Задачи в целых числах: «Решение задач в целых числах» – СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 07.01.202102.02.2020 by alexxlab

Содержание

исследовательская работа «Решение уравнений и задач в целых числах»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Башкирский лицей №2

Ленинского района городского округа

город Уфа Республики Башкортостан

Решение уравнений и задач в целых числах

Автор: Рахимов Азамат Шамилевич

ученик 9а класса МБОУ Башкирский лицей №2

Ленинского района г. Уфа РБ

Научный руководитель: Газизова Гульзиган Салихзяновна,

учитель математики, МБОУ Башкирский лицей №2

Ленинского района г.Уфа РБ

Уфа 2014

Содержание

I. Введение.

II. Решение в целых числах уравнений первой степени с двумя неизвестными разными способами.

III. Решение в целых числах уравнений второй степени с двумя неизвестными.

3.1. Метод разложения на множители.

3.2. Графический метод решения.

IV. Заключение.

V. Литература.

I.Введение

Задачи этой тематики достаточно часто встречаются на вступительных экзаменах, на ЕГЭ. Несмотря на то, что этими задачами занимались многие выдающиеся математики древности (Пифагор, Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж и др.), универсальные методы в этой области, позволяющие решить в целых числах любое уравнение, отсутствуют. Проблема решена только для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Однако и для этих уравнений использование полученных методов часто оказывается не самым эффективным и достаточно трудоемким.

Я изучил наиболее часто используемые приемы решения уравнений в целых числах.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называют диофантовым уравнением. Простейшим из них является линейное диофантово уравнение вида ax + by + c, где а, в, с -целые числа. Его решение (х;у)-пара целых чисел.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах + ву = с, где а,в,с -целые числа, имеет решение тогда и только тогда,когда с делится на НОД чисел а и в. Если d=НОД(а,в), а=а₁d, в=в₁d, c=c₁d и (х₀;у₀)- некоторое решение уравнения ах+ву=с, то все решения задаются формулами х=х₀+в₁t, y=y₀-a₁t, где t-произвольное целое число.

II. Решение в целых числах уравнений первой степени с двумя неизвестными разными способами.

1) Решить в целых числах: 7х+4у=123

НОД(7;4)=1. Найдем какое-нибудь решение (х₀;у₀) данного уравнения. Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент:

4у=123-7х,

Если х₀=1,то у₀=29.

Запишем ответ.

х=1+4t

y=29-7t, где t-произвольное целое число.

Второй способ:

Выразим у:

Целые решения существуют, если 3-3х=4k ,где k-целое число. Аналогично,

т.е k=3t,где t-целое число

Ответ: х=1-4t, у=29+7t

2)Решим в целых числах: 15х+78у=12

НОД(15;78)=3 15=3·5 78=3·26

Найдем какое-нибудь решение (х₀;у₀) данного уравнения. Выразим переменную, имеющую наименьший по модулю коэффициент:

х=

Если х₀=6 ,то у=-1

Запишем ответ по теореме

х=6+26t y=-1-5t

III. Решение в целых числах уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Рассмотрим разные приемы решения уравнений в целых числах, степень которых превышает 1.

3.1. Метод разложения на множители.

1) 2ху-6х=9х-3у+6

2ху-6х²-9х+3у=6

2х(у-3х)+3(у-3х)=6

(2х+3)(у-3х)=6

Так как х и y-целые числа, то (у-3х) Z и (2х+3) Z. Поэтому для решения достаточно рассмотреть все возможные варианты разложения числа 6 в произведение двух целых множителей. Всего существует 4 случая: 6=23, 6=(-2) (-3), 6=16, 6=(-1) (-6). Соответственно, далее остается решить 8 систем линейных уравнений:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

Первая, третья, шестая, восьмая системы не имеют решений. Из второй получаем х=0, у=2. Из четвертой х=-3,у=-11. Из пятой х=-1,у=3. Из седьмой х=-2,у=-12.

^{2)Решим методом разложения на множители:}

х²-7ху+6у²=18

(х²-6ху)+(6у²-ху)=18

х(х-6у)-у(х-6у)=18

(х-у)(х-6у)=18

n₁_·n₂=18

Сложив уравнения системы получим:

5у= n₁-n₂

у=

18=1·18, 18=2·9, 18=3·6, 18=(-1)·(-18), 18=(-2)·(-9), 18=(-3)·(-9).

Подставляем значения в уравнение и получаем, что решений нет.

3.2. Графический метод решения.

Найти все целочисленные пары (х;у), удовлетворяющие уравнению:

Найдём сначала все целые допустимые пары:

Изобразим множество решений полученной системы на координатной плоскости.

Множеством всех решений системы является заштрихованная область с границей. Выберем только интересующие нас целые решения:(2;0),(2;1),(3;1). Из этих пар исходному уравнению подходит только пара (2;1).

IV. Заключение.

В ходе проделанной работы я научился решать уравнения и задачи в целых числах. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ, вступительных экзаменов в МГУ, задачи практического содержания. В процессе выполнения данной работы я узнала много нового, думаю, что все это пригодится мне в учёбе.

V Список литературы

Г.И. Фалин, А.И. Фалин, Алгебра на вступительных экзаменах по математике в МГУ. Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2009.
ФИПИ. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. «Интеллект-Центр» 2010.
Учебно-методическая газета «Математика». Издательский дом «Первое сентября» №16, 2007 г.
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Издательство «Мнемозина», 2011 г.
М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Москва. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009 г.

Глава 1 Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах» — Решение

Содержание.

Введение ………………………………………………………………… 3

Основная часть

Из истории математики ………………………………………………….. 4-5

Глава 1. Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах»

1.1. Базовая задача 1 …..…………………………………………………. 6-7

1.2. Базовая задача 2 ……………………………………………………. 7-8

1.3. Базовая задача 3 ……………………………..……………………… 8-9

1.4. Базовая задача 4 ……………….………………………..………….. 10-11

1.5. Базовая задача 5 …………………………………….………………. 11-12

1.6 Базовая задача 6 ……………………………………………………… 12-13

1.7. Базовая задача 7 ………………………………………………….… 14-15

1.8 Базовая задача 8 …………………………………………………….. 15-16

1.9 Базовая задача 9 …………………………………………………… 16-17

1.10 Базовая задача 10 …………………………………………………. 17-18

1.11 Базовая задача 11 ………………………………………………….. 18

Глава 2. Практика. Решение задач в целых числах

2.1. Примеры решения задач в целых ….……………………………… 18-19

2.2. Решения заданий С₆ из ЕГЭ ……………………………………… 19-20

Выводы ……………………………………………………………….. 21

Список литературы …………………………………………………… 22

Актуальность.

Эту тему я выбрала неслучайно, так как задачи в целых числах с прошлого года включены в КИМы ЕГЭ по математике (С₆) и оцениваются максимальным количеством баллов, что не маловажно для моего результата по экзамену. Также задачи такого типа встречаются на олимпиадах разного уровня. Но, к сожалению, школьная математика явно не предусматривает обучение решению задач в целых числах. Это порождает так называемые пробелы и «;дырки»; в моих знаниях по математике. Так как я заинтересована в получении наиболее высокого балла на экзамене, то я решила систематизировать уже имеющиеся представления по данной теме, пополнить свой «багаж» знаний теоремами и задачами, которые мы не изучали на уроках математики, но они необходимые для решения подобных задач. Также изучить и разобрать базовые задачи (опорные задачи) в целых числах и на их основе научиться решать более сложные задачи.

Проблема.

На уроках математики не отводится должного внимания решению задач в целых числах, тем не менее, задания такого типа включены в задания ЕГЭ.

Цель.

Овладеть системой знаний и умений при решении задач с целыми числами.

Задачи.

1) Освоить основные базовые задачи в целых числах;

2) На основе базовых задач решать более сложных задач в целых числах;

3) Решить задач типа С₆.

Гипотеза.

Углубление изучения исследований по данной теме могут вывести меня на такой уровень, что я смогу справиться на экзамене с заданием типа С₆.

Введение.

«Кто хочет, тот ищет возможность

Кто не хочет, тот ищет причину»

Решение задач в целых числах в школьной алгебре полезно не только для поступления в вуз, они способствуют развитию ключевых компетентностей. При разборе заданий данной темы каждый раз сталкиваешься с нестандартной ситуацией, в которой необходимо рассматривать различные случаи и понимать, какие именно случаи рассматривать.

Самостоятельное планирование шагов своих действий требуют довольно тонких логических рассуждений. Для успешного решения таких задач необходимо, прежде всего, умение проводить довольно объемные, логические рассуждения, что приучает к внимательности и аккуратности.

Итак, задачи с целыми числами предполагают не только умение производить какие-то выкладки по задуманным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры.

Из истории математики.

Первой достаточно объемной книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100 н.э.). В истории арифметики её роль сравнима с ролью Начала Евклида в истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях). Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил их без доказательства.

Многие математики, как настоящего, так и прошлого в юности прошли через увлечение задачами с целыми числами, а для некоторых из них это увлечение со временем превратилось в научные исследования по теории чисел. Например, Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причём каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей).

Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта (ок. 250), в которых он не предлагал общих методов, а имел дело с конкретными целыми положительными и рациональными числами. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул «;диофантово»;, если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах. А П. Ферму принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Л. Эйлер продолжил исследования Ферма по теории делимости чисел и доказал теорему, обобщающую малую теорему Ферма. Ему принадлежат также и первые доказательства великой теоремы Ферма для показателя = 3.

К началу 18 в. в науке о целых числах накопилось много фактов, позволивших создать стройные теории и общие методы решения задач теории чисел. Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал создавать общие методы и применять др. разделы математики, в частности математический анализ, к решению задач теории чисел. К середине 19 в. с задачами в целых числах были связаны имена К. Гаусса, Ж. Лагранжа, А. Лежандра, П. Дирихле, П. Л. Чебышева, Ж. Лиувилля, Э. Куммера. Например, К. Гаусс создал теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел.

Глава 1. Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».

Решение задач в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.

«Анализ задачного материала по теме решение задач в целых числах, непосредственно связанной с тематикой задач С₆, показывает, что существует некоторое подмножество опорных задач (мы называем их базовыми задачами), которые неизбежно встают перед человеком, решающим любую задачу из названной темы. Представляется логичным выделить с максимальной полнотой перечень базовых задач, а также адекватные им универсальные и специальные математические учебные действия.

…построенный перечень базовых задач действительно является базисом в пространстве задач темы решение задач в целых числах. Фактически речь идет о проверки справедливости следующего утверждения: решение любой задачи данной темы представимо в виде цепочки последовательно разворачивающихся базовых задач (всех или некоторых), взятых в определенной последовательности». – А.А.Максютин¹

1.1. БЗ1. Задача о делении целого числа на целое число с остатком (нахождение неполного частного и остатка , таких, что выполняется равенство: ).

Способы действий:

Не всегда одно натуральное число делится нацело на другое натуральное число. Например: У нас есть 13 абрикосов. Как нам разделить их на четверых. Каждому достанется по три штуки и один абрикос останется. В данном случае:

13— делимое.
4 — делитель.
3 — неполное частное.
1 — остаток.
Остаток обязательно должен быть меньше делителя. Если в остатке нуль, то делимое делится на делитель нацело (без остатка).

Если нам надо найти делимое, зная делитель, неполное частное и остаток. Надо перемножить делитель и неполное частное и прибавить остаток. 3 • 4 + 1 = 13.

Например:Запишите все натуральные числа, при делении которых на 16 получится остаток 11.

Решение: , где

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2

Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2

Если m чётно, то оно представимо в виде m = 2k, а если нечётно, то в виде m = 2k + 1, где .

Задача: При делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 — остаток 2. Какой остаток дает это число при делении на 6?

Решение.

Так как при делении целого числа на 6 можно получить один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4 и 5, то множество целых неотрицательных чисел можно разбить на непересекающиеся подмножества чисел вида 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6у + 3, 6k + 4 и 6у + 5, где k = 0, 1, 2, 3, … .

Так как при делении на 2 данное число дает остаток 1, то оно нечетное, поэтому остается рассмотреть числа вида 6k + 1, 6у + 3 и 6у + 5.

Числа вида 6k + 1 при делении на 3 дают остаток 1, числа вида 6k + 3 кратны 3 и только числа вида 6k + 5 при делении на 3 дают остаток 2.Следовательно, число имеет вид 6у + 5, т.е. при делении на 6 дает остаток 5.

¹«Эвристический путеводитель по методам решения задач в целых числах» —

А.А. Максютин.

Ответ: Если при делении на 2 число дает остаток 1, а при делении на 3 — остаток 2, то при делении на 6 число остаток 5.

Пример: Пусть число является простым. Доказать, что а) имеет место представление для некоторого ; б) .

Решение: а) Рассуждения проводим по модулю 6. Все натуральные числа распадаются на 6 классов . Простое число p может попасть только либо в класс , либо в класс . Т.к. числа первого класса делятся на 2, 3, поэтому они составные. Числа третьего класса делятся на 2, числа четвертого класса делятся на 3, числа пятого класса делятся на 2.

б) Т.к. , то , т.к. первый множитель делится на 12, а третий на 2. ч.т.д.

Используя арифметику остатка можно доказатьутверждение: в числовом ряду степенейпоследняя цифра любого числа повторяется с периодом 4

Принцип математической индукции

Утверждение, зависящее от натурального числа n, справедливо для любого n, если выполнены два условия:

утверждение верно для n =1;
из справедливости утверждения для n = k, где k – любое натуральное число, вытекает справедливость утверждения и для следующего натурального числа n = k + 1.

Например: доказать, чтодля любого натурального числа n.

Решение: 1) при n = 1.

2) предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. .

Докажем, что тогда утверждение верно и при n = k+1, т.е. докажем, что .

Каждое слагаемое делится на 133, сумма делится на 133, т.е. .

По принципу математической индукции делаем вывод, что требуемое утверждение доказано.

1.2. БЗ2. Задача определения вида числа: простое или составное.

Способы действий:

Проверка признаков делимости на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,25,125.

Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.

Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное число , содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа .

Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (т.е. цифра единиц либо 0,либо 5).

Признак делимости на 6. Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 2 и на3.

Признак делимости на 7. Для того чтобы натуральное число делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «плюс» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на 7.

Признак делимости на 8. Для того чтобы натуральное число , содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа .

Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

Признак делимости на 11. Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.

Признак делимости на 13. Для того чтобы натуральное число делилось на 13, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «плюс» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на 13.

Признак делимости на 25. Для того чтобы натуральное число , содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа .

Признак делимости на 125. Для того чтобы натуральное число , содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа .

Проверка условий теоремы: если натуральное число не делится ни на одно из простых чисел, не превосходящих , т.е. на , то число – простое.

Например: определить, число 2003 простое или составное.

Решение: . Проверим, делится ли число 2003 на 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43. Для проверки деления на 2,3,5,7,11,13 применяем признаки делимости. Деление на 17,19,23,29,31,37,41,43 проверяем при помощи деления уголком. 2003 не делится ни на одно из перечисленных простых чисел 2003 простое число.

Теорема. Простых чисел бесконечно множество.

Доказательство: Предположим, что — это все простые числа. Число не делится на нашлось еще одно простое число, поэтому предположение оказалось неверным и простых чисел бесконечно множество. ч.т.д.

1.3. БЗ3. Задача приведения натурального числа к каноническому виду , где — простые числа.

Способы действий:

Основная теорема арифметики:1)Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. 2) Если натуральное число разложено на простые множители, то такое разложение единственно (т.е. любые два разложения числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей).

Пример 1: Разложить на простые множители число 16 380.

Решение:

Задачи в целых числах | Геометрия

Задачи в целых числах | Геометрия — просто!
Добрый день, друзья!
Мы продолжаем решение конкурсных задач по математике, которые давались при поступлении в ВУЗы в семидесятых годах прошлого столетия.
Сегодня мы будем решать
задачи в целых числах.
Думается, что не смотря на возраст этих заданий, они смогут пригодиться нынешним и будущим выпускникам при их подготовке для сдачи ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1. Если сложить цифры двузначного числа, то в сумме они дадут 6.
А, прибавив к этому числу 18, получим число, которое записано теми же цифрами, но в обратном порядке.
Найти это число.
Решение: любое двузначное число можно записать в виде 10х + у,
где х — число десятков, у — число единиц,
х и у — цифры в записи двузначного числа.
Зная это, составляем первое уравнение:
х+у = 6
Теперь составляем второе уравнение согласно данным условия:
10х + у + 18 = 10у + х, или
9у — 9х = 18   Делим правую и левую часть уравнения на 9
у — х = 2
Объединяем 2 уравнения в систему:
у + х = 6
у — х = 2 Складываем правые и левые части уравнений
2у = 8
у = 4
х =   у — 2 = 2.
Ответ: искомое число 24.
Задача 2. Если взять двузначное число и умножить его на сумму его цифр, получится 405.
А если же число, которое написано этими цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, получится 486.
Найти это число.
Решение: первое двузначное число можно представить в виде 10х+у.
Число, обратное ему, будет выглядеть 10у+х.
Сумма цифр числа записывается следующим образом: х+у
Составляем уравнения согласно условию:
(10х+у)(х+у) = 405
(10у+х)(х+у) = 486       Мы видим, что в обоих уравнениях
присутствует множитель (х+у).
Поскольку х и у числа положительные, мы можем разделить правые и левые части уравнений на множители (10х+у) и (10у+х).
Имеем:
х+у = 405/(10х+у)
х+у = 486/(10у+х)   Если левые части уравнений равны,
то равны и правые их части. Приравняем:
405/(10х+у) = 486/(10у+х) После сокращения числителей получим:

5/(10х+у) = 6/(10у+х) Теперь приводим выражение к общему знаменателю:
50у + 5х = 60х + 6у
44у = 55х
4у = 5х
х = 4у/5 = 0,8у Делаем замену х в первом уравнении.
(10х+у)(х+у) = 405
(10*0,8у + у)(0,8у + у) = 405
9у*1,8у = 405
1,8у² = 45
18у² = 450
у² = 25
у1 = 5
у2 = -5      Не удовлетворяет условиям задачи.
х = 0,8у = 0,8*5 = 4.
Ответ: искомое число 45.
Задача 3. Если взять сумму квадратов цифр двузначного числа,
то она будет на 11 больше самого числа.
А если взять удвоенное произведение цифр,
то оно будет на 5 меньше самого числа.
Найти это число.
Решение: Запись двузначного числа —   10х + у.
Запись суммы квадратов цифр числа —   х² + у²
Запись удвоенного произведения цифр числа —    2ху.
Составляем систему уравнений:
10х + у + 11 = х² + у²
10х + у — 5 = 2ху     После некоторых преобразований получим:
10х + у = х² + у² — 11
10х + у = 2ху + 5               Левые части уравнений равны,
значит равны и правые части:
х² + у² — 11 = 2ху + 5
х² + у² — 2ху = 16
(х — у)² = 16   Извлекаем корень из правой и левой части уравнения:
х — у = 4.           х = у +4
х — у = -4           х = у — 4 Делаем замену х во втором уравнении:
10(у+4) + у — 5 = 2у(у+4)
10у + 40 + у — 5 = 2у² + 8у
2у² — 3у — 35 = 0    Решая полное квадратное уравнение
с помощью дискриминанта, получим:
у1 = 5     х1 = у + 4 = 9
у2 = -3,5 Не удовлетворяет условиям задачи.
Теперь решаем то же самое при х = у — 4
10(у-4) + у — 5 = 2у(у-4)
10у — 40 + у — 5 = 2у² — 8у
2у² — 19у + 45 = 0 Так же, решая полное квадратное уравнения
при помощи дискриминанта, получим:
у3 = 5       х3 = у — 4 = 1.
у4 = 4,5 Не удовлетворяет условиям задачи
Ответ: первое число 95, второе число 15.
На сегодня всё.
Успехов и до новых задач!
Вам так же будет интересно:
Оставить комментарий

Задачи с целыми числами
Задачи эти предлагались репетиторам на сертификации по математике портала “Профи.ру”. Задачи не очень сложные, их уровень вполне соответствует 19 задаче ЕГЭ, но интересные.

Задача 1. Чему равно наименьшее восьмизначное число, дающее при делении на 297 остаток 289, при делении на 61 остаток 53, при делении на 21 остаток 13, при делении на 45 остаток 37, при делении на 826 остаток 818?
Решение: обозначим искомое число . Тогда
$\[Z=297n$
Глядя на это выражение, становится понятно, что решение затянется… Но можно заметить, что указанное выше выражение можно записать и так:
$Z=297n-8=61k-8=21p-8=45m-8=826f-8$

Тогда становится понятно, что нужно найти наименьшее общее кратное чисел 297, 61, 21, 45 и 826.
$297=11\cdot3\cdot9$
$826=2\cdot7\cdot59$
$21=7\cdot3$
$45=5\cdot9$
61 – простое число. Следовательно,

$Z=2\cdot7\cdot59\cdot61\cdot11\cdot9\cdot3\cdot5-8=74823202$
Ответ: .
Задача 2. Дату 9 октября 1963 года можно записать тремя числами: 9.10.63, которые оказались расположены в порядке неубывания. Во все дни, когда соответствующие три числа располагались в порядке неубывания, на металлообрабатывающем заводе проводились заседания. Чему равно количество дней, которые были посвящены заседаниям, если завод работал с 24 января 1957 года по 6 декабря 2004 года, а даты открытия и закрытия также учитываются?
Начинаем считать. В 57 году было проведено заседаний: 2 в феврале, 3 в марте, 4 в апреле и так далее, 12 в декабре. Итого (сумма прогрессии):

$S=\frac{2+12}{2}\cdot11=77$
Итак, всего 77 заседаний – так как в январе завод еще не был открыт.
С 58 по 99 год, таким образом, проводилось по 78 заседаний – еще одно в январе.
В 2000 году заседаний не было. В 2001 – только 1, 1 января.
В 2002 – три, одно в январе и 2 в феврале.
В 2003 – 6 (в январе, феврале и марте), в 2004 – 10 (в январе, феврале, марте и апреле).
Осталось сложить:
$N=77+78\cdot 42+1+3+6+10=3373$
Ответ: 3373.
Задача 3. Число 1447243 написали 45 раз подряд, при этом получилось 315-значное число. Из этого числа требуется вычеркнуть 3 цифры. Сколькими способами это можно сделать, если полученное 312-значное число должно делиться на 6?

Так как число 6 делится на два и на три, то полученное 312-значное число обязано быть четным. Поэтому последнюю тройку надо вычеркивать. Далее, так как число 1447243 написали 45 раз подряд, то даже без последней тройки оно делится на 3. Поэтому две вычеркнутые нами цифры в сумме обязаны делиться на три. Это 7 и 2 или 2 и 4, или 1 и 2 – никакие две другие в сумме не дадут кратную трем сумму. При этом последнюю в записи 312-значного числа 4 тоже можно вычеркнуть, но нельзя вычеркнуть сразу и 2 и 4, идущие последними. Имеем 135 четверок, 45 семерок, 45 единиц и 45 двоек – двойку вычеркнуть обязательно. Поэтому у нас 45 способов это сделать. После этого у нас 45 способов вычеркнуть 7 – итого 2025 способов. Также 45 способов вычеркнуть 1 – это еще 2025 способов.Если вместе с двойкой вычеркиваем четверку – то у нас 134 способа – последнюю нельзя. Итого 6030 способов. Всего 10080 способов.
Ответ: 10080.
Задача 4. Чему равно наибольшее количество цифр, стертых в 1740-значном числе $86338633 \ldots 8633$ , если сумма оставшихся цифр равна 1808?
Заметим, что часть 8633 составляет «период» данного числа. Эта часть состоит из 4 цифр, следовательно, в числе она повторяется $1740\div 4=435$ раз. Сумма цифр этой части равна 20, следовательно, общая сумма всех цифр числа равна $435\cdot 20=8700$ . Раз осталась сумма 1808 – следовательно, сумма вычеркнутых равна . Так как требуется вычеркнуть наибольшее количество цифр, то будем вычеркивать сначала все тройки. Сумма всех троек в числе равна $(3+3)\cdot 435=2610$ . Теперь, если вычеркнуть все шестерки – это дает еще 2610. Остается вычеркнуть еще какое-то количество восьмерок. Определим, сколько:
$6892-2610-2610=1672$
$1672\div 8=209$
Итого, мы вычеркнули 870 троек, 435 шестерок и 209 восьмерок – всего 1514 цифр.

Задача 5. Число 5081500199 написали 37 раз подряд, при этом получилось 370-значное число. Из этого 370-значного числа требуется вычеркнуть 5 цифр. Чему равно количество способов, которыми это можно сделать, если полученное после вычеркивания 365-значное число должно делиться на 30?
Так как 30 делится на 5, на 2 и на 3, то придется обязательно вычеркивать три последние цифры – 199. Остается вычеркнуть еще 2. Сумма цифр числа 5081500199 – 38 – не делится на три, число 37 – также. Поэтому надо вычеркивать такие цифры, чтобы добиться делимости на три. После вычеркивания последних трех цифр (199) мы также не добились того, чтобы число делилось на три.
Сумма цифр числа после вычеркивания 199 составляет 1387.
Чтобы добиться делимости на три, нужно вычеркивать либо две пятерки (1377 делится на 3), либо 1 и 0 (1386), либо 8 и 5 (1374) – эти суммы «заберут» лишнюю единицу, и число будет делиться на три. При вычеркивании ноля может быть вычеркнут и последний – это не изменит четности и делимости на 5. Итак, считаем. У нас 74 пятерки, то есть первую можно вычеркнуть 74 способами. Вторую – уже 73. Следовательно, способов вычеркнуть две пятерки – $74\cdot 73=5402$ . Вторая пара: единицу можем выбрать 73 способами (одна зачеркнута в самом начале), 0 – 111 способами. Следовательно, вторую пару можно выбрать $111\cdot 73=8103$ способами.
Способов выбрать восьмерку – 37, пятерку – 74. Поэтому эта пара даст $37\cdot74=2738$ способов. Итого способа.
Ответ: 16243 способа.

Задачи в целых числах — 1. Простые задачи.
Выбор статьи по меткам03 (1)9 класс (3)10 класс (1)11 класс (2)12 (1)13 (С1) (3)14 ноября (2)14 февраля (1)15 задание ЕГЭ (2)16 задача профиль (1)16 профильного ЕГЭ (1)16 января Статград (2)18 (С5) (2)18 задача ЕГЭ (2)23 марта (1)31 января (1)2016 (2)140319 (1)14032019 (1)C5 (1)RC-цепь (1)А9 (1)Александрова (2)Ампера (2)Архимед (1)Бернулли (1)Бойля-Мариотта (1)В8 (1)В12 (1)В13 (1)В15 (1)ВК (1)ВШЭ (2)ГИА физика задания 5 (1)Герона (1)Герцшпрунга-Рассела (1)Гринвич (1)ДВИ (1)ДПТ (1)Десятичные приставки (1)Дж (1)Диэлектрические проницаемости веществ (1)ЕГЭ 11 (2)ЕГЭ 14 (1)ЕГЭ 15 (2)ЕГЭ 18 (1)ЕГЭ С1 (1)ЕГЭ по математике (25)ЕГЭ по физике (49)ЕГЭ профиль (6)Европа (1)Задача 17 ЕГЭ (6)Задачи на движение (1)Закон Архимеда (2)Законы Ньютона (1)Земля (1)Ио (1)КПД (9)Каллисто (1)Кельвин (1)Кирхгоф (1)Кирхгофа (1)Койпера (1)Колебания (1)Коши (1)Коэффициенты поверхностного натяжения жидкостей (1)Кулона-Амонтона (1)Ломоносов (2)Лоренца (1)Луна (1)МГУ (1)МКТ (7)Максвелл (2)Максвелла (1)Максимальное удаление тела от точки бросания (1)Менделеева-Клапейрона (3)Менелая (3)Метод наложения (2)Метод узловых потенциалов (1)Метод эквивалентных преобразований (1)НОД (1)Нансен (1)НеИСО (1)ОГЭ (11)ОГЭ (ГИА) по математике (27)ОГЭ 3 (ГИА В1) (1)ОГЭ 21 (3)ОГЭ 21 (ГИА С1) (4)ОГЭ 22 (2)ОГЭ 25 (3)ОГЭ 26 (1)ОГЭ 26 (ГИА С6) (1)ОГЭ по физике 5 (1)ОДЗ (12)Обыкновенная дробь (1)Оорта (1)Основные физические константы (1)Отношение объемов (1)Плюк (1)Показатели преломления (1)Показательные неравенства (1)Противо-эдс (1)Работа выхода электронов (1)Радиус кривизны траектории (1)Релятивистское замедление времени (1)Релятивистское изменение массы (1)С1 (1)С1 ЕГЭ (1)С2 (2)С3 (1)С4 (3)С6 (5)СУНЦ МГУ (2)Сиена (1)Синхронная машина (1)Снеллиуса (2)Солнечной системы (1)Солнце (2)СпБ ГУ вступительный (1)Средняя кинетическая энергия молекул (1)Статград физика (3)Таблица Менделеева (1)Текстовые задачи (8)Тьерри Даксу (1)ФИПИ (1)Фазовые переходы (1)Фаренгейт (1)Фобос (1)Френеля (1)Цельсий (1)ЭДС (6)ЭДС индукции (2)Эйлера (1)Электрохимические эквиваленты (1)Эрастофен (1)абсолютная (1)абсолютная влажность (2)абсолютная звездная величина (3)абсолютная температура (1)абсолютный ноль (1)адиабаты (1)аксиомы (1)алгоритм Евклида (2)алгоритм Робертса (1)аморфное (1)амплитуда (3)аналитическое решение (1)анекдоты (1)апериодический переходной процесс (2)аргумент (1)арифметическая прогрессия (5)арифметической прогрессии (1)арки (1)арккосинус (1)арккотангенс (1)арксинус (1)арктангенс (1)архимеда (3)асинхронный (1)атмосферное (2)атмосферном (1)атомная масса (2)афелий (2)база (1)балка (1)банк (1)без калькулятора (1)без отрыва (1)белого карлика (1)бензин (1)бесконечная периодическая дробь (1)бесконечный предел (1)биквадратные уравнения (1)бипризма (1)биссектриса (4)биссектрисы (2)благоприятный исход (1)блеск (4)блок (2)боковой поверхности (1)большая полуось (1)большем давлении (1)бревно (2)бригада (2)бросили вертикально (1)бросили под углом (3)бросили со скоростью (2)броуновское движение (1)брошенного горизонтально (2)бруски (1)брусок (3)брусок распилили (1)бусинка (1)быстрый способ извлечения (1)вариант (3)вариант ЕГЭ (12)вариант ЕГЭ по физике (18)вариант по физике (1)варианты ЕГЭ (6)вариент по физике (1)введение дополнительного угла (1)вектор (5)векторное произведение (2)велосипедисты (1)вероятность (1)вертикальная составляющая (1)вертикально вверх (1)вертикальные углы (1)вес (3)весов (1)вес тела (1)ветви (1)ветвь (2)ветер (1)взаимодействие зарядов (1)видеоразбор (2)видеоразбор варианта (1)видимая звездная величина (2)виртуальная работа (1)виртуальный банк (1)виртуальных перемещений (1)витка (1)витков (1)виток (1)вклад (1)влажность (3)влажность воздуха (1)влетает (2)вневписанная окружность (2)внутреннее сопротивление (1)внутреннее сопротивление источника (1)внутреннюю энергию (1)внутренняя энергия (8)вода течет (1)воды (1)возведение в квадрат (1)возвратное уравнение (1)возвратность (1)возвратные уравнения (2)воздушный шар (1)возрастающая (1)возрастет (1)волны (1)вписанная (1)вписанная окружность (3)вписанной окружности (1)вписанный угол (4)в правильной пирамиде (1)вращение (1)времени (2)время (24)время в минутах (1)время выполнения (1)время движения (2)время минимально (1)время падения (1)всесибирская олимпиада (1)в стоячей воде (1)встретились (1)встретятся (1)вступительный (1)вступительный экзамен (1)вторая половина пути (1)вторичная (1)вторичная обмотка (1)вторичные изображения (1)второй закон Ньютона (4)выбор двигателя (1)выборка корней (4)выколотая точка (1)выплаты (2)выразить вектор (1)высота (5)высота Солнца (1)высота столба (1)высота столба жидкости (1)высота столбика (1)высоте (3)высоту (1)высоты (3)выталкивающая сила (2)вычисления (2)газ (3)газа (1)газов (1)газовая атмосфера (1)галочка (1)гамма-лучей (1)гармоника (2)гвоздя (1)геометрическая вероятность (1)геометрическая прогрессия (4)геометрические высказывания (1)геометрический смысл (2)геометрическую прогрессию (1)геометрия (7)гигрометр (1)гидродинамика (1)гидростатика (3)гимназия при ВШЭ (1)гипербола (2)гипотенуза (3)гистерезисный двигатель (1)главный период (1)глубина (1)глухозаземленная нейтраль (1)гомотетия (2)гонщик (1)горизонтальная сила (1)горизонтальной спицы (1)горизонтальную силу (1)горка (1)гравитационная постоянная (1)градус (1)грани (2)график (2)графики функций (5)графически (1)графический способ (1)графическое решение (2)груз (2)грузик (2)группа (1)давление (28)давление жидкости (3)давление пара (1)дальность полета (1)двигатель с активным ротором (1)движение под углом (1)движение под углом к горизонту (4)движение по кругу (1)движение по течению (1)движение с постоянной скоростью (2)двойное неравенство (1)двойной фокус (1)двугранный угол при вершине (1)девальвация (1)действительная часть (1)действующее значение (2)деление (1)деление многочленов (2)деление уголком (1)делимость (15)делимость чисел (1)делители (1)делитель (2)делится (3)демонстрационный варант (1)деталей в час (1)диаграмма (1)диаметр (2)диаметру (1)динамика (4)диод (1)диск (1)дискриминант (4)дифракционная решетка (2)дифференцированный платеж (1)диффузия (1)диэлектрик (1)диэлектрическая проницаемость (1)длина (4)длина вектора (1)длина волны (7)длина отрезка (2)длина пружины (1)длина тени (1)длиной волны (2)длину нити (1)длительность разгона (1)длительный режим (1)добротность (1)догнал (1)догоняет (1)докажите (1)долг (1)доля (1)дополнительный угол (1)досок (1)досрочный (2)досрочный вариант (1)дптр (1)дуга (1)единицы продукции (1)единичный источник (1)единичных кубов (1)единственный корень (1)ежесекундно (1)емкость (7)емкость заряженного шара (1)естественная область определения (1)желоб (2)жесткость (6)жеткость (1)живая математика (2)жидкости (1)жидкость (1)завод (1)загадка (2)задание 13 (2)задание 15 (3)задание 23 (1)задания 1-14 ЕГЭ (1)задача 9 (1)задача 13 профиль (1)задача 14 профиль (3)задача 16 (1)задача 16 ЕГЭ (1)задача 16 профиль (3)задача 17 (1)задача 18 (1)задача 26 ОГЭ (2)задача с параметром (6)задачи (1)задачи на доказательство (4)задачи на разрезание (4)задачи на совместную работу (3)задачи про часы (1)задачи с фантазией (1)задерживающее напряжение (1)заземление (1)заказ (1)закон Бернулли (1)закон Гука (1)закон Ома (3)закон Снеллиуса (1)закона сохранения (1)закон движения (1)закон кулона (7)закон палочки (3)закон сложения классических скоростей (1)закон сохранения импульса (6)закон сохранения энергии (4)законы Кирхгофа (6)законы коммутации (1)законы сохранения (1)закрытым концом (1)замена переменной (2)замкнутая система (2)зануление (1)запаянная (2)заряд (9)заряда (1)заряд конденсатора (1)защитная характеристика (1)звездочка (1)звезды (1)зенит (1)зенитное расстояние (1)зеркало (2)знак неравенства (1)знаменатель (1)знаменатель прогрессии (4)значение выражения (1)идеальный блок (1)идеальный газ (5)извлечение в столбик (1)излом (1)излучение (2)изменение длины (2)изобара (1)изобаричесикй (1)изобарический (2)изобарный (1)изобарный процесс (1)изображение (3)изолированная нейтраль (1)изопроцессы (1)изотерма (2)изотермически (1)изотермический (2)изотермический процесс (1)изотоп (1)изохора (1)изохорический (1)изохорный процесс (1)импульс (9)импульса (1)импульс силы (1)импульс системы (1)импульс системы тел (4)импульс тела (4)импульс частицы (1)инвариантность (1)индуктивно-связанные цепи (1)индуктивное сопротивление (1)индуктивность (1)индукцией (1)индукция (8)интеграл Дюамеля (1)интервал (1)интересное (3)интерференционных полос (1)иррациональность (2)испарение (2)исследование функции (4)источник (1)источник света (1)исход (1)камень (1)камешек (1)капилляр (1)карлик (2)касательная (4)касательного (1)касательные (1)касаются (1)катер (2)катет (3)катушка (4)качаний (2)квадлратичная зависимость (1)квадрант (1)квадрат (3)квадратичная функция (3)квадратное (1)квадратное уравнение (4)квадратную рамку (1)квазар (1)квант (1)квантов (1)кинематика (2)кинематическая связь (1)кинематические связи (4)кинетическая (12)кинетическая энергия (4)кинетической (1)кинетической энергии (1)кинетическую энегрию (1)классический метод (3)классический метод расчета (1)клин (3)ключ (1)кодификатор (1)колебаний (1)колене (1)количество вещества (1)количество теплоты (9)коллектор (1)кольцо (2)комбинаторика (1)комбинированное (1)коммутация (1)комплексное сопротивление (1)комплексное число (1)комплексные числа (1)компонент (1)конвекция (3)конденсатор (10)конденсаторы (1)конденсации (1)конечная скорость (1)конечная температура (1)конечная температура смеси (1)конечный предел (1)консоль (1)контрольная (1)контрольные (1)контур (5)конус (4)концентрация (7)концентрическим (1)координата (5)координаты (3)координаты вектора (2)координаты середины отрезка (1)координаты точки (1)корабля (1)корень (2)корень квадратный (1)корень кубический (1)корни (2)корни иррациональные (1)корни квадратного уравнения (3)корни уравнения (1)корпоративных (1)косинус (2)косинусы (1)котангенс (1)коэффициент (1)коэффициент жесткости (1)коэффициент наклона (3)коэффициент поверхностного натяжения (3)коэффициент подобия (5)коэффициент трансформации (1)коэффициент трения (5)коэффициенты (1)красное смещение (1)красной границы (1)красный (1)кратковременный режим (1)кратные звезды (1)кредит (11)кредитная ставка (4)кредиты (1)криволинейная трапеция (2)кристаллизация (1)критерии оценки (1)круговая частота (1)круговой контур (1)кружок (1)кубическая парабола (1)кулонова сила (1)кульминация (1)кусочная функция (1)левом колене (1)лед (2)лет (1)линейная скорость (2)линейное напряжение (1)линейное уравнение (2)линейный размер (1)линза (2)линзы (2)линии излома (1)линиями поля (1)линия отвеса (1)литров (1)лифт (1)лифта (1)лифте (1)логарифм (10)логарифмические неравенства (3)логарифмические уравнения (1)логарифмическое неравенство (3)логарифмы (1)лунка (1)лучевая (1)льда (1)магнитное поле (2)магнитном поле (2)магнитные цепи (1)максимальная высота (1)максимальная скорость (1)максимум (1)малых колебаний (1)масса (23)масса воздуха (1)массе (1)массивная звезда (1)массовое содержание (1)массой (1)массу (1)математика (4)математический маятник (1)математического маятника (1)маятник (4)мгновенный центр вращения (1)медиана (2)меридиан (1)мертвая вода (1)мертвая петля (1)метод виртуальных (1)метод внутреннего проецирования (1)метод замены переменной (4)метод интервалов (3)метод комплексных амплитуд (3)метод контурных токов (1)метод координат (1)метод линий (1)методом внутреннего проецирования (1)метод переброски (1)метод переменных состояния (1)метод подстановки (4)метод рационализации (4)метод решетки (1)метод следов (5)метод сложения (4)метод телескопирования (1)метод узловых напряжений (1)методы расчета цепей (2)методы расчета цепей постоянного тока (1)метод эквивалентного генератора (2)механика (1)механическая характеристика (1)механическое напряжение (1)миля (1)минимальная скорость (1)минимальное (1)минимальной высоты (1)минимальной скоростью (1)минимум (2)мишени (1)мнимая единица (1)мнимая часть (1)многоугольник (1)многочлены (1)мода (2)модули (1)модуль (13)модуль Юнга (1)модуль средней скорости (1)молекулярно-кинетическая теория (2)моль (2)молярная масса (5)момент (7)момент инерции (1)момент инерции двигателя (1)момент нагрузки (1)момент сил (1)монета (1)монотонная (1)монотонность функции (1)монохроматического (1)мощности силы тяжести (1)мощность (9)мощностью (1)мяч (1)наблюдатель (1)нагревание (1)нагреватель (1)нагревателя (1)нагрели (1)наибольшее (1)наивысшая точка (1)наименьшее (1)наименьшее общее кратное (1)наклон (1)наклонная плоскость (2)налог (1)на направление (2)на подумать (2)направление (1)направление обхода (3)направлении (1)направляющий вектор (1)напряжение (9)напряжение на зажимах (1)напряжение смещения нейтрали (2)напряженность (4)напряженность поля (6)насос (2)насоса (1)насыщенный пар (4)натуральное (7)натуральные (7)натуральных (1)натяжение нити (5)натяжения (1)находился в полете (2)начальная температура (1)начальной скоростью (1)недовозбуждение (1)незамкнутая система (2)нелинейное сопротивление (1)неопределенность типа бесконечность на бесконечность (1)неопределенность типа ноль на ноль (1)непериодическая дробь (1)неравенства (8)неравенство (22)неразрывности струи (1)нерастяжимой (1)нерастяжимой нити (1)нерастянутой резинки (1)несимметричная нагрузка (1)несинусоидальный ток (3)нестандартные задачи (1)нестрогое (1)неупругим (1)нецентральный (1)нечетная функция (2)нечетное (1)нечетность (1)неявнополюсный (1)нити (2)нити паутины (1)нить (2)нить нерастяжима (1)новости (1)нормаль (1)нормальное ускорение (11)нулевой ток (2)обкладками (1)обкладках (1)обкладки (1)область допустимых значений (9)область значений (1)область определения (8)область определения функции (4)оборот (1)обратные тригонометрические функции (1)обратные функции (1)общая хорда (1)общее сопротивление (1)общее сопротивление цепи (1)объем (36)объемный расход (1)объемом (1)объем пара (1)объем параллелепипеда (1)объем пирамиды (1)одинаковые части (1)одновременно (1)одновременно из одной точки (1)окружность (13)окружность описанная (1)олимпиада (2)олимпиады по физике (2)они встретятся (1)операторный метод (4)описанная (1)оптика (1)оптимальный выбор (1)оптимизация (1)оптическая разность хода (1)оптический центр (1)орбитам (1)орбитой (1)оригинал (1)осевое сечение (1)оси (1)основание (2)основание логарифма (2)основания трапеции (1)основное тригонометрическое тождество (1)основное уравнение МКТ (2)основной газовый закон (1)основной период (1)основной уровень (1)основные углы (1)остаток (1)ось (1)отбор корней (5)ответ (1)отданное (1)относительная (1)относительная влажность (3)относительная скорость (1)относительно (2)относительность движениия (1)относительность движения (2)относительность скоростей (1)отношение (5)отношение времен (1)отношение длин (1)отношение площадей (3)отношение скоростей (2)отрезок (1)отсечение невидимых граней (1)очки (1)падает (1)падает луч (1)падает под углом (1)падение (3)падение напряжения (2)падения (1)пар (3)парабола (5)параболы (1)параллакс (5)параллелепепед (2)параллелепипед (3)параллелограмм (4)параллелограмм Виньера (1)параллельно (2)параллельно двум векторам (1)параллельное соединение (3)параллельные прямые (1)параллельными граням (1)параметр (30)параметры (1)парообразование (1)парсек (1)парциальное (1)парциальное давление (1)паскаль (1)первая треть (1)первичная (1)переброски (1)перевозбуждение (1)перегородка (1)перегрузок (1)перелетит (1)переливания (1)переменное магнитное поле (1)переменное основание (2)перемещение (6)перемычка (5)перемычке (1)перемычку (1)переносная скорость (1)пересекает (1)пересечение (1)пересечения (1)переходная проводимость (1)переходное сопротивление (1)переходной процесс (1)переходные процессы (9)перигелий (2)периметр (3)период (15)периодическая дробь (1)период колебаний (2)период малых колебаний (1)период обращения (2)период функции (1)периоды (1)перпендикулярно (1)песок (1)пион (1)пипетка (1)пирамида (7)пирамида шестиугольная (1)пирамиды (2)пирсона (1)плавание (1)плавкие предохранители (1)плавление (1)план (1)планете (1)планеты (3)планиметрия (13)планиметрия профиль (1)пластинами (1)пластинка (1)платеж (8)плечо (2)плоского зеркала (1)плоскопараллельная (1)плоскость (4)плоскость сечения (1)плотности веществ (1)плотность (22)плотность пара (3)плотность сосуда (1)плотность энергии (1)площади (2)площади фигур на клетчатой бумаге (1)площадь (30)площадь круга (1)площадь пластин (1)площадь поверхности (1)площадь под кривой (2)площадь проекции (1)площадь проекции сечения (1)площадь сектора (1)площадь сечения (5)площадь треугольника (1)поверхностная плотность заряда (1)поворот (1)повторно-кратковременный режим (1)погрешность (1)погружено (1)подвесили (1)подготовка к контрольным (3)под каким углом (1)подмодульное (1)подмодульных выражений (1)подобен (1)подобие (7)подобия треугольников (1)подобны (1)подпереть (1)под углом (2)под углом к горизонту (3)показателем преломления (1)показательное (1)показатель преломления (4)поле (1)полезной работы (1)полезную мощность (1)полигон частот (1)по линиям сетки (1)полное ускорение (1)половина времени (1)половинный угол (1)положительный знаменатель (1)полония (1)полость (1)полуокружность (1)полупроводник (1)полученное (1)понижение горизонта (1)по окружности (1)по переменному основанию (1)поправка часов (1)по прямой (1)поршень (4)поршня (1)порядок решетки (2)последовательно (1)последовательное соединение (3)последовательность (3)по сторонам клеток (1)посторонние корни (4)постоянная Авогадро (1)постоянная Хаббла (1)постоянная времени (1)постоянная скорость (1)постоянная составляющая (2)постоянный ток (5)построение (2)построение графика функции (1)потенциал (5)потенциал шара (1)потенциальная (13)потенциальная энергия (3)потенциальной (1)потери в стали (2)потеря корней (4)поток (5)по физике (1)правило левой (1)правило моментов (3)правильную пирамиду (1)правильный многоугольник (1)правом колене (1)предел функции (1)преломляющий угол (1)преобразование графиков функций (1)преобразования (3)преподаватели (2)пресс (2)призма (7)призмы (3)признаки подобия (4)признаки равенства треугольников (3)пробн (1)пробник (175)пробник по физике (8)пробниук (1)пробный (1)пробный ЕГЭ (2)пробный ЕГЭ по физике (3)пробный вариант (25)пробный вариант ЕГЭ (17)пробный вариант ЕГЭ по физике (115)пробный вариант по физике (1)провода (1)проводник (1)проводник с током (1)проводящего шара (1)проволока (1)проволоки (1)прогрессия (5)проекции скоростей (1)проекции ускорения (2)проекция (7)проекция перемещения (1)проекция скорости (6)проекция ускорения (2)производительность (2)производная (3)промежутка времени (1)промежуток (1)промежуток знакопостоянства (1)пропорциональны (1)проскальзывает (1)проскальзывания (1)противоположное событие (1)противостояние (1)протона (1)прототипы (1)профиль (2)профильный ЕГЭ (1)процент (5)процентная ставка (6)процентное отношение (1)процентное содержание (2)проценты (3)пружин (1)пружина (6)пружинный маятник (1)пружины (1)прямая (6)прямое восхождение (2)прямой (1)прямой АВ (1)прямоугольник (1)пузырек (1)пульсар (1)пуля (1)пути (1)путь (27)пушка (1)пять корней (1)работа (15)работа газа (5)работа тока (1)работу выхода (2)рабочее тело (1)рабочие (1)равнобедренный (1)равновеликий (1)равновесие (4)равновесия (1)равновесное (1)равнодействующая (1)равномерно (1)равноускоренно (2)равноускоренное (3)равные (1)равные фигуры (1)радиальную ось (1)радикал (1)радиус (11)радиус колеса (1)радиус кривизны (2)радиус описанной сферы (1)радиус темного кольца в отраженном свете (1)разбор (1)разбор Статграда по физике (2)разложение на множители (2)размах (1)разности температур (1)разность (2)разность потенциалов (2)разность прогрессии (3)разность хода (1)разрежьте (2)разрезание (5)разрешающая сила (1)разрыв функции (1)рамка (8)рамка с током (1)раскрытие модуля (1)расписание (1)расположение корней квадратного трехчлена (1)распределение частот (1)рассеивающая (1)расстояние (21)расстояние между зарядами (1)расстояние на карте (1)расстояние от точки (1)расстояния (2)раствор (2)растяжение (2)расходуется (1)расцепители (1)расчеты по формулам (1)рационализация (4)рациональные неравенства (1)реактивные элементы (1)реактивный двигатель (1)реакция опоры (4)реакция якоря (1)ребра (1)ребус (2)резервуар (1)резистор (1)рейки (1)рельса (1)рентгеновскую трубку (1)репетитор (1)решебник (1)решение тригонометрических уравнений (1)решение уравнений (2)решение уравнений больших степеней (1)решить в натуральных (1)решить в целых (1)розетка (1)ромб (1)ряд Фурье (1)сарай с покатой крышей (1)сближаются (1)сближения (1)сбрасывают с высоты (1)сверхгигант (2)сверхновая (1)светимость (3)свободно (1)свободного падения (1)свободно падает (2)свойства (2)свойства отрезков (1)свойства степени (1)свойства функции (1)свойства функций (2)свойства чисел (1)свойство биссектрисы (2)свойству биссектрисы (1)сдвинуть (1)сегмент (1)сектор (1)секущая (2)серия решений (1)сертификация (6)сессия (1)сечение (14)сечение наклонной плоскостью (1)сидерический (1)сила (7)сила Архимеда (5)сила Лоренца (4)сила ампера (9)сила взаимодействия (4)сила давления (1)сила на дно (1)сила натяжения (7)сила натяжения нити (4)сила поверхностного натяжения (3)сила реакции опоры (1)сила трения (3)сила тяготения (1)сила тяжести (5)сила упругости (2)силой (2)силу (1)силу натяжения (1)силы трения (2)символический метод (3)симметричная нагрузка (1)симметрия (3)синодический (1)синус (4)синусоида (1)синусоидальный закон (1)синусоидальный ток (5)синусы (1)синхронный компенсатор (1)система (3)система неравенств (7)система отсчета (3)система счисления (1)система уравнений (3)системы уравнений (3)скалярное произведение (3)склонение (1)скольжение (2)скользит (1)скользит равномерно (1)скоросмть (1)скоростей (1)скорости (3)скорости течения (1)скорость (44)скорость реки (1)скорость сближения (3)скорость света (1)скорость теплохода (1)скорость удаления (1)скорость частицы (1)скоростью (1)с лестницы (1)сложение векторов (1)сложная функция (1)смежные углы (1)смекалка (2)смеси (1)смешанное число (1)смещение (2)снаряд (1)собирающая (2)событие (1)соединение звездой (1)соединение треугольником (1)сокращение (1)сокращение дробей (1)соленоид (1)солнечная постоянная (3)солнечная система (1)сообразительность (1)сообщающиеся сосуды (2)соприкосновения (1)сопротивление (13)сопротивления (1)сопряженное (3)составить квадрат (1)составляет с направлением (1)составляющая скорости (2)составляющие (1)составляющие скорости (3)сосуд (1)сосудах (1)сосуде (1)сохранение энергии (1)спектра (2)спектральный класс (2)спецификация (1)спирт (1)сплава (1)сплавы (1)справочные данные (3)справочные материалы (12)спрос (1)сравнение чисел (2)среднее (1)среднее значение (1)среднеквадратичная скорость (1)среднюю линию (1)средняя квадратичная скорость (1)средняя скорость (6)срок (1)срок кредитования (1)стадии (1)стакан (2)статград (18)статика (2)стенка (1)степенная функция (1)степенные уравнения (1)степень (2)стереометрия (4)стержень (4)стержня (1)столб жидкости (3)столбик (3)столбик жидкости (2)столбик ртути (1)столбчатая диаграмма (1)стрелки поравняются (1)строгое (1)струю (1)студенты (2)ступеньку (1)сумма косинусов (1)сумма прогрессии (1)суммарный импульс (1)сумма ряда (1)сумма синусов (1)сумма углов (2)суммирование (2)сумму (1)суперпозиция (1)сутки (1)сфера (5)сферы (2)таблица (1)таблица частот (1)тангенс (3)тангенс разности (1)тангенс суммы (1)тангенциальная (1)тангенциальное ускорение (1)твердое тело (1)тела вращения (1)тележка (2)телескоп (1)телескопирование (1)тело (1)температура (21)температурный коэффициент сопротивления (1)температуры (2)тени (1)тень (1)теорема Пифагора (3)теорема Штейнера (1)теорема виета (5)теорема косинусов (4)теорема синусов (2)теореме косинусов (1)теоремы (1)теоретическое разрешение (1)теория вероятности (1)теплового двигателя (1)тепловое действие (1)тепловое равновесие (2)тепловой баланс (1)тепловой двигатель (1)теплоемкость (1)теплообмен (1)теплопередача (4)теплопроводность (2)теплота (1)теплота сгорания (1)теплоты (5)техника быстрого счета (1)товар (1)ток (11)ток насыщения (1)топливо (1)точечный источник (1)точка касания (1)точка росы (1)точки перемены знака (1)траектории (1)траекторию (1)траектория (1)транзистор (1)трансформатор (1)трапеция (4)трение (1)тренировочная работа (1)тренировочная статград (3)тренировочные работы (1)тренировочный вариант (23)тренировочный вариант ЕГЭ (57)тренировочный вариант ЕГЭ по физике (64)трения (2)трения покоя (1)трения скольжения (1)треугольная пирамида (1)треугольник (4)треугольник Паскаля (1)треугольника (1)треугольники (2)треугольник перемещений (1)трехфазные цепи (2)тригонометрические выражения (2)тригонометрические уравнения (1)тригонометрия (10)троса (1)трубка (5)трубы (1)увеличение (1)угловая скорость (2)угловая частота (2)угловой скоростью (3)углом (1)углы (4)угол между боковыми ребрами (1)угол между векторами (1)угол между плоскостями (2)угол между прямой и плоскостью (1)угол между прямыми (1)угол наклона (1)уголь (12)удар (1)удельная (1)удельная теплоемкость (2)удельная теплота (1)удельная теплота парообразования (2)удельное сопротивление (1)удержать (1)удлинение (3)узел (2)узкую трубку (1)умножение (1)умножение вектора на число (1)умножение на пальцах (1)упростить (1)упрощение (3)упрощение выражений (1)упругий удар (1)уравнение (5)уравнение Менделеева-Клапейрона (8)уравнение окружности (2)уравнение плоскости (3)уравнение теплового баланса (1)уравнению (1)уравнения (2)уравнения высоких степеней (1)уравнения высших степеней (1)урана (1)усеченный конус (1)ускорение (29)ускорением (1)ускорение свободного падения (4)ускорений (1)ускоряющая разность потенциалов (1)условие плавания (2)условие равновесия (1)условия возврата (1)фазное напряжение (1)фигуры (2)физика (29)физика статград (1)фиолетовый (1)фирмы (1)фокальная плоскость (1)фокус (5)фокусное расстояние (1)фонтан (1)формула (1)формула Герона (1)формула Пика (1)формулы сокращенного умножения (2)фотон (4)фотонов (1)функции (1)функция (1)холодильник (1)холодильнику (1)хорда (3)целое (10)целые (8)целые числа (1)целых (1)цель (1)центральный угол (4)центр вращения (1)центр масс (1)центр масс системы (1)центробежная сила (1)центростремительное ускорение (1)центр тяжести (1)центр тяжести системы (1)цепи постоянного тока (13)цепочка (1)цепь второго порядка (1)цепь первого порядка (4)цикл Карно (1)циклическая частота (3)цилиндр (2)часовой угол (1)части (4)частица (2)частных клиентов (1)частота (10)частота излучения (1)часть объема (1)человека (1)черная дыра (1)четная функция (3)четное (7)четность (3)чисел (1)числовая пряма%D (1)число витков (1)член (1)шайбы (1)шар (2)шарик (2)шарик на нитке (1)шарик прыгает (1)шарнир (2)шестерня (1)шесть различных решений (1)широта (1)широте (1)штырь (1)эволюция звезд (1)эквивалентная емкость (1)эквивалентная синусоида (1)экзамен (1)экономическая задача (2)экспонента (2)экстремум (1)эксцентриситет (2)электрические цепи (8)электрического поля (1)электрон (3)электрона (1)электрон влетает (1)электростатика (2)электротехника (8)элонгация (1)энергия (9)энергия покоя (1)энергия поля (1)эскалатору (1)юмор (6)явнополюсный (1)ядерная физика (1)якорь (1)яма (1)
Статья по алгебре на тему: Доклад на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».
Доклад
на тему: Базовые задачи по теме «Решение задач в целых числах».
Эта тема актуальна, так как задачи в целых числах давно включены в КИМы ЕГЭ по математике и оцениваются максимальным количеством баллов, что не маловажно для результата по экзамену. Также задачи такого типа встречаются на олимпиадах разного уровня. Но, к сожалению, школьная математика явно не предусматривает обучение решению задач в целых числах. Это порождает так называемые пробелы и «дырки» в знаниях учеников по математике. Так как мы заинтересованы в получении наиболее высокого балла на экзамене, то нам необходимо систематизировать уже имеющиеся представления по данной теме, пополнить «багаж» знаний детей теоремами и задачами, которые мы не изучали на уроках математики, но они необходимые для решения подобных задач. Также изучить и разобрать базовые задачи (опорные задачи) в целых числах и на их основе научиться решать более сложные задачи.
Проблема
На уроках математики не отводится должного внимания решению задач в целых числах, тем не менее, задания такого типа включены в задания ЕГЭ.
Цель
Овладеть системой знаний и умений при решении задач с целыми числами.
Задачи
1) Описать основные базовые задачи в целых числах;
2) На основе базовых задач решать более сложные задачи в целых числах, разлагая их по базовым задачам;
3) Сформулировать алгоритм решения задач КИМ ЕГЭ типа С6.
Гипотеза
Углубление изучения исследований по данной теме могут вывести на такой уровень, что можно справиться на экзамене с заданием типа С6.
Объектом исследования является класс теоретико-числовых задач, решаемых в целых числах, предметом исследования – технология базовых задач в целых числах.
Практическая значимость исследования определяется тем, что решение задач в целых числах в школьной алгебре полезно не только для сдачи ЕГЭ и обучения в вузе, они способствуют развитию ключевых компетентностей. При разборе заданий данной темы каждый раз сталкиваешься с нестандартной ситуацией, в которой необходимо рассматривать различные случаи и понимать, какие именно случаи следует разбирать.
Самостоятельное планирование шагов своих действий требуют довольно тонких логических рассуждений. Для успешного решения таких задач необходимо, прежде всего, умение проводить довольно объемные, логические рассуждения, что приучает к внимательности и аккуратности.
Итак, задачи с целыми числами предполагают не только умение производить какие-то выкладки по задуманным правилам, но также и понимание цели выполняемых действий. Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры.
Структура работы определяется последовательностью решения задач исследования. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.
В первой главе работы я рассмотрела теоретические аспекты, 11 базовых задач:
БЗ1. Деление с остатком.
БЗ2. Задача определения вида числа: простое или составное.
БЗ3. Задача приведения натурального числа к каноническому виду.
БЗ4. Задача нахождения НОК, НОД двух и более чисел.
БЗ5. 1) Задача нахождения числа делителей произвольного натурального числа (прямая задача).
2) Задача нахождения числа по числу его делителей (обратная задача)
БЗ6. Задача нахождения целых решений линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
БЗ7. Задача нахождения целых решений квадратных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
БЗ8. Задача нахождения целых решений диофантовых уравнений с двумя и более неизвестными различного вида.
Пример: Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен 20092007?
Решение: Допустим, что . Решим полученное уравнение в целых числах. — это число при делении на 4 дает остаток 3. Рассуждая по модулю 4, все числа делятся на 4 класса: .
.
.
Квадрат любого числа при делении на 4 имеет остаток 0 или 1, а т.к. число при делении на 4 имеет остаток 3, то оно не может являться точным квадратом . Итак, дискриминант трехчлена с целыми коэффициентами не может равняться числу 20092007.
Ответ: нет. (Использовали БЗ1, БЗ8)
БЗ9. Задача нахождения сумм различных числовых последовательностей.
БЗ10. Задача математического моделирования в виде диофантовых уравнений (неравенств) и их систем.
БЗ11. Решение задачи о принадлежности данного числа данному числовому множеству.
Построенный перечень базовых задач действительно является базисом в пространстве задач темы решение задач в целых числах. Фактически речь идет о проверки справедливости следующего утверждения: решение любой задачи данной темы представимо в виде цепочки последовательно разворачивающихся базовых задач (всех или некоторых), взятых в определенной последовательности.
Во второй главе были проанализированы образцы решении задач в целых числах и решение 8 задач С6 из ЕГЭ.
Например: Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).
Решение: Пусть искомое число.
Представим его в каноническом виде , тогда его количество делителей равно
1)
=15
Итак, число — имеет ровно 15 делителей, где- простое число. Но не одно из них не может оканчиваться 0.
2)
и

Итак, числа = , = — имеют ровно 15 делителей, где- простое число. По условию число должно оканчиваться 0. и должны равняться 2 и 5.
и
Ответ: 400 и 2500. (Использовали БЗ5 (обратную задачу))
Мы считаем, что все запланированные задачи решены.
В этой работе даны элементы инновационной образовательной технологии в применении к числовой линии школьного курса математики.
Образовательная технология проектирования, построения и применения многоуровневой системы задач (МСЗ) и адекватных им специальных и универсальных учебных действий, содержит несколько этапов, одним из которых является выделение составление перечней базовых задач темы (содержащих в себе основные идеи, теории и методы).
Сформулированные базовые задачи и адекватные им действия (специальные и универсальные) являются фундаментальным ядром выбранного раздела программы. А применяемая для этого технология является средством фундаментализации содержания общего математического образования.
Эта образовательная технология является инструментом проектирования, формирования, а в перспективе и средством измерения степени сформированности специальных и универсальных учебных действий.
Предлагаемая методика сводит решение любых задач, сформулированных в терминах теории чисел, сводить к решению цепочки базовых задач.
Эта методика испытана на задачах С6 КИМ ЕГЭ разных лет.
Уравнения в целых числах
Цели курса:
помочь повысить уровень математической подготовки учащихся при решении уравнений в целых числах;

сформировать понимание необходимости знаний для развития способностей учащихся;

развивать интерес к предмету, формировать качества мышления, необходимые человеку для дальнейшей практической деятельности.

Задачи курса:
изучить оригинальные приемы решения уравнений в целых числах;

продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач;

помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения дальнейшей образовательной перспективы и сформировать твердое убеждение в успешности сдачи экзамена ЕГЭ.

Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает четкое изложение основных вопросов теории, методику решения типовых задач. В программе приводится примерное распределение учебного времени, план занятий. Предложенные задачи различаются по уровню сложности – от простых до конкурсных и олимпиадных. Задачи данного курса надо разбирать с карандашом и бумагой, возможно, даже не один раз.
Основные формы организации учебных занятий – лекция, беседа, семинар. Большой объем дидактического материала дает возможность подбирать задания для учащихся с различной степенью подготовки. Курс можно изменять по усмотрению учителя, добавлять или заменять темы.
Учебно-тематический план
№

Содержание учебных разделов

Общее количество часов

В том числе

теория

практика

1

Основы теории делимости чисел

15

1.1

Делимость натуральных чисел

2

1

1

1.2

Признаки делимости

2

1

1

1.3

Простые и составные числа

1

1

1.4

Деление с остатком

2

1

1

1.5

Наибольший общий делитель

3

1

2

1.6

Наименьшее общее кратное

3

1

2

1.7

Основная теорема арифметики

2

1

1

2

Диофантовы уравнения

10

2.1

Диофантовы уравнения первой степени

4

1

3

2.2

Нелинейные диофантовы уравнения

2

1

1

2.3

Методы решения нелинейных диофантовых уравнений

4

2

2

3

Задачи на целые числа в ЕГЭ и в олимпиадах

6

1

5

4

Итоговый урок

1

1

5

Резерв времени

2

1

1

Итого

34

13

21

Рабочая программа
№ п/п

Название раздела

Тема занятия

Элементы содержания

Требования к уровню подготовки

1

Основы теории делимости чисел (15 ч)

Делимость натуральных чисел

В первой части рассматриваются определения и простейшие свойства делимости натуральных чисел, признаки делимости. Повторяются понятия простых и составных чисел. Рассматривается теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, «решето Эратосфена», понятие о каноническом разложении натурального числа. Рассматривается основная теорема арифметики.

Учащиеся должны уметь решать задачи на признаки делимости натуральных чисел, находить НОД и НОК, выполнять деление с остатком, уметь пользоваться основной теоремой арифметики.

Признаки делимости

Простые и составные числа

Деление с остатком

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Основная теорема арифметики

2

Диофантовы уравнения (10ч)

Диофантовы уравнения первой степени

Во второй части рассматриваются диофантовы уравнения первой степени, нелинейные диофантовы уравнения, различные методы решения нелинейных диофантовых уравнений. Учащимся предлагаются для решения задача Л. Эйлера, задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи), задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Рассматриваются три способа решения уравнения первой степени: алгоритм Евклида, цепные дроби и метод рассеивания.

Учащиеся должны уметь решать простейшие диофантовы уравнения первой степени, нелинейные диофантовы уравнения. Использовать различные методы решения нелинейных диофантовых уравнений.

Нелинейные диофантовы уравнения

Методы решения нелинейных диофантовых уравнений

3

Задачи на целые числа в ЕГЭ и в олимпиадах (6ч)

Задачи на целые числа в ЕГЭ и в олимпиадах

В этом разделе мы предлагаем разбор серии задач непосредственно связанный с целыми числами. Банк этих задач постоянно пополняется; учитель может менять программу, реагируя на интерес данной группы учеников и каждого в отдельности.

Иметь представление о решении задач уровня С6 прошлых лет.

4

Итоговый урок (1ч)

При выставлении оценок учитываются следующие критерии:

«зачтено» – учащийся владеет набором стандартных методов и справляется с решением предложенных задач; показывает определенные положительные результаты, свидетельствующие о возрастании общих умений;

«незачтено» – учащийся не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

5

Резерв времени (2 ч)

Итог

34

Содержание изучаемого материала
1. Основы теории делимости чисел (15 ч)
Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятия натурального числа и арифметических действий над ними являются одними из первых математических абстракций, имеющими важнейшее значение для математики, других наук и всей практической деятельности человечества.
Материал этой главы в значительной степени содержится в курсе алгебры 7-9 классов. Наша цель – повторение, углубление и расширение представлений учащихся о действительных числах.
В первой части рассматриваются определения и простейшие свойства делимости натуральных чисел, признаки делимости. Особое внимание уделим операции деления, которая выполнима во множестве натуральных (и целых) чисел далеко не всегда. Без этой операции мы не могли бы сокращать дроби, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное натуральных чисел, приводить дроби к общему знаменателю, выполнять различные упрощения алгебраических выражений. Именно поэтому вопросами делимости натуральных чисел математики занимаются давно и очень активно.
Повторяются понятия простых и составных чисел, так как они обладают многими интересными свойствами. Простые числа – это те элементы, из которых при помощи умножения строятся натуральные числа. Исследователей всегда интересовал вопрос о распределении простых чисел среди натуральных. Здесь рассматривается теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, «решето Эратосфена», понятие о каноническом разложении натурального числа. Используя каноническое разложение числа на простые множители, можно выяснить вид любого делителя числа и подсчитать общее число его делителей, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух и более целых чисел.
Рассматривается основная теорема арифметики.
Форма контроля: задачи для самостоятельного решения, проверочная работа.
2. Диофантовы уравнения (10 ч)
Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами занимались самые выдающиеся математики: Пифагор(VI в. до н.э.), Диофант(III в. н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII в.), Ж.Л.Лагранж(XVIII в.), П.Дирихле(XIX в.), К.Гаусс(XIX в.), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа решения быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения. Существует более 10 методов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел. Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как они тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
Диофантовы уравнения – это уравнения с несколькими неизвестными, решения которых ищутся в целых числах. Подобные уравнения возникают в некоторых задачах математики, физики, экономики и т.д. Учащимся предлагаются для решения задача Л. Эйлера, задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи), задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Рассматриваются три способа решения уравнения первой степени: алгоритм Евклида, цепные дроби и метод рассеивания.
Форма контроля: задачи для самостоятельного решения, проверочная работа.
3. Задачи на целые числа в ЕГЭ (6ч)
Задач ЕГЭ уровня С6, как правило, нет ни в одном школьном учебнике математики. В этом разделе мы предлагаем разбор серии задач непосредственно связанный с целыми числами. Банк этих задач постоянно пополняется; учитель может менять программу, реагируя на интерес данной группы учеников и каждого в отдельности.
Форма контроля: задачи для самостоятельного решения, проверочная работа.
Методическое обеспечение программы
Занятия по данной программе состоят из теоретической и практической части. Причем большее количество времени (21 ч) занимает практическая часть. В теоретическом плане методы решения основных задач представляют собой самостоятельный фрагмент математической теории (13 ч).
Одна из задач курса, научить учащихся для каждого уравнения выбирать собственный метод решения, т.к. не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.
На занятиях учащиеся знакомятся с различными видами уравнений в целых числах, с их стандартными и оригинальными решениями. Освоение материала в основном происходит в процессе практической деятельности. Закономерности использования теоретического материала могут быть представлены в виде правил, алгоритмов. Так, в работе над задачей учащиеся должны уметь применять различные стандартные и нестандартные приемы в решении задач.
Подробные разработки элективного курса включают рекомендации по определению необходимого круга знаний, ключевых понятий и положений; анализ типов заданий и критериев оценки их выполнения; обширный дидактический материал.
Уровень сложности рассматриваемых заданий позволяет работать со школьниками различного уровня подготовки по математике.
При всей важности освоения теоретических знаний следует учитывать, что они являются средством для достижения главной цели обучения, основой для практических занятий. При отборе средств ученик последовательно выбирает подходящий тип задачи, затем приступает к поиску нужного способа решения. Для успешного анализа и самоанализа необходимы критерии оценки деятельности учащихся.
Теоретическая и практическая часть элективного курса (Приложение 1).
Литература:
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.−8-е изд. −М.: Просвещение, 2009.− 430 с.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.− 6-е изд., стер. − М.: Мнемозина, 2009. − 424 с.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г. Мордкович и др.; под ред. А.Г. Мордковича. − 7-е изд., стер. − М.: Мнемозина, 2010. − 343 с.

Базылев Д. Ф. Справочное пособие по решению задач: диофантовы уравнения. – Мн.: НТЦ «АПИ», 1999. − 160с.

Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых