 22 равна 165.Найдите длину его дуги

Около окружности, радиус которой равен 2,описан многоугольник, площадь которого равна 29.Найдите его периметр

1.Окружность пересекает стороны угла величиной 33⁰ с вершиной С в точках А,Е,D и В .Найдите угол ADB,если угол ЕАD равен 22⁰.Ответ дайте в градусах.

2.Точки А,В,С и D,последовательно расположенные на окружности в указанном порядке,делят её на четыре дуги,градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ наименьшая)Найдите градусную меру дуги BD,содержащей точку С

3.Длина окружности равна 6 .Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью

4.Расстояние от центра окружности до хорды длиной 30 равно 8.Найдите радиус окружности

5.Центральный угол на 43⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности

6.Окружность с центром О₁ и радиусом проходит через центр О₂ второй окружности и пересекает эту окружность в точках А и В.Найдите радиус второй окружности, если известно, что точка О₁ лежит на отрезке АВ

7.Найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник,одна из медиан которого равна 15

8.Расстояние от вершины А равнобедренного треугольника АВС до центра О вписанной в него окружности равно 29,а длина основания АС треугольника равна 42.Найдите радиус вписанной окружности треугольника

9.Найдите угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если сторона АВ треугольника стягивает дугу описанной около него окружности, равную 130⁰

10 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40

11.Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности,пересекающей сторону ВС в её середине.Длина стороны АС равна 7.Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС

12.Найдите периметр трапеции,в которую вписана окружность,если средняя линия трапеции равна 33

13.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 67⁰ и 89⁰.Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

14.Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13.Найдите АС, если ВС=24

15.На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N.Известно, что ∟NBA=36⁰ . Найдите угол NMB .Ответ дайте в градусах.

16 Отрезки АС и BD –диаметры окружности с центром в точке О.Угол АСВ равен 79

0 .Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

17. В угол С величиной 83⁰ вписана окружность ,которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

18 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72⁰.Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

19.Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и АВС=125

0 .Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

20. В треугольник АВС известно, что АС=20,ВС=21,угол С равен 90⁰.Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

21.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70⁰,угол CAD равен 49⁰.Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах

22 Сторона правильного треугольника равна 36 .Найдите радиус окружности ,описанной около этого треугольника.

23 Высота правильного треугольника равна 123.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

24.Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 18.Найдите высоту этого треугольника

25 В треугольнике АВС ВС= ,угол С равен 90⁰.Радиус окружности,описанной около этого треугольника,равен 8,5.Найдите АС

26 Найдите радиус окружности,вписанной в правильный треугольник,высота которого равна 132.

27 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольника, равен 29..Найдите высоту этого треугольника

28 Сторона правильного треугольника равна 4 .Найдите радиус окружности ,вписанной в этот треугольник

29. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен .Найдите сторону этого треугольника

30Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5,основание равно 6.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

31 В треугольнике АВС АС=12,ВС=3,5 ,угол С равен 90⁰.Найдите радиус вписанной окружности.

32. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 569,основание равно462 .Найдите радиус вписанной окружности

33.Окружность,вписанная в равнобедренный треугольник ,делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3,считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

34.Найдите радиус окружности ,описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5

35.Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

36. Найдите радиус окружности,описанной около квадрата со стороной ,равной 27

37.Найдите сторону квадрата,вписанного в окружность радиуса 18

38.Сторона ромба равна 34 ,острый угол равен 60⁰.Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

39.Острый угол ромба равен 60⁰.Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 23.Найдите сторону ромба.

40.Найдите высоту трапеции,в которую вписана окружность радиуса 28

41.Около трапеции описана окружность.Периметр трапеции равен 96,средняя линия равна 16.Найдите боковую сторону трапеции.

42. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 39.Найдите сторону этого треугольника

43.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4.Найдите среднюю линию трапеции

44.Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120.Найдите её среднюю линию.

45.Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100,её большая боковая сторона равно 35.Найдите радиус окружности.

46.В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=17,CD=22.Найдите периметр четырёхугольника

47.Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20.Радиус описанной окружности равен 26.Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

48 В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=7,ВC=12 и СD=9.Найдите четвертую сторону четырёхугольника

49.Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9.Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 20.

50.Около окружности, радиус которой равен 16 ,описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

51.Сторона АВ треугольника АВС равна 3.Противолежащей ей угол С равен 30⁰.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

52.Угол С треугольника АВС ,вписанного в окружность радиуса 10,равен 30⁰.Найдите сторону АВ этого треугольника

53.Угол А четырёхугольника ABCD ,вписанного в окружность, равен 46⁰.Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

54.Стороны четырёхугольника ABCD AB,BC,CD, и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63⁰,62⁰,90⁰,145⁰.Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

55.Точки A,B,С,D ,расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB,BC,СD и AD,градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19.Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

56.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 58⁰,угол CAD равен 43⁰.Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

57.Периметр четырёхугольника ,описанного около окружности, равен 26,две его стороны равны 5 и 9.Найдите большую из оставшихся сторон.

58.Углы A,B и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:7:11.Найдите угол D,если около данного четырёхугольника можно описать окружность. . Ответ дайте в градусах.

59.Центральный угол на 45⁰ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

60.Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

61.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 25⁰ и 51⁰.Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

62.Дуга окружности АС ,не содержащая точки В ,составляет 180⁰.А дуга окружности ВС ,не содержащая точки А, составляет 45⁰.Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

63. Точки A,B,С ,расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги ,градусные величины которых относятся как 1:2:15.Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

64.АС и BD-диаметры окружности с центром О.Угол АСВ равен 69⁰.Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

65.Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6⁰.Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности ,проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.

66.В угол С величиной 79⁰ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В .Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

67. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2⁰.Найдите угол АBO. Ответ дайте в градусах.

68.Найдите угол CDB,если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности,градусные величины которых равны соответственно 67⁰ и 25⁰. Ответ дайте в градусах.

69.Угол между стороной правильного n-угольника,вписанного в окружность ,и радиусом этой окружности,проведённым в одну из вершин стороны ,равен 75⁰.Найдите n.

70.Площадь круга равна .Найдите длину его окружности.

71.Найдите площадь сектора круга радиуса ,центральный угол которого равен 90⁰

72.Найдите площадь сектора круга радиуса 24,длина дуги которогоравна 3.

73.Периметр треугольника равен 8,а радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь этого треугольника.

74.Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности.

75.Около окружности,радиус которой равен 2,описан многоугольник,площадь которого равна 29.Найдите его периметр.

76.Найдите вписанный угол,опирающийся на дугу,которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

Задачи на окружность

к содержанию задачника

Окружность радиуса 2 внешне касается другой окружности в точке А. Общая касательная двух окружностей, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус другой окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды CD. ответ: 48
Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка М, которая находится от центра на расстоянии 5. Через точку М проведена хорда АВ, равна 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, которая проходит через центр другой окружности. При этом расстояние от точки касания до центра другой окружности равно диаметру другой окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов. ответ: 9:4
В угол вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найдите величину угла, если радиусы окружностей равны 2 и 4. ответ:
В равнобедренный треугольник вписаны одна над другой две окружности радиусов 3 и 1, которые касаются одна другой. Найдите угол при основании треугольника. ответ: 60^o
Две окружности радиусов 3 и 2 касаются внутренним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух первых окружностей и их линии центров. ответ: 24/25
Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Секущая пересекает окружность в двух точка C и D (AC > AD). Найдите радиус окружности, если АС = 32, расстояние от точки А до точки касания равно 16, а от центра окружности до секущей — 5. ответ: 13
Хорда окружности равна 5. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 6. ответ: 25/8
В окружности радиуса проведена хорда длиной . Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей. ответ: a/8
Через концы дуги окружности, которая содержит 120^о, проведены касательные, а в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Найдите длину этой окружности, если радиус данной дуги равен R. ответ:
Две окружности радиусов 4 и 2 касаются внешне в точке М. На окружности меньшего радиуса взята точка T, диаметрально противоположная точке М, и в этой точке построена касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных окружностей и касательной. ответ: 6; 3
В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньших окружностей равен 3. ответ: 9
Внутри окружности радиуса 15/2 взята точка Р на расстоянии 13/2 от центра. Через точку Р проведена хорда длиной 9. Найдите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду. ответ: 7; 2
Внутри окружности дана точка на расстоянии 15 от центра: через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части длиной 7 и 25. Найдите радиус окружности. ответ: 20
В круговой сектор с центральным углом 60^о вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус данного сектора равен R. ответ: R/3
Две окружности радиусов 16 и 9 касаются внешне в точке С. К окружностям проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В — точки касания. Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает АВ в точке Т. Найдите длину отрезка СТ. ответ: 12
В круговой сектор, дуга которого содержит 60^о, вписан круг. Найдите отношение площади этого круга к площади сектора. ответ: 2/3
Найдите площадь круга, который вписан в сектор круга радиуса R с хордой . ответ:
Около квадрата, сторона которого , описана окружность. В один из сегментов, которые при этом образовались, вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата. ответ:
Найдите радиус окружности, вписанной в сектор, радиус которого равен , если его дуга содержит градусов. ответ:
К двум окружностям радиусов 4 и 1 проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная CD (A, B, C и D — точки касания). Найдите длину отрезка CD, если AB равно 8. ответ:
Из точки О к окружности проведены касательные ОА и ОВ (А и В — точки касания). Точка М окружности находится от прямых ОА и ОВ на расстоянии и соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ответ:
В данный угол вписаны три окружности, средняя из которых касается двух других окружностей радиусов и . Найдите радиус средней окружности. ответ:
Окружности радиусов 4 и 8 с центрами в точках О и Р пересекаются в точках С и D. Прямая АВ — их общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника АОРВ, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны. ответ: 48
Две окружности радиуса R с центрами в точках О и Р касаются внешним образом. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C и D так, что AB = BC = CD. Найдите площадь четырехугольника OADP. ответ:
Две окружности радиусов R и r касаются внешне. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания. ответ:
В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием AB = и острым углом при вершине . Другая окружность касается первой и основания треугольника в ее середине К и расположена вне треугольника. Найдите радиус другой окружности. ответ:
Две окружности внешне касаются в точке А, прямая ВС — их общая внешняя касательная. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ равно , АС равно . ответ:
Две равные окружности внешне касаются одна другой и третьей окружности, радиус которой равен 4. Отрезок, который соединяет точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 6. Найдите радиусы равных окружностей. ответ: 12

Метки задачи, окружность. Смотреть запись.

Решение задач по геометрии на окружность стр 1

Главная
Ошибки пособий Ященко
Математика
Информатика
Физика
Русский язык
Обществознание
ФИПИ 2020
Конспекты
Формулы
Новости
Контакты

Реальныe варианты ЕГЭ по математике
Вступительные контрольные работы в ФМШ
Дополнительные вступительные испытания в ВУЗы
Задания ЕГЭ части 1
Задания ЕГЭ части 2
ЕГЭ 2020
ЕГЭ 2019
ЕГЭ 2018
6 класс
7 — 8 классы
10 класс
Подготовка к ОГЭ 9 класс ГИА
ОГЭ 2020
ОГЭ 2019
ОГЭ 2018
ЕГЭ 2017
Теория вероятностей в 9-11 классах
Геометрия
Алгебра
Вектор
Тригонометрия
МатАнализ
Аналитическая Геометрия
Задачники Пособия
Олимпиада
Ларин варианты
Видео решения
Изюминка
Ошибки в ответах пособий
ГДЗ по математике
Найти

Контрольная работа на вступительном экзамене в ФМШ для 8 класса

ДВИ в МГУ

Задачи 3
Задачи 4
Задачи 5
Задачи 6
Задачи 7
Задачи 8

Задачи 9
Задачи 11
Задачи 12
Задачи 13 с уравнениями
Задачи 14 на стереометрию
Задачи 15 с неравенствами
Задачи 16 на планиметрию
Задачи 17
Задачи 18 с параметрами
Задачи 19
Критерии

ЕГЭ по математике 2020 резервный день
ЕГЭ по математике 10-07-2020
Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по математике
Пробные ЕГЭ 2020
Лысенко ЕГЭ 2020 математика профильный уровень 40 тренировочных вариантов
Математика 50 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ
Математика 36 вариантов заданий 2020 Ященко профильный уровень ЕГЭ

Тренировочная работа № 2 по математике 10 — 11 класс СтатГрад 15-05-2020
Тренировочная работа № 5 11 класс по математике СтатГрад 22-04-2020
Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 13-03-2020
Тренировочная работа № 4 11 класс по математике СтатГрад 11-03-2020
Пробный ЕГЭ по математике 29-02-2020
Тренировочная работа № 3 11 класс по математике СтатГрад 29-01-2020
Региональные диагностические работы по математике 2020
СтатГрад 18-12-2019 Тренировочная работа № 2 11 класс по математике
СтатГрад 25-09-2019 Тренировочная работа № 1 11 класс по математике

ЕГЭ по математике 24-06-2019 резервный день
ЕГЭ по математике 29-05-2019 основная волна
Резервный день Досрочного ЕГЭ по математике 10-04-2019
Досрочный ЕГЭ 2019 математика профильный уровень 29-03-2019
Пробные ЕГЭ 2019
Демонстрационный вариант КИМ ФИПИ ЕГЭ 2019
ященко егэ 2019 математика профиль 36 вариантов
36 вариантов ФИПИ егэ 2019 математика ященко
14 вариантов 2019 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
20 вариантов тестов ЕГЭ 2019 Ященко Тематическая рабочая тетрадь
ВВ Мирошин АР Pязановский Математика Решение задач ЕГЭ 2019

СтатГрад 19-04-2019 Тренировочная работа № 5 11 класс по математике
Пробный ЕГЭ 16-03-2019
СтатГрад 13-03-2019 Тренировочная работа № 4 11 класс
Пробный ЕГЭ 12-03-2019 Санкт-Петербург
СтатГрад 24-01-2019 Диагностическая работа № 3 11 класс
СтатГрад 20-12-2018 11 класс Тренировочная работа №2
Тренировочная работа 20_09_2018 СтатГрад 11 класс
Диагностическая работа 10_10_2018 Коми 11 класс

Тренировочная работа 2 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 3 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 4 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 5 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 6 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 7 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 8 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 9 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 10 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 11 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 12 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 13 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 14 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 15 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 16 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 17 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 18 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 19 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 20 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 21 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 22 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 23 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 24 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 25 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 26 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 27 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 28 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 29 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 30 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 31 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 32 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 33 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 34 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 35 (36 вар 2019)
Тренировочная работа 36 (36 вар 2019)

Вариант 1 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 5 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 6 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 7 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 8 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 9 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 10 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 11 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 12 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 13 (14 вар 2019 Ященко)
Вариант 14 (14 вар 2019 Ященко)

Диагностическая работа 1 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 2 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 7 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 8 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 9 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 10 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 11 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 12 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 13 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 14 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 15 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 16 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 17 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 18 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 19 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)
Диагностическая работа 20 (20 вар тетрадь 2019 Ященко)

Резервный день ЕГЭ 2018 профиль 25 июня
Реальный ЕГЭ 2018 профиль 1 июня основная волна
ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ 2018
ДОСРОЧНЫЙ ЕГЭ резервный день 11-04-2018
Пробные ЕГЭ 2018
Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2018
30 новых вариантов ЕГЭ 2018 Математика Мирошин В.В. Тренировочные задания
36 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
50 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ
2018 Математика профильный уровень Ященко 20 вариантов тестов Тематическая рабочая тетрадь
14 вариантов 2018 Ященко Типовые тестовые задания профильный уровень ЕГЭ

Тренировочная работа 18_04_2018 СтатГрад 11 класс
Пробный ЕГЭ в Санкт-Петербурге 4 апреля 2018
Тренировочная работа 06_03_2018 СтатГрад 11 класс
Тренировочная работа 25_01_2018 СтатГрад 11 класс
Тренировочная работа 21_12_2017 СтатГрад 11 класс

Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 7
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 16

Тренировочная работа 6 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 7 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 8 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 9 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 10 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 11 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 13 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 14 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 15 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 16 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 17 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 18 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 19 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 20 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 21 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 22 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 23 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 24 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 25 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 26 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 27 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 28 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 29 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 30 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 31 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 33 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 34 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 35 (36 вар 2018)
Тренировочная работа 36 (36 вар 2018)

Тренировочная работа 1
Тренировочная работа 5
Тренировочная работа 6
Тренировочная работа 7
Тренировочная работа 11
Тренировочная работа 12
Тренировочная работа 13
Тренировочная работа 14
Тренировочная работа 15
Тренировочная работа 16
Тренировочная работа 17
Тренировочная работа 18
Тренировочная работа 19
Тренировочная работа 20
Тренировочная работа 21
Тренировочная работа 22
Тренировочная работа 23
Тренировочная работа 26
Тренировочная работа 27
Тренировочная работа 28
Тренировочная работа 29
Тренировочная работа 30
Тренировочная работа 31
Тренировочная работа 32
Тренировочная работа 33
Тренировочная работа 34
Тренировочная работа 35
Тренировочная работа 36
Тренировочная работа 37
Тренировочная работа 38
Тренировочная работа 39
Тренировочная работа 40
Тренировочная работа 41
Тренировочная работа 42
Тренировочная работа 43
Тренировочная работа 44
Тренировочная работа 45
Тренировочная работа 46
Тренировочная работа 47
Тренировочная работа 48
Тренировочная работа 49
Тренировочная работа 50

Диагностическая работа № 10
Диагностическая работа № 11
Диагностическая работа № 14
Диагностическая работа № 16
Диагностическая работа № 17
Диагностическая работа № 19
Диагностическая работа № 20

Вариант 1 (14 вар 2018)
Вариант 2 (14 вар 2018)
Вариант 3 (14 вар 2018)
Вариант 4 (14 вар 2018)
Вариант 5 (14 вар 2018)
Вариант 7 (14 вар 2018)
Вариант 8 (14 вар 2018)
Вариант 9 (14 вар 2018)
Вариант 10 (14 вар 2018)
Вариант 11 (14 вар 2018)
Вариант 13 (14 вар 2018)
Вариант 14 (14 вар 2018)

Тренировочная работа в формате ВПР 2019-2020 по математике 6 класс

Тренировочная работа в формате ВПР по математике 7 класс 28-02-2020 Статград
Диагностическая работа по математике 8 класс 27-02-2020
Контрольная работа по математике 8 класс за первое полугодие
Контрольная работа по математике 7 класс за первое полугодие
ВПР по математике 8 класс 2020 демовариант
7 класс Входная мониторинговая контрольная работа 18-09-2019
8 класс Диагностическая работа по алгебре Статград сентябрь 2019
7 класс ВПР 18-04-2019 по математике
7 класс Статград 4 марта 2019 Тренировочная работа в формате ВПР по математике
7 класс ВПР по математике 2019
7 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019
8 класс КДР по АЛГЕБРЕ Краснодарский край Январь 2019

Тренировочная работа №1 по математике 10 класс Статград 06-02-2020
КДР математика 10 класс 19-12-2019
Диагностическая работа по математике 10 класс 13-11-2019
Стартовая уровневая работа по математике 10 класс 01-10-2019 СтатГрад
СтатГрад Тренировочная работа №2 по МАТЕМАТИКЕ 10-11 класс 17-05-2019
Итоговая диагностическая работа для 10 математических классов 14-05-2019
Итоговая уровневая работа по математике 10 класс 24-04-2019 СтатГрад
10 класс КДР по математике апрель 2019 Демонстрационный вариант
Статград 06-02-2019 Тренировочная работа №1 по математике 10 класс
Статград 18-12-2018 Диагностическая работа по Математике по теме Тригонометрия
Статград 04-12-2018 Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень) Колмогоров
Статград 04-12-2018 по учебнику Никольского Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)
Статград 04-12-2018 по учебникам Алимова и Колягина Диагностическая работа по Алгебре и началам анализа (базовый уровень)

Задачи 7 ОГЭ
Задачи 8 ОГЭ
Задачи 9 ОГЭ
Задачи 10 ОГЭ
Задачи 12 ОГЭ
Задачи 13 ОГЭ
Задачи 14 ОГЭ
Задачи 15 ОГЭ
Задачи 16 ОГЭ
Задачи 17 ОГЭ
Задачи 18 ОГЭ
Задачи 19 ОГЭ
Задачи 20 ОГЭ
Задачи 21 ОГЭ
Задачи 22 ОГЭ
Задачи 23 ОГЭ
Задачи 24 ОГЭ
Задачи 25 ОГЭ
Задачи 26 ОГЭ
Пособия для подготовки к ОГЭ

Лысенко ОГЭ 2020 математика 40 тренировочных вариантов
50 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
38 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
36 вариантов ОГЭ 2020 ФИПИ Ященко
14 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
10 вариантов математика ОГЭ 2020 Типовые варианты экзаменационных заданий Ященко
50 вариантов математика ОГЭ 2019 Типовые тестовые задания Ященко Высоцкий
38 вариантов математика ОГЭ 2019 Высоцкий Ященко
Ященко ОГЭ 2018 20 вар
36 вариантов ОГЭ 2018 ФИПИ Ященко
Ященко ОГЭ 2017 36 вар
Ященко ОГЭ 2016 36 вар

Пробные ОГЭ 2020

Статград 9 класс Тренировочная работа №4 по математике 05-03-2020
Апробация КИМ ОГЭ математика 9 класс Санкт-Петербург 06-02-2020
Статград 9 класс Тренировочная работа №3 по математике 04-02-2020
Краевая диагностическая работа по математике 9 класс декабрь 2019
Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс Статград 12-12-2019 профильный
Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград 12-12-2019 по учебнику Атанасяна
Диагностическая работа по геометрии 9 класс Статград 12-12-2019 по учебнику Погорелова
Контрольная экзаменационная работа по математике 9 класс 04-12-2019
Статград 9 класс Тренировочная работа №2 по математике 12-11-2019
Статград 9 класс Тренировочная работа №1 по математике 03-10-2019

ОГЭ по математике 06-06-2019 основная волна
Досрочный ОГЭ по математике 22-04-2019
Пробные ОГЭ 2019

Статград 9 класс 15-05-2019 Тренировочная работа №5 по математике
Статград 19-03-2019 Тренировочная работа №4 по математике 9 класс
Статград 12-02-2019 Тренировочная работа №3 по МАТЕМАТИКЕ 9 класс
Статград 13-12-2018 Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс профиль
Статград 13-12-2018 по Атанасяну Диагностическая работа по алгебре и геометрии 9 класс
Статград 08-11-2018 Тренировочная работа №2 по математике

Пробные ОГЭ 2018

Пробник ОГЭ Санкт-Петербург 06-04-2018

Ященко ЕГЭ 2017 30 вариантов
Пробные варианты ЕГЭ 2017
Реальный ЕГЭ 2017

Комбинаторика в школьной программе

Стереометрия
Планиметрия
Координатный метод

Пирамида
Призма
Куб
Теоремы стереометрии
Параллелепипед
Правильный тэтраэдр
Сфера
способ Вспогательного объёма
Цилиндр
Конус
Шар
Расстояние от точки до плоскости
Угол между плоскостями
Площадь проекции плоской фигуры

теорема О трёх перпендикулярах
признак Перпендикулярности прямой и плоскости
признак Параллельности плоскостей
Скрещивающиеся прямые
Линейный угол двугранного угла
Угол между прямой и плоскостью
Перпендикулярность плоскостей
признак Параллельности прямых
Свойство параллельных плоскостей
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Параллельность прямой и плоскости
Свойство транзитивности паралельных плоскостей

Треугольник
Окружность
Четырёхугольник
Теоремы планиметрии
Круг
Сектор

Трапеция
Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник

Свойство высоты гипотенузы
свойство Вписанных углов
Подобие треугольников
свойство Медиан
свойство Биссектрис
свойство Касательной и Секущей
свойство Касательных
свойство Секущих
теорема Косинусов
теорема Синусов
свойство Пересекающихся хорд
свойство Вписанного четырёхугольника
свойство Описанного четырёхугольника
свойство Диагоналей параллелограмма
свойство Средней линии треугольника
свойство Средней линии трапеции
Теорема Фалеса
Свойство углов с взаимно перпендикулярными сторонами
Теорема Менелая
Свойство медианы гипотенузы
Свойство Диаметра перпендикулярного к хорде
Свойства параллельных прямых
Признаки параллельных прямых
свойство Вневписанной окружности
Формула Герона
Свойство угла между касательной и хордой
Лемма о трезубце
Теорема Птолемея

Графический способ
Функция
Логарифм
Модуль
Схема Горнера
Обобщённый метод интервалов
Числовая последовательность
Параметры
Система
Уравнение
Неравенство
Способ неопределённых коэффициентов

Метод Рационализации
Метод логарифмирования

Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Теорема Крамера

Нормальный вектор

Тригонометрическая подстановка

Уравнение касательной
Производная
Предел
Свойство монотонности
Экстремум

Расстояние от точки до прямой

Подсыпанин (2001)
Зив
Самара 2011 Учебное пособие Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ

ОГЭ(ГИА) 9 класс Ларин
320 тренировочный вариант от Ларина
319 тренировочный вариант от Ларина
318 тренировочный вариант от Ларина
317 тренировочный вариант от Ларина
316 тренировочный вариант от Ларина
315 тренировочный вариант от Ларина
314 тренировочный вариант от Ларина
313 тренировочный вариант от Ларина
312 тренировочный вариант от Ларина
311 тренировочный вариант от Ларина
310 тренировочный вариант от Ларина
309 тренировочный вариант от Ларина
308 тренировочный вариант от Ларина
307 тренировочный вариант от Ларина
306 тренировочный вариант от Ларина
305 тренировочный вариант от Ларина
304 тренировочный вариант от Ларина
303 тренировочный вариант от Ларина
302 тренировочный вариант от Ларина
301 тренировочный вариант от Ларина
300 тренировочный вариант от Ларина
297 тренировочный вариант от Ларина
296 тренировочный вариант от Ларина
295 тренировочный вариант от Ларина
293 тренировочный вариант от Ларина
292 тренировочный вариант от Ларина
291 тренировочный вариант от Ларина
290 тренировочный вариант от Ларина
286 тренировочный вариант от Ларина
285 тренировочный вариант от Ларина
284 тренировочный вариант от Ларина
283 тренировочный вариант от Ларина
282 тренировочный вариант от Ларина
281 тренировочный вариант от Ларина
280 тренировочный вариант от Ларина
279 тренировочный вариант от Ларина
278 тренировочный вариант от Ларина
277 тренировочный вариант от Ларина
276 тренировочный вариант от Ларина
275 тренировочный вариант от Ларина
274 тренировочный вариант от Ларина
273 тренировочный вариант от Ларина
271 тренировочный вариант от Ларина
270 тренировочный вариант от Ларина
269 тренировочный вариант от Ларина
268 тренировочный вариант от Ларина
267 тренировочный вариант от Ларина
266 тренировочный вариант от Ларина
265 тренировочный вариант от Ларина
264 тренировочный вариант от Ларина
263 тренировочный вариант от Ларина
262 тренировочный вариант от Ларина
261 тренировочный вариант от Ларина
260 тренировочный вариант от Ларина
259 тренировочный вариант от Ларина
258 тренировочный вариант от Ларина
257 тренировочный вариант от Ларина
256 тренировочный вариант от Ларина
255 тренировочный вариант от Ларина
254 тренировочный вариант от Ларина
253 тренировочный вариант от Ларина
252 тренировочный вариант от Ларина
251 тренировочный вариант от Ларина
250 тренировочный вариант от Ларина
249 тренировочный вариант от Ларина
248 тренировочный вариант от Ларина
247 тренировочный вариант от Ларина
246 тренировочный вариант от Ларина
150 тренировочный вариант от Ларина
149 тренировочный вариант от Ларина
130 тренировочный вариант от Ларина
93 тренировочный вариант от Ларина
91 тренировочный вариант от Ларина
89 тренировочный вариант от Ларина
88 тренировочный вариант от Ларина
87 тренировочный вариант от Ларина
86 тренировочный вариант от Ларина
85 тренировочный вариант от Ларина
84 тренировочный вариант от Ларина
82 тренировочный вариант от Ларина
72 тренировочный вариант от Ларина

Усложнённые версии вариантов ОГЭ Ларина (2-го уровня)
254 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
250 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
249 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
248 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
247 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
246 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
245 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
239 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
238 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
236 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
235 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
234 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
233 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
229 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
228 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
227 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
226 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
225 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
224 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9
223 вариант Ларина ОГЭ(ГИА)-9

ответы математик
ответ математика
ответы по математике класс
математика класс учебник ответы
егэ профильный уровень

ОГЭ по информатике 2020
ЕГЭ по информатике 2020

Тренировочная работа №4 по информатике 9 класс Статград 13-03-2020
Пробный ОГЭ по Информатике 56 регион 18-02-2020
Тренировочная работа №3 по информатике 9 класс Статград 30-01-2020
Тренировочная работа №2 по информатике 9 класс Статград 27-11-2019

Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по информатике
Тренировочная работа №5 по информатике 11 класс Статград 29-04-2020
Тренировочная работа №4 по информатике 11 класс Статград 04-03-2020
Тренировочная работа №3 по информатике 11 класс Статград
Тренировочная работа №2 по информатике Статград

8 класс физика
9 класс физика ОГЭ
11 класс физика ЕГЭ

Диагностическая контрольная работа по физике 8 класс

Тренировочная работа №4 по физике 9 класс Статград 03-03-2020
Диагностическая работа по физике 9 класс 27-02-2020
Пробный ОГЭ по Физике 56 регион 18-02-2020
Тренировочная работа №3 по физике 9 класс Статград 22-01-2020

Открытые варианты досрочного отменённого ЕГЭ 2020 по физике
Тренировочная работа №4 по физике 11 класс Статград 05-03-2020
Тренировочная работа в формате ВПР по физике 11 класс Статград 20-02-2020
Тренировочная работа №3 по физике 11 класс Статград 16-01-2020

9 класс Русский язык
11 класс Русский язык ЕГЭ

Тренировочная работа №2 по русскому языку 9 класс Статград 24-01-2020

Диагностическая работа №2 по русскому языку 11 класс Статград 13-03-2020
Тренировочная работа №2 по русскому языку 11 класс Статград 10-02-2020
Диагностическая работа №3 по русскому языку 10-11 класс Статград 31-01-2020

8 класс Обществознание ОГЭ
9 класс Обществознание ОГЭ
11 класс Обществознание ЕГЭ

Урок 16. окружность. задачи на построение — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 16

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
Решение задач на построение.
Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Тезаурус:

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

AC, BD – хорды

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

AB – диаметр,

OB – радиус,

AB = 2OB,

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Дано: A, OM – луч.

Построить: EOМ = A.

Построение.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Дано: CAB.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Построение.

Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Окр. (A; r) ∩ AB = B.
Окр. (A; r) ∩ AC = C.
Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Решение:

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Решение:

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р_∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Ответ: Р_∆AOD = 12 см.

Задачи по теме «Окружность»

2. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 часа 2 минуты?

равно 6.

4. Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92∘ , угол CAD равен 60∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

6. На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 11°?

7. Касательные к окружности с центром O в точках A и B пересекаются под углом 76∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. 8. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах. 9. Длина хорды окружности равна 140, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 24. Найдите диаметр окружности. 10. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB=40∘. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги. 12. К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=40, AO=85. 13. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что угол ABC=15∘ и угол OAB=8∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

14. Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

15. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.

16. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 17. Точка О — центр окружности, угол BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

18. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов

в 6 ч?

19. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.

20. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

22. Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96. Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. 23. Отрезок AB=32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

24. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 35∘ , угол CAD равен 51∘ . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

25. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75°. Найдите величину угла ODC.

26. На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 2 часа?

27. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?

28. В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 130∘ . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

29. В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 24, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

30. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

31. За сколько часов Земля повернется вокруг своей оси на 75°?

32. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC , в котором AB=BC и угол ABC=177∘ . Найдите величину угла BOC . Ответ дайте в градусах.

33. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 72°?

34. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 22 мин?

35. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что угол NBA=32∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

36. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120∘ , угол CAD равен 74∘ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

37. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 1:2:3. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 17.

39. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 9.

ЕГЭ. Задачи на окружность

Практически с полной уверенностью можно сказать, что хотя бы одна задача на окружность обязательно встретится вам на ЕГЭ по математике профильного или базового уровня. В профильном варианте ЕГЭ такие задачи встречаются под номерами 6, 16 и, как эти ни странно, 18. Последнее задание ассоциируется обычно с параметрами, но если вы дочитаете эту статью до конца, то узнаете, как окружность может иногда помочь решить такого рода задания. Конечно, задачи на окружность в ЕГЭ могут попасться и в заданиях по стереометрии, но в этой статье речь пока пойдёт только о заданиях, связанных с планиметрией. В конце концов, первый шаг в освоении мастерства решения задач по стереометрии — это решение планиметрических задач.

Все задания, которые мы сегодня рассмотрим, — это задания из реальных вариантов ЕГЭ по математике. Именно такого рода задания вам и предстоит решать на ЕГЭ, если вы к нему готовитесь. Так что дочитайте эту статью до конца. Знания, которые вы получите, обязательно пригодятся вам на экзамене.

Задачи на окружность из первой части ЕГЭ по математике

Задание 6. Внутри треугольника ABC взяли точку O такую, что она равноудалена от вершин треугольника. Угол BAC равен 62 $^{\circ}$ . Какова градусная мера угла BOC?

Ссылка на видеоразбор

Обратим сразу внимание на то, что поскольку точка O равноудалена от вершин треугольника, то она является центром описанной около него окружности. Интересно также отметить, что этот треугольник обязательно должен быть остроугольным. В противном случае центр описанной окружности должен был бы оказаться вне треугольника, а не внутри него, как у нас. Изобразим эту ситуацию на рисунке:

Ну и теперь, когда мы всё это понимаем, как же решить задачу? Для этого нужно знать так называемую теорему о вписанном угле, которая гласит, что градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую этот угол опирается. И ещё нужно знать, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Ну и если вы помните эти нехитрые факты, решение становится совсем простым. Ведь в нашем случае угол BAC как раз является вписанным. Значит градусная мера малой дуги BC равна 124 $^{\circ}$ (вдвое больше самого вписанного угла). Ну а тогда искомая градусная мера центрального угла BOC равна тем же 124 $^{\circ}$ . И это наш ответ:

Следующие задания из ЕГЭ по математике, при решении которых вам могут потребоваться знания, связанные с темой «Окружность», встречаются уже во второй части этого экзамена. Разберём пару примеров.

Задачи на окружность из части 2 профильного ЕГЭ по математике

Задание 16. Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину C проведена касательная к окружности, пересекающая прямую BA в точке D, причём B лежит между A и D; AB = 7.5 и CD = $15\sqrt{\frac{3}{2}}$ .
а) Докажите, что BD = 2AB.
б) Из вершин A и B на касательную CD опущены перпендикуляры, меньший из которых равен 9. Определите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной AB и отрезком касательной.

Ссылка на видеоразбор

а) Начнём с доказательства. Для этого изобразим ситуацию на рисунке:

Для доказательства используем теорему о касательной и секущей. Согласно этой теореме имеет место соотношение:

$CD^2=AD\cdot DB=(AB+BD)\cdot BD.$

Пусть BD=x . Тогда записанное равенство принимает вид:

$\left(15\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 = x\left(\frac{15}{2}+x\right)\Leftrightarrow \frac{15^2\cdot 3}{2} = x\left(\frac{15}{2}+x\right) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 15\cdot\left(15+\frac{15}{2}\right) = x\left(x+\frac{15}{2}\right).$

Из последнего равенства видно, что один из корней уравнения: x=15 . Второй будет отрицательным. Это видно из теоремы Виета. Конкретно из того, что свободный член в первоначальном квадратном уравнении, если его записать в стандартном виде, будет отрицателен. То есть второй корень нам не подходит.

Итак, получается, что BD = 15, и это доказывает, что BD = 2AB

б) Проведём теперь перпендикуляры к касательной из точек A и B, меньший из которых равен 9, и найдём площадь трапеции, образовавшейся между этими перпендикулярами, отрезком AB и отрезком касательной, концами которого являются основания проведённых перпендикуляров:

Начнём с того, что треугольники FBD и EAD подобны по двум углам. Действительно, угол ADE у них общий, а углы AED и BFD равны, поскольку они оба прямые. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению AD:BD, то есть равен $\frac{3}{2}$ . То есть сторона AE равна $9\cdot \frac{3}{2}=13,5$ . Таким образом мы нашли оба основания трапеции.

Теперь давайте найдём длину FD. Сделать это не сложно. Для этого нужно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BFD. Из этого находим, что FD = 12. Значит, вновь используя подобие треугольников FBD и EAD, можно найти, что ED = 18, а значит EF = 6. То есть мы нашли высоту нашей трапеции.

Теперь мы знает всё, что нужно для нахождения площади нашей трапеции. Итак, искомая площадь равна:

$S = \frac{AE+BF}{2}\cdot EF = \frac{9+13,5}{2}\cdot 6 = 67,5.$

Это наш ответ.

Ну и ещё одно задание из профильного ЕГЭ по математике, где вам может встретиться окружность, как это ни странно, — это задание под номером 18. Традиционно это задание ассоциируется с параметрами, поэтому причём здесь геометрия с окружностями с первого взгляда не совсем понятно. Но посмотрите на решение следующего задания, и вы поймёте в чём тут суть дела.

Задание 18. Найдите все значения параметра

, при каждом из которых система

$\[ \begin{cases}$

имеет единственное решение.

Ссылка на видеоразбор

Рассмотрим три случая:

1. При a<-2 . В этом случае , что невозможно ни при каких и , поскольку сумма квадратов действительных чисел не может быть отрицательной. То есть в этом случае решений у системы нет.

2. При a=-2 уравнение системы принимает вид , что возможно только в том случае, если оба выражения в скобках одновременно обращаются в нуль. То есть имеет место система:

$\begin{cases} x=a \\ y=2a \end{cases} \begin{cases} x=-2 \\ y=-4. \end{cases}$

Прямой подстановкой полученных значений в неравенство системы убеждаемся, что они ему удовлетворяют:

$\[$

Значит вариант с a=-2 нам подходит, система имеет единственное решение при этом значении параметра .

3. Рассмотрим теперь случай, когда a>-2 . В этом случае задание допускает графическое решение. Первое неравенство с модулем можно заменить вот таким двойным неравенством: $-12\leqslant x+2y\leqslant 10$ . Тогда исходную систему можно переписать в следующем виде:

$\begin{cases} x+2y\geqslant -12\\ x+2y\leqslant 10\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases}$

Или в более удобном виде:

$\begin{cases} y\geqslant -6-\frac{1}{2}x\\ y\leqslant 5-\frac{1}{2}x\\ (x-a)^2+(y-2a)^2=2+a. \end{cases}$

Посмотрим на уравнение системы. Какую линию задаёт на координатной плоскости это уравнение при a>-2 ? И вот здесь-то и появляется наша любимая окружность. Действительно, ведь этой уравнение окружности! Квадрат радиуса этой окружности равен 2+a , а центр лежит в точке (a;2a) , то есть где-то на прямой y=2x . На рисунке снизу она изображена красным цветом. При этом прямая y=2x перпендикулярна прямой $y=5-\frac{x}{2}$ :

Это легко доказать, если рассмотреть треугольник, полученный между этими прямыми и осью OY. Длины сторон этого треугольника равны $\sqrt{25}$ , $\sqrt{20}$ и $\sqrt{5}$ (подробнее об этом смотрите в видео). Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным.

Изобразим теперь, какую область на координатной плоскости задают первые два неравенства системы. Для этого изобразим ещё график функции $y=-6-\frac{1}{2}x$ (зелёная линия на рисунке снизу). Тогда выделенная на рисунке снизу область, заключённая между этими прямыми, и будет являться искомой.

Это даёт понять, что система имеет единственное решение в том случае, когда наша окружность внешним образом касается верхней границы заштрихованной области в точке B, как показано на рисунке:

Эта ситуация реализуется, когда a=3 . Действительно, поскольку окружность касается области в точке B, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности, то есть должно быть справедливо равенство:

$(2-a)^2+(4-2a)^2=2+a$

$5a^2-21a+18=0$

$a_1=3,\, a_2=\frac{6}{5}.$

Подходит только первый корень, поскольку второй соответствует касанию окружности в точке B внутренним образом. То есть второй случай нам не подходит, так как в этом случае решений у системы будет бесконечно много, а не одно, как требуется в условии.

Итак, мы почти решили задачу. Остаётся открытым вопрос. Может ли подобная ситуация реализоваться в случае с касанием нашей окружности с выделенной областью в точке C внешним образом? Ответ на этот вопрос — нет. Почему? Потому что в этом случае координата центра окружности, а значит и значение параметра меньше -2. Но мы уже выяснили выше, что при a<-2 решений у системы нет.

Итак, ответ к этому заданию: $a\in\{-2;3\}$ .

В данной статье мы рассмотрели задачи на окружность, которые могут вам встретиться на ЕГЭ по математике. Они могли показаться вам сложными, особенно если вы только начали свою подготовку к предстоящему экзамену. Но на самом деле, для того, чтобы научиться их решать, не требуется ничего сверхъестественного. Нужно лишь желание, достаточное количество времени, ну и помощь грамотного наставника. Если кому-то из вас нужны занятия с репетитором для подготовки к предстоящему экзамену, пройдите по этой ссылке, там вы найдёте информацию обо мне и моих занятиях. Удачи вам в подготовке к экзамену!

Статью написал репетитор по математике для подготовки к ЕГЭ, Сергей Валерьевич

Понравилась статья? Тогда, возможно, вам будут интересны также следующие:

Решение задач по теме» Вписанная и описанная окружность» ( 8кл)

Инфоурок › Математика ›Презентации›Решение задач по теме» Вписанная и описанная окружность» ( 8кл)

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Решение задач по теме «Вписанная и описанная окружность»(8кл) МОБУ « Новочеркасская СОШ» Булдакова Л.П

2 слайд

Описание слайда:

Решить задачи 1.Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

3 слайд

Описание слайда:

Решение Отрезки касательных равны, все они обозначены на чертеже. Найдем периметр: (5+3)*2 + 3*2 = 22.

4 слайд

Описание слайда:

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

5 слайд

Описание слайда:

Треугольник АСD египетский, значит, СD = 4. SABC=1/2(6*4) = 12 Воспользуемся формулой для вычисления радиуса.

6 слайд

Описание слайда:

В треугольнике ABC АС=4, ВС=3, угол C равен 90º. Найдите радиус вписанной окружности.

7 слайд

Описание слайда:

Решение АВ=5 (это египетский треугольник). Р- полупериметр Р=6

8 слайд

Описание слайда:

Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

9 слайд

Описание слайда:

Решение Пусть углы 1х, 2х, 3х. По условию около данного четырехугольника можно описать окружность А+С = D+B. Тогда угол D=2х. Сумма противоположных углов описанного четырехугольника 180. 1х+3х=180 (или 2х+2х=180) х=45 (1 часть) Угол D=90

10 слайд

Описание слайда:

Задача Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82º и 58º. Найдите больший из оставшихся углов.

11 слайд

Описание слайда:

Решение Значит, — это углы соседние. Теперь воспользуемся свойством углов вписанного четырехугольника А+С = D+B =180. 1) 180 – 58 = 122 – это угол В. 2) 180 – 82 = 98 – это угол А. Больший из них – 122. Это не противолежащие углы, т.к. в описанном четырехугольнике их сумма равнялась бы 180 градусов.

12 слайд

Описание слайда:

Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

13 слайд

Описание слайда:

дополнительные построения: центр О соединить с вершинами С и В (эти отрезки равны радиусу, т.е. 5). Получим два египетских треугольника ОHC и OFB. ОH=4, OF=3. Высота HF=7.

14 слайд

Описание слайда:

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60º, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

15 слайд

Описание слайда:

Решение Вписанный угол ВАD опирается на дугу DCB. дуга DCB=120, а дуга DC = 60. Три дуги стягивают равные хорды AD, DC, CB. Они равны 60. Тогда дуга AB= 180. а это означает, что АВ – диаметр, тогда радиус 12:2 = 6.

16 слайд

Описание слайда:

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции

17 слайд

Описание слайда:

Решение 1) Средняя линия равна полусумме оснований. Тогда сумма оснований равна 10. 2) 22 – 10 = 12 это приходиться на боковые стороны. 3) 12:2 = 6, боковые стороны вписанной трапеции равны.

18 слайд

Описание слайда:

Интернет-ресурсы Книга: http://www.liveinternet.ru/users/4321745/post201324261/ Карандаш: http://allforchildren.ru/pictures/showimg/school5/school0519jpg.htm Линейка, циркуль, лекало: http://www.ineedsex.ru/main.php?g2_view=core.DownloadItem&g2_itemId=345&g2_serialNumber=2 Транспортир: http://knopka48.ru/images/detailed/1/26449_2.png

19 слайд

Описание слайда:

Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново Сайт: http://pedsovet.su/

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВнеурочная деятельностьВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеЕстествознаниеИЗО, МХКИностранные языкиИнформатикаИстория РоссииКлассному руководителюКоррекционное обучениеЛитератураЛитературное чтениеЛогопедия, ДефектологияМатематикаМузыкаНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирПриродоведениеРелигиоведениеРодная литератураРодной языкРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФранцузский языкХимияЧерчениеШкольному психологуЭкологияДругое

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала: 495263

Оставьте свой комментарий

задач на площадь и окружность круга

- Классы
  Класс 1-3
  Класс 4-5
  Класс 6-10
  Класс 11-12
- КОНКУРСНЫЙ ЭКЗАМЕН
  BNAT 000 NC
  000 NC Книги
  Книги NCERT для класса 5
  Книги NCERT для класса 6
  Книги NCERT для класса 7
  Книги NCERT для класса 8
  Книги NCERT для класса 9
  Книги NCERT для класса 10
  Книги NCERT для класса 11
  Книги NCERT для класса 12
  NCERT Exemplar
  NCERT Exemplar Class 8
  NCERT Exemplar Class 9
  NCERT Exemplar Class 10
  NCERT Exemplar Class 11
  NCERT 9000 9000
  NCERT Exemplar Class
  Решения RS Aggarwal, класс 12
  Решения RS Aggarwal, класс 11
  Решения RS Aggarwal, класс 10
  90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
  Решения RS Aggarwal класса 8
  Решения RS Aggarwal класса 7
  Решения RS Aggarwal класса 6
  Решения RD Sharma
  RD Sharma Class 6 Решения
  Решения RD Sharma
  Решения RD Sharma Class 8
  Решения RD Sharma Class 9
  Решения RD Sharma Class 10
  Решения RD Sharma Class 11
  Решения RD Sharma Class 12
  PHYSICS
  Механика
  Оптика
  Термодинамика Электромагнетизм
  ХИМИЯ
  Органическая химия
  Неорганическая химия
  Периодическая таблица
  MATHS
  Теорема Пифагора
  0004
  000300030004
  Простые числа
  Взаимосвязи и функции
  Последовательности и серии
  Таблицы умножения
  Детерминанты и матрицы
  Прибыль и убыток
  Полиномиальные уравнения
  Деление фракций
  000
  000
  000
  000
  000
  000 Microology
  000
  000 Microology
  000 BIOG3000
  FORMULAS
  Математические формулы
  Алгебраические формулы
  Тригонометрические формулы
  Геометрические формулы
  КАЛЬКУЛЯТОРЫ
  Математические калькуляторы
  0003000 PBS4000
  000300030002 Примеры калькуляторов химии
  Класс 6
  Образцы бумаги CBSE для класса 7
  Образцы бумаги CBSE для класса 8
  Образцы бумаги CBSE для класса 9
  Образцы бумаги CBSE для класса 10
  Образцы бумаги CBSE для класса 11
  Образцы бумаги CBSE чел для класса 12
  CBSE Контрольный документ за предыдущий год
  CBSE Контрольный документ за предыдущий год Класс 10
  Контрольный документ за предыдущий год CBSE, класс 12
  HC Verma Solutions
  HC Verma Solutions Class 11 Physics
  Решения HC Verma, класс 12, физика
  Решения Лакмира Сингха
  Решения Лакмира Сингха, класс 9
  Решения Лакмира Сингха, класс 10
  Решения Лакмира Сингха, класс 8
  Заметки CBSE
  CBSE Notes
  Примечания CBSE класса 7
  Примечания CBSE класса 8
  Примечания CBSE класса 9
  Примечания CBSE класса 10
  Примечания CBSE класса 11
  Примечания CBSE класса 12
  Примечания к редакции CBSE
  Примечания к редакции
  CBSE Class
  Примечания к редакции класса 10 CBSE
  Примечания к редакции класса 11 CBSE 9000 4
  Примечания к редакции класса 12 CBSE
  Дополнительные вопросы CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
  Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
  Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
  Дополнительные вопросы по науке класса 9 CBSE
  Дополнительные вопросы по математике для класса 10
  Дополнительные вопросы по науке, класс 10 по CBSE
  CBSE, класс
  , класс 3
  , класс 4
  , класс 5
  , класс 6
  , класс 7
  , класс 8
  , класс 9 Класс 10
  Класс 11
  Класс 12
  Учебные решения
  Решения NCERT
  Решения NCERT для класса 11
  Решения NCERT для класса 11 по физике
  Решения NCERT для класса 11 Химия
  Решения для биологии класса 11
  Решения NCERT для математики класса 11
  9 0003 NCERT Solutions Class 11 Accountancy
  NCERT Solutions Class 11 Business Studies
  NCERT Solutions Class 11 Economics
  NCERT Solutions Class 11 Statistics
  NCERT Solutions Class 11 Commerce
  NCERT Solutions For Class 12
  NCERT Solutions For Класс 12 по физике
  Решения NCERT для химии класса 12
  Решения NCERT для класса 12 по биологии
  Решения NCERT для класса 12 по математике
  Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерия
  Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
  Решения NCERT, класс 12 Экономика
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
  NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
  NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
  NCERT Solutions Class 12 Commerce
  NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
  NCERT Solutions For Класс 4
  Решения NCERT для математики класса 4
  Решения NCERT для класса 4 EVS
  Решения NCERT для класса 5
  Решения NCERT для математики класса 5
  Решения NCERT для класса 5 EVS
  Решения NCERT для класса 6
  Решения NCERT для математики класса 6
  Решения NCERT для науки класса 6
  Решения NCERT для социальных наук класса 6
  Решения NCERT для класса 6 Английский
  Решения NCERT для класса 7
  Решения NCERT для класса 7 Математика
  Решения NCERT для класса 7 Наука
  Решения NCERT для класса 7 по социальным наукам
  Решения NCERT для класса 7 Английский
  Решения NCERT для класса 8
  Решения NCERT для класса 8 Математика
  Решения NCERT для класса 8 Science
  Решения NCERT для социальных наук 8 класса
  Решение NCERT ns для класса 8 Английский
  Решения NCERT для класса 9
  Решения NCERT для социальных наук класса 9
  Решения NCERT для математики класса 9
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 2
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 3
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 4
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 5
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 6
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 7
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 8
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 9
  Решения NCERT
  для математики класса 9 Глава 10
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 11
  Решения NCERT для Математика класса 9 Глава 12
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 13
  Решения
  NCERT для математики класса 9 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
  Решения NCERT для науки класса 9
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
  Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
  Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 4
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 5
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 6
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 7
  Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 8
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 9
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 10
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 12
  Решения NCERT для Науки Класса 9 Глава 11
  Решения NCERT для Класса 9 Наука Глава 13
  Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 14
  Решения NCERT для класса 9 по науке Глава 15
  Решения NCERT для класса 10
  Решения NCERT для класса 10 по социальным наукам
  Решения NCERT для математики класса 10
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 3
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 4
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 5
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 6
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 8
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 9
  Решения NCERT
  для математики класса 10 Глава 10
  Решения
  NCERT для математики класса 10 Глава 11
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 12
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 13
  NCERT Sol Решения NCERT для математики класса 10 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
  Решения NCERT для науки класса 10
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 1
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 2
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 3
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 4
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 5
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 6
  Решения NCERT для науки класса 10, глава 7
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 9
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 10
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 11
  Решения NCERT для науки класса 10 Глава 12
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 13
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 14
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
  Учебный план NCERT
  NCERT
  Commerce
  Class 11 Commerce Syllabus
  ancy Account
  Программа бизнес-исследований 11 класса
  Учебная программа по экономике 11 класса
  Учебная программа по коммерции 12 класса
  Учебная программа по бухгалтерии 12 класса
  Учебная программа по бизнесу 12 класса
  Учебная программа по экономике
  9000 9000
  Образцы документов по коммерции класса 11
  Образцы документов по коммерции класса 12
  TS Grewal Solutions
  TS Grewal Solutions Class 12 Accountancy
  TS Grewal Solutions Class 11 Accountancy
  Отчет о движении денежных средств
  Что такое Entry eurship
  Защита прав потребителей
  Что такое основной актив
  Что такое баланс
  Формат баланса
  Что такое акции
  Разница между продажами и маркетингом
  ICSE
  Документы
  ICSE
  Вопросы ICSE
  ML Aggarwal Solutions
  ML Aggarwal Solutions Class 10 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 9 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 8 Maths
  ML Aggarwal Solutions Class 7 Maths
  ML 6 Maths
  ML 6 Maths
  Selina Solutions
  Selina Solutions для класса 8
  Selina Solutions для Class 10
  Selina Solutions для Class 9
  Frank Solutions
  Frank Solutions для математики класса 10
  Frank Solutions для математики класса 9
  Класс ICSE 9000 2
  ICSE Class 6
  ICSE Class 7
  ICSE Class 8
  ICSE Class 9
  ICSE Class 10
  ISC Class 11
  ISC Class 12
  IAS
  Exam
  IAS
  Civil
  Сервисный экзамен
  Программа UPSC
  Бесплатная подготовка к IAS
  Текущие события
  Список статей IAS
  Пробный тест IAS 2019
  Пробный тест IAS 2019 1
  Пробный тест IAS 2019 2
  
  Экзамен KPSC KAS
  Экзамен UPPSC PCS
  Экзамен MPSC
  Экзамен RPSC RAS 
  TNPSC Group 1
  APPSC Group 1
  Экзамен BPSC
  WBPS3000 Экзамен 9000 MPC 9000 9000 MPC4000 Jam
  Вопросник UPSC 2019
  Ключ ответов UPSC 2019
  Коучинг IAS
  IA S Coaching Бангалор
  IAS Coaching Дели
  IAS Coaching Ченнаи
  IAS Coaching Хайдарабад
  IAS Coaching Мумбаи
  JEE
  BYJU’SEE
  9000 JEE 9000 Основной документ JEE 9000 JEE 9000
  Вопросник JEE
  Биномиальная теорема
  Статьи JEE
  Квадратичное уравнение
  NEET
  Программа BYJU NEET
  NEET 2020
  NEET Приемлемость 9000 Критерии 9000 NEET4 9000 Пример 9000 NEET 9000 9000 NEET
  Поддержка
  Разрешение жалоб
  Служба поддержки клиентов
  Центр поддержки
  Государственные советы
  GSEB
  GSEB Syllabus
  GSEB4
  GSEB3 Образец статьи
  004
  MSBSHSE
  MSBSHSE Syllabus
  MSBSHSE Учебники
  Образцы статей MSBSHSE
  Вопросники MSBSHSE
  AP Board
  APSCERT
  APS4
  Syll
  AP
  Syll 9000SC4
  Syll
  AP 9000S4 9000 Syll
  Syll
  MP Board
  MP Board Syllabus
  MP Board Образцы документов
  Учебники MP Board
  Assam Board
  Assam Board Syllabus
  Assam Board Учебники 9000 9000 Board4
  Assam Board Учебники 9000 Board4 BSEB
  Bihar Board Syllabus
  Bihar Board Учебники
  Bihar Board Question Papers
  Bihar Board Model Papers
  BSE Odisha
  Odisha Board Syllabus
  Odisha Board Syllabus
  Программа PSEB
  Учебники PSEB
  Вопросы PSEB
  RBSE
  Rajasthan Board Syllabus
  RBSE Учебники
  RBSE Question Papers
  HPBOSE
  HPBOSE
  000 Syllab HPBOSE000 HPBOSE
  JKBOSE
  Программа JKBOSE
  Образцы документов JKBOSE
  Шаблон экзамена JKBOSE
  TN Board
  TN Board Syllabus
  TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 TN Board 9000 Papers 9000 Paper 9000 Paper
  JAC
  Программа JAC
  Учебники JAC
  Вопросники JAC
  Telangana Board
  Telangana Board Syllabus
  Telangana Board Учебники
  Papers Telangana Board Учебники
  KSEEB Syllabus
  Типовые вопросы KSEEB
  KBPE
  KBPE Syllabus
  Учебники KBPE
  KBPE Вопросы
  9000 UPMSP Board 9000 UPMSP Board2
  Совет по Западной Бенгалии
  Учебный план Совета по Западной Бенгалии
  Учебники по Совету по Западной Бенгалии
  Вопросы для Совета по Западной Бенгалии
  UBSE
  TBSE
  Гоа Совет
  000
  NBSE000
  Mega Board
  Manipur Board
  Haryana Board
  Государственные экзамены
  Банковские экзамены
  Экзамены SBI
  Экзамены IBPS
  Экзамены RBI
  IBPS
  03
  Экзамены SSC
  9SC2
  SSC GD
  SSC CPO 900 04
  SSC CHSL
  SSC CGL
  Экзамены RRB
  RRB JE
  RRB NTPC
  RRB ALP
  O Экзамены на страхование
  LIC4
  LIC4 9000 ADF UPSC CAPF
  Список статей государственных экзаменов
  Обучение детей
  Класс 1
  Класс 2
  Класс 3
  Академические вопросы
  Вопросы по физике
  Вопросы по химии
  Вопросы по химии
  Вопросы
  Вопросы по науке
  Вопросы GK
  Онлайн-обучение
  Домашнее обучение
  Полные формы
  CAT
  BYJU’S CAT Program
  .
  c # — найти наименьший круг, охватывающий другие круги?
  Переполнение стека
  Около
  Товары
  Для команд
  Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
  Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
  О компании
  .
  java — Как рассчитать положение на окружности под определенным углом?
  Переполнение стека
  Около
  Товары
  Для команд
  Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
  Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
  Вакансии Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
  Реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
  О компании
  .
  Круги катящиеся по кругам | plus.maths.org
  
  Сколько оборотов сделает меньшая монета, катаясь вокруг большей?
  Представьте себе круг с радиусом 1 см, полностью катящийся по окружности с радиусом 4 см. Сколько оборотов сделал меньший круг?
  Длина окружности с радиусом равна $2\pi r$ , поэтому длина окружности с радиусом будет равна $8\pi r$ . Поскольку
  $8\pi r \div 2\pi r = 4,$
  я решил, что ответ должен быть четыре оборота.Представьте себе мое удивление, когда я увидел, что ответ был пять!
  Я прочитал объяснение, почему это действительно правильный ответ, и хотя рассуждения казались разумными, потребовалось некоторое время, прежде чем я смог по-настоящему убедить себя в том, что мое решение было ошибочным. Это интересная проблема, поэтому я представил ее нескольким людям, большинство из которых сразу же ответили «четыре», как и я, и, как и я, меня трудно было убедить в обратном; лишь очень немногие могли интуитивно увидеть «пять» как правильный ответ.
  Вот лучший способ подумать об этой проблеме: вместо того, чтобы катиться по большему кругу, начните с представления меньшего круга как катящегося по линии той же длины, что и длина окружности большего круга. В этом случае легко представить, что длина линии составляет $8\pi r$ единиц, и поэтому меньший круг явно должен был сделать $8\pi r \div 2\pi r = 4$ оборота. Затем представьте, что круг скользит по линии, а не катится, так что точка на монете, в которой он касается линии, остается прежней.Теперь рассмотрим разницу между скольжением по прямой и по окружности; Если вы двигаете юниты $8\pi r$ по прямой, вы прибываете в пункт назначения так же, как и начали, без каких-либо изменений ориентации. Но если вы сделаете то же самое по окружности круга, вы совершите полный оборот, когда вернетесь в исходную точку. Таким образом, когда катит по одной и той же окружности, вы сделаете четыре оборота качения плюс один оборот скольжения, всего пять!
  Иначе говоря: когда маленький круг катится по окружности большего круга, одновременно происходят два вида движения: вращение и вращение.Четыре движения, которые мы изначально рассматриваем, — это четыре революции, возможно, потому, что их легко увидеть. С другой стороны, вращение понять сложнее.
  
  Трудно решить эту проблему, просто подумав о ней, поэтому важно проверить ситуацию экспериментально. Например, вы должны попробовать смоделировать эту проблему с помощью двух монет; Если проблема соответствует предсказаниям большинства людей, то при использовании двух монет одинакового размера движущаяся будет вращаться $2\pi r \div 2\pi r = 1$ раз, но, как вы увидите, это происходит дважды.Например, вы можете предсказать, что перекатывание от верха фиксированной монеты к ее низу приведет к тому, что катящаяся монета будет перевернута вверх дном, но на самом деле к этому моменту она неожиданно совершит полный оборот. Я очень рекомендую попробовать это самостоятельно.
  Если вам трудно понять, как все работает с кругом, вы также можете представить, что произойдет с квадратом. Когда круг, катящийся по внешней периферии квадрата, встречает первый угол, ему придется повернуться на «лишние» 90 °, чтобы продолжить движение по следующей стороне.Это будет происходить снова на каждом углу, и, поскольку 90 ° x 4 = 360 °, это составляет дополнительный полный оборот.
  Каждое из приведенных выше объяснений описывает движение круга как разложение на вращение и вращение, но на самом деле такого разложения не происходит. Подобно тому, как сердце и легкие человека работают одновременно, вращение и вращение происходят вместе. Разделение вращения и вращения полезно для понимания, но это не дает фундаментального решения.Некоторые говорят, что структура нашего мозга не позволяет выполнять многозадачность, но научиться одновременно понимать такие явления было бы очень полезно.
  Аналогичная проблема появилась в Ага! Попался: парадоксы загадки и восторга Мартина Гарднера, а также в Scientific American в 1868 году. Если вы можете придумать альтернативное доказательство или объяснение этой проблемы, пожалуйста, оставьте комментарий или напишите нам!
  Об авторе
  
  Ютака Нишияма — профессор Осакского университета экономики, Япония.После изучения математики в Университете Киото он 14 лет проработал в IBM Japan. Он интересуется математикой, которая встречается в повседневной жизни, и написал десять книг по этому предмету. Самым последним из них является «Таинственное число 6174: одна из 30 математических тем повседневной жизни» , опубликованное Gendai Sugakusha в июле 2013 года (ISBN978-4-7687-6174-8). Вы можете посетить его сайт здесь.
  .